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MATHEMATISCHE ANNALEN
BEGRÜNDET 1868 DURCH
ALFfiED CLEBSCH UND CAßL NEUMANN
FORTGEFÜHRT DURCH
FELIX KLEIN
UNTER MITWIRKUNG VON
Ludwig Bieberbach, Harald Bohr, L. E. J. Brouwer, Richard Courant, Walther v. Dyck, Otto Holder, Theodor v. Kárman, Arnold Sommerfeld
gegenwärtig herausgegeben von
David Hilbert Albert Einstein
IN GÖTTINGEN IN BERLIN
Otto Blumenthal Constantin Carathéodory
IN AACHEN IN MÜNCHEN.
96. Band. 1. Heft.
(ABGESCHLOSSEN AM 22. MAI 19S6.)
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BERLIN VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1926
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¿ 9 - JUN. 192a
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An unsere Mitarbeiter!
Die Korrekturkosten sind bei den „Mathematischen Annalen" sehr hoch. Sie betragen nach einer Kalkulation 6 °/ 0 des Gestehungspreises eines Bandes. Für ihre Verminderung muß unbedingt Sorge getragen werden. Wir richten deshalb an alle unsere Mitarbeiter die freundliche dringende Bitte, zu diesem Ziele an ihrem Teile beitragen zu wollen. Dazu ist nötig:
1. Das Manuskript muß völlig druckfertig und gut leserlich sein (Schreibmaschine).
2. Veränderungen des Textes in der Korrektur sind auf die Fälle zu beschränken, wo sich nachträglich wirkliche Irrtümer herausstellen. Sollte ein Irrtum bemerkt werden, bevor noch Korrektur eingetroffen ist, dann ist ein verbesserter Text sofort an Herrn Blumenthal zu schicken, der dafür Sorge tragen wird, daß das Manuskript noch vor dem Satz berichtigt wird.
Insbesondere sind rein stilistische Verbesserungen zu unterlassen. Größere Änderungen und Zusätze, die sich nicht auf die Berichtigung von Irrtümern beschränken, bedürfen der Zustimmung des annehmenden Redakteurs und sollen, auch um der geschichtlichen Genauigkeit willen, in einer Fußnote ala nachträglich gekennzeichnet und datiert werden.
Als Norm soll gelten, daß der Verfasser von jeder Arbeit eine Fahnenkorrektur und eine Korrektur in Bogen liest. Wir bitten unsere Verfasser, sich hiermit begnügen zu wollen.
Die Redaktion der Mathematischen Annalen.
Die MATHEMATISCHEN ANNALEN
erscheinen zwanglos in Heften, die zu Bänden von 50 Bogen vereinigt werden. Sie sind durch jede Buchhandlung sowie durch die Verlagsbuchhandlung zu beziehen. Die Mitglieder der Deutschen Mathematiker-Vereinigung haben Anspruch auf einen Vorzugspreis.
Die Verfasser erhalten von Abhandlungen bis zu 24 Seiten Umfang 100 Sonder- abdruoke, von größeren Arbeiten 50 Sonderabdrucke kostenfrei, weitere gegen Berechnung. Geschäftsführender Redakteur ist
0. Blumenthal, Aachen, Rütscherstraße 38.
Alle Korrektursendungen sind an ihn zu richten.
Für die „Mathematischen Annalen" bestimmte Manuskripte können bei jedem der unten verzeichneten Redaktionsmitglieder eingereicht werden:
Li. Bieberbach, Berlin-Schmargendorf, Marienbaderstraße 9, O. Blumenthal, Aaohen, Rütscherstraße 38,
H. Bohr, Kopenhagen, St. Hans Torv 32,
Ii. E. J. Brouwer, Laren (Nordholland),
C. Carathéodory, München, Rauchstraße 8,
K. Courant, Göttingen, Nikolausbergerweg 5,
W. v. Dyck, München, Hildegardstraße 5,
A. Einstein, Berlin-Wilmersdorf, Haberlandstraße 5,
D. Hilbert, Göttingen, Wilhelm-Weber-Straße 29,
O. Hölder, Leipzig, Schenkendorfstraße 8,
Th. v. Kármán, Aachen, Nizzaallee 41,
A. Sommerfeld, München, Leopoldstraße 87

MATHEMATISCHE ANNALEN
begründet 1868 durch
ALFRED CLEBSCH und CARL NEUMANN
fortgeführt dubch
FELIX KLEIN
ünteb mitwirkung von
Ludwig Biebebbach, Habald Bohb, L. E. J. Bbouweb, Richard Courant, Walther v. Dyck, Otto Holder, Theodor v. Kármán, Arnold Sommerfeld
gegenwärtig herausgegeben von
David Hilbert Albert Einstein
IN GÖTTINGEN IN BERLIN
Otto Blumenthal Constantin Carathéodory
IN AACHEN IN MÜNCHEN.
96. BAND
ZÍ-32Z
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1927

Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.

Inhalt des sechsundneunzigsten Bandes.
(In alphabetischer Ordnung.)
Seite
Llexandroff, P., in Moskau. Simpliziale Approximationen in der allgemeinen
Topologie 489
Alexandroff, P., in Moskau. Über kombinatorische Eigenschaften allgemeiner
Kurven 512
Alexandrolf, P., in Moskau. Über stetige Abbildungen kompakter Räume . . 555 Bernstein, S., in Charkow. Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles
du type elliptique. II. Note 633
Bochner. S., in Berlin. Beiträge zur Theorie der fastperiodischen Funktionen.
I. Teil. Funktionen einer Variablen 119
II. Teil. Funktionen mehrerer Variablen 383
Böhmer, P. E., in Dresden. Über die Transzendenz gewisser dyadischer Brüche 367 Brandt, H., in Aachen. Über das assoziative Gesetz bei der Komposition der
quaternären quadratischen Formen 353
Brandt, H., in Aachen. Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes . . 360 Brinkmeier, H., in Kiel. Über das Maß der Bestimmtheit des Wachstums einer ganzen transzendenten Funktion durch die absoluten Beträge der
Koeffizienten ihrer Potenzreihe 108
Brouwer, L. E. J., in Amsterdam. Zur Begründung der intuitionistischen
Mathematik. III 451
van Dantzig, D., in Amsterdam. Die Wiederholung des Michelson-Versuchs
und die Relativitätstheorie 261
Dörge, K., in Köln. Einfacher Beweis des Hilbertschen Irreduzibilitätssatzes . 176 Fekete, M., in Budapest. Uber Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alle
ganzzahlig sind 410
Furtwängler, Ph., in Wien. Über die simultane Approximation von Irxational-
zahlen 169
Grandjot, K., in Göttingen, über die Gitterpunkte in einem Kreise .... 62 Haar, A., in Szeged (Ungarn). Über asymptotische Entwicklungen von Funktionen 69
Holder, O., in Leipzig. Carl Neumann 1
Hölzer, R. -{-, Zur Theorie der primären Ringe 719
Hopf, H., in Berlin. Abbildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten . . 209 Hopf, H., in Berlin. Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten . . . 225 Hurewicz,W., in Amsterdam. Normalbereiche und Dimensionstheorie .... 736 Kaczmarz, St., in Lwow (Lemberg). Uber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen 148
Khintclline, A., in Moskau. Uber das Gesetz der großen Zahlen 152
Krauß, F., in Aachen. Differentialinvarianten, ausgezeichnete Feldgrößen und
Vektorübertragung 688
Kritikos, N., in Athen. Über konvexe Flächen und einschließende Kugeln . . 583 Menger, K., in Amsterdam. Über reguläre Baumkurven 572

EEBS sh
XX
X
IV Inhaltsverzeichnis.
Seite
Müntz, Cli. JH., in Berlin-Nikolassee. Zum Plateauschen Problem. Erwiderung
auf die vorstehende Note des Herrn Radó 597
Noether, E., in Göttingen. Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen
Zahl- und Funktionenkörpern 26
Ore, <)., in Oslo. Uber den Zusammenhang zwischen den definierenden Gleichungen
und der Idealtheoiie in algebraischen Körpern. (Erste Mitteilung) 313
Ratio, T., in Szeged (Ungarn). Bemerkungen zur Arbeit von Herrn Ch. H. Müntz
über das Plateausche Problem (Math. Annalen 94, S. 53—96) 587
Rubinowicz, A., in Lemberg. Zur Integration der Wellengleichung auf Rie-
mannschen Flächen 648
Sidon, S., in Budapest. Ein Satz über die absolute Konvergenz von Fourierreihen,
in denen sehr viele Glieder fehlen 418
SülJ, AV., in Kagoshima (Japan). Über affine Geometrie XL: Eiflächen konstanter
Affinbreite 251
Szegö, G., in Königsberg. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. (Auszug
aus einem Briefe an H. Bohr) 378
Szegö, G., in Königsberg. Koeffizientenabschätzungen bei ebenen und räumlichen
harmonischen Entwicklungen 601
van derWaerden, B. L., in Amsterdam. Zur Nullstellentheorie der Polynomideale 183
Walsh, J. L., in München. Über die Entwicklung einer analytischen Funktion
nach Polynomen 430
Walsli, J. Ii., in München. Über die Entwicklung einer Funktion einer komplexen
Veränderlichen naoh Polynomen 437
Wigert, S., in Stockholm. Sur une nouvelle fonction entière et son application
à la théorie des nombres 420
Wintiier, A., in Budapest. Über die Differentialgleichungen der Himmelsmechanik 284
Alfred Ackermann-Teubner-Gedächtnispreis 764
Berichtigung von Brouwer 488
Berichtigung von Alexandroff und Urysohn 511
Berichtigung von Mandelstam und Tamm 600
Berichtigung von Böhmer 735
§ 1
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Carl Neumann 1 ).
Von
Otto Holder in Leipzig.
Am 27. März 1925 wurde Carl Neumann im Alter von beinahe 93 Jahren der Wissenschaft entrissen. Seine Beteiligung an der Gründung und Redaktion der Mathematischen Annalen ist bereits besprochen worden (Bd. 94, S. 177). Eine Reihe seiner gedankenreichen, auf verschiedene Gebiete sich beziehenden Arbeiten ist in den Annalen, namentlich in deren ersten Bänden, veröffentlicht. Länger als andere hat er an der mathematischen Wissenschaft mitgebaut, und noch vor wenigen Jahren sind umfangreiche Abhandlungen von ihm erschienen, Früchte seines bewunderungswürdigen Fleißes, seiner nicht im höchsten Alter nachlassenden Arbeitskraft.
Carl Gottfried Neumann ist am 7. Mai 1832 als Sohn des berühmten Physikers und Mineralogen Franz Neumann in Königsberg geboren. Dort hat er seine Schulbildung erhalten, studiert und im Jahre 1856 promoviert. 1858 erwarb er sich die Venia legendi an der Universität Halle, wo er dann 1863 zum außerordentlichen Professor befördert wurde. In demselben Jahre wurde er als Ordinarius nach Base] berufen, von wo er 1865 nach Tübingen übersiedelte. Als dann in Leipzig Drobisch die Professur der Mathematik mit der der Philosophie vertauscht hatte, beantragte 1868 die Philosophische Fakultät eine Vermehrung der mathematischen Ordinariate und veranlaßte neben der Beförderung Scheibners zum ordentlichen Professor die Berufung Carl Neumanns nach Leipzig. Von da an hat Neumann hier seine eindrucksvolle und erfolgreiche Tätigkeit ausgeübt und zahllose Schüler ausgebildet, bis er am Anfang des Jahres 1911 in den Ruhestand trat.
So war Neumanns Leben äußerlich wenig bewegt. Trotz zahlreicher bedeutender Auszeichnungen, die ihm zuteil wurden, war er außerhalb der
*) Mit wenigen kleinen Änderungen abgedruckt aus den Berichten der math.' phys. Klasse der Sächsischen Akad. der Wissensch, zu Leipzig, Bd. 77.
Mathematische Annalen. 96. 1

2
0. Holder.
Kreise der Mathematiker und Physiker seinen Mitbürgern fast unbekannt. Die geschäftlichen, mit dem Universitätswesen verbundenen Angelegenheiten wußte er von sich abzuhalten, und so hat er auch keine Ehrenämter der Universität bekleidet. Er war der typische deutsche Professor alten Stiles, dem seine wissenschaftliche Arbeit die Hauptsache war; ja es bildete bei ihm diese Arbeit neben der Vorlesung — trotz der reichen sonstigen Interessen, die ihn bewegten — das einzige Feld seiner Tätigkeit. Nachdem noch der glückliche Ehebund, den er geschlossen hatte, im Jahre 1875 nach erst elfjähriger Dauer durch den Tod der Gattin gelöst worden war, lebte der Vereinsamte lange Zeit fast nur seiner geliebten Wissenschaft und seinen ihm in besonderer Anhänglichkeit verbundenen Scliülern. Erst in höheren Lebensjahren hat seine Schwester seinen Hausstand geteilt und ihm wieder ein behagliches Heim bereitet, in dessen anregender Atmosphäre manche von uns Kollegen schöne Stunden verlebt haben.
Neumanns wissenschaftliche Arbeiten haben sich, entsprechend seiner reichen Begabung und den mannigfaltigen Anregungen, die ihm seine Studienzeit gebracht hatte, auf verschiedenen Gebieten bewegt. Die physikalischen Interessen hatte ihm der Vater vererbt, doch lag die eigene Anlage mehr auf Seite des mathematischen, insbesondere des anschaulich mathematischen Denkens. Während der Königsberger Studienzeit hatte er jedenfalls von Hesse geometrische, von Richelot funktionentheoretische Anregungen erhalten. Seine Doktordissertation (Nr. 1) behandelt ein Spezial- problem der Mechanik, das mit hyperelliptischen Integralen gelöst wird, ist also funktionentheoretischer Art. Die Habilitationsschrift (Nr. 2) jedoch gehört der mathematischen Physik an und sucht von der magnetischen Drehung der Polarisationsebene des Lichtes eine Theorie zu geben. In Basel hat er die erste Auflage seines bekannten und viel benutzten Lehrbuchs über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale geschrieben (Nr. 17), in Tübingen in einer der Universität Bonn gewidmeten Gratulationsschrift der Universität die erste elektrodynamische Arbeit veröffentlicht (Nr. 26). Neben den Arbeiten in Funktionentheorie, in theoretischer Physik, insbesondere in der Elektrodynamik, hat ihn, und zwar vor allem anderen, die Theorie des Potentials und der damit in Zusammenhang stehenden Reihenentwicklungen beschäftigt. Auch hat Neumann sein ganzes Leben hindurch mechanische Aufgaben behandelt und förmlich mit den Grundlagen dieser Wissenschaft gerungen.
Es erscheint kaum möglich, Neumanns Leben in Perioden zu teilen, in denen er sich jedesmal nur mit einer Materie beschäftigt hätte. Ich werde deshalb seine Arbeiten nach den einzelnen Gebieten beschreiben.
Weitaus die glänzendsten von Neumanns dauernden Leistungen gehören der Potentialtheorie an, mit der ich deshalb den Anfang machen

Carl Neumann.
3
will. Die ersten Arbeiten betrafen Spezialaufgaben, die damals noch nicht oder nicht auf so einfache Weise gelöst waren. Er hat im Jahre 1861 die erste Randwertaufgabe der Potentialtheorie für die Kugel, die ursprünglich von Poisson mit Hilfe von Reihenentwicklungen gelöst worden war, auf eine besonders elegante Art behandelt (Nr. 7) 2 ). 1863 folgte dann die entsprechende Aufgabe für eine von zwei nichtkonzentrischen Ivugel- flächen begrenzte Schale (Nr. 11 u. 14) und 1864 mit Hilfe von neuartigen Reihenentwicklungen diejenige für einen ringförmigen Raum (Nr. 15). Eine andere, bereits im Jahre 1861 veröffentlichte Arbeit (Nr. 8) enthält allgemeinere Gesichtspunkte. Indem hier Neumann sich vorsetzt, eine der Laplaceschen Gleichung genügende Funktion von nur zwei Variablen zu studieren, betrachtet er erstmalig eine solche Potentialfunktion als die Wirkung einer „Belegung", eines mit gewissen fiktiven Eigenschaften behafteten Fluidums. Hier zeigt sich die Fruchtbarkeit von Neumanns geometrisch-physikalischer Phantasie. Indem er die fiktiven Massen in einer speziellen Verteilung annimmt, gelingt es ihm, ein Potential mit Niveaukurven von einem gewissen Typus zu erhalten und dadurch dann umgekehrt für Randkurven von diesem Typus die erste Randwertaufgabe des logarithmischen Potentials zu lösen, so etwa, wie es Euler gelungen war, gewisse Arten von Differentialgleichungen dadurch zu integrieren, daß er vorher gewisse Gleichungen, die noch Parameter enthalten, differentiiert und einen Parameter eliminiert hatte. Insbesondere löst Neumann liier auch die Randwertaufgabe für eine aus zwei konfokalen Ellipsen begrenzte Ringfläche. Eine in dieser Arbeit angestellte besondere Betrachtung ist von großer Wichtigkeit. Neumann zeigt (a. a. 0. S. 365), wie das Randwertproblem gelöst werden kann, wenn die Greensche Funktion des — hier als einfach zusammenhängend zu denkenden — Bereiches nur für eine einzige bestimmte Lage des Zentrums im Innern des Bereiches bekannt ist. Dabei enthält Neumanns Lösung des Problems, ohne daß es ihm übrigens damals bewußt war, implizite das jetzt sehr bekannte Verfahren der konformen Abbildung eines einfach zusammenhängenden Bereiches auf einen Kreis mit Hilfe der Greenschen und der mit dieser zusammen die Cauchy-Riemannschen Gleichungen befriedigenden Funktion. Riemann hatte in Art. 21 der Dissertation diesen Nachweis der Existenz der Abbildung geliefert. Riemanns Arbeiten waren aber damals Neumann noch unbekannt (vgl. Nr. 161, S. 245).
Eine im Jahre 1871 im 3. Bande der Mathematischen Annalen erschienene, bereits 1870, also ungefähr gleichzeitig mit den bekannten Ar-
2 ) Allerdings läßt sich die Lösung auch aus gewissen Ergebnissen, die W. Thomson im Jahre 1845 veröffentlicht hat, ohne Reihenentwicklungen ableiten.
1*

< : : T. jr" «5
4 0. Holder.
beiten von Schwarz, niedergeschriebene Abhandlung (Nr. 50) enthält neben gewissen Überlegungen über die vorauszusetzenden Stetigkeitsbedingungen die jetzt so geläufigen Schlüsse hinsichtlich des Verhaltens der inneren Werte des Potentials zur oberen und unteren Grenze der Randwerte auf Grund der Riemannschen Bemerkung, daß — beim nichtkonstanten Potential — im Innern kein Extremum vorkommen kann, ferner einen auf Grund des Fortsetzungsverfahrens der Potenzreihen geführten Beweis dafür, daß die Potentialfunktion, falls sie in einem Teil des zusammenhängenden Bereichs konstant ist, im ganzen Bereich konstant ist.
Nachdem Neumann dann noch andere Aufsätze zur Revision und Vervollständigung der Theorie des Potentials hatte erscheinen lassen, veröffentlichte er 1877 die „Untersuchungen über das logarithmische und Newtonsche Potential" (Nr. 77). In dieser Schrift ist das Potential, aufgefaßt als Wirkung einer Belegung sowohl für den räumlichen als für den ebenen Fall, systematisch untersucht unter beständiger Gegenüberstellung der auf drei und der auf zwei Variable sich beziehenden Sätze. Vor allem neu ist eine gründliche Untersuchung der Potentiale der sogenannten Doppelbelegungen, die im Anschluß an die aus der alten Theorie des Magnetismus hervorgegangene Vorstellung des Doppelpols zuerst von Helmholtz im Räume eingeführt worden waren. Das Potential einer Doppelbelegung vom Moment /u, die auf der Begrenzung eines ebenen Bereichs ausgebreitet gedacht ist, wird von Neumann im Anschluß an ein für den Raum von Gauß gegebenes Integral in die Form
(!) h l ( do )x
gebracht; dabei ist das Integral über jene Begrenzung zu erstrecken, und ( da) x bedeutet den Winkel, unter dem das Element do der Begrenzung vom Aufpunkt x aus erscheint. Das Integral (1) genügt als Funktion der rechtwinkligen Koordinaten des Aufpunktes der Laplaceschen Gleichung sowohl im Innern, als auch außerhalb des gedachten Bereiches, und es gestattet die benutzte geometrische Vorstellung, die Annäherungswerte des Potentials zu bestimmen für den Fall, daß man sich einem bestimmten Randpunkt, sei es von der inneren, sei es von der Außenseite des Bereichs her, annähert. Die Differenz des inneren und des äußeren Annäherungswertes ist gerade das 2 n- fache des Momentes ¡u der Doppelbelegung.
Die Theorie der Doppelbelegungen hat Neumann auf seine Lösung des 1. Randwertproblems der Potentialtheorie, die berühmte von ihm so genannte „Methode des arithmetischen Mittels" geführt. Der Gedanke geht auf das Jahr 1870 zurück, in dem Neumann eine Skizze der Methode (vgl. Nr. 43), allerdings ohne jeden Konvergenzbeweis, veröffentlicht hat. In den Untersuchungen von 1877 ist dieser Beweis nun im wesentlichen

Carl Neumann.
5
ausgeführt. Zum besseren Verständnis geht man am einfachsten vom Kreis aus. Auf der Peripherie seien die von den Peripheriepunkten stetig abhängenden Randwerte f gegeben. Denkt man sich jetzt eine Doppelbelegung so, daß dem Element do der Peripherie gerade dasjenige Moment ¡.i zukommt, das dem dort vorhandenen Randwerte f gleich ist, so stellt das obige Integral (1) im Innern des Kreises eine Potentialfunktion vor, die bei der Annäherung an einen Randpunkt s den Grenzwert
(2) 7ifx s + $[A.(do) s = jif{s) + $ (x{do) s
erhält. Vermöge des Satzes vom Peripherie- und Zentriwinkel im Kreise ist dies aber gleich
^/■(s) + |j* fi{da) 0 , falls unter O der Mittelpunkt des Kreises verstanden wird. Setzt man nun
v(do) 0 = M,
so kann man M als das arithmetische Mittel 3 ) der über die Kreisperipherie verstreuten Momente /i bezeichnen.
Das i -fache des Potentials (1) hat nun bei s den Grenzwert
71 V '
f(s) + M;
man braucht also nur noch die Konstante M zum Abzug zu bringen, um eine Potentialfunktion im Innern des Kreises zu erhalten, die am Rande in die vorgeschriebenen Werte f übergeht.
Ist nun statt des Kreises ein anderer Bereich vorgegeben, der aber dies ist eine unumgängliche Bedingung — konvex sein muß, und sind auf dessen Grenze wieder gewisse Randwerte f stetig verteilt, so kann man wiederum das Integral (1) bilden, das im Innern des Bereiches eine Potentialfunktion, d. h. eine der Laplaceschen Gleichung genügende Funktion vorstellt. Für die Annäherung an einen Randpunkt s gilt nun wieder wenn von Ecken abgesehen wird — die Formel (2). In dieser ist aber jetzt das zweite Glied
J l¿(do) a = nti
nicht mehr eine von der Lage des Punktes s unabhängige Größe, also nicht mehr ein längs des Randes konstanter Wert. Könnte man aber für das Innere des gegebenen Bereichs das Randwertproblem mit den Randwerten f. behandeln, so könnte man offenbar von dem --fachen der
JC
a ) Da hier (do) x als stets positiv angesehen werden kann, ist auch das —-fache
Jt
des Integrals (1) selbst ein Mittel aus den Werten (x.

6
0. Holder.
Formel (1) eine Potentialfunktion so zum Abzug bringen, daß die gestellte Aufgabe gelöst wäre. Nun stellt sich aber, falls der Bereich konvex und nicht „zweisternig" ist, heraus, daß die neue, auf die Werte f x sich beziehende Randwertaufgabe insofern ein einfacheres Problem vorstellt, als die Werte f x längs der Peripherie nur in einem Größenintervall veränderlich sind, das kleiner ist als das Größenintervall der f, und zwar ist jenes Intervall kleiner als das /t-fache dieses Intervalls, wobei X eine ein für allemal durch den Bereich allein bestimmte Konstante ist, die kleiner als 1 ist. Neumann nennt diese Konstante die Konfigurationskonstante des Bereichs.
Man kann nun offenbar für die Randwerte f 1 wieder dieselbe Betrachtung, die für die Randwerte f angestellt war, wiederholen und das Problem auf ein Randwertproblem mit gewissen Werten f 2 hinausschieben, wobei diese Werte nur in einem Intervall variieren, das kleiner oder gleich dem A 2 -fachen des Intervalls ist, in dem die Werte f variiert haben. Indem man so ohne Ende fortfährt, ergibt sich ein konvergenter Prozeß, der die Lösung der ursprünglich gestellten Aufgabe liefert.
Offenbar ist für das Verfahren unbedingt wesentlich, daß die genannte Konfigurationskonstante kleiner als 1 ist. Der hierfür in den Untersuchungen von 1877 gegebene Beweis ist nicht ohne Schwierigkeiten und hat ohne Zweifel auch Neumann selbst nicht befriedigt. In einer späteren Veröffentlichung vom Jahre 1887 (Nr. 114) hat er den Gegenstand wieder aufgenommen und, neben einer Reproduktion des alten, einen neuen, auf elementaren Anschauungen aufgebauten und völlig zwingenden Beweis für die Ungleichung X < 1 gegeben 4 ).
Die angeführten Betrachtungen werden für das Außengebiet des Bereichs — unter der Voraussetzung, daß noch eine Annahme für das Verhalten im Unendlichen gemacht ist — genau so durchgeführt, wie für das Innere, und es läßt sich das entsprechende Raumproblem in gleicher Weise wie das ebene behandeln. Nur die Beschränkung auf konvexe Bereiche, bzw. Körper, ist bei der Methode des arithmetischen Mittels wesentlich. Allerdings haben Poincaré, Korn und E. R. Neumann nachträglich beweisen können, daß die aus der Methode hervorgehenden Reihen auch für weit allgemeinere Bereiche gültig bleiben. Diese Beweise ziehen neue Hilfsmittel heran, sind auch ziemlich umständlich und nicht ohne Schwierigkeiten; die Methode des arithmetischen Mittels in dem engeren Sinne Neumanns reicht also doch zur Begründung der Existentialsätze bei allgemeineren Bereichen allein nicht aus. Zur Ergänzung wird man vielleicht am besten, wenn man nicht auf das Thomson-Dirichletsche Prinzip
4 ) Man vgl. auch die von Neumann auf S. 759 angefügte Anmerkung.

Carl Neumann.
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zurückgreifen will, dessen neuere Ausgestaltung hier nicht erörtert werden soll, die Verfahren benutzen, die Neumann als kombinatorisch, H. A. Schwarz als alternierend bezeichnet. Hinsichtlich der Durchführung dieser Verfahren, die von Neumann im 9. Kapitel der „Untersuchungen" besprochen sind, kommt Schwarz die Priorität zu. Es ist aber zu erwähnen, daß Neumann bereits im Jahr 1870, also gleichzeitig mit Schwarz, den Gedanken des Verfahrens gefaßt und veröffentlicht hat (Nr. 43) 5 ); auch findet sich bei Neumann noch eine Variante des Verfahrens, die statt der Verschmelzung von Gebieten solche Gebiete im Auge hat, die das Gemeinsame von zwei gegebenen Gebieten darstellen. Wesentlich ist natürlich, daß auf Grund von Neumanns Methode des arithmetischen Mittels bei den kombinatorischen Verfahren Gebiete zur Zusammensetzung verwendet werden können, die von nichtanalytischen Randkurven begrenzt sind. Eine Darstellung der kombinatorischen Verfahren und auch der Methode des arithmetischen Mittels hat Neumann auch in die zweite Auflage seiner Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale (1884, Nr. 105) hineingearbeitet, um die mit den Existentialsätzen der Potentialtheorie eng verbundenen Riemann- schen Existenztheoreme zu begründen.
Der Umstand, daß .Neumann in seinen Untersuchungen über die „Methode des arithmetischen Mittels" die beiderseitigen Randwerte des Potentials einer Doppelbelegung im Zusammenhang miteinander untersucht hat, veranlaßte Poincaré zu einer Verallgemeinerung des Problems. Poincaré sucht eine Doppelbelegung von der Art, daß zwischen den Randwerten der beiden Potentiale, die aus der einen Doppelbelegung im Innen- und Außenbereich hervorgehen, an jeder Stelle des Randes dieselbe lineare Verknüpfung gegeben ist. Dieses Neumann-Poincarésche Problem führt in ungesuchter Weise auf eine Reihenentwicklung nach den Potenzen eines Parameters. Diese Reihe wird vielfach, im Grunde nicht mit Recht, als Neumannsche Reihe bezeichnet. Das genannte verallgemeinerte Problem läßt sich aber auch als Integralgleichung formulieren. In diesem Sinne also leitet das Neumann-Poincarésche Problem in die berühmte Theorie der Integralgleichungen von Ivar Fredholm hinüber.
Hinsichtlich der Untersuchungen von 1877 ist noch zu bemerken, daß darin (S. 216) auch das zweite Randwertproblem bereits behandelt ist, bei dem nicht die Werte der zu bestimmenden Potentialfunktion, sondern die ihrer Ableitung nach der Normalen für die Randstellen gegeben sind. Die Methode des arithmetischen Mittels hat Neumann später (1896, Nr. 133) auf die Differentialgleichung A <p — u* <p übertragen. Es tritt
6 ) Bekanntlich ist der Grundgedanke des Verfahrens noch älter und geht auf Murphy zurück (vgl. Math. Enzyklop. Bd. II, A 7b, S. 499).

8
0. Holder.
dabei an Stelle der oben mit (do) x bezeichneten Größe, die durch die Ableitung nach der Normalen vom Logarithmus des reziproken Abstandes von X und ¿a (im Raum als Ableitung des reziproken Abstandes selber) darstellbar ist, die Ableitung nach der Normalen von einer etwas anderen Funktion der Entfernung ein.
Neumann ist noch in zahlreichen, z. T. umfangreichen Arbeiten auf allgemeine und spezielle Probleme der Potentialtheorie eingegangen. Es soll hier nur angeführt werden, daß er die Ableitungen der Greenschen Funktion am Rande des Bereiches (in Nr. 114, II, S. 662ff.) untersucht, insbesondere die Positivität der Ableitung nach der Normalen nachgewiesen hat. Besonders schön und auch folgenreich sind die von ihm entdeckten Beispiele und Spezialsätze. Seine Verallgemeinerung des Bobylew- schen Satzes ist ein spezielles Potentialtheorem, demzufolge zwei beliebig gestaltete Konduktoren mit Elektrizitätsmengen von einem solchen Verhältnis geladen werden können, daß die Wirkung des einen Konduktors auf den anderen nach einer vorgegebenen Richtung die Komponente Null ergibt (Nr. 91, S. 33). Ein anderer von Neumann gefundener Spezialsatz (Nr. 150, S. 278) lautet so: Die homogene materielle Ellipsenfläche ist, was ihre Wirkung (im Sinne des logarithmischen Potentials) auf äußere Punkte anbelangt, ersetzbar durch eine gewisse materielle Linie im Innern der Ellipse. Dieser Satz, den Neumann von der Ellipse auf deren Fußpunktkurven übertragen hat, und der gerade hier eine ganz besonders einfache Gestalt erhält, bildete den Keim für wichtige Untersuchungen anderer über die analytische Fortsetzung eines aus einer Belegung entsprungenen Potentials ins Innere des von der Belegung erfüllten Bereiches.
Die nach trigonometrischen, Kugel- und Zylinder-Funktionen fortschreitenden Reihen und die dazugehörigen Integrale, Gegenstände, die ja mit der Theorie des Potentials in nahem Zusammenhang stehen, haben Neumann viel beschäftigt. Bereits im Jahre 1862 hat er ausgehend von der Cauchyschen Integralformel die Entwicklung einer Funktion von imaginärem Argument nach Kugelfunktionen erhalten; es war dies wohl der erste Fall, in dem für eine nicht nach den Potenzen des Arguments fortschreitende Reihe ein Konvergenzgebiet in der komplexen Zahlenebene — ein von zwei konfokalen Ellipsen gebildeter Ring — nachgewiesen war (Nr. 9). In demselben Jahre hat Neumann in einer mathematisch-physikalischen Arbeit (Nr. 11) die Darstellung einer Funktion von zwei reellen Argumenten mit Hilfe von Zylinder- oder Besseischen Funktionen gegeben. Die gleiche Darstellung läßt sich, wie Neumann später gezeigt hat (Nr. 98), aus der Laplaceschen Entwicklung nach Kugelfunktionen dadurch herleiten, daß der Kugelradius unendlich groß gemacht wird.
1867 ließ Neumann eine Monographie über die Besseischen Funktionen

Carl Neumann.
9
erscheinen, in der er neben der Zusammenstellung älterer Ergebnisse eine erhebliche Bereicherung der formalen Theorie geliefert hat (Nr. 24). In einer anderen, gleichzeitig erschienenen Abhandlung (Nr. 21, 22) hat er die Theorie der Kugelfunktionen sehr elegant entwickelt und verallgemeinert.
Während in einem Teil der eben erwähnten Schriften die Konvergenzfragen nur unvollständig behandelt sind, hat Neumann 1881 eine zusammenhängende Darstellung aller dieser Funktionsentwicklungen veröffentlicht (Nr. 98), wobei die Konvergenztheoreme auf Grund des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung streng bewiesen werden. Für die Darstellung durch Besseische Funktionen ist damit zum erstenmal ein wirklicher Konvergenzbeweis gegeben worden, während der Nachweis für die nach Kugelfunktionen fortschreitenden Entwicklungen kurz vorher bereits von Dini nach dem Muster der klassischen Untersuchungen Dirichlets über die trigonometrischen Reihen geführt worden war. In einigen späteren Arbeiten hat Neumann die trigonometrischen Reihen von neuem in Betracht gezogen und dabei auch die Frage nach der Gleichmäßigkeit der Konvergenz dieser Reihen erörtert (Nr. 166, 175).
Wenn Neumanns Leistungen in der Funktionentheorie besprochen werden sollen, wird man stets zuerst an die Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale denken (Nr. 17 und 105). Diese „Vorlesungen" sind nie als solche gehalten worden"). Um so größer war aber die Wirkung des gedruckten Buches. Der ungeheure Nutzen dieses Werkes bestand darin, daß hierdurch die Mehrzahl der Mathematiker erst befähigt wurde, die Gedankenwelt von Riemann zu verstehen. Während bei Riemann die die Mehrdeutigkeit einer Funktion darstellende Fläche nur ziemlich allgemein geschildert ist als ein die komplexe Zahlenebene in mehreren Schichten überdeckendes, mit Windungspunkten versehenes Gebilde, nimmt Neumann von schlichten ebenen Flächenstücken seinen Ausgang, die klare und einfache Grenzen haben, an denen sie dann zusammengefügt werden» und baut so die Riemannsche Fläche wirklich auf. Der Zusammenhang einer solchen mehrblättrigen Windungsfläche wird nachher nicht bloß in Riemanns Weise durch Zerschneiden, sondern auch durch stetige Umformung untersucht. In klarer, ausführlicher Darstellung wird Schritt für Schritt vorwärts gegangen. Gerade dieses Buch, namentlich in der ersten Auflage (1865), zeigt Neumanns geometrisch anschauliche Auffassungsweise
6 ) Neumann hatte allerdings 1863 in Halle eine Vorlesung gehalten, die in die Riemannschen funktionentheoretischen Vorstellungen einführte, war aber dabei nur bis zur Umkehrung der elliptischen Integrale vorgedrungen (vgl. S. V in der 1. Auflage). In einer in demselben Jahre erschienenen Schrift hatte er ohne weitere Begründung Formeln für die Umkehrung der hyperelliptischen Integrale angegeben (Nr. 12).

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0. Holder.
im glänzendsten Lichte. Hinsichtlich der Bezeichnungsweise ist zu bemerken, daß Neumann in der ersten Auflage überall „stetig" sagt statt „regulär", und daß seine „Abelschen Integrale" hier nach der jetzt üblichen Bezeichnungsweise „hyperelliptische Integrale" sind. Die zweite Auflage (1884) enthält auch die allgemeinen Abelschen Integrale und die Lösung ihres Umkehrproblems, außerdem, wie schon oben erwähnt wurde, den Beweis der Riemannschen Existenztheoreme. Diese Existenztheoreme, die in der ersten Auflage keine besondere Rolle spielen"), hatte Neumann in einer besonderen, gleichfalls schon 1865 erschienenen Schrift (Nr. 16) auf Grund des Dirichletschen Prinzips behandelt, das dabei seinerseits die axiomatische Voraussetzung bildete.
Um von den eigenen Untersuchungen, die Neumann in die Vorlesungen hineingearbeitet hat, wenigstens etwas zu nennen, möge auf die in der zweiten Auflage behandelte Gleichung
aufmerksam gemacht werden. Neumann hat die Abhängigkeit der Wurzel z dieser Gleichung von der als variabel zu betrachtenden Größe c untersucht und sich dabei auf die Tatsache gestützt, daß das über die Begrenzung des fraglichen Bereichs erstreckte Integral
wenn f (z) in dem Bereich und auf seiner Grenze regulär ist, eine ganze Zahl sein und auf der andern Seite unter gewissen Bedingungen zugleich eine stetige Funktion von c und deshalb konstant sein muß s ).
Wie schon bemerkt wurde, hat sich Neumann vielfach mit Fragen der Mechanik abgegeben. Er hat für den kinematischen Satz, demzufolge ein starrer Körper durch eine Schraubenbewegung aus einer beliebig gegebenen ersten Lage in eine beliebig gegebene zweite Lage übergeführt werden kann, einen rein geometrischen Beweis geliefert (Nr. 36). In seiner Leipziger Antrittsrede (gedruckt 1870, Nr. 42) hat er sich den Grundlagen der Mechanik zugewandt. Neumann formuliert hier das Trägheitsgesetz für zwei Massenpunkte, von denen jeder sich selbst überlassen ist, so, daß zwar der Begriff der Gleichzeitigkeit, nicht aber die Vergleichbarkeit der Zeitstrecken vorausgesetzt ist. Die Zeitmessung läßt sich dann
') Hier hat Neumann einfach vorausgesetzt, daß die entsprechende Zahl unabhängiger, überall endlicher Integrale, d. h. unabhängiger Integrale erster Gattung existiert.
9 ) Weierstraß hat dieselbe Aufgabe auf Grund einer Entwicklung des Quotienten
f(z) = c
f'(z)
behandelt.
f(z)-c

Carl Neumann.
11
nachträglich auf Grund des Trägheitsgesetzes begründen. Neumann betont dabei besonders die der ganzen Auffassung zugrunde liegende Annahme, daß man sich im Raum ein ruhendes Koordinatensystem, auf das dann alle Bewegungen bezogen werden, denken darf. Wenn allerdings Neumann diese Annahme in die Form kleidet, daß an irgendeiner unbekannten Stelle des Weltraumes ein unbekannter starrer Körper „Alpha" vorhanden ist, in Beziehung auf den die sich selbst iiberlassenen Massenpunkte sich im Sinne des Trägheitsgesetzes bewegen, so liegt darin freilich eine gewisse Überspannung eines an sich wichtigen und richtigen Gedankens vor. Neumann ist auch später wieder auf die sogenannte absolute Bewegung und den Körper Alpha zurückgekommen (Nr. 145, 160) und hat sich dabei dann zweckmäßiger ausgedrückt. Bekanntlich können an Stelle der „Galilei-Newtonschen Theorie", welche von der Möglichkeit der absoluten Bewegung ausgeht, die bereits Huygens geleugnet hat. andere Annahmen treten. Es war aber ein Verdienst, auf die Notwendigkeit einer Annahme hingewiesen zu haben. Die von der absoluten Bewegung absehende Einsteinsche Relativitätstheorie macht gleichfalls Annahmen notwendig, die außerdem noch viel verwickelter sind.
Mehrere Arbeiten Neumanns (Nr. 34, 88, 107, 111), deren älteste in das Jahr 1869 zurückreicht, beschäftigen sich mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen, für das er — natürlich unter naheliegenden Annahmen — in gewissem Sinn Beweise gibt. Seine Betrachtungen haben Ähnlichkeit mit einer in der Mechanik von Sturm angestellten Uber- legung, beschränken sich aber auf ganz besondere Fälle, z. B. auf den Fall, in dem der Zwang des Systems durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten der n materiellen Punkte ausgedrückt wird, und auf einen Fall, in dem nur zwei materielle Punkte vorhanden sind.
Dieselbe Auffassung vom Prinzip der virtuellen Verschiebungen, als von etwas, was nicht völlig gesichert erscheint, hat wohl seine Herleitung des Hamiltonschen Prinzips in den „Grundzügen der analytischen Mechanik, insbesondere der Mechanik starrer Körper" (Nr. 113, I und II) beeinflußt. Das Hamiltonsche Prinzip wird hier nicht aus der Formel hergeleitet, die das d'Alembertsche Prinzip mit Rücksicht auf das Prinzip der virtuellen Verrückungen zum Ausdruck bringt, sondern es werden alle Zwangsbedingungen durch Kräfte ersetzt, und dann alle Teile des Systems wie freie Massenpunkte behandelt. Die Anwendung der Hamiltonschen Formel
(3) j(ÔT+ÔU)dt = 0
wird dann durch die Bemerkung möglich gemacht, daß die Kräfte, durch welche die Bedingungsgleichungen ersetzt worden sind, bei den den Bedingungsgleichungen entsprechenden Verschiebungen (Variationen) zu

12
0. Holder.
der Arbeit ôZJ Beiträge leisten, die sich gegenseitig aufheben. Neumann wendet nun diese Auffassung auf Probleme an, bei denen, nach der später von H. Hertz eingeführten Ausdrucksweise, nichtholonome Bedingungen vorliegen. Neumann hat es hier zum ersten Male klar ausgesprochen, daß im Falle solcher Bedingungen wohl die wirklich eintretende Bewegung und ebenso in jedem Momente die den Variationsakt darstellende „Ubergangsbewegung", nicht aber die durch das Variieren hervorgebrachte fingierte Bewegung, die mit der wirklichen zu vergleichen ist, den Bedingungen genügt. Trotz dieser Erkenntnis hat freilich Neumann durch die Art, wie er die Differentialgleichungen der rein rollenden Bewegung (ohne Gleiten) aus der Formel (3) herausgerechnet hat, einen logischen Fehler begangen, den er später (Nr. 137, S. 441), nachdem er darauf aufmerksam gemacht worden war, zurückgenommen hat, indem er den Ausdruck T der lebendigen Kraft des Systems zuerst mit Hilfe der nicht- holonomen Bedingungen vereinfacht und dann erst durch Variieren des vereinfachten Ausdrucks die Variation ô T berechnet hatte, was eben aus dem Grunde nicht statthaft ist, daß die fingierte (variierte) Bewegung von anderer Art ist und den nichtholonomen Bedingungsgleichungen nicht entspricht.
Eine sehr elegante kleine Arbeit Neumanns (Nr. 126) befaßt sich mit dem „Ostwaldschen Axiom des Energieumsatzes" und weist, allerdings unter der Voraussetzung, daß gewisse Größen höherer Ordnung ohne weiteres vernachlässigt werden dürfen, das mechaniche Analogon eines Prinzips nach, das sich dem Chemiker aus der Erfahrung seiner Wissenschaft aufgedrängt hatte.
Es muß erwähnt werden, daß Neumann sich auch mit der Mechanik der Flüssigkeiten beschäftigt hat. Sein Werk „Hydrodynamische Untersuchungen" (Nr. 103) nimmt die Schwierigkeiten zum Ausgangspunkt, die sich der Anwendung des Hamiltonschen Prinzips in den Weg stellen, wenn der von der Flüssigkeit eingenommene Raum ein mehrfach zusammenhängender ist. Neumann gelangt zu dem bemerkenswerten Ergebnis: „Enthält ein starrer Körper in seinem Innern einen mit inkompressibler Flüssigkeit erfüllten Hohlraum, so wird der Körper unter dem Einfluß gegebener äußerer Kräfte nach genau denselben Gesetzen wie ein gewöhnlicher massiver Körper sich bewegen, vorausgesetzt, daß der Hohlraum ein einfach zusammenhängender ist. Ist hingegen dieser Raum ein mehrfach zusammenhängender und die Flüssigkeit zu Anfang innerhalb dieses Raumes in Bewegung gesetzt, so werden die in Rede stehenden Gesetze wesentlich andere sein." Es werden in diesem Werke auch verschiedene Fälle der Bewegung von Kugeln in einer inkompressiblen Flüssigkeit behandelt.

Carl Neumann. 13
Es wurde schon erwähnt, daß Neumanns Habilitationsschrift (Nr. 2) eine Erklärung der magnetischen Drehung der Polarisationsebene des Lichtes versucht. Neumann hat dann im Jahre 1863 seine Untersuchung in einer kleinen Monographie weiter ausgeführt (Nr. 13). Die hier vorausgesetzte Lichttheorie ist, wie nicht anders zu erwarten, die elastische Wellentheorie des Äthers. Eine dem Weberschen Gesetz analoge Annahme über die Wirkung eines elektrischen Stromelements (der Magnet wird in bekannter Weise durch Ströme ersetzt gedacht) auf ein Ätherteilchen führt durch eine mathematische Entwicklung hindurch auf Gleichungen, von denen die Airyschen empirischen Gleichungen einen Spezialfall darstellen. Es ist noch zu erwähnen, daß am Schluß der Schrift zahlenmäßige Vergleiche mit — natürlich von anderen ausgeführten — Beobachtungen angestellt werden.
Von sonstigen physikalischen Schriften, soweit sie nicht die Elektrodynamik betreffen, die eine besondere Besprechung erheischt, möchte ich zunächst eine sehr frühe Arbeit nennen (1860, Nr. 4), welche von der Theorie der Elastizität, ausgehend vom Potentialbegriff, eine neue Begründung geliefert hat. Eine andere Abhandlung ist physikalisch-mineralogischen Inhalts (Nr. 10). Neumann zeigt hier, wie durch Winkelmessungen und durch Messungen des Volumens die thermischen Achsen der Kristalle und die thermischen Dilatationen in den Achsen ermittelt werden können. Eine dritte Abhandlung gehört wieder dem Gebiet der Optik an und entwickelt die Theorie der Doppelbrechung aus zwei Annahmen über die Einwirkung, der die Teilchen des Äthermediums in den Kristallen unterworfen sein sollen (Nr. 40). Zwei weitere Schriften haben hauptsächlich durch ihre Darstellungsweise einen bedeutenden pädagogischen Wert: Die elegante und einfache Herleitung der Gaußschen Sätze über die Haupt- und Brennpunkte eines Linsensystems (Nr. 19), die insofern noch etwas verallgemeinert werden, als eine beliebige Folge optischer Medien angenommen wird, und die „Vorlesungen über die mechanische Theorie der Wärme" (Nr. 65), die eine ausgezeichnete Zusammenfassung und Verarbeitung der Originalarbeiten von Carnot, Clausius, Mayer, Thomson usw. darstellt und zugleich noch besonders auf den von Franz Neumann in Königsberg gehaltenen Vorlesungen beruht.
Betrachten wir die bis jetzt besprochenen physikalischen Schriften, so ist ersichtlich, daß sich Neumann nicht nur mit der mathematischen Durchführung bestehender physikalischen Theorien abgegeben hat. Er hat auch selbständig nach Hypothesen gesucht, aus denen die Erscheinungen abgeleitet werden können, und die Folgerungen aus den Hypothesen mit experimentellen Tatsachen verglichen. In einem Fall hat er auch auf Grund von experimentellen Untersuchungen seines Vaters gewisse Erscheinungen der Metallreflexion und der totalen Reflexion auf geometrische

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0. Holder.
Regeln gebracht (Nr. 140); auch die Art, wie er aus den experimentellen Ergebnissen von Thomsen in Kopenhagen die spezifische Energie M(k) einer Mischung von Wasser mit Schwefelsäurehydrat vom Wassergehalt k bestimmt hat, ist entschieden bemerkenswert (Nr. 32).
Unter den physikalischen Arbeiten Neumanns nehmen die elektrodynamischen einen besonders großen Raum ein. Er hat sich frühzeitig mit diesem Gebiet beschäftigt und hat z. B. im Jahre 1876 betont (Nr. 71), daß er den kurz vorher von Kirchhoff veröffentlichten Satz, wonach das Gesetz des stationären elektrischen Strömungszustandes sich von einer gekrümmten — leitenden — Fläche auf eine andere, ihr in den kleinsten Teilchen ähnliche ohne weiteres übertragen läßt, bereits im Jahre 1863 entdeckt und in der Zwischenzeit auch in Seminarübungen vorgetragen habe.
Im Jahre 1868 hat Neumann in Tübingen in einer Gratulationsschrift zur 50 jährigen Jubelfeier der Universität Bonn eine neue elektrodynamische Theorie entwickelt. Der Grundgedanke ist dabei der, daß für die Wirkung einer elektrischen Masse auf eine andere ein Potential existieren müsse, das nicht allein von der relativen Lage, sondern auch von den Geschwindigkeiten der Massen abhängig, und daß das Hamiltonsche Prinzip auch auf solche Potentiale anwendbar sei. Für das Potential soll die Formel
gelten, in der ra und m 1 die beiden Massen, r ihren Abstand zur Zeit t und c die im Weberschen Gesetz vorkommende Konstante bedeutet (Nr. 26, 27, 29, 94).
Für die Formel (4) wird noch ein Unterbau gegeben, indem sie aus der Vorstellung abgeleitet wird, daß die eine Masse zur Zeit t 0 , zu welcher der Abstand der Massen gleich r„ ist, ein Potential —— emittiert, das
r .°. .
von der anderen Masse zu einer etwas späteren Zeit rezipiert wird, wobei c die Geschwindigkeit der „Transmission" bedeuten soll. Aus dieser Vorstellung, bzw. aus der Formel (4), wird dann das Webersche Gesetz gefolgert 9 ). Neumann hat nachher noch besonders darauf hingewiesen, daß die Geschwindigkeit c nicht etwa die Lichtgeschwindigkeit ist (Nr. 38). Es ist hier die bemerkenswert neue 10 ) Vorstellung eingeführt, daß die Ein-
0 ) Meines Erachtens ist allerdings unter den jetzt gemachten Annahmen die Beziehung zwischen der Kraft, welche die elektrischen Massen aufeinander ausüben, und dem Potential nicht völlig festgelegt; es hat auch Neumann selbst in einer späteren Veröffentlichung (Nr. 38) bemerkt, daß die Begründung der Formel (4) durch die eben erwähnten Vorstellungen als weniger sicher anzusehen sei als die Formel (4) selbst.
10 ) Riemanns eben dahin zielende Vorstellung ist erst später durch Hattendorfs Veröffentlichung bekannt geworden.

Carl Neumann.
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wirkung der einen elektrischen Masse auf die andere eine gewisse Zeit brauche, da aber von Wirkungen in den zwischenliegenden Stellen nicht die Rede ist, liegt trotzdem keine Feldtheorie im Sinne der Faraday- Maxwellschen Theorie vor.
Das Webersche Gesetz bildet den roten Faden, der sich durch eine Reihe von Abhandlungen Neumanns hindurchzieht. Bereits in seiner Tübinger Antrittsrede (1865, Nr. 18) hatte Neumann erklärt, daß sich alle Erscheinungen diesem Gesetze auf das Genaueste fügen. Es hatten aber inzwischen Thomson und Tait und später Helmholtz Einwände gegen das Webersche Gesetz in der Richtung erhoben, daß dieses Gesetz dem Prinzip der Erhaltung der Energie widerspreche. Neumann hat in verschiedenen Arbeiten (46, 47, 66, 74) diese Einwände.zu entkräften versucht und ist bei dieser Gelegenheit — auch hinsichtlich des Begriffs der konstanten Magnete, den Neumann im Gegensatz zu Helmholtz als den Gesetzen der Elektrodynamik widersprechend ansieht — in erhebliche Differenzen mit Helmholtz geraten. Im Grunde dürfte die das Webersche Gesetz betreffende Frage gegenwärtig kaum mehr von besonderem Interesse sein, da jetzt in der Elektrodynamik nicht nur das Webersche Gesetz, sondern überhaupt jede Fern wir kungstheorie gegenüber der Feldwirkungsvorstellung — mit oder ohne Relativitätstheorie — als aufgegeben erscheint.
Im Jahre 1873 hat Neumann den ersten Teil eines groß angelegten Werkes: „Die elektrischen Kräfte" veröffentlicht (Nr. 60). Es sollten die von Ampère, F. Neumann, Weber und Kirchhoff entwickelten Theorien dargelegt und zugleich erweitert werden. Der erste Teil beschäftigt sich nur mit den Theorien von Ampère und F. Neumann, und C. Neumann hat sich dabei hauptsächlich die Aufgabe gestellt, ein elektromotorisches Elementargesetz zu finden, das für geschlossene Ströme das F. Neumannsche Integralgesetz ergibt. Der zweite Teil des Werkes ist erst im Jahre 1898 erschienen (Nr. 135) und beschäftigt sich in Abänderung des ursprünglichen Planes hauptsächlich mit den von Helmholtz in seinen älteren und neueren Arbeiten angestellten Untersuchungen. Neumann setzt hier zuerst gewisse „Grundeigenschaften" voraus, womit — ähnlich wie bei einem rationellen Aufbau der Mechanik — Annahmen gemacht sind, die unbeweisbar sind, aber doch auf Grund der Erfahrung einigermaßen nahe liegen. Aus diesen Grundeigenschaften wird nun ein elektromotorisches und nachher ein pon- deromotorisches Elementargesetz entwickelt, wovon das erste noch sieben, das zweite noch vier vom Abstand der aufeinander einwirkenden Stromelemente abhängige unbekannte Funktionen enthält. Über diese Funktionen wird dann mit Hilfe der beiden F. Neumannschen Integralgesetze, mit Hilfe des Helmholtzschen Prinzips des vollständigen Differentials, des

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0. Holder.
Prinzips der Gleichheit von Aktion und Reaktion und noch einer anderen Helmholtzschen Annahme das Nähere ermittelt.
Im weiteren Verlauf dieses Teils werden dann die neueren Arbeiten von Helmholtz besprochen und das Helmholtzsche Minimalprinzip behandelt. Man sieht, daß auch der zweite Teil der „elektrischen Kräfte" im wesentlichen noch auf der Vorstellung der Fernwirkung beruht. Die Tendenz seiner Arbeit hat Neumann am Schluß der Einleitung sehr bescheiden so' ausgedrückt: „Wie dem auch sei, — für den weiteren Fortschritt der Wissenschaft dürfte es doch wohl nötig sein, von den bereits durch- schrittenen Wegen eine deutliche Ansschauung zu haben. Und das vorliegende Werk dürfte vielleicht dazu beitragen, die Erlangung einer solchen deutlichen Anschauung der bisherigen Wege ein wenig zu erleichtern." Hinsichtlich des Weberschen Gesetzes hat Neumann in diesem Werke den Standpunkt eingenommen, daß es an und für sich ein unvollständiges sei, das zu seiner Ergänzung noch irgendwelcher akzessorischer Annahmen bedürfe, z. B. einer Annahme über die Art und Weise, wie die auf die elektrische Materie ausgeübten Kräfte auf die ponderable Materie sich übertragen. Das Webersche Gesetz sei daher, eben infolge seiner Unvollständig- keit, ziemlich unangreifbar. Neumann spricht auch die Ansicht aus, daß die durch das Webersche Gesetz dargebotenen Perspektiven früher oder später von neuem aufzunehmen und weiter zu verfolgen seien.
Im Jahre 1896 erschienen Neumanns Untersuchungen über das Prinzip der Fernwirkungen (Nr. 133), welche hierher gehören, da sie sich zwar nicht ausschließlich auf die elektrischen Wirkungen beziehen, jedoch auf diese besondere Rücksicht nehmen. Der Grundgedanke ist der, daß Wirkungen mathematisch diskutiert werden, die sich nach einem anderen Gesetz als nach dem umgekehrten Quadrat der Entfernung bestimmen, wobei aber im allgemeinen daran festgehalten wird, daß, falls es sich um Elektrizität handelt, für ein beliebiges System von Konduktoren ein elektrisches Gleichgewicht möglich ist. Neumann findet, daß die hiermit verträglichen Gesetze in der Form
-ar p — ßr p-yt
<p(r) = A e — + jB i_ + C^+...
enthalten sind, wobei a,ß,y,... positive und die A, B, G, ... positive oder negative Konstante, aber von einerlei Vorzeichen bedeuten. Neumann nennt dieses Gesetz das „Exponentialgesetz".
Während so Neumann in fast allen seinen physikalischen Arbeiten vom Fernwirkungsprinzip ausgegangen war und der Faraday-Maxwellschen Theorie des elektromagnetischen Feldes gegenüber sich ziemlich kritisch verhalten hatte (vgl. z. B. Nr. 134, S. 612), fühlte er sich in höheren Jahren gedrungen, auch diese Theorie einer mathematischen Durcharbeitung zu

Carl Neumann.
17
unterziehen (Nr. 142, 144). Er hat dabei zugleich sein Augenmerk darauf gerichtet, für besondere Fälle aus der alten und der neuen Theorie solche Folgerungen zu ziehen, die einen wesentlichen Unterschied ergeben, in der Weise, daß dann eine Art von experimentum crucis den Entscheid zwischen den Theorien bringen könnte. Er hat die Theorien namentlich auf elektrostatische Probleme, auf solche der magnetischen Verteilung und auf solche der stationären elektromagnetischen Zustände in ruhender Substanz angewendet. In der Elektrostatik hat Neumann einen Unterschied zwischen den Theorien gefunden, wenn ein System von mehreren Körpern etwa von Luft umgeben gedacht ist und das System „ganz oder zum Teil aus Isolatoren besteht". Mir scheint, daß in diesem Falle das Faradaysche Experiment mit dem Kugelkondensator, das die Abhängigkeit der elektrischen Verteilung von der nichtleitenden Zwischensubstanz dartut, bereits für die neue Theorie entschieden hat. Bei der Untersuchung der stationären Zustände gibt Neumann an, in der Maxwellschen Theorie auf eine zunächst nicht zu beseitigende Schwierigkeit gestoßen zu sein.
Nebenbei mag bemerkt werden, daß Neumann auch verschiedene Werke seines Vaters herausgegeben hat. Franz Neumanns Beiträge zur Kristallonomie sind sogar vom Sohn in eine ganz neue Darstellung gebracht worden (Nr. 170).
Überblicken wir Carl Neumanns außerordentlich reiches wissenschaftliches Lebenswerk, so müssen wir die Vielseitigkeit und den ungeheuren Fleiß bewundern. Er war stets bestrebt, seine Darlegungen möglichst streng und vollständig zu gestalten, was ja auch aus der Ausführlichkeit der Darstellung hervorgeht. Er war aber vor allem ein Meister in der anschaulichen Auffassung und Darstellung der Probleme und Ergebnisse. Obwohl er nicht Geometer im eigentlichen Sinne des Wortes war, hat er sich doch vielfach mit rein geometrischen oder auch kinematischen Aufgaben beschäftigt und dabei überraschende, elegante Lösungen gefunden (Nr. 23, 39, 117, 139, 146, 176). Seine geometrische Erfindungsgabe hat ihn auch z. B. in der Potentialtheorie wundervolle Beispiele entdecken lassen, die ihn nachher in der Bewältigung der allgemeinen Probleme weiter gebracht haben. Zum Teil verdankt Neumann dem Umstand seine Erfolge, daß er sich früh darüber klar geworden ist, wie man spezielle und allgemeine Untersuchungen miteinander verbinden muß. Er hat sich im Vorwort zu seinen Untersuchungen über das logarithmische und Newton- sche Potential deutlich darüber ausgesprochen, indem er sagt: „Denn wer nur mit speziellen Untersuchungen beschäftigt ist, ohne zur rechten Zeit zu allgemeineren und höheren Gesichtspunkten sich zu erheben, wird bald die erforderliche Orientierung verlieren und dem Zufall preisgegeben sein; und wer umgekehrt das Spezielle verschmäht und nur im allgemeinen sich Mathematische Annalen. 96. 2

18
0. Holder.
bewegen will, wird bald die Mittel zum weiteren Fortschritt sich entschwinden sehen, und von unübersteiglichen Schwierigkeiten zu erzählen haben."
Dieser Grundsatz hat Neumann zu glänzenden Erfolgen geführt; viele werden noch aus seinem Lebenswerk Nutzen ziehen und durch dasselbe zu eigenen Arbeiten angeregt werden.
Verzeichnis der sämtlichen Schriften 11 ).
(Die selbständig erschienenen sind mit einem * gekennzeichnet.)
*1. 1856. De problomate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultra- ellipticorum classem revocatur, Regiomont., Typis Aoademicis Dalkows- kianis (Dissertation).
Explicare tentatur, quomodo fiat, ut lucis planum polarisationis per vires eléctricas vel magnéticas declinetur, Halis Sax., Typis Schmidtianis (Ha- b ilitationsschrif t).
Abdruck von Nr. 1, Journal f. Math. 56, S. 46.
Zur Theorie der Elastizität, ebenda 57, S. 281.
Geometrische Methode, um das Potential der von einer Kugel auf innere oder äußere Punkte ausgeübten Wirkung zu bestimmen, Poggendorffs Ann. der Phys. 109, S. 629.
Einfaches Gesetz für die Verteilung der Elektrizität auf einem Ellipsoid, ebenda 118, S. 506.
Lösung des allgemeinen Problems über den stationären Temperaturzustand einer homogenen Kugel ohne Hilfe von Reihenentwicklungen, nebst einigen Sätzen zur Theorie der Anziehung. Halle, bei H.W. Schmidt.
0 2 ä>
*2. 1858.
3. 1859.
4. 1860.
5.
6. 1861.
*7.
8.
1862.
10.
*11.
Uber die Integration der partiellen Differentialgleichung —— + ? = 0,
ox - oy-
Journal f. Math. 59, S. 335.
Über die Entwicklung einer Funktion mit imaginärem Argument nach den Kugelfunktionen erster und zweiter Art. Halle, H. W. Schmidt. Thermische Achsen der Krystalle des ein- und zweigliedrigen Systems, Pogg. Ann. 114, S. 492.
Allgemeine Lösung des Problems über den stationären Temperaturzustand eines homogenen Körpers, welcher von irgend zwei nichtkonzentrischen Kugelflächen begrenzt wird. Halle, H. W. Schmidt.
*12. 1863. Die Umkehrung der Abelschen Integrale, ebenda, Buchhdlg. d. Waisenhauses.
*13. Die magnetische Drehung der Polarisationsebene des Lichtes, ebenda.
14. Uber das Gleichgewicht der Wärme und das der Elektrizität in einem
Körper, welcher von zwei nicht konzentrischen Kugelflächen begrenzt wird, Journal f. Math. 62, S. 36.
*15. 1864. Theorie der Elektrizitäts- und Wärmeverteilung in einem Ringe. Halle, Buchhdlg. d. Waisenhauses.
11 ) Herr Ernst Richard Neumann war so freundlich, meine Liste in einigen Punkten zu ergänzen, so daß sie vermutlich jetzt vollständig sein wird.

Carl Neumann.
19
*16. 1865. Das Dirichletsche Prinzip in seiner Anwendung auf die Riemannschen Flächen. Leipzig bei B. G. Teubner.
*17. Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, ebenda
(2. Aufl. s. Nr. 105).
*18. Der gegenwärtige Standpunkt der mathematischen Physik (Rede). Tübingen,
Lauppsche Buchhdlg.
*19. 1866. Die Haupt- und Brennpunkte eines Linsensystems. Leipzig, Teubner.
20. 12 ) Über die Hamiltonsche partielle Differentialgleichung mit besonderer Rücksieht auf die Probleme der relativen Bewegung, Zeitschr. f. Math, u. Phys. 11, S. 265.
*21. Über die Theorie der Kugelfunktionen (Programm). Tübingen, gedr. bei
Laupp.
22. 1867. Kurzer Abriß einer Theorie der Kugelfunktionen und Ultrakugelfunktionen,
Schlömilchs Zeitschr. f. Math. u. Phys. 12, S. 97 (Abdruck von 21).
23. Über den Krümmungsschwerpunkt algebraischer Kurven und Flächen, ebenda S. 172, 425, 426.
*24. Theorie der Besseischen Funktionen, ein Analogon zur Theorie der
Kugelfunktionen. Leipzig, Teubner.
25. Entwicklung beliebiger Funktionen nach Besseischen Funktionen, Journal
f. Math. 67, S. 310.
*26. 1868. Die Prinzipien der Elektrodynamik, eine mathematische Untersuchung (Gratulationsschrift der Univ. Tübingen an die Univ. Bonn). Tübingen, gedr. bei Laupp.
27. Resultate einer Untersuchung über die Prinzipien der Elektrodynamik, Gött. Nachr. S. 223.
28. Sul baricentro di curvatura delle curve algebriche, delle superficie alge- briche, Annali di matemática (2), 1, S. 280, 283 (vgl. Nr. 23).
29. 1868/69. Theoria nova phaenomenis electricis applicanda, ebenda 2, S. 120.
30. 1869. Über eine Erweiterung desjenigen Satzes der Integralrechnung, welcher
die Theorie der Partialbruchzerlegungen zugrunde liegt, Gött. Nachr. S. 9.
31. Untersuchungen über die Bewegung eines Systems starrer Körper, Ber. 13 ) 21, S. 132.
32. Uber die mechanische Energie der Schwefelsäure, ebenda S. 213.
33. Uber die Entwicklung einer Funktion nach Quadraten und Produkten der Fourier-Besseischen Funktionen, mit 2 Textfiguren, ebenda S. 221.
34. Über den Satz der virtuellen Verrückung, ebenda S. 257.
35. Oszillatorische Entladung einer Franklinschen Tafel, Gött. Nachr. S. 17.
36. Geometrische Untersuchung über die Bewegung eines starren Körpers, Math. Ann. 1, S. 195.
37. Zur Theorie der Funktionaldeterminanten, ebenda S. 208.
38. Notizen zu einer kürzlich erschienenen Schrift über die Prinzipien der Elektrodynamik, ebenda S. 317.
39. Notiz über das zykloidische Pendel, ebenda S. 507.
40. Über die Ätherbewegung in Krystallen, ebenda S. 335.
12 ) Diese Arbeit war bereits 1862 in einem russischen Journal erschienen (vgl. den Schluß der Abhandlung).
13 ) Die Berichte der Sächsischen Gesellschaft (später Akademie) der Wissenschaften, mathematisch-physische Klasse, sollen kurz mit „Ber." angegeben werden.
2*

K&aue&mt
20
0. Holder.
41. 1870. *42.
43.
44.
45.
46. 1871.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53. 1872.
54.
55.
56. 1873.
57.
58.
59.
*60.
61. 1874.
62.
Nachtrag dazu, ebenda 2, S. 182.
Über die Prinzipien der Galilei-Newtonsohen Theorie (Leipziger Antrittsrede). Leipzig, Teubner.
Zur Theorie des logarithmischen und des Newtonschen Potentiales, Ber. 22, S. 49 ff., zweite Mitteilung S. 264 ff.
Uber Produkte und Quadrate der Besseischen Funktionen (Notiz über die Resultate einer Abhandlung in den Berichten der K. Sachs. Ges. d. W íbs ., Jahrg. 1869, S. 221), Math. Ann. 2, S. 192.
Zur Theorie des Potentiales, ebenda S. 514.
Elektrodynamische Untersuchungen mit besonderer Rücksicht auf das Prinzip der Energie, Ber. 23, S. 386.
Über die von Helmholtz in die Theorie der elektrischen Vorgänge eingeführten Prämissen, mit besonderer Rücksicht auf das Prinzip der Energie, ebenda S. 450.
Revision einiger allgemeiner Sätze aus der Theorie des logarithmischen Potentials, Math. Ann. 3, S. 325.
Abdruck von Nr. 31, ebenda S. 350.
Revision einiger allgemeiner Sätze aus der Theorie des Newtonschen Potentials, ebenda S. 424.
Abdruck von Nr. 33, ebenda S. 581.
Notiz über die elliptischen und hyperelliptischen Integrale, ebenda S. 611. Über die Elementargesetze der Kräfte elektrodynamischen Ursprungs (in etwas veränderter Form abgedruckt aus den Ber. d. K. Sächs. Ges. d. Wiss. 1872), ebenda 5, S. 602.
Vorläufige Konjektur über die Ursachen der thermoelektrischen Ströme, Ber. 24, S. 49.
Uber das Elementargesetz derjenigen elektromotorischen Kräfte, welche in einem gegebenen Konduktor hervorgebracht werden durch elektrische Ströme, sei es, daß dieße Ströme in demselben Konduktor, sei es, daß sie in irgendeinem anderen gegen jenen eich bewegenden Konduktor stattfinden, ebenda S. 144.
Über die den Kräften elektrodynamischen Ursprungs zuzuschreibenden Elementargesetze, Abh. 14 ) 10, S. 417.
Über gewisse von Helmholtz für die Magnetoinduktion und Voltainduk- tion aufgestellte Formeln, Math. Ann. 6, S. 342.
Notiz zu dem Aufsatz: Über die Elementargesetze der Kräfte elektrodynamischen Ursprungs (5, S. 602), ebenda S. 350.
Uber die theoretische Behandlung der sogenannten konstanten Magnete, ebenda 6, S. 330.
Die elektrischen Kräfte, Darlegung und Erweiterung der von Ampère, F. Neumann, W. Weber und G. Kirchhoff entwickelten mathematischen Theorien. Erster Teil. Leipzig, Teubner.
Über die Helmholtzsche Konstante k, mit einer Textfigur, Ber. 26, S. 132. Über das von Weber für die elektrischen Kräfte aufgestellte Gesetz, mit drei Textfiguren, Abh. 11, S. 77.
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||
14 ) Die Abhandlungen der Sächsischen Gesellschaft (später Akademie) der Wissenschaften, mathematisch-physische Klasse, sind kurz mit „Abh." angegeben. Die Abhandlung Nr. 56 ist auch in dem Nuovo Cimento erschienen.

Carl Neumann.
21
63. 1875. Daß Webersche Gesetz und seine Anwendung auf Gleitstellen, mit zwei
Textfiguren, Ber. 27, S. 1.
64. Allgemeine Betrachtungen über das Webersche Gesetz (Auszug aus den Abh. d. K. Sachs. Ges. d. Wiss. 1874, S. 79), Math. Ann. 8, S. 555.
*65. Vorlesungen über die mechanische Theorie der Wärme. Leipzig, Teubner.
66. Die Einwände gegen das Webersche Gesetz, Pogg. Ann. 155, S. 211.
67. 1876. Die Anzahl der elektrischen Materien, ebenda 159, S. 301.
68. Das Webersche Gesetz bei Zugrundelegung der unitarischen Anschauungsweise, mit einer Textfigur, Abh. 11, S. 621.
69. Zwei Sätze über korrespondierende Flächenelemente, Ber. 28, S. 253.
70. Uber das Ampèresche Gesetz, ebenda S. 256.
71. Über den stationären elektrischen Strömungszustand in einer gekrümmten leitenden Fläche, Math. Ann. 10, S. 569.
72. 1877. Abdruck von Nr. 69, ebenda 11, S. 306.
73. 15 ) Abdruck von Nr. 70, ebenda S. 309.
74. 16 ) Uber die gegen das Webersche Gesetz erhobenen Einwände, ebenda S. 318.
75. Die Zerlegung und Zusammensetzung der unendlich kleinen Bewegungen eines starren Körpers als Hilfsmittel bei Aufstellung der dynamischen Differentialgleichungen, ebenda S. 379.
76. Abdruck von Nr. 43, ebenda S. 558.
*77. Untersuchungen über das Logarithmische und Newtonsche Potential.
Leipzig, Teubner.
78. Über die peripolaren Koordinaten, Ber. 29, S. 134.
79. Zur Theorie der konformen Abbildung einer ebenen Fläche auf eine Kreisfläche, ebenda S. 154.
80. 1878. Neue Methode zur Reduktion gewisser Potentialaufgaben, mit drei Textfiguren, ebenda 30, S. 1.
81. Über zwei von Green gegebene Formeln, ebenda S. 10.
82. Über die Zusammensetzung der nach dem Weberschen Gesetz sich ergebenden Beschleunigungen, mit einer Textfigur, ebenda S. 12.
83. Neumanns Untersuchungen über das Logarithmische und Newtonsche Potential (Leipzig 1877), Referat des Verfassers, Math. Ann. 13, S. 255.
84. Abdruck von Nr. 82, ebenda S. 571.
85. Abdruck von Nr. 79, ebenda S. 573.
86. Entwicklung nach Elementarpotentialen, Ber. 30, S. 47.
87. 1879. Abdruck von Nr. 83, Repertorium von Koenigsberger und Zeuner 2, S. 108.
88. Über das Prinzip der virtuellen oder fakultativen Verrückungen, mit vier Textfiguren, Ber. 31, S. 53.
89. 1880. Die Verteilung der Elektrizität auf eine Kugelkalotte, mit acht Textfiguren, Abh. 12, S. 399.
90. Uber die peripolaren Koordinaten, mit sechs Textfiguren, ebenda S. 363.
91. Verallgemeinerung des Bobylewschen Satzes, mit einer Textfigur, Ber. 32, S. 22.
92. über das Webersche Gesetz, ebenda S. 35.
93. Uber die Brechung eines unendlich dünnen regulären Strahlenbündels, mit sechs Textfiguren, ebenda S. 42.
1B ) Titel von Nr. 73: Über die Zuverlässigkeit des Ampèreschen Gesetzes. Nr. 73 u. 74 sind auch separat bei Teubner erschienen.

22
0. Holder.
94. Neue Sätze über das Logarithmische Potential, Math. Ann. 16, S. 409.
95. Neue Sätze über das Newtonsehe Potential, ebenda S. 432.
96. Abdruck von Nr. 26, ebenda 17, S. 400.
97. 1881. Uber die Mehlerschen Kegelfunktionen und deren Anwendung auf elektrostatische Probleme, ebenda 18, S. 195.
*98. Über die nach Kreis-, Kugel- und Zylinderfunktionen fortschreitenden
Entwicklungen, unter durchgängiger Anwendung des du Bois-Reymond- schen Mittelwertsatzes. Leipzig, Teubner.
99. Über zwei von G. Cantor und P. du Bois-Reymond über die trigonometrischen Reihen aufgestellte Sätze und deren Übertragung auf solche Reihen, die nach Kugelfunktionen fortschreiten, mit drei Textfiguren, Ber. 33, S. 1.
100. 1883. Fortsetzung und Berichtigung hierzu, ebenda 35, S. 18.
101. Über eine neue und einfache Methode zur Untersuchung der Stetigkeit, respektive Unstetigkeit mehrdeutiger Punktionen, ebenda S. 85.
102. Über das Verschwinden der Thetafunktionen, ebenda S. 99.
*103. Hydrodynamische Untersuchungen. Mit einem Anhange über Probleme
der Elektrostatik und der magnetischen Induktion. Leipzig, Teubner. 104. Uber eine gewisse Erweiterung des Cantorschen Satzes, Math. Ann. 22,
S. 406.
*105. 1884. Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, 2. Aufl., Leipzig, Teubner.
106. 1885. Über die rollende Bewegung eines Körpers auf einer gegebenen Horizontalebene unter dem Einfluß der Schwere, mit 2 Textfiguren, Ber. 37, S. 352.
107. 1886. Uber eine einfaohe Methode zur Begründung des Prinzips der virtuellen
Verrückungen, ebenda 38, S. 70.
108. Über gewisse partikulare Integrale der Differentialgleichung AF=F, insbesondere über die Entwicklung dieser partikularen Integrale nach Kugelfunktionen, ebenda S. 75.
109. Ausdehnung der Kepplerschen Gesetze auf den Fall, daß die Bewegung auf einer Kugelfläche stattfindet, ebenda S. 1.
110. Abdruck von 106, Math. Ann. 27, S. 478.
111. Abdruck von 107, ebenda S. 502.
112. Über die Kugelfunktionen P n und Q n , insbesondere über die Entwicklung der Ausdrücke
Pn + yi-£ 2 l'l -?i COS <¡>) und §„(fí 1 + yi-C 2 ( l-íi0oa f í) nach den Cosinus der Vielfachen von <I>. Mit 6 Textfiguren. Sep. 16 ), Abh. 13, S. 401.
113.1887/88.Grundzüge der analytischen Mechanik, insbesondere der Mechanik starrer Körper. I. Ber. 39, S. 153, II. mit 5 Textfiguren, ebenda 40, S. 22.
114. Uber die Methode des arithmetischen Mittels, I. mit 11 Textfiguren, Abh. 13, S. 705, II. mit 19 Textfiguren, ebenda 14, S. 563.
115. 1888. Über die Stetigkeit mehrdeutiger Punktionen, Ber. 40, S. 120.
116. Über das Verhalten der Greenschen Funktion an der Grenze ihres Gebietes, ebenda S. 163.
16 ) Sep. bedeutet, daß die Abhandlung separat in dem angegebenen Jahre erschienen ist, während der Band der Abh. ein späteres Erscheinungsjahr trägt.

Carl Neumann.
23
Über das Malfattische Problem, mit 1 Textfigur, ebenda 41, S. 22.
Neue Sätze über das elektrostatische und über das magnetische Potential, ebenda 42, S. 88.
Über einige Fundamentalsätze der Potentialtheorie, ebenda S. 327. Bemerkungen zur mechanischen Theorie der Wärme, mit 5 Textfiguren, ebenda 43, S. 75.
Ein merkwürdiger Satz im Gebiete der Hydrodynamik, ebenda S. 567. Uber stationäre elektrische Flächenströme, ebenda S. 571.
Einfacher Beweis eines F. Neumannschen Satzes, Jahresber. d. deutsch. Math.-Ver. 1, S. 26.
Über einen eigentümlichen Fall elektrodynamischer Induktion, mit 1 Text- figur, Abh. 18, S. 65.
Analogien zwischen Hydrodynamik und Elektrodynamik, Ber. 44, S. 86. Das Ostwaldsche Axiom des Energieumsatzes, ebenda S. 184.
Beiträge zu einzelnen Teilen der mathematischen Physik. Leipzig, Teubner. Zur Theorie des Magnetismus, vorläufige Mitteilung, Ber. 45, S. 429.
Über die Bewegung der Wärme in kompressiblen oder auch inkom- pressiblen Flüssigkeiten, ebenda 46, S. 1.
Über das Newtonsche Gesetz, ebenda S. 279.
Über einen Ersatz des Dirichletschen Prinzips für gewisse Fälle, ebenda 47, S. 185.
Über die elektrodynamischen Elementarwirkungen, ebenda 48, S. 221. Allgemeine Untersuchungen über das Newtonsche Prinzip der Fernwirkungen. Leipzig, Teubner.
Die Anwendung des Hamiltonschen Prinzips in der Hydrodynamik und Aerodynamik, Ber. 49, S. 611.
Die elektrischen Kräfte, Darlegung und genauere Betrachtung der von hervorragenden Physikern entwickelten mathematischen Theorien, 2. Teil. Leipzig, Teubner.
Worte zum Gedächtnis an Wilhelm Hankel, Ber. 51, S. LXH.
Beiträge zur analytischen Mechanik, ebenda S. 371.
Über die Methode des arithmetischen Mittels, insbesondere über die Vervollkommnungen, welche die betreffenden Poincaréschen Untersuchungen in letzter Zeit durch die Arbeiten von A. Korn und E. R. Neumann erhalten haben. Math. Ann. 54, S. 1.
Über eine neue Methode zum Beweise der sogenannten Schließunga- theoreme, Ber. 53, S. 319.
Über Metallreflexion und über totale Reflexion, mit 1 Textfigur, ebenda 54, S. 92.
141. Beiträge zur analytischen Mechanik, zweite und dritte Abhandlung, mit 3 Textfiguren, ebenda S. 333.
142. Uber die Maxwell-Hertzsche Theorie, mit 3 Textfiguren, Abh. 27, S. 211; zweite Abhandlung, mit 3 Textfiguren, ebenda S. 753.
143 1! ). 1903. Über eine gewisse Gattung von Kugelflächen-Integralen, Ber. 55, S. 264. 144. 1904. Über die Maxwell-Hertzsche Theorie, dritte Abhandlung, mit 3 Textfiguren, Abh. 28, S. 75.
117.
1889.
118.
1890.
119.
120.
1891.
121.
122.
123.1891/92.
124.
1892.
125.
126.
*127.
1893.
128.
129.
1894.
130.
131.
1895.
132.
1896.
*133.
134.
1897.
*135.
1898.
136.
1899.
137.
138.
1901.
139.
140.
1902.
17 ) Von dieser Arbeit ist 1904 in Prace matematyczno-fizyczne (Warschau) 15, eine Übersetzung erschienen.

24
0. Holder.
145. Über die sogenannte absolute Bewegung, Boltzmann-Festschr. S. 252.
146. Über die Hervorbringung der Kettenlinie durch Biegung einer Kreisfläche, Ber. 5fi, S. 13.
147. Über Funktionen, die von drei reellen Argumenten abhängen, ebenda S. 5.
148. 1906. Über zwei inkongruente Polyeder, ebenda 58, S. 471.
149. Über das logarithmische Potential, ebenda S. 483.
150. 1907. Über das logarithmische Potential einer gewissen Ovalfläche, ebenda 59,
S ..278..
151. 1908. Über das logarithmische Potential einer gewissen Ovalfläche, zweite Abhandlung, ebenda 60, S. 53, dritte Abhandlung, S. 240.
152. Einige Äußerungen C. G. J. Jacobis über die Prinzipien der analytischen Mechanik, ebenda S. 80.
153. Über die Entwicklung der Potenzen der reziproken Entfernung zweier Punkte nach Kugelfunktionen, ebenda S. 269.
154. Nekrolog auf Wilhelm Scheibner, gesprochen in der öffentlichen Gesamtsitzung beider Klassen vom 14. November 1908, ebenda S. 375.
155. 1909. Zur Theorie des logarithmischen Potentials, Aufsatz I, ebenda S. 156.
156. Über, das logarithmische Potential einer gewissen Ovalfläche, mit 6 Figuren im Text, Abh. 81, S. 31.
157. Über einige Reihenentwicklungen, die nach Produkten von Kugelfunktionen fortschreiten, Journ. f. Math. 135, S. 157.
158. 1910. Über den Körper Alpha, Ber. 62, S. 69.
159. Zur Theorie des logarithmischen Potentials, Aufsatz II, mit 6 Figuren im Text, ebenda S. 87; Aufsatz III, mit 2 Figuren im Text, S. 278; Auf satz IV, mit 14 Figuren im Text, S. 307; Aufsatz V (Erweiterung der Dürllschen Methode), S. 368.
160. Nachtrag zu dem Aufsatz über den Körper Alpha, ebenda S. 383.
161. 1911. Zur Theorie des logarithmischen Potentials, Aufsatz VI, ebenda 63, S. 226;
Aufsatz VII (Über das Riemannsche Abbildungsproblem), S. 240; Aufsatz VIII (Über die Fourierschen Reihen), mit 2 Figuren im Text, S. 407.
162. 1912. Zur Theorie des logarithmischen Potentials, Aufsatz IX (Über die Fourierschen Reihen), ebenda 64, S. 115; Aufsatz X (Die Kreisbogenaufgabe), mit 3 Figuren im Text, S. 273; Aufsatz XI (Fortsetzung), mit 1 Figur im Text, S. 340.
163. Einige elementare Sätze über periodische Funktionen, ebenda S. 120.
164. 1913. Zur Theorie deB logarithmischen Potentials, Aufsatz XII (Integraldarstellung von Funktionen), mit 3 Figuren im Text, ebenda 65, S. 144.
165. Zur Theorie der Fourierschen Reihen, ebenda S. 197.
166. 1914. Über die Dirichletsche Theorie der Fouriersehen Reihen, ein Versuch,
die Dirichletsche Theorie so umzugestalten, daß sie Auskunft gibt nicht nur über die Gleichwertigkeit zwischen der gegebenen Funktion und der ihr entsprechenden Reihe sowie über die Konvergenz der Reihe, sondern auch über die Gleichmäßigkeit dieser Konvergenz. Sep., Abh. 33, S. 117.
167. 1915. Das allgemeine Cauchysche Theorem
F (z°)
1 C F(z) da 2 ni J z — z°
in seiner Anwendung auf die Kreisbogenaufgabe, mit 2 Figuren im Text, ebenda 66, S. 160.

Carl Neumann.
25
168. Zur Theorie der Äquipotentialität, Ber. 67, S. 188.
169. 1916. Das allgemeine Cauchysche Theorem, ebenda 68, S. 8.
170. Franz Neumanns Beiträge zur Krystallonomie aus den Jahren 1823 und 1826, ein Versuch, den wesentlichen Inhalt dieser vor fast 100 Jahren erschienenen fundamentalen Schriften in übersichtlicher und lückenloser Weise darzustellen. Sep., Abh. 33, S. 195.
171. 1917. Über die Integralformel der Randwertaufgaben, Ber. 69, S. 454.
172. 1919. Über die von Franz Neumann gegebene Begründung des Hauysohen
Gesetzes, mit 14 Textfiguren, Ber. 71, S. 35.
173. Über die von Franz Neumann im Jahre 1823 gegebene Projektionsmethode, mit 12 Figuren im Text, ebenda S. 313.
174. 1920. Beiträge zum Studium der Randwertaufgaben, Abh. 35, S. 369.
175. 1921. Eine Modifikation der von Dirichlet im Jahre 1829 gegebenen Theorie,
Ber. 73, S. 201.
176. 1924. Neue Aufgaben und Sätze aus der Geometrie, Zeitschr. f. math. u. natur-
wiss. Unterricht 55, S. 85.
(Eingegangen am 26. 1. 1926.)

Abstrakter Aufbau der Idealtlieorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern.
Von
Emmy Noether in Göttingen.
Im folgenden wird eine abstrakte Charakterisierung all derjenigen Ringe gegeben, deren Idealtheorie übereinstimmt mit der Idealtheorie aller ganzen Größen des algebraischen Zahlkörpers — deren Ideale sich also eindeutig als Potenzprodukte von Primidealen darstellen lassen. Zu diesen Ringen gehören als bekannteste Beispiele noch der Ring aller ganzen Größen eines algebraischen Funktionenkörpers von einer Unbestimmten — allgemeiner von mehr Unbestimmten, sobald man sich mit Kronecker auf Ideale höchster Dimension beschränkt, also den Übergang zu einem gewissen Quotientenring, dem Funktionalbereich, macht.
Die Axiome, die dieser Idealtheorie vollständig äquivalent sind, sind für den zugrunde gelegten kommutativen Ring die folgenden 1 ):
I. Teilerkettensatz: Jede Kette von Idealen, bei der jedes Ideal ein echter Teiler des vorangehenden ist, bricht im Endlichen ab — m. a. W. : zu jeder Teilerkette von Idealen gibt es einen Index, von dem an alle Ideale gleich werden.
II. Vielfachen-Kettensatz modulo jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal: Jede Kette von Idealen — die sämtlich Teiler eines festen, vom Nullideal verschiedenen Ideals sind —, bei der jedes Ideal ein echtes Vielfaches des vorangehenden ist, bricht im Endlichen ab.
III. Existenz des Einheitselementes der Multiplikation.
IV. Ring ohne Nullteiler.
*) Fiir die Definition der Grundbegriffe der Idealtheorie vgl. etwa E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann. 83 (1921), S. 24 — 66 (zitiert Idealtheorie). Übrigens werden die wesentlichsten Begriffe auch in der vorliegenden Arbeit, besonders in §§ 1, 4 und 5, kurz formuliert. Der Vollständigkeit halber ist dabei manches aufgenommen, was für die unmittelbaren Zwecke dieser Arbeit nicht erforderlich ist

E. Noether. Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
27
V. Ganze Abgeschlossenheit im Quotientenkörper: Jedes Element des Quotientenkörpers, das ganz in bezug auf den Ring ist, gehört dem Ring an.
Aus diesen Axiomen entwickle ich schrittweise eine immer stärker eingeschränkte Idealtheorie bis hin zu der gesuchten; und zeige umgekehrt, daß hier auch alle Axiome tatsächlich erfüllt sind.
Aus dem Teilerkettensatz I folgt, wie ich (Idealtheorie §4) gezeigt habe, die Darstellung eines Ideals als kleinstes gemeinsames Vielfaches von endlich vielen, zu verschiedenen Primidealen gehörigen Primäridealen. Ich wiederhole hier kurz diesen Beweis (§6), weil er sich unter Verwendung des Begriffs des Idealquotienten vereinfachen läßt, und weil ich ein Versehen berichtigen will; der ursprüngliche Beweis benutzt nämlich an einer Stelle die nicht vorausgesetzte Existenz des Einheitselementes der Multiplikation 2 ).
Die Voraussetzung des Vielfachen-Kettensatzes bewirkt (§ 7), daß im Restklassenring nach jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal ein Primideal keinen echten Teiler besitzen kann, mit Ausnahme des alle Elemente umfassenden Einheitsideales. Damit aber werden die Primärkomponenten dieser Ideale eindeutig bestimmt, mit Ausnahme der zum Einheitsideal gehörigen. In etwas weniger scharfer Fassung findet sich dies Resultat schon bei Masazo Sono 3 ); seine Voraussetzung der Existenz einer Kompositionsreihe im Restklassenring ist dem „Doppelkettensatz" in diesem Ring gleichwertig, wie ich zum Schluß (§10) kurz zeige. Dabei verstehe ich unter Doppelkettensatz die Gültigkeit von Teilerketten- und Vielfachenkettensatz ohne Beschränkung auf vom Nullideal verschiedene Ideale.
Ist noch Axiom III — Existenz des Einheitselementes — erfüllt, so tritt das Einheitsideal nicht als zugehöriges Primideal auf; die Primärkomponenten sind also eindeutig bestimmt; sie werden paarweise teilerfremd und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt. Die Axiome I, II, III sind für alle endlichen Ordnungen eines algebraischen Zahlkörpers erfüllt; hier hat schon Dedekind (Dirichlet-Dedekind, Zahlentheorie, 3. Aufl., 11. Suppl., § 172) ohne vollständig ausgeführten Beweis die eindeutige Darstellung eines Ideals als Produkt von paarweise teilerfremden einartigen Idealen (Primärkomponenten) ausgesprochen.
") Auf dieses Versehen machte mich P. Urysohn aufmerksam; meine Abänderung des Beweises war aber etwas umständlicher als die hier mitgeteilte, die von E. Artin stammt. Dieser hatte schon früher für sich die Lücke ausgefüllt und sich auch unabhängig von mir die Vereinfachung mit dem Idealquotienten überlegt. — Eine weitere Vereinfachung, die die Einführung der „reduzierten Darstellung" vermeidet, entnehme ich einer verwandten Fragestellung bei W. Krull: Algebraische Theorie der Ringe III, Math. Ann. 92 (1924), S. 181-213, Satz I.
3 ) On the Reduction of Ideals. Memoirs of the College of Science, Kyoto University, Series A, 7 (1924), S. 191—204.

28
E. Noether.
Aus Voraussetzung IV — Nichtauftreten von Nullteilern — folgt, daß die verschiedenen Potenzen eines von Null- und Einheitsideal verschiedenen Ideals alle verschieden sind, und daß der Quotientenkörper existiert.
Ist schließlich noch Axiom V der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenkörper erfüllt, so werden die Primärideale — wegen IV eindeutig bestimmte — Potenzen von Primidealen, womit der übliche Zerlegungssatz gewonnen ist (§ 8). Dieser letztere Nachweis beruht auf einer, im Fall des Zahlkörpers schon von Dedekind (3. Aufl., § 172) gezogenen Folgerung aus der ganzen Abgeschlossenheit : Man kann ein echt gebrochenes Element so als Quotient ganzer darstellen, daß auch das Quadrat des Zählers nicht durch den Nenner teilbar wird. An Stelle dieser Folgerung tritt in den späteren Darstellungen — auch als Folge der ganzen Abgeschlossenheit — der viel weniger durchsichtige verallgemeinerte Gaußsche Satz oder entsprechende, etwas mehr aussagende Modulsätze; alles Sätze, die zur Anwendung Basiselemente voraussetzen, während hier mit den Idealen selbst gearbeitet wird.
In der Umkehrung (§9) ergeben sich die von Axiom V verschiedenen Axiome fast direkt; letzteres aus dem Nachweis, daß ein echt gebrochenes Element sich stets so darstellen läßt, daß keine Potenz des Zählers durch den Nenner teilbar wird, was also noch eine Verschärfung der ursprünglich aus V gezogenen Folgerung bedeutet. Dieser Nachweis gelingt aber erst, indem aus der Idealdarstellung die üblichen Schlüsse gezogen werden, Hauptidealdarstellung modulo einem festen Ideal und Theorie der gebrochenen Ideale, also der Idealquotienten im Körper. Auch die Tatsache, daß aus der Darstellung durch Primidealpotenzen die ganze Abgeschlossenheit folgt, war schon Dedekind bekannt, wie eine Bemerkung (3. Aufl., § 172, S. 522 unten) zeigt.
Die Axiome I bis V ergeben, daß die vier im allgemeinen getrennten Zerlegungen in kleinste paarweise teilerfremde Ideale, gegenseitig prime Ideale, größte Prinjärkomponenten und irreduzible Ideale zusammenfallen ; und umgekehrt ergibt sich aus diesem Zusammenfallen und den Axiomen I — IV die ganze Abgeschlossenheit. Für Ringe mit Nullteilern folgt aus dem Erfülltsein der übrigen Axiome — wobei V als ganze Abgeschlossenheit im Quotientenring zu definieren ist — nicht notwendig das Zusammenfallen der Zerlegungen, wie das Beispiel des Restklassenringes nach gewissen Idealen einer endlichen Ordnung zeigt (§ 9).
In § 1 skizziere ich die Theorie der in bezug auf einen Ring ganzen Größen, bis hin zu der Dedekindschen Folgerung aus der ganzen Abgeschlossenheit. In § 2 zeige ich, wie die Kettensätze sich vom Ring übertragen auf Moduln aus Linearformen, mit diesem Ring als Koeffizienten-

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
29
und Multiplikatorenbereich 4 ). Hieraus ziehe ich (§3) die Folgerung, daß beim Übergang zu den ganzen Größen eines algebraischen Erweiterungskörpers (erster Art) die Axiome I bis IV für jede Ordnung erhalten bleiben, während für die aus allen ganzen Größen bestehende Ordnung auch V gilt. Diese — für den algebraischen Zahlkörper natürlich bekannte — Tatsache erlaubt die Unterordnung der am Anfang erwähnten Funktionenkörper ; insbesondere ist durch den einfachen Nachweis, daß der aus den ganzzahligen Polynomen mehrerer Unbestimmter abgeleitete Funktionalbereich den Axiomen genügt, auch die Kroneckersche Idealtheorie voll eingeordnet 5 ).
Die dann entwickelte Idealtheorie setzt diese nur der Einordnung dienenden §§ 2 und 3 nicht voraus. In § 4 und § 5 werden die von den Axiomen I bis V unabhängigen Grundlagen gegeben ; dadurch tritt schärfer als in der ursprünglichen Begründung hervor, welche Teile der Theorie von Endlichkeitsvoraussetzungen unabhängig sind.
§1-
Theorie der ganzen Größen.
Zugrunde gelegt sei ein kommutativer Ring 8 ) % ohne Nullteiler, mit Einheitselement e der Multiplikation (Axiom III und IV); in % sei ein
4 ) Diese Fassung der Modulsätze rührt von Prüfer her (Neue Begründung der algebraischen Zahlentheorie, § 2, Math. Ann. 94 (1924), S. 198 — 243) und ist durchsichtiger als die übliche Übertragung der Basissätze.
6 ) Die Verschiedenheit tritt also erst bei den Diskriminantensätzen auf, dadurch bedingt, daß der Restklassenring des Funktionalbereiches nach einer Primzahl ein unvollkommener Körper wird, und somit Erweiterungen zweiter Art auftreten können.
6 ) Ein Ring ist bekanntlich definiert, wenn in einer Menge eine Gleichheitsrelation gegeben ist, und außerdem zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation, die den üblichen Gesetzen genügen: die Addition ist assoziativ, kommutativ und eindeutig umkehrbar, die Multiplikation ist assoziativ — kommutativ, wenn es sich um einen kommutativen Ring handelt — und gegenüber der Addition distributiv.
Ist dabei die zugrunde gelegte Gleichheitsdefinition nicht die mengentheoretische Identität, so muß — damit in jedem Untersystem dieselbe Gleichheitsdefinition erhalten bleibt — ein solches Untersystem (Unterring, Modul, Ideal) neben irgendeinem Element auch alle ihm gleichen enthalten. Ebenso muß bei jeder Erweiterung vorausgesetzt werden, daß die neue Gleichheitsdefinition die alte umfaßt.
Alle Begriffe wie „endlich viele Elemente", „eindeutige Zuordnung", . .. sind im Sinne der Gleichheitsdefinition gemeint; es gibt „ein und nur ein Element" heißt also beispielsweise, es gibt bis auf gleiche nur ein Element. Übrigens kann man von der Gleichheit immer zu einer mengentheoretischen Identität übergehen, indem man gleiche Elemente in eine Klasse zusammenfaßt und diese Klassen als neue Elemente einführt.
Die hier gegebenen Bemerkungen zur Gleichheitsdefinition stammen von R. Hölzer.

80
E. Noether.
fester, das Einheitselement enthaltender Unterring 9Î ausgezeichnet. Die Begriffe Modul, Ordnung, ganz sollen sich durchweg auf diesen festen Ring 9î beziehen, was der Kürze halber später in der Bezeichnung weggelassen wird 7 ). (Die Elemente aus 9Ï seien mit lateinischen, die aus % allgemein mit griechischen Buchstaben bezeichnet.)
1. Ein System 9J? von Elementen aus % heißt wie üblich 'Si- Modul — kurz Modul —, wenn es neben zwei Elementen « und ß auch die Differenz, neben a auch ra enthält, unter r ein beliebiges Element aus 91 verstanden. 9Je heißt durch 9t teilbar, 9Ji = 0(9?) und 9)l ein Vielfaches, 9Í ein Teiler, wenn jedes Element von 9JÍ auch in 9Î enthalten ist. 9Ï- Moduln, deren Elemente alle zu 9Î gehören, heißen Ideale in 9Î.,
Offenbar ist der Durchschnitt — das kleinste gemeinsame Vielfache [... 9)î ; ...] — beliebig vieler Moduln aus % wieder ein Modul; ebenso ist % Modul. Somit existiert eindeutig der aus einem beliebigen System 2 von Elementen aus % abgeleitete Modul als Durchschnitt aller Moduln, die 2 umfassen. Die Summo — der größte gemeinsame Teiler (... 9Rj...) — eines beliebigen Systems von Moduln ist der aus der Vereinigungsmenge abgeleitete Modul. Das Produkt 5DÎ-ÏÎ zweier Moduln ist definiert als der aus den Elementen ¡uv abgeleitete Modul, wo alle Elemente aus 9)J, V alle aus 9Î durchläuft. Das Produkt genügt also dem assoziativen und kommutativen Gesetz, da dies für die Ringelemente gilt. Alis dem distributiven Gesetz in £ folgt weiter für Moduln das distributive Gesetz (... SO...) Sí = (... 97^21 ...), da es sich nach eben diesem Gesetz in X rechts und links um den aus allen Elementen fi i a abgeleiteten Modul handelt.
Da 9Ï selbst Modul ist, läßt sich die Bedingung, daß 9Î Multiplikatorenbereich ist, ausdrücken durch 9Ï9)Î = 0(9JÎ). Da 9Î nach Voraussetzung das Einheitselement enthält, gilt auch 9)i = 0(9Î9)?) und damit 95? = 9Î99Î.
Ein Modul 9JÎ heißt endlich, wenn es mindestens ein aus endlich vielen Elementen bestehendes System 2 gibt, aus dem 9)Z abgeleitet ist; die Elemente ¡x x , ..., /.i r von 2 heißen eine Modulbasis von 9JÎ = (fx 1 , ...,,«,.).
') Die Theorie der ganzen Größen bleibt bestehen, wenn Nullteiler zugelassen werden, und wenn dafür in 31 der Teilerkettensatz vorausgesetzt wird, was nach § 2 auch den Beweis des Hilfssatzes ermöglicht. Da diese Fassung der ganzen Größen aber später nicht benutzt wird, soll nur in Fußnoten darauf hingewiesen werden. Alle in Rede stehenden Definitionen bleiben bei Existenz von Nullteilern erhalten; die meisten benötigen — wie bekannt und leicht ersichtlich — noch geringere Voraussetzungen. Nicht erhalten bleibt die Dedekindsche Fassung : „Eine Zahl ist ganz, wenn sie eine Hülle besitzt." Denn beim Auftreten von Nullteilern braucht der Quotient zweier endlicher Moduln nicht endlich zu bleiben; deshalb ist hier auch die Ordnung direkt und nicht als Modulquotient definiert.

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
31
Summe und Produkt von zwei — und damit von endlich vielen — endlichen Moduln sind wieder endlich, da sie aus der Vereinigungsmenge bzw. den Produkten der Basiselemente abgeleitet sind. Letzteres folgt aus der Darstellung r 1 a ll er Elenaente fi aus TO durch die Basis 8 ) und aus dem kommutativen Gesetz der Multiplikation in 5t, was beides an dieser Stelle zum erstenmal benutzt wird.
2. Ein in % gelegener Erweiterungsring von 9v — der also alle Elemente von 3Î umfaßt — heißt eine 3t - Ordnung, kurz Ordnung. Der Durchschnitt beliebig vieler Ordnungen aus £ ist wieder eine Ordnung, ebenso ist 5t Ordnung; es existiert also eindeutig die aus einem beliebigen System 2 von Elementen aus 5t abgeleitete Ordnung. Summe und Produkt von Ordnungen lassen sich entsprechend wie für Moduln definieren; insbesondere wird D 3 = :Q für jede Ordnung.
.Jede Ordnung ist zugleich 31-Modul; eine Ordnung heißt endlich, wenn sie endlicher Modul ist. Da Summe und Produkt durch Bildung von Modulsumme bzw. Produkt entstehen, werden nach 1. Summe und Produkt endlicher Ordnungen wieder endliche Ordnungen; weiter gilt das transitive Gesetz: Ist St endliche 31 -Ordnung, 33 endliche S(-Ordnung, so ist 58 auch endliche 31-Ordnung. Denn 33 wird zugleich 3Ï - Ordnung, also 31 - Modul. . Bildet aber u 1 ,...,a r eine Modulbasis von St in bezug auf 3t, und ß lt ..., ß, eine solche von 33 in bezug auf SC, so bilden ersichtlich die Produkte a { ß k eine Modulbasis von 33 in bezug auf 31-
3. Ein Element a aus 5t heißt ganz in bezug auf 3Î, kurz ganz, wenn die aus a abgeleitetete Ordnung 3i„ endlich ist — anders ausgedrückt, wenn die Teilerkette der Moduln St /t = (ß°, a, ..., ce." -1 ) im Endlichen abbricht, St„ = 2l„ + i = ... = St, i+ „ = ... . Die Definition läßt auch die in 4. zu benutzende zweite Fassung zu: Ein Element a aus 5t heißt ganz, wenn es mindestens einen vom Nullmodul verschiedenen Hauptmodul ß — d. h. (ü ist aus einem Element y =J= 0 abgeleitet — gibt, so daß das Produkt der Ordnung 3t a mit S ein endlicher Modul ist; anders ausgedrückt, daß die Kette der Moduln SSt /( im Endlichen abbricht 8 ).
Schließlich ist die Definition auch identisch mit der üblichen Fassung : Ein Element « aus % heißt ganz, wenn es mindestens einer Gleichung genügt: r 1 a" _1 -f- • • • + r n = 0, wo die r Elemente aus 31 sind.
Die verschiedenen Definitionen sind tatsächlich identisch. Denn da
8 ) Enthält 9Î kein Einheitselement, ßo wird die Basisdarstellung von der Form r, /<! + ... + r k fi k + /(j + ... + «; £ , wo die ganzen Zahlen n nicht Ringelemente, sondern Symbole für die wiederholte Addition bzw. Subtraktion bedeuten.
°) Sind in SR Nullteiler zugelassen, so muß die Existenz eines regulären Hauptmoduls gefordert werden; d. h. y muß als Nicht-Nullteiler, als reguläres Element vorausgesetzt werden, was für Ringe ohne Nullteiler auf y 4= 0 zurückkommt.

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E. Noether.
9΄ übereinstimmt mit dem aus allen Potenzen von a abgeleiteten Modul, läßt sich für endliches immer eine Modulbasis aus diesen Potenzen wählen. Ist eine solche etwa gegeben durch e—a°, « n_1 , so bedeutet das, daß die Kette der mit 2Í„ abbricht, und umgekehrt ergibt sich aus 2i„ = 2I n+v ... diese Basis. Das Abbrechen der Kette der ist aber auch identisch mit dem Bestehen der Gleichung a n -f- r 1 a n+l + r = 0. Mit 9t a ist auch G $R a endlich, also bricht die Kette der © 2( 1( ab ; anderseits folgt aus der Endlichkeit von (£9i a , also dem Abbrechen der (£21^, auch das Abbrechen der 2I /( und damit die Endlichkeit von 9î a . Denn da G als vom Nullmodul verschiedener Hauptmodul vorausgesetzt, ergibt 0(„ = G2( n+V stets 2Í„ = §i„ +v .
Die Ringeigenschaft der ganzen Größen und das transitive Gesetz der ganzen Abhängigkeit beruhen auf dem
Hilfssatz. 1st © eine endliche Ordnung aus %, a ein beliebiges Element aus ©, so ist die aus a abgeleitete Ordnung SR« endlich — m. a. W. : alle Elemente einer endlichen Ordnung sind ganz.
Der Beweis ergibt sich nach den üblichen Schlüssen. Ist a 1 ,...,a n eine Modulbasis von ©, so gehört wegen der Ringeigenschaft auch a a i zu©. Also kommt aa i = r fl a 1 -f-... -f- T in o n und daraus | r ik — cte ik \ = 0, mit e ilc —0 für i =j= lc\ e u = e, womit a als ganz nachgewiesen ist. Für das Verschwinden der Determinante wird benutzt, daß % und damit © ohne Nullteiler vorausgesetzt ist 10 ).
Das System © aller ganzen Größen aus % bildet eine Ordnung. <B umfaßt 9Í; denn die Elemente aus 9Î sind ganz, da 9Î einen endlichen 9Î- Modul mit dem Einheitselement als Basis bildet. © hat aber auch Ringeigenschaft; denn die aus zwei beliebigen ganzen Größen a, ß abgeleitete Ordnung wird gleich dem Produkt 9^-3^, also endlich. Somit sind nach dem Hilfssatz a + ß und a ß als Elemente einer endlichen Ordnung ganz.
Transitives Gesetz der ganzen Abhängigkeit: Ist © eine aus ga nzen Größen bestehende Ordnung, so ist jedes in bezug auf © ganze Element aus X auch ganz in bezug auf 9Î . Nach Definition genügt a einer Gleichung : cc m a 1 K m_1 -j- .. . -)- a m = 0, ist also auch ganz in bezug auf die aus a x , ..., a m abgeleitete Ordnung © = SRo,,die als
10 ) Ist in 31 der Teilerkettensatz vorausgesetzt, sind aber Nullteiler zugelassen, so wird der Hilfssatz eine unmittelbare Folge des Modulsatzes in § 2, demzufolge sich der Kettensatz auf die Moduln aus © überträgt. Auch dieser Beweis stammt für den Zahlkörper von Dedekind (4. Aufl., § 173, III) und stellt die erste Anwendung von Kettensätzen in der Literatur dar. In den unter 4. zu gebenden Folgerungen benutzt Dedekind statt dessen noch die speziellere Tatsache, daß die Anzahl der Restklassen nach einem Ideal im algebraischen Zahlkörper endlich ist.

Abstraktor Aufbau dor Idealtheorie.
33
Produkt 9?^ • 9î(, 2 •... • endlich wird. Nach dem unter 2. gegebenen transitiven Gesetz wird somit die aus a abgeleitete endliche ©-Ordnung ©a auch eine endliche 91 - Ordnung, und « wird nach dem Hilfssatz ganz als Element einer endlichen Ordnung.
4. Der Ring 9t heißt ganz - abgeschlossen in X, wenn jedes in bezug auf 9Î ganze Element aus zu 9Í gehört. Nach der zweiten Fassung der Definition der ganzen Größen in 3. gehört also ein Element a aus X dann und nur dann zu 9Î, wenn es mindestens einen vom Nullmodul verschiedenen Hauptmodul (£ gibt, so daß © • 9? a einen endlichen Modul bildet 11 ).
Aus dem BegrifE des ganz - abgeschlossenen Ringes hat Dedekind (3. Aufl., § 172) zwei wichtige Folgerungen gezogen, die es ermöglichen, diesen BegrifE für die Idealtheorie zu verwerten :
Dedekindsche Folgerung I. 9 t sei ganz-abgeschlossen in X, und außerdem sei als iveitere Voraussetzung in 9Í der Teilerkettensatz für Ideale (Axiom I) erfüllt. Ist ß ein nichtganzes Element aus X, c =4= 0 ein Element aus 9Î, so gibt es einen Exponenten a 0 derart, daß in der Reihe der Elemente c, cß, ..., cß r , ... die Elemente c, ..., cß" ganz, alle übrigen nichtganz sind.
Wären alle Elemente cß r ganz, so gehörten sie wegen der ganzen Abgeschlossenheit von 3Î zu 9Í. Damit aber ginge die Kette der Moduln ©Sfi», • • •» •.. - wo Ê den aus c, den aus ß ü ,...,ß r " 1 abgeleiteten Modul bezeichnet — über in eine Kette von Idealen c x , ..., C, mit c r = (c, cß, ..., cß r ~ 1 ), die nach Voraussetzung im Endlichen abbricht. Damit aber wäre gegen die Voraussetzung 9Í/? endlich und ß ganz; es gibt somit nichtganze unter den Elementen cß r . Weiter sind mit irgendeinem nichtganzen Element auch alle folgenden nichtganz ; denn ist cß z ganz, also in 9Ï, so genügt cß° für £> < r der Gleichung (c ß-) r — c~°(cß x ) e = 0 und ist also auch ganz. Ist somit cß a+1 das erste nichtganze Element, so wird — da c ganz — o 0 und ist der gesuchte Exponent.
Spezialisiert man den Erweiterungsring X zu dem Quotientenkörper von 9t — d. h. zu dem durch Adjunktion aller Elementenpaare entstehenden Körper 12 ) —, so folgt daraus die
u ) Sind in Dl Nullteiler zugelassen, so muß £ wieder als regulärer Hauptmodul vorausgesetzt werden; ebenso muß das Element c in Folgerung I als regulär vorausgesetzt werdon.
12 ) In bekannter Steinitzscher Fassung, J. f. M. 137. Sind in DÎ Nullteiler zugelassen, so muß an Stelle des Quotientenkörpers der Quotientenring treten, durch Adjunktion aller Quotientenpaare, bei denen der Nenner e-in reguläres Element aus 31 ist. Hier ist die Dedekindsche Folgerimg II nicht mehr erfüllt-, denn n wird im allgemeinen kein reguläres Element sein.
Mathematische Annalen. 96. 3

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E. Noether.
Dedekindsche Folgerung II. 9Í sei ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper und in 9Î sei der Teilerkettensatz für Ideale erfüllt. Ist ß ein nichtganzes Element aus so läßt ß eine Darstellung als Quotient von Elementen aus 9Î zu: ß = m\n derart, daß auch m 2 \n nichtganz ist.
Setzt man ß = b/c mit c 4= 0, so werden in der Reihe c, cß = b, cß~... die beiden ersten Elemente sicher ganz, also a ^ 1, wo a den Exponenten aus Folgerung I bedeútet. Setzt man m = cß a , n = cß ö ~ x — wegen c 1 sind das ganze Größen der Reihe —, so werden m\n — ß und m 2 In = cß n+x nichtganz.
Das transitive Gesetz der ganzen Abgeschlossenheit besteht in der Form: Ist 9î ein beliebiger Ring aus X, bezeichnet © das System aller in bezug auf 9Ï ganzen Größen aus X, so besteht © auch aus allen in bezug auf © ganzen Größen aus %. — Denn jede in bezug auf © ganze Größe ist auch ganz in bezug auf 9Î, nach dem transitiven Gesetz in 3., gehört also zu ©.
§2.
Kettensätze in endlichen Modulbereichen.
Der Modulsatz, demzufolge sich die Kettensätze übertragen, tritt in der hier zu gebenden Anwendung nur für Moduln eines Erweiterungsringes auf. Da der Beweis aber im Fall eines allgemeinen Modulbereichs derselbe bleibt, soll ein solcher zugrunde gelegt werden.
Ein System M von Elementen a, ß ... heißt Modulbereich in bezug auf einen Ring 9i, wenn in M zwei Operationen gegeben sind, die eindeutig zu Elementen aus M führen: eine additive Verknüpfung der Elemente und eine Multiplikation der Elemente mit den Elementen aus ; wenn M gegenüber der Addition eine Abelsche Gruppe bildet, während für die Multiplikation das assoziative Gesetz erfüllt ist, und wenn das distributive Gesetz in beiden Fassungen gilt 13 ).
Für einen Modulbereich bleiben offenbar alle unter § 1, 1. gegebenen Moduldefinitionen erhalten, die sich nicht auf die Multiplikation beziehen. Insbesondere heißt M ein endlicher Modulbereich, wenn es endlich viele Elemente aus M gibt derart , daß M gleich dem aus | 15 . ..,
abgeleiteten Modul wird, also gleich dem System aller Linearformen r 1 | 1 + ... + r k wenn in 9Î ein Einheitselement existiert, während sonst noch Zusatzglieder n¡. ix hinzukommen (vgl. Anm. s )).
Modulsatz. Ist M ein endlicher Modulbereich in bezug auf einen kommutativen Ring 9v mit Einheitselement, und gilt in 9Î der Teiler-
13 ) Vgl. Idealtheorie, § 9.

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
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bzw. Vielfachenkettensatz der Ideale, so gilt in M Teiler- bzw. Vielfachenkettensatz der Moduln.
Der Beweis beruht darauf, daß jedem Modul aus M eindeutig ein System von endlich vielen Idealen aus 9Î zugeordnet wird derart, daß einem echten Teiler bzw. Vielfachen des Moduls jeweils mindestens ein echtes Teiler- bzw. Vielfachenideal entspricht.
Ein Element aus M heißt von der Länge i, wenn es sich auf mindestens eine Art als Linearform in , ..., £. darstellen läßt, während es keine Darstellung als Linearform in £ 1; zuläßt. Einem beliebigen
Modul 21 aus IM seien jetzt k Ideale a 15 ..., a k aus 9Î zugeordnet: unter 2t¿ sei der Modul aller Elemente aus 2t verstanden von der Länge <¡ i , und bezeichne das System aller Koeffizienten von in 2I f . Dann folgt vorerst : Ist 93 ein echter Teiler von 2t, sind b x ..., b k die 93 zugeordneten Ideale, so ist unter den b mindestens ein echter Teiler des entsprechenden a. Aus 21 —0(93) folgt nämlich 2t;. = 0(93;.) und damit et;. = 0(b;.) für 2 = 1,2 ,...,k. Nach Voraussetzung muß es in 93 nicht in 2Í enthaltene Elemente geben, also auch solche kleinster Länge i. Dann aber wird b¿ ein echter Teiler von a¿; denn es wird b i = 0 (b f ), ^0(a¿), wenn ß = b t • • • + b¡ ein solches Element kleinster Länge aus S3 ist. Aus b { = 0 (aj folgt nämlich die Existenz eines Elementes a = a x -f- ... + b i ^ i = 0 (21), und damit die Existenz eines Elementes ß — a = 0 (93), ^0(21) von kleinerer Länge als ß.
Sei jetzt eine Teiler- bzw. Vielfachenkette 2t ls 2t 3 , ..., 2I r ,. .. vorgelegt; sei in 9t der Teiler- bzw. Vielfachenkettensatz erfüllt. Bezeichnen a rl , ..., a rk die 2t r zugeordneten Ideale, so bilden die Reihen a i; . ; a 2 ;., ..., a r Teiler- bzw. Vielfachenketten für 1 = 1, ...,k\ es gibt also nach Voraussetzung einen Index u derart, daß das Ideal a ; , ;. gleich allen folgenden wird für jedes Â. Dann aber wird der Modul 2t u nach dem oben Bewiesenen gleich allen folgenden, womit die Kettensätze übertragen sind.
Unmittelbar ergibt sich jetzt die
Folgerung des Modulsatzes. Gilt in 9Î der Vielfachenkettensatz modulo jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal, so gilt in M der Vielfachenkettensatz modulo jedem Modul CS, dessen zugeordnete Ideale c i; ..., c (£ sämtlich vom Nullideal verschieden sind.
Denn unter diesen Annahmen brechen die Vielfachenketten a x ¿, ..., a r im Endlichen ab.
Zusatzbemerkung. Ist 9Î ein Ring ohne Einheitselement, so überträgt sich noch der Teilerkettensatz und der Vielfachenkettensatz modulo den vom Nullideal verschiedenen Idealen. Man betrachte nämlich an Stelle von 2t das System 2t aller Elemente der Form a 1 -f-... -j- a k $ k + n l | fc+1
3* '

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E. Noether.
+ ... + n k , das wieder in 2t übergeht, wenn man £¡t + ;. durch ersetzt. Diesem 2( lassen sich entsprechend wie oben 2 k Ideale a 1 , ..., a ; ., n 15 ..., rt,. zuordnen, wobei die a;. Ideale aus 9Ï, die it;. Ideale aus ganzen Zahlen bedeuten. Da für die ru Teilerkettensatz und Vielfachenkettensatz modulo jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal erfüllt ist, bleibt für 2t und damit für 21 der Beweis für den Teilerkettensatz erhalten, während man beim Vielfachenkettensatz fordern muß, daß die © bzw. E zugeordneten 2 k Ideale alle vom Nullideal verschieden sind.
§3.
Übergang zu endlichen Erweiterungskörpern.
Zur Einordnung der Zahl- und Funktionenkörper ist zu zeigen, wie die in der Einleitung formulierten Axiome I bis V sich beim Übergang zu endlichen Erweiterungskörpern übertragen.
1. In 91 seien alle Axiome I bis V mit Ausnahme des Axioms II
— Vielfachenkettensatz — erfüllt. Es bedeutet den Quotientenkörper von dl, und S einen endlichen Erweiterungskörper erster Art von S 11 ). Dann sind in dem System © aller in bezug auf 9} ganzen Größen aus £ dieselben Axiome erfüllt, in jeder Ordnung aus © noch alle diese Axiome mit Ausnahme der ganzen Abgeschlossenheit.
Nach § 1, 3. bildet © einen Ring, für den die Axiome III und IV
— Existenz des Einheitselementes und Ring ohne Nullteiler — erfüllt sind. Nach § 1, 4. Schluß ist © ganz abgeschlossen in £; zugleich wird S Quotientenkörper von ©, da jedes Element aus £ durch Multiplikation mit einem geeigneten Element aus 9Î in ein Element aus © übergeht; Axiom V ist also erfüllt.
Der Nachweis von I ergibt sich nach bekannten Schlüssen: Als Erweiterung erster Art entsteht £ durch Adjunktion eines einzigen Elementes a zu das nach dem obigen als ganz in bezug auf 9Ï angenommen werden darf. Neben a. sind auch die im Galoisschen Körper von S in bezug auf ÛÎ enthaltenen konjugierten Größen a',a", ... ganz; und somit auch ihr Differenzenprodukt und das Quadrat D dieses Differenzenproduktes. Da u, alle verschieden sind, wird D eine von Null verschiedene Größe
aus also wegen der ganzen Abgeschlossenheit von 9Î in $ eine Größe aus 9Î. Nach den üblichen Schlüssen ist © infolge der ganzen Abgeschlossenheit von 9Ï enthalten in dem durch die Elemente = uMD erzeugten in bezug auf 9Î endlichen Modulbereich M ; man hat dazu nur in
14 ) Ein algebraischer Erweiterungskörper heißt nach Steinitz „erster Art", wenn jedes Element Nullstelle einer Primfunktion ist, die in einem geeigneten Erweiterungs- körper in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

Abstrakter Aufbau der Idealt heorie.
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der Darstellung eines Elementes aus © durch die zu den konjugierten Elementen überzugehen und das lineare Gleichungssystem für die Koeffizienten der Darstellung aufzulösen. Nach dem Modulsatz in § 2 gilt für alle 9i- Moduln aus M, also insonderheit für alle Ideale aus©, der Teilerkettensatz. Ebenso gilt der Teilerkettensatz für die Ideale einer beliebigen Ordnung aus ©, da es sich auch hier um 9Î- Moduln aus M handelt; für jede Ordnung ist aber auch Axiom III und IV erfüllt.
2. Sind in 3Î alle Axiome I bisV erfüllt, so gilt das gleiche für ©. In jeder Ordnung aus © sind noch alle Axiome mit Ausnahme der ganzen Abgeschlossenheit erfüllt.
Unter Berücksichtigung von 1. ist nur noch das Erfülltsein von Axiom II nachzuweisen. Nach der Folgerung aus dem Modulsatz in § 2 genügt der folgende Nachweis: Wird ein vom Nullideal verschiedenes Ideal aus © als Di-Modul (£ in M aufgefaßt, so sind die K zugeordneten Ideale c¿ aus 9Î alle vom Nullideal verschieden. Nun ist Ë von gleichem endlichen linearen Rang in bezug auf wie M; denn (S enthält neben irgendeinem Element y auch yti 1 . Zu jedem gibt es also ein Element c ¿ 4= 0 aus 9Î, so daß c i Ç i zu © gehört; wegen der Eindeutigkeit der Darstellung durch die — der Index soll nur die Werte kleiner als der Grad des Körpers durchlaufen — gehört c¿ zu c f , das somit vom Nullideal verschieden wird. Diese Überlegung bleibt erhalten für alle Ordnungen von gleichem Rang wie M; für eine Ordnung von niedrigerem Eang geht man zum Quotientenkörper über, der als Zwischenkörper von ¡S und £ auch erster Art wird und dessen Grad in bezug auf fô 1 mit dem linearen Rang der Ordnung übereinstimmt; für den somit die Überlegungen erhalten bleiben. Schließlich sei bemerkt, daß eine von © verschiedene Ordnung aus © nie ganz abgeschlossen ist; denn da jede Ordnung auch 9Î umfaßt, muß sie bei ganzer Abgeschlossenheit auch © umfassen.
Zur Unterordnung von Zahl- und Funktionenkörpern genügt es somit das Erfülltsein der Axiome I bis V für die Grundbereiche — ganze Zahlen, Polynome einer Unbestimmten, Funktionalbereich der Polynome mehrerer Unbestimmter — nachzuweisen.
3. Für den Ring 9Î der ganzen rationalen Zahlen bzw. der Polynome einer Unbestimmten mit Koeffizienten aus einem Körper sind die Axiome I bis V erfüllt. Dabei folgt I und II entweder daraus, daß es nach jeder von Null verschiedenen Zahl bzw. nach einem solchen Polynom einer Unbestimmten nur endlich viele bzw. endlich viele linear-unabhängige Restklassen gibt — oder auch aus der Tatsache, daß jedes Ideal Hauptideal wird; denn daraus ergibt sich die eindeutige Zerlegbarkeit der Ideale als Potenzprodukt von Primidealen, demzufolge ein vom Nullideal ver-

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E. Noether.
schiedenes Ideal nur durch endlich viele teilbar wird. Axiom III und IV ist offenbar erfüllt, letzteres eine Folge der Gleichheitsdefinition ; die ganze Abgeschlossenheit Y folgt daraus, daß vermöge der bis auf Einheiten — Teiler der Eins — eindeutigen Zerlegbarkeit der Elemente aus 9t in unzerlegbare jedes nicht in 9Î enthaltene Element des Quotientenkörpers sich als Quotient zweier teilerfremder Elemente aus 9Ï darstellen läßt, so daß also keine Potenz des Zählers durch den Nenner teilbar wird. Ein solches Element kann mithin keiner Gleichung genügen, die es als ganz in bezug auf 3t charakterisiert.
4. Es bedeute jetzt 9t den Ring aller Polynome in mehreren Unbestimmten mit Koeffizienten aus einem Körper oder mit ganzen rationalen Zahlkoeffizienten. Dann sind die Axiome III, IV, V wie unter 3. erfüllt; denn auch hier gilt die bis auf Einheiten eindeutige Zerlegbarkeit der Elemente in unzerlegbare. Daß der Teilerkettensatz I erfüllt ist, ist eine unmittelbare Folge des Hilbertschen Satzes von der Existenz der Idealbasis; während der Vielfachenkettensatz II hier nicht gilt.
Man kann aber durch Übergang zum Funktionalbereich, was einer Beschränkung auf Ideale höchster Dimension entspricht, auch noch die Gültigkeit von Axiom II erreichen; die Gültigkeit von I läßt sich dann wie unter 3., ohne Heranziehung des Hilbertschen Satzes, nachweisen. Man adjungiere nämlich zu 9t eine Unbestimmte u, betrachte also den Ring 9t* aller Polynome in u mit Koeffizienten aus 9t, wobei Gleichheit als Koeffizientengleichheit definiert ist. Bezeichnet man wie üblich ein Polynom aus 9t* als primitiv (in bezug auf 9t), wenn der größte gemeinsame Teiler seiner Koeffizienten — Teiler im Sinn von Polynom aus 9Î, nicht Idealteiler — eine Einheit aus 9t wird, so wird jedes Polynom aus 9 t Produkt eines Elementes aus 91 mit einem primitiven Polynom aus 9Î ", und das Produkt primitiver Polynome aus 9t* wird wieder primitiv.
Die Gesamtheit der Elemente des Quotientenkörpers von 91*, deren Nenner primitive Polynome aus 9t* sind, bildet somit einen Ring, den Funktionalbereich % von 9Î . In diesem Funktionalbereich % sind alle und nur die Elemente Einheiten, deren Zähler und Nenner primitive Polynome aus 9Î " sind; jedfs Element aus g läßt sich somit eindeutig als Produkt eines Elementes aus 9Î und einer Einheit aus g- darstellen. Damit überträgt sich der Zerlegungssatz der Elemente aus 9t auf die Elemente aus für % ist somit neben den Axiomen III und IV auch V wie unter 3. erfüllt.
In g' wird ferner jedes" Ideal Hauptideal. Ein Ideal enthält nämlich neben irgendeinem Element aus g auch das durch Multiplikation mit einer Einheit daraus hervorgehende aus9î; und neben irgend zwei Elementen aus9ï auch ihren größten gemeinsamen Teiler. Denn neben f(x) = t (x) f{x) und

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
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g(x) = t (x)g(x) gehört auch t(x)(f(x) + ug(x)) zum Ideal, also auch t(x), wenn f und g teilerfremd sind und ihre lineare Kombination somit eine Einheit wird. Geht man also von einem beliebigen Element f(x) des Ideals aus, und gibt es im Ideal ein durch dieses nicht teilbares g(x), so gehört auch der größte gemeinsame Teiler t(x) zum Ideal und wird ein echter Teiler von f(x), so daß die endlich oftmalige Wiederholung auf ein Basiselement des Ideals führt, das Ideal also als Hauptideal erkannt ist. Damit gilt aber in die eindeutige Zerlegbarkeit der Ideale als Potenzprodukte von Primidealen, die der Zerlegung der Elemente aus 9Î entspricht; und hieraus folgt wie unter 3. das Erfülltsein der Axiome I und II. Bei den in Betracht kommenden Erweiterungskörpern des Quotientenkörpers von ^ handelt es sich dabei nur um solche, die durch Adjunktion eines Elementes aus © erzeugt werden können 15 ). Damit ist unter Berücksichtigung von 1. und 2. für Zahl- und Funktionenkörper die Gültigkeit der Axiome I bis V erkannt.
§4.
Isomorphiesätze. Direkte Summen.
Im folgenden wird nur Ring- bzw. Moduleigenschaft aber kein weiteres Axiom vorausgesetzt.
1. Sind M und M Modulbereiche in bezug auf 9Î (§2), so heißt M zu M homomorph (genauer: modul-homomorph), M ^ M , wenn jedem Element aus M ein und nur ein Element aus M entspricht, derart, daß dadurch M erschöpft wird 18 ); und wenn bei dieser Zuordnung die Differenz und die Multiplikation mit demselben Element aus 9Î sich entsprechen; wenn also aus ß^ß und y ~ y stets folgt: (ß — y) ~ (ß — y) und rß^rß.
Einem 9Î- Modul S3 aus M entspricht also homomorph ein 9Î- Modul 33 aus M; und die Gesamtheit (£*' der Elemente aus M, denen Elemente eines 9Î- Moduls (£ aus M entsprechen, bildet einen durch © eindeutig bestimmten 9î-Modul in M, den © zugeordneten Modul E* mit Ist insbesondere 21 der dem Nullelement aus M zugeordnete Modul, so wird (£* ein Teiler von 91 und zerfällt in Klassen vo^ modulo 21 kongruenten Elementen aus M, derart daß diese Klassen den Elementen aus (£ ein-eindeutig entsprechen. Geht man von 33 in M über zu 53" in M, und von da zurück zu S3*, so wird S3* = (S3, 2Í); also gleich dem größten
15 ) Das SyBtem der in bezug auf g ganzen Größen dieser Erweiterungskörper gewinnt man auch, indem man von © entsprechend zu einem Funktionalbereich übergeht, wie von Sit zu g. Vgl. etwa J. König, Algebraische Größen, Leipzig 1903, S. 468/69.
10 ) Alles im Sinne der in M herrschenden Gleichheitsdefinition, vgl. Anmerkung ").

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E. Noether.
gemeinsamen Teiler von 33 und 2t; es wird also 93 * = 33, wenn S3 Teiler von 2Í.
Ist das Entsprechen der Elemente aus M und M umkehrbar eindeutig, so heißen die Bereiche isomorph (genauer modul-isomorph) M~M.
Ist 2t ein beliebiger 9Î- Modul aus M, so entsteht ein zu M homo- morpher Modulbereich M — der Restklassenmodul M [ 2t —, indem man die Kongruenz nach 2Í als neue Gleichheitsbeziehung auffaßt. Jedem Element aus M sind dabei alle und nur die ihm gleichen aus M zugeordnet. Geht man in M von der Gleichheitsdefinition zur Identität über, so heißt das, daß man alle in M gleichen Elemente in einer Klasse — Restklasse — zusammenfaßt und diese Restklassen als neue Elemente von M auffaßt 17 ).
Durch den Übergang zum Restklassenmodul wird jeder Homomorphismus erzeugt ; denn ist M ~ M, und ist 2Í der dem Nullelement aus M zugeordnete Modul, so wird, wie oben gezeigt, M isomorph dem Restklassenmodul M I 2t.
2. Erster Isomorphiesatz. Bedeutet M den Restklassenmodul M ¡ 2t, und ist © Teiler von Sil, so gilt der Isomorphismus: M|6~M|©. Denn die Kongruenz nach 2t ist zugleich eine Kongruenz nach © ; nach 2t gleiche Elemente bleiben also gleich nach ©, und man kann mithin den Restklassenmodul M ¡ © — also die Gleichheit nach © — bilden, indem man zuerst die Elemente nach 2t gleichsetzt, also zu M übergeht, und unter diesen die nach © gleichen zusammenfaßt, was in M dem Gleichsetzen nach ©, also der Bildung von M | © entspricht.
Zweiter Isomorphiesatz. Sind 23 und 2t Moduln aus M, so gilt der Isomorphismus : (S3, 2I)| 2t~ 93 ¡ [93, 2t]. Denn nach 1. wird 93 homo- morph zu 93, wenn (93, 2t) 12t gleich 93 gesetzt wird; und da hierbei allen Elementen aus [58, 2t] und nur diesen das Nullelement in 93 entspricht, so kommt wieder nach 1. der obige Isomorphismus.
3. Sind 3î und 9Ï (kommutative) Ringe, so heißt homomorpli zu SR (genauer ring-homomorph ), wenn jedem Element aus 9Ï ein und nur ein Element aus 9v entspricht derart, daß dadurch 9î erschöpft wird; und wenn bei dieser Zuordnung Differenz und Produkt sich entsprechen. Ist das Entsprechen der Elemente umkehrbar eindeutig, so heißen die Ringe isomorph (genauer ring-isomorph),
Alle Überlegungen unter 1. und 2. bleiben erhalten, wenn man die Moduln durch Ideale in 3î ersetzt 18 ), und wenn der Begriff des Modul- Homomorphismus und Modul-Isomorphismus durch Ring-Homomorphismus
") Vgl. dazu Anmerkung 6 ).
18 ) Bei niehtkommutativen Ringen müssen zweiseitige Ideale zugrunde gelegt
werden.

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
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und Ring-Isomorphismus ersetzt wird. Insbesondere entstellt, wenn c ein Teiler von a ist, der Restklassenring c|a, indem die Kongruenz nach a als neue Gleichheitsbeziehung eingeführt wird, wobei zu beachten ist, daß jetzt noch die Produkte von Restklassen definiert sind.
Es wird c homomorph zu c|a; jeder Homomorphismus ist auf diese Art erzeugt, und es gelten wie unter 2. die Isomorphiesätze:
Erster Isomorphiesatz. Bedeutet den Restklassenring 9ï|a, und ist c Teiler von a, so wird 9í|c ~9í¡c im Sinne des Ring-Isomorphismus.
Zweiter Isomorphiesatz. Sind b und a Ideale aus SR, so gilt der Ring-Isomorphismus: (6, a)| a~b | [i>, a] in ).
4. Im folgenden sollen die Rechenregeln über teilerfremde Ideale zusammengestellt werden 20 ), aus denen sich in 5. die Sätze über direkte Summen ergeben werden. In dem kommutativen Ring 9Î werde die Existenz des Einheitselementes e der Multiplikation vorausgesetzt. Es wird also a = o a für jedes Ideal aus 9t, unter o das Einheitsideal verstanden. Zwei Ideale a, b heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (a, ii) gleich o wird.
4a. Ist (a, b) = o, sowird (a,bc) = (a, c). Denn (a, c) = (a, b)-(a, c) = (o 2 , ab, a C, b c) wird durch (a,bc) teilbar und umgekehrt. Daraus folgt:
iß. Aus cb = 0 (a) und (a ,b) = o folgt c = 0 (a). Denn cb = 0(a) ist gleichbedeutend mit (a, bc)=a; also wird wegen (ci,b) = c> auch ( q , c) == a oder c ~0 (a). Es folgt weiter:
4 y. Ist jedes der Ideale , ..., a,. teilerfremd zu jedem der Ideale b 15 .b s , so wird das Produkt der a ; teilerfremd zu dem Produkt der b¡. Denn aus (a, b)=0 und (a, c) = 0 kommt (a, bc) = o, woraus durch endlich oftmalige Wiederholung die Behauptung folgt.
Aus 4« und 4 y ergibt sich:
4(5. Sind die Ideale b x , ..b,. paarweise teilerfremd, also (b ; , bj= o für i =4= k, so wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich ihrem Produkt. Sei (a,b) = o, ü = [a, b]; dann wird b = o ö = (n ü, b ö)
19 ) Diese aus der Gruppentheorie bekannten Isomorphiesätze finden sich für Moduln in etwas speziellerer Fassung zuerst bei Dedekind (vgl. 3. Aufl., S. 484). Die obige Fassung für Ideale findet sieh bei Masazo Sono: On Congruences. I., II., III., IV. Memoirs of the College of Science, Kyoto Imperial University, 2 (1917), 3 (1918, 1919). Vgl. 2, S. 215. Explizit ausgesprochen ist jeweils nur der zweite Isomorphiesatz.
20 ) Und zwar in der auf Dedekind zurückgehenden Form (4. Aufl., § 178, III bis VIII). Das in neueren Darstellungen durchweg auftretende Rechnen mit dem Einheitselement ist viel umständlicher.

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= 0(a,b); wegen cib = 0(b) kommt also ö = ab, woraus durch endlich oftmalige Wiederholung unter Beachtung von 4 y die Behauptung folgt.
4 e. Sind die Ideale bj , ..., 6,. paarweise teilerfremd, ivird ' ,...,
b i _ 1 , 6 f+1 ,..b r ] = bj... b i _ 1 b i+1 .. .b r gesetzt, so wird (a 15 ..., a,-.^ flf+i. • • •> O = b¡ und also (a 1 ,...,a r )= o. Denn nach dem distributiven Gesetz wird ( Oj, 0 2 ) = b 8 ... b r ( b 3 , b x ) = b 3 .., b r ; und also ( , a„, ct g ) = b 4 ... b r (b 3 , b A b 3 ) = bj... b r , woraus durch endlich oftmalige Wiederholung bei passender Numerierung die Behauptung folgt.
Es wird a f als Komplement von b,- in der Darstellung m = [b x , ..., b r ] bezeichnet.
5. In dem kommutativen Ring 9Î sei wieder die Existenz des Einheitselementes der Multiplikation vorausgesetzt. Der Ring SR heißt direkte Summe der Ideale a i; .a r , — in Zeichen: 9Î = + a 2 + ... + a,. — wenn jedes Element c aus 9Î sich auf eine und nur eine Art darstellen läßt in der Form: c = a 1 + a 3 + ... + a r , wo jeweils a¡ Element aus a¡.
Ist das Nullideal kleinstes gemeinsames Vielfaches der paarweise teilerfremden Ideale h 1 ,...,h r , und ist a ; das Komplement von b f) so wird 9Ï direkte Summe der Ideale a i; ..., a r . Denn wegen o = (a 1} ..., a r ) läßt jedes Element aus 9Î mindestens eine additive Darstellung durch die a ; zu; wegen [ß jJ b J ] = (0) ist diese Darstellung eindeutig; denn aus 0 = a 1 + • • • + ö r = a i + b i kommt a¡ = 0. Nach dem zweiten Isomorphiesatz werden die a ; isomorph dem Restklassenring 3î j b ; . Es gelten die „Orthogonalitätsrelationen" a ¿ a t = (0) für i =}= k und 0^ = 0», letzteres wegen a ¿ = o a ; .
Existiert umgekehrt eine Darstellung von 9Ï als direkte Summe — 0î= cij + a 3 + ... + a,. — und setzt man b¿ = (c^, ..., a i _ 1 , a i+1 ,...,a r ) = a 1 -f- ... + a i _ 1 + a i+1 + ... + a r , so werden die b ; paarweise teilerfremd und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Nullideal. Denn aus o = (a ; , b { ) folgt o = (b fc , b¿) für k 4= i, da b ; . Teiler von a¡. Sei weiter c teilbar durch alle b ¿ , so kommt c = al 1] + ... + a^ = a®-f 03 3) + ...+a} 2) = ... = ai r) + • •• + «r-i, wo jeweils af* e = 0 (a f ). Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt also, da jeweils eine Komponente zu Null wird: 0 = af', ..., 0 = für jedes X und damit c = 0. 21 )
21 ) Die unter 5. gegebenen Sätze sind Spezialfälle eines allgemeinen Satzes über den Zusammenhang zwischen direkter Summe und direktem Durchschnitt. Vgl. H. Prüfer, Theorie der Abelschen Gruppen I, Math. Zeitschr. 20 (1924), S. 165 — 187, § 6. Die dort gegebenen Überlegungen bleiben auch bei so allgemeiner Fassung des Gruppenbegriffs erhalten, daß Moduln und Ideale sich als Spezialfall unterordnen.

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
43
§5.
Primideale und Primärideale.
Es sei wieder 3Î ein kommutativer Ring, für den kein weiteres Axiom — auch nicht Existenz des Einheitselementes — vorausgesetzt werde. Es sollen die Grundtatsachen über Primideale und Primärideale zusammengestellt werden 22 ).
1. Ein Ideal p aus DÏ heißt schwaches Primideal, wenn der Restklassenring 9î|p ein Ring ohne Nullteiler ist; wenn also aus a^0(;p) und ö^O(^) stets folgt a6^0(p). Ein Ideal p* aus 9Î heißt starkes Primideal, wenn der Restklassenring 91 | p * ein Ring ohne Nullteilen'deaie ist; wenn also aus a^0(p*) und 6^0 (p*) stets folgt a £>^0 ()}*). Jedes starke Primideal ist zugleich schwaches Primideal, wie die Spezialisierung von a, b zu Hauptidealen zeigt. Umgekehrt ist auch jedes schwache Primideal zugleich starkes Primideal', man kann also von Primidealen schlechthin sprechen. Denn sei p schwaches Primideal; sei a^0(p) und b^0(p); seien weiter a und b Elemente aus a und h, so daß a^EO(p) und b^0(p). Dann kommt und damit ctb^O(p); also ist p auch starkes Primideal.
2. Ein Ideal q aus 9Í heißt schwaches Primärideal, wenn im Rest- klassenring 91 |q eine Potenz jedes Nullteilers verschwindet; wenn also aus a^0(q) und 6"^s0(q) für jedes x stets folgt a&^0(q). Das System p aller Elemente aus 9Ï, die Nullteiler aus 5R|q werden, bildet ein Ideal, und zwar ein Primideal, das Teiler von q wird, das zugehörige Primideal. Denn neben a wird auch ra Nullteiler, neben a und b auch a — 6; letzteres damit a"~ und b'' stets (a — 6)* +; " durch q teilbar .wird. Ist ferner a kein Nullteiler, so wird nach Definition auch keine Potenz von a Nullteiler; aus a^0(p) und folgt also a " b" = (aö)*^0(q) und damit aö^0(p).
Ein Ideal q* aus 9Î heißt starkes Primärideal, wenn im Restklassenring 9t |q* eine Potenz jedes Nullteiler¿deaZs verschwindet; wenn also aus a^0(q*) und b K ^0(q*) für jedes x stets folgt ab^0(q*). Wie bei schwachen Primäridealen zeigt man: Der größte gemeinsame Teiler aller Idale aus 91, die Nullteilerideale aus 91 Jq* werden, bildet ein Primideal, das Teiler von q* wird, das zugehörige Primideal. Umgekehrt sagt man von allen Primäridealen, die dasselbe zugehörige Primideal p besitzen, sie „ gehören zu \)
2ä ) In Idealtheorie, § 4, ist Axiom I des Teilerkettensatzes vorausgesetzt, und es tritt deshalb nicht scharf hervor, welche Eigenschaften der Prim- und Primärideale von diesem Axiom unabhängig sind.

44
E. Noether.
Jedes starke Primärideal ist zugleich schwaches Primärideal, wie die Spezialisierung von o, 6 zu Hauptidealen zeigt. Im allgemeinen gilt aber nicht die Umkehrung' 23 ), Wird jedoch in 3t das Axiom I des Teilerkettensatzes vorausgesetzt, so ivird jedes schivache Primärideal zugleich starkes Primärideal ; man kann also von Primäridealen schlechthin sprechen. Dann sei q schwaches Primär ideal; sei a^O(q) undö' < ^0(q) für jedes x. Dann gibt es Elemente a aus a und b aus i), so daß a^O(q) und ¿*^0(q) für jedes pí; mithin kommt aô^O(q) und damit aßs^O(q). Denn wenn zu jedem b aus b ein Exponent  existiert, so daß 6'' = 0(q) wird, so wird ii ; " 1+ "' +;l ''=0(q) unter x l; ..., l r die Exponenten der endlich vielen Basiselemente verstanden 24 ). Diese letztere Überlegung zeigt noch: Es gibt einen (kleinsten) Exponenten q derart, daß :pe = 0(q) wird, wo )) das zugehörige Primideal bedeutet; q heißt der Exponent von q.
3. Im folgenden sei der Teilerkettensatz wieder nicht vorausgesetzt. Das kleinste gemeinsame Vielfache [a x , ..., CtJ von endlich vielen Idealen heißt eine kürzeste Darstellung, wenn kein a ; im kleinsten gemeinsamen Vielfachen der übrigen aufgeht, wenn also kein a¿ weggelassen werden kann.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von endlich vielen, zu demselben Primideal ,p gehörigen schivachen bzw. starken Primäridealen ist wieder schwaches Primärideal mit p als zugehörigem Primideal. Eine kürzeste Darstellung durch endlich viele, zu verschiedenen Primidealen gehörigen schivache bzw. starke Primärideale ist kein schwaches bzw. starkes Primärideal. Sei ! = [q 15 ..q r ] und p zugehöriges Primideal der schwachen Primärideale q ¿ ; dann besteht p auch aus der Gesamtheit der Elemente, von denen eine Potenz durch l teilbar wird. Aus a ^ 0 (!) und 6*^0(!) für jedes « folgt also 6^0(£>) und a^0(q¿) für mindestens einen Index i; also a&^0(q ¿ ) und damit aô^0(ï). Ersetzt man durchweg die Elemente durch Ideale, so läßt sich nicht mehr 6^0(p) schließen.
Sei jetzt m = [q x , ..q r ] mit =4= für i =4= & ei ne kürzeste Darstellung durch schwache Primärideale und sei ?• ¿> 2. Dann gibt es mindestens ein zugehöriges Primideal, etwa ^, das in keinem der übrigen
33 ) Das zeigt das folgende, mir von R. Hölzer mitgeteilte Beispiel. Sei SR der Polynombereich von abzählbar vielen Unbestimmten x¡ mit Koeffizienten aus einem Körper; Bei q = (a; 2 , cc®, ••., xf +1 , ..., x i x^l i =j= k].. .). Nullteiler im Restklassenring sind alle und nur die durch p = ( k , x„, ..., x v , ...) teilbaren Polynome, und es wird jeweils eine Potenz dieser Nullteiler durch q teilbar; q ist also Schwaches Primärideal mit p als zugehörigem Primideal. Dagegen ist q kein starkes Primärideal; denn setzt man a = (a^, x s , x s , ..., x iv+1 , . ..) und 6 = (x^, x i , ..., x^ v , .. .), so wird afi = 0(q), aber keine Potenz von a oder 6 durch q teilbar.
3J ) Um von Axiom I auf die endliche Idealbasis schließen zu können, muß eine feste Wohlordnung in 91 zugrunde gelegt werden (vgl. § 6).

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
45
aufgeht; denn jede echte Vielfachenkette der p muß nach höchstens r Schritten abbrechen. Somit gibt es Elemente a i aus p i; derart, daß of'~0(q i ) und a 2 ^0(t> 1 ); ... a r 0(pj wird. Ist weiter 0(m)
ein Element aus q 1( so wird af 2 ... a r er = 0 (m), aber keine Potenz von (a%*... a? r ) durch m teilbar, da sonst Teilbarkeit durch folgen würde; tri ist also kein schwaches Primärideal. Ersetzt man durchweg die Elemente durch Ideale, also q x durch und a i durch a i [^(^) 1 ), aber n? ^0(q¿)], so ergibt sich der Beweis für starke Primärideale 25 ).
4. Modul- und Idealquotient. Sei % ein Erweiterungsring von 9t, seien St, S3, (£, ..., 91-Moduln in %. Der Quotient Ê = SI : 93 ist definiert als ein Modul, der den Bedingungen genügt: (£93 = 0(21) und aus '3)93 = 0(21) folgt ® = 0((£) — es ist also (£ der „kleinste" Modul, für den (£93 = 0(21) wird. Dadurch ist der Quotient eindeutig bestimmt als größter gemeinsamer Teiler aller Moduln für die 5)93 = 0(21) gilt; solche ® existieren, da der Nullmodul sicher ein solcher Modul ist.
Aus der Definition folgt: Ist 93 ein Vielfaches von 93, so wird 21:93 ein Vielfaches von 21:93. Ist 2t ein Vielfaches von 21, so wird 21:93 ein Vielfaches von 1: 93. Es wird 2Í : 93 (£ = (2Í : 23) : © == (21 : (S) : 93.
Fällt der Erweiterungsring % mit 9Î zusammen, so geht der Modul, quotient in den Idealquotient a : £) über, für den somit auch die obigen Rechenregeln gelten. Wegen ab = 0(a) folgt hier noch a = 0(a:b).
5. 1st a:b = a, so heißt b prim zu a. Ein Ideal b ist also dann und nur dann prim zu a, wenn aus bb = 0(a) stets folgt b 0(a). Aus den Rechenregeln unter 4. folgt: Sind b und c prim zu a, so ist auch ihr Produkt nnd ihr kleinstes gemeinsames Vieljaches prim zu a. Ist sowohl b prim zu a , wie a prim zu b , so heißen a und b gegenseitig prim. Aus § 4, 4/3 folgt: Sind a und b teilerfremd, so sind sie auch gegenseitig prim.
§6-
Idealtheorie bei Voraussetzung des Teilerkettensatzes.
Zugrunde gelegt sei ein (kommutativer) Ring 9î, für den Axiom I des Teilerkettensatzes erfüllt ist; weiter sei im folgenden stets eine feste Wohlordnung aller Elemente aus 3Î zugrunde gelegt. Damit ist aber zugleich auch eine Wohlordnung aller Ideale aus 9Î gegeben. Denn die beiden Voraussetzungen ergeben sofort, daß jedes Ideal aus 9Î eine aus endlich vielen Elementen bestehende Idealbasis besitzt. Geht man also von der Wohlordnung der Elemente aus 9Î über zu einer quasi-lexikographischen An-
3ä ) Diese Modifikation meines ursprünglichen Beweises, durch die der Teilerkettensatz entbehrlich wird, verdanke ich B. L. van der Waerden.

46
tí. Noether.
Ordnung aller endlichen Untermengen von Si 3 "), und ordnet jedem Ideal als ausgezeichnete Basis die unter den verschiedenen möglichen Basen erste in der Wohlordnung der endlichen Untermengen zu, so sind mit den endlichen Untermengen auch die Ideale wohlgeordnet.
Satz I. Jedes Ideal aus 9Í läßt — bei Voraussetzung des Teilerkettensatzes — eine Darstellung als kleinstes gemeinsames Vielfaches von endlich vielen irreduziblen Idealen zu, d. h. von Idealen die sich nicht als kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei echten Teilern darstellen lassen.
Zum Beweis ist zu zeigen: Ist Satz I für ein Ideal rtt nicht erfüllt, so besitzt m einen echten Teiler, für den Satz I ebenfalls nicht erfüllt ist; daraus läßt sich entgegen dem vorausgesetzten Teilerkettensatz eine nicht im Endlichen abbrechende Teilerkette konstruieren. In der Tat muß ttt reduzibel sei, da sonst m = [m] die gewünschte Darstellung liefern würde. Wird nt = [a,£>], so kann Satz I nicht für rt und b gleichzeitig erfüllt sein, da sonst eine entsprechende Darstellung für m folgen würde. Es gibt also echte Teiler von tri, für die Satz I nicht erfüllt ist; sei ctj der in der Wohlordnung der Ideale erste. Indem man entsprechend zu ttj einen echten Teiler ct 2 konstruiert, und allgemein zu n i einen echten Teiler a i+1 , kommt man zu einer wohlbestimmten, nicht im Endlichen abbrechenden Teilerkette, gegen die Voraussetzung 27 ].
2Ö ) Darunter ist folgendes zu verstehen: die Elemente a lt a n einer endlichen Untermenge 2I„ seien so bezeichnet, daß die Anordnung der Indizes mit der in SR gegebenen Wohlordnung übereinstimmt. Jede Untermenge 5(„ gehe einer solchen mit m > n Elementen voran. Sind 3f„ und 33, ¡ Untermengen von gleich vielen Elementen, so heiße 9t,, früher als S3„, wenn das erste Element a¡, das von dem entsprechenden b¡ verschieden ist, in der Wohlordnung von 8t dem b¡ vorangeht. Damit ist jedem System endlicher Untermengen ein erstes Element Sf„ zugeordnet.
Bei gegebener Wohlordnung von SR bedarf es also keines weiteren Auswahlpostulats; ist insbesondere Di abzählbar — wie etwa im Fall des algebraischen Zahlkörpers —, so liegt überhaupt kein Auswahlpostulat zugrunde.
Auf die Rolle des Auswahlpostulats in der Idealtheorie ist ohne nähere Ausführungen in Idealtheorie, Anmerkung °), hingewiesen.
-") Satz I gilt offenbar genau so für Modulbereiche, wenn der Teilerkettensatz für das System aller Moduln vorausgesetzt wird. Satz I trägt nämlich rein mengentheoretischen Charakter — er ist zugleich der einzige, bei dessen Beweis die Wohlordnung der Ideale benutzt wird. Es handelt sich, unabhängig von allen Verknüpfungen, um die folgenden mengentheoretischen Begriffe:
In einer Menge SOI sei eine Untermenge S der Potenzmenge — also ein System von Untermengen — ausgezeichnet. 2 sei als wohlgeordnet angenommen; die Elemente von ¿ seien etwa als ¿'-Mengen bezeichnet. In ¿ sei der Kettensatz vorausgesetzt: Jede Kette von ¿-Mengen, 2ii, 91a, ..., 2I V ..., derart, daß Stv eine echte Obermenge von 2t i— i ist, bricht im Endlichen ab. Eine ¿-Menge 91 heiße reduzibel

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
47
Wegen des vorausgesetzten Teilerkettensatzes kann nach § 5, 2. von Primäridealen schlechthin gesprochen werden. Den Zusammenhang zwischen primär und irreduzibel ergibt
Satz II. Bei Voraussetzung des Teilerkettensatzes ist jedes irreduzible Ideal primär, m. a. W. jedes niclitprimäre Ideal ist reduzibel.
Da beim Übergang zum Restklassenring 9Í | m wegen der Homo- morphie der Teilerkettensatz erhalten bleibt, da der Darstellung von in als kleinstem gemeinsamen Vielfachen die Darstellung des Nullideals entspricht und da wegen des ersten Isomorphiesatzes (§ 4, 3.) den primären Teilern von nt wieder solche in 9ï|m entsprechen und umgekehrt, kann man sich auf die Zerlegung des Nullideals im Restklassenring beschränken. Da dieser ein Ring gleicher Allgemeinheit ist, kann man von vornherein das zu zerlegende Ideal als Nullideal von 3Í voraussetzen.
Sei also das Nullideal von 9i nichtprimär, so daß es mindestens ein Paar von Idealen a, b gibt — wobei noch 0 als Hauptideal vorausgesetzt werden darf — derart, daß a=|=(0), b" + (0) für jedes x, aber ab=(0). Es sei die —nach Voraussetzung im Endlichen abbrechende — Teilerkette der Idealquotienten gebildet: a, a : b, .. ., a : sei etwa
t=a:b m ~ 1 =a:b m ... gleich allen folgenden Idealen der Kette; also t = t:b oder b prim zu t. Weiter ist t als Teiler von a vom Nullideal verschieden, ebenso b* für jeden Exponenten x. Zum Beweise von Satz II genügt es also, eine Darstellung (0) = [t, b m+1 ] nachzuweisen.
Nach Definition ist:
b m_1 1 = 0(a), also b m t = (0),
es ist also nur zu zeigen:
c=[f, b m+1 ] = 0(b m f).
Dies folgt aus den Voraussetzungen, daß b Hauptideal und zu t prim ist. Jedes Element c aus c läßt wegen der Teilbarkeit durch b" i+1 eine Darstellung zu — unter n Symbol einer ganzen Zahl verstanden — :
c = Jcb m+l + nb m+1 = rb m ,
wo r jetzt wieder ein Element aus 3Î bedeutet. Aus c = 0(t) folgt also rö m =0(t) und damit r= 0 (f) wegen t:b=t. Damit ist aber c = 0(tb ni ) und Satz II bewiesen.
Satz III. Bei Voraussetzung des Teilerkettensatzes läßt jedes Ideal eine kürzeste Darstellung als kleinstes gemeinsames Vielfaches von endlich
wenn sie Durchschnitt von zwei ¿"-Mengen ist, die beide echte Obermengen von 31 werden, im entgegengesetzten Fall irreduzibel. Dann ergeben die obigen Überlegungen: Jede 2-Menge läßt sich als Durchschnitt von endlich vielen irreduziblen 2-Mengen darstellen.

48 E. Noether.
vielen, zu verschiedenen Primidealen gehörigen, also größten Primärkomponenten zu' 28 ).
Um zu einer solchen Darstellung zu gelangen, hat man nur, was immer möglich, die nach Satz I existierende Darstellung durch irreduzible, also nach Satz II primäre Ideale durch eine kürzeste zu ersetzen. Faßt man die zu gleichen Primidealen gehörigen Primärideale zusammen, so ergibt sich die gesuchte Darstellung nach § 5, 3. Die Primärkompouenten können als größte bezeichnet werden, da das kleinste gemeinsame Vielfache von irgendwelchen unter ihnen nicht mehr primär ist.
§ 7.
Idealtlieorie bei Voraussetzung des Doppelkettensatzes.
Die Vereinfachungen gegenüber der bis jetzt entwickelten Theorie beruhen auf den unter 1. und 2. zu gebenden Hilfssätzen.
1. Ist in einem kommutativen Ring ohne Nullteiler der Vielfachenkettensatz erfüllt, so ist der Ring zugleich Körper. Es ist zu zeigen, daß für a =H 0 die Gleichung ax—b stets eine Lösung im Ring besitzt; daß sie nicht mehr als eine Lösung besitzen kann, folgt daraus, daß der Ring ohne Nullteiler vorausgesetzt ist.
Sei a das aus a abgeleitete Hauptideal; nach Voraussetzung bricht die Reihe der Potenzen im Endlichen ab; sei etwa u'" gleich allen folgenden. Bezeichnet b das aus b abgeleitete Hauptideal, so kommt also:
a Mi 6 = a m+1 b mit a' n+1 i> = (a m+1 b).
Das ergibt insbesondere für das Element a m b eine Darstellung — unter n Symbol für eine ganze Zahl verstanden —
a m b = ka m+1 b -f- na m+1 b — a m+1 c,
wo c wieder Element aus 91. Da nach Voraussetzung keine Nullteiler existieren, kommt daraus b = ac, womit die Körpereigenschaft bewiesen ist.
2. Aus 1. folgt unmittelbar der
Hilfssatz: Ist in einem kommutativen Ring der Vielfachenkettensatz erfüllt, so besitzt ein Primideal keinen von o verschiedenen echten Teiler.
Ebenso folgt der Zusatz. Ist nur Axiom II erfüllt — Vielfachenkettensatz modulo jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal —, so besitzt jedes
- 8 ) Dabei sind die zugehörigen Primideale und die isolierten Komponenten eindeutig bestimmt. Vgl. Idealtheorie oder auch W. Ivrull, Ein neuer Beweis für die Hauptsätze der allgemeinen Idealtheorie. Math. Ann. 00 (1923), S. 55—64. In § 7 wird ein direkter Beweis der Eindeutigkeit für den dort auftretenden einfachen Spezialfall gegeben werden. Die dort als eindeutig erkannten Primärideiile sind isolierte Komponenten.

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
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vom Nullideal verschiedene Primideal keinen von o verschiedenen echten Teiler.
Denn der Restklassenring nach einem Primideal p wird nach Definition ein Ring ohne Nullteiler; und da wegen der Homomorphie auch hier der Vielfachenkettensatz erfüllt ist, nach 1. ein Körper. Wegen des eineindeutigen Entsprechens der Teiler von p und der Ideale im Restklassenring besitzt also keinen von o verschiedenen echten Teiler 2 ").
Satz IV. 1st in einem kommutativen Ring der Doppelkettensatz erfüllt, so sind in jeder kürzesten Darstellung eines Ideals diejenigen primären Komponenten, die nicht zum Einheitsideal o gehören, eindeutig bestimmt.
Zusatz. Bei Voraussetzung von Axiom I und II gilt Satz IV für jedes vom Nullideal verschiedene Ideal.
Seien nt = [q, q x ,..q r ] = [q, q 1} ..., q 7 ] kürzeste Darstellungen von m durch größte Primärkomponenten, seien o, ..., p r bzw. o, ..., p r die zugehörigen Primideale. Dabei soll q bzw. q fortgelassen werden, wenn kein zu o gehöriges Primärideal auftritt. Wegen 0(m)
muß jedes in einem aufgehen, also nach dem Hilfssatz mit diesem identisch sein. Da ebenso jedes !p lc mit einem y k übereinstimmen muß, stimmen also die von o verschiedenen Primideale überein, Es
wird weiter q q x .. .q r =0 (qi) und daraus q;.= 0(q;.), da die übrigen Komponenten nicht durch p;. teilbar, also prim zu q¿ sind. Da ebenso q¿ == 0 (q;.) folgt, ist also die Eindeutigkeit der nicht zu o gehörigen Primärkomponenten gezeigt. Tritt schließlich q wirklich auf, so muß wegen der kürzesten Darstellung auch "q wirklich auftreten, womit noch die Eindeutigkeit der zugehörigen Primideale gezeigt ist. Weiter zeigt der Eindeutigkeitsbeweis noch, daß jede Darstellung, die keine zu o gehörige Primärkomponente enthält, zugleich kürzeste ist.
3. Fügt man zu der Voraussetzung des Doppelkettensatzes noch die Existenz des Einheitselementes hinzu, so verschärft sich Satz IV zu
Satz V. Ist in einem kommutativen Ring mit Einheitselement der Doppelkettensatz erfüllt, so läßt sich jedes Ideal eindeutig als Produkt von endlich vielen, paarweise teilerfremden Primäridealen darstellen.
Zusatz. Bei Voraussetzung von Axiom I, II, III gilt Satz V für jedes vom Nullideal verschiedene Ideal.
29 ) Dabei braucht in SR und damit in o •— dem aus allen Elementen von 9Î bestehenden Einheitsideal — kein Einheitselement zu existieren, obwohl es nach 1. im Restklassenring eine Einheitsklasse gibt. Das einfachste Beispiel dieser Art — wo es sich um den schwächeren Fall des Zusatzes handelt — bildet das System aller geraden Zahlen.
Mathematische Annalen 90. 4

50
E. Noether.
Wegen der Existenz des Einheitselementes wird o' J = o, und damit wird jedes zu o gehörige Primärideal gleich o , kann also in einer kürzesten Darstellung eines von o verschiedenen Ideals nicht auftreten; somit sind nach Satz IV die Primärkomponenten eindeutig bestimmt. Zugleich wird jede Darstellung durch Fortlassen von o zu einer kürzesten. Zwei verschiedene Primideale werden ferner nach dem Hilfssatz unter 2. stets teilerfremd; also gilt nach den Rechenregeln aus § 4, 4. dasselbe für die Primärkomponenten ; das kleinste gemeinsame Vielfache wird somit zum Produkt.
Aus den Voraussetzungen folgt weiter der
Hilfssatz. In einem kommutativen Ring mit Einheitselement und Doppelkettensatz sind außer dem Einheitsideal alle und nur die Primideale prim zu einem Ideal m , die nicht in m aufgehen. Die Begriffe prim und teilerfremd fallen zusammen.
Zusatz. Bei Voraussetzung der Axiome I, II, III muß nt vom Nullideal verschieden angenommen werden.
Geht p nicht in nt auf, so ist es von allen zu m gehörigen Primidealen verschieden, also nach dem Hilfssatz unter 2. durch keines dieser von o verschiedenen — Primideale teilbar; somit wird p prim zu jeder Primärkomponente und damit zu nt. Zugleich wird p teilerfremd zu jeder Primärkomponente und damit zu nt.
Geht p =j= o in m auf, so muß es mit einem der zugehörigen Primideale übereinstimmen. Gehört es etwa zur Komponente q = q 1 , so wird demnach Q : p ein echter Teiler von q — wegen p? -1 = 0 (q : p); ^O(q). Zugleich wird q : p als Teiler von p<? -1 nur durch ein Primideal =)= o teilbar und also primär. Wegen der eindeutigen Zerlegbarkeit wird daher auch das durch nt : p teilbare Produkt (q : p) • q 2 ... q r ein echter Teiler von nt; es wird also p nicht prim zu nt.
Somit wird ein Ideal t =)= 0 dann und nur dann prim zu nt, wenn keines der zu t gehörigen Primideale in m aufgeht; in diesem Fall wird aber t auch teilerfremd zu nt. Da umgekehrt zwei teilerfremde Ideale stets gegenseitig prim sind (§ 5, 5.), so fallen also unter den obigen Voraussetzungen die beiden Begriffe zusammen.
§8.
Idealtheorie bei ganzer Abgeschlossenheit im Quotientenkörper.
Die bis hierher entwickelte Idealtheorie soll jetzt durch Hinzunahme der beiden letzten Axiome zu der üblichen verschärft werden.
1. Hilfssatz. 1st 9Î ein kommutativer Ring ohne Nullteiler mit Einheitselement, und wird in 3Í der Teilerkettensatz vorausgesetzt (Axiom

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
51
I, III, IV), so folgt aus a = ab und a=H(0) stets b = o. Es wird also qo =}= c e+1 für alle von Null- und Einheitsideal verschiedenen Ideale 30 ).
Der Beweis ergibt sich wie bei dem Hilfssatz § 1, 3., da man ab als endlichen Modul in bezug auf b auffassen kann. Bedeutet a 1 ,...,u n eine wegen I existierende Idealbasis von a, so folgt aus a=ab das Gleichungssystem cc.= b il a 1 +... + b in a n mit b ilc ~0(b) für i = 1,
Da 9Î ohne Nullteiler vorausgesetzt, folgt daraus | b iU — e ik \ = 0 ; mit e ilc — 0 für i 4= k; e tf = e. Aus der Gleichung e' l + b 1 e ,!_1 + • • • + b n = 0 mit b { = 0(b) folgt aber e = 0(b) und damit b = 0.
2. Es ist jetzt nur noch zu zeigen, daß durch Hinzunahme der Voraussetzung der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenkörper (Axiom V) zu den Axiomen I bis IV folgt, daß jedes vom Nullideal verschiedene Primärideal eine Potenz seines zugehörigen Primideals wird. Die Eindeutigkeit der daraus folgenden Darstellung nt = ^r 1 ... \s'j r für alle vom Nullideal verschiedenen Ideale ist schon durch Satz V und den Hilfssatz unter 1. bewiesen; zugleich ist gezeigt, daß diese Primideale keinen vom Einheitsideal verschiedenen echten Teiler besitzen. Der Beweis soll für den Exponenten zwei unter Heranziehung der Dedekindschen Folgerung II (§1,4.) geführt werden, allgemein durch volle Induktion.
Hilfssatz. Bei Voraussetzung der Axiome I bis V gibt es keine weiteren Primärideale vom Exponenten zwei als q = p 2 .
Zum Beweis ist zu zeigen, daß aus f 2 = 0 (q); q = 0(p); aber q ^ 0 (p 2 ) notwendig q gleich p folgt. Sei also
c = 0(q); mithin c = 0(p); aber c^0(p 2 ).
Dann folgt aus dem Hilfssatz §7, 3., daß oc:() echter Teiler von oc wird; also gibt es ein Element b, derart, daß
bip = 0(oc) = 0 (q) ; aber 6^0(oc);
mithin y = bjc nicht ganz wird, d. h. zum Quotientenkörper, aber nicht zu 9Î gehört.
Es ist b^ 0(f) nachzuweisen, woraus — da q primär und zu p gehörig — p = 0(q) folgt.
Nach der Dedekindschen Folgerung II gibt es Elemente m, n aus derart, daß y = bj c = m\n wird und auch m°"\n nicht ganz; daß also
bn = mc; m^0(o?i); m 2 ^0(o?i)
30 ) Dagegen kann bei den gleichen Voraussetzungen nicht von ab = ac auf 6 = c geschlossen werden, wie das folgende Beispiel zeigt, wo 9Î als Polynombereich in x, y mit Koeffizienten aus einem Körper angenommen ißt: a—[x,y); b — (x-, xy, y-) ; c = ( xa >2/ 2 )- Tatsächlich wird o6 = ac=a 3 ; aber 6 4= c.
4*

52
E. Noether.
wird. Duch Multiplikation von 6p mit m folgt:
raZ>p = 0(omc); also =0(ow6) und daraus wip = 0(orc),
letzteres, da es sich um einen Ring ohne Nullteiler handelt. Hieraus folgt
m^O(p) wegen m 2 ^0(o») und 7i = 0(p);
letzteres nach dem Hilfssatz § 7, 3 ; da o n : p echter Teiler von o n wegen to ^ O ( otï ). Die vier Relationen
n = 0(p); c = 0 (p ) ; ^ 0(p 2 ); bn = mc
ergeben aber Z>^sO(p). Denn da p 2 primär, kommt vorerst mc^0(p 2 ), und damit folgt wegen bn — mc. Damit ist der Hilfssatz bewiesen.
3. Hilfssatz. Bei Voraussetzung der Axiome I bis V gibt es keine weiteren Primärideale vom Exponenten q als q = pe.
Der Hilfssatz ergibt sich aus dem Hilfssatz unter 2. ohne Anwendung der Axiome 31 ). Zum Beweise ist vorerst zu zeigen:
1st c = 0(p); ^0(p 2 ), so wird p" = (oc ö , p" +1 ) für jedes a. Es wird p = (o c, p 2 ) nach dem Hilfssatz unter 2. Setzt man also voraus p" _1 = (oc° _1 , p"), so folgt durch Multiplikation mit p nach dem distributiven Gesetz:
p° = (pC _1 , p a+1 ) = (oc°, p 2 c <7 ~ 1 , p ff+1 ) = (oC, p ö+1 ).
Der zu beweisende Hilfssatz kann auf die folgende zweite Fassung gebracht werden :
Ist c[ = 0(p' 7 ); ^0(p a+1 ) und ist p o+ *=0(q) mit ¿¡>1, so wird auch p" +A_1 = 0 (q).
Denn wegen q = 0 (p) ; ^0(p e+1 ) existiert für jedes Primärideal ein solcher Exponent a 1 ; dabei folgt q^0(p e+1 ) aus pe = 0(q) und pe 4= p e+1 nach dem Hilfssatz unter 1. Die endlich oftmalige Anwendung der zweiten Fassung ergibt aber p CT = 0 ( q ) und damit q = p °.
Aus der Voraussetzung der zweiten Fassung folgt unter Berücksichtigung der Darstellung von p" für jedes Element q aus q :
q = bc° (p" +1 ) mit &^0(p) oder bc° = 0 (q, p° +1 ).
Da (q,p ff+1 ) primär, folgt daraus c ff = 0(q,p o+1 ) oder
c«+'— i = 0 (q, p" + *) und damit p n+A_1 = 0(q).
31 ) Der Beweis von Hilfssatz 3. unter Voraussetzung der Gültigkeit von Hilfssatz 2. findet sich bei Masazo Sono, On Congruences II, §§ 9 und 10. Vgl. Anm. ,0 ).

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
53
4. Zusammenfassend kommt
Satz VI. Sind in einem kommutativen Ring die Axiome I bis V erfüllt, so läßt sich jedes von Null- und Einheitsideal verschiedene Ideal eindeutig darstellen als Potenzprodukt von endlich vielen, von Null- und Einheitsideal verschiedenen Primidealen ; diese Primideale besitzen keinen vom Einheitsideal verschiedenen echten Teiler.
§9.
Die Axiome als Folge der vorausgesetzten Zerlegung.
Um aus der Existenz der üblichen Idealzerlegung — die nach Satz VI aus den Axiomen I bis V folgt — auch umgekehrt diese Axiome erschließen zu können, ist die Zerlegung in der folgenden Fassung vorauszusetzen :
Voraussetzung. In dem kommutativen Ring 9i ist jedes nicht vom Null- oder Einheitselement abgeleitete Ideal eindeutig als Potenzprodukt von Primidealen darstellbar. Diese Primideale sind nicht vom Einheitselement abgeleitete einfache Ideale •— d. h. sie besitzen keinen von o verschiedenen echten Teiler ; umgekehrt sind alle einfachen Ideale Primideale. Die Eindeutigkeit gilt in der scharfen Fassung, daß a e =4= n £ ' +1 wird für jedes nicht vom Null- oder Einheitselement abgeleitete Ideal.
Die Existenz des Einheitselementes ist dabei nicht vorausgesetzt ; gibt es kein Einheitselement, so stellt die Bedingung „nicht vom Einheitselement abgeleitet" keine Einschränkung dar.
1. Nachweis von Axiom III (Existenz des Einheitselementes). Sei Axiom III nicht erfüllt; es ist zu zeigen, daß o 2 einfaches Ideal wird, ohne Primideal zu sein, gegen die Voraussetzung. Nach der Eindeutigkeitsvoraussetzung wird o=t=o 2 ; es wird also o^0(o 2 ), aber o 2 = 0(o 2 ), und mithin o 3 kein Primideal. Es wird aber o 2 einfach; denn o 2 kann durch kein von o verschiedenes Primideal teilbar sein, besitzt also wegen der vorausgesetzten Produktdarstellung keine von o oder o 2 verschiedenen Teiler.
2. Nachweis von Axiom IV (Ring ohne Nullteiler). Ist a Nullteiler, also ab — 0, aber a =j= 0 und 6=4=0, so kommt durch Multiplikation der Darstellungen der aus a und b abgeleiteten Hauptideale : (0) = , wo die p von Null- und Einheitsideal verschieden sind
letzteres wegen Existenz des Einheitselementes. Die Darstellung soll als kürzeste vorausgesetzt werden in dem Sinne, daß durch Weglassen irgendeines Faktors ein echter Teiler der Null entsteht — eine Bedingung, die nicht von selbst erfüllt zu sein braucht, da über das Nullideal keine

54
E. Noether.
Voraussetzung über eindeutige Darstellung gemacht ist. Tritt in dieser Darstellung nur ein Primideal auf, so wird (0) = entgegen der
scharfen Eindeutigkeitsforderung. Tritt aber mehr als ein Primideal auf, so kommt
fr +1 = (tf +1 , ... #) I fr (p v fr . . . fr) = fr ;
denn wegen der Existenz des Einheitselementes wird zu allen übrigen Primidealen teilerfremd ; also ergibt sich auch hier ein Widerspruch gegen die scharfe Eindeutigkeitsforderung.
3. Nachweis der Axiome I und II (Kettensätze). Die Voraussetzungen ergeben für jedes vom Nullideal verschiedene Ideal: Aus Teilbarkeit folgt Produktdarstellung ; d.h. aus m = 0(a) und a =f= o folgt lit = ai> mit ÖE^O(m). Sei
m = 0 (a) ; m = pfi... fr und a = jp"i... fr •
dann folgt, daß jedes p mit einem p identisch ist, und daß a { wird, also die Behauptung mit b = pf 1 "" 1 .. • p"'' _<Tr , wo natürlich einige der o i Null werden können. Es gibt also .nur die endlich vielen, den Kombinationen 0 ^ a ¿ ^ entsprechenden Teiler von m; somit gilt im Restklassenring nach in der Doppelkettensatz. Damit ist aber Axiom I und II nachgewiesen: der Teilerkettensatz gilt auch in 91 selbst, da jeder echte Teiler des Nullideals vom Nullideal verschieden ist.
Der Nachweis des Axioms V' der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenkörper setzt die üblichen Folgerungen aus der Idealzerlegung voraus, die daher erst abzuleiten sind.
4. Der Restklassenring nach jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal ist Hauptidealring. Das Ideal darf vom Einheitsideal verschieden angenommen werden, da hier für den nur aus dem Nullelement bestehenden Restklassenring die Bedingung sicher erfüllt ist.
Ist das Ideal vorerst primär, q = pe, und ist c = 0(p); ^0(p 3 ), so folgt aus 3., daß oc = pa wird mit (a,p) = o. Es kommt also .p" = (oc°, p e ) für jedes o ^ q ; im Restklassenring nach einem Primärideal wird somit jedes Ideal Hauptideal. Sei jetzt allgemein
m = qj • q 2 ... q r mit q £ = fr ; sei 9î | m = 5 1 + ... + a.
die entsprechende Darstellung des Restklassenringes als direkter Summe (§4, 5.). Es wird isomorph zu 9í¡q¿, und folglich wird jedes Ideal aus 5,- Hauptideal. Ist c ein beliebiges Ideal des Restklassenringes, so wird also c^c Hauptideal 5,-^; es kommt
C = öc = c^ê + ... + ä r c == äiCi + ... + ä r c r = + ... + ä r c = Sc,

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
55
wobei c = c 1 ~ . -T c r gesetzt ist. Denn wegen a { Ü k = (0) und wegen c¿ = 0(0 ¿ ) stimmen die Hauptideale ä i c i und ctjC aus á ¿ überein.
Der Satz vom Hauptidealring läßt bekanntlich noch die folgende Fassung zu:
Ist c ein beliebiges Ideal, so läßt es sich in ein Hauptideal verwandeln durch Multiplikation mit einem zu einem gegebenen Ideal b teilerfremden Ideal.
Denn setzt man rtt — B C, so wird c modulo m zum Hauptideal, d. h. es wird c = (oc, ttt) = (ca, cb) = c(a, b); somit wird oc = ca und (a, b) = o .
5. Theorie der gebrochenen Ideale. Als gebrochenes Ideal bezeichnet man jeden endlichen 3Î- Modul im Quotientenkörper íf .
Satz. Die vom Nullmodul verschiedenen endlichen 9Ï- Moduln aus ÎÏ bilden gegenüber der Multiplikation eine Abelsche Gruppe.
Das Produkt zweier endlicher SR-Moduln ist wieder ein endlicher 9Î - Modul ; die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ ; wegen St = 0 St wird das Einheitsideal Einheitselement des Systems. Es ist also nur noch zu zeigen, daß die Gleichung StX = 0 stets eine Lösung im System der endlichen 9Í- Moduln besitzt.
Vorbemerkung. Wenn die Gleichung 31 $ = S3 eine und nur eine Lösung hat, so wird % gleich dem Modulquotient S3 :91 (§5,4.). Denn es wird
£ = 0 (S3 : St); also 93 = St % = 0 (St• (S3 : 31 )) = 0 (S3) oder St-(S3 : St) = 93.
Sei jetzt vorerst St Hauptmodul, 3t = («), so kommt 3E = (e/a) als Lösung von 3(3£==o; es ist 3; wieder endlicher 91-Modul. Daraus folgt: Jeder endliche 'Si- Modul ist Modulquotient zweier Ideale aus 9Î, wodurch sich die Bezeichnung gebrochenes Ideal rechtfertigt. Denn sei r 1 ,...,r r eine Modulbasis von sei r i —t i /a und sei t das aus den abgeleitete Ideal in 9Ï. Dann wird oa-% = t, woraus nach der Vorbemerkung X = (t:oa) folgt, der Quotient in ® genommen.
Die Lösung von St 3C = 0 läßt sich jetzt allgemein angeben. Sei gesetzt: St = a : o c und sei b so bestimmt, daß ab gleich einem Hauptideal o a wird. Dann kommt: 3tc = a und daraus 3(bc = oa oder 2t - (b c : o a) = o; dabei wird 2Ê als Quotient eines Ideals durch ein Hauptideal wieder endlicher 9Î- Modul. Aus der damit bewiesenen Gruppeneigenschaft folgt noch, daß der Modulquotient irgend zweier Ideale a : b als Lösung der Gleichung b£ = a endlicher Si- Modul wird.
G. Aus der Gruppeneigenschaft ergeben sich die weiteren Folgerungen:

56
E. Noether.
6«. Man kann kürzen, d.h. aus X — 919)2:93 9)? folgt X = 91 : S3 und umgekehrt. Denn aus X 93 SDÎ = X 91 SD? kommt X 33 = X 91 und umgekehrt.
6ß. Jedes gebrochene Ideal (endlicher 9Ï- Modul) läßt eine Darstellung zu : G = a : 6, wo a und 6 teilerfremd-, durch diese Bedingung sind a und i) eindeutig bestimmt. Die Möglichkeit der Darstellung ergibt sich aus 5. und 6a; aus (£ = a:b = ä:b ergibt sich aber ab = ba und damit Eindeutigkeit, wenn sowohl a, b, wie a, b als zueinander teilerfremd vorausgesetzt werden.
Gy. Jeder aus einem nichtganzen (d. h. zu £ und nicht zu 3Î gehörigen) Element abgeleitete Hauptmodul o r¡ läßt eine Darstellung als Quotient von Hauptidealen zu derart, daß keine Potenz des Zählers durch den Nenner teilbar wird. Sei in gekürzter Darstellung o = b : C , wo also (b,c)=o; sei (nach 4.) 0 b = b et und (a, c) = 0. Dann kommt o?? = ab:ac = o6 :ac, und wegen a c = o b : o r¡ wird auch a c Hauptideal, also o»7 = o6:oc. Es wird aber keine Potenz von ab durch c teilbar, wegen (ac) = o und (b,c)=o.
7. Nachweis des Axioms V der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenkörper. Aus 6 y folgt, daß jedes nichtganze Element aus eine Quotientendarstellung zuläßt, ?j = aje derart, daß in 9Î keine Potenz des Zählers durch den Nenner teilbar wird. Denn aus o r¡ = 0 b : o c folgt, daß r¡ sich nur bis auf eine Einheit aus von dem Quotienten 6/c unterscheidet. Ein solches Element ?; kann mithin keiner Gleichung genügen, die es als ganz in bezug auf 8ï charakterisiert; denn aus t¡ " -f- r 1 r¡ n ~ 1 + r = 0 folgt a" = 0 (o c) in 9Î.
8. Folgerung: Sind in einem kommutativen Ring 9Î die Axiome I bis IV erfüllt, und ist jedes primäre Ideal irreduzibel, so ist auch Axiom V der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenkörper erfüllt. Wegen der Axiome I bis III ist jede Primidealpotenz pe zugleich Primärideal; das gilt insbesondere für p 3 ; es wird somit p 3 nach Voraussetzung ein irreduzibles Ideal. Hieraus ist die Darstellung p = (oc,p 2 ') nachzuweisen; denn damit folgt nach dem Hilfssatz §8, 3, daß jedes Primärideal Primidealpotenz wird, was zusammen mit den andern Voraussetzungen nach 7. die ganze Abgeschlossenheit nach sich zieht.
Wegen des Teilerkettensatzes kommt p = (o c 15 .. o c k , p 2 ), wobei als Multiplikatoren der c nur die Restklassen nach p in Betracht kommen, und wobei die c als linear unabhängig in bezug auf den Restklassen- körper nach p vorausgesetzt werden dürfen. Aus dieser Linearunabhängigkeit folgt aber für k > 1 eine Darstellung: p 3 = [q 19 q 2 ], wo = (o c 1 p 3 ) und q., = (o c 3 , . .., o c k , p 3 ) gesetzt ist; es werden somit q 2 und q 2 echte

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
57
Teiler von p 2 , und es wird p 2 gegen Voraussetzung reduzibel. Damit ist p = (oc, p 2 ) mit der sich daraus ergebenden Folgerung bewiesen.
Daß umgekehrt als Folge der Axiome I bis V jedes Primärideal irreduzibel wird, ist unmittelbar klar, da eine Primidealpotenz pe sich nicht als kleinstes gemeinsames Vielfaches echter Teiler der Form p° und p r darstellen lassen kann.
9. Sind Nullteiler im Ring zugelassen, so folgt aus den Axiomen I bis III und der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenring nicht, daß jedes Primärideal irreduzibel wird 32 ). Denn es bedeute X einen Ring, in dem alle Axiome I bis IV außer der ganzen Abgeschlossenheit erfüllt sind; solche Ringe gibt es, z. B. sind die vom System aller in bezug auf 9Î ganzen Größen verschiedenen endlichen Ordnungen eines endlichen Erweiterungskörpers des Quotientenkörpers von 9Î solche Ringe, wenn in 9Î die Axiome I bis V gelten (§ 3, 2.). Nach der Folgerung 8. gibt es in X reduzible Primärideale q; es bedeute p CT ein echtes Vielfaches von q und 9Î den Restklassenring j£|p", in dem also das q zugeordnete Ideal q ein vom Nullideal verschiedenes reduzibles Primärideal wird. In 91 sind die Axiome I bis III erfüllt, aber es gilt auch die ganze Abgeschlossenheit im Quotientenring. Denn da in X jedes nicht durch p teilbare Element zu p° teilerfremd wird, sind in 9Ï alle regulären Elemente Einheiten; es ist also 3ï mit seinem Quotientenring identisch.
§ 10.
Doppelkettensatz und Kompositionsreihe.
Im folgenden soll gezeigt werden, daß für beliebige, als wohlgeordnet angenommene Modulbereiche (§2) die Voraussetzung der Gültigkeit des Doppelkettensatzes — jede Teilerkette und jede Vielfachenkette von Moduln bricht im Endlichen ab — identisch ist mit der Voraussetzung, daß eine Kompositionsreihe existiert 33 ). Die Spezialisierung des Modulbereichs zu einem kommutativen Ring ergibt dann die entsprechenden Tatsachen für das System aller Ideale des Ringes; dabei ist unter 2. durchweg der Modulisomorphismus durch Ringisomorphismus zu ersetzen.
32 ) Vgl. Anm. 12 ).
33 ) Die Moduln des Bereichs sind Abelsehe Gruppen gegenüber der Addition, und zwar handelt es sieh um verallgemeinerte Abelsehe Gruppen, da der Multiplikatorenbereich aus den Elementen aus 3Î besteht. Da es sich um Abelsehe Gruppen handelt, fällt der Begriff der Kompositionsreihe mit dem der Hauptreihe zusammen. Die Sätze dieses Paragraphen bleiben bestehen, wenn unter „Moduln" die Gesamtheit der Normalteiler einer beliebigen nicht kommutativen, auch verallgemeinerten Gruppe verstanden wird. An die Gruppentheorie soll die von der früheren etwas abweichende Bezeichnung erinnern.

58
E. Noether.
Ein Modulbereicli © heißt einfach, wenn es in © keine weiteren 9Î- Moduln als © selbst und den Nullmodul © gibt. Ein Modul 31 heißt einfach in ©, wenn ©¡9Í einfach ist (größter Normalteiler).
Eine Vielfachenkette ©, 2i i; .. 2I r , @ heißt Kompositionsreihe von © von der Länge r, wenn alle Moduln der Kette verschieden, und wenn jeder Modul einfach in dem, vorangehenden ist, wenn also die Restklassenmoduln (die Quotientengruppen) einfache Modulbereiche sind, ebenso ©jSij und 21,.. Durch Bildung des Restklassenmoduls @|2i läßt sich der Fall, daß eine Kompositionsreihe von © bis 2t =j= (£ existiert, auf den Fall der Kompositionsreihe schlechthin zurückführen.
1. Wird in © die Gültigkeit des Doppelkettensatzes vorausgesetzt, so existiert in © eine Kompositionsreihe — dabei ist © 4= ® vorausgesetzt. Aus der vorausgesetzten Wohlordnung von © und aus der Existenz des Teilerkettensatzes ergibt sich, wie in § 6, durch quasi-lexikographische Anordnung eine Wohlordnung des Systems aller Moduln. Vermöge dieser Wohlordnung folgt aus der Voraussetzung des Teilerkettensatzes die Existenz von mindestens einem in © einfachen Modul. Ist nämlich ©j der in der Wohlordnung erste echte Teiler von (£, allgemein der erste echte Teiler von S ¿ _ 15 so bricht die wohlbestimmte Kette @, E x , ..., ©¿, ... im Endlichen ab, führt also notwendig zu einem in © einfachen Modul 9X 1 . Ist 2lj =|= ©, so gibt es nach demselben Verfahren einen in einfachen Modul 2L ; ist allgemein 2Í ¿ _ 1 =¡=®, so gibt es einen in 2í i _ 1 einfachen Modul 21,-. Man kommt auf diese Art zu einer wohlbestimmten Vielfachenkette ©,2íj,..., 2Í¿, ..., die nach der Voraussetzung des Vielfachenkettensatzes im Endlichen abbricht und somit eine Kompositionsreihe von © ergibt.
2. Wird in © die Existenz einer Kompositionsreihe vorausgesetzt, so gilt in © der Doppelkettensatz. Der Beweis erfolgt durch volle Induktion, wobei die Wohlordnung für © nicht vorausgesetzt zu werden braucht. Im Laufe des Induktionsschlusses ergibt sich zugleich ein Beweis des Jordan-Hölderschen Satzes unter alleiniger Voraussetzung der Existenz einer Kompositionsreihe 34 ).
31 ) Vgl. Masazo Sono (Anm. 10 )), On Congruences I, § 11 — 13, für den Fall der Ringe. Es wird dort auch das Analogon zur Kompositionsreilie in nicht kommu- tativen Gruppen behandelt, nämlich Reihen 3Î, SIj, ..., 9i r , ®, wo jeweils 21,- Ideal und einfach in 9I ( _i ist, nicht Ideal in 31 zu sein braucht. Tatsächlich bleiben alle obigen Überlegungen für nichtkommutative Gruppen erhalten, wenn man unter Vielfachenkette eine solche ©, 9lj, .. 9T/, .. . versteht, wo jeweils 2T¡ normal in 9Íí_ 1 , und wenn Teilerketten entsprechend definiert werden. Vgl. ferner Dedekind, Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe (Math. Ann. 53 (1900), S. 371—403). Hier ist für viel allgemeinere Bereiche (Modulgruppen) ebenfalls nur unter der Existenz-

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
59
Sei vorerst © einfach, also r = 0, so daß nur die einzige KompO- sitionsreihe ©, (£ existiert. Es sind hier die Voraussetzungen erfüllt:
a) Durch jeden in © einfachen Modul läßt sich eine Kompositions- reilie ziehen.
ß) Jordan-Hölderscher Satz: Jede Kompositionsreihe ist von gleicher Länge und das System der Quotientengruppen (Restklassenmoduln) stimmt bis auf die Anordnung überein, d. h. entsprechende Quotientengruppen sind isomorph.
y) Durch jeden beliebigen, von © verschiedenen Modul läßt sich eine Kompositionsreihe ziehen.
ô ) Gültigkeit des Vielfachenkettensatzes, e) Gültigkeit des Teilerkettensatzes.
Die Voraussetzungen et) bis e ) dürfen also für jeden Modulbereich, der eine Kompositionsreihe von der Länge f < r -f- 1 besitzt, als erfüllt angenommen werden. Sie sollen als erfüllt nachgewiesen werden unter der Annahme, daß in © eine Kompositionsreihe ©, 9Í, 9t x , .. 3I r , © von der Länge r -j- 1 existiert.
2a. Gibt es keinen von 9Í verschiedenen in © einfachen Modul, so ist nichts zu beweisen. Sei also 58 ein in © einfacher Modul =)= 9Í; es ist zu zeigen, daß in © eine durch 93 laufende Kompositionsreihe existiert. Da 2Í und 93 beide in © einfach und voneinander verschieden, so wird notwendig (21,93) = ©; setzt man noch 9JÎ = [2t,93], so kommt nach dem zweiten Isomorphiesatz (§ 4, 2.):
©|93~9l|9tt und ®|2Ï~93|S)Î:
es wird also SDÎ einfach in 2t und 93. Da 9Í eine Kompositionsreihe der Länge r < r -j- 1 besitzt, gibt es somit nach den Voraussetzungen a) und ß) in 3Í eine durch 9JÎ laufende Kompositionsreihe der Länge r, etwa 9Í, SDÎ, ÜÜZj, ..., SDÎ,.-!, (S; damit wird aber ©, 93, 3DÎ, 93^, ..., 9DÎ,. _ j, (£ eine durch 58 laufende Kompositionsreihe von ©.
2 ß. Zum Nachiceis des Jordan-Höldersehen Satzes seien (1) ©,91, 8 und (2) ©, 93, 93,, 93 g , 8 mit
zwei Kompositionsreihen von ©. Wird hier 9t gleich 93, so ist nach der für r < r + 1 geltenden Voraussetzung alles erledigt. Im andern Fall zeigt der Vergleich mit den unter 2 a konstruierten Reihen
(3)^©, 91, 93Ï, SD 1 ?,, ..., 9Ä r _ 1} © und (4) ©, S3, 2R, STOj,.... 3R r _ lt 8
Voraussetzung der Jordan-Höldersche Satz bewiesen (§ 6, XVI). An Stelle des zweiten Isomorphiesatzes tritt hier eine etwas schwächere Zuordnungsbeziehung, und infolgedessen ist auch die Aussage deB Satzes etwas schwächer; der Beweis ist aber im Prinzip mit dem oben gegebenen identisch.

00
E. Noether.
das Folgende: Nach der für r<r+ 1 gemachten Voraussetzung stimmt das System der Quotientengruppen von (1) und (3) überein; ebenso von (2) und (4), da die in (4) durch 33 laufende Kompositionsreihe von der Länge r ist; es wird also s gleich r. Wegen der unter 2 a angegebenen Isomorphie besteht weiter Ubereinstimmung zwischen (3) und (4), womit die Ubereinstimmung zwischen (1) und (2) und damit der Jordan- Höldersche Satz beiviesen ist.
2 y. Vorbemerkung. Seien 31, 33, § Moduln aus © ; sei S3 einfach in Sí; dann stimmen die Moduln (S 3,íq) und (31, £j) entweder überein, oder (93, §) ist einfach in (31, |j). Nach dem zweiten Isomorphiesatz (§ 4, 2.) kommt:
(3t, 93,£)|(93, £)~3i| [3t, (93, $)] oder - wegen 33 = 0(31) - (3I,¡0)|(33,é)~SÍ|e für £ = [31,(93,$)].
Dabei wird (£ = 0(31); andererseits wird 93 = 0((5) wegen 93 = 0(31) und 53 = 0 ((93, ÍQ)); es liegt also (£ zwischen 3Í und 93 und ist somit nach Voraussetzung mit 31 oder 93 identisch, woraus die Vorbemerkung folgt.
Sei jetzt wieder ©, 3Í, 3f x , ..., 3t r , (§ eine Kompositionsreihe von © und § ein beliebiger, von © verschiedener Modul ans ©. Um zu zeigen, daß dnrch ¡Ç eine Kompositionsreihe läuft, sei die Reihe der Moduln ©, (3Í , §), (3t x , ig) ... (31,., ig), § gebildet. Nach der Vorbemerkung bilden die verschiedenen unter diesen Moduln ©, (£, (£ 15 ..., © s , ÍQ eine Kompositionsreihe von © nach §; es wird also (£ — was im Spezialfall 2 a mit § zusammenfällt — ein in © einfacher Modul. Somit existiert nach 2a in (£ eine Kompositionsreihe der Länge r < r 1, und folglich läßt sich in © nach Voraussetzung eme Kompositionsreihe durch § ziehen, was durch Zufügung von © in © eine Kompositionsreihe durch § ergibt. Die wiederholte Anwendung dieser Überlegung zeigt noch, daß man eine solche Kompositionsreihe insbesondere als Verlängerung der von © nach § konstruierten annehmen kann.
2(5. Nachweis des Vielfachenkettensatzes. Sei wieder in © die Existenz einer Kompositionsreihe der Länge r -f- 1 vorausgesetzt, und sei ©, 93, 93j, ..93,., • •. eme Vielfachenkette; dabei sei jeder Modul als echtes Vielfaches des vorangehenden vorausgesetzt. Daß die Kette mit © beginnt, ist keine Beschränkung der Allgemeinheit, da man immer © als erstes Glied zufügen kann. Nach 2 y gibt es eme durch 93 laufende Kompositionsreihe in ©, und somit besitzt $8 eine Kompositionsreihe von kürzerer Länge. Also bricht nach Voraussetzung die Kette 93 , 93 1; ..., 93,., . im Endlichen ab; es gilt also auch das gleiche für die durch Hinzufügung von © verlängerte.

Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
(51
2e. Nachweis des Teilerkettensatzes. Sei wieder in & die Existenz einer Kompositionsreihe der Länge r -j- 1 vorausgesetzt, und sei ©, ©, Ex, ..., © v ,.. • eine Teilerkette; dabei sei jeder Modul als echter Teiler des vorangehenden vorausgesetzt. Daß die Kette mit © beginnt, ist wieder keine Beschränkung der Allgemeinheit. Nach 2 y gibt es eine durch © laufende Kompositionsreihe in ©, somit gibt es in ©j© eine Kompositionsreihe von kürzerer Länge. Also bricht nach Voraussetzung in © I © die Teilerkette ©I ©,©j I ©,...,©,, I ©,... im endlichen ab. Wegen des eineindeutigen Entsprechens — nach dem ersten Isomorphiesatz (§ 4, 2.) — gilt das gleiche für die ursprüngliche, mit © beginnende Kette, und damit auch für die durch Hinzufügung von © verlängerte.
Die Äquivalenz der Voraussetzungen — Kompositionsreihe oder Doppelkettensatz — ist damit bewiesen.
(Eingegangen am 13. 8. 1925.)

Über (lie Gitterpnnkte in einem Kreise.
Von
Karl Gfandjot in Göttingen.
Neuere Untersuchungen über die Anzahl der Gitterpunkte in einem Kreise haben zu Ergebnissen geführt, die sich unter Benutzung der Bezeichnungen
ü (») = 2J
ar+b-=n
P(x) = ^ U(n) — jix ,
n= i raso aussprechen lassen:
Herr Cramér 1 ) bewies für jedes e > 0
J P '\x)dx = ßy° + 0(yi +s )
0
und Herr Landau 2 ) dann sogar
(1) f P'(x)dx = ßy§+ 0(y 1+E ). 3 ) o
Das folgende bekannte Verfahren leitet hieraus und allgemeiner aus jeder Beziehung
V
(2) R (y) = f P' 2 (x)dx — ßy% = O (y a ) mit a 3
o
Uber zwei Sätze des Herrn G. H. Hardy, Math. Zeitsohr. 15 (1922), S. 201—210.
2 ) Über die Gitterpunkte in einem Kreise, Gött. Nachr. 1924, S. 58—65.
3 ) Daß beide Verfasser nur von 1 an integrieren und daß ihr I J (x) sich von meinem um 1 unterscheidet, macht nichts aus, wie man z. B. mit Hilfe von S. 65 der unter -) genannten Arbeit sieht.

K. Grandjot. Gitterpunkte im Kreise. 63
eine Abschätzung von P(x) her. Aus (2) folgt
also
y+v 3 / « 1\
f P i (x)dx = 0 [y 3 y 2 ) + 0(y"),
a V+V 3 V + V 3
y 3 \P(y)\£ J \p{x)\dx+ f \P{x)-P(y)\dx
V V
a la
(a v+y 3 \ 2 V+V 3
y 3 / P'(x)dx) +0 J (x — y + 1) x s dx
V I V
= 0 (^ + ï) + 0 {y* a ) + 0 (y 3 ^) ,
1 \ / a '
• +e
%) = oU 4 i + o^
Aus Herrn Landaus Ergebnis folgt so die wohlbekannte Abschätzung
P{x) = 0(x» +£ ).
Das schärfere
P(®)= 0(xi +c ) würde sich aus der Richtigkeit von
R(y) = 0(yt + °)
ergeben. Ich hüte mich aber, diese letztere Vermutung auszusprechen; weshalb, mag man gerade zwischen den folgenden Zeilen lesen.
Ich werde nämlich für die Funktionen
p s(y) = e J (y - z) 6 ' 1 P(x)dx (q> l ganz)
o
mit der Abkürzung
ñ (g') 2 y u\ n)
nicht nur die ungefähr (1) entsprechende (um das e bessere) Beziehung
(3) R a (ymf P ^x)dx-ß e ye + i = 0(y s+1 )
0
nachweisen, sondern auch
(4) R e (y)= Q(ye+i)
(d. h. bei passendem von y freiem Ii > 0
\R e {y)\> Kye+i für eine Folge ins Unendl iche wachsender y).

64 K. Grandjot.
Der Nachweis von (3) ist entsprechend einfacher als der von (1) bei Herrn Landau, da die bekannten Reihen, welche P e (x) darstellen, absolut konvergieren; der Beweis von (4) wird dadurch überhaupt erst möglich. Ich benutze im übrigen noch einen Kunstgriff, den Herr Landau in einem ähnlichen Fall verwendet hat.
In der für x 0 gültigen Formel
P s (*) = * ¿ {2m}]
P\ - S \ I Q +
71=1 ~T
n
konvergiert die Reihe rechter Hand absolut, da firr z > 0
(5) I J a +i(z)\ <cz~i 4 )
gilt. Somit erhalte ich
2J O+ T" xe+l J s+i ( 2 711 mx ) J a+ 1 ( 2 711n x )
(e ! ) m,n= 1 ,
( mn ) -
bei beliebiger Anordnung der Reihenglieder. Zufolge (5) konvergiert diese Reihe auch gleichmäßig auf 0 <¡ x ^ y, so daß
y œ V
í -Pe {x)dx= U(m)ü ^n) [ x e+t J e+í {2 7l Í mx )J e+í {2nÍnx)dx
(e ¡ ) m,n=í , "-T- J 7
u (mn) "
00 1 V
(6) =2 ^ U(m)U(n ) J x se+a J e+1 (2jzxl/m)J p+1 (2nx\n)dx 5 )
m,n=1 (mn) 2 0 wird. Aus
T / \ I 1 / 2 f OTC . 7t\ 3 • / Jít — 5
W*) + 1/^ coe V--2-+4J-C* ï8 m[z— 2 --4) < « 2 für z > O folgt bei a > 1, ß > 1, x > O , œ — — j
J c+1 («a;) J 0+1 (ßx ) -=cos(ax + co)cos(ßx -j- co)
nx ] aß
_J
x-\al
c fsin (ctx + co) cos (ß x + co) eos (ux + <«) sin f ß x -|- o))
< C (aß) % X 3 .
4 ) Alie c sind reell und hängen nur von g ab.
6 ) Den Wert dieses Integrals kann man zwar in geschlossener Form durch
Besseische Funktionen ausdrücken; das wird aber umständlich und nützt mir nichts.
Bemerkenswert ist höchstens die im Falle m = n verwendbare Beziehung
± (* 9 ' ( j;_ l (,) + J, 2 (*))) = (4 , - 2 (z).

Gitterpunkte im Kreise. ß5
Hieraus ergibt sich, wenn beide Konstanten des O nur von q abhängen, \v
Jx^e+a J e+l {ax) J e+l (ßx)dx
O
\v
== J % 2ß+2 cos {ax + co) cos (ßx + od) dx
' 0
Vi/
i c I »9o+i /' S ' n ( aa: + ">) c °s (/îa;+ &>) , cos ( a a; + <u) sin f /?a; 4- < \ « + ß
r r o
+ 0 ((«£)-V 4 )
Vi/
= J Z 2e+a (cos (cc — ß)x± sin (« + £) a:) da:
da;
o
\lv
+ p J * a<?+1 (( « ~ j) sin ( a -P) x± (i+j) 008 ( a + ß) x ) dx
0
+ 0((uß)-iy' + i).
Das liefert einerseits
i y
f x 2e ' r3 J e 2 +1 (ax) dx o
Vf {v
— — J x 2 ' J+ " (.1 + sin 2ccx) dx + A J*a: 2s+1 cos 2aa; da; + O (y 3 ^ o o
1jQ + ^ t — i
= (2e + 3)^a — 2jca^ cos2o: ^2/ + 0(y 3+ ?),
andererseits für a 4= ß
7
0
f x 2<?+s J e+1 (ax) J e+1 (ßx)dx
0
U Q + 1 ( \ /—1 r—
^ b=ß sm( * -W y± —ß cos ( ß +0) ] y
+ O ((«/?)-* -^- a ) + O {(aß)-* y sH ). x (cc — ß) '
Beides setze ich mit a = 2nfm, ß = 2n)n in (6) ein und erhalte
¿ +4 ¿
Vv - ' o m, 7i=1 m,w=l
m=n m>n
= 2 — "'** + j^ cos4 „V^\ + 0
~ W e+i \2(2e + 8)jr ")/w 8 ji 3 n *7^ N £
Mathematische Annalen. 96. 5

6(3 K. Grand jot.
» m-i — — —
_i_ e+i y U (m) y U(n) / sin 2 jt (ym — |w) cob 2 ar (\ m + n) |> y \
^ e ■ 8 e , 3 \ — ~\n ^ w '
 S A. JL.X
m=2 2 4 n=1 2 4 m • W
oo m-1
0s ,,«2'íííl) 2 , ^®( 1 +
m=2 TO* n=1 n
í * ( to — n)'
wo alle auftretenden Keihen absolut und auf jeder endlichen y- Strecke gleichmäßig konvergieren :
m- 1 m—1 X
y 77(») 1 . = r; y i
¿i á m " M
+ O y = 0(1),
' m —' m — n v 7
v'£ö)_ 0 (i),
/ //» 7)1 , .
w<y y <n<m
n=i w 4 m— 1
2 1 _ o 2- i. + 0 2" 0(1).
„i »« <»-») ,n » (m — m ) '
Schließlich wird
«<f t S»<™
" tf 2 (n)
(eO J (8« + »)* „<?+*
±^(¿ lL Jw coa4 = n ^
4rc 3 V n tí « e+S
c
m-1 ,— — — — _ _
Ï7(w) / ein 2 st ("Cm— \n)\y cos 2 jr () m + \ n) j y
y» Î7(»i) \"T Ï7(w) / sin 2ji (\ m — | n) } y
^ e , s ^ e , s \ l' m - T n ■
»>=2 v + T n=l T T ' f m "
y «Î + } »
+ 0(i/ e+ ï),
wodurch zunächst (3) bewiesen ist. Für den Nachweis von (4) langt z. B, die Angabe eines H > 0, so daß der Betrag von
Ä ( z )= j7^TT cos22tw
n=l n
oc m— 1 - _
CX» 1 ) V U (n) f sin (]' m — )' n) z , cos ( | ' m+) n) z \
' ~ C ° 1. + A ^ ^ y m - yñ } m + } w '
7?l — ¿ 2 4 TI— J- 2 4

Gitterpunkte im Kreise.
67
durch ein z auf jeder reellen Strecke der Länge H größer als 5 gemacht werden kann. Das tut, so behaupte ich,
U-(n)
U(n)
1
c y U (wt) y U (w) y
n=i - m* J „=1 «* (yw-yn)(|/m-f»-2)y
\/m — y n =t= 2
wo c 0 die Zahl aus (7) ist. Ich zeige zuerst die Konvergenz der letzten Reihe rechts. Wenn 1 n < m und g eine ganze Zahl =)= 4 Mm ist, so gilt
I g - 4 I'm I ^ I T 16m + 1 - 4 I'm | = = > :
I' 16 ni + 1 4 l' m 9 y m
das ergibt
I (y'm — 2) 3 — (l'n) a I = I m — n + 4 — 4 I m | >
und wegen
(8)
auch
(9)
9 y m
im — 2 + y TI < 2 y
y m — y?i — 2| >
m
18m
m— 1
In kommen aber höchstens vier Glieder mit I V m — ]n — 2|<m *
71 =1
vor, da hieraus |(y'm —2)" —ra|<2 wegen (8) folgt. Ihr Beitrag ist nach (9)
O (m~£ +E m) = O (1) ;
die übrigen geben
O m y —i = O y n~-i +c + O y ^- = 0( 1).
m — n ' m — n v '
71 =1
Bei y > 0 ist nun
a+H
. m
yÈ«<«i
ii+H
Jcos2 Z ° s ^ 2 d Z = iJ ( C g ^(j, + 2) 2 + C ^(y-2) Z )d 3 ,
also
a+JGT
¡ J cos 2 z cos yzdz\ <
I y 2 1
|/ cos 2 z sin 2 z dz | < 1,
a
> a ï H H I ! J cos 2 2 zdz y I < I-
für y 2,
a
a+H
5*

6g K. Grandjot. Gitterpunkte im Kreise.
Das ergibt wegen C7(l) == 4
a + H
|/ S(z) cos 2 z dz — 8H\
a
œ s» .m-1 m— I
, l=t n m=2 m 4 v „=i w n=l n 4 U
y/m — y'» 4= 2
also
a+H
f S (z) cos 2 z dz > 5 H.
a
Demnach kann auf a <Lz <^a + H nicht überall
|S(z)1^5
sein.
Göttingen, 10. Janaar 1926.
(Eingegangen am 19. 1. 1926.)

Über asymptotische Entwicklungen von Funktionen.
Von
Alfred Haar in Szeged (Ungarn).
Einleitung.
Zu den Problemen, die man am häufigsten in der mathematischen Analysis begegnet, gehört das Studium des asymptotischen Verhaltens einer Funktion f(x), die für hinreichend große Werte der Veränderlichen definiert ist. Formuliert man die Aufgabe in voller Allgemeinheit, so kann es sich nur darum handeln, das asymptotische Verhalten einer vorgelegten Funktion durch das entsprechende Verhalten anderer, einfacherer, Funktionen zu charakterisieren. Ein analoges Problem tritt auf, wenn eine Zahlenfolge f lf f ¡¿ , ..., f„, ... vorgelegt ist, deren allgemeines Glied für große Werte des Zeigers untersucht werden soll. Zur Behandlung dieser letzten Aufgabe dient eine sehr allgemeine und fruchtbare Methode, die von G. Darboux in einer berühmten Abhandlung 1 ) ausgearbeitet wurde und vielfach als Methode von Darboux bezeichnet wird, obwohl der fundamentale Gedanke schon in älteren Arbeiten, namentlich in Untersuchungen von Laplace, Cauchy und Riemann, aufzufinden ist. Es ist das Ziel der vorliegenden Arbeit, ein analoges Verfahren zur Bestimmung des asymptotischen Verhaltens von Funktionen zu entwickeln, das für Funktionen dasselbe leistet, me die Darbouxsche Methode für Zahlenfolgen. In Anlehnung an diese klassischen Untersuchungen gewinne ich eine Methode, die — in gleicher Weise, wie jene für Zahlenfolgen — geeignet ist, in sehr allgemeinen Fällen zur asymptotischen Entwicklung von Funktionen zu führen.
Um den Gedankengang des zu befolgenden Verfahrens mit der Darboux- schen Methode in Verbindung zu setzen, sei kurz an diese erinnert. Mit
1 ) Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombres et sur une classe étendue de développements en série. Journal de mathématiques pures et appliquées. (3), 4, S. 5-56 und S. 377-416 (1878).

70
A. Haar.
der vorgelegten Zahlenfolge f x , . bilde man ihre erzeugende
Funktion:
&(z) = íf n z n ;
n=l
gelingt es, eine andere Potenzreihe
* CO „
* 2 flz n
n— i
mit demselben Konvergenzkreis vom Radius r anzugeben, die so beschaffen ist, daß die Randfunktion der durch die Differenz &(z) — <P*(z) dargestellten analytischen Funktion auf dem Konvergenzkreis ¿-mal stetig differenzierbar ist, so gilt die Limesgleichung:
lim r n n k (f n — f*) — 0,
n— co
die zur gesuchten asymptotischen Entwicklung führt. Der Kern dieser Methode besteht in der Erkenntnis, daß die Singularitäten der erzeugenden Funktion — und zwar diejenigen, die auf dem Konvergenzkreis liegen — charakteristisch für das asymptotische Verhalten der vorgelegten Zahlenfolge sind. Darboux untersucht in der erwähnten Abhandlung in ausführlicher Weise den Fall, in dem <Z> (z) auf dem Konvergenzkreis nur algebraische Singularitäten besitzt, und macht sodann eine Reihe von höchst bemerkenswerten Anwendungen.
Es liegt nun der Gedanke nahe, wenn statt einer Zahlenfolge f ls /" 2 , ..., f n , . .. eine Funktion f{x) der kontinuierlichen Veränderlichen vorgelegt ist, zum Studium ihres Verhaltens für große Werte der Variablen an Stelle der durch die obige Summe definierten erzeugenden Funktion, die durch das Integral
co
f f(x)z x dx ó
dargestellte Funktion heranzuziehen. Schreibt man — um auf eine bequemere Form zu gelangen — e~ z an Stelle von z, so erhält man den Ausdruck:
co
y(z) = f e~ zx f(x) dx o
und der Grundgedanke der folgenden Untersuchungen besteht darin, daß diese Funktion von z — bzw. ihre Singularitäten — in gleicher Weise das asymptotische Verhalten von f(x) bestimmen, wie die obige erzeugende Funktion 0(z) das Verhalten der Zahlenfolge f x , /" 3 , ..., f n , ....
Bekanntlich spielt das so erhaltene Integral in verschiedenen Gebieten der Analysis eine wichtige Rolle; es wird als Laplacesche (oft auch Abel- sclie) Transformierte der Funktion f (x) bezeichnet; andere Autoren ziehen

Asymptotische Entwicklungen.
71
die Bezeichnung Determinanten-Funktion vor. Ich erwähne an dieser Stelle nur den schönen Vortrag von Herrn S. Pincherle 2 ) auf dem Mathematiker- Kongreß in Rom, in dem auch auf einen Zusammenhang des asymptotischen Verhaltens von f(x) mit der Laplaceschen Transformierten hingewiesen wird, sowie einen wichtigen Satz des Herrn E. Landau 3 ), der die Konvergenzabszisse des obigen Integrals mit dem asymptotischen Verhalten der Funktion f(x) in Verbindung bringt. Auch die berühmten Untersuchungen Poincarés über die asymptotischen Entwicklungen der Lösungen linearer Differentialgleichungen machen von der Laplaceschen Transformation Gebrauch, aber in einer Weise, die gänzlich verschieden von unserem Verfahren ist 4 ).
Wir werden vor allem zeigen (§1), daß wenn zwei Funktionen f(x) und f*(x) gegeben sind (wir nehmen der Einfachheit halber an, daß sie für alle positiven Werte von x definiert, stetig und in jedem endlichen Intervall von beschränkter Schwankung sind), die so beschaffen sind, daß die Differenz ihrer Laplaceschen Transformierten
co co
95(2) — <p*(z) — J e~ zx f(x) dx — f e~ zx f*(x) dx 0 0
regulär analytisch für alle Werte von x ist, deren reeller Teil größer als eine reelle Konstante a ausfällt 5 ) und auf der Geraden 31 (2) = a solche Randwerte besitzt, die ¿-mal stetig differenzierbar sind, die Limesgleichung
lim e~ ax x k (f(x) — f*(x)) = 0
X= CO
gilt, falls für das Verhalten von 99(2) — 9? *(2) im Unendlichen noch eine
2 ) Alcune spigolature nel campo delle funzioni determinanti. Atti del IV. con- gresso dei matematici. Roma 1905, S. 44.
3 ) "über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen, Sitzungsber. d. bayr. Akad., Math.-phys. Klasse, 36 (1906), S. 151-218.
4 ) Die schönen Untersuchungen von Herrn Hj. Meilin über asymptotische Reihen stehen in näherer Berührung mit der vorliegenden Arbeit, da in diesen ein dem Laplaceschen analoges Integral angewandt wird. Ein prinzipieller Unterschied besteht darin, daß sich Herr Mellin auf analytische Funktionen, die in einem bestimmten Winkel definiert sind, beschränkt. Wir verweisen auf seine zusammenfassende Arbeit: Abriß einer allgemeinen und einheitlichen Theorie der asymptotischen Reihen. Wissenschaftliche Vorträge, gehalten auf dem V. Kongreß der skandinavischen Mathematiker. Helsingfors 1923, S. 1 — 17. — Die Laplacesche Transformation wurde in den letzten Jahren von den Herren F. Bernstein und G. Doetsch in einer Reihe von interessanten Arbeiten zum Studium gewisser Funktionalgleichungen herangezogen; sie benutzen den Ausdruck Oberfunktion bzw. Unterfunktion für f(x) bzw. <p (2).
5 ) Zufolge der oben durchgeführten Transformation der unabhängigen Veränderli che n spielen jetzt die Vertikalen die Rolle, die bei der erzeugenden Funktion <P (z) die konzentrischen Kreise hatten.

72
A. Haar.
Zusatzbedingung erfüllt ist, die wir als den Fourierschen Charakter dieser Funktion bezeichnen, da sie für die Gültigkeit der sog. Fourierschen Integralformel charakteristisch ist (S. 77).
Dem Vorgange Darboux's entsprechend beschäftigen wir uns sodann (§2) mit dem Fall, in dem die Laplacesche Transformierte <p(z) einer Funktion f(x) so beschaffen ist, daß diejenige singulare Stelle (bzw. Stellen), deren reeller Teil möglichst groß ist, eine algebraische bzw. logarithmische Singularität ist, im Unendlichen aber die oben erwähnten Zusatzbedingungen erfüllt sind. Wir stellen in diesem Falle die volle asymptotische Entwicklung der Funktion f{x) auf (S. 85 und 86), und gelangen auf diese Weise zu fertigen Formeln, die in verschiedenen Anwendungen in bequemer und rascher Weise zum Ziele führen.
Die Anwendbarkeit der dargelegten Methode und der erhaltenen Resultate ist eine äußerst mannigfaltige. Es zeigt sich, daß eine große Menge der in der Literatur behandelten asymptotischen Entwicklungen in einfachster Weise sich auf diesem Weg ergeben. Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen, auf die Theorie der Gammafunktionen und der Besseischen Funktionen, sowie auf die allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Variablen ergeben sich ohne prinzipielle Schwierigkeiten. Ich werde in folgenden Mitteilungen insbesondere Anwendungen auf die Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen vom parabolischen und hyperbolischen Typus darlegen und dabei das alte Problem des „Endverlaufes" in der Theorie der Wärmeleitung behandeln.
Die Anwendungen, die in der vorliegenden Arbeit zusammengestellt sind, verfolgen lediglich den Zweck, die Tragweite und Kraft des dargelegten Verfahrens zu illustrieren. Zu diesem Ende habe ich zunächst zwei altbekannte Beispiele: die asymptotische Entwicklung der Besseischen Funktion (§3) und das Laplacesche Problem der Funktionen großer Zahlen, d. h. die asymptotische Entwicklung des durch das Integral
i
f e xF(t] G (t)dt
0
dargestellten Funktion (§4) herangezogen. Durch Anwendung der in § 2 aufgestellten Formeln gewinne ich die bekannten Entwicklungen der Theorie der Besseischen Funktionen ohne jede Mühe, für das Laplacesche Problem aber explizite Ausdrücke, die — wie mir scheint — sowohl für theoretische Untersuchungen, wie auch für numerische Rechnungen geeignet sind").
6 ) Von der ausgedehnten Literatur dieses Problems sei hier nur auf die elegante Behandlung von 0. Perron hingewiesen: Über die näherungsweise Berechnung der Funktionen großer Zahlen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Math.-phys. Klasse 1917, S. 191 — 219.
I

Asymptotische Entwicklungen.
73
Außer diesen beiden klassischen Aufgaben behandle ich (§3) die von Herrn Hardy in einer schönen Arbeit 7 ) in Angriff genommene asymptotische Entwicklung der durch die Potenzreihe
definierten ganzen Funktion, falls x längs eines Strahles, der im ersten oder vierten Quadranten liegt, ins Unendliche rückt, und zeige, daß die Hardyschen Resultate das erste Glied der von mir gewonnenen Entwicklung bilden, ferner ein Problem der Theorie der Reihenentwicklungen nach Besseischen Funktionen (§4), das mit den üblichen Methoden nicht ohne Schwierigkeiten zu behandeln wäre.
Auf die oben erwähnten Anwendungen aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen hoffe ich später zurückzukommen.
§1-
Laplacesche Transformation und asymptotische Entwicklungen.
1. Wir legen unseren Untersuchungen eine für alle positiven Werte von x definierte Funktion f(x) zugrunde, die stetig und in jedem endlichen Intervall von beschränkter Schwankung ist, und betrachten ihre Laplacesche Transformierte
CO
(1) cp(z) = Je~ zx f(x)dx.
o
Wenn dieses Integral für den (der Einfachheit, halber reell angenommenen) Wert z = o 0 konvergiert, so konvergiert es bekanntlich für jeden Wert von z, dessen reeller Teil größer als derjenige von o 0 ist, und zwar ist diese Konvergenz eine gleichmäßige in jedem Winkel < n, mit dem Punkt z = O q als Scheitelpunkt, dessen Halbierende zur positiven reellen Achse parallel läuft. Daraus wird in gewohnter Weise geschlossen, daß das Konvergenzgebiet des betrachteten Integrals eine Halbebene ist, in der 95(2) eine reguläre analytische Funktion darstellt.
In dieser Halbebene betrachten wir die Vertikale 9i(z) = o>a 0 und nehmen an, daß die Funktion <p(z) längs dieser Geraden so beschaffen ist, daß das Integral
a+i co co
(2) Tin S e(z - 0 Í^( z ) dz = ¿ J + it)dt
a—i co — co
*) On the zeroes of certain classes of integral Taylor series. London Proc. (2), 2, S. 332-335 und 401-431.
2

74 A. Haar.
existiert, und zwar gleichmäßig für alle x, die eine bestimmte Größe X übersteigen. Dann ist für diese Werte von x
a+i co
(3) = J eZX( P( z )dz-
a—% co
Bei etwas modifizierten Annahmen ist diese Umkehrungsformel — und ähnliche dieser Art — in der Literatur von verschiedenen Autoren aufgestellt und angewandt worden. Schon Herr Pincherle hat in einer bekannten Abhandlung H ) unter bestimmten Einschränkungen über f(x) diese Formel abgeleitet; Herr Hamburger 0 ) bewies sie sodann unter der Annahme, daß das Integral ( 1 ) für z = a 0 absolut konvergiert. Für unsere Zwecke, da es sich eben darum handelt, aus den Eigenschaften der Funktion <p(z) auf diejenige von f(x) zu schließen, ist es wichtig, daß keine Annahmen über das Verhalten von f(x) im Unendlichen gemacht werden, statt dessen die gleichmäßige Konvergenz des Integrals (2) verlangt wird.
Um unter dieser Bedingung die Umkehrungsformel abzuleiten, setzen wir zur Abkürzung:
X
F (x) = J e~ a ° x f(x) dx ;
o
wegen der Konvergenz des Integrals (1) für z — a 0 bleibt | F{x) \ für jeden Wert von x kleiner als eine feste Zahl. Durch Produktintegration erhält man für 9Î (z) > o 0 :
co cc
V ( 2 ) — je-(2-°o)« '121 d x — _ 0 o ) j e -(z-o 0 )x F{x) dx, o o
wobei das letzte Integral für die betrachteten Werte von z absolut konvergiert. Setzen wir noch zur Abkürzung
F*(x) = e°o*F(x),
Z o 0
so ergibt sich aus
(4) <ï>*{z) — j e~ zx F*~ (x) dx
o
die Umkehrungsformel 10 )
a+ico
(5) F*(x) = lim f e**&*(z)dz (a > a 0 )
CO = CO
a —ico
8 ) Sur les fonctions déterminantes. Annales de l'Ecole Normale Supérieure 22 (1905), S. 1-69.
°) Über eine Riemannsche Formel aus der Theorie der Dirichletschen Reihen. Math. Zeitschr. 6 (1920), S. 6.
10 ) Dies ist eben der Fall, den Herr Hamburger in seiner a. a. 0. genannten Arbeit behandelt.
I

Asymptotische Entwicklungen. 75
als eine unmittelbare Folge des Fourierschen Integrals. In der Tat folgt ") wegen der absoluten Konvergenz des Integrals (4) für z = a > o 0
CO
e-cx F * ( x ) = -1 lim f er«6 F* (f ) ain "^~ a:) dS
^ CO — CO J '
— CO
an jeder Stelle x>0 (da F*(x ) differenzierbar ist). Hieraus ergibt sich durch eine leichte Umformung
CO CO
e-" x F*(x) = ~ lim J c-°« ^*(f){ J } df
00 0 — co
CO CO
= ¿ lim J {Je-" 5 J , *(£)e-««-*»df}di,
-co 0
da die Umkehrung der Integrationsfolgen wegen der angenommenen absoluten Integrabilität des Integranden gestattet ist. Hieraus entnimmt man unmittelbar
CO CO
jF , *(s) = ¿ Hm J e'"+ í » a; {Je-( < '+ ií )5 J F'*(|)d|Jd<
■# — co U
CO
= — lim i e (t,+íí,:c -|- ¿í ) d¿ ,
J
— CO
womit die Formel (5) erwiesen ist. Die so gewonnene Gleichung
(5') e°°*F{x)=~ lim J
CO = CO «/
<T+ÍCO
Vi")
dz
führt nun zu unserer Behauptung durch die folgende Überlegung: Schreibt man zur Abkürzung 12 ):
o + i CO
(2*) f*( x ) = ¿ J e< z ~"° )X( P{z)dz,
o — l CO
11 ) Vgl. C. Jordan, Cours d'Analyse (3. Aufl.) 2, S. 278.
12 ) Aus den für das Integral (2) gemachten Voraussetzungen folgt nicht nur die
Existenz des Integrals
O + i CO CT + ico
S e ( z - a ° )x <p(z)dz = e l ''-°° )x J e {z -° )x cp{z)dz,
o—i co o — i co
sondern auch die Tatsache, daß es in jedem endlichen Intervall
x l < X <
gleichmäßig konvergiert, sobald x¡ und x„ größer als X ausfallen.

76 A. Haar,
so folgt — falls x 1 und x 2 größer als X sind —
<7 + 1 CO
f x , 1 f ato—d*. , w
CT— I CO
da die Umkehrung der Integrationsfolgen wegen der angenommenen gleichmäßigen Konvergenz des Integrals (2) für x > X gestattet ist. Das heißt es ist
X 2 %i
f f*(x) dx = F(x^) — F(x 1 ) = f e~"« x f(x)dx,
X,
und wegen der Stetigkeit der Funktionen f(x) und f*(x)
f*{x) = e~"- x f(x).
Hieraus folgt aber mit Rücksicht auf (2*) unsere Umkehrungsformel
CT + Í 00
= ¿ J eZX( P{z) dz -
2. Bevor wir weitere Schlüsse aus dieser Umkehrungsformel ziehen, wollen wir zwei Fälle hervorheben, in denen das Integral
CT + i 03 CO
jf e (z ~ a,x <p(z) dz = f e itx <p(o it) dt
a—i co — co
gleichmäßig in x konvergent ist, da sie in den folgenden Untersuchungen häufig auftreten werden. Dies findet jedenfalls statt, wenn
a) 9 o(o-\-it) bei t = ± oo absolut integrabel ist, da sodann für jeden Wert von x
ß ß
I f e itx cp (o -j- it) dt \ <¡ f I <p(o + it) I dt
a a
ist, oder wenn
b) die Ableitung cp'[a-\-it) für t = + oo absolut integrabel und
lim cp (c + i t) — 0
£ = ± CO
ist. In der Tat ist
ß ß
! f it* / i i. \ e itß <p (oe ita cp (o + ia) 1 f ,, . , > , !■
e xtx cp(o-\-zt) dt = ———■ — - e ltx cp {o-\-it)dt\
I J II IX X J I
a a
ß
^{ M 0 + î '/ 3 ) I + \<p( a + ia )\+\w'{ a + i t)\ dt},
a
und diese Ungleichung lehrt, daß für alle Werte von |x|, die oberhalb

Asymptotisohe Entwicklungen.
77
einer positiven Grenze liegen, dieses Integral kleiner als eine von x unabhängige Größe ô wird, falls die Grenzen a und ß hinreichend große positive bzw. negative Zahlen bedeuten.
Die gleichmäßige Konvergenz der Integrale von der Form
co a
(6) f e itx y> (t) dt bzw. f e itx ip(t) dt
a — œ
spielt bekanntlich eine wichtige Rolle, wenn es sich darum handelt, nachzuweisen, ob die Fouriersche Integralformel für die Funktion ip (t) gültig ist. Deshalb wollen wir der Kürze halber sagen, daß die Funktion ip(t) bei t — cc bzw. bei t — — co für alle x ^ X den Fourierschen Charakter hat, wenn das entsprechende Integral für diese Werte von x gleichmäßig konvergiert, d. h. wenn man zu jeder noch so kleinen Zahl ô eine positive Grenze co derart bestimmen kann, daß für alle x ^ X
P
I f e ixt yj (t) dt I < ô
a
ausfällt, sobald « co und ß u> bzw. cc — co und ß ^ — co ist 13 ). Beispielsweise hat die Funktion »
a + it
(wo o eine reelle Größe bedeutet) sowohl bei t — oo als auch bei t — — oo für jeden positiven Wert von x den Fourierschen Charakter; es ist nämlich:
r e itx ~ dt= y {-T-ni - Sr a -^ x] - + r ¿A ,
J o + it l+a;\t(oF-t-t/î) i(o + ia) J (a+it) >
a cc
aus der die erwähnte Gleichmäßigkeit für jedes positive x unmittelbar folgt.
Aus der gleichmäßigen Konvergenz der Integrale (6) (für x ^ X) folgen — in bekannter Weise — die Limesgleichungen
oo a
lim J e itx ip(t) dt = 0 bzw. lim f e itx y(t) dt = 0,
X= co a 35=03 —co
falls die Funktion yj(t) in jedem endlichen Intervall integrabel ist 14 ).
3. Entscheidend für die folgenden Entwicklungen ist der Umstand, wie weit nach links in der obigen Umkehrungsformel die Integrationsgerade
13 ) Die Voraussetzung der Umkehrformel (gleichmäßige Konvergenz des Integrals (2)) besteht in dem Fourierschen Charakter von <p(o + it) bei £ = ± oo.
14 ) Um unnötige Komplikationen zu vermeiden, benutzen wir in der vorliegenden Arbeit überall den Lebesgueschen Integralbegriff. Bei Zugrundelegung des Riemann- Bchen Integrals wäre absolute Integrabilität erforderlich.

78
A. Haar.
verschiebbar ist, d. h. die Frage nach der kleinsten reellen Zahl a, für die die Formel
f( z ï = 2^t J e * X( P( z ) dz
a—i*>
noch gilt. Hierzu sei folgendes bemerkt. Sei a eine reelle Größe < o von der folgenden Beschaffenheit: Die Funktion <p(z) ist
I. für alle Werte von z, deren reeller Teil größer als a ausfällt, regulär analytisch;
II. sie besitzt Randwerte 15 ) längs der Geraden 3t (z) = a, die eine solche Funktion cp{a-\-it) der Ordinate t bestimmen, deren Betrag in jedem endlichen Intervall von t beschränkt und die bei t = ± oo für hinreichend große Werte von x vom Fourierschen Charakter ist;
III. die Integrale
a+ico o—ico
f e zx <p(z)dz und / e zx ç>(z)dz
O-j-ioj CL — i co
streben (bei hinreichend großen Werten von x) gegen Null, falls m über alle Grenzen wächst.
Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt noch
a+i OO OD
f{x) = ¿ J e zx cp{z)dz = e ^ J* e itx <p (a + it) dt.
a—i oo —co
In der Tat, wendet man das Cauchysche Theorem auf das Rechteck mit den Ecken 18 )
a — i co 1 , a — i cOj , a + i ci> 2 , a + im 2
I5 ) Der Begriff des Randwertes ist dabei wie folgt zu verstehen: Die Punktion <~p(z) besitzt an der Stelle z 0 — a + i t 0 den Randwert A 0 , wenn man zu jeder positiven Zahl <5 eine Größe e derart bestimmen kann, daß für jedes z, dessen reeller Teil größer als a ist, die Ungleichung
I A 0 -<p(z)\<6
eine Folge der Ungleichung
I z - z 0 1 < «
ist.
10 ) Die Anwendbarkeit des Cauchyschen Theorems im vorliegenden Falle ergibt sich aus folgender Überlegung : Aus der Annahme, daß die Randwerte eine beschränkte Funktion bilden, folgt die Beschränktheit der Funktion cp(z ) selbst in dem betrachteten Rechteck. Wendet man daher den Cauchyschen Satz auf das Rechteck mit den Ecken
a + s — icoi, a — ico lt a-\-ico 3 , a + i + i cu 2 (s>0)
an (auf dessen Peripherie cp (z) regulär analytisch ist), so erhält man durch den

Asymptotische Entwicklungen. 79
an, so folgt — da innerhalb des Rechtecks cp ( z ) regulär analytisch ist —
a + ico 2 CT + ta>o a — ico 1 a + ico^
f e zx cp(z)dz — f e zx cp (z) dz + J e zx (p(z)dz-\- J e zx cp{z)dz,
a—icoi a — icox a—i(O x a + i(0 2
woraus mit Rücksicht auf die Bedingung III durch den Grenzübergang a> 1 = oo und cw 3 = 00 unsere Behauptung folgt.
Erfüllt (p{z) alle oben aufgezählten Bedingungen, so gilt — nach der am Schluß von 2., S. 9 gemachten Bemerkung —
QO
lim Je itx cp(a + it) dt = 0,
X= » — CC
d. h. es ist
lim e~ ax f(x ) = 0,
X— 00 .
und wir gelangen zu dem folgenden Satz, der die Grundlage unserer Untersuchungen bildet:
Es sei f{x) eine für alle positiven Werte von x definierte Funktion, die in jedem endlichen Intervall stetig und von beschränkter Schwankung ist. Wir nehmen ferner an, daß ihre Laplacesche Transformierte
CO
<p(z) = J e~ zx f(x) dx 0
die folgenden Eigenschaften 1? ) besitzt:
I. Sie ist für alle Werte von z = a + it , deren reeller Teil größer a ls a ist, regulär analytisch, und es besitzt die Funktion cp{o-\-it) der reellen Veränderlichen t bei t = + co für hinreichend große Werte von x den Fourierschen Charakter.
II. Sie besitzt längs der Geraden 9Î ( 2) = a Randwerte, die eine solche Funktion definieren, deren Betrag in jedem endlichen Intervall beschränkt ist und die bei t = ± 00 für hinreichend große x vom Fourierschen Charakter ist.
III. Die Integrale
a + ico o—ico
f e zx <p(z)dz und J e zx <p(z)dz
a+ico a—ioj
streben bei hinreichend großen Werten von x gegen Null, falls co über alle Grenzen wächst.
Grenzübergang e=0 die gewünschte Formel, da wegen der Beschränktheit der auftretenden Punktionen die Limesgleichungen
a + E + ico 2 a+ico 2 (7 rfc ¿ co o±ico
lim J* e zx q>(z)dz= J e zx <p(z)dz, lim J e zx rp(z) dz — / e zx <p(z)dz
r=0 flfE-iwj a—i(0 1 £=0 B+tiiw a±ici>
gelten.
17 ) Im folgenden werden diese Eigenschaften als Bedingungen I, II, III zitiert.

80
A. Haar.
Unter diesen Bedingungen gilt die Limesgleichung : lim e~ ax f(x) — 0 .
¡5=1X1
4. Wir nehmen jetzt an, daß die Laplacesche Transformierte cp (z) von f(x ) — außer den in dem vorangehenden Satz aufgestellten Bedingungen I, II, III — noch der weiteren Bedingung unterworfen ist, daß die Randfunktion cp{a-\-it) n-mal differenzierbar ist, die so gewonnenen Funktionen:
cp(a-\-it), cp'(a-\-it), cp"(a-\-it), ..., «p'" -1 ' (a + it)
für t — + oo den Grenzwert Null haben und cp (,i) ( a + it) in jedem endlichen Intervall der Variablen t integrabel, bei t = ± oo aber für hinreichend große Werte von x vom Fourierschen Charakter ist 18 ).
Unter diesen Bedingungen gilt die schärfere asymptotische Formel: lim x n e~ ax f(x) — 0 ,
iC=oo
denn es ist bei den gemachten Annahmen
CO CO
i - " 1 /"(®) — 5~— e itx (p{a + it)dt = — 5^— e itx <p' (a -\- it) dt
u JC J ' o It X J
— CO — CO
CO CO
= 2/ eit%c P"{a + H)dt = = j e itx <pW(a + it)dt,
— CO — CO
woraus nach der am Schluß von 2. (S. 77) gemachten Bemerkung unsere Behauptung unmittelbar folgt.
Es sei noch bemerkt, daß die dargelegte Methode anwendbar bleibt, wenn die vorgelegte Funktion nicht für alle positiven Werte von x, sondern nur für solche definiert ist, die größer als eine untere Grenze X sind. Wenn man nämlich f(x) für x X gleich Null setzt und das asymptotische Verhalten der so erhaltenen Funktion nach der vorangehenden Methode untersucht, so handelt es sich um das Studium der Funktion
CO
99 (z) = Je~ zx f(x)dx. x
Wir werden sogar sehen, daß selbst in Fällen, wo die Funktion f(x) für alle positiven x definiert ist, häufig zweckmäßig ist, statt des ursprünglichen Integrals (1) auf dieses letzte Integral zurückzugreifen, was ja da-
18 ) Man beachte, daß aus dem Umstände, daß die w-te Ableitung <p w (a + it) bei £ = ± co den Fouriersehen Charakter besitzt und die Ableitungen (p ( a + it), rp' (a + it), ..., <pf- l >(a + it) für t=± 00 gegen Null streben, der Fouriersche Charakter von cp^-u (a + it), ç> (n_a ' (a + it), ..., cp (a + it) bewiesen werden kann.

Asymptotische Entwicklungen.
81
mit gleichbedeutend ist, statt des asymptotischen Verhaltens von /'( x) das Verhalten derjenigen Funktion zu studieren, die für x X verschwindet, für x > X aber mit f(x) übereinstimmt.
§2.
Die einfachsten Singularitäten der Laplaceschen Transformierten.
5. Die vorangehenden Untersuchungen zeigen den Zusammenhang zwischen dem asymptotischen Verhalten einer Funktion und den funktionentheoretischen Eigenschaften ihrer Laplaceschen Transformierten in voller Analogie mit der sogenannten Darbouxschen Methode, die das asymptotische Verhalten einer Zahlenfolge /j, f a , . mit den funktionentheoretischen Eigenschaften ihrer erzeugenden Funktion 5] f n z n in Verbindung setzt. Wie bei der Anwendung der Darbouxschen Methode der erste Schritt die Bestimmung des Konvergenzkreises der erzeugenden Funktion ist, so wird im folgenden der erste Schritt die Bestimmung der unteren Grenze a derjenigen Abszissen sein, für die die Laplacesche Transformierte die Bedingungen I und III unseres Satzes S. 79 erfüllt. Obwohl auf dieser Grenzgeraden keine singulären Stellen der Funktion <p(z) liegen müssen, so werden in den folgenden Anwendungen dennoch hauptsächlich solche Fälle auftreten, wo das Verhalten der Laplaceschen Transformierten im Unendlichen keine wesentlichen Schwierigkeiten bietet und die Grenzgerade 9t(z) = a einfach dadurch bestimmt ist, daß auf ihr singuläre Punkte von cp (z) von einfachem Charakter liegen. Dies führt auf die Frage, das asymptotische Verhalten von f(x) zu bestimmen, falls cp (2) auf der erwähnten Grenzgeraden singuläre Stellen vom algebraischen Charakter (in endlicher Anzahl) aufweist, im Unendlichen aber alle aufgestellten Forderungen erfüllt. Dieses Vorgehen entspricht genau dem, was Darboux in seiner berühmten Abhandlung unternommen hat, und wir gelangen zu dem folgenden Satz :
Die Funktion
CO
cp (z) = Je~ zx f(x)dx 0
erfülle für 91(z)>a die Bedingungen I und III unseres Satzes S. 79 ; auf der Geraden 3î(z) = a selbst gestatte die Funktion cp[z) bzw. ihre Randwerte die folgende Zerlegung:
9»( a ) = ;—; + v( z ) 0z = a + it),
(z-z 0 ) e
wobei z 0 = a~J~it 0 ein Punkt der Geraden ist, die Funktion yj(a-\-it) aber eine n-mal differenzierbare Funktion von t bedeutet von der J5e-
Mathematische Annalen. 96. 6

82 A. Haar.
schaffenheit, daß j y> (n) (a it)\ in jedem endlichen Intervall von t beschränkt ist; die Ableitungen
<p (a-\-it), <p '(a J -it), ..., 99< n-1) (o -j- it)
mögen für t=±o o den Grenzwert Null haben, und schließlich besitze cp {n) (a + it) bei t = + oo für hinreichend große x den Fourier sehen Charakter.
Unter diesen Bedingungen gilt die asymptotische Formel :
lim x n e~ ax I f(x) — „} . e ZaX x s _1 ] = 0 ;
*=<* L v ' r (e) -I
g bedeutet hierbei eine beliebige reelle oder komplexe Größe, die weder Null noch eine negative ganze Zahl ist.
Wir beweisen diesen Satz, indem wir zeigen werden, daß die Laplace- sche Transformierte 0(z) der Funktion
F(x) — e z " x x^~ 1
für 9î(z)>a die erwähnten Bedingungen I und III erfüllt, daß sie eine Zerlegung von der Form
<Z>(z) = 1 h V(»)
V ( z -z 0 ) e
gestattet, wo X I J (z) eine ganze transzendente Funktion ist, und schließlich daß 0 (z) und alle Ableitungen ( P >n) (2) auf der Geraden s Jt(z) = a bei t = ± 00 den Fourierschen Charakter besitzen und gegen Null streben, wenn t über alle Grenzen wächst.
Auf Grund dieser Tatsache ergibt sich nämlich die obige Behauptung, wenn man den Satz S. 80 auf die Funktion
~~ r(g) eZ ° x x& ~ 1
anwendet, deren Laplacesche Transformierte
<p(z) — <P (z) = y> (z) — W (z)
alle Bedingungen jenes Theorems erfüllt.
Wenn der reelle Teil von q positiv ist, so ist unsere Behauptung eine unmittelbare Folge der fundamentalen Formel der Theorie d^r r-Funktionen
CO
(7 ) &(z) = 777-^ I e~ zx e z ° x x?~ 1 dx = .
y i K) J (e) J (z-* 0 ) e

Asymptotische Entwicklungen.
83
Die Funktion V ( z) ist also identisch Null und der Fouriersche Charakter von 4>(z) und ihrer Ableitungen ist eine Folge (nach einer S. 70 gemachten Bemerkung) des Umstandes, daß die Integrale
a+i co
J I á> (n) (z) I dz bzw. f dz (n = 1,2,3,...)
a — i co
absolut konvergieren, wenn — w < t 0 < co ist.
Eine etwas umständlichere Diskussion erfordert der Fall, wo 3î(e)< 0 ausfällt.
In diesem Falle betrachten wir die Laplacesche Transformierte der Funktion -=r^ e z « x x e ~ 1 zwischen den Grenzen 1 und 00, also
r (e)
CO
(8) 0(z) = J e- {z ~ z ° )x x?- 1 dx ÍK (z) > 9Í (z 0 ) = a .
1
Auch dieses Integral wird in der Theorie der r-Funktionen vielfach behandelt. Durch zweimalige Produktintegration ergibt sich zunächst
1 ( »-(Z-Zo) „-(z-zj
(*') •w-jrô{7=ï- + (»- 1 )^7
CO
^ 4e — l)(g-2) Í e -(z-z 0 )x x e-3 dx \
(z-z 0 ) J J
woraus man unmittelbar erkennt, daß die Bedingungen I und III erfüllt sind, da für z = o-\-it, a>a = 9i(z 0 ) das erste Glied in dieser Summe nach der Bemerkung S. 77 bei t — + 00 den Fourierschen Charakter besitzt, die beiden andern Glieder aber absolut integrable Funktionen von t (im Intervall — 00 < t < 00) darstellen.
Man überzeugt sich ferner durch eine einfache Überlegung, daß für jeden Wert von z 0 , der von z verschieden ist
{ 1 co V
e~ x x e ~ x dx 4- I e~ x x s ~ 1 dx<
J, J I
Z ~Zq 1
ist, wobei das erste Integral längs eines Weges zu nehmen ist, der die negative reelle Achse nicht trifft. Für reelle positive Werte von z — z 0 folgt diese Relation aus der Definition von <£(z), wenn man in dem Integral (8) die neue Integrationsvariable (z — z 0 )x einführt; für andere Werte von (z — z 0 ) aus dem Umstände, daß in der längs der reellen
6*

84 -A. Haar.
negativen Achse aufgeschnittenen Ebene e~ z z"~ 1 eine reguläre analytische
Funktion darstellt lö ). Beachtet man noch, daß
«
+c
f.-*-*.- f 2{-iy-^dx-Z(-ir±=£0t
, , -_z v=0 ' r=0 V
Z — Zq 2 ZQ
ist, so ergibt sich in Anbetracht der bekannten Formel 30 )
00 00
^(g)-¿(-l) V v!( ,! +e) +J e-'xe-idx
v=0 1
(g> keine negative ganze Zahl) die Relation
< 9 >
in der die unendliche Summe tatsächlich eine ganze Funktion von z darstellt.
Um schließlich das Verhalten von 0(z) auf der Geraden 9î(z) = a zu untersuchen, bemerke man, daß das Integral (8) wegen ( o ) <^ 0 auch noch für die Werte z — a -|- it absolut konvergiert; daraus folgt nach einem bekannten Satze, der die Übertragung des Abelschen Satzes über Potenzreihen auf die Laplaceschen Integrale ist, die Relation
CO
0 (a -f- it) = J" e~ i{ - t ~ ta)x xo- 1 dx,
aus der man durch wiederholte Produktintegration die folgende Formel gewinnt :
r(e)3>(a-Mi) =
p i to) p i (í ¿o)
g i (t ¿o) Q i t O )
+ { q — 1) ( q ~ 2) ; —— 7773 + -- - + (¡? — "l)(í?-~2)...(£> — n)-
(i(t-í 0 )) 3 " (i(í-f„)) n+1
co
i f g -i(t—t a )z %(?-n- 2
( i(t-U) n + 1 J
(i(t-t 0 )) r
Bilden wir nun die ra-te Ableitung <Z > ln, (a + ¿í), so erkennt man, daß
i
f><™) /
19 ) Die rechte Seite der letzten Gleichung stellt nämlich eine solche Funktion dar, die eindeutig regulär analytisch ist, falls z — z 0 nicht gleich einer negativen reellen Zahl oder Null ist und die mit der ebenfalls analytischen Funktion i 1 (z) übereinstimmt, falls z — z 0 gleich einer positiven reellen Zahl ist ; daraus folgt die Übereinstimmung beider Funktionen.
-°) Vgl. etwa N. Nielsen, Handbuch der Theorie der Gammafunktionen, S. 143.

Asymptotisohe Entwicklungen.
85
die eckige Klammer in der obigen Darstellung durch n- malige Differentiation in eine Summe von der Form
übergeht, wobei die cc 1 , ...,a. in+1 Konstante bedeuten; dieser Ausdruck hat nach der S 76 und 77 gemachten Bemerkung bei t = + oo (für hinreichend große x) den Fouri ersehen Charakter. Die n-te Ableitung des zweiten Gliedes in der obigen Darstellung von + hat die Form
da die Ableitungen des Integrals wegen der gleichmäßigen Konvergenz sämtlicher auftretenden Integrale durch Differentiation des Integranden gewonnen werden. Alle Integrale in diesem Ausdruck sind dem Betrage nach unterhalb einer von t unabhängigen Grenze ; daraus folgt die absolute Integrabilität im Unendlichen der durch diese Summe dargestellten Funktion, also ihr Fourierscher Charakter bei t = ±oo.
Es zeigen auch die entwickelten Formeln die Konvergenz der Ableitungen & {n) (a-\-it) gegen Null, falls t über alle Grenzen wächst. Damit ist unsere Behauptung in allen Teilen bewiesen.
In derselben Weise ergibt sich der etwas allgemeinere Satz, daß wenn die Laplacesche Transformierte <p(z) der betrachteten Funktion fix) für 3î(z)>a die Bedingungen des vorangehenden Satzes erfüllt, auf der Geraden 9ï(z) = a aber in der folgenden Form darstellbar ist:
wobei z lt = a J [-it K Punkte dieser Geraden, die Exponenten g x aber iveder Null noch negative ganze Zahlen sind, wenn ferner die n-te Ableitung V (n) {a -f- it) in jedem endlichen Intervall von t vom beschränkten Betrage ist, die Funktionen
für t = + oo den Grenzivert Null haben und schließlich <p {n) {a + it) bei t = + oo den Fourierschen Charakter besitzt, so besteht die folgende asymptotische Formel :
2?i+l
V
9?(a-{-it), (p'(a-\-it), ..., 9J ,n_1, (a + it)
V
lim x n e~ ax

86 A. Haar.
6. Der wesentliche Punkt der vorangehenden Untersuchungen ist die Diskussion des analytischen Charakters der Laplaceschen Transformierten der Funktion e ZoX x"~ 1 , falls o nicht Null und keine negative ganze Zahl ist. Wir wollen jetzt diese ausgeschlossenen Fälle untersuchen und annehmen, daß g = — fc eine negative ganze Zahl oder Null ist. Dies führt zur Behandlung der Funktion:
CO
^ ( z ) = J e ~ zx ßZ ° x x ~ k ~ x dx (¿ = 0, 1, 2, ...).
i
Durch wiederholte partielle Integration erhält man — ähnlich wie im vorangehenden Falle — die Formel:
-(Z-Z„) -(2-2 0 ) v , s -(Z-Z„>
— -+(i+i)(¿+2).; — 2 z 0 (z-*o) (*- z o)
 f ••• + (-1) (k + 1) (& + 2) • • • (k + n) - —^
(Z — Z 0 )
- (- 1)" (k+l)(k + 2)...(k + n + l) ( e -^ o)x - k -n-, dXi
(z-z 0 ) n+1 J
aus der man, wie oben, erkennt, daß <P(z) alle Forderungen, die für das Verh a lt en im Unendlichen gestellt sind, erfüllt, sowohl für 9î(z) > ïït (z 0 ) — a, wie auch längs der Geraden 9î(z) = a. Wiederum gilt die Darstellung
/ 1 co \
#> (z) = ( z — z 0 )* { J e~ x x~ k ~ 1 dx -j- / e~ x x~ k ~ 1 \ dx
Z Zq 1 '
(wobei der Integrationsweg wie oben zu wählen ist), aus der man mit Rücksicht auf die Relation
Je-«»"*" 1 ** =2J (- l) v 1 v \ Z {v l o) h) - + '° g(8
Z-Zo W
in der die Summe auf alle ganzzahligen Werte von v mit Ausnahme von v — k zu erstrecken ist, erkennt, daß <I> (z) eine Zerlegung von der Form:
<P(z) = (- l) i+1 ^-^log(z-z 0 )+!P(z)
gestattet, in der 'i'(z) eine ganze transzendente Funktion ist. Durch eine wörtliche Übertragung des Beweisganges, der auf den Satz S. 81 dieses Abschnittes führte, gelangt man aus dieser Zerlegung zu dem folgenden Resultat:
Die Laplacesche Transformierte <p (z) der Funktion f{x) erfülle die Bedingungen I und III (S. 79) für 91 (z) > a; auf der Geraden 9Î (z) = a gestatte <p{z) bziv. ihre Randwerte die Zerlegung:
cp (z) = (z - z 0 )* log (z - z 0 ) + yj (z) (z 0 = a + it 0 ),

Asymptotische Entwicklungen.
87
wobei k eine positive ganze Zahl oder Null bedeutet und die Funktion \¡>{a-]-it) von t so beschaffen ist, daß ihre n-te Ableitung y (n) (a + it) dem Betrage nach in jedem endlichen Intervall beschränkt bleibt ; es mögen die Funktionen
cp (a-\-it), cp' (a + it), . . ., <p ln ~ 1) (a + it) f ür t=± oo den Grenzwert Null haben und <p in \a + it) bei t = ± oo den Fourierschen Charakter (für hinreichend große x) besitzen. Unter diesen Bedingungen gilt die asymptotische Formel:
lim x n e- ax [f(x) + (- 1 ) le k\e t ' x x- k ~ 1 ] = 0.
X= co
7. Durch diesen Satz erhält man den asymptotischen Charakter der Funktion f(x), falls ihre Laplacesche Transformierte in einem Punkte der kritischen Geraden eine logarithmische Singularität aufweist, im Unendlichen aber alle gestellten Forderungen erfüllt. Es liegt nun nahe, noch den allgemeinen Fall zu untersuchen, daß <p(z) längs der Geraden 9 î(z) = a eine Zerlegung
gestattet, wobei g keine negative ganze Zahl bedeutet, \ y.< (n) {a + it) \ wiederum in jedem endlichen Intervall von t beschränkt bleibt, und cp(z) für 9i(z)>a die Bedingungen I und III, für 9 l(z) = a aber — wie in den vorangehenden Fällen — die Bedingungen erfüllt, daß
lim cp (r) (a -j- it) = 0 (v = 1, 2, ..., n — 1 )
t = + CO
ist und 93 (n) (a + it) bei t = + oo den Fourierschen Charakter besitzt. Man zeigt unschwer, daß unter diesen Bedingungen:
lim x n e
X= co
ist.
1 z °*.re- 1 f\na X - CW\
f( x ) + T( e ) e ° xa ( loga: r(e)l
= 0
In der Tat, ist der reelle Teil von q positiv, so erhält man für
9î(z) > 9î(z 0 ) = a durch Differentiation der Gleichung (7) nach q :
e - zx e zox x e-i logxdx = J (g) _ W lo g (z - Z q) .
\ z 0 ) ( z ~ z o)
GC
J
0
Wenn dagegen 9í ( o ) < 0, o aber keine negative ganze Zahl ist, so ergibt sich in ähnlicher Weise aus (9):
co
/<
1
e zx e z ° x x a 1 log xdx r' (e) r(e)
log(z-z 0 )+ V(-
^ I ( «. I "
( 2 *o)~ ( z ~~ z o)~ v ! (v g)

88
A. Haar.
da die Differentiation unter dem Integralzeichen wegen der gleichmäßigen Konvergenz der resultierenden Integrale gestattet ist.
Man kann nun die Funktionen:
CO
@( z ) = f e~ zx e z ° x x?' 1 logxdx ($R(i?)>0)
0
CO
bzw. Ö>(z) = J e~ zx e z « x x ß ~ 1 logx dx (9Î(^)<0)
1
einer ähnlichen Diskussion unterwerfen, wie es in 5. mit der dort mit í>(z) bezeichneten Funktion geschah. Man überzeugt sich, daß diese Funktionen für Ül (z) > a regulär analytisch, für z = a -\- it aber bei t = + oo den Fourierschen Charakter besitzen. Daraus folgt aber, daß, wenn die La- placesche Transformierte <p(z) von fix) längs der Geraden 9î(z) = a die Zerlegung:
<p ( 2 ) = ( T ' ( /L - log ~ z o) + y (g)
[ z ~ z o) \ z ~ z o)
gestattet (f?=|=0> — 1, —2, ...), ivobei | + ¿í) | in jedem endlichen
Intervall von t beschränkt bleibt, <p (z) aber die Bedingungen I und III (S. 79) für 3l(z)>a erfüllt, für z — a-\-it aber so beschaffen ist, daß
lim ç> (v) (a -f- it) = 0 (v = 0,1, 2,..., n— 1)
t = + CO
ist, und (f ' n) (a + it) bei t = + oo den Fourierschen Charakter besitzt, die asymptotische Formel:
lim x n e~ ax [f(x) — e z ° x x e ~ 1 loga;] = 0
X= co
richtig ist.
Durch Kombination dieses Ergebnisses mit dem in 5. gewonnenen Resultat erhält man die zu Beginn von 7. aufgestellte Behauptung.
8. Dieser letzte Satz ergibt sich aus den beiden vorangehenden (vgl. 5. und 6.) durch ein Verfahren, das vielfach mit Vorteil angewandt werden kann; es besteht in der Anwendung der folgenden Formel, die das Multiplikationsgesetz der Laplaceschen Transformation angibt 21 ). Ist
CO CO
<Pi( z ) = f e~ zx f 1 (x)dx, <P*(z) = f e~ zx f 2 (x)dx,
a a
so ist
CO
9>( z ) = 9?i( 2 ) <PÁ Z ) = f e ~ zx f(x)dx,
- 1 ) Diese leicht verifizierbare Formel tritt häufig in allen Untersuchungen — beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitsrechnung — auf, bei denen die Laplacesche Transformation eine Rolle spielt; vgl. Horn: Journal für die reine und angewandte Mathematik 144, S. 170.

Asymptotische Entwicklungen.
89
wobei
(10) f(x) = //i(f)/ , 2 (^ — £) dl
a
gesetzt ist, falls die auftretenden Integrale absolut konvergieren. Nehmen wir an, daß cp l (z) im Punkte z = z 0 eine algebraische Singularität (wie in 5.), <Px(z} aber eine logarithmische (wie in 6.) besitzt, so hat cp(z) die Singularität der in 7. behandelten Art und das asymptotische Verhalten von f{x) — das unschwer diskutierbar ist — liefert den letzten Satz. Überhaupt lehrt die Formel ( 10) das asymptotische Verhalten einer Funktion, deren Laplacesche Transformierte als ein Produkt dargestellt ist, wenn man das asymptotische Verhalten der zu den einzelnen Faktoren gehörigen Funktionen kennt.
Das Ergebnis unserer Untersuchungen besteht in der Erkenntnis, da ß -— falls die Laplacesche Transformierte (p (z) einer Funktion f{x) die erwähnten Bedingungen im Unendlichen erfüllt — der funktionentheoretische Charakter dieser Transformierten bzw. ihre singulären Stellen und zwar diejenigen, deren reeller Teil möglichst groß ist, ausschlaggebend für das asymptotische Verhalten der zugehörigen Funktion f(x) ist. Die behandelten Fälle betreffen Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Charakter; es ließe sich auch der Fall behandeln, in dem die Laplacesche
Transformierte eine exponentielle Singularität (von der Form e 2 ) aufweist. Man hat zu diesem Ende die Formel:
? - ;. 2 •
i P -»» cos ¿ j. _ ]j n
J l/x V z
o
heranzuziehen; in der Tat ist das asymptotische Verhalten der Funk
cos A "V ce • • •
tion ——— eine total verschiedene von den bisher betrachteten. Es wäre I X
auch des Interesses wert, zu untersuchen, welches asymptotische Ver-
F los ( % ~~ % ") 1 ^
halten einer Singularität von der Form -—— entspricht.
(*-Zo) e
Wir wollen auf diese Fragen hier nicht weiter eingehen, sondern an einigen klassischen Beispielen zeigen, wie einfach die dargelegte Methode zur Bestimmung asymptotischer Ausdrücke zum Ziele führt.
§3.
Beispiele und Anwendungen (Potenzreihen).
9. Wir werden uns zunächst mit dem asymptotischen Verhalten einiger (beständig konvergenten) Potenzreihen
f(x) = a 0 + a x x + a„x" + ... -f a n x n + ...

90
A. Haar.
beschäftigen, wenn x längs eines vom Nullpunkte ausgehenden Strahles ins Unendliche rückt. Wenn die unendliche Reihe
/ 1 1 \ / *. N ö 0 I 1 I ^ * a 2 I , t
(11) <Po( 2 ) = T + ~^" + ^ + ---+¡^I" + ---
für hinreichend große I z j konvergiert, so stellt sie die Laplacesche Transformierte der Funktion f (x) (für positive reelle Werte der Veränderlichen) dar, d. h. es ist
CO
9^0( z ) = / e~ zx f\x)dx.
0
Dies folgt, mit Rücksicht auf die Relation:
co
J n I
e -zx x ~n d x = ^
S H+1»
0
unmittelbar aus einem bekannten Satz") über die Integration von unendlichen Reihen.
Wir machen nun die Annahme, daß die Reihe (11) für | z | > R konvergent ist; die Funktion <p 0 (z ) ist alsdann im Unendlichen regulär und gleich Null; ihre Ableitungen verschwinden von mindestens zweiter Ordnung. Folglich sind alle Bedingungen, die wir in den Sätzen des vorangehenden Abschnittes für das Verhalten im Unendlichen gestellt haben, erfüllt; namentlich ist die Funktion <p 0 (z) und alle ihre Ableitungen auf jeder Geraden vom Fourierschen Charakter, und es ist auch die Bedingung ^11 (S. 79) für jedes a und o erfüllt. Es kommen daher bei der Behandlung des asymptotischen Verhaltens von f(x) nur die im Endlichen gelegenen singulären Punkte von <p 0 (z) in Betracht, und zwar in erster Reihe diejenigen, deren reeller Teil möglichst groß ist.
Wenn die unabhängige Veränderliche längs eines vom Nullpunkte ausgehenden Strahles ins Unendliche rückt, der mit der positiven reellen Achse den Winkel 0 bildet, d. h. wenn
x = J x I e id
ist, so handelt es sich um das asymptotische Verhalten der Funktion
i i i i Q ; i 1 2 2 i d i i i in wi0 i
a 0 + a í I x I e n + a 2 1 x \ e \x\ e + ...,
deren Laplacesche Transformierte — nach dem Obigen — die Funktion , \ vi n'.a„e nid , _,. fl s
<Pd( z )= 2 j ^Tr- = e * e Vo( e t0z )
n=0 z
ist. Da sich cp d (z) im Unendlichen wie q> 0 (z) verhält, so sind für das asymptotische Verhalten von f(x) längs des betrachteten Strahles die-
M ) Vgl. etwa Bromwich, An Introduction to the Theorie of infinite series, S. 453.

Asymptotische Entwicklungen.
91
jenigen singulären Stellen von <p e (x) ausschlaggebend, deren reeller Teil möglichst groß ist. Nach der letzten Gleichung sind diese Stellen diejenigen singulären Punkte unserer Funktion cp 0 (z), die man durch die folgende Konstruktion gewinnt: Man betrachte denjenigen vom Nullpunkte ausgehenden Strahl, der den Winkel (—0) mit der positiven reellen Achse bildet (d. h. das Spiegelbild des betrachteten Strahles in bezug auf die reelle Achse), und bewege eine Gerade senkrecht auf diesen Strahl (bzw. auf seine Verlängerung) vom Unendlichweiten ausgehend, bis man auf eine singuläre Stelle von g o 0 (z) stößt. Die auf dieser Geraden gelegenen singulären Punkte von tp 0 (z) entsprechen den singulären Punkten von cp e (z) mit größtmöglichem Realteil.
In dem ziemlich allgemeinen Falle, daß <p 0 (z ) nur Singularitäten von der im § 2 behandelten algebraisch-logarithmischen Art besitzt, und auf jeder Geraden nur endlich viele singuläre Punkte dieser Funktion liegen, beherrscht man — nach den vorangehenden Entwicklungen — das asymptotische Verhalten von f(x) längs jedes Strahles.
Die soeben erwähnte Konstruktion, die die Lage der „ ausschlaggebenden" singulären Stelle von cp 0 (2) angibt, falls die unabhängige Veränderliche längs eines Strahles ins Unendliche rückt, liefert bereits verschiedene Sätze, die Phragmén und Lindelöf in ihrer grundlegenden Arbeit „Sur une extension d'un principe classique de l'Analyse..." (Acta math. 31) abgeleitet haben. Unsere Resultate gestatten aber in bestimmter Hinsicht ein tieferes Eindringen in das asymptotische Verhalten der analytischen Funktionen, da sie nicht nur die Lage, sondern auch den Charakter der Singularitäten der Laplaceschen Transformierten berücksichtigén. Auf Anwendungen dieser Art hoffe ich in einer späteren Mitteilung zurückzukommen.
10. Ein Beispiel für den soeben behandelten Fall liefert die Besseische Funktion
deren Laplacesche Transformierte von Lipschitz berechnet wurde. Man verifiziert leicht die Relation
mit deren Hilfe man die asymptotische Entwicklung der Besseischen Funktion ohne Mühe, wie folgt, auswerten kann: Die singulären Stellen der
<Po( z ) = \ e~**J(x) dx = ]>](-1)'
Je (2 Ai)! 1 2 2k (k\)* z 2k+1

92 A. Haar.
Funktion <p 0 (z) sind die Punkte z = ± i, die algebraische Singularitäten (_ |)-ter Ordnung sind. Subtrahiert man daher von cp 0 (z) den Ausdruck
1 1 , YT/ ■,& 1-3-5 ... (2 fe — 1) 1 (z-i\ k 1
¿i I' 2 ' 8 ■■■ k V 2i / J
I)
1 \ ' 2/ ,
Tz ^2; ¡Tft fci ( z
1 1 V i k F \ k ~' 2/ , ..ft
y^ïy2i^^ 0 2 fc w 12 z)
in dem der Faktor von 1 die n- te Teilsumme der Taylorschen Ent-
^ z — i
wicklung der Funktion ist, so verschwindet die Differenz an der
T z+i
Stelle z — i von der (w + |)-ten Ordnung, daher ist die n- te Ableitung dieser Differenz bei z — i stetig. Subtrahiert man in analoger Weise
1 1 y7(-¿)* r ( ¿+ 2") r ..ft
, — — >, — ^ (z 4- i) ,
yz+i}-2ix ¿r J 0 2 k ki
so findet dasselbe an der Stelle z = — i statt. Folglich gestattet die Laplacesche Transformierte <p 0 (z) eine Zerlegung von der folgenden Form:
r
, . 1 1 ^ii k F \ k + 1!, ..J.!
^0 ( Z ) j/^+T ~~ y"2T^^ 2 k kl z ^
V( _ i) k 2) , ..ft— \ f N
^2j—J r,— 0 + 0 + v0)>
2* *•'
wobei die w- te Ableitung von y(z) überall, auch an den Stellen z— + i, stetig bleibt. Da im Unendlichen cp 0 (z ) regulär und gleich Null ist, so sind wiederum alle Bedingungen, die wir im vorangehenden Abschnitt für das Verhalten der Laplaceschen Transformierten im Unendlichen aufgestellt haben, erfüllt, und der Satz (S. 85) liefert das Resultat:
k r(u j . 1
lim x n i J (x) —— J 1 , ~
 L v 9*
n -ft r[k+ , .
•* v 21 e l
 o* 2
k\ „f\ s X
yzi"t? 0 2 K «'■ r[±-k
1 ytiir v 2 > -s-*-*] = 0
r(I- Ä ) J '
in
oder, indem man e 2 an der Stelle von i schreibt, die Formel :
F (-k + k) cos [ x —T + k ™
lim x" I J(x) — ]/— yj-—JJ r- — ^ —] = 0,
œ=œ L ( 71 k=0 r(^-k) 2 kl X«

-, n +i
Asymptotische Entwicklungen. 93
und dies ist die bekannte asymptotische Darstellung der Besseischen Funktion, falls X längs der reellen Achse ins Unendliche rückt.
Will man noch eine Abschätzung für die Differenz
Vf \-7( Ï_l/X v r ^ + ¿ ) 1 00B (»-T + *t)
" {X) V* x ë>r(±-i) 2 ** ! **
gewinnen, so setze man in der letzten Formel n-\- 2 an Stelle von n; aus der so gewonnenen Gleichung
r r~ö~ + i cos ( x ~ "T + ^ lim ®»+ 8 [?„(«)- j/— 2J -j- t - tït ;- — 1 = 0
x = a L ' k=n+l,n+2r(^-Jc) 2 k ' x
erhellt unmittelbar, daß
l n {x) = 0, ist. ,
Noch einfacher gestaltet sich die Rechnung, wenn die unabhängige Veränderliche längs eines Strahles, der den Winkel 0 mit der positiven reellen Achse bildet, ins Unendliche rückt: x — \x\e ie . Man findet als Laplacesche Transformierte in diesem Falle die Funktion
(p e ( z ) = e~ id <p 0 (e-ie z) = — . ,
+ e" la
deren singuläre Stellen
z = ± i e i 6 = + sin 0 ± i cos 0
sind. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann 0 < 0 < n angenommen werden; alsdann ist z 0 = — i e ie — sin 0 — ¿cos 0 die „ausschlaggebende" singuläre Stelle, und eine leichte Rechnung zeigt, daß die Differenz
1 1 1 , .
VPr^-~)'-2 2 **' (i e ie ) k ' 1 >
an der Stelle z = z 0 von der (n + |) _ ten Ordnung verschwindet. Da auf der Geraden 91 (z) = 9î(— ie ie ) = sin0 keine weiteren Singularitäten von < P q (z ) liegen, so folgt, daß auf dieser Geraden rp e (z) in eine Summe von der Form
» r i ! 4- ;h
1 1 vi \2 / ' 1 , , V
| 5 9 + e si9 2 *h~ (ie <0 ) fc(z + îe ) +v '^

94 A. Haar.
zerlegbar ist, wobei noch die n- te Ableitung von if(z) stetig bleibt. Unser Satz (S. 85) liefert unmittelbar den Ausdruck
1 _1 1_ e-" ie l*' .
í-2¿»e íe ¡á r(|-fc) 2 " k '- ( iciÖ )* \*\ k+i
als asymptotische Annäherung der Besseischen Funktion, wenn die unabhängige Variable x längs des Strahles x — \ x \ e ie ins Unendliche rückt. Führt man x an Stelle von | re | e i0 ein, so ergibt sich der bekannte Ausdruck
¿ r (? +t ) i r'Hî-î)
Í 2nx k=0 2 k k\
x k
\2 J
und eine einfache Betrachtung, die wörtlich wie in dem obigen Falle geführt werden kann, lehrt, daß der Fehler wiederum von der Ordnung
£-(«+$)
Die asymptotische Entwicklung der Besseischen Funktionen höherer
o
Ordnung
*.W-iÄ(T^
k= 0 v
ist in derselben Weise durchführbar; man hat nur auf die von Heine 23 ) herrührende Formel
<Po
(z) = J e~"Ji{x) dx = ai + z)ä z) '~
|1 +z
Bezug zu nehmen, die die Laplacesche Transformierte dieser Funktionen angibt. Diese Funktion (p 0 (z) ist wiederum regulär analytisch, mit Ausnahme der Stellen z = +i, wo sie algebraische Singularitäten aufweist. Durch Reihenentwicklungen in der Umgebung dieser singulären Stellen kann man wiederum eine endliche Summe von der Form
s„(z) = U K(z — ¿) k ~ ÍJ rá k (z + ¿ )*""*)
jfc=0
bestimmen von der Beschaffenheit, daß die Differenz <p 0 (z) — s n (z) für z — +i von der (n + è)- ten Ordnung verschwindet. Die Anwendung des Satzes (S. 85) liefert dann unmittelbar die bekannte asymptotische Entwicklung, und man sieht, daß ihre Berechnung nichts als die Bestimmung der Koeffizienten von gewissen Potenzentwicklungen elementarer Art erfordert.
23 ) Theorie der Kugelfunktionen 1, S. 243, 2. Aufl. Berlin 1878.

Asymptotische Entwicklungen.
95
11. Wir wollen zweitens ein Beispiel behandeln, in dem die Laplace- sche Transformierte keine elementare Funktion ist, und betrachten zu diesem Zwecke die Potenzreihe
in der s eine beliebige komplexe Größe (die nicht gleich einer positiven ganzen Zahl ist) sein kann. Die asymptotische Entwicklung dieser Funktion wurde von Herrn Hardy in Angriff genommen; in seiner in der Einleitung angeführten Abhandlung zeigt er, daß, falls x längs eines vom Nullpunkte ausgehenden Strahles ins Unendliche rückt, der im ersten oder vierten Quadranten liegt, die Formel
f( x ) = $( 1 +0 (-T< ar g x< f)
gilt, wobei e x gegen Null strebt, und entwickelt sodann die entsprechende Formel für den Fall, daß der fragliche Strahl im zweiten oder dritten Quadranten liegt. Wir werden mit Hilfe unserer Methode nicht nur die obige Formel von Herrn Hardy ableiten, sondern die volle asymptotische Entwicklung der Funktion f(x) gewinnen.
Als Laplacesche Transformierte findet man nämlich im vorliegenden
Falle
co ^
9>o(*0=J e ~ zx f( x ) dx -Uh^T'
0 ¿=1 K 2
da diese Reihe für \z \ > 1 konvergiert, so handelt es sich bei der Bestimmung der fraglichen asymptotischen Entwicklung nur um die Diskussion der im Endlichen gelegenen Singularitäten der Funktion cp 0 (z). Die Funktion
00 k yr z K
k s
fc= i K
wurde in der Literatur vielfach untersucht; eine ausführliche Behandlung ihrer Singularitäten findet man in dem trefflichen Buche E. Lindelöfs: Sur le calcul des résidus (S. 138), wo gezeigt wird, daß die einzige im Endlichen gelegene singuläre Stelle dieser Funktion der Punkt 2=1 ist ; in der Umgebung dieser Stelle gestattet die betrachtete Funktion eine Zerlegung von der Form:
wobei ^(z) an der Stelle z=l regulär analytisch ist. Daher sind die

96 A. Haar.
singulären Stellen unserer Funktion q? 0 (z) die Punkte 2 = 0 und 2=1, und in der Umgebung des letzteren gilt eine Darstellung
9?o( z ) = —, z — (logz) s-1 + V0),
wobei yj(z) an der Stelle 2=1 regulär analytisch ist. Daraus erkennt man, daß, wenn x längs eines Strahles ins Unendliche rückt, der im ersten oder vierten Quadranten liegt, d. h. wenn
x = \x\e id , — |- < 0 < y
ist, so ist — nach der in 9. angegebenen Konstruktion — die „ausschlaggebende" Singularität der entsprechenden Laplaceschen Transformierten <p (z) diejenige, die aus der singulären Stelle 2 = 1 von cp 0 (z ) entspringt. Da <p 0 (z) an dieser Stelle eine Singularität von der im § 2 behandelten Art besitzt, so liefern unsere dort entwickelten Formeln (S. 85) die volle asymptotische Entwicklung. Um dies ins Einzelne zu verfolgen, bemerken wir, daß die Laplacesche Transformierte
9? 6 0) = e ~ ie < Po (e~ ie 2)
die beiden singulären Stellen 2 = 0 und z=e ie besitzt, und in der Umgebung der letzteren eine Darstellung von der Form
<P e (2) = r(1 ~ S) (log 2 - i 0) s_1 + yj ± (2)
gültig ist, wobei 1/^(2) regulär analytisch an der Stelle 2 = e ie ist. Daher ist die Funktion 9 ? e (z) für 3î(2)>cos0 regulär analytisch, erfüllt im Unendlichen — da sie dort ebenfalls regulär analytisch ist — samt ihren sämtlichen Ableitungen alle gestellten Forderungen, und besitzt an der Stelle 2 = e ie eine Singularität von der beschriebenen Art.
Um daher die fragliche asymptotische Entwicklung zu gewinnen, entwickeln wir die Funktion
 (log 2 10)
in der Umgebung der Stelle z = e id ; eine leichte Rechnung ergibt
-^(1 *0/i • ß \ s—1
g (!°g s-»9)
= í: fe^¿ 7 (- V) k e- ikd (z-e i9 ) k -[(z-e id )2J { -^^-e- ikd {z-e ie ) k ] S ~ 1
e k~o k= 0 1-1
- e«)*,
6 ¡fc=0

Asymptotische Entwicklungen. 97
wobei man die Koeffizienten c l , c.,, .. c k , ... durch Multiplikation der obigen Potenzreilien berechnen kann. In geschlossener Form erhält man für c k den Ausdruck
c * = ^Í7*&ST) S 1 íür z = 1 -
Wenn nun 9î(s) zwischen den ganzen Zahlen g und g + 1 gelegen ist
g < 5R(s) < g + 1, so verschwindet die Differenz
11
Pípíi(log3 ^ ¿er 1 - ^=^(2 - e i0 ) 4_1 c k eti ae (2 - e«)*
e k=0
an der Stelle 2 = e ie von der (n-f-s)-ten Ordnung, d.h. es ist — falls n so groß gewählt ist, daß n + g > 0 ausfällt — die (w + ¡7) -te Ableitung dieser Differenz an der betrachteten Stelle noch stetig. Unsere Funktion cp e (z) gestattet daher in der Umgebung der Stelle z—e ie (also insbesondere längs der Geraden 9i(2) = cos0) eine Zerlegung von der Form:
n
Ve ( 2 ) = 2 c >< e ~ ik0 ( z - e id ) k+ "~ 1 + %p„ (2),
e k= 0
wobei noch die (n + ¡7)- te Ableitung von (2) eine stetige Funktion ist. Unser Satz (S. 85) liefert daher die asymptotische Gleichung
limx «+»e-l *l c °se U( x e ie) _ £ÍInl) Y c fc e ~** 9 _ 0
d.h. es ist — wenn man x statt x\e ie einführt
lim x .+.e-[fl„) - m -•> J r(1 1] - 0.
Diese Beziehung gilt für solche Werte von x
71 r\ M
~~2 aT 8 x < y-
Für ganzzahlige Werte von s kann man ebenfalls die entsprechenden
00 «•
Formeln entwickeln, da das Verhalten der Reihe X — an der Stelle# = 1
' h, S
k = 1
für diesen Fall bereits aus Resultaten von Kummer entnommen werden kann. Es würde auch keine Schwierigkeiten bieten, in analoger Weise das asymptotische Verhalten der allgemeineren Funktionen
00 k y x L
~[ (k + a) s 7c!
Matheraatische Annalen. 96. 7

>
98 A. Haar.
mit denen sich Herr Hardy in der erwähnten Arbeit beschäftigt, zu bestimmen, da man — wie Herr Lindelöf in den letzten Zeilen seines erwähnten Werkes bemerkt — die Singularitäten der Funktion
V7 z h
¿í( k + a)'
mit analogen Mitteln diskutieren kann, wie im Falle a = 0 .
Hingegen versagen unsere Entwicklungen, falls x längs eines im zweiten oder dritten Quadranten verlaufenden Strahles ins Unendliche rückt, da in diesem Falle die „ausschlaggebende" Singularität der Laplace- schen Transformierten die Stelle z = 0 ist. Diese Singularität ist nicht mehr vom algebraischen Charakter und — obwohl sich aus den Lindelöf- schen Untersuchungen verschiedene Schlüsse auf das Verhalten von <p 0 (z) in der Umgebung des Nullpunktes ergeben — so scheinen mir diese noch nicht auszureichen, um die volle asymptotische Entwicklung der obigen Funktion zu liefern.
§4.
Beispiele und Anwendungen. (Bestimmte Integrale.)
12. Für das bekannte Laplacesche Problem der „Funktionen großer Zahlen" gewinnt man mit unserer Methode recht durchsichtige Formeln. Hier handelt es sich bekanntlich um die Funktion
i
f(x) = fe* F ®G(t)dt, o
wobei wir der Einfachheit halber die Strecke 0 t <¡ 1 als Integrationsintervall genommen haben. Die Laplacesche Transformierte ist in diesem Falle
1 ©(0
(12) (p (z) = ^e~ z *f(x) dx — j
b o
z — F(t)
dt.
Wir können annehmen — ohne die Allgemeinheit einzuschränken —, daß F(t) an der Stelle ¿ = 0 verschwindet, und daß für alle andern im Integrationsintervall gelegenen Werte von t diese Funktion einen negativen reellen Teil besitzt:
F( 0) = 0, 31(^(0) <0 für 0 < í <: 1,
da der allgemeine Fall auf diesen zurückführbar ist. Wir machen noch die Annahme, daß die Funktionen F(t) und G(t) im Integrationsintervall (einschließlich der Grenzen) reguläre analytische Funktionen sind, und können leicht erkennen, wo die singulären Stellen der Funktion cp (z)

Asymptotische Entwicklungen.
99
liegen. Für unsere Zwecke ist übrigens schon die triviale Bemerkung ausreichend, daß die Funktion <59(2) mit Ausnahme der Stelle 2 = 0 für alle Werte der unabhängigen Veränderlichen, deren reeller Teil größer oder gleich Null ist, regulär analytisch ist, da etwaige singuläre Stellen offenbar nur dort liegen können, wo der Nenner des Integranden von (12) verschwindet. Da ferner <p(z) für 2 = 00 regulär und gleich Null ist, so erkennt man — wie im vorangehenden Abschnitte —, daß für das asymptotische Verhalten von f(x) der Charakter der singulären Stelle 2 = 0 der Funktion 99(2) ausschlaggebend ist. Da das Integral
f -n l wh di
J z-F (t)
E
für jedes positive e (< 1) eine bei 2 = 0 reguläre analytische Funktion darstellt, so kann man sich bei der Untersuchung des Verhaltens von 95(2) im Nullpunkt auf die Funktion
0
beschränken, wobei e beliebig klein gewählt werden kann.
Um nun diese Untersuchung in voller Allgemeinheit durchzuführen,
nehmen wir an, daß F(t) für ¿ = 0 von der p- ten Ordnung verschwindet:
F(t) = t v (y 0 + 7i t + r+ • • •) (y 0 + 0),
und führen als neue Integrationsveränderliche
T = V F(t) — í V y 0 -J- y 1 t -j- J> 2 t +...
ein. Da sich aus diesem Zusammenhang t als eine für hinreichend kleine Werte von t konvergente Potenzreihe ergibt, so geht — für hinreichend kleine e — das Integral
0
in einen Ausdruck von der Form:
f c o + C 1 x + c 2 T ° + • • • + e n tn + • • • ^ T
J Z — T P
O
über, wobei
c» + 5, * + «1 + • • ■ + + •. ■ — 0 (<) " — d Gi ' !
3t (WO
7*

100 A. Haar.
gesetzt ist, und als Integrationsweg der Kurvenbogen zu nehmen ist, der vermöge der Abbildung r (t ) = t der reellen Strecke 0 t 1 entspricht 24 ). Der sog. Bürmannsche Lehrsatz 25 ) liefert übrigens den folgenden expliziten Ausdruck für die Koeffizienten c n :
Wir zeigen zunächst, daß wenn 5ß(r) irgendeine für die in Betracht kommenden Werte von x konvergente Potenzreihe bedeutet, das Integral
X
J t p(«+D
(w = 0, 1, 2, ...)
o
eine solche Funktion der komplexen Veränderlichen z darstellt, deren n -te Ableitung an der singulären Stelle z — 0 noch stetig bleibt. Diese Behauptung ist mit der Tatsache identisch, daß die Funktion
0
an der Stelle z = 0 stetig ist. Die durch Produktintegration gewonnene Formel
nî> J(ïS)
O
).
;pn + i rf p \ n
= (z _ A P)» ^( T )~J ((P n + l)fß(r) + rfß (r))dr
U
lehrt die Richtigkeit der Behauptung für jedes ganzzahlige n, falls sie für
34 ) Wir nehmen e so klein, daß dieser Integrationsweg ein doppelpunktloser offener analytischer Kurvenzug ist.
36 ) Es kommt die folgende Form des fraglichen Satzes zur Anwendung: Die an der Stelle t = 0 regulär analytische Funktion co (t) möge bei t = 0 von der ersten Ordnung verschwinden; ist Ü (i) eine beliebige bei i = 0 reguläre Funktion, so gilt für hinreichend kleine | co (í) | die Darstellung
—,= C n (co(t)) n ,
K - n= 0
wobei zur Abkürzung
1 d n r f t C "~ nl dt n l" U(i)J ]<=o
gesetzt ist. (ß(f)=G L (i), a> (t) = ~\/ F {t) = t) .

Asymptotische Entwicklungen. 101
tí = 0 bewiesen werden kann; in diesem Falle aber erkennt man die Stetigkeit unmittelbar auf Grund der Relation:
o
+ |-J(^(T) + t^'(T)) lo g(z - r p )dr.
0
Wir schließen aus diesem Umstände, daß die Laplacesche Transformierte cp{z) die folgende Zerlegung gestattet:
pn + r-i '■ v
(14) <p{z)= 2 j ]——¿ dT + y j ( z )^
v=0 J z — T
0
r r= 2 c " r "
wobei ip(z) = l+ " v c L t eine solche Funktion bedeutet, deren n-te
o z x
Ableitung an der Stelle z = 0 stetig ist, und es handelt sich nun darum, den singulären Charakter der Funktionen
Jr{z)=\^—dx (v = 0, 1 , 2, . . .)
j z — T
an der Stelle z — 0 zu untersuchen.
Für V — p — 1 erhält man unmittelbar:
= j (log« - l°g(« - A p ));
in Verbindung mit der Gleichung
* f .»- 1 J f J p . 1+kp -z J z _ %v dr J z _ rP
d r
o
fip ;2p j3p jkp'
= (,) - [L«*- + ^■-f ^«*" 3 + • • • +
erkennt man daraus sofort, daß die Differenz
z k
Jp-i+kp — y logz (¿ = 0,1,2,...)
in der Umgebung der Stelle z = 0 eine reguläre analytische Funktion darstellt.
Ist aber
v=J=(p — 1) (modp),

102
A. Haar.
so kann man, um die fragliche Singularität zu untersuchen, folgendermaßen verfahren: Man bestimme zunächst denjenigen Winkel
2(*+l)-<0< 2x-,
v ' p — p '
in dem der Integrationsweg der Integrale J r (z) (für hinreichend kleines)
verläuft 30 ) und führe sodann eine neue Integrationsvariable £ vermöge
P,- T —V Ç
ein, wobei derjenige Wert der Wurzel zu nehmen ist, dessen Argument in demselben Winkel liegt. Für J v (z) ergibt sich sodann der Ausdruck:
v+i x
o
und der Integrationsweg ist wiederum ein doppelpunktloser analytischer Kurvenzug, falls e hinreichend klein gewählt war. Erstreckt man aber dieses Integral längs einer Schleife (C), die vom Punkte À v ausgehend und den Nullpunkt einmal im positiven Sinne umkreisend den früheren Integrationsweg einschließt und zum Punkt À 1 ' zurückführt, so erhält man — nach einer häufig angewandten Schlußweise — falls z außerhalb dieser Schleife liegt:
i rfT" 1 ( < í ± í > A
= ~^F d ^ = P _1/ J ^ z )-
(C)
Nun stellt aber jenes Integral, falls z innerhalb jener Schleife (C) liegt, eine daselbst reguläre analytische Funktion v(z) dar und die Differenz u(z) — V (z) ist leicht auszuwerten, wenn man eine Schleife ( C') zur Hilfe heranzieht, die ähnlich wie (C) gelegen, aber innerhalb (0) verläuft. Es ergibt sich nämlich, falls z zwischen beiden Schleifen liegt:
v(z) - u(z) -jjiplr ¿i - 7 >
(C) (C)
v + l _ ^
woraus man, in Anbetracht dessen, daß | ,p in dem durch beide Schleifen begrenzten Gebiete regulär analytisch ist, die Relation
( \ [ \ 2 in
v{z)-u(z) = — — z P
20 ) Man beachte, daß die Abbildungsfunktion
X = }/F (t)
und ihre Umkehrung in der Umgebung des Nullpunktes regulär analytisch ist.

Asymptotische Entwicklungen.
103
entnimmt, d. h. es ist:
u(z)
. v + 1 \ 0 . r+1 1
2 in -, 1 T / \ ¿tí! 1 , / \
e V -1) J„(z) = —z J» + »(«),
wo v(z) eine im Nullpunkte reguläre analytische Funktion bedeutet Zusammenfassend erhalten wir das folgende Resultat: Ist v^{p — 1) (mod p),
so ist die Differenz
r + 1
M*)~
2 in 1
e v -1
„ _1 t / \ 3T e
2 V = J r (z) — —
. r + 1
-47T— V+1
^ sin (v+1)
p —* - 1
-2 P
eine in der Umgebung der Stelle z = 0 reguläre, analytische Funktion, wobei für die p-te Wurzel der oben festgesetzte Wert zu nehmen ist, ist aber
v = ( p — 1) (modp),
so ist
Me)
1 ~1, — 1 i — z p log z
J V
an der Stelle z = 0 regulär analytisch. In Verbindung mit der Formel (14) ergibt sich hieraus, daß unsere Laplacesche Transformierte in die folgende Summe zerlegbar ist:
Vn +V—1 r=0
. v + 1
»+i
C r
1 + -*- yjc kp ^ P -iZ k logz-\- !F(z),
sin (v + 1 ) — (p— l) (mod p) V
k= o
wobei die erste Summe nur auf solche Werte von v zu erstrecken ist, die nicht kongruent (p — 1) modulo p sind, und W (z) eine solche Funktion bezeichnet, deren n-te Ableitung an der Stelle z=0 stetig bleibt. Die Formeln, die wir im § 2 entwickelt haben, liefern daher die asymptotische Gleichung:
lim x n
X— CO
/"(*)-
3>11+ p — 1
2'
r + 1 V
1
1
w > i r(-i v+l ^ - +1
v=o sin(v4-l)— 1 11
(p— 1) (mod p) p \ p J x
V
~p Él c kv+v-í IFTï
fc=0
= 0,
wobei die auftretenden Koeffizienten c n durch die Gleichung (13) in expliziter Form gegeben sind.

104
A. Haar.
Es scheint mir, daß diese Lösung des Laplaceschen Problems der Funktionen großer Zahlen an Übersichtlichkeit und Einfachheit nichts zu wünschen übrig läßt; es sei noch bemerkt, daß in dem Falle, daß die oben mit G(t) bezeichnete Funktion an der Stelle / = 0 nicht regulär, sondern von der Form
0(t)= t s g(t)
ist, wobei g(t) eine für ¿=0 reguläre analytische Funktion bedeutet, nach demselben Verfahren ähnliche asymptotische Formeln erhältlich sind. 13. Wie in der Theorie der Fourierschen Reihen die Integrale
2n 2JI
f F(t)cosxtdt bzw. J F(t)sinxtdt, o o
so spielen in der Theorie der Besseischen Reihen die Integrale
i
(15) f F(t)J(xt)dt
o
eine wichtige Rolle und es ist daher des Interesses wert, ihr asymptotisches Verhalten zu studieren. Mit Hilfe der Formel von Lipschitz (S. 91) erhält man als Laplacesche Transformierte des obigen Ausdruckes die Funktion :
J ïz 2 + t*
0
die im Unendlichen wiederum regulär analytisch und gleich Null ist, so daß die im Endlichen gelegenen singulären Stellen dieser Funktion den asymptotischen Charakter des Ausdruckes (15) bestimmen. Wir beschränken uns auf den Fall, daß F(t) ein Polynom ist, d. h. wir wollen uns mit dem asymptotischen Verhalten der Ausdrücke
/mO) = I t m J(xt)dt
O
beschäftigen, was — nach der vorangehenden Bemerkung — mit dem Studium der Singularitäten der Funktionen
i
C t m
<p m 0)= 7r^=, dt O ^ + r
äquivalent ist. Nun kann man diese Integrale ohne Schwierigkeiten auswerten; es ergeben sich verschiedenartige Resultate, je nachdem m eine gerade oder ungërade Zahl ist. Für ein ungerades m
m — 2 k -\- 1

Asymptotische Entwicklungen. 105
ergibt sich
f~\ _ f„( 2k + ^K 2k „<2*+l> „ 2k ~ 2 fzk+iyZ)— (a 0 z -\-a.i z
j_ <2*+l) 3*-4 I I _<B* + a)\ i-a I 1 <2*+l) 2jfc+l
— «4 2 0 2 i J I 2 — 1 — «o 2 ,
wobei zur Abkürzung:
„<2fc+D_ 1 (2&+ 1) / ^7) 2 k (2 k-2) (21c-4).. (21c-2p+ 2)
a2k 2k+l' a2k ~ 2 P l 1 > (2fc+l)(2Jfc-l)(2Jfc-3). ..(2k-2p+l)
(p= 1,2
gesetzt ist. Ist aber m eine gerade Zahl
m = 2k,
so erhält man
cp 2k (z) = (ar 2 2i - 2 + o?» 2 2 *- 4 + ar z 2k ~ 6 + • • • + C) f^+l
- oí"' fc) 2" (log ( 1 + ÏJ+l) - log 2),
wobei zur Abkürzung
„(2 k) _ 1 . „(2« -, (2 k— 1)(2 ä —3)(2 h — 5)... (2 lc-2p + 1)
2i 2fc' ^ -2 * ^ ' 2fc(2& — 2)(2& — 4)...(2fc — 2^>)
(p=î,2,...,fc — 1)
gesetzt ist 27 ).
Mit Hilfe dieser Formeln können wir die asymptotische Entwicklung der Ausdrücke f m (x) auf Grund der im § 2 entwickelten Sätze sofort angeben. Man kann zunächst an der Hand dieser Formeln nochmals verifizieren, daß <p m {z) im Unendlichen regulär analytisch ist, und man sieht, daß für ein ungerades m die Stellen 2 = ± i —, für ein gerades m, aber 2 = ± i und 2 = 0 die singulären Stellen dieser Funktion sind. Ist m = 2 k -j- 1, so entwickle man <p 2 4+1(2) in der Umgebung der Stellen 2 = ± i ; man erhält Potenzreihen von der Form :
9 >2fc +i (2) = I z — i ß , <2A '~ 1) (2 — i) v = lz + i yj üf k+i) (2 -j- i) v >
v=0 v—0
deren Koeffizienten a,7 k ' 11 bzw. <xf k+1) sich als einfache Ausdrücke der dn k+1 \ at k+1) ,...,a ( A k+1) ergeben. Danach ist cp2k +i {z) in die Summe
n n
<P2k+ 1 (2)= \ 2 — i yj a¿ 2 * +1) (z — i) V + I 2 + i ]>j äf k + i) (z + iy
 v=0 v= 0
37 ) Diese Formeln ergeben sich aus den beiden leicht verifizierbaren Relationen:
Jf2le + 1
dt = (a< 2 * +1 > + a¡, 2k+1) í 2 +... + a¡\ k+1) t 2k ) ï t 2 + 1 -
f :t== dt = t (a^ + o< 8 » í 2 + ... + ai 2 « t 2k ~ 2 ) - a< 2 *> log (t + íP+1) . Jlr+i

106 A. Haar.
zerlegbar, in der y>(z) eine solche Funktion bezeichnet, deren (w + l)-ter Differentialquotient an den Stellen z — + i stetig bleibt (an jeder anderen Stelle ist diese Funktion regulär analytisch). Wir erhalten folglich auf Grund der im § 2 gewonnenen Sätze für f-> k+1 (x ) die folgende Annäherung:
y 7 ec? k+1) e ix +aj, 2k+1) e~ ix 1
¿-J 17 1 \ í+f
v=0 r {--r — v) X -
und eine Überlegung, die wörtlich wie im Falle der Besseischen Funktion (S. 93) geführt werden kann, zeigt, daß der Fehler von der Ordnung
—~rö~ ist.
X
Ist aber m eine gerade Zahl: m = 2Jc, so hat cp ik {z) außer z = + i noch z = 0 als singuläre Stelle. Der Beitrag, den diese letzte Singularität in der asymptotischen Entwicklung von f-> k (») liefert, ist nach dem Satz S. 18
Í2 k) (2 k) !
«» x 2k+l•
Um die volle asymptotische Entwicklung zu gewinnen, entwickle man in der Umgebung der Stellen z = + i den daselbst singulären Bestandteil von (p-2jc(z). Da
pv
V
log ( i + fz 3 + i) = y ( - 1)"- 1
ist, so hat man zu diesem Ende nur die Funktion
}'z 2 T 1
2k) _2k-2 , „(2i)_2J-4 , , (2k) „(2 k)\ f, , 1 + , (1+Z 2 ) ,
(a 2 z -r z + a 2k — a 3 ) ^1 ^ 1 g 1- .
nach Potenzen von z — i bzw. z -j- i zu entwickeln; sind die so erhaltenen Reihen
CO CO
Vz — i a¡, ai) (z — i) r bzw. Vz -j- i yj cc, f2k) (z + »)*,
v=Q v=0
so lautet die asymptotische Näherung für f 2k (x) wie folgt:
— a 2
/ oj \, (31) «i , 5 (2l) -iî ,
(2 i) (2 k)\ . V 7
Zj il \ r+î
v—o r[—y~ H x
und der Fehler ist wiederum von der Ordnung —-—5.
x n
Ich habe mich, bei dieser ersten Anwendung des dargelegten Verfahrens, auf die in den letzten beiden Abschnitten behandelten Beispiele

Asymptotische Entwicklungen.
107
beschränkt, da diese — wie mir scheint — geeignet sind, auf die Tragweite der Methode Licht zu werfen. Beispiele dieser Art könnte man in großer Menge angeben; es führen z. B. der Integralsinus und die verwandten Funktionen die Mittag-Leffierschen E- Funktionen durch Laplace- sche Transformation auf elementare Funktionen, woraus man ihre asymptotischen Entwicklungen unmittelbar entnehmen kann. Die in der Theorie der Gammafunktionen auftretenden asymptotischen Entwicklungen sind Spezialfälle der in 12. behandelten Aufgabe. Ich glaube mich nicht mit diesen bekannten Aufgaben weiter beschäftigen zu sollen und werde in folgenden Arbeiten solche Anwendungen des dargelegten Verfahrens entwickeln, die zu wesentlich neuen Resultaten führen.
[Anmerkung während der Korrektur.] Herr Carathéodory macht mich in freundlicher Weise darauf aufmerksam, daß sich die letzte Formel auf S. 103, die bei der Behandlung des Laplaceschen Problems der Funktionen großer Zahlen mittels der dargelegten Methode resultiert, auf die folgende einfache Form bringen läßt:
Diese Formel wurde — wie ich aus derselben Mitteilung entnehme — von Herrn Woldemar Jacobi gefunden, und befindet sich in seiner (nicht gedruckten) Dissertation: „Über die näherungsweise Berechnung von Funktionen großer Zahlen". Heidelberg 1922.
(Eingegangen am 6. 8. 1925.)
lim x n
(29. 1. 1926.)

Über das Maß der Bestimmtheit des Wachstums einer ganzen transzendenten Punktion durch die absoluten Beträge der Koeffizienten ihrer Potenzreihe 1 ).
Von
Heinrich Brinkmeier in Kiel.
Einleitung.
Wenn
f(z) = jjc n z n
11 = 0
eine ganze transzendente Funktion ist, also
lim V I c n | = 0
11= CO
ist, und wenn M[r) das Maximum ihres absoluten Betrages auf dem Kreise mit dem Radius r um den Nullpunkt bezeichnet, also
M(r) = Max | f(z) \
\z\ = r
ist, so ist bekanntlich die Wachstumsordnung ¡u der Funktion definiert als
u= fiffi .
r= oo lg r '
es ist also:
M(r) < e rll+e ' für r ^ ^(ej, (la) _
M(r)^>e rfl e> für r = r 1} r 3 , ... —► oo.
1 ) Die vorliegende Arbeit ist ein Auszug aus einer Abhandlung, die im Juni 1924 der Philosophischen Fakultät der Universität zu Kiel als Inauguraldissertation zur Erlangung der Doktorwürde vorgelegen hat. Die Beantwortung der darin aufgeworfenen Frage wurde mir von Herrn Prof. Dr. Toeplitz gütigst überlassen, der mir auch wert volle Hinweise zur Durchführung der Aufgabe gegeben hat. Ich benutze gern diese Gelegenheit, ihm hierfür meinen Dank auszusprechen.

H. Brinkmeier. Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen. 109
Anderseits läßt sich auch eine Ordnung der Koeffizientenfolge definieren :
(2) y = lim Ig 1 1 ;
' ^ -n-lgn
es ist daher
(2a)
für n> n 2 (e 2 ),
^ I c n I ^ ~T+Z für n = n lt ng, ... — ca.
= n y+c,
H. Poincaré und J. Hadamard haben nun gezeigt 2 ), daß
(3) Z 1 — y
ist. Da y nur von den Beträgen der c n abhängt, zeigt dieses Resultat implizite — was direkt wohl nicht leicht zu erkennen wäre —, daß auch /J, nur von den Beträgen der c n abhängt.
E. Lindelöf hat das Wachstum einer Funktion noch schärfer umgrenzt, als es durch die Ungleichungen (la) geschieht, nämlich durch die Ungleichungen :
, , M(r) ^ e (1+£ > IMW für ?" r 3 (e 3 ),
M(r) ^ e (1 ~ £;>)M(r) für r = r 15 r 2 , ... — oo ,
wo
M(r) = ... (lg 8 r)^, 3 )
und entsprechend die Abnahme der Koeffizienten durch die Ungleichungen
1 ~f- ^4
für n^it 4 (a 4 ),
(5) r(W)
n / 1 — 8
' i ® n I & TTwf iür n =
WO
r (n) = c-n r ■ (Ign)^- (lg a n) r * ... (lg K n) y *.
Lindelöf hat alsdann bewiesen, daß
1
I C\ 1 ("l
( 6 ) y = — y = 1 . y — , C=
fi fl i u ' '* /{' \ m- 1
ist. Auch hier erweist sich also, daß die genaueren Exponenten ¡u 2 , fi„ und ebenso m nur von den Beträgen der c n abhängen.
2 ) Eine ausführliehe Darstellung dieser Theorie gibt u. a. die Arbeit von E. Lindelöf: Mémoire sur les fonctions entières de genre fini, Acta soc. scient. Fennicae 31 (1902), S. 1, wo auch die Originalarbeiten Poincarés und Hadamards angegeben sind. Vgl. auch Enz. d. math. Wiss. II 3,1 Nr. 4 (Bieberbach), S. 425—445.
3 ) lg^r bedeutet den x-fach genommenen Logarithmus von r.

110 H. Brinkmeier.
Diese Tatsachen legen die Frage nahe, inwieweit man überhaupt M(r) unter Festhaltung der Beträge der c n durch Veränderung allein ihrer Arcus beeinflussen kann. Unter allen Funktionen, die sich nur in den Arcus der c n unterscheiden, hat
fOO = lkl* n
n= o
das größte Wachstum :
(7) if(r)^3H(r) = í\c n \r n .
n=0
In der vorliegenden Arbeit wird nun im § 1 gezeigt, daß stets
(8) ' für r>x 5 (e 5 ) gilt. Da
t* i 1 ,
 _ — lg r
2 2
r = e
ist, so sieht man, daß dieser ganze Einfluß, der sich als additiver Logarithmus in den Exponenten stellt, winzig ist selbst neben den multi- plikativen Logarithmen des Lindelöfschen Satzes.
Vor allem aber wird in dieser Arbeit im § 2 dargetan, daß dieses Ergebnis keiner irgendwelchen weiteren Verschärfung fähig ist. E. Landau hat in einer Arbeit (Bemerkungen zu einer Arbeit des Herrn Carlemann, Math. Zeitschr. 5, S. 147) sich die Aufgabe gestellt, ein Polynom (k — 1 )-ten
Grades zu finden, bei dem der Grenze Vk, die es nie übersteigen
kann, möglichst nahe kommt. Er beweist mit elementaren Mitteln und sehr kurz die Ungleichung
(9) 2Jx( n ) z " ^tVklgk für |z|^l,
11=1
wo %{n) irgendein eigentlicher Nicht-Hauptcharakter mod k ist, und hat damit ein Polynom konstruiert, bei dem 9JÍ(1) = &, M(l) 4 V k lg k
ist, also ^ . Mit Hilfe dieser selben Ungleichung läßt sich für
unseren ganz anderen Zweck eine ganze Funktion F{z) der Wachstumsordnung /X herstellen, bei der
( 10 ) ÏF( r) > G ' r ° für r = r li r„ — oo
ist, wo C beliebig groß vorgegeben sein darf.
Wenn man die genaueren Exponenten heranzieht, durch die Lindelöf

Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen.
111
das Wachstum charakterisiert, so erhält man mit den gleichen Hilfsmitteln folgende Verschärfung der aufgeführten Ergebnisse. Es ist stets
+ für
und es lassen sich mit Hilfe der Landauschen Ungleichung (9) Funktionen konstruieren, für die
( 10a ) für r = r 1 , r 2 ,...—> oo
ist.
Dieses letztere Ergebnis läßt sich noch weiter verschärfen.
Mit sehr schwierigen Betrachtungen hatten Hardy und Littlewood für die erwähnte Landausche Aufgabe eine noch schärfere Lösung gefunden, indem sie die Ungleichung, die Landau in derselben Arbeit erwähnt, bewiesen:
(H)
V 7 gk
k-1
< A Y n für I z < 1.
wo i = V 2 oder irgendeine sonstige feste reelle Irrationalzahl mit beschränkten Kettenbruchnennern ist. A ist eine nur von f abhängige, von n und z freie Konstante. Verwendet man diese Ungleichung statt der Landauschen, so erhält man
( 10b ) [e• A* - M(»]- für r == r 15 r 2 , ... — oo.
Die Konstante A=A(£) ist jedenfalls über V2 gelegen; ihr genauerer Mindestwert ergibt sich aus dem Hardyschen Zusammenhang.
Um die Resultate absolut in dieser schärferen Form zu erhalten, ist der Arbeit durchweg die Hardy-Littlewoodsche Ungleichung zugrunde gelegt. Die Verwendung der Landauschen würde gewisse Abänderungen notwendig machen.
Da die mit (8 a) und (10 b) gegebenen Verschärfungen in den hier vorzunehmenden Entwicklungen keinerlei neue Gedanken erfordern, werden die Beweise nur für (8) und (10) gegeben, wo sie weit durchsichtiger sind. Die wenigen für die Verschärfung notwendigen Modifikationen werden am Schlüsse genau angegeben werden.
§1-
Satz. Wenn für eine ganze transzendente Funktion (la) M(r) <¡ e Tfi+3i für r'^ ; v 1 (e 1 )
ist, so ist
(8) für r^r 5 (fi 5 ).

112 H. Brinkmeier.
Beweis. Wenn Überstreichen den Ubergang zu den konjugiert komplexen Größen bedeutet, ist
/I f{r e iv ) I 2 dcp = / 2 c„ r a e"*'• jj c ß r ß e~ ßrpi dcp
0 ü a=0 ß=0
= % c a c ß r a + ß2 f e (a ~ ß)vi d<p = 2\c a \\ 2a .
a,/i=0 0 a=0
Da nach dem ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung
2jt
¿J \f(re trp )\ 2 dcp < [M(r)f
0
ist, so folgt
(12) ¿|c„|V a ^Í|c a |V a ^[itf(r)] 2 .
a = 0 a = 0
Ferner ist nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
(13) Í\c a \r a Jl/i|c a |V 2o T7 + l.
a = 0 f a = 0
Zerteilt man also 50Ï (?") > ähnlich wie es Lindelöf in seinem Beweise tut, folgendermaßen :
att(r) = ikK+ 1 |cjr",
Ti—0 n=v + l
so folgt aus (12) und (13)
(14) 2R (r) ^ ?7+I M(r) -f . I' ! c n | r".
n—v+1
Bisher war der Index v völlig willkürlich. Verfügt man über ihn jetzt so, daß
(15) V | c n ¡ • r ^ < 1 für M^v-fl,
»
« . # _ t
was wegen lim y c = 0 bei gegebenem r gewiß möglich ist, so wird die
71= 00
zweite Summe auf der rechten Seite von (14) unter
av + 1
qi' + li qv + 2i &
gelegen sein, also unter einer vorgebbaren Konstante K. Es bleibt nur die Frage, wie groß man bei vorgegebenem Ii und dadurch bestimmtem i) < 1 den Index v wählen muß, damit (15) gilt. Nun ist nach dem in (3) der Einleitung angegebenen Satze:
(16) / ■ für n^tt 2 (e 2 ).
 fo

Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen. H3
Damit (15) gilt, genügt es also jedenfalls, v so zu wählen, daß
<#<1 und vi>n„(£„
l = " ^ x =r ,l 2 \ 2 /
(v + i)^" f2
ist. Dazu muß
i
(» + 1)"
d.h.
( 17 ) v + 1 (^j und v ^ it 2 (e 2 )
sein. Wählt man v gleich der kleinsten ganzen Zahl, die (17) genügt, so wird daher
(18) n 2 (e 2 ) < v +1 (^) +1,
und daher wegen (14)
aR (0< I/ ÍtJ -M{r) + K,
wo r gemäß (18) einen von e 2 abhängenden Anfangswert r., (£ a ) überschritten haben muß. Dies gilt bei beliebig vorgegebenem e 2 . Es ist klar, daß man dieses so wählen kann, daß
[X
(8) 90? (r) ^ M(r) • r 2 für r^>r 5 (e 5 )
wird.
§2.
Von der folgenden Funktion mit der Wachstumsordnung ¡i,
„ D'b v
gk^Si
Z °y1
(19) F(z) = Z 2 i *
" =0 i=1
wird die Behauptung aufgestellt:
iL
( 10 ) < W^) = °' r " für r 2 , ...—oo,
wo C beliebig groß vorgegeben sein darf. In (19) bedeutet /u irgendeine positive, D eine ganze positive Zahl. £ ist die Irrationalzahl der Ungleichung (11). Die b v bilden eine monotone Folge von ganzen positiven
Mathematische Annalen. 96. 8

114 H. Brinkmeier.
Zahlen. Damit in F(z) keine Potenz von z mehrfach auftritt, muß diese Folge die Bedingung
(20) bv -i ~r Dby-x < b v
für jedes v erfüllen; im Laufe des Beweises werden sich noch einige schärfere Anforderungen an die b,. als notwendig herausstellen, deren Erfüllbarkeit klar sein wird, und am Schluß wird D in passender Größe gewählt werden müssen. Die Folge r,, , für die die Behauptung (10) alsdann bewiesen werden wird, ist
_i 2_ JL
(21) r 3 = K' •••' r * = K> ••••
Für z wird also in (19) r^-e^ 1 eingesetzt, wo r¿ aus der Folge (21) herausgegriffen ist.
Zunächst wird für 9DÍ(r¿) eine untere Schranke gefunden:
D b v b v Je
co ' T'Y
Tl(r ô )= Y Y 5 6
,=o *=x
t? . D Jj rp.rj « ^ r^.r|
/ / 1 J_ k_ 1 ¡¿j i_ k_
*"w
Dbfi bg k Dbg bg
r S ' r S
\ 7 6 ù _ \ T 0
2j ¿ ZJ ±
k=1 n , \^ j <" Ä=1 /l i-,''
(V) " 6 a ( 6 a ! )
(22) M{r ô )>Db 6 -^j-.
(h'-) 11
Sodann ergibt sich eine obere Schranke für M(r, j) folgendermaßen. Die Funktion wird dazu in dieselben drei Teile zerlegt, wie bei der Bestimmung der unteren Schranke für s M(rg).
g_. Bb v Db s ^ Db v
. . v V e k ' Jl ^ i z bv + k y, y e k**Çi z b v +k
F(z) = 2j 2j I~ir + 2j T—±r + ^ ^ T~F"
r=0 * =1 iVf-K (b g !f-bï "- 4+li=1 {br ,y. b *
Das Maximum des absoluten Betrages auf dem Kreise mit dem Radius r,i um den Nullpunkt sei für den ersten Teil M 1 (ra), für den zweiten Teil für den dritten Teil M 3 (r¿). Dann gilt offenbar die Ungleichung
(23) M{r s ) MM^n) -f- Mz(r s ) + M a (n).

Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen. 115
Für die drei Teile der rechten Seite von (23) werden nun nacheinander obere Schranken gefunden.
I. M<¡¡ (ra) ist der wichtigste Teil.
r b S I>b ô k
M, (n) -- —■ Max I y e*»" ~ !.
Setzt man hier ^- =t, so ist 111 = 1
r
b s Db &
— -Maxi V t k I - IÍNi'Í^
(W i=1
Nach (11) folgt daraus
(24) M i (u)£A}Db s ^ T
(W
II. Da r s = hg ist, hat man
M a (r a ) ^
&3+1+1 6¿ + 1 +2
'A / A
A _1 JL JL ' ' '
(W)"- 6 Î + i '
&<s
— (S + l — V¿ + 1/
(vr (»«i)"
r
Wegen (20) ist — —<Ls< 1, wo s für alle v konstant gewählt werden r v+i
kann. Setzt man außerdem
r =E >
1 — s
so folgt
r" s
M 3 (r s )£—?- T (8 + 8* + s s + ,..)
(vr
r bs
(25) M 3 (r s )£- 0 x -E.
wr
III. AVenn die bisher den b v lediglich auferlegte Bedingung (20) verschärft wird zu der folgenden
(26) (b^ + Db,-,)* <b r ,
8*

116
H. Brinkmeier.
g
so ist die Anzahl aller Glieder des ersten Teiles kleiner als y b¿. Wird außerdem noch verlangt, daß
(27) b 1 >H
ist, wo H gleich einer festen ganzen Zahl oberhalb einer bestimmten Grenze, z. B. gleich 9 gesetzt werden kann, so ist der absolute Betrag jedes Gliedes des ersten Teiles für \z\ = r& kleiner als der absolute Betrag jedes Gliedes des zweiten Teiles, der gleich
Js
i
(&*!)"
ist 4 ). Folglich ist (28)
m 7
4 ) Zum Beweise für diese Behauptung sei aus den Gliedern des ersten Teils ein beliebiges herausgegriffen, dessen absoluter Betrag für | z | = r s gleich
bj + h
JL A
sei. Das Verhältnis w des absoluten Betrages dieses Gliedes zu dem absoluten Betrage eines Gliedes des zweiten Teiles ist
r h a i+ *<b s 'T
10 =
JL A
3
Da bj + le nach (25) kleiner als yb s ist, hat man
Ih^ 6 - vV
»• ö \ h ö
7 (5 \ <5
W < -
Aus der Stirlingschen Formel
p\ • e~ p 2jtp
folgt weiter
lgto<("V / & Ä lg b s + 6, log b s — b s + o(b s )-b s \gb s )--j
Igte <-i&5+ o(6, 5 ) r
lg w<b s (— +
n
(Fortsetzung der Fußnote 4 ) auf der nächsten Seite.)

Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen.
117
Aus (23), (24), (25), (28) folgt
, b s
(29) M(r ö )<—^ (Aim's + E + -fyV s ).
(h'Y
Nach (22) folgt
r "s S
3K( r t ) (&,!)"
M (r a )- Js
0 (A]Db s + E + Í/b s )
1
(b 6 <r
>w s ~— r
Al7>+ W.
>Íb s -
D
A ID (1 + «, (t> ô ))
wo lim e 7 (bs)=0. Es ist klar, daß man die ganze Zahl D so wählen
6 ä -v=o
kann, daß der letzte Bruch größer als eine vorbestimmte Konstante C wird. Setzt man dann noch b$ = r£, so wird aus der letzten Ungleichung
mrï) _ f
m r ¿? >c ' r& -
Die Behauptung (10) ist damit für die ganze Folge (21) bewiesen und damit zugleich gezeigt worden, daß (8) sich nicht weiter verschärfen läßt.
Schlußbemerkung.
Will man in der gleichen Weise die schärferen Ungleichungen (9 a) und (10b) beweisen, so muß man im § 1 für die Ungleichung (16) statt des durch die Gleichung (3) dargestellten Satzes, den durch die Gleichungen (6) dargestellten verschärften Satz Lindelöfs benutzen. Im § 2 hat man statt der Funktion (19) die Funktion
m (i(M
" .k*xsi.b v +k
r(*)=22 l ,
(vr-K"
wo lim e (b¿) = 0.
6,5->cc
Wenn man also, wie es Bedingung (27) fordert, b l größer als eine bestimmte Zahl H nimmt, und somit jedes b r größer als II hat, wird e(6 ¿ )<l, log tu also negativ, w selbst ein echter Bruch. Die angemerkte Behauptung ist also richtig. Eine einfache Rechnung zeigt, daß man nicht nötig hat, II größer als 9 zu nehmen.

118 H. ßrinkmeier. Wachstum und Taylorkoeffizienten ganzer Funktionen, zu nehmen, wo
ft
ist, und wo [g (&,,)] die größte ganze Zahl unter g(b v ) bedeutet. Von dieser Funktion läßt sich dann zeigen, daß sie den Ungleichungen (4) und (10b) genügt. Für die Bedingung (26) ist zu setzen]
(by-! + g(b v - 1 )Y < b v .
In (27) ist H mindestens so groß zu nehmen, daß lg y b 1 positiv ist. Im übrigen bleibt der Gang des Beweises genau der gleiche.
Kiel, 9. Juli 1925.
(Eingegangen am 14. 7. 1925.)
Bemerkung zu vorstehender Arbeit.
Für den Zweck dieser Arbeit genügt es, wie ich nachträglich bemerke, anstatt der schwierigen Überlegungen von Herrn Hardy die elementare Untersuchung des Herrn Szasz, Math. Zeitschr. 8, S. 235 heranzuziehen.
Kiel, 6. Mai 1926.
Toeplitz.

Beiträge zur Theorie (1er fastperiodiselien Funktionen. I. Teil. Funktionen einer Variablen.
Von
S. Bochner in Berlin.
Einleitung.
In der vorliegenden Arbeit 1 ) beschäftigen wir uns mit einigen Fragen aus der Theorie der fastperiodischen Funktionen von H. Bohr, welche von diesem Verfasser nach Vorausschickung vondrei C.-R.-Noten, Bohr [1,2, 3] ; in drei Abhandlungen, Bohr [4, 5, 6], und einer kleinen Note, Bohr [7], entwickelt worden ist 5 ), und im vorliegenden ersten Teil werden wir es nur mit den fp. Funktionen (wir gebrauchen die Abkürzung „fp." für das Wort „fastperiodisch") einer reellen Variablen aus Abh. I und II zu tun haben.
Für das Folger.de brauchen wir nur die Einzelheiten aus Abh. I, Kap. I und einiges aus Abh. II vorauszusetzen, und werden das Wichtigste hiervon, mit verschiedenen Bemerkungen versehen, im § 1 resümieren; überdies werden wir den Fundamentalsatz heranziehen.
Den Beweis des Approximationssatzes, d. h. des Satzes, daß man jede fp. Funktion durch endliche trigonometrische Summen gleichmäßig approximieren kann, führen wir mit Hilfe einer Summation der Fourierreihe, welche darin besteht, daß — in Verallgemeinerung der Fejérschen Mittelwertbildung bei reinperiodischen Funktionen — aus der Fourierreihe formal trigonometrische Polynome gebildet werden, von denen mit Hilfe des Fundamentalsatzes gezeigt wird, daß sie gegen die durch die Fourierreihe dargestellte Funktion gleichmäßig konvergieren.
In Abh. II wurde beim Beweis des Approximationssatzes zuerst zu einer mit der gegebenen fp. Funktion eng zusammenhängenden Funktion
*) Eine Voranzeige erschien in einer C.-R.-Note, Bochner [1 .
3 ) Wir werden die ersten zwei Abhandlungen, [4] und [5], in der angegebenen Reihenfolge als Abh. I und Abh. II zitieren.

120
S. Boehner.
unendlich vieler Variablen übergegangen (vgl. § 2, 7.) und dann von dieser Funktion die Approximierbarkeit durch trigonometrische Polynome nachgewiesen, wozu im Anhang II Fejérpolynome herangezogen wurden, während wir in § 2 zum Approximationssatz in einem Schritt, nämlich durch direkte Summation der fp. Funktion selbst gelangen werden 3 ).
Die §§ 2 und 3 enthalten das Summationsverfahren und einige Nebenergebnisse; und in den §§ 4 und 5 wird sich auf dem Wege über die Yerschiebungsfunktion (§ 4, 1.) eine Auffassung der fp. Funktionen als „Normalfunktionen" (§5, 1.) herausbilden, die wir auch im zweiten Teil dieser Arbeit, in welcher wir die Definition und die charakteristischen Eigenschaften der Fastperiodizität auf Funktionen mehrerer Variablen ausdehnen werden, vertreten werden.
§ 1.
Referat und Bemerkungen.
1. Definition. Eine (für — oo < x < -f- oo definierte und) stetige Funktion f(x) = u(x) + iv(x) soll fastperiodisch heißen, wenn es zu jedem e > 0 eine Länge 1 = 1 (e) > 0 derart gibt, daß jedes Intervall a < r < ß der Länge ß — a = l mindestens eine Verschiebungszahl r = z(f,e) enthält. Unter einer Verschiebungszahl r(f, e) ist jede Zahl des Intervalls — oo < T < -j- oo zu verstehen, welche der Ungleichung
I f(x + t ) — f(x) I <[ e (—oo<x<+oo)
genügt.
Bemerkung. Die Verschiebungszahlen liegen „relativ dicht auf der x -Achse", d. h. für jedes e 0 ist die Gesamtheit der r (f,e 0 ) auf der r-Achse in jedem Intervall einer angebbaren Länge l(e 0 ) mit mindestens einer Zahl t (e 0 ) vertreten.
Mit f(x) ist auch \f(x)\ fastperiodisch,.
2. Jede fp. Funktion ist beschränkt und gleichmäßig stetig.
Bemerkung. Die Bezeichnungen „beschränkt", „gleichmäßig stetig",
„gleichmäßig konvergent" usw. ohne Zusatz, beziehen sich immer auf das gesamte Definitionsgebiet der betrachteten Funktion (also in der Regel auf : — oo < x < + oo).
3. Summe und Produkt von fp. Funktionen sind fp. Funktionen.
Bemerkung. Diese Erhaltungssätze beruhen darauf, daß zu zwei
irgendwelchen fp. Funktionen f(x) und g (x) relativ dicht gelegene
3 ) Es sei hier die Bemerkung gestattet, daß Verfasser das Summationsverfahren ohne Kenntnis der Abh. II — nur die Voranzeige in Bohr [2] war vorhanden — gefunden hat.

Fastperiodische Funktionen. I.
121
gemeinsame Verschiebungszahlen, d. h. Zahlen, die sowohl mit r (f,e) als auch r(g,e) zu bezeichnen sind, gehören.
Jedes Exponentialpolynom
N
y a e ik " x
¿-J n
n— 1
ist eine fp. Funktion.
Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von fp. Funktionen ist eine fp. Funktion.
Bemerkung. In einem Ausdruck der Form ae i} - x ist immer X als reell vorausgesetzt, hingegen a keiner Realitätsbedingung unterworfen.
4. Für jede fp. Funktion existiert der Mittelwert
T C+T
lim \ (f(t)dt(= lim i f f(t)dt ; c reell),
T-> ce J J K T-+ oo 1 J '
0 C
den wir mit M{f(t)} bezeichnen.
Bemerkung. Bei allen Mittelwertbildungen werden wir innerhalb der geschweiften Klammer {} diejenige(n) Variable(n), über welche integriert werden soll, mit t (bzw. t lt i 2 , ...) bezeichnen, also z. B.
T
M{H(t, X, I, c)} == lim - T i H(t, x,Ç,c)dt.
T -> co J
5. Zu jeder fp. Funktion f(x) gibt es nur abzählbar viele Werte X, für welche der Mittelwert
a{X) = M{f(t)e~ iU }
von Null verschieden ist.
Mit den so herausspringenden Exponenten X, die wir in irgendeiner Anordnung mit A 1 ,A^,A a> ... bezeichnen (den Fourierexponenten) und den dazugehörigen Mittelwerten
A a , = a (AJ, ^ = a(J 2 ), A Ä , = a(A a ), ...
(den Fourierkoeffizienten) bilden wir formal die zu f(x) gehörige Fourierreihe
f(x)~y¡A An e iA " x .
Bemerkung. Abweichend von H. Bohr bezeichnen wir den zu A n gehörigen Exponenten mit A a „ und nicht mit A n ; mit A n ist ein zu A — n gehöriger Koeffizient gemeint. — Man kann in die Exponentenfolge zu denjenigen A n , für welche Aj n =j= 0, noch beliebig viele andere Exponenten X in (höchstens) abzählbarer Anzahl hinzunehmen, wenn man ihnen die Fourierkoeffizienten Aj = a(A) = 0 zuordnet. Derartige formalen Erweite-

122 S. Bochner.
ruiigen der Exponentenfolge werden wir als „ Ergänzung " bezeichnen, und die „ univesentlichen " Terme von den „ wesentlichen " unterscheiden. Die Menge der wesentlichen Exponenten einer Funktion f(x) heiße ihre (charakteristische) Zahlenmenge L (bzw. L 0 , L v , ...).
6. Bei festgehaltenen A y , /„, ..., X n fällt der Mittelivert
M{\f{t)-2a v e^rt\^} r=l
am kleinsten aus für
a v a (A v ) = A¿ v ( V — — 1, 2, ..., vi )«
äs besteht die Besseische Ungleichung
Z\A An \* £M{\f{t)\ 2 }.
Bemerkung. Eine Folge von fp. Funktionen
(1) <pi(x), <pa x )>
heiße im Mittel konvergent gegen f(x), wenn die Limesgleichung
(2) lim M{\(p m (t)- /■(i)| 9 } = 0
m-> co
besteht. Auf Grund von 11. ergibt sich leicht, daß es zu einer Folge (1) nur eine einzige fp. Funktion f(x) geben kann, welche (2) befriedigt. Die Relation (2) zieht die (leicht verständliche) Limesgleichung
(3) lim M{\<p m (t)-<p n {t)\*} = 0
m-> co, n~> co
nach sich. Wenn eine Folge (1) der Limesgleichung (3) genügt, heiße sie im Mittel konvergent.
7. Eine Folge von fp. Funktionen
CO) ~ È^e iA « x
71=1
konvergiere gleichmäßig gegen
f(x) ~ yj Aj n e iAnX
(die Exponentenfolgen sind beliebig „ergänzt"). Dann bestehen die Relationen
lim Aa% = Aa„ (n = 1,2,3,...).
m-> co
8. Eine Menge A von fp. Funktionen <p(x) ist eine „ ausgezeichnete Menge", falls
a) die Funktionen „gleichartig gleichmäßig stetig " sind, d. h. falls bei jedem e für ein geeignetes ô = ô(e) (das Stetigkeits-ô (e)) für alle Funktionen cp ( x ) und alle Punktepaare | x 1 — x 2 I ó die Ungleichung
besteht;

Fastperiodische Funktionen. I. 123
b) die Funktionen „gleichartig fastperiodisch" sind, d. h. zu jedem s relativ dicht gelegene gemeinsame Verschiebungszahlen r = r(e) besitzen:
\q>(x) — <p(x + T )|^ £ für alle cp(x) aus A.
Bemerkung. Wenn für zwei fp. Funktionen f(x) und g(x) die Kelation
Ob. Gr. I g (x-\-r) — g (x) \^ Ob. Gr. \f(x J r z) — f(x)\ (— oo<z<-f-œ)
— 0C<œ< + OO -C0<®< + 00
bestellt, nennen wir f(x) eine Majorante von g(x) und g{x) durch f(x) majori si er bar. Offenbar ist eine majori si erbare Menge, d. h. eine solche, zu der es eine gemeinsame (fp.) Majorante gibt, eine ausgezeichnete, weil die Stetigkeits-á und die Verschiebungszahlen der Majorante gemeinsame Stetigkeits - ô und Verschiebungszahlen für die ganze Menge liefern.
9. Eine ausgezeichnete Folge von Funktionen
(Pi(x), cp 2 (x), ...,
die im Mittel konvergent sind, ist gleichmäßig konvergent.
Insbesondere, damit die Folge cp v (x ) gegen die vorgegebene fp. Funktion f(x) gleichmäßig konvergiert, ist (notwendig und) hinreichend, daß sie gegen f{x) im Mittel konvergiert (vgl. 6. Bemerkung).
Erweitert man eine ausgezeichnete Menge A um ihre (durch gleichmäßige Approximation entstehenden) Häufungsfunktionen, so ist die so entstandene abgeschlossene Hülle H (A) wiederum eine ausgezeichnete Menge (und zwar mit denselben Stetigkeits -ó und Verschiebungszahlen).
10. Fundamentalsatz. Für eine fp. Funktion f(x) ~ ^Aj n e iA " x bestehen die Relationen
2\ Aa % \* = M{\f(t)\*} lim M{ I f(t) — Aa„ e iAnt | 2 } = 0 .
N-><x> n = 1
11. Es sei fix) eine fp. Funktion. Aus M{\f(t)\ 2 } = 0 folgt f(x) = 0.
12. Aus 10. und 11. folgt der
Eindeutigkeitssatz. Eine fp. Funktion f(x) ohne wesentliche Terme,
f(x) ~ 0,
ist identisch Null,
f(x) = 0.
13. Die fp. Funktion f(x) habe die wesentlichen Exponenten
■^1 ' -^1 ' "^3 , ' ' ' '

124
S. Bochner.
Zu jedem, N und <5 (< tt) gibt es ein e, so daß jede Verschiebungszahl % (/", e) den Kongruenzungleichungen
(4) I A n %£\ <. ô (mód 2n) (n ===. 1, 2, .. N)
genügen muß. Umgekehrt gibt es zu jedem e ein N und ô, so daß jede Zahl T, welche den Ungleichungen (4) genügt, eine Ver Schiebungszahl r (f, e) ist (Abh. II, S. 105 und 115).
Bemerkung. Dieser „Zusammenhang" ergibt sich auf Grund des Fundamentalsatzes.
14. Als Zahlenmenge bezeichnen wir eine endliche oder abzählbare Menge von untereinander verschiedenen reellen Zahlen. Eine Zahlenmenge («j, « 2 , ...) heiße reduziert, wenn keine linearen Beziehungen
r 1 « 1 + r 2 cc 2 + ...+r le ci 1e = 0 (| | + | r 2 | + ... + | r k | > 0)
mit rationalen r v vorkommen.
15. Unter einer Basis einer Zahlenmenge Z = (t 15 f 2 , ...) ist eine reduzierte Zahlenmenge (a 1 , k 2 , ...) zu verstehen, mit Hilfe welcher jede Zahl C in der Gestalt
+ r 2 c¡ 2 + ... +r k cc h (eindeutig) dargestellt werden kann.
16. Von einer Zerlegung einer (beliebigen) Zahlenmenge Z (in linear unabhängige Bestandteile )
z = +...
sprechen wir dann, wenn keine lineare Gleichung *"i Ci + £9 + • • • + r fc is = 0 mit Elementen f aus verschiedenen Z v vorkommen kann. — Jede Zusammenfassung solcher Teilmengen
zl = Zz Vk z = z¿ + z¡ + ...
führt offenbar wieder zu einer Zerlegung.
17. Ein Modul M ist eine Zahlenmenge, die mit a und ß auch u — ß enth ält; er heiße endlich, wenn er eine endliche Basis besitzt. Unter M(Z) verstehen wir den kleinsten Modul, der die (beliebige) Zahlenmenge Z enthält; demnach ist der Vereinigungsmodul M{M t , M 3 , ...) der kleinste Modul, der alle Moduln M r enthält.
Bemerkung. Aus 13. folgt durch dieselbe Schlußweise wie in Abh. II Seite 115 (d. h. unter Heranziehung des dortigen „Satzes B" über diophan- tische Approximationen), daß falls g(x) durch f(x) majorisiert wird, der

Fastperiodische Punktionen. I.
125
Modul Mf= M(L f ) der Zahlenmenge L f der Funktion f(x) den (entsprec henden) Modul M umfaßt, und allgemeiner, daß für eine Majorante f[x) der (beliebig vielen) Funktionen g[x), h(x),... der Modul M f den Modul M(M g , M h , ...) umfaßt.
18. Wenn ein Modul M eine solche Basis B = (ß t , /? 2 ,...) besitzt, daß er sich als Vereinigungsmodul von eindimensionalen Moduln mit jeweils einem Element ß v als Basiselement auffassen läßt, dann nennen wir B eine echte Basis von M. Es gibt schon zweidimensionale Moduln, die keine echte Basis besitzen.
19. Bildet man mit einer reduzierten Zahlenmenge (e^, a a , ...) alle ganzzahligen Verbindungen
9i a i + 02 a i + • • • + 9k U k> so entsteht der ganze Modul G{a 1 , a 2 ,... ) mit der ganzen Basis
A = (a 1} a 3 , ). Ein rationalzahliger Modul Ii ist entweder ein G (q)
( q rational) oder durch solche Moduln beliebig gut approximierbar
R = lim G (g n ) e n — 0.
n-y co
Daraus kann leicht gefolgert werden, daß jeder beliebige Modul durch ganze endliche Moduln approximiert werden kann.
§2.
Ein Summationsverîaliren.
1. Satz I. Approximationssatz. Jede fp. Funktion f(x) gestattet eine gleichmäßige Approximation durch Exponentialpolynome, d. h. endliche Summen der Gestalt
(1) J£a n e iX « x ,
71=1
sogar derart, daß die Exponenten X v ausschließlich der Folge der wesentlichen Exponenten von f(x) entnommen sind.
Beweis. Nach dem Fundamentalsatz liefern die Abschnitte der Fourierreihe Polynome, p n (x), welche im Mittel gegen fix) konvergieren
(2) M {\p n (t)-f(t)\*}-»0.
n-> co
Aber schon bei reinperiodischen Funktionen sind die Abschnitte der Fourierreihe für gleichmäßige Konvergenz nicht ausreichend. Um zu Approximationspolynomen zu gelangen, genügt es (irgend)eine Folge von Polynomen zu haben, die im Mittel gegen f(x) konvergieren und eine ausgezeichnete Menge bilden (§ 1, 8. 9). Solche Folgen von Polynomen wollen wir aufweisen.

126 S. Bochner.
Nach Herrn Fejér erhält man für eine reinperiodische Funktion
-f CO
(3) f(x)~ A na e inax
n— — oo
Approximationspolynome, wenn man von den Partialsummen
+n
Sn{x)= A va e ivax
v=—n
die Mittelwerte bildet
-L. 4_o«
s : (x) = 0 w +»
(4) Sn (x) = yj ^1 — "^i) Ava e ivax .
v——n
Führt man den „Kern"
(5) n n (t)=~(i+2 e ~ M +2 e_iw )
\ V — i V--2 V= -n+1 /
(6) D.W-ifil-fe 1 )«-
v= —n
ein, dann erhält man als unmittelbare Folge der Formel
2 71
A ra e irax — ~ jf(t) e-*>««-*) dt = M{f{t)
0
= M{f(t + x)e~ ivat }
die bekannte Darstellung
(7) S:(x) = M{f(x + t)n n (at)}.
t „
l Bmn *\
An /7 n (í)= —I — I ist abzulesen, daß
n \ . t \ Bin j /
(8) n n {at)^ 0 und an (6), daß
(9) M{n n {at)} = \,
weil ja Il n (at) das konstante Glied 1 hat. Diese beiden Eigenschaften des Kernes sind bekanntlich die wahren Gründe für die Konvergenz der Folge (7).
Bildet man für eine beliebige fp. Funktion f[x) ~ J[!Aj n e iAnX und beliebiges a die Funktionen M{f(x + t)II n {ut)}, so besteht auch dann die Identität
+ 71
(10) Sñ(x) = 2" (l - Ava e"°* = M {fix + t)n n (at)},

Fastperiodische Funktionen. I. 127
was an den Darstellungen
(11) Ä A =
(12) A Ä e iAx = M {f (t) e} = M { f(t + x) e~ iA 1 }
zu erkennen ist. Auch in diesem Falle sind die Funktionen (7) gleichmäßig konvergent, da sie offenbar im Mittel konvergent sind und weiterhin eine durch f(x) majorisierbare (§ 1, 8), also ausgezeichnete Menge bilden, was sich wegen (8) und (9) folgendermaßen ergibt:
(13) I 8 'n (x + x) — /S n a (x)| <; M{\ f(x + T -f t) — f(x + t)\n n (cct)}
£ Ob. Gr. \f(ç + r)-f(Ç)\-M{II n (at)},
— ®<í< +®
(14) Ob. Gr. |Ä„ a (a: + T)-S„ a (a:)| ^ Ob. Gr. | f{x + t) - f(x) \.
-°°O <'+C0 -œ<œ< + oo
Die Limesfunktion ist offenbar, ebenso wie jedes der Polynome, rein- periodisch, mit der (aus Fouriertermen von f(x) gebildeten) Fourierreihe
+ CO
2 A na e ina *.
n= — os
Mit dieser Funktion ist uns aber (im allgemeinen) nicht gedient, wir müssen die ganze Fourierreihe 2 j Aj n e iA " x heraus „summieren". Das erreichen wir folgendermaßen :
Es seien (irgendwelche) linear unabhängigen Zahlen (a 1 , a. 2 , ...) gegeben. Der Ausdruck n 1 a i -j- n 2 a 2 + ... -(- n k a k mit ganzen Koeffizienten n,, kann dann die Relation n[a t -f- w 2 '«2 + • ■ • + u k = n" «i -f- ní' -f- ... + n¡¡ a k nur für n' v = n" (v==l, 2, ...) erfüllen. Wir setzen die Polynome
+n, +n/i
(151 a "= y y (l — i^lA ( 1 — I h A M J. e(»i«x+-+> , *o*»)
"n, ,n 2 ,...,njt — ¿j ••• n J'''\ njt ) + •••+>•*«/< e
*x= — "i *k=-nk
an, welche durch die Substitution
A Vl a i+ ... +Vk aA = M{f(x + t)e~ i ^ + -- +r " a ^ t )
übergehen in
+ «j +BA-
( i6 ) s:i:::::%=M{f{x + t)- £(iJJ (i._ JAÍ.) e -w},
r 2 =-n 1 1 v/t=-nk
(17) = to{f{I + t)-n ni ko ... n nk (u k t)}.
Der Kern II n¡ (^ t) IT n ^ («., ¿) • • • U nk (a k t) hat aber für linear unabhängige a ± , a. 2 , ..c( k dieselben zwei Eigenschaften wie lT n (cct). Offenbar ist
(18) II ni (cc 1 t)...n nk (a k t)^0,

128 S- Bochner.
andererseits hat die Fourierreihe von //^(c^i)... II nk (u k t) das konstante Glied 1, also
(19) M {//„, (a, t) .. . TI nk (a k t)} = 1.
Ganz analog zu (14) erhält man daher die Eelation
(20) Ob. Gr. I(a + *) — ££;;:;;^:(x)| <: Ob.Gr. \f{x+r) — f( x )
— CO<iC<+CO — CO<iB<+CO
welche besagt, daß die Gesamtheit aller möglichen Fejérpolynome S ñ\ñ* (mit den beliebigen Basen (a 15 a 3 , .. cc k )) eine majorisierbare Menge bildet (mit f(x) als Majorante). Jede im Mittel konvergente Folge von Fejérpolynomen einer und derselben Funktion f(x) ist also gleichmäßig konvergent, und jede gegen f(x ) mittelkonvergente Folge konvergiert gleichmäßig gegen f(x).
Daß man aber f(x ) beliebig gut durch Fejérpolynome im Mittel approximieren kann, ist leicht einzusehen. Man braucht nur nach Wahl einer Basis (ß ± , ß 2 , ■ ■ ■) für die Exponenten A n für ein genügend großes k, genügend großes m und genügend große n 1} » a , .. n k die Polynome Sn*lnl',nl für a " = ^\ (v = 1, 2, ..., k) zu bilden (vgl. die explizit hingeschriebenen Polynome in 3), w. z. b. w.
2. Wir formulieren fürs weitere einen Hilfssatz Satz II. Es sei eine fp. Funktion
(21) f(x)^> yjA A „e iA » x (alle ^„4=0) und eine Folge von fp. Funktionen der Gestalt
(22) p m (x) ~ 2! p™ A a „ e iA " x (ra = 1, 2,... ) mit
(23) (m, » =1, 2, ...) gegeben.
Damit die Folge (22) mittelkonvergent ist (bziv. gegen f(x) im Mittel konvergiert), ist notwendig und hinreichend, daß für jedes n der Limes
(24) ' lim pW bzw. limp ( {' )= =l
[I ->- CC 71 /iL -> CO 71
vorhanden ist.
Beweis. Für die Mittelkonvergenz ist das Vorhandensein des Limes
(25) lim ilí{|^(í) — Pv(0| 2 } = ,0
[I -> CC , V -> CO
bzw.
(25) lim M{\p M (t) - f{t) "} = 0,

Fastperiodische Punktionen. I. 129
d. k. der Limites (vgl. Fundamentalsatz) (26) lim -P^rM4 2 = 0.
[A-> co,r->co
bzw.
(26) lim 2J ! V'ji — 11 2 I A An 1 2 = 0
/[->• OO "
CO 0
maßgebend. Wegen Aa „ =|=0, (23), und lim 2J \ Aa „\ = 0 bedingen sich
N-> co n=N
aber die Limites (24) und (26) gegenseitig.
3. Wir formulieren jetzt eine gewisse Verschärfung von Satz I.
Satz III. Summationssatz. Es sei irgendeine Zahlenmenge
(27) L =
gegeben. Man kann ein Schema rationaler Koeffizienten
(28) r£> (m,n = 1,2,3,...)
angeben, in welchem bei festem m nur endlich viele von Null verschieden sind, so daß für jede ff. Funktion f{x) der Form
(29) 2A An e* Ä »*
{deren wesentliche Exponenten also ausschließlich der Menge L entnommen sind) die mit ihren Fourierkoeffizienten gebildeten Exponential- polynome
(30) S m (x) = 2Jr^A Än e^
eine Folge von Fejér polynomen bilden, die gleichmäßig gegen f(x) konvergieren.
Beweis. Nach Wahl einer Basis (&,#,,...) für die Menge L kann man setzen
ßi ßm
+(mW +(m!) 2 / ß a \
= y y (í-iíii) fi-iMVj , , + *-in)= . 4..:- A .S 1 (mfl-V („,)•;
v m =-(m I) 2
~^ PaÜ A a „ e iA " x .
Um der Mittelkonvergenz der so gewählten Fejérpolynome gegen f(x) sicher zu sein, genügt es nachzuweisen
limp« = l (» = 1,2,3,...).
oo
Mathematische Annalen. 96. 9

130
S. Bochner.
Jeder festgehaltene Exponent A n ist durch endlich viele Elemente aus darstellbar, läßt also eine Darstellung
mit ganzen Zahlen m 0 und ia zu . Jeder Zahl m> m 0 entspricht eine Darstellung
A n = ¿7 ßi + ¿7 & + • • • + S< A" mit v u = i}<k<,m 0 ), v fc =0 ( k>m 0 ). Aus
p( r j4fl_dAA fr _ MV •• fi - ^
\ (m!) y V (»»!)/ \ (ml)
folgt wegen —- (ml) W 0 !m!
lim p£? = l.
m-> co
4. Wir wollen jetzt kurz die Bedeutung des Fundamentalsatzes für unsere bisherigen Beweise besprechen. Die in § 1, 1. —9. resümierten Eigenschaften der fp. Funktionen sind vom Fundamentalsatz unabhängig. Es sei eine fp. Funktion f(x) gegeben. Für ihre Fourierreihe J? Aj n e iAnX können wir gemäß Satz III summatorische Polynome S 1 (x), S 3 (z), ... angeben, von denen ohne Fundamentalsatz nachgewiesen werden kann, daß sie ausgezeichnet und mittelkonvergent sind (weil ja die Gültigkeit des Parsevalschen Satzes für Exponentialpolynome unmittelbar klar ist), also gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, deren Fourierreihe mit der Reihe £ Aj n e iA " x übereinstimmt. Damit ist aber der Fundamentalsatz nicht umgangen, sondern nur auf den Eindeutigkeitssatz zurückgeführt, weil man von vornherein nicht zur Annahme berechtigt ist, daß die so erhaltene Limesfunktion mit der Ausgangsfunktion f(z) übereinstimmt. Wir bemerken noch, daß die Entwicklungen in § 5 vom Fundamentalsatz unabhängig sind.
5. Der folgende Satz wird (in unwesentlich geringerem Umfange) in Abh. II, S. 207 unter Hinzunahme einer einschränkenden Voraussetzung über die Fourier leoeffizienten bewiesen.
Satz IV. Satz über gleichartige Summation. Es sei eine ausgezeichnete Menge A von Funktionen cp(x) gegeben, welche eine gemeinsame Exponentenfolge besitzen. Jede Folge von gleichzeitig approximierenden Fej érpolynomen
•(31) S 1 (x), &s(rz), S s (z), ...

Fastperiodische Funktionen. I.
131
der Gestalt (30) liefert eine gleichartig gleichmäßige Approximation der Funktionen cp(x), d. h. zu jedem e gibt es ein N(e), so daß
(32) \(p(x) — s !n p) X |<¡ e
für alle <p(x) und alle n~¡>N(e).
Beweis. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit 4 ) können wir voraussetzen, daß die Menge A eine beschränkte (§ 5, 2.) ist.
Wir benutzen (vgl. § 5, 3.), daß jede solche ausgezeichnete Menge eine gleichmäßig konvergente Teilfolge enthält.
Wir behandeln zuerst den Fall einer abgeschlossenen (vgl. § 1, 9.) Menge A. Gesetzt, unser Satz (IV) wäre für die Menge A und die Folge (31) nicht richtig. Dann gäbe es eine Folge
(33) <p ü) (x), qp {2) (x), Q9 (3) (x), ..., eine Größe e 0 und Indizes
(34) N t < N 2 < N s < ... -foo, derart, daß
(35) Ob. Gr. <p<*> - S$l e 0 (¿=1,2,...).
— co<a:< + co
Wegen der eingangs erwähnten Auswählbarkeit können wir die Folge (33) als gleichmäßig konvergent annehmen. Die Limesfunktion <p(x) = lim(p' , ' ) (a:)
V -> CO
ist wegen der Abgeschlossenheit von A durch die Folge (31) approximierbar, also
(36) \(p-8 N \£^ iüv N>N 0 .
Weiterhin genügt cp(x ) einer Approximation
(37) I tp — 9? (i) I ~ für k^k 0 .
Jedes Polynom Sy — S n ist ein Fejérpolynom von cp — cpW, daher
(38) I 8 s - S n I É J » f ür k ^ k 0 und alle N.
4 ) Denn für jede ausgezeichnete Menge ist der Ausdruck | cp (x t ) — cp ( x. 2 ) | gleichartig beschränkt für alle Funktionen der Menge und alle Punkte x t und x„ (etwa nach Satz XIX). Wenn man nun alle Funktionen der Menge derart „normiert", daß die konstanten Glieder ihrer Fourierreihen verschwinden, dann ist die so entstandene - (ausgezeichnete) Menge von selbst beschränkt, weil ja dann Realteil und Imaginärteil einer jeden Funktion sowohl positive als auch negative Werte annehmen muß. Und die Voraussetzung der gleichzeitigen Approximierbarkeit bleibt erhalten, wenn man auch die Polynome (31) in derselben Weise normiert.
9*

132 S. Bochner.
Aus (36), (37) und (38) folgt
\<P ik) - S ( n (k > k 0 , N± N 0 ),
was aber mit (34) und (35) in Widerspruch steht.
Der Fall einer nicht abgeschlossenen Menge A erledigt sich durch die Bemerkung, daß die Polynome (31) auch für die abgeschlossene Hülle H{A) gleichzeitige Approximation liefern. Wenn nämlich cp(x) durch Funktionen cp v (x) aus A beliebig approximierbar ist, dann ist jeder wesentliche Exponent^ der Funktion rp(x) auch für eine der Funktionen cp v (x) wesentlich, also ist
lim p^ = 1,
woraus nach oft angewandter Schlußweise die gleichmäßige Konvergenz von Äy (cc) gegen <p(x) folgt.
6. Der vorausgehende Satz legt die Frage nahe, ob nicht jede ausgezeichnete Menge eine gemeinsame Exponentenfolge haben muß. Diese Frage ist zu bejahen.
Satz V. Jede ausgezeichnete Menge besitzt eine gemeinsame Exponentenfolge und daher eine gemeinsame gleichartig approximierende Folge von Polynomen.
Den Beweis bringen wir in § 4, 9.
7. Zum Schluß wollen wir zeigen, wie man auf Grund des Approximationssatzes für die (beliebige) fp. Funktion f{x) ~ Aj n e iA " x die in Abh. II, Seite 125ff. betrachtete zur (beliebigen) Basis (ß L ,ß 2 ,...) gehörige mehrvariablige grenzperiodische Funktion
(39) F(x 1 , ~ J] A An e i KJ^+ r nJ^+--- +r n. 9 J 9n ^ n >
= \ B n (x 1} x 2 , ...)
( 2 71 2 71 \
-ß-> ß- ! • • ■ ) > welche der Relation
(40) f(x) — F (x, X, ...) genügt, erhalten kann.
Man approximiere die Funktion f(x) durch eine Folge von zur Basis (ßi> ßi> ■ • •) gehörenden Fejérpolynomen
fr ( x) = 2 p ! n v) A Än e^nx („ = 1, 2, 3, ...).
Die entsprechenden durch die Formeln (39) und (40) gelieferten „räumlichen" Exponentialpolynome
F v (x 1 , x 2 , ...) (v = 1, 2, 3, ...)

Fastperiodische Funktionen. I.
133
sind nunmehr im Räume (x l , x 2 , .. .) gleichmäßig konvergent; das folgt daraus, daß für jedes Polynom
(41) x !> •••) — Fv(x lt x„, ...)
die obere Grenze der absoluten Beträge nicht größer ist als die obere Grenze der absoluten Beträge von f lx {x) — f v {x), weil auf Grund des Kroneckerschen Satzes die Menge der Funktionswerte f fl (x) — f v (x) in der Wertemenge von (41) überall dicht liegt (Abh. II, S. 136).
Die Limesfunktion F(x 1 , x 2 , ...) ist offenbar grenzperiodisch mit der Grenzperiode •••) und erfüllt die Relation (40).
§ 3.
Einige Nebenergebnisse.
Wir erinnern an § 1, 14.— 19.
1. Unter einer zur Menge Z gehörigen Unterfunktion f z (x ) von f(x) verstehen wir diejenige fp. Funktion, sofern sie existiert, deren Fourier- terme aus genau denjenigen Termen von f(x) bestehen, deren Exponenten in Z enthalten sind. Eine Unterfunktion von f{x), die sich durch irgendeine Folge aus der Gesamtheit aller (d.h. zu allen Basen von f(x) gehörigen) Fejérpolynome von f [x] approximieren läßt, nennen wir eine Partialfunktion von f (x). Eine fp. Funktion, für welche der Modul M(L) eine endliche ganze Basis hat, heiße eine Bohlsche Funktion (vgl. Abh. II, S. 124).
Aus dem Beweisgang zu Satz I entnimmt man sehr leicht den
Satz VI. Es sei eine fp. Funktion f{x) gegeben. Zu jedem beliebigen Modul M gehört eine mit /j/ zu bezeichnende Partialfunktion von f(x). Eine Folge von Partialfunktionen, die im Mittel gegen fix) konvergiert, konvergiert gleichmäßig gegen f(x). Man kann f{x) durch Bohlsche Funktionen approximieren, deren Basen in M (L) enthalten sind.
2. Satz VII (von H. Bohr [7]). Falls die Fourierexponenten A n der Funktion f(x) ~ 2J Aa „ e iA » x eine reduzierte Zahlenmenge bilden, so konvergiert die Reihe \ Aj u \ und ihr Wert stimmt mit der oberen Grenze
r== Ob. Gr. \f(x)\
— CO <ÍC< + CO
überein.
Beweis. Man bilde die Ausdrücke
// 2 (i,i) = je- u v'+ 1 + ~e iA r'
X I\ (0 = n„ (a 1 t)n , (A, t )...n ,{A k t).

134
S. Bochner.
Auf Grund der Reduziertheit findet man sofort
k
y s k ( x ) = \ 2 ÄA v eiÄvX = M {f(x + t) W k (t)}
r = l
und daraus
1^0*0 <>r- M{w lc (t)} = r.
Auf Grund des Kroneckerschen Satzes kann man durch passende Wahl von X die Terme A Ar e iA >> x in s k (x) ?.ugleich beliebig nahe an | \ heranbringen, woraus dann folgt
í\aa v \£2t, v=l *
also ist J £\ A a„\ konvergent 5 ). Die Gleichheit ¿¡\AA, t \ = r ergibt sich leicht durch nochmalige Anwendung des Kroneckerschen Satzes auf die nunmehr als gleichmäßig konvergent erkannte Reihe AA n e iAnX .
Satz VIII (Verallgemeinerung des voraufgehenden). Es sei eine fp. Funktion und irgendeine Zerlegung (§ 1, 16.) ihrer Menge L gegeben
L — L 1 + Xi 3 4- ,...
Jeder Zahlenmenge L v entspricht dann eine Partialfunktion f Ly und die Summe
(1) f{x)=2f Lr {x)
ist absolut und gleichmäßig konvergent. — Es gibt sogar eine von x unabhängige Konstante K, so daß
(2) 2\K(X)\£K.
Beweis. Daß jeder Zahlenmenge L v eine Partialfunktion entspricht, folgt daraus, daß L v der Durchschnitt von L mit einem Modul, nämlich dem Modul M{L V ) ist; desgleichen ist jede Summe f L¡ + f Ll + ... + fz k eine Partialfunktion. Da aber die letzteren Funktionen, wie leicht zu sehen, im Mittel gegen fix) konvergieren, konvergieren sie gleichmäßig. Da nun die Reihe (1) in jeder Anordnung der Terme konvergiert, konvergiert sie absolut. — Den Nachweis der Schranke II deuten wir nur
5 ) Diese Beweisvariante stammt von Herrn H. Bohr. Der Beweis des Verfassers war wie der zu Satz VIII. — Bemerkenswert ist, wie wenig bei diesem Beweis zum Nachweis von y¡ \ A j | < r die Fastperiodizität von f{x) herangezogen wird. Es genügt vorauszusetzen, daß | f(x) \ < F, und daß für die (beliebig gegebene) reduzierte Zahlenmenge (A l} A 2 , ...) für alle Zahlen A aus dem ganzen Modul G(A lt A„,...)
1 +T
die Mittelwerte A Ä = lim - t -=- J f(t) dt existieren und für A =j= A lt A z ,...
y->.& ¿ -T
verschwinden.

Fastperiodische Punktionen. I.
135
an. Wegen der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit der Mengen L,. durchlaufen die einzelnen Summanden f L auf Grund des Kroneckerschen Satzes ihre Wertemengen unabhängig voneinander. Präziser: macht man die (unwesentliche) Annahme, daß f(x) reell und ohne konstantes Glied ist und bezeichnet man obere und untere Grenze von f(x) bzw. f Ly (x) mit M und —m, bzw. M v und —m,,, dann ist
H \fL v {%) I <.2! M v + Jb'm„= M + ra = K.
Aus der Approximierbarkeit durch Fejérpolynome, nämlich aus der Fejérsummierbarkeit im Punkte x = 0, ist evident der (vgl. Bohr [7])
Satz IX. Für eine Fourierreihe 2 j - A a„ e iJ " x mit nur positiven Koeffizienten A a „ ist 5] A a„ konvergent.
3. Wir knüpfen an 1. an. In § 2, 1. haben wir gesehen, daß sich f(x) durch solche Fejérpolynome S%",beliebig gut approximieren läßt, in denen jedes a v ein rationales Multiplum des Elementes ß v aus einer festgewählten Basis (ß 1 ,ß^,...) von f(x ) ist. Bei einer Partialfunktion der Gestalt f M kann dies aber unmöglich werden, wenn M ein Modul ohne echte Basis ist; es gibt (nachweislich) Partialfunktionen /j/, bei denen man es zulassen muß, daß in den Approximationspolynomen Sn¡,nHñk die Elemente a v lineare Verbindungen aus mehreren ß v sind, wie man auch die Basis (ß 1 ,ß 2 ,...) gewählt haben mag. — In dieser Richtung liegt noch der folgende
Satz X. Jede Partialfunktion fu (x) vonf(x) gehört zu einem Modul, d. h. ist ein f M , mit einem passenden Modul M.
B eweis. Es genügt nachzuweisen: wenn die Exponenten A 1 ,A 2 ,..., A k wesentlich in f v vorkommen, so kommt der Exponent
^ — Qi A + S'a \ + • • • + 9ic -d/c (mit beliebigen ganze n Z ahhlen g v ) entweder wesentlich in f v oder gar nicht in f(x) vor. Nun, wenn die Exponenten A t , A„, A k wesentlich in fx 7 vorkommen, so müssen sie für n^.n 0 wesentlich in den Approximationspolynomen S n vorkommen. In einem beliebigen der Polynome S n mögen o Basiselemente (a ist mit n variabel) vorkommen, und die Fejér- koeffizienten p g der Terme Aj_ 0 e iA e x ( q = 1, 2, ..., k) die Gestalt
haben. Dann hat, für genügend großes n der Fejérkoeffizient p von Aj e iÄX im selben Polynom S n die Gestalt
__ 19i+&"i (2) +.-.+gu|\ / \gi ^ 1 ' + g<¡ ''¿ 2) + ---+g k v í k) ¡ \
P V n L ) " \ n a / '

136 S. Bochner.
Da die Zahlen k,g x ,g 2 , ■■■,g k feste Zahlen sind, so muß bei wachsendem n mit den Koeffizienten p s auch p gegen 1 konvergieren 8 ), was eigentlich zu beweisen war.
§4.
Verschiebungsfunktionen.
1. Definition. Es sei irgendeine beschränkte Funktion f(x) im Intervall — oo < x < + oo gegeben. Unter der Verschiebungsfunktion v f (r) von f{x) verstehen wir eine in — oo < t <-j-oo definierte reelle Funktion, welche in jedem Punkte % durch den Grenzwert
(1) Ob. Gr. \f(x + x) — f(x)\
— oo + CO
gegeben ist.
Wir werden es im wesentlichen nur mit Verschiebungsfunktionen von fp. Funktionen zu tun haben (die gelegentlich schon in Abh. I, vgl. S. 87, genannt werden), und sie dann immer mit dem Buchstaben e, also e f {x), bezeichnen. Der Wert eJr) gibt für jedes x das kleinste e, zu welchem r als Verschiebungszahl gehört.
Die Verschiebungsfunktion vJx) einer beliebigen Funktion f(x) erfüllt die Bedingungen
a) v(x )-^ O, V (0)= 0,
b) v(x) = v( — r),
c) v ( t 1 + t 2 )^ ü ( t 1 ) + í ;( t 2 );
die letzte folgt aus Ob. Gr. I f(x + + t 2 ) — f(x) I <; Ob. Gr. \f(x-\-x 1 J r x i )—f(x J r x 1 )\
— co<a;<+co — co < £ <co
+ Ob. Gr. \f{x + r i ) — f(x)\.
— CO + CO
Aus den Eigenschaften a), b), c) folgt
c*) I «(Ti + * 9 ) — ü ( T a) l^ w ( T i)- Denn ersetzt man in
c) v(x x +T 2 ) — v(x i )£v(x 1 ) e ) Etwa nach dem Hilfssatz: Aus den Voraussetzungen
0^ aí < £ <^-, 0 <b s < v <±- (s = l,2,..., ö
n(l -a s )^l -e, jt( 1-6,) >1- ij,
5=1 s = 1
folgt
n ( i — as —&i) > i — « - >/ •

138 S. Bochner.
d ' ) e (t) ist stetig im Punkte x = 0, und für jedes s liegen die Punkte r, für ivelche e(x)^e, relativ dicht auf der r- Achse — oo < r < -J- oo.
2. Daß eine fp. Funktion und ihre Verschiebungsfunktion nicht nur denselben „Verschiebungs"-, sondern auch den gleichen Stetigkeitscharakter haben, liegt daran, daß die gleichmäßige Stetigkeit eine Verschiebbarkeit mit „unendlich kleinen" Verschiebungszahlen ist. Aus
\e(x t ) — e(x) \ <L e(r)
ist zu ersehen, daß die Funktion e (t) gewissermaßen im Mittelpunkt % = 0 am steilsten ist. Für genügend kleine e erscheint das beste Stetigkeits-<5 (e) als das kleinste positive r für welches e(r) = e.
3. Zwei verschiedene fp. Funktionen können dieselbe Verschiebungsfunktion haben, z.B. f(x) und f(x-\-k), wenn k irgendeine reelle Zahl bedeutet, f(x) und + f(x) + a usw. Zwei solche Funktionen nennen wir ähnlich. Es können übrigens auch wesentlich verschiedene Funktionen ähnlich sein.
Satz XII. Die Limesfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von fp. Verschiebungsfunktionen ist wieder eine fp. Verschiebungsfunktion. Beweis. Man verifiziert sofort die Bedingungen a) b) c) d).
Satz XIII. Die Verschiebungsfunktionen
e d r )> e fÀ z )>■••
einer gleichmäßig konvergenten Folge von Funktionen
/iO), f»A x )> • • • —• f( x )
konvergieren gleichmäßig gegen die Verschiebungsfunktion e f (%).
Beweis. Aus
I fm( x ) - fi X )\< E
folgt
I ! fm ( X + T ) - fm O) I - I fi X + T ) - f( x ) jk 2«,
und daraus durch eine leichte Überlegung
I e f,n( z ) — e Á r ) I ^ 2e - 5. Satz XIV. Die lineare Verbindung (2) ae 1 (r) + &e. 3 ( r) (a>0,&>0)
zweier Verschiebungsfunktionen e 1 (r) und e 3 (r) ist wieder eine Verschiebungsfunktion.
Beweis. Es ist klar, daß a). b) c) erfüllt sind, und nach § 1, 3. ist (2) wieder fastperiodisch, also auch d) erfüllt.

Fastperiodische Funktionen. I. 139
►
Für die Funktionen e ilx , cosAz, sin Ix ist die Verschiebungsfunktion = i _ e i>-r I = 2 sin X ^ . Demnach ist jede Summe j a n | ] 1 — e i '" T \
I I ¿ j
mit konvergenter Summe JE\a n \ eine Verschiebungsfunktion. Für reduzierte X tl ist I a n 1 11 — eV '" r ¡ di e Verschiebungsfunktion von f (x) = 2] a n e a » T , wie man durch Anwendung des Satzes VII auf
f(x) — f(x + r) = a „ (1 — e a » T ) e i, -" x
erhält. Bei Gelegenheit bemerken wir, daß ein Exponentialpolynom nie eine Verschiebungsfunktion sein kann.
6. Satz XV. Die mit zivei Verschiebungsfunktionen e 1 (t) und e a (r) gebildete Funktion
e(r) = Max(e! (r), e 2 (r)),
die also in jedem Punkte x dem größeren der Werte e x (t) und e„ (r) gleicht, ist eine Verschiebungsfunktion.
Beweis. Offenbar ist a) und b) erfüllt. Bedingung c) ergibt sich folgendermaßen. Aus
e i( T i + t 2 ) ^ e i ( T i) + e i( T s)
e 2 ( T i + r i) Ú e i ( T i) + e 2 ( T 2 )
folgt
e i( T i + T a)^ e ( T i)+
e 0 _ ( tj + t 2 ) <1 efX) + e(r 2 ),
also auch
e ( T i + T 2 )^ e ( T i) + e ( T 2)-
Die Bedingung d)
ergibt sich daraus, daß für irgend zwei reelle fp. Funk-
tionen f(x) und g(x) die Funktion
Ms* (f (*), g (»)) -
nach § 1, 1. und 3. gleichfalls fastperiodisch ist.
Wir nannten in § 1, 8. die fp. Funktion f(x) eine Majorante von g{x), wenn
e f (T)7>e g (r) (— oo < r < + oo)
bestand. In Abh. I wird bewiesen (vgl. § 1, 3.), daß je zwei fp. Funktionen relativ dicht gelegene gemeinsame Verschiebungszahlen haben, woraus dann folgt, daß die Summe zweier fp. Funktionen wieder fastperiodisch ist. Durch Anwendung dieses Satzes auf Verschiebungsfunktionen haben wir ihn dahin verschärfen können, daß es zu je zwei Funktionen sogar eine gemeinsame Majorante gibt, was offenbar viel mehr aussagt. Die Existenz einer Majorante wird schon durch Satz XIV sichergestellt, aber Satz XV besagt schärfer, daß es sogar die von vornherein denkbar „kleinste" Majorante gibt.

140 S. Bochneri
«
Satz XVI. Die mit (beliebigen) Verschiebungsfunktionen e 1 ( t ), e 2 ( t ), .. e n (r)
gebildete Funktion
e(z) = Max(e 1 (r), e 2 (t), . ,.,e n (r))
¿sí wiederum eine Verschiebungsfunktion. Demnach besitzen fp. Funktionen in jeder endlichen Anzahl eine (sogar „kleinste") Majorante, und um so mehr relativ dicht gelegene gemeinsame Verschiebungszahlen.
Beweis. Daß e(r) eine Verschiebungsfunktion ist, ergibt sich durch (n — l)-malige Anwendung des Satzes XV, unter Berücksichtigung von
Max (a, b, c ) = Max (Max (a, b), c).
Unter der Majorante (von fp. Funktionen) schlechthin werden wir in der Regel die kleinste (Verschiebungs-)Majorante verstehen.
7. Satz XVII. Ähnliche Funktionen haben denselben Modul (also speziell jeweils f(x) und e f (x)).
Beweis. Von zwei ähnlichen Funktionen g{x ) und h(x) ist die eine Majorante der andern, also nach § 1, 17., M ;/ <^M h und M h M g .
Satz XVIII. Es seien fp. Funktionen f x (x), f„ (x), ..., f n (x) und ihre Verschiebungsfunktionen e 1 (r), e 2 (r), ..., e n (r) und ihre Moduln M 1 , i¥„, ..., M n gegeben.
Der Modul M* der Majorante e(r) der Funktionen e v (r) stimmt genau mit dem Vereinigungsmodul M = M(M 1 , M„,..., M n ) über ein.
Es sei irgendeine Funktion F (w i; u 2 , ..., u n ) gegeben, welche in einem Teile des n-dimensionalen Raumes
( U-y , Uç , . • . , U JX ) ( Uy = Vy —}~ i Wy)
definiert und gleichmäßig stetig ist. Die Punktmenge
u v = f v (x), — co < x < -f oo, (v — 1, 2, 3, .. n) möge ganz in U gelegen sein. Dann ist die Funktion F(x) = F(f 1 (x),f^(x), ..., f n (x))
eine fp. Funktion der Variablen x und ihr Modul M F ist im Modul M* (= M) enthalten.
Beweis. Weil e(r) Majorante zu e x (T), e 2 (r), ..., e n (r ) ist, ist M^M*; und weil e ± (t) + e 3 (^) + • • ■ + e n ( t ) Majorante zu e(r) und aus Gründen der formalen Addition der Fourierreihen der Modul von e x (t) + ... + e n ( T ) i n M enthalten ist, ist M* <LM, also M* = M.
Offenbar ist F(x) gleichmäßig stetig. Bezüglich der Fastperiodizität können wir bei gegebenem e ein > 0 derart bestimmen, daß
I F {ui\ u™, ..., u ( n) — F(ux 2) , uf ] , ..., u ( n) | e

Fastperiodische Punktionen. I. 141
für
I wj 1 ' — Uy ) r¡ (v = 1, 2, ..., n ),
d. h. daß
I F(x + 0 — F(x) I e,
wenn
I f v (x + r) — f v {x) I <1 r¡ (v = 1, 2, .. n),
also wenn x eine zu r¡ gehörige Verschiebungszahl von e (r) ist. Hieraus folgt aber sowohl, daß F(x ) fastperiodisch ist, als auch (nach § 1, 13. unter Benutzung der Schluß weise in Abh. II, S. 115), daß M F in M* {= M) enthalten ist.
8. Die folgenden zwei Sätze werden wir in einem beweisen.
Satz XIX. Jede ausgezeichnete Menge von Funktionen ist eine majorisierbare Menge, und umgehehrt ist jede majorisierbare Menge eine ausgezeichnete (§ 1, 8.).
Satz XX. Jede majorisierbare Menge
(3) e i( r ) (i durchläuft eine Indexmenge D) besitzt auch die kleinstmögliche Majorante. Dies ist die Funktion
(4) e(r) = Ob. Gr. (e.(r)),
i\D
die also in jedem Punkte t als die obere Grenze aller Werte e { (r) definiert ist.
Beweis. Es sei eine ausgezeichnete Menge gegeben. Die Menge ihrer Verschiebungsfunktionen ist auch ausgezeichnet (mit denselben Stetigkeits-<5 und Verschiebungszahlen). Es liege nun eine ausgezeichnete Menge der Gestalt (3) vor. Wenn wir zeigen, daß die Funktion (4) eine fp. Funktion ist, werden wir beide Sätze bewiesen haben. Die durch (4) definierte Funktion ist jedenfalls überall endlich, wie sich aus der gleichartigen Stetigkeit in Verbindung mit e¡ ( 0 ) = 0 ergibt. Von dieser Funktion werden wir a) b) c) d*) nachweisen. Bed. a) b) sind unmittelbar verifizierbar. Aus
e »( T i + T a) ^ e »( T i) + e i( T a) folgt e¿ (tj + r 3 ) <í e (tJ + e (t 2 ),
also
6 ( —j— X 2 ) e ( ) —j— 6 ( "^ ) j
d. h. Bed. c) ist richtig. Aus der gleichartigen Stetigkeit der e t .(t) folgt die Stetigkeit von e(r) im Punkte r = 0, und für jede der zu e gehörigen relativ dichten gemeinsamen Verschiebungszahlen x ist e(x) ^ e. Also ist d*) erfüllt.

142 S. Bochner.
9. Jetzt ist es sehr leicht, zu Satz V den Beweis nachzutragen, daß jede ausgezeichnete Menge eine gemeinsame Exponentenfolge besitzt. Das folgt einfach daraus, daß die Funktionen eine Majorante haben, und alle ihre Exponenten im Modul dieser Majorante enthalten sind (§ 1, 17. Bemerkung).
Wir können die Aussage noch präzisieren.
Satz XXI. Es sei eine ausgezeichnete Menge
e ¿ (r) (i durchläuft eine Indexmenge D)
von Verschiebungsfunktionen gegeben, ihre Moduln seien M¡ und die (kleinste) Majorante der Menge und ihr Modul seien e (r) und M*. Der Vereinigungsmodul M(M¡) aller Moduln M i genügt der Gleichung
i\D
M{M i ) = M*.
i I D
Beweis. Aus § 1, 17. ist zu ersehen, daß die Bildung des Vereinigungsmoduls auch für nicht abzählbare Mengen D sinnvoll ist und daß die Ungleichung
M{Mi)<M* besteht. Bleibt nur noch zu beweisen
M{M i )^M*.
Wir wählen eine überall auf der t -Achse dicht liegende abzählbare Punktmenge Xy und eine Folge von Funktionen
e 1 (r), e 2 (r), e 3 (r), .
deren obere Grenze in jedem der Punkte r v mit e(t,,) übereinstimmt. Die Funktionen
(5) ii„(r) = Max(e 1 (r), e 9 (r), ..., e„(t)) (a = 1,2,3,...)
bilden dann eine (endliche oder unendliche) Folge von monoton wachsenden Funktionen, die alle von e(r) majorisiert werden, also
r¡( r) <; e(r),
und in den Punkten t ,, gegen e (r) konvergieren, r¡ (r v ) = e ( t v ). Da die i) a (r) (wie leicht beweisbar) gleichartig gleichmäßig stetig sind und in überall dicht liegenden Punkten konvergieren, konvergieren sie gleichmäßig in jedem endlichen Intervall ; also ist i] (t ) stetig und mit eft) identisch. Der Modul einer jeden Funktion r\ n (r) ist wegen (5) in M(M { ) enthalten, also wegen des Korollars zu dem (später folgenden) Satz XXIII und §1,7 ist es auch der Modul M* der Limesfunktion t] (r) = e(r); d. h.
M*<L M(M { ).

Fastperiodische Funktionen. I.
143
§ 5.
Normalfunktionen und Normalklassen.
Wir werden jetzt die fp. Funktionen von einer neuen Seite kennen lernen.
1. Definition. Eine {für — oo < x < + oo definierte und) stetige Funktion f(x) soll eine Normalfunktion heißen, wenn aus jeder Folge f{x-\-k v ), (v = 1, 2, 3, ...), mit irgendwelchen reellen Zahlen k v eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ausgewählt werden kann.
Unter einer Normalklasse verstehen wir eine Menge von Nor mal- fun ktionen <p(x), die in jeder unendlichen Teilfolge <p 1 (x), ç? a {x), ... eine gleichmäßig konvergierende Unterfolge enthält.
Von einer (beliebigen) Funktion cp {x) bzw. von einer Menge von (beliebigen) Funktionen sagen wir, daß sie die Normaleigenschaft besitze, wenn aus jeder Teilmenge der Menge cp{x-\-k) bzw. der gegebenen Funktionenmenge eine gleichmäßig konvergente Unterfolge ausgewählt werden kann.
2. Unter einer beschränkten ausgezeichneten Menge sei irgendeine ausgezeichnete Menge von gleichartig beschränkten Funktionen verstanden.
Satz XXII. Jede fp. Funktion ist eine Normalfunktion und umgekehrt ist jede Normalfunktion eine fp. Funktion.
Jede beschränkte ausgezeichnete Menge ist eine Normalklasse und umgehrt ist jede Normalklasse eine beschränkte ausgezeichnete Menge.
Zuerst werden wir in 3., bei gleichzeitiger Formulierung einiger Nebenergebnisse zeigen, daß jede beschränkte ausgezeichnete Menge die Normaleigenschaft besitzt. Daraus folgt, daß jede fp. Funktion f{x) eine Normalfunktion ist, weil doch die Menge f(x-\-k), wo k alle reellen Zahlen durchläuft, gleichartig beschränkt und die Funktion e f {r) zur gemeinsamen Majorante hat. Damit ist dann auch bewiesen, daß jede beschränkte ausgezeichnete Menge eine Normalisasse ist. In 4. wird bewiesen, daß jede Normalfunktion fastperiodisch ist; und endlich in 5., daß jede Menge von fp. Funktionen, die die Normaleigenschaft besitzt, eine beschränkte ausgezeichnete Menge bildet.
3. Es liege eine beschränkte ausgezeichnete Folge
fi(x), f 2 (x), ...
vor. Wegen der gleichartigen Beschränktheit und Stetigkeit kann man bekanntlich eine Teilfolge so auswählen, daß sie auf jedem endlichen Teilintervall von — oo < x < + oo gleichmäßig konvergiert. Diese Teilfolge ist dann aber schlechthin gleichmäßig konvergent, wie der folgende Satz lehrt.

144 S. Bochner.
Sa tz XXIII. Jede ausgezeichnete Folge von Funktionen (x), f, (x),..., die in jedem endlichen Intervall gleichmäßig konvergieren, ist schlechthin gleichmäßig konvergent.
Beweis. Bei vorgegebenem e bestimmen wir für die Majorante der Folge die Länge l=l(^j derart, daß jedes Intervall dieser Länge eine Verschiebungszahl r f der Majorante enthält. Weiterhin bestimmen wir
N so groß, daß in 0 <¡ x <! I für je zwei Indizes m~¡>N, n^. N die Ungleichung
lÄJO") -f n ( x )\
besteht. Dann ist überall in — 00 < a; < + 00
(!) I/U*) -/"„(*)
Denn zu jedem x kann man eine Verschiebungszahl r (^j der Majorante so angeben, daß £ = x — r ins Intervall 0 <[ x <¡ l hineinfällt. Dann ist
r«(®)-/«(f)l
\fm{£) — 4(^)1 = Y'
und daraus folgt (1).
Koroll ar zu Satz XXIII. Jede majorisierbare Folge von monoton ivachsenden Ver Schiebungsfunktionen ist gleichmäßig konvergent, weil wegen der gleichartigen Beschränktheit und Stetigkeit die Folge auf jedem endlichen Intervall gleichmäßig konvergiert.
Satz XXIV. Es sei irgendeine fp. Funktion f(x) und irgendeine Folge reeller Zahlen c 1 , c 2 , ... gegeben. Man kann dann aus dieser Folge eine Teilfolge c[, c'«,, c' s , ... so auswählen, daß zu jedem e ein N gehört, so daß für je zwei Indizes m~^>N, n^> N die Differenz Cm — c' n eine zu s gehörige Verschiebungszahl von f(x) ist,
ZfWm— c«) ^ e n^N(s).
Beweis. Man wähle aus der Folge
f{x + c 1 ), f(x-\- c 3 ), f(x + C3), ... irgendeine gleichmäßig konvergente Teilfolge (2) f(x-\-c[), f(x + cÇ), f{x + cl), ...
aus. Die Zahlen c[, c!¡, c 3 ', ... der Folge (2) genügen unserem Satze.

Fastperiodische Funktionen. I. 145
4. Es liege eine Normalfunktion f(x) vor, wir werden zeigen, daß sie fastperiodisch ist. Aus der Ans Wählbarkeit folgt leicht, daß f (x) beschränkt und gleichmäßig stetig ist. Die „Verschiebungsfunktion"
■vJr),
Vf( t ) = Ob. Gr. I f(x + t ) — f(x) I
— CO <¡C< + CO
ist stetig, genügt den Bedingungen a) b) c) und besitzt, wie aus
\vf(% + k lt ) — Vf{t + k r )\^.Vf{k lt — k v )= Ob. Gr. \f{x+k /J ) — f(x + k v )\
— 00 4- G°
folgt, zugleich mit f (x) die Normaleigenschaft. Dann müssen aber bei jedem e > 0 die Punkte r, für welche
Vf(r) < e,
relativ dicht liegen. Sonst gäbe es eine Konstante a > 0 und eine Folge von Intervallen
(3) «,< r<ß v (» = 1,2,8,...).
(4) ß v — a v -+ oo,
so daß in allen Intervallen (3) die Ungleichung
Vf(t) ^ a
bestünde. Jede Funktion
(5)
wäre daher im Intervall
ßv — CCv . ßv — CCv
2 < r < 2
größer als a. Eine Teilfolge von (5) konvergiert gleichmäßig. Die Limesfunktion muß wegen (4) überall ^ a sein, was aber damit nicht zu vereinbaren ist, daß jede der Funktionen v r (r) einmal den Wert 0 annimmt.
5. Es liege eine Normalklasse vor (von der wir nunmehr wissen, daß sie aus fp. Funktionen besteht). Wir werden zeigen, daß sie eine beschränkte ausgezeichnete Menge ist. Die gleichartige Beschränktheit folgt sofort aus der Auswählbarkeit. Da nach Satz XIII die Verschiebungsfunktionen einer Normalklasse wieder eine Normalklasse bilden, nehmen wir an, daß eine Normalklasse von Verschiebungsfunktionen
e i (t) (i durchläuft eine Indexmenge D)
vorliegt. Wir haben nachzuweisen, daß die (überall endliche) Funktion
0 (r) = Ob. Gr. (e f (r))
i\D
eine Verschiebungsfunktion ist. Aus der Auswählbarkeit kann leicht gefolgert werden, daß diese Funktion in jedem Punkte z stetig ist. Wenn
Mathematische Annalen. 96. 10

146 S. Bochner.
wir nun nachweisen, daß die Funktion 0(r) in einer überall dicht liegenden Punktmenge mit einer Verschiebungsfunktion .übereinstimmt, sind wir fertig.
Wir wählen, wie im Beweis zu Satz XXI aus der Menge e-(r) eine Folge
®1 ( ^ ) > T T ) ' •••' deren „obere Grenze" e(r)
e(r)= Ob. Gr. (e v (r))
v=l,2,3,...
in überall dicht liegenden Punkten mit O (r) übereinstimmt. Die Funktion e(r) ist offenbar der Limes der monoton wachsenden Funktionen
(6) rj v (r) = Max(e 1 (r), e 9 (r), ..., e,,(r)) (v= 1, 2, 3, ...).
Wenn wir nachgewiesen haben werden, daß diese Funktionen gleichmäßig konvergieren, dann sind wir mit dem Beweis zu Ende.
Wäre nun die Folge r¡ v (r) nicht gleichmäßig konvergent, dann gäbe es eine Zahl a > 0, eine Folge von Punkten (¿=1,2,3,...) und dazugehörigen Indexpaaren ( fx k , v ]: ) der Anordnung
fi 1 <v 1 <^<v 2 <...<fi k <v h < [X k + 1 < V k+1 <...,
so daß
í7»*( T fc) — nnÁ x h) > a (¿=1,2,3,...)
wäre. Gehen wir auf die Definition (6) der Funktionen r¡ a (x) zurück, dann könnte man auf die Existenz von Indizes £ fc , der Größe
( 7 ) t*u<X k £ v u schließen, so daß
insbesondere also (vgl. (7))
(8) %(%) — (**) > <*> für «¡|s¿ (¿=1 ,2,3,...).
Aus der Folge (t) (¿ = 1, 2, 3, ...) ließe sich nun nach Voraussetzung eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ei (r) (¿=1,2,...) auswählen. Wegen (8) gäbe es dann aber eine Folge von Punkten r¿, so daß
ei(4) — eí_i(r¿) > a (¿=1,2,3,...)
gälte, was aber der gleichmäßigen Konvergenz der Folge e¿ (t) widerspräche.
6. Wir schließen mit einer Bemerkung. Daß die Summe zweier Normalfunktionen wieder eine Normalfunktion ist, ist nahezu evident. In den Punkten 1. —4. des vorliegenden Paragraphen haben wir von § 4 nur den Satz XI benutzt. Also liefern die Entwicklungen des gegenwärtigen Paragraphen einen neuen Beweis für die Grundtatsache, daß die Summe zweier fp. Funktionen wieder fastperiodisch ist.

Fastperiodische Funktionen. I.
147
Verzeichnis der zitierten Literatur.
S. Bochner, [1] Sur les fonctions presque périodiques de Bohr. Comptes rendus 180 (1925), p. 1156.
H. Bohr, [1] Sur les fonctions presque périodiques. Comptes rendus 177 (1923), p. 737. •— [2] Sur l'approximation des fontions presque périodiques par des sommes trigo- nométriques. Comptes rendus 177 (1923), p. 1090.
— [3] Sur les fonctions presque périodiques d'une variable complexe. Comptes rendus
180 (1925), p. 645.
— [4] Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I. Acta Math. 45 (1924), S. 29—127.
— [5] Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen II. ActaMath.46 (1925), S. 101—214.
— [6] Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen III. Acta Math, (im Druck).
— [7] Einige Sätze über Fourierreihen fastperiodischer Funktionen. Math. Zeitschrift
23 (1925), S. 38—44.
(Eingegangen am 20. 9. 1925.)
10*

Über Reihen yon allgemeinen Orthogonalfunktionen.
Von
Stefan Kaczmarz in Lwów (Lemberg).
In seiner Arbeit ,, Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen" 1 ) beweist H. Rademacher folgenden Satz:
Es sei:
1. {(p n (x)} ein normiertes Orthogonalsystem,
CO 0
2. die Reihe a n konvergent,
n=i
3. y>{ri) eine monotone Folge von der Beschaffenheit, daß y> (n )■—>• + oo,
co ?
a'n y> (n) konvergiert, und n k eine Teilfolge der natürlichen Zahlen, so
n= 1
gewählt, daß yj (n k ) ¡> k ist, dann konvergiert die Folge
n k
Sn A .(a;) = 2 a iVj(x) j=l
fast überall.
In dieser Note gebe ich einen kurzen Beweis dieses Satzes, einen verallgemeinerten Satz und eine Anwendung auf die (C1 )-Summierbarkeit der Orthogonalreihen.
Beweis des Satzes von H. Rademacher.
00 2
Setzen wir r v = a¡ und bestimmen die Teilfolge n k so, daß die
j=P+I
CO
Reihe r„ k konvergiert; dann konvergiert die Folge s ni! (x) fast überall. i= i
In der Tat: Bezeichnet man mit f(x) diejenige Funktion, für welche
b
/ (f — s p ) 2 dx—- 0 für oo, so konvergiert die Reihe
a
2 f (f s n/t) dx,
k= 1 a
*) Math. Ann. 87 (1922), S. 112.

St. Kaczmarz. Über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. 149 b
weil J(f— Snkf dx = r nk ] daraus folgt die Konvergenz der Reihe
a
2(f-s nk f fast überall, es konvergiert also s nlc (x)—+f(x) fast überall. i=1
Es bleibt zu zeigen, daß die obige Folge n u und die Rademachersche Folge identisch sind.
co
Es sei also n k so gewählt, daß 2Jr„ k konvergiert; dann ist
k=l
fn k — ¿ k 1 "I - ®îiî+2 "H.- • • "h ®n* +1 ) i
i ¡t=i
œ 0
setzen wir i p(n) = k für n k <n <L n k+1 , dann ist 2}a n ip(n) konvergent
71— 1
und die Rademachersche Folge ist identisch mit der Folge n k . Umgekehrt,
CO ^
es sei y(n) eine monotone Folge, für welche yj(n)— » + oo, 2Ja¿yj(n)
n= 1
konvergiert. Dann ist
00 00 o 9 00 o '
U r nk =ü h (a nk+ 1 + .. • + a»* +1 ) < V (?');
k= 1 i= 1 7=1
es konvergiert also r n ,.
Satz I. Die Folge s nk (x) ist fast überall konvergent, wenn die Reihe
00 ^
yj konvergiert. k= i 1' k
Beweis. Es ist
(f— s n k ) (/" s n k+] ) — ( S »fc + 1 s n k )(%f S nk s n k + 1 )-
Nach der Schwarzsehen Ungleichung ist
6 o
A k = §\{f Snk) (f $n k + 1 ) \dx^V(r„ k ?"n* + 1 ) (Xn k r n k+1 ~f" 4î" n . + J ), a
also
= 2 V ( ?■«/- r n k + 1 ) r nn •
Die Reihe V(r„ A — r nk+] )r„ k konvergiert, es ist nämlich
k= i
co / CO co
V(r„ Ä - r n , +] >„ t ^ 1/ 2]Yk(r nk - r„ k+1 )-T="
i ' k= 1 i=l » K
Die zweite Reihe rechts konvergiert laut Voraussetzung, auf die erste Reihe wenden wir Abels Transformation an:
p p
JJ^k{r nk — r nk+1 ) = 2j r nk (Yk -Vk - l) - Yp-r np „
k=1 k=1
= Z ñ+fk^í

150 St. Kaozmarz.
Die Summe rechts konvergiert für p—>-00, das zweite Glied
r.
»♦.Vp—0, weil
W/M
Y r Y — Y ( 1 1
n/i n/c + ! Uk n/( + i , /I 1
]k fk + 1 } k r ""' +I \>' k fk+ll > 0 '
I*
es sind also die Glieder der konvergenten Reihe monoton ab-
1 &
r
nehmend, deshalb 1c • ~~ r = V k r n , —>- 0. fk
CO
Die Reihe £ A k ist also konvergent. Daraus folgt, daß die Reihe
i
2{{f— s n,y — (f— s nk + 1 ) 2 }, also auch die Folge (f— s nk )~ fast überall
b
konvergiert. Da aber f (f — s nk f dx^ ►O, konvergiert (f— s«,.)—» 0 fast überall. °
Bemerkung. Ähnlich wie vorher kann man feststellen, daß die
Bedingung ~ konvergiert" äquivalent ist der Bedingung T ' c _
Yk
Erweiterungen.
Es wäre interessant zu untersuchen, ob man den Satz I noch ver-
CO ^
schärfen kann. Die Konvergenz der Reihe ^ genügt jedoch nicht zur
¡6=1
Konvergenz der Folge s n ,.(x), wie im folgenden gezeigt wird. Nehmen wir eine Orthogonalreihe a n q) n {x), welche überall divergiert, während
n
die Reihe y¡añ\gn konvergiert 2 ). Es ist nun y 1 ^ konvergent, weil
n ' k
~fc = 2 a n (x + 2" + ' • ' + ^ITl) < 2(* + lg ( n — 1)) '
¿•=1,71=1 1
CO
V~7 f
und die Folge s k (x) divergiert. Ob die Bedingung ,, y, — konvergiert",
k= i h a
für §<a< 1, genügend ist, kann ich vor der Hand nicht entscheiden.
Mit Hilfe des Satzes I kann man einen neuen Beweis des folgenden Satzes führen:
Satz II. Wenn die Reihe y Y lg n konvergiert, dann ist die
i
Reihe a n <P n (x) fast überall (Gl)- summierbar, d. h. Sl + s " ^ + s "
konvergiert fast überall*).
3 ) Eine solche Reihe hat D. Menchoff Fund. Math. 4 (1923), S. 104 angegeben. °) Vgl. meine Note in Math. Zeitschr. 23 (1925), S. 266 u. 268.

?
Über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. 151
Zu diesem Zwecke beweisen wir den folgenden
CO
Satz III. Damit die Orthogonalreihe .¿¡"a,, ?>„(»)> für welche
i
2J an konvergiert, fast überall (C1)-summierbar sei, ist notwendig und hinreichend, daß die Teilfolge s 2k (x) fast überall konvergiere.
B eweis. Die Notwendigkeit folgt aus einem Satze von A. Kolmogorow 4 ), der besagt, daß die Reihe
cc
VI, \ 2 S, -f- S 3 + . . . + S„
2j (<V - «2 *) » W0 °V — p
*=1
fast überall konvergiert.
Jetzt nehmen wir an, daß s^k(x) fast überall konvergiert.
Nach dem Satz von Kolmogorow konvergiert dann fast überall die Folge o^k(x). Nehmen wir die Differenz a. — o„k, wenn 2 a ' -1 < j < 2*. Es ist:
— <v = (oj — a¿ +1 ) + (öj- +1 — a i+a ) + ... + (o 3 k_ 1 — a„k ,
also
I Of — o 2 * I £ Vj 1 0; - o j+1 \^ + Vj + l\o j+1 - a i+2 1 -= + ...
1
+ V2 1
1 I k 1 ^2 * I
die Schwarzsehe Ungleichung liefert
Í 2*-l
2^—1 2^ — 1
<M S n ( a n -°n + l)" U J>
2^ — 1 + i
da aber
2 k -l
2 i < lg(2 i — 1).— lg 2 fc—1 < lg 2,
2 ^ *~ 1-f 1
CO 9
und die Reihe ¿ n(a n — o n + 1 )" fast überall konvergiert 5 ), so konvergiert
1
^0. Die Reihe ist also fast überall (C1)-summierbar.
°j - °" k
Beweis des Satzes II. Da Vlg 2 k , so ist die Folge s 9 *(¡c)
nach dem Satz I (Bemerkung) fast überall konvergent. Aus dem Satz III folgt die ( G 1)-Summierbarkeit der Orthogonalreihe fast überall.
Auf Grund dieses Beweises erhält man aus jeder Verschärfung des Satzes I eine entsprechende Verschärfung des Satzes II.
4 ) Fund. Math. 5 (1924), S. 96. — 6 ) Siehe Anm. 3 ).
(Eingegangen am 18. 5. 1925.)
, 7

Über das Gesetz (1er großen Zahlen.
Von
A. Khintchine in Moskau.
§1.
Problemstellung.
Man denke sich eine unbegrenzte Reihe von Versuchen angestellt, die sich alle auf das Eintreten eines Ereignisses E beziehen und voneinander unabhängig gedacht sein mögen. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von E im n- ten Versuch sei mit p n bezeichnet. E sei unter den n ersten Versuchen m(n)- mal eingetreten; man setze
n
ju(n) = m(n) — 2JPi-
i— 1
Der berühmte, von Poisson aufgestellte und von TchebychefE zuerst streng bewiesene Satz, den man gewöhnlich als das Gesetz der großen Zahlen bezeichnet, lautet: Sind die Zahlen e > 0 und r¡ > 0 beliebig vorgegeben, so kann man für ein genügend großes n die Relation
(1) \fz(n)\< en
mit einer Wahrscheinlichkeit >1 — r¡ behaupten.
Auch die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Relation (1) für alle n > N erfüllt wird, strebt bei unendlicher Zunahme von N gegen 1; diese wichtige Tatsache ist, wie mir scheint, nicht genügend hervorgehoben worden; sie bildet keine direkte Folgerung des Poissonschen Theorems und kann auch nicht durch seinen üblichen, von Tchebycheff herrührenden Beweis festgestellt werden; meines Wissens ist in der Literatur überhaupt kein allgemeiner Beweis dieses Satzes angeführt worden. Wichtige Spezialfälle hat Herr Borel in seinen bekannten Untersuchungen über die Verteilung der Ziffern in systematischen Entwicklungen der Zahlen 1 ) bewiesen; und
1 ) Vgl. z B. die Note V seiner Leçons sur la théorie des fonctions, 2. Auflage, 1914.

A. Khintchine. Gesetz der großen Zahlen.
153
die von ihm benutzte sinnreiche Methode reicht auch vollständig aus, um den Satz allgemein zu beweisen.
Ferner ist der Satz von anderen Autoren 3 ), wieder in Spezialfällen, noch weiter verschärft worden: die Ungleichung (1) wurde durch schärfere Ungleichungen ersetzt, und die Behauptung blieb erhalten.
Die Aufgabe, eine exakte obere Grenze für die Größenordnung der Funktion ¡u (n) aufzusuchen , habe ich vor kurzem für den Bernoullischen Fall (p 1 = p^ = ... = p) exakt formuliert und auch die Lösung derselben für diesen Fall gegeben 3 ). Vorliegende Abhandlung enthält die Lösung desselben Problems für eine viel umfassendere Klasse von Fällen.
Die nachfolgende Definition der exakten oberen Grenze für ¡ li (n) ist, soviel ich sehe, die natürlichste und, streng genommen, auch die einzig mögliche.
Definition. Als eine exakte obere Grenze der Abweichung /u (n) bezeichnen wir im folgenden eine positive Funktion %(w), wenn sie folgender Bedingung Genüge leistet.
Für jedes Paar positiver Zahlen ô und r¡ gibt es eine solche ganze positive Zahl n 0 — n 0 (ô, rj), daß mit einer Wahrscheinlichkeit >1 — r¡ zweierlei behauptet werden darf, nämlich:
1. Für alle n> n n ist < 1 + <5 ;
X( n )
2. Für wenigstens ein n> n 0 ist i> 1 — <5.
Dabei kann n 0 beliebig groß gewählt werden.
Man ersieht leicht, daß, wenn eine dieser Forderung genügende F unktion %(n) gefunden ist, auch jede Funktion der Form x («) + o(%{n)) eine Lösung des Problems liefert. Die Existenz einer Lösung % (n) kann natürlich nicht a priori behauptet werden.
In meinen bei :i ) zitierten Arbeiten habe ich gezeigt, daß im Bernoullischen Falle die Funktion
x(n) = F2p(l — p) n.lglg?i
die gesuchte Lösung liefert 4 ). Es lag die Vermutung nahe, daß man in einer Reihe allgemeinerer Fälle
(2) X (»)= 1/2 2^(1 — Pi) lg lg »
2 ) Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 1914, S. 421 ; Hardy und Littlewood, Some problems of diophantine approximation, Acta Mathematica 37 (1914), S. 185; Khintchine, Über dyadische Brüche, Math. Zeitschr. 18 (1923), S. 109.
3 ) Comptes Rendus 178(1924), S. 617—618; Fundamenta Mathematicae 6 (1924), S. 9—20.
4 ) Ich habe in jenen Arbeiten für die beiden Zahlen ô und i] einen einzigen Buchstaben s geschrieben, da mir die gegenseitige Unabhängigkeit dieser Zahlen

154
A. Khintchine.
setzen können wird. Das Ziel der vorliegenden Abhandlung ist, die Bestätigung dieser Vermutung für eine sehr umfassende Klasse von Fällen zu erbringen. Es gilt nämlich der
Satz. Die durch (2) definierte Funktion %{n) liefert eine exakte obere Grenze der Abweichung ,u(n), sobald alle Größen p¡ und 1 — p { oberhalb einer positiven Schranke a bleiben.
Dem Beweise dieser Behauptung sind die beiden folgenden Paragraphen gewidmet. Hier möchte ich noch bemerken, daß die Lösung
die unter den Voraussetzungen unseres Satzes mit der Lösung (2) asymptotisch zusammenfällt, aller Wahrscheinlichkeit nach für noch allgemeinere Fälle Geltung behält.
Im folgenden sollen L lt L a , ... absolute positive Konstanten bedeuten; L 1 (x,y, ...), L 2 (x,y,...) sollen positive Größen sein, die nur von x,y,... abhängen.
Es sei ip(n) eine positive Funktion des Argumentes«, und man setze
und die Voraussetzung des Satzes in § 1 sei dauernd erfüllt gedacht. Hilfssatz 1. Es ist für n>L 3 (a) und jedes ganze positive
außer Zweifel schien. Dieser Umstand hat Herrn Borel (vgl. seine Bemerkungen zu meiner Note) die Veranlassung gegeben, das von mir gelöste Problem als ein in gewissem Sinne willkürliches zu betrachten und nach der Funktion zu fragen, die in den Ausdruck für y_ (n) an Stelle von lg lg n tritt, wenn <5 und t] statt der Relation <5 = r¡ durch eine andere einfache Relation <5 = q> (tj) verbunden werden. Indem ich natürlich für dieses ärgerliche Mißverständnis mich allein verantwortlich fühle, muß ich hervorheben, daß die beiden Zahlen S und r¡ (also die beiden s in meiner früheren Bezeichnung) vollständig unabhängig voneinander oder auch irgendwie verbunden gedacht sein können, ohne daß dadurch der Wortlaut der Behauptung irgendwie geändert wird, so daß letztere eine in diesem Sinne vollständig allgemeine Geltung hat.
§2.
Aufstellung der Hilfssätze.
P(n, v) bedeute die Wahrscheinlichkeit der Relation
I/*(»)! >
(3)

Gesetz der großen Zahlen. 155
Beweis 5 ). Wir beginnen mit der Betrachtung des Ausdrucks
(4)
t=l
(Ii vi... w >
/t, r, ..
wo die Summation über das durch
0 <. /J, ^ V ^ co, fx-\-v-\-...-\-cü'=k
bestimmte Gebiet zu erstrecken ist und H fl , v „ die symmetrische Funktion
der Produkte p i q i bedeutet, deren allgemeines Glied durch
gegeben ist, wobei i 1 , ¿ 3 , .. ¿ s voneinander verschiedene Zahlen der Reihe 1,2, ..., n bedeuten.
Offenbar ist
¿{Piqj) ¿(PÍQÍ)'
i= 1 ' U=1 / H = 1
Daraus ergibt sich
n
H 2 (Pill) 11 S(Pi1i) v Z¡(Vi<l¡Y
/ li , y, .. oj ^ i— 1 i— 1 ¿= 1
/ n \ v í n
I j V í h) ( 2^ Vi 1 A [ 2^ Pí 2/
<
a ¿, '-n f ' a iv -W a 2o} -n'° M ^-i+"-i+ • • ■ +«-i ' Ist wenigstens eine der Zahlen /u, v, .. m größer als 1, so findet man daher
' R „-s*
f.t, V, CO a
C ~h~ •
Die Anzahl der Glieder rechts in (4) ist offenbar gleich der Anzahl der Zerlegungen der Zahl k in positive Summanden, wenn zwei Zerlegungen, die . sich nur in der Ordnung der Summanden unterscheiden, als identisch aufgefaßt werden. Diese Anzahl ist jedenfalls kleiner als 2 k , wie eine rohe Abschätzung leicht ergibt. Da ferner k\ eine obere Grenze für die rechts in (4) auftretenden Polynomialkoeffizienten ist, so erhält man
 ' <2*4! < í»*fíá = is ,"»♦"« fe»""
C n n \a- ej n Wegen der getroffenen Voraussetzung (3) ergibt das für n>L 1 (a) ( 5) i| ^ L. 2
rz I c !<í^-
5 ) Die Bausteine dieses Beweises können in einer von MarkofE ersonnenen Methode erblickt werden (vgl. sein Buch „Wahrscheinlichkeitsrechnung", 4. russische Auflage, 1924, insbes. S. 148—152). Ihre Verwendung mußte jedoch hier, dem gegenwärtigen Ziele entsprechend, wesentliche Modifikationen erfahren.

156 A. Khintchine.
Andererseits betrachten wir jetzt die mathematische Erwartung B der Größe
M«)} 2 *-
Bezeichnet man mit x¡ eine Größe, deren Wert gleich 1 oder 0 ist, je nachdem das Ereignis E beim ¿-ten Versuche eintritt oder nicht, so ist offenbar
B = U {( 2 (»< — Pi ) f * • Pi + (1 - x t )q t )>
XI i= 1 ¿=1
= 2j{ U Jß\ k)l X\ 8a 'i>> ** ¿TfoP« + (!-*<)?<) }•
X, y<x,ß, r ¿=i >
Dabei ist die äußere Summation über alle möglichen Wertsysteme der x { zu erstrecken, während im letzten Ausdruck das Gebiet der inneren Summation durch
0 <cc<ß u + ß + ... + l = 2k
festgelegt wird; S a ,ß bedeutet die symmetrische Funktion der Differenzen x¿ — p { , deren allgemeines Glied durch
(*«, - Pi>Y («<, - PhY ■ ■ • <«*, - Pis)'' gegeben ist, wobei voneinander verschiedene Zahlen der
Reihe 1, 2, ..., n bedeuten.
Indem man die Ordnung der Summation wechselt, erhält man
(6) B- £
a, ß, .. A ' r
WO
Ga, ß,.l = 2 { Sa, ß * #(»< Vi + (1 — Xi) q { )}
Xi »'= 1
die mathematische Erwartung der Funktion S a ,ß,..,,ii darstellt.
Unser Ziel ist zunächst, eine obere Abschätzung für B¡C zu gewinnen. Zu dem Ende gehen wir von der leicht beweisbaren Identität
(*2 ,2 2 — Hl,l, ...,i
aus. Wegen (5) erhalten wir für n~> L 1 (a)
®s, 2,.. 2 1 ~C jfcí
<ü
^ k# i:!'
lg n kl also für n> L 2 ( a )
®2,2 2 ^ 2
C Jfe! '
( 2 *0' ^2,2 2 (2t)!-2 „ , (k\*
2 2k C < 1 2k k\ 3 V e, '

Gesetz der großen Zahlen. 157
Betreffs der anderen Glieder der Summe (6) bemerken wir zunächst, daß ihre Anzahl ganz wie diejenige für (4) abgeschätzt werden kann und sich kleiner als 2 ai ergibt. Ist eine der Zahlen a, ß, .. A — 1, so verschwindet bekanntlich das betreffende G a ,ß • Wir haben demnach nur
noch diejenigen Glieder zu betrachten, in welchen wenigstens eine der Zahlen a, ß, .. 1 größer als 2 ist.
Offenbar ist allgemein
G ",ß .2 .(?«,+ % pï^PÙ K + ■ ■ ■ (Pi*il + %PD '
tj, lo, . . 1s
wo die Summation über alle möglichen voneinander verschiedenen Zahlen i x , ¿ 3 , ..., i s der Reihe 1, 2 , .n zu erstrecken ist. Daraus folgt
n
G a ,ß,< [ZVi^Pr 1 +2< a-1 )) (2Pi<li(Pt X +^ -1 )) (UP t 9i(P} 1 + 9¡ M).
»=1 —
und weiter
'/ , ' -H
t=l t=l
G , 2p i l ) Z Pili (Vi 1+ Vi .ZVi*i(Pi * + «< *)
^a,ß,^ i=l 1=1 1=1
C « ' ß n Í
(Zp,q,) 2 (.ZVili) 2 {ZV,<li?
i — 1 ¿ = 1 ¿=1
<
a~ 2k
a ß i '
- —1+ 1 + .. .4 1
2 2 2
n
ist wenigstens eine der Zahlen a,ß,...,X größer als 2, so ergibt sich hieraus
G a,ß ^ a~ 2k .
C n '
denn im Falle, wo nur eine von den Zahlen u,ß,...,l größer als 2 ist, muß sie wenigstens gleich 4 sein, da « —/ff —(— . .. — A = 2 h eine gerade Zahl ist.
Somit findet man für n> L 2 (a)
ß / 7, \fc
2 k C <
£3(7) +2 2 *^-(2 k)\
<4 7
4 1
n
f lr \ b ( T AjjlgÄ + Ä* fl + 2 lg J+lg&\
was wegen (3) für n>L s (a)

158 A. Khintchine.
zur Folge hat. Daraus ergibt sich
B B T ( k N k
< L.
v 2k 2*C(y(w))* 5 \eif> (n)/
Die linke Seite ist hier die mathematische Erwartung der Größe
n(n)\ 2k
Nun ist bekanntlich die mathematische Erwartung eines jeden positiven Ausdrucks in allen Fällen größer als die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der betreffende Ausdruck größer als 1 wird (die Anwendung dieser Tatsache bildet eine der Hauptideen der Methoden von Tchebycheff und
Borel). Folglich erhält man a fortiori für n>L 3 (a ) und k
P(n, v)<L a
8 Ve yj (n)/ ' womit Hilfssatz 1 bewiesen ist.
Hilfssatz 2. Für n > L a ( a ) und 1 ip(n) <1 P(n,v) < L,
Beweis. Die Anwendung von Hilfssatz 1 mit &=[y>(îi)] liefert P(n, V) < L 0 e-v(»)+i = L 7 e-cW,
w. z. b. w.
Hilfssatz 3. Für n~> L i {a) und yj (n) ¿sí
_ lg y
P(n, V) < L 1 e 1 8 1 8 v .
Beweis. Die Anwendung von Hilfssatz 1 mit & = liefert
r Ign 1 _ lg n
P(n,v)< L e e~ < L 7 e lBl ®",
woraus a fortiori
_ Igv
P(rc, v) < L 7 e lglgv folgt, denn für r > ?i ist offenbar P(n,J') = 0.
Hilfssatz 4. Piïr n>L. n (a) und ip(n)^> 1 ¿sí
_ 'S''
P(ra, v) < L 7 {e-v(«) + e tete'"}.
Beweis folgt unmittelbar aus den Hilfssätzen 2 und 3.
Hilfssatz 5. Für n>L e (a) und y (n) ¡> e i^ig
P(n, r) < L 0
eyj (n) lg Igw
lglgv 1

Gesetz der großen Zahlen. 159
Beweis. Die Anwendung von Hilfssatz 1 mit: Ic = liefert
lg n lg y x
/ îp « Y gign T ( ig» y glgv
{ n > ' ) < e \e i/i ( n ) lg lg nJ n Ve y (n) lg lg m /
da wieder für v>n P{n,v) = 0 ist.
Von hier an soll der Kürze halber für jedes ganze positive n dauernd
*00 = ]/ 2 (.^ *8*
gesetzt werden.
Hilfssatz 6. Bedeutet A{n) die Wahrscheinlichkeit der Relation
|/i(«)| > (1 + e)z(n) (e>0),
so ist für n> L.{a)
< (lgn) 1+L ' {e) '
Beweis folgt aus Hilfssatz 2 mit
yj(n) = ( 1 +e) 2 lglgw.
Hilfssatz 7. Bezeichnet man mit B(n t ,n 3 ) die Wahrscheinlichkeit der Relation
( H \ ^ _ i «(«g)
lj *K) zK)
so ¿sí für n 1 > L- (a, e), n t < n 2 < 2n x ,
> £ i
»jlglgn, lg «j
jusia, E) ~ -Lin
B (n 1 , w 2 ) < {e 8 "s - " 1 +e ~>gig»i}.
Beweis. In der Reihe der Versuche von (n 1 + l)-ten bis zum n„-ten möge das Ereignis E m (n l , n 2 )-mal eintreten. Setzt man
n,
¡ u(n 1 ,n.¿) = m(n 1 ,n„) — £
¿=»i+i
so ist offenbar
^(«a) = + / u(« 1 , n 3 ),
so daß statt (7) auch
r 1 \z(«i) Z(«s)/ *(»2)
> e
geschrieben werden kann. Daraus ersieht man, daß, wenn (7) erfüllt ist, notwendigerweise auch eine der beiden Relationen
(8) ! x { n i){ / -, 7— I > 4-
K r K iy Iz (wj y. (w,)J ! 2

160 und
(9)
A. Khintchine,
M(w t , n 2 ) 2 («a)
£
> ö
erfüllt sein muß. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Relationen seien mit bzw. _B 3 (7^, n 2 ) bezeichnet, so daß also
(10) B{n lt n 2 )^B 1 (n 15 w 3 ) + rc 3 )
ist.
Die Ungleichung (8) hat zur Folge
I // (r> \ I -> -i X (^) X (n 3 ) s_ 2a 2 n 1 ig lg ^ 1 ' 2 /(» 2 )-z(«i) ■' 2 x( n a) — X(ni)'
und da
xM - x( n i) < )'2 lg Ig7i7 {]/| Pi q { - j/ ¿ i; ViQiJ
n 2
2 Viii
i=n x +l
= y 2ig íg ^
]/ + |/ 2' jü; 2/
r i=i ' i=i
< 1 lg lg n,
y 2 a' 2
ist, so erhält man weiter
i i \ i 8 a 3 Í2w i y«^lglgM 1 T , \ ni n/—r~i
I M K ) I > ^ = ¿i («. «) 27fr- r % lg lg •
(n 2 — M t ) ^lglg n» — Wj
Die Anwendung von Hilfssatz 4 mit n = n 1 ,
v = L 1 (a,e) : ^ rr Jn 1 lg\gn 1 , y>(n)= U {a , O^lglg^ ^
»=i
ist für m 1 > L s (a, e ) gestattet und ergibt wegen n„ — n y < n 1
(11) B 1 (n 1 ,n i )<L.{e
Andererseits folgt aus (9) a fortiori
Jito, t)nilglg«j _£,lgn,-|
«2-»i _j_ e lglg»i>
I/*(«!,«a)|
die Anwendung von Hilfssatz 4 mit n = n 3 — n x ,
r2 (.2; Vih) IglgWi
v =9X( n i)> V(») =
S- ¿ = 1
ergibt für n 3 — n 1 > L i (a, e)
H v¡ Ii
i=n¡+l
h' n t) < L-{(.
-L s (a, e)
thlglg »1
fh-ny _L e -""lglgn^.
r lgni 1
(12) B 3 (n iy n 2 ) < iv 7
um diese Relation für alle n„ — ?ij gültig zu machen, brauchen wir nur

Gesetz der großen Zahlen. 161
n 1 >L e (a,e) zu wählen; denn dann wird für n = n. 2 — n x ^ L i (a, e) auch n < v, also B 2 (» 15 7i 2 ) === 0 sein.
Aus (10), (11) und (12) folgt, daß für n i >L 1 {a,e) und 0 <n„ — n 1 <n x
< T 1 «llglg»! r Ign, •,
) — L a (a, e) — ü/ 12 -— I
B{n 1 ,n,)<L íl \e + e lgl ^|
wird, womit Hilfssatz 7 bewiesen ist.
Hilfssatz 8. Für n x > L le ( a , s), ^ < n„ < 2n x und
(13) '^lg % <L 10 (a, fi )
ist
ig«)
Lu
B(n lt n 2 ) <L 15 {l i7 (a,e)^^lg
ig ig «i
Beweis. Wir behalten die Bezeichnung des voranstehenden Beweises bei.
Für die Abschätzung von B i (n 1 , n. 2 ) hatten wir
yj(n) >
was jetzt wegen (13) reichlich
rp(n)>L 9 (a, e) lglgn,,
/ \ Iff
y>M> i,
T v y e lg lg %
liefert.
Hilfssatz 5 ist also anwendbar und ergibt für n x > L xl (a, e)
lg«!
5i (n x , w 2 ) < L ü { L 13 (a, e) Ig ^ }
Andererseits hatten wir für die Abschätzung von B„ (n 1 , n„ ) n = n. 2 — n 1 und
v(») > L i 9 («> e) lglg» ls
was wegen (13) und n„ — n 1 < n L wieder reichlich
v(»)>7fer>
e lg lg " elglg^a-Wj) ergibt 6 ). Hilfssatz 5 ist also wieder anw endbar und liefert für n 1 > L 1S (a, e ;
ig«i
' B i {n 1 ,n i )<L ü ^L li {a,e) r ^^\gn^
ig]g«i
6 ) n„ — Mj dürfen wir auch hier größer als eine passend gewählte positive Konstante voraussetzen; denn für kleinere — n l verschwindet die Wahrscheinlichkeit B 2 (n l , m 2 ), um deren Abschätzung es sich hier ja allein handelt.
Mathematische Annalen. 96. 11

162 A. Khintchine.
Wegen (10) erhält man also für > L lñ {a, e), ?i 9 — n 1 < n 1 , und (13) vorausgesetzt,
, is n,
Jj
B(n 1 ,n< ¡ )< L lb { L lb (a, e ) l - lgm^
lglg n¡
womit Hilfssatz 8 bewiesen ist.
Hi Ifs s atz 9. Man setze wieder voraus, daß L ie (a, s)oi 1 <ä 2 <2k 1
ist und (13) erfüllt wird. C(n 1} 7i 9 ) bedeute die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für wenigstens ein b, n 1 < b n 3
n(b) /t(wj
z(b) z OJ
> e
r ig»i
ausfällt; dann ist
( V -n lglg,tl
G(n t , n 2 ) < (n 9 - nj L 15 | l i5 (o, e) lg»,}
Beweis. Folgt aus Hilfssatz 8 wegen
C(ro 1# n 9 ) <¡ J5(w i; 1) -f B(n lt % + 2) + ... + -B(«-i, « a )>
denn die Voraussetzungen von Hilfssatz 8 sind offenbar für jedes Paar (ii a , b) erfüllt.
Hilfssatz 10. Bezeichnet man mit D (n) die Wahrscheinlichkeit der Relation
n(n) > (1 — e)%(n),
so ist für n > L 17 ( a , e)
D (n) > L "
(lg«)
1 -£,(£)•
Beweis. Am schnellsten überzeugt man sich von der Richtigkeit der Behauptung, indem man einen Satz von Liapounoff 7 ) heranzieht, demzufolge die Wahrscheinlichkeit der Relation
/¿o) > * j l^ZViVi
für unendlich großes n dem Grenzwert
+ CO
~= f e~ z ~ dz 1 71 J
gleichmäßig in t zustrebt, wobei das Fehlerglied von der Form
ote
') Mérn. de l'Acad. de St. Pétersb, (8) 12, Nr. 5.

Gesetz der großen Zahlen. 163
ist. Für t = (1 — e)ílglgn ergibt sich daraus
f e-'dz-bii m
J 1 n
(1—e) v'lglgn +1 ,
1 f ^ £ R (a)lgn^ 1 _-{(i- £ )VigiB« + i}" L e (a)h n
>— e z dz =—> -7= e — j
] sr J \n l'sr |w
(l-£)\/lg Ig«
also für n > ¿ 17 (a, e)
£>(»)> ^ 17 , M ,
K ' (lg w) 1 " 2 ^ 1
w. z. b. w.
§3.
Beweis des Hauptsatzes.
1.
Die positiven Zahlen r¡ < 1 und ö < 1 seien beliebig gegeben. Man setze
<5
£= 4'
= [¿]+ 2 -
ferner setze man für jedes ganze positive m
(l + t) m ^l+—^ +1 (& = 0, 1, ..., m a ).
Dann ergibt erstens Hilfssatz 6 mit n = n m 0 für m>L ls (a,e)
Ferner wollen wir Hilfssatz 7 mit n\ = n m0 , n 2 = n m k — 1 ,2,..., m a anwenden; wegen
Vr\o<j( 1 + t )" i + 1 . T<1
sind seine Voraussetzungen für m > L„ 0 (a, e) erfüllt, und wir erhalten !
r(l+Tp+l . lgm + lglg(l+r) (
■L B {a,e) -L
S(n«. 0 ,n 1 n iS )<L u le f +ï) +1 + e
lg m + lglgd+r)
z + m -L
(1+T)"
Wegen t ^ "^ 8 ist für m > L 21 (a, e)
(l + r)'"(lgm + Iglg(l+i)) r mlg(l+r)
!
L a {a,e)
1 mlg(l + r)
< ¿11 U
(1+t)'" , e 12 lgm
a + 4
- LAa \ s) >a + 3, (c i + 3)(lgm + lglg(l + r))>(« + 2)lgm
T + (T+7)™
11*

164 A. Khintchine.
und folglich
( 1 -&lf lg(l-J-T)-
B (»„. o. n m _ k ) < L 1X {— + e lgm } .
Daraus folgt weiter
/ -j — -Zi-is lg (1 H- t) \
(II) ZB n mtk ) < L n {¿ + m« e lgm } =
Endlich wollen wir Hilfssatz 9 anwenden; dabei setzen wir n.—n ,
1 m ,fc '
n* = n m,ii +1> & = 0, 1, 2, .. m"— 1. Für m > ,L 23 (a, e) sind dann die Bedingungen
L ie (a, e) < n x < n 2 < 2 , wie man leicht sieht, erfüllt. Ferner ist
also für m > L 23 (a, e)
»a-«l <- a hl,
in
^2 / I 1 \ 1 /"-I i \
— 1 lg n, < ( m + 1 ) le ( 1 + t i
Ml S 1 Wi «(l + T )'» V ^ I )
m +1 , . , / m a \ -r , ,
~ ^ ^ \ (T+t)" 1 / < 10 e )'
denn « ist größer als 1.
Die Bedingung (13) ist also auch erfüllt; damit haben wir die Anwendbarkeit von Hilfssatz 9 festgestellt.
Somit erhalten wir für m > L ni (a, e)
C ( n m,TO n m,lc + l)
//-• i \m * i i\ r ( a > s ) {(1 + *)'" r + ni"} (m+ 1) lg (1 + t)\
< \ (1+Tj ^ + 1 /M »«(1+0" /
L m\g(l+z)
^ T (l+r) m (L 2b (a,s)m\ " 1 «»
- -"15 a ) a f
m I m )
T í»lB(l + r)íl-(a-l)i 1 ,)+Z 2(i (a,í) r ^- »» g 'S™
m"
Nun ist nach der Definition von a
1 - ( a — !) £ io < 0; daher wird für m > L„_ (a, e)
. L m
mlg(l+r)
-¿/iß ;
fc> n m,fc+i) < -fe (& = 0, l,2,...,m a —1),
m
und folglich
771 a — l
(III) 2 C(n „ » fc+1 ) < Zf 18 = to m .
i=0

Gesetz der großeil Zahlen.
105
Wir bemerken zunächst, daß die Ausdrücke u m , v m , w m allgemeine Glieder konvergenter Reihen in bezug auf m sind. Deshalb können wir die Zahl m i = m 1 (a, à , r¡) so groß wählen, daß erstens für die
Abschätzungen (I), (II) und (III) gültig werden und zweitens
U i U m + V m + W m) < I
m=m 1
(14) wird.
Dann ist erstens die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für wenigstens ein m ^ m i c ^ e Relation
I f- 1 I
^ Z(«m.o)
erfüllt wird, nicht größer als
>1
2 ¿(»„.o) < 2 «„•
m=m i w=mj
Zweitens ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für wenigstens ein Paar m, k ( m m 1 , 1 <1 k m a ) die Relation
^ o) ^ ( ^»i. k) ^ ^
besteht, nicht größer als
z(n m .o) xi n m,u)
2 2B(n m 0 , n m le ) < 2 v m .
m=m i £=l m=mj
Drittens ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für wenigstens ein n^>n m¡ , o, wenn m und k durch
(15) n mk <n<n mk + 1
bestimmt werden, die Relation
n(n)
(C)
besteht, nicht größer als
x(n) x(n m ,u)
> e
G» Til — 1 ce
2 2 C( n m ,lc> n m,lc +1)< 2, W m-
m—mx &=0 m=m i
Deswegen liefert uns die Ungleichung (14) folgendes: Mit einer Wahrscheinlichkeit > 1 — \ dürfen wir behaupten, daß für kein n n m¡t o,
u
wenn m und k durch (15) bestimmt werden, irgendeine der Ungleichungen (A), (B), (C) bestehen wird.

166
A. Khintchine.
Wir können demgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit > 1 — ~ be-
u
haupten, daß für alle n ^ n, Hi , 0
(16)
ist.
fi(n)
x(n)
H(n) fi(n m ,it) !
y.(n) %(»«•,*) 1
+
l l (ri m . fr) ( n m,o)
Z( n m,k) X( n m, o)
+
£ ( w m, o)
¿e + e + (l + e )<l + ó
2.
Es bedeute ^4 eine große, nur von a, ô und r¡ abhängende positive ganze Zalil, die später näher bestimmt werden soll. Wir wollen mit P die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Bestehen der Relationen
|KA*)
I z(¿*)
(17)
(18)
>1-2«,
xU z )
¿1 — 2e für i = 1,2, . ..,k — 1
bezeichnen; £ P,. ist dann genau die Wahrscheinlichkeit dafür, daß für
¡6=1
wenigsten ein k <£ t (17) erfüllt ist.
Wir betrachten die Versuche der Nummern
A t ~ 1 + 1 bis A k ;
das Ereignis E möge dabei
M=m{A l )-m{A le ~ i )
mal eintreten.
Die Wahrscheinlichkeit der Relation
(19)
A*
M- 2
Pi
+ 1
Va j¡ Vi
' i=A k ~ 1 + 1
>1
q l lglg(A k -A k - 1 )
ist nach Hilfssatz 10 für genügend großes A größer als
 Aj .
{lg(A i -4 i: " 1 )} 1 ~ I ' 2(£) '
Nun mögen (19) für einen bestimmten Wert von k und (18) für jedes i < k erfüllt sein; wir wollen zeigen, daß dann auch (17) notwendig erfüllt sein muß.
Zu dem Ende bemerken wir, daß
M —
a *
y Pi
ist.
i=A
k-1
/X (A ') — n (A ' )
+i

Gesetz der großen Zahlen.
167
Aus (19) folgt daher
t¿(A k )>v(A k - 1 ) + (l + e)]/ 2 2J p^lglgiA'-A^
' i=A k ~ 1 +1
I / 2 Vi Ii I A k = i a(^- 1 ) + ( l-e) / i -^^~ p^p iqi \glg{A k -A k ').
i—1
Nun ist
A k
Ä k-i
U Pili
2 Pili
i=A h ~ l + 1 i
»=i
A *
A X
2 Pi qi
E Vi h
1 = 1
i— 1
1 1
> a*A h ~ a°-A
Folglich wird
p(A k ) > [x{ A "- 1 ) + (1 - s)]/ 1 ]/
Andererseits folgt aus (18)
fl (A k ^)>-(L-2e) X (A k - 1 )
lg lg A k
k-l\
> — (1 — 2e) / Z (^)
> -(l_2£)]/^*(¿*). Demgemäß erhält man
^A")> X {A k )
Die Relation (17) folgt daraus a fortiori, wenn der Ausdruck in den geschweiften Klammern größer als 1 — 2e ist; und das wird, wie eine leichte Rechnung zeigt, tatsächlich für jedes k der Fall sein, sobald nur A genügend groß gewählt ist.
Es ist also (17) eine Folge von (18) und (19); folglich ist P k nicht kleiner als die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Bestehens von (18) und (19). Bezeichnet man mit n k die Wahrscheinlichkeit der Relation (19) und bemerkt, daß diejenige der Gesamtheit der Relationen (18) gleich
k- 1
1 - E Pi
i= 1

168
A. Khintchine. Gesetz der großen Zahlen.
ist und daß (18) und (19) die Ergebnisse zweier voneinander unabhängigen Versuchsreihen darstellen, so hat man folglich nach dem Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeiten
(20) 1-S 1 ^).
¿ = 1
Wegen
-r > L » -,
k " {lg (A k -
überzeugt man sich leicht, daß die Reihe
CO
'H"* k= 1
divergiert. Da nun die Reihe
ihrer Definition gemäß konvergent sein muß, so folgt aus (20)
lim (1 — 2/ Pi) - 0.
&-> co i— 1
Deshalb kann K so gewählt werden, daß
K
> 1 — - 1 t x 2
1= 1
wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit > 1 —- können wir dann behaupten,
daß für wenigstens ein k, 1 <LJc^K, die Relation (17) erfüllt wird. Tragen wir noch Sorge dafür, daß A > n m¡t o ist, und bemerken, daß 1 — 2 e > 1 — ô sein muß, so können wir, das letzterhaltene Resultat mit demjenigen des ersten Abschnitts dieses Paragraphen vereinigend, das Gesamtergebnis folgenderweise aussprechen.
Sind á und r¡ feste positive Zahlen, so läßt sich eine ganze positive und zwar beliebig große Zahl A derart finden, daß mit einer Wahrscheinlichkeit > 1 — r¡ zweierlei behauptet werden darf, nämlich
1. Es ist \ ¡ u(n)\ < (1 + à)%{n) für alle n^>A;
2. Es ist \/x{n)\ > (1 — ô)x(n) für ivenigstens ein n^> A .
Damit ist aber unser Satz bewiesen.
Moskau, den 24. 3. 1925.
(Eingegangen am 2. 6. 1925.)

Über die simultane Approximation von Irrationalzahlen.
Von
Ph. Furtwängler in Wien.
Die Theorie der Approximation einer einzelnen reellen Irrationalzahl ist durch den folgenden Doppelsatz zu einem gewissen Abschluß gekommen: Satz la. Ist cc eine beliebige reelle Irrationalität und k eine Konstante, die nicht kleiner als — ist, so hat die Ungleichung
T5
X
 a
y
< -4
y
stets unendlich viele Lösungen in (teilerfremden) ganzen rationalen Zahlen x, y.
Satz lb. Ist k eine positive Konstante, die kleiner als —= ist, so
gibt es stets reelle Irrationalitäten a von solcher Beschaffenheit, daß die Ungleichung
k
x
 a
y
nicht unendlich viele Lösungen in (teilerfremden) ganzen rationalen Zahlen x, y besitzt.
Für die simultane Approximation mehrerer rational unabhängiger Irrationalitäten ist ein abschließendes Resultat nicht bekannt. Untersuchungen, die in der Richtung des Satzes la liegen, lassen sich nach Methoden von Dirichlet und Minkowski durchführen; eine Erweiterung des Satzes lb ist von Herrn O.Perron 1 ) angegeben.
Im folgenden soll ein allgemeiner Satz über die gleichzeitige Approximation von n — 1 rational unabhängigen reellen Irrationalitäten bewiesen werden, von dem der Satz 1 b ein spezieller Fall ist und der wesentlich
1 ) Über Diophantische Approximationen, Math. Annalen 83 (1921), S. 77. Mathematische Annalen. 96. 12

170
Ph. Furtwängler.
schärfere Resultate liefert als die Entwicklungen des Herrn Perron, wie später noch näher ausgeführt wird. Der Satz lautet:
Satz 2. Ist k eine positive Konstante, die kleiner als
l
~T I D 1 2(n_1)
ist, wo D die absolut kleinste Diskriminante eines reellen Zahlkörpers n-ten Grades bedeutet, so gibt es stets n — 1 reelle rational unabhängige Irrationalitäten a 1 , a 2 , ..., cc n _ 1 von solcher Beschaffenheit, daß die n — 1 Ungleichungen
"'.< k — (* = 1, 2, .. re — 1)
X,
«,
1+ - ¡ X„ I n
nicht unendlich viele Lösungen in (teilerfremden ) ganzen Zahlen x x , x i , ..., x n besitzen.
Da 5 die kleinste Diskriminante eines reellen quadratischen Zahlkörpers ist, geht offenbar Satz 1 b aus Satz 2 für n = 2 hervor. Durch den Satz 2 scheint mir die Bedeutung der Konstanten —= in Satz lb vollständig aufgeklärt zu sein.
Die absolut kleinste Diskriminante eines (reellen) kubischen Körpers ist — 23. Es folgt daher speziell aus Satz 2 :
Satz 8. 1st k eine positive Konstante, diekleiner ist als (0,45663),
y 23
so gibt es stets zwei reelle rational unabhängige Irrationalitäten u 1 , c:„ von solcher Beschaffenheit, daß die Ungleichungen :
X
a i
1 z
<T fi — —
^ 3/5 ^9
<
nicht unendlich viele Lösungen in ganzen teilerfremden Zahlen x, y, z haben.
Aus den Untersuchungen des Herrn Perron ergibt sich ein dem Satz 3 analoger Satz nur für k < 0,04269.
Die geometrischen Methoden von Minkowski haben ergeben, daß bei der simultanen Approximation von zwei Irrationalitäten der „Näherungskoeffizient" k = 2 / 3 allgemein zulässig ist. Es wird dies Resultat erhalten, indem als „Eichkörper" bei der Approximation Oktaeder benutzt werden, die in bestimmter Weise zum Koordinatensystem orientiert sind. Beachtet man noch, was ebenfalls Minkowski festgestellt hat, daß gitter- förmig angeordnete kongruente Oktaeder höchstens 18 / 19 des Raumes ausfüllen können, so ergibt sich, daß k = f 8 / 19 (0,64889) allgemein als
Näherungskoeffizient zulässig ist. Ob er noch weiter auf hinabgedrückt

Simultane Approximation von Irrationalzahlen.
171
werden kann, wie man in 'Analogie mit Satz la vermuten würde, habe ich bisher nicht festgestellt. Die Approximationsverfahren, die man im Anschluß an die Ideen von Minkowski entwickeln kann, sind zwar geometrisch einfach und durchsichtig, führen aber analytisch zu ziemlich schwerfälligen Algorithmen. Ein so einfaches Verfahren, wie die gewöhnliche Kettenbruchentwicklung für eine einzelne Irrationalität, das geometrisch durchsichtig und formal einfach ist, fehlt noch im Falle von mehreren Irrationalitäten.
§1-
Es sei k ein reeller algebraischer Zahlkörper w-ten Grades mit der Diskriminante D und es sei co 2 , ..., co n eine Minimalbasis von Je. Die konjugierten Körper zu k sollen mit k", .. ., k m bezeichnet werden, entsprechend die konjugierten Zahlen zu einer Zahl co aus k mit co", ..., co (n) . Die adjungierte Determinante zu
co 1 coi'
co<¡ . .
CO -2 . .
■ m n //
• co n
sei
Q x
Q'í
Q, ..
Ü2 ..
■ °n
■ V'ñ
coj")
co^ .
co <n) «
Q.¡ n) ..
■ C l n n)
Da Qi eine Zahl aus k ist, würden mit ihr gleichzeitig die konjugierten Zahlen verschwinden, was zu D = 0 führen würde ; es ist daher Q i =4= 0
(¿ = 1,2,...,»). Die Quotienten ~ (¿ = 1, 2, — 1) sind reell,
denn sie sind die Lösungen des linearen Gleichungssystems:
co" y \ + °)2 V2 + • • • + On-iVn-i-h coj" = 0
co\ n) y, -f co'"»i/„ + ... + co<"> V , + co<»> = 0
1 "1 1 2 ^2 1 1 n— l^n—l ' n
und dies System geht bei Vertauschung von + i mit — i in sich über. Es sollen jetzt die Quotienten (¿ = 1, 2, ..., n — 1) simultan
71
approximiert werden. Es sei
(1)
Wir können dann setzen :
(2)
i El _ ® l I <
%n Qll
1 + -
(¿=1,2, ...,»-1).
El
Xn
ü¡_ On
1 +
1 '
| £ í!^1 (¿ = 1, 2, ..., » — 1).
12*

172 Ph. Furtwängler.
Aus den letzten Gleichungen folgt:
. i i ] D . k(E 1 Cú 1 -f- ... +f„_! C0 n _.)
(o 1 x 1 -j- co 3 Xq -j- <w n x n Q x n + t
(3)
Cüi X\ -j- CO-¿ X% ~j~ • • • ~j~ tjJn x n —
7 / " 1 . " \
k(e 1 œ 1 +'.- J re n _ 1 o> n _ 1 )
1
i n—1
CO< n) X 1 + C0Í n) X 9 -\- ... + co¿ n) x = 11 1 2 2 1 1 n n
fc ( e l <ö l ,) +-■■ + *»-!<»«-!)
1
I n- 1
Es muß daher gelten:
(4) I Norm (w^x^ + w 2 x 2 + ... + co n x n ) \
k'
= k n ~ 1
I TT ( W) 1 i tfl
~Q~ Ii ( £l<Wl + • • • +
Q »■ «
l =2
1+ —^-r
l*„ ! "- 1
wo k' eine Konstante bedeutet, die nach oben und unten geschränkt ist.
Sollen nun die Ungleichungen ( 1 ) unendlich viele Lösungen in ganzen (teilerfremden) Zahlen x 1 ,x 2 ,...,x n haben, so muß es unter diesen solche mit beliebig großem \x n \ geben. Es ergibt sich dann aus (4), da die linke Seite nicht kleiner als 1 sein kann:
n—l \ 1 I
(5) & ;>-
1 D ' ' Û (h *>l l) + • • • + CO^_ i )
1=2
Es ist jetzt zu untersuchen, wie man den Quotienten
(6) Q =
On
H(.e 1 co[ i) +... + e )
1 = 2
durch geeignete Wahl der Minimalbasis co 1 , co. 2 , ..co n , die noch freisteht, möglichst groß machen kann.
§2.
Es soll gezeigt werden, daß man durch geeignete Wahl der Minimalbasis den Quotienten Q größer als 1 — s machen kann, wenn e eine beliebig kleine positive Zahl bedeutet. Zu diesem Zweck wählen wir co 1 , o) a , ..., co n so, daß sowohl in der Determinante Q n wie auch in dem
Produkt JI{e co^ -f- • • • + «»-1 co n ( -i) der absolute Betrag eines Gliedes
i=2
(und zwar in beiden Fällen desselben Gliedes) die absoluten Beträge aller anderen Glieder beliebig stark übertrifft.

Simultane Approximation von Irrationalzahlen. 173
Es sei erstens k" reell. Wir wollen dann zeigen, daß man stets eine beliebige Basiszahl, etwa co 1 , durch x 1 = co 1 + tt 2 co 2 a>„ ( «¿ ganz
rational) ersetzen kann, so daß
(7) Kl >?|TI <) | (* = 3,4,
wo g eine beliebig große positive Zahl bedeutet. Wir lösen das Gleichungssystem :
(8)
wo g' = (g + 1)$ und
# = Max (I co2 I -}-. .. -)- I co^n I) (*' = 2, 3, ..n) ist. Das Gleichungssystem hat eine reelle Lösung. Setzt man dann
u i =[">]» s0 wirc ^
Kl >g'-& = g&, 1*^1 <# (. = 3,4,...,»)
und daher ; x" \ g \ x^ | (*" = 3,4,...,«).
Es seien zweitens k" und k'" konjugiert komplex. Setzt man, wenn co = Q + a i ist, £> = 9î(o)) und o = ^(fo), so läßt sich zeigen, daß man stets eine beliebige Basiszahl, etwa co t , durch x t = co 1 + u„ co„ + ... + u n co n so ersetzen kann, daß
CO 1
ltf (Ol
H - ^"2
+ Üo
ff 1
CO' 2 + •
ffff i
CO O + .
• "1" u n . + U, 1 co n
= 9 = 0
(n) C0 1
+ U 2
(n) i CO o -f- .
i — (n) • "T~ M n
= 0
«
(10)
(9) |9ÎK)|>0Ï3K)|, |3íK)|>^hi| (¿==4,5,
wo g eine beliebig große positive Zahl bedeutet. Wir lösen zu diesem Zweck die Gleichungen:
SR «) + üj î(œ 2 ") + ... + »«M «) = (g +1)0
SK«*") + Ü 2 3(coí') + . . . + Ü„Q(coñ') = 0
cof ~f" C oP -)-... -f- U n COn =0 (* = 4,5, ...,«)
wo d dieselbe Bedeutung wie oben hat. Die Gleichungen haben stets eine reelle Lösung. Setzt man dann u i = [ m ¿] , so ergibt sich wie unter 1., daß die Bedingungen (9) erfüllt sind.
In ganz analoger Weise kann man offenbar eine beliebige Basiszahl, etwa coj, durch x 1 — co 1 + u„ co 2 + ... + u n co n so ersetzen, daß die Ungleichungen :
(11) l3W)l>f|8t(*i')|. |SK)I>^I^I (* = 4,5,...,«) gelten, wo g wieder eine beliebig große positive Zahl ist.
Es ist zu beachten, daß in allen diesen Fällen immer nur eine einzelne Basiszahl geändert wird, während alle übrigen unverändert bleiben.

174
Ph. Furtwängler.
Es mögen nun die Körper k, k" , k {r) reell, ferner
7>+i> ¿.(r+2). . jXn—i) jjn)
A/ j ¡V j » • t y rv j ri/
konjugiert komplex sein. Man kann dann auf Grund der vorstehenden Entwicklungen die Minimalbasis co 1 , co^, ..., co n so wählen, daß in der Determinante
(12)
(O i
COÏ .
CO n —i
œ?
œ? .
COfi — 1
QM
f?' 1 ' •
■ &n-l
Ji) Ol
a' 1 ' .
. o si,
QÍ S) •
. o«
l
(«) Ol
0? .
J 8)
°n-1
der absolute Betrag eines Gliedes der Hauptdiagonale größer ist als das
g- fache des absoluten Betrages eines anderen Gliedes in der gleichen Spalte.
Dabei ist gesetzt:
(r+ai-l) _ (*) , . '« (r+2*) (i) • (4) / » = 1, 2, ..., 7l\ Mi = Qi +1 Oi , C0i = Qi —lOi L_ 1 0 , r-j-2s—n
\fC I , LJ , . . . J S J
und g bezeichnet eine beliebig große positive Zahl. Bezeichnet man das Produkt der Glieder der Hauptdiagonale in (12) mit P, so gilt:
(13) |ßJ=2 s |P|.(l + 0(i)).
Für das Produkt
JJ(fi] cof COn-x) = n
i=2
ergibt sich:
(14) i n i <¡7Z(¡ ! + ••• +
Ai) i '^n— 1 I
2 'IP -Il
+ 0(j
Aus den Beziehungen (13) und (14) folgt dann unsere Behauptung über den Quotienten Q. Damit ist aber Satz 2 vollständig bewiesen.
Für den vierten und die höheren Grade waren bisher die reellen Körper mit absolut kleinster Diskriminante nicht bekannt. Auf meine Veranlassung hat mein Schüler Herr J. Mayer die biquadratischen Körper untersucht und gefunden, daß der reelle biquadratische Körper mit absolut kleinster Diskriminante die Diskriminante — 275 hat. Er kann durch die Zahl
• 1
X =
■Ys -h2> 5
definiert werden, die der Gleichung
! x 4 + 2a; 3 — X — 1 = 0

Simultane Approximation von Irrationalzahlen.
175
genügt 2 ). Man erhält daher für n = 4 den
Satz 4. Ist k eine positive Konstante kleiner als 6 (0,392),
y 275
so gibt es stets drei reelle Irrationalitäten w { (¿ = 1,2,3) von solcher Beschaffenheit, daß die Ungleichungen
<r-V (¿ = 1,2,3)
x¡
 CO;
X, '
nicht unendlich viele Lösungen in (teilerfremden) ganzen Zahlen x lt z.,, x :i , x, haben.
Herr Perron (Satz 4) findet für k die Grenze 0,00383.
Da man in Satz 2 für D die Diskriminante eines beliebigen reellen Zahlkörpers w-ten Grades oder einer irreduziblen Gleichung w-ten Grades mit wenigstens einer reellen Wurzel nehmen kann, betrachten wir, um auch einen Satz über die Approximation einer beliebigen Anzahl von
71. —
Irrationalitäten zu erhalten, den Körper V 2. Der absolute Betrag seiner Diskriminante ist 2 n ~ l n n , und es kann daher, wenn man n— 1 Irrationalitäten gleichzeitig approximiert, der Näherungskoeffizient k allgemein nicht kleiner als ,
y 2w « 2(B_1)
und um so mehr als _ gemacht werden. Wir haben deshalb
2 I n
Satz 5. Es gibt stets n—\ reelle Irrationalitäten a l , « a , ..., a n _ 1 von solcher Art, daß die Ungleichungen
- (¿=l,2,...,rc—1)
x n i i+
|n| "- 1
nicht durch unendlich viele Systeme (teilerfremder) ganzer Zahlen x 1; x„,..., x n befriedigt werden können, wenn
k< 1
ist, und um so mehr, wenn k < —7= ist.
2 )n
/»/— \n-l
1 i V 2 — 1 ]
Herr Perron findet für k die Grenze 1 \—2—) ' n= 11 ist dies angenähert 1,5 -10 — 16 , während ^-~=. den Wert 0,15 hat.
3 ) Es ergiebt sich also das bemerkenswerte Resultat, daß der reelle biquadratische Körper mit absolut kleinster Diskriminante ein Relativkörper des reellen quadratischen Körpers mit kleinster Diskriminante ist.
(Eingegangen am 4. 11. 1925.)

Einfacher Beweis des Hilbertsclien Irreduzibilitätssatzes.
Von
Karl Dörge in Köln.
Der Hilbertsche Irreduzibilitätssatz besagt das Folgende:
F (x^, Xn , . . . , X m , ¿2 , . . . J t s )
sei ein im Bereich P der rationalen Zahlen irreduzibles Polynom von X], ..x m , t 1 , ..., t s mit ganzen rationalen Koeffizienten. Dann kann man für t 1 , ..., t 3 auf unendlich viele Arten solche ganze rationale Zahlen t°, .. ., ts wählen, daß F{x 1 , ..x m , t¡) als Polynom der x m P
irreduzibel ist. D. Hilbert hat den Satz im Jahre 1892 in Crelles Journal 110 bewiesen. Einen etwas einfacheren Beweis gab Mertens 1911 in den Wiener Akademieberichten. Erst Th. Skolem hat den Satz im Jahre 1921 in seiner Arbeit „Untersuchungen über die möglichen Verteilungen ganzzahliger Lösungen gewisser Gleichungen" für den Fall, daß F nur von einer Variablen x und einem Parameter t abhängt, verschärft, indem er folgendes zeigte: Die Folge aller ganzen rationalen positiven^ Zahlen t, für welche F{x, t) in P zerfällt, sei t t < i 2 < t a < ... . Ist dann A (S) die Anzahl derjenigen unter ihnen, welche unterhalb der reellen Zahl S liegen, so gilt
lim — í = 0.
S-voo Ä
Ich habe in meiner in den Math. Annalen 95, S. 84—97 erschienenen Note „Zum Hilbertschen Irreduzibilitätssatz" 2 ) die Skolemsche Methode verschärft und folgendes erhalten : Es gibt eine positive Zahl a zwischen 0 und 1, so daß statt der Skolemschen Relation die schärfere besteht
(I) lim — o .
V ' rrl-a
S~> CO O
1 ) Alles, was hier und im folgenden von den positiven Zahlen ausgesprochen wird, gilt analog für die negativen Zahlen.
2 ) Im folgenden benutze ich die Abkürzungen H.I. für Hilbertscher Irreduzibilitätssatz, Z. H. I. für „Zum Hilbertschen Irreduzibilitätssatz".

K. Dörge. Hilbertscher Irreduzibilitätssatz.
177
Entsprechendes ließ sich dort zeigen für den allgemeinen Fall, in dem es sich um Polynome der Form F{x 1 , ..x m , handelt, welche
also von beliebig vielen Variablen und beliebig vielen Parametern abhängen. In meiner Note „Über die Seltenheit der reduziblen Polynome und der Normalgleichungen" 3 ), die in den Math. Annalen 95, S. 247 — 256, erschienen ist, zeigte ich, daß man in wichtigen Spezialfällen des H. I. die Relation (I) sehr einfach aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgern kann. Erst als ich dies vortrug, wurde ich von Herrn Professor E. Schmidt darauf aufmerksam gemacht, daß man nicht nur die Spezialfälle auf diese Weise behandeln kann, sondern daß wohl ebenso einfach der allgemeine Irreduzibilitätssatz mit der Verschärfung (I) folgt, wenn man nicht den Mittelwertsatz, sondern eine von H. A. Schwarz herrührende Verallgemeinerung desselben benutzt. Damit ist ein sehr einfacher Beweis der Verschärfung (I) des Irreduzibilitätssatzes erhalten, welcher in folgendem dargestellt werden soll' 4 ). Der Beweis benutzt außer dem verallgemeinerten Mittelwertsatz nur die auch allen bisherigen Beweisen zugrunde liegende Reihenentwicklung der algebraischen Funktionen.
Erster Teil:
Polynome von einer Variablen und einem Parameter.
Sei also F(x, t) ein in P irreduzibles Polynom von x und t. Der Grad in x sei n. Sieht man nun immer von denjenigen, endlich vielen ganzen rationalen Werten t ab, für die x" aus F herausfällt, so genügt es für das Folgende, wie ich in Z. H. I. gezeigt habe, sich auf den Fall zu beschränken, daß in F(x, t ) — aufgefaßt als Polynom von x — der Koeffizient des höchsten Gliedes x n gleich 1 ist. Sei dies also der Fall. Die Folge sämtlicher ganzer rationaler positiver Werte t, für die F(x, t) als Funktion von x in P zerfällt, sei wieder t x < t 9 < t 8 < ... . Die Menge dieser Werte ist, wie in Z. H. I. gezeigt worden ist, enthalten in einer Menge, welche aufgefaßt werden kann als die Vereinigungsmenge endlich vieler Mengen, die man so erhält: Es existieren gewisse Funktionen (pi (t), cp 2 (t ),..., Diese Funktionen entstehen durch alle möglichen
Zerlegungen von F(x, t ) im Gebiet der Potenzreihen, genauer Laurentreihen, nach gebrochenen Potenzen von t. Jede von ihnen hat die Gestalt
 fc-i
= 4 —(— ... —|— c -f- d -j —... .  t*
3 ) Im folgenden abgekürzt als R. P.
4 ) Gleichzeitig ergibt sich hier nunmehr, daß es möglich ist, eine geeignete Zahl a , mit der die Ungleichung (I) besteht, allein mittels der Grade von F zu bestimmen.

178
K. Dörge.
Darin ist q eine ganze rationale positive, lc eine ganze rationale Zahl. a,b,... sind von t unabhängige reelle oder komplexe Konstanten. Die Anzahl N ist höchstens 2" -1 . Keine der Funktionen reduziert sich auf ein Polynom von t mit rationalen Koeffizienten. Jeder Funktion 9o v ordne man die Folge aller ganzen rationalen positiven Werte ¿i W < ¿i' ' < 4*° < ••• zu, für welche (p r (t^ v) ) eine ganze rationale Zahl wird. Die Folge der ganzen rationalen positiven Werte t, für welche F(x, t) in P zerfällt, ist dann enthalten in der Folge, welche durch Vereinigung der N Folgen
eine der N Funktionen <p r und — unter Änderung der Bezeichnung gegenüber dem Früheren — sei
die Folge der ganzen rationalen positiven Werte t, für die cp(t r ) eine ganze rationale Zahl ist. Diese Folge enthalte nicht nur endlich viele Elemente. Dann kann cp (t) nicht ein Polynom von t sein. Denn in diesem Falle müßte es rationale Koeffizienten enthalten. Dies ist aber nach Voraussetzung nicht der Fall. Ferner müssen — vgl. R. P., Beweis des ersten Hilfssatzes — sämtliche Koeffizienten a, b, ... reell sein; im entgegengesetzten Fall wäre nämlich <p(t) nur für endlich viele ganze rationale Werte t reell.
Nun verwenden wir folgenden Satz von H.A. Schwarz 5 ):
seien reelle Zahlen. Es sei f(t) eine reelle, in dem Intervall t v <.t < mindestens n mal differenzierbare und bei t v und t v+n stetige Funktion. Dann gibt es zwischen t v und t r+n eine Stelle x derart, daß die Gleichung besteht
t[ r) < <2 V) < ú v) < • • • entsteht.
Sei nunmehr
k k—1
<p(t) — at q -|- bt q + -- - + c + ^ t + -- -
ti
(H)
1 2 <C ¿o ^3 ^ * * *
ty <C ty + l <C. ... <C tv+n
= /■<">( r).
i K ... C _1 C
5 ) Ges. math. Werke 2, S. 236-237.

Hilbertscher Irreduzibilitätssatz.
179
Diesen Satz wenden wir auf die Funktion cp an, indem wir für t r , t v+ 1, t v+n aufeinanderfolgende Werte unserer Folge (II) setzen.
' i
n wählen wir so groß, daß qs (n) nur noch negative Potenzen von t' 1 enthält 6 ). Beachten wir dann, daß der Nenner links das DifEerenzenprodukt der t r , ..., t v+n ist, so schließen wir daraus wie in R. P., Hilfssatz 1 und 2: Es gibt eine positive Zahl « zwischen 0 und 1, so daß die Ungleichung besteht
(III) tv+n t V ~^> ty.
Daraus schließt man wiederum wie in R. P. : Bedeutet A(S) die Anzahl der t Werte aus (II) unterhalb S, so ist von einer gewissen Zahl S ab
(IV) ^(Ä)^konst. S l ~ a .
Für jede der N Folgen if < t¡ v> < .. . gilt also eine Formel (IV). Also gilt für die Folge, welche durch Vereinigung der N Folgen entsteht und welche alle t, für die F(x, t) in P zerfällt, enthält, ebenfalls eine Ungleichung der Gestalt (IV) 7 ).
Dazu hat man nur für cc die kleinste der N erhaltenen Zahlen a und für konst. die Summe der N erhaltenen, mit konst. bezeichneten Größen zu verstehen. Dabei ergibt sich hier nunmehr auch, daß es möglich ist, eine Zahl a, für die die Ungleichung (IV) besteht, bereits dann anzugeben, wenn man nur eine obere Schranke für die höchsten Exponenten der Reihen rp v kennt. Eine solche obere Schranke kann man bestimmen, wenn man nur die Grade von F kennt. Es ist also eine geeignete Zahl a allein durch die Grade von F bestimmbar.
Etwas schärfer kann man für die Folge der t, für die F(x, t ) in P zerfällt, aus (III) auch den folgenden Satz ableiten: Es gibt eine positive ganze rationale Zahl M und eine positive Zahl a, so daß von einem gewissen Index ab die Ungleichung besteht
(V) t v+M ~tr>ty.
Darin können geeignete Zahlen M und a allein durch die Grade von F bestimmt werden. Eine ganz grobe Abschätzung zeigt, daß man ein geeignetes Zahlenpaar cc, M auf folgende Weise erhält. Unter Auszeichnung von X habe F die Gestalt F(x, t) = a 0 (t)x n + a 1 (t) x n ~ 1 + ... + a n (<). Die Grade der a y in bezug auf t seien g r für v = 0, 1, ..., n. Unter M
6 ) Tatsächlich empfiehlt es sich, um einen möglichst günstigen Wert à zu erhalten, 2 p-j oder 2 J + 1 oder 2 + 2 mal zu differenzieren.
') Daraus folgt das Bestehen der Relation (I). Unser Satz ist also bewiesen.

180
K. Dörge.
verstehe man — dann
a =
so besteht mit diesem Paar a, M die Ungleichung (V). Diese ist jedoch im Falle M < 1 nichtssagend, weil dann a = 0 wird. Man kann auch in diesem Falle leicht ein geeignetes Paar a, M bestimmen.
Der allgemeine Fall, in dem es sich um Polynome von beliebig vielen Variablen und beliebig vielen Parametern handelt, läßt sich im wesentlichen auf den im ersten Teil behandelten Fall zurückführen. Wir stützen uns dabei auf einen von Kronecker herrührenden Satz, mittels dessen man die Frage, ob ein Polynom von mehreren Veränderlichen zerfällt, auf die Frage zurückführt, ob ein dem ursprünglichen zuzuordnendes Polynom einer Veränderlichen in der Weise zerfällt, daß in den Faktoren nur Exponenten auftreten, welche einer gewissen Bedingung unterliegen °). Die Zuordnung geschieht dabei auf folgende Weise: Das zu untersuchende Polynom sei F(x 1 , x 2 , .x m ). Sein Grad 10 ) sei h. Man setze d = h + 1.
Dann mache man die Substitution x fl = | , ¡u = 1, 2, ..tn. Dadurch geht F{x 1 , ..., x m ) in ein Polynom F(£) der einen Variablen £ über. Dann gilt der Satz: F(x i; ...,x m ) zerfällt in P als Polynom der x dann und nur dann in zwei Faktoren, wenn F(£) in P derart in zwei Faktoren zerfällt, daß diese nur Glieder mit — von E. Noether so genannten — induzierten Exponenten enthalten.
Wir betrachten nun zunächst Polynome, welche von beliebig vielen Variablen, aber nur von einem Parameter abhängen, welche also die Gestalt F(x lt ..., x m , t) haben. Dabei sei F wiederum als Polynom von x 1 ,...,t in P irreduzibel. Wir fragen nach den ganzen rationalen positiven Werten i°, für die es als Polynom von x 1 ,...,x m in P zerfällt. Wir machen dazu
8 ) Das gilt auch, wenn man bei der Bestimmung von M von dem in bezug auf x reziproken Polynom ausgeht, also g v mit g n _ v vertauscht, für v = 0, 1, ..., n. Das folgt daraus, daß ein Polynom dann und nur dann in P zerfällt, wenn das reziproke Polynom in P zerfällt.
°) Auf diese Bedingung für die Exponenten wurde hingewiesen von E. Noether: Ein algebraisches Kriterium für absolute Irreduzibilität, Math. Annalen 85.
10 ) Unter dem Grade von F verstehen wir die höchste der Exponentensummen der Potenzprodukte von F.
Zweiter Teil: Der allgemeine Fall.

Hilbertscher IrreduzibilitätsBatz.
181
die Substitution x u = £ d . Dabei geht F(x lt .x m , t) in ein Polynom F(£, t ) über. Von diesem wissen wir dann das Folgende: Aufgefaßt als Polynom von £ zerfällt es — bei variablem t — nicht derart in dem Körper, der durch Adjunktion der Variablen t zu P entsteht, in zwei Faktoren, daß diese nur induzierte Exponenten enthalten. Soll nun aber für die ganze rationale Zahl t das Polynom F{x ± , ..., x m , t) in P zerfallen, also F(i, t°) in P in zwei Faktoren zerfallen, die nur induzierte Exponenten enthalten, so muß für diesen Wert t° — wie man sich wiederum analog den Ausführungen von Z. H. I. leicht überlegt — entweder mindestens eine von gewissen Funktionen cp (t), welche die im ersten Teil angegebene Gestalt haben, einen rationalen — und wenn man, wie wir wieder annehmen, F($,t) durch die in Z. H. I. angegebene Transformation als Polynom von £ normiert hat — einen ganzen rationalen Wert annehmen oder mindestens eine von gewissen Funktionen cp (i) derselben Gestalt, welche aber nunmehr sich auch auf Polynome von t mit rationalen Koeffizienten reduzieren können, verschwinden. Das Letztere tritt nur für endlich viele ganze rationale Zahlen t ein. Daher ist wiederum nur die erste Bedingung wesentlich. Daher gilt, wie im ersten Teil, für die Folge der positiven ganzen rationalen Zahlen t°, für die F(x 1 , ..., x m , t°) in P zerfällt, wiederum die Ungleichung (I).
Haben wir es nun mit Polynomen F(x 1 , ..x m , t 1} ..t s ) zu tun, welche also auch von beliebig vielen Parametern abhängen, so gehen wir schrittweise vor. Wir fassen zunächst allein t s als Parameter auf, also x 1 , ..., i s _ x sämtlich als Variable. Dann denken wir uns hierin die ganzen rationalen Zahlen i s ° bestimmt, für die F(x 1 , ..., x m , t lt ..t s - 1 , t° ) in P irreduzibel ist. Für jede feste der so bestimmten Zahlen t¡ fassen wir dann t s _ 1 allein als Parameter auf und schreiten so fort, bis wir die Systeme ..., t s erhalten, für welche F{x 1 , ..., x m , t°, ..., t° ) in P irreduzibel ist. Dabei erhalten wir den folgenden Satz: Eine Menge von ganzen rationalen positiven Zahlen < < 9 < t 3 < ... heiße „ dicht in bezug auf die 'positive Zahl u ", wenn für sie die Ungleichung (I) nicht besteht, wenn also erfüllt ist:
(VI) Hm ^>0.
o cl — a
£->■00 O
Man habe nun eine in bezug auf die positive Zahl a dichte Menge von Zahlen t v Jede dieser Zahlen verbinde man mit Zahlen zu Systemen von je zwei Zahlen, und zwar soll jedes t 1 mit einer — für die verschiedenen t 1 nicht notwendig übereinstimmenden — in bezug auf a 2 dichten Menge von Zahlen t 2 verbunden werden. Jedes dieser Paare verbinde man mit einer — für die verschiedenen Paare nicht notwendig

182
K. Dörge. Hilbertscher Irreduzibilitätssatz.
übereinstimmenden — in bezug auf a s dichten Menge von Zahlen t 3 . Indem man so fortfährt, erhält man eine Menge von Systemen ganzer rationaler positiver Zahlen t 1 ,t. 2 , ..t s . Die Menge dieser Systeme werde „in bezug auf a 1 , u„, ...,a s dicht 1 ' genannt. Dann gilt der H. I. in der folgenden Form: F(x l , ..x m , t lt ..t a ) sei in P irreduzibel. Dann lassen sich allein mittels der Grade von F positive Zahlen u l , a s
derart bestimmen, daß in jeder in bezug auf a x , a s dichten Menge
von Systemen ganzer rationaler positiver Zahlen t 1 ,...,t s sich solche Systeme befinden, für die F als Polynom der x in P irreduzibel wird.
(Eingegangen am 10. 8. 1925.)
Berichtigung
zu dem Aufsatz von K. Dörge, „Über die Seltenheit der reduziblen Polynome und der Normalgleiehungen" in Math. Ann. 95, S. 247—256:
S. 255 Z. 4 v. u. statt n'<n lies m '< m .

Zur Niillstellentlieorie der Polynomideale.
Von
B. L. van der Waerden in Amsterdam.
Die exakte Begründung der Theorie der algebraischen Mannigfaltigkeiten in w-dimensionalen Räumen kann nur mit den Hilfsmitteln der Idealtheorie geschehen, weil schon die Definition einer algebraischen Mannigfaltigkeit unmittelbar auf Polynomideale führt. Eine Mannigfaltigkeit heißt ja algebraisch, wenn sie durch algebraische Gleichungen in den n Koordinaten bestimmt wird, und die linken Seiten aller Gleichungen, die aus diesen Gleichungen folgen, bilden ein Polynomideal (Def. § 1, 4).
Diese Begründung kann nun einfacher gestaltet werden als es bisher geschehen ist 1 ), nämlich ohne Hilfe der Eliminationstheorie, ausschließlich auf dem Boden der Körpertheorie 2 ) und der allgemeinen Idealtheorie in Bingbereichen 3 ). Das zu zeigen ist das erste Ziel dieser Arbeit 4 ). Die Eliminationstheorie hat in diesem Schema nur die Aufgabe, zu untersuchen, wie man (bei gegebener Idealbasis) in endlichvielen Schritten
x ) Kroneoker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. Journ. f. Math. 92 (1882), S. 1 — 122; J. König, Einleitung in die Theorie der algebraischen Größen (Leipzig 1903); F. S. Maoaulay, Modular Systems (Cambridge Tracts 19 (1916)) und die dort angegebene Literatur; K. Hentzelt, Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten (bearbeitet von E. Noether), Math. Ann. 88 (1922), S. 53 — 79; E. Noether, Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Math. Ann. 90 (1923), S. 229-261.
a ) E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journ. f. Math. 137 (1910), S. 167-309.
3 ) E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann. 83 (1921), S. 24 — 66.
4 ) Wie Frl. Noether mir mitteilte, hat sie in ihren Vorlesungen Winter 1923/24 und Sommer 1924 schon im wesentlichen mit den gleichen Methoden die Theorie aufgebaut. Einem Vorlesungsheft aus dieser Zeit verdanke ich eine Anzahl Verbesserungen der Darstellung. Auch schulde ich Fräulein Noether Dank für viele nützliche Ratschläge bei der Abfassung der vorliegenden Arbeit.

184
B. L. van der Waerden.
die Nullstellenmannigfaltigkeiten eines Ideals und die Basis der zugehörigen Primideale und Primärideale finden kann 5 ).
Das arithmetische Problem, dessen Diskussion die Lösung unserer geometrischen Probleme ergeben wird, lautet folgendermaßen. Sei P ein Körper, Q ein Erweiterungskörper, der durch die Adjunktion endlichvieler Elemente (unter denen sich überflüssige befinden dürfen, ja
sogar Größen aus P) erzeugt wird. Läßt sich der Körper ü durch algebraische Relationen zwischen den charakterisieren? Wir werden zu dem Zweck die Gesamtheit der Polynome f(x 1 , ...,x n ) mit Koeffizienten
aus P, für welche £„) = 0 ist, betrachten. Diese Gesamtheit ist,
wie sich leicht zeigt, ein Primideal (Def. § 1, 12) im Polynombereich, und die Struktur des Körpers Q ist durch das Primideal nach einer formalen Regel (§3,2) eindeutig bestimmt. Umgekehrt läßt sich zu jedem vom Einheitsideal verschiedenen Primideal mittels dieser formalen Regel ein Körper Q mit den oben angegebenen Eigenschaften bilden. Diese Reziprozität liefert die Eigenschaften der Primideale als einfache Folgen bekannter Körpereigenschaften (§3).
Diese arithmetischen Betrachtungen ergeben „geometrische" Tatsachen, wenn unter „Punkt" verstanden wird ein System von n Elementen aus dem Körper P, der dann als algebraisch-abgeschlossener Körper vorausgesetzt wird (etwa der Körper der komplexen Zahlen). Diejenigen Punkte, welche Nullstellen für alle Polynome des Primideals sind, bilden eine irreduzible algebraische Mannigfaltigkeit. Die Körperelemente f ls ...,f n , als algebraische Funktionen einer Anzahl unabhängiger Elemente aufgefaßt, ergeben eine „Parameterdarstellung" der Mannigfaltigkeit. Durch diese doppelte Erzeugungsweise ergeben sich ohne Schwierigkeit die (bekannten) Eigenschaften der irreduziblen Mannigfaltigkeiten (§4).
In § 5 wird der Zerlegungssatz der allgemeinen Idealtheorie herangezogen, mit dessen Hilfe auch die Nullstellen der Nichtprimideale der Untersuchung zugänglich werden. Es ergibt sich ohne weiteres die Zerlegung einer beliebigen algebraischen Mannigfaltigkeit in irreduzible; weiter der Dimensionsbegriff für beliebige Ideale und seine Eigenschaften, endlich der Hilbertsche Nullstellensatz und ein neuer Satz über Ideale von w-Di- mensionen.
Sodann (§6) gestatten die entwickelten Methoden einen neuen Beweis einer von K. Hentzelt 8 ) gefundenen w-dimensionalen Verallgemeinerung des M. Noetherschen „Fundamentalsatzes der Theorie der algebraischen
5 ) Grete Hermann, Die Frage der endlichvielen Schritte in der Theorie der
Polynomideale, Math. Ann. 95 (1926), S. 736.
°) K. Hentzelts Dissertation ist nicht gedruckt. Sein Beweis findet sich aber
bei Grete Hermann, a. a. 0.

Nullstellentheorie der Polynomideale.
185
Funktionen". Der Beweis ist bedeutend einfacher als der Hentzeltsche, dafür aber nicht konstruktiv im Sinne der endlichvielen Schritte.
Die größere Einfachheit und zugleich größere Allgemeinheit der vorliegenden, stark an E. Noether (Math. Ann. 90, s. o.) anlehnenden Theorie gegenüber den älteren Theorien konnte nur erreicht werden durch äußerste Arithmetisierung aller Begriffe und Operationen.
Ich konnte dabei anschließen an die Körpertheorie und an die allgemeine Idealtheorie, die in völlig arithmetisierter Gestalt schon vorliegen in den oben erwähnten Arbeiten von E. Steinitz und E. Noether (Math. Ann. 83), und deren Grundbegriffe und Sätze, soweit sie hier nötig sind, in den §§ 1, 2 zusammengestellt sind. Nur ein Hilfssatz aus der Körpertheorie (§ 2, 7), der von E. Noether in ihrer erwähnten Wintervorlesung gebracht wurde, ist noch nicht publiziert; mit wesentlichen Vereinfachungen wird hier der Noethersche Beweis wiedergegeben werden.
1. Ein Ring ist eine Menge von Elementen a, b, für welche eine reflexive, symmetrische und transitive Gleichheitsrelation definiert ist, ferner eine Addition, die eindeutig (im Sinne der Gleichheitsrelation), kommuta- tiv, assoziativ und eindeutig umkehrbar ist, und eine eindeutige, assoziative und gegenüber der Addition distributive Multiplikation. Es folgt, daß ein Element 0 existiert, so daß a + 0 = a; weiter folgt a-0 = 0; 0-ffl = 0. Der Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation es ist. Der Ring hat keine Nullteiler, wenn aus ab = 0 und a= j= 0 folgt 6 = 0.
Sind diese beiden Eigenschaften erfüllt für einen Ring R, der ein von Null verschiedenes Element enthält, und hat außerdem die Gleichung ax — b für a 4= 0 immer eine Lösung (und, da keine Nullteiler vorhanden sind, auch höchstens eine Lösung), so heißt der Ring ein Körper. Ein Körper enthält immer ein Einheitselement, das mit e bezeichnet werden soll, mit der Eigenschaft e-a = a.
2, Aus einem kommutativen Ring R bildet man einen Polynombereich oder Polynomring R\x 1 , ..x n ], indem man die Polynome
f(x 1 ,...,x n ) = 2a Vl Pn x?'... Xn" als Elemente einführt (wo über end-
lichviele verschiedene Indizeskombinationen summiert wird, und wo die
a Pl Pn Ringelemente sind), und für sie Addition und Multiplikation in
der üblichen Weise definiert. Zwei Polynome heißen gleich, wenn die gleichnamigen Koeffizienten gleich sind. Ist f(x 1 ,...,x n ) = )= 0, und hat der Koeffizientenring R unendlich viele Elemente und keine Nullteiler, so ist es immer möglich, den „ Unbestimmten" x 1 , —, x n spezielle Werte a 1 ,..., a n aus R zu geben, so daß f(a 1 ,...,a n )=^0.
Mathematische Annalen. 96. 13
§ 1-
Ringe und Ideale.

186
B. L. van der Waerden.
3. Aus einem kommutativen Ring R ohne Nullteiler bildet man den Quotientenkörper, indem man die Quotienten ~ (wo b 4= 0) rein formal als Elementenpaare definiert und dem Ring adjungiert. Gleichheit, Summe und Produkt werden definiert durch:
= -r, wenn ad = bc
a , c acl+b c
~b~T~d~ bdT~
= c, wenn a = bc
a c b d
a c bd
a , a+b c
b + C = —
a ac
b C b
Man zeigt leicht die Körpereigenschaften.
4. Ein Ideal in einem kommutativen Ring R ist «ine Untermenge von R derart, daß mit a und b immer a — b (und folglich auch 0,-6 und a + b), und mit a immer ra in der Untermenge enthalten sind, wo r ein beliebiges Ringelement ist. Aus einer beliebigen Untermenge von R wird ein Ideal erzeugt, nämlich die Gesamtheit der Elemente die entstehen, indem man die Elemente der Untermenge zunächst mit beliebigen Ringelementen multipliziert, sodann die Elemente selbst und ihre Vielfachen in allen möglichen Weisen addiert und subtrahiert. Hat ein Ideal ü endlichviele Erzeugende a 1 ,...,a r , so bilden diese eine Basis, und man schreibt a = (a x , ..., a r ).
5. Ist R insbesondere ein Polynombereich mit Koeffizienten aus einem Körper, so gilt der Hilbertsche Basissatz: Jedes Ideal hat eine Basis"').
6. Man nennt zwei Ringelemente a, b kongruent nach einem Ideal c, und schreibt:
a = b mod c
oder kurz
a = b{ c),
wenn die Differenz a — b dem Ideal angehört.
7. Sind die Glieder zweier Summen kongruent nach einem festen Ideal n, so sind die Summen es auch, und das gleiche gilt für Produkte. Weiter ist die Kongruenzrelation reflexiv, symmetrisch und transitiv. Faßt man also die Kongruenz als eine neue Gleichheitsdefinition in R auf, so bilden die Ringelemente gegenüber der neuen Gleichheitsdefinition wieder einen Ring, der der Restklassenring nach dem Ideal a (in Zeichen R\a) genannt wird.
') D. Hilbert, Über die Theorie der algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890), S. 473 — 534. Die beiden Beweise, die Hilbert gibt, der erste für den Fall, daß der Koeffizientenbereich ein Zahlkörper ist, der zweite für den Fall von ganzzahligen Koeffizienten, gelten allgemeiner, nämlich der erste für jeden Körper mit unendlich vielen Elementen, der zweite u. a. für jeden Körper als Koeffizientenbereich.

Nullstellentheorie der Polynomideale.
187
8. Ist 6ea 8 ), so ist b = 0 (a), und umgekehrt. Ist ein Ideal £> Untermenge von a, so schreibt man b = 0 (a), und nennt a einen Teiler von i), b ein Vielfaches von a.
9. Die Summe oder der größte gemeinsame Teiler ( a , b ) zweier Ideale a, b ist das Ideal aller Summen a + b, wo asa, bei). Ist a = (a 1 ,...,o s ), & = (&!, b s ), so ist (a, b) = (a 1 , a r , b 13 ..., b s ).
10. Das Produkt zweier Ideale ist das von allen Produkten ab, wo aea,beb, erzeugte Ideal. Die Multiplikation von Idealen ist kommutativ und assoziativ. Was eine Potenz eines Ideals ist, ist demnach klar. Ist a = (a i; ..., a r ), b = (6 1> ..., b s ), so ist ab = (a 1 \, a 1 b i , ..., a,.b s ).
11. Der mengentheoretische Durchschnitt [a, b] zweier Ideale wird auch ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ( K. G. V. ) genannt.
12. Ein Ideal p heißt prim, wenn es aus aö = 0(p) und a^O(p) folgt b = 0 (p). Ist p prim, so hat der Restklassenring R/p keine Nullteiler. Sein Quotientenkörper heißt der Restklassenkörper von p.
13. Ein Ideal q heißt primär, wenn aus aö = 0(q) und: keine Potenz von a ist = 0(q), folgt &=0(q). Zu jedem Primärideal q gehört ein Primideal p, nämlich die Gesamtheit aller Ringelemente, von denen eine Potenz in q vorkommt. Offenbar ist q = 0 (p). Ist a b = 0 (q) und a^O (jj), so folgt 6 = 0 (q). Hat insbesondere eine Basis, so gibt es eine kleinste Zahl q , der Exponent von q, so daß pe = 0 (q).
14. Ein Körper heißt von der Charakteristik p, wenn p die kleinste natürliche Zahl ist, für die pe = 0 8a ), wo e die Einheit ist, und von der Charakteristik Null, wenn eine solche Zahl nicht existiert. Im ersten Fall ist p eine Primzahl.
§2.
Einige Sätze aus der Körpertheorie.
1. Zwei Körper Q, Q' heißen isomorph, wenn eine eineindeutige Zuordnung ihrer Elemente existiert, so daß Summe oder Produkt in Q wieder in Summe oder Produkt in ü' übergehen. Die Zuordnung selbst heißt Isomorphismus. Ist Q'=Q, so hat man einen Automorphismus von Q vor sich.
2. Hat ein Körper Q einen Unterkörper P, so heißt Q eine Erweiterung von P. Die Erweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Element von _Q einer algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus P genügt; sonst transzendent. Die algebraische Gleichung läßt sich immer durch eine in P irreduzible ersetzen. Sind alle Elemente von Q rational durch
8 ) s heißt: ist Element von.
8a ) Das Symbol ps ist dabei wie üblich definiert durch die Rekursionsformeln
1 - £ = e ; (» -f 1 ) e = ne + e.
13*

188
B. L. van der Waerden.
cc 1 , ...,ß n mit Koeffizienten aus P ausdrückbar, so schreibt man fi= P(« 1S
3. Es ist möglich, eine algebraische Erweiterung P (a) eines Körpers P rein formal zu konstruieren, wenn die irreduzible Gleichung f(z)=0 gegeben ist, der das zu adjungierende Element a genügen soll. Der Körper P (ß) muß nämlich immer isomorph dem Restklassenring des Polynombereichs P [z] nach dem Ideal (f(z)) sein, und das genügt um ihn formal zu bestimmen. Bezeichnet man mit P[ß] den Ring aller Elemente von P(«), die sich als Polynome in a mit Koeffizienten aus P schreiben lassen, so folgt aus der genannten Isomorphie P[a] = P(a). Durch Induktion folgt, wenn P(ß, ß, .d) eine algebraische Erweiterung von P ist,
P [a, ß,.. ., <5] = P(a, ß, ..., d).
4. Man kann durch fortgesetzte algebraische Erweiterung eines beliebigen Körpers P immer zu einem algebraisch-abgeschlossenen Körper Q übergehen, d. h. zu einem solchen, in dem jedes Polynom f(z) einer Unbestimmten z in Linearfaktoren zerfällt"). Q ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
5. Zwei Elemente '«, ß einer algebraischen Erweiterung eines Körpers P heißen konjugiert in bezug auf P, wenn es einen Automorphismus des algebraisch-abgeschlossenen Umfassungskörpers gibt, der P elementweise invariant läßt, und a in ß überführt. Dazu ist hinreichend, daß es einen Isomorphismus der beiden Unterkörper P(«) und P(ß) gibt, der P elementweise invariant läßt, und a in ß überführt. Alle Wurzeln einer in P irreduziblen Gleichung f{z) = 0 sind konjugiert. Ist f(z) ein Polynom aus P[z], und sind a und ß konjugiert, so folgt aus f(a) = 0 auch f[ß) = 0.
6. Eine rein transzendente Erweiterung P(fj, ..., f„) eines Körpers P kommt zustande, indem man den Quotientenkörper des Polynomrings P [£i, ..., f„] bildet. Seine Elemente heißen rationale Funktionen von
, ..., f n . 10 ) Algebraische Funktionen sind die Elemente einer algebraischen Erweiterung ü von P(f 19 ..£ n ).
Daß man hier wirklich von (mehrdeutigen) Funktionen reden kann, deren Existenzgebiet eine Untermenge der Menge aller Systeme von n Elementen des algebraisch-abgeschlossenen Erweiterungskörpers r von P ist, ergibt die folgende Betrachtung, die wir sogleich für ein System von Funktionen r¡ l , ..., r¡ m anstellen.
°) Dieser Steinitzsche Satz leistet für die Algebra das gleiche wie der „Fundamentalsatz der Algebra", der nicht der Algebra, sondern der Analysis angehört. Der Beweis setzt den Zermeloschen Wohlordnungssatz voraus.
10 ) Allgemeiner kann man eine beliebige (endliche oder unendliche) Menge von Unbestimmten adjungieren, indem man aus dem Ring der Polynome in beliebig vielen dieser Unbestimmten den Quotientenkörper bildet.

Nullstellentheorie der Polynomideale.
180
Wir adjungieren sukzessive die Größen i) 1 , ..., r¡ m aus ü dem Körper P(| 1 , . Die jeweils irreduzible Gleichung für r¡ k mit Koeffizienten
aus P(f 1 , r¡i> Vic-i) laute:
(1) K(Vk) = e Vk" + « k,i + • • • + ßfc.ei = 0.
Die Koeffizienten a k i kann man schreiben als Quotienten von Polynomen in |j, ..| n , r¡ t , ..., a.î sogar kann man voraussetzen, daß die Nenner nur | n enthalten (3). Diejenigen Elementsysteme Ii, ..
aus F, für welche das Produkt sämtlicher Nennerpolynome von 0 verschieden ist, heißen reguläre Argumentwerte für das Funktionensystem r¡ 1 , ..., r¡ m . Da j T , als algebraisch-abgeschlossener Körper, unendlich viele Elemente enthält, so gibt es immer reguläre Argumentwerte (§ 1, 2). Jedes Elementsystem r¡í, .. r¡' m , das sich aus den Gleichungen (1) für reguläre Argumentwerte ergibt, heißt ein zugehöriges Funktionswertsystem. 7. Mit den Bezeichnungen der vorigen Nummer gilt der Satz: 1st f ein Polynom aus P[» 19 ..., x n , y 1 , ..., y m ], und ist f{£ i> •• '?!>•••) Vm ) = 0 , SO ist Vl> • • •> Vm) = 0
für alle regulären Argumentwerte Ii, ..., in und zugehörigen Funktionswerten i][, ..., und umgekehrt.
Beweis. Der erste Teil des Satzes ergibt sich durch vollständige Induktion, indem wir ihn als bewiesen annehmen für Polynome aus P [x 1} ...,x n , y 1 , ..., y k _ J, und beweisen für Polynome aus
P [a?i,..., x n , y 1 , ..., y lc ].
Für Polynome aus P [a: x , ...,x n ] ist der Satz trivial.
Es habe h k {rj k ) die Bedeutung (1). Dann ist die Voraussetzung
f (£i> Vi> = °
nach 3. äquivalent mit
f(Ç lt ...,è n , r¡ lt a) = 0 (h k (z)).
Diese Gleichung besagt, daß die Division der linken Seite durch h k (z) ohne Rest aufgeht. Nun sind die Koeffizienten von h k (z) Quotienten von Polynomen in t] lt .. ., r¡ k _ 1 , wo die Nenner nur
enthalten, und für alle regulären Argumentwerte Ii, ..., |« von Null verschieden sind. Außerdem ist der erste Koeffizient die Einheit e. Führt man die Division wirklich aus, so kommen im Nenner des Quotienten niemals andere Polynome vor als die, welche in h k (z) schon im Nenner standen. Also wird :
f{Í i,...,£„, r¡ z)-a k (z)h k (z) = 0,

190
ß. L. van der Waerden.
wo sowohl a k (z ) wie h k (z ) im Nenner nur solche Polynome q{^, ..| n ) haben, für die ...,!») +0 ist. Multipliziert man die Gleichung mit
dem Hauptnenner n (f 1} ..f n ) des zweiten Gliedes, so sind die Koeffizienten der Potenzen von z Polynome in £ x , ..£ n , rj 1 , ..rj k _ 1 . Da für diese nach Voraussetzung der Satz gilt, so darf man spezialisieren & = Ii [i = 1 , . n], r¡j = r¡'j [j = 1, ..., k — 1 ]. Dividiert man schließlich durch die von Null verschiedene Größe n(£í, . s0 kommt:
/•(fi, j ?Í, z) — aí(z)h,' : (z) = 0,
wo a A ' und h¡ c aus a k und h k durch die obige Spezialisierung entstanden sind.
Nun waren die Funktionswerte definiert durch die Gleichung hi ( vi) — 0, folglich ist
/"(&, • • -, f«, vi' ■ • Vk -1, Vk) = 0, q. e. d.
Um den zweiten Teil zu beweisen, nehmen wir an, es wäre /"(fi, ..., in, r¡[, .. r¡' m ) = 0 für alle regulären Argumentwertsysteme, und dennoch i) 1 ,..rj m ) =j= 0. Setzen wir dann
F.
» • • • > £n t Vi > • • • t Vitt )
so können wir £i, .... ç n als reguläres Argumentwertsystem der Funktionen i¡ 1 , ..., rj m , i) bestimmen. Diese Argumentwerte sind dann sicher für Vi> •••» Vm re gulär. Aus
f{£i» Oí -« = °
folgt nach dem ersten Teil des Satzes
/"(ÍÍ, > yl Vm )v'~ s = 0
entgegen der Voraussetzung f(&, .. ., £' n , v [, ..., j^) = 0.
8. Sei Q ein Erweiterungskörper von P. Eine Teilmenge U von Q heißt irreduzibel in bezug auf P, wenn eine Gleichung f(£ 1 ,...,Ç n ) = 0 zwischen endlichvielen Elementen von U mit Koeffizienten aus P nur dann bestehen kann, wenn das Polynom f identisch verschwindet. Die Elemente eines irreduziblen Systems sind also unabhängige transzendente (oder unabhängige Unbestimmte) in bezug auf P.
Zwei Teilmengen U, V von Q heißen äquivalent, wenn jedes Element von U algebraisch in bezug auf P (F), und jedes Element von F algebraisch in bezug auf P (?7) ist.
In jedem wohlgeordneten Erweiterungskörper Q eines Körpers P läßt sich ein dem Körper Q äquivalentes irreduzibles System konstruieren. Die Mächtigkeit dieses Systems ist von der gewählten Wohlordnung unabhängig, und heißt der Transzendenzgrad von Q in bezug auf P. Auch in jedem Teilsystem F gibt es ein zu F äquivalentes irreduzibles System, dessèn Mächtigkeit der Transzendenzgrad von F in bezug auf P heißt.

Nullstellentheorie der Polynomideale.
191
Ist der Transzendenzgrad von Q in bezug auf P endlich und gleich n, so sind alle Elemente von Q algebraische Funktionen von endlich vielen Unbestimmten f ls ...,£ n . Ist er Null, so ist Q algebraisch über P.
§3.
Der Nullstellenkörper eines Primideals 10 a ).
1. Ist Q — P (^, ..., !„) ein Erweiterungskörper eines Körpers P, so bilden die Polynome f aus R = P [x 1} ..x n ], für die f(£ x , •••,£„) = 0, ein Primideal in R.
Beweis. Aus / , (| 1 ,= 0 undgr(|,, .fj = 0 folgt f(^,
- f(fi»
Aus f0 folgt f(| 11 ... ) ij ? (| 1 ,... 1 | n ) = 0.
Also bilden die betrachteten Polynome ein Ideal.
Aus f (| 15 ..g(£ lt ..| n ) = 0 und g (^, ..f B ) 4= 0 folgt /"(fj, ..f n ) = 0, da ein Körper keine Nullteiler hat.
Also ist das Ideal prim.
Beispiel. Seien | 15 .£ n lineare Funktionen einer Unbestimmten X mit Koeffizienten aus dem Körper P der komplexen Zahlen:
(1) |< = «, + /y.
Dann besteht das gemeinte Primideal aus allen Polynomen /'(^, .. x n ), so daß f(a 1 + ß 1 X, ..cc n + ß n X) identisch in 1 verschwindet, oder (geometrisch ausgedrückt) aus allen Polynomen, die verschwinden in allen Punkten der Geraden, welche durch die Parameterdarstellung (1) im n-di- mensionalen Raum bestimmt wird. Dieses Beispiel möge zur Veranschaulichung aller Sätze dieses und des folgenden Paragraphen dienen.
2. Bedeutet p das unter 1. konstruierte Primideal, so ist Q dem Restklassenkörper II von p (§1, 12) isomorph, und zwar so, daß den Elementen , ..., £ n die Elemente x x , ..x n entsprechen.
Beweis. Sei Q' der Ring derjenigen Elemente von fi, die als Polynome in ,..., | n geschrieben werden können. Q ist, wie man leicht sieht, Quotientenkörper von ß'. Wir ordnen jedem Element !„)
von Q ' das Element f(x x , ...,x n ) des Restklassenrings Rjp zu. Da aus f{£ !>•••> O - •»£„) = o folgt f(x t , ...,x n ) — g{x x ,..., xj=0 (p)
oder f(x x , ..., x n ) = g(x x , ..x n )(p) und umgekehrt, so ist die Zuordnung eineindeutig. Daß Summe und Produkt in Summe und Produkt übergehen, ist klar. Also sind die Ringe Q R/p isomorph, Dann müssen auch die Quotientenkörper Q und II isomorph sein.
i°a) Ygi zu diesem Paragraphen E. Noether, a. a. 0. (Math. Ann. 90).

192
B. L. van der Waerden.
3. Zu jedem von R verschiedenen Primideal p in R gibt es einen Körper Q = P(| 1? ..| n ), so daß p besteht aus allen Polynomen f aus R, für die f(Ç lt £j = 0.
Beweis. Den Polynomen aus R ordnen wir Elemente einer neuen Menge R' zu, die den Koeffizientenkörper P umfaßt, wobei zweien nach p kongruenten Polynomen das gleiche Element entsprechen soll, zweien inkongruenten aber verschiedene Elemente, und wobei die Elemente von P sich selbst entsprechen. Das ist immer möglich, denn zwei Elemente von P sind wegen p =4= R dann und nur dann kongruent nach p, wenn sie gleich sind. Die den Elementen x 1 ,...,x n entsprechenden Elemente nennen wir f 15 ..., | n .
Die Menge R' ist auf den Restklassenring von R nach p eindeutig abgebildet. Definieren wir in R' also eine Addition und eine Multiplikation, die der Addition bzw. Multiplikation im Restklassenring entsprechen, so ist R' dem Restklassenring isomorph, hat also keine Nullteiler, und gestattet die Bildung eines Quotientenkörpers Q. In Q ist f„) = 0 dann und nur dann, wenn f(x 1 , ..., x n ) = 0 (p), q. e. d.
4. Der nach 3 für jedes von R verschiedene Primideal p konstruierbare, nach 1 auch nur für Primideale existierende, nach 2 bis auf Iso- morphie eindeutig bestimmte Körper Q = P (^, ..£ n ), dessen Erzeugende Í¡ die Eigenschaft haben, daß f(£ lt .. ., !„) = 0 dann und nur dann, wenn /■=0(p), heißt Nullstellenkörper von p; das Elementsystem {f 15
heißt allgemeine Nullstelle von p. Unter Nullstelle schlechthin eines Ideals m verstehen wir jedes Elementsystem {r¡ 1 , .. r¡ n } eines Erweiterungskörpers von P, so daß /"(»7i> •• •>*?„) = 0, wenn f=0 (p). Jede nicht-allgemeine Nullstelle eines Primideals heißt speziell 11 ).
5. Der Transzendenzgrad (§ 2, 8) des Nullstellenkörpers Q in bezug auf P heißt die Dimensionszahl des Primideals p.
6. Sind p, p' Primideale der Dimensionszahlen ¡u, //, und ist p' — 0 (p), so ist ^ u, und das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn P' = P-
Beweis. Seien Q' = P (^, ..., £ n ) und Q' = P (£,..Nullstellenkörper von p bzw. p'. Ist f ein Polynom aus R , so folgt aus f= 0 (p') auch /■= 0 (p), m. a. W. aus f (li,..., |¿)= 0 folgt f(^,.f B )= 0.
Sei nun, evtl. nach Umnennung der Indizes, £ lf ..^ ein mit Q äqui valentes irreduzibles System (§ 2, 8). Dann muß auch fi, ..., ein irreduzibles System in Q' sein, denn jede algebraische Relation zwischen
11 ) Dieser Sprachgebrauch deckt sich, wie wir im § 4 sehen werden, mit der in der Geometrie üblichen Redeweise von allgemeinen und speziellen Punkten einer algebraischen Mannigfaltigkeit.

Nullstellentheorie der Polynomitleale.
193
Ij, ..., l'j würde die gleiche Relation zwischen Ii, ..£ f , nach sich ziehen. Daraus folgt die erste Behauptung: Ist aber /.i' = [i, so ist Í2'
algebraisch über P (fi, ..Wir behaupten: aus f(£ lt .. f n ) = 0 folgt Çn) = 0. Wäre nämlich f(%[, ..., £„') 4= 0, so könnten wir
nach §2,3 das Element — r - < — in der folgenden speziellen Form
f (fl, • • -, ?»)
schreiben :
« g (£Í, • • £»)
Daraus folgt: und weiter:
..., = gf(| 15 !„).
Da das Polynom h nicht identisch verschwinden kann (es stand vorhin im Nenner!) und da | 1; f,, ein irreduzibles System bilden, so ist die linke Seite dieser Gleichung +0, also muß f(i lt • • -, l„) =H 0, entgegen der Voraussetzung. Also in der Tat: aus folgt
f(Ç — Oder: aus f=0 (p) folgt f = 0 (p'). Das heißt p = 0 (p'),
mithin p = p'.
7. 1st ein Ideal p' der Dimensionszahl /i' gegeben, so hat jede Nullstelle einen Transzendenzgrad ^ fi','und wenn der Transzendenzgrad genau fi' ist, so ist die Nullstelle allgemein.
Beweis. Jede Nullstelle von p' bestimmt nach 1 ein Ideal p; wenden wir auf p und p' den obigen Satz (6) an, so folgt die Behauptung unmittelbar.
Folge. Ist p' ein nulldimensionales Primideal, so ist jede Nullstelle algebraisch und allgemein.
8. Jedes ¡i-dimensionale Primideal hat einen (ju — 1 )- dimensionalen Primteiler.
Beweis. Sei p das gegebene Ideal, Q = P (| 15 ..., f n ) sein Nullstellenkörper, £ lt ...,£ /t ein zu Û äquivalentes irreduzibles System, also ü algebraisch über P(| 1; ...,£ it ).
sind als algebraische Funktionen von aufzufassen, wenn der Körper P(£ 1; ..., als Grundkörper angenommen wird. Also
gibt es in einem algebraischen Erweiterungskörper P von P (^, .. ¿>-i) (mindestens) einen regulären Argumentwert |, t ; ein System zugehöriger Funktionswerte sei |' l+1 ,..., Das Elementsystem f u -i, f /t ,..., f n }
von r hat in bezug auf P den Transzendenzgrad ¡ li — 1; das aus ihm nach 1 konstruierbare Primideal p x hat also die Dimensionszahl ju — 1. Aus f=0 (p) folgt f (£ lf ...,| n ) = 0, also(§l,7):/'(| 1 ,...,| iU _i,^,..., I«) = 0, also f=0 (p x ). Mithin ist p = 0(pj). Damit ist der Satz bewiesen.

194
B. L. van der Waerden.
In Verbindung mit 6 folgt: Die Dimensionszahl eines Primideals p ist zwei weniger als die maximale Gliederzahl einer von p ausgehenden Primteilerkette
13» Pi, •••,&<> R- 12 )
9. Sei p ein Primideal der Dimensionszahl ¡i, und seien die Unbestimmten x 1} ■■■,x n so numeriert, daß im Nullstellenkörper
die Größen , ..., ein irreduzibles System bilden. Sei Q ein algebraisch- abgeschlossener Erweiterungskörper von P (£ 1( ..£ n ).
Dann bilden die mit {fx »•••»£„} in bezug auf P (£ i; .. i fl ) konjugierten Elementsysteme {^, ..| /t , i ß+1 , ..., £„} genau diejenigen Nullstellen von p in Q, deren erste fi Bestimmungszahlen die Werte i 1} i u haben.
Beweis. Daß die Elementsysteme Nullstellen bilden, ist klar, denn aus /•(£ in) = 0 folgt f(i 1 ,...,i fi ,i' u+1 ,...,in) = 0, wenn f ein Polynom mit Koeffizienten aus P ist (§ 2, 5). Andererseits aber hat jede Nullstelle ... i ßt ... r¡ n } in Q einen Transzendenzgrad ju, ist also allgemeine Nullstelle (7); also gibt es immer einen Isomorphismus von P(f a ...£„) und P (f x . .. £ fl , r¡ M+1 ... r¡ n ), der P (fj... i¿) elementweise invariant läßt, und i ll+1 ...i n in r¡ fl+í ...r¡ n überführt (2), woraus die Konjugiertheit von r¡ fl+l ...r¡ n mit |^ +1 ... f„ folgt (§2,5).
10. Folge: Ist p ein Ideal der Dimensionszahl 0, so sind alle (endlichvielen) Nullstellen im algebraisch-abgeschlossenen Erweiterungskörper Q von P konjugiert in bezug auf P . Ist insbesondere P algebraischabgeschlossen, so gibt es demnach nur eine Nullstelle {^. ••!„}, wo die i i Elemente von P sind; das Ideal p besteht in diesem Falle aus allen Polynomen, die an dieser Stelle verschwinden, hat mithin die Basis:
te ,x n -i n ).
11. Zum Schlüsse sei bemerkt, daß ein Teil der Begriffe und Sätze dieses Paragraphen ihre Geltung beibehalten für Primideale in einem beliebigen kommutativen Ring R, der einen Körper P umfaßt, und der aus P durch Ringadjunktion von endlichvielen Elementen x 1 ,...,x n entsteht, wobei aber diese Elemente noch durch Gleichungen verknüpft sein können. Alle Elemente des Rings sind dann als Polynome in x x , ..., x n zu schreiben, aber nicht eindeutig, und damit versagt die Konstruktion 1. Die umgekehrte Konstruktion 3, die jedem Primideal einen Nullstellenkörper (dem Restklassenkörper isomorph) zuordnete, bleibt aber möglich, und damit wird der Dimensionsbegriff definierbar als Transzendenzgrad des
12 ) Für den Fall, daß P unendlich viele Elemente besitzt, ist dieser Satz von E. Noether bewiesen worden (Math. Ann. 90, S. 250).

Nullstellentheorie der Polynomideale.
195
Nullstellenkörpers. Es gilt weiter Satz 6 samt dessen Beweis 12 "). Nimmt man noch allgemeiner an, daß der kommutative Ring R durch Ringadjunktion einer beliebigen Menge zu P entsteht, so wird die Dimensionszahl eines Primideals eine Mächtigkeit. Die erste Hälfte von Satz 6 bleibt samt ihrem Beweis uneingeschränkt bestehen, die zweite Hälfte aber gilt nur für Ideale endlicher Dimensionszahl.
§4.
Die Mannigfaltigkeit eines Primideals.
1. Unter dem (offenen, oder cartesischen) Raum C n (P) soll verstanden werden die Gesamtheit der geordneten Systeme von n Elementen ^, ..., f n eines algebraisch-abgeschlossenen Körpers P 13 ). Die Elemente des Raumes heißen Punkte, ihre Bestimmungszahlen Koordinaten.
2. Es genügt nun aber für die algebraische Geometrie nicht, sich auf die Betrachtung der Punkte in diesem Sinne zu beschränken, sondern es werden immer noch „unbestimmte Punkte" betrachtet, d. h. Punkte, deren Koordinaten entweder unabhängige Unbestimmte sind, oder doch algebraische Funktionen von Parametern, d. h. Elemente eines transzendenten Erweiterungskörpers Û von P. Ein Elementsystem {l^, •••,£„} eines solchen Körpers Q (oder ein Punkt des Raumes C n ( Ü )) soll p-fach unbestimmter Punkt in C„(P) heißen, wenn es den Transzendenzgrad p in bezug auf P hat, d. h. wenn der Punkt von p unabhängigen Parametern, aber nicht von weniger, algebraisch abhängt. Die in § 3 betrachteten „Nullstellen vom Transzendenzgrad p" waren solche p-fach unbestimmte Punkte.
3. Eine algebraische Mannigfaltigkeit M in C M (P) ist die Menge aller Nullstellen in O n (P) eines Ideals m im Polynombereich P [x t , .... x n ], vorausgesetzt, daß diese Menge nicht leer ist.
Verschiedene Ideale können die gleiche Mannigfaltigkeit definieren. Beispiel: Die drei Ideale p = (a;, y ); q = (a; 2 , y), x — (x 2 , xy, y", xz, yz) in P [x,y,z] definieren alle drei die Gerade £ = = 0 in C 3 (P). Bei den Polynomen von q verschwindet in den Punkten dieser Geraden nicht nur das Polynom selbst, sondern auch die Ableitung nach x\ bei denen
12tt ) Zusatz bei der Korrektur. Es gibt Ringe dieser Art, in denen Satz 8 nicht gilt. Also läßt sich die Dimensionszahl eines Primideals nicht allgemein durch Primteilerketten charakterisieren.
la ) Diese Definition hält sich an die in der algebraischen Geometrie vorwaltende Richtung, die zum Raum immer die komplexen Punkte hinzunimmt. Unsere Défini tion umfaßt aber noch ganz andere Räume als den der gewöhnlichen Geometrie, z. ß. solche, in denen der vierte harmonische Punkt immer mit dem dritten zusammenfällt. Man erhält einen solchen Raum nämlich, indem man für P einen solchen Körper nimmt, in dem e + £ = 0 ist (Körper von der Charakteristik 2).

196
B. L. van der Waerden.
von r verschwinden in einem Punkt der Geraden, nämlich im Punkt {0,0,0}, alle Ableitungen.
4. Ohne weiteres klar sind die folgenden beiden Sätze:
Die Mannigfaltigkeit eines K.G.V. von Idealen [tn is ..., m,.] ist die Vereinigungsmenge der Mannigfaltigkeiten der Komponenten.
Die Mannigfaltigkeit einer Idealsumme (rrtj, ..., nt r ) ist der Durchschnitt der Mannigfaltigkeiten der Summanden.
5. Definition. Ein Polynom f enthält eine Mannigfaltigkeit M, wenn f verschwindet in allen Punkten von M.
6. Sei nun eine Mannigfaltigkeit M gegeben durch ein Ideal m. In der Gesamtheit der Ideale, welche die gleiche Mannigfaltigkeit definieren (s. obiges Beispiel), ist ein Ideal ausgezeichnet, nämlich die Gesamtheit aller Polynome, welche die Mannigfaltigkeit enthalten. Daß diese Gesamtheit ein Ideal ist, ist klar; daß sie in allen Punkten von M, und nur in diesen, Nullstellen hat, ist ebenfalls klar. Wir wollen dieses Ideal das zu M gehörige Ideal nennen.
7. Eine Mannigfaltigkeit heißt irreduzibel, wenn das zugehörige Ideal prim ist, d. h. wenn aus „fg enthält M " und „f enthält M nicht" folgt „g enthält M". Die Dimensionszahl einer irreduziblen Mannigfaltigkeit ist die Dimensionszahl des zugehörigen Primideals 13 a ).
8. Ist M irreduzibel, und sind M lt M 2 beliebige Mannigfaltigkeiten, deren Vereinigungsmenge M enthält, ohne daß M 1 M enthält, so muß M 2 M enthalten.
Denn gesetzt, weder M 1 noch M„ würden M enthalten, so würde das heißen, daß in den Idealen ntj, lît 2 , die M x und M ä definieren, Polynome f x ,f % vorhanden sein würden, die M nicht enthielten. Das Produkt f\ f„ aber würde sowohl M 1 wie M 2 , also auch M enthalten. Das widerspricht der vorausgesetzten Irreduzibilität von M.
9. Sei eine Mannigfaltigkeit M gegeben, und sei m das zugehörige Ideal. Die transzendenten Nullstellen des Ideals, also diejenigen Nullstellen, deren Koordinaten von Parametern algebraisch abhängen, werden als unbestimmte Punkte der Mannigfaltigkeit bezeichnet, weil sie zwar nicht der Mannigfaltigkeit angehören, aber doch allen algebraischen Gleichungen genügen, die in C n (P) die Mannigfaltigkeit definieren, und weil sie, wenn man die Parameter, von denen sie abhängen, regulär spezialisiert
13a ) Zusatz bei der Korrektur. Ist eine Mannigfaltigkeit M in diesem Sinne irreduzibel, so ist sie nach S in der Tat unzerlegbar, d. h. nicht als Vereinigung von zwei echten algebraischen Teilmannigfaltigkeiten darstellbar. Wie leicht ersichtlich, gilt auch die Umkehrung.

Nullßtellentheorie der Polynomideale.
197
(§2 ,6), in Punkte von <7 „(P) übergehen, die den nämlichen algebraischen Gleichungen genügen (§ 2, 7), mithin der Mannigfaltigkeit angehören.
Ist M irreduzibel, also m prim, so heißt jede allgemeine Nullstelle des Ideals m allgemeiner Punkt der Mannigfaltigkeit M . Diese Bezeichnung ist in Übereinstimmung mit der in der Geometrie geläufigen Bedeutung der Wörter allgemein und speziell. Man versteht doch meistens, wenn es auch nicht immer deutlich gesagt wird, unter einem allgemeinen Punkt einer Mannigfaltigkeit einen solchen Punkt, der keiner einzigen speziellen Gleichung genügt, außer denjenigen Gleichungen, die in allen Punkten erfüllt sind. Diese Forderung kann natürlich ein bestimmter Punkt von M niemals erfüllen, und so ist man genötigt, Punkte zu betrachten, die von hinreichend vielen Parametern abhängen, d. h. in einem Raum C n (Í2) liegen, wo Q eine transzendente Erweiterung von P ist. Fordert man aber von einem Punkt von C„(ß), daß er Nullstelle ist für alle die und nur die Polynome von P[x 1 , ...,x n ], die in allen Punkten der Mannigfaltigkeit M verschwinden, so kommt man gerade auf unsere Definition eines allgemeinen Punktes der Mannigfaltigkeit M.
10. Da nach 7 zu jeder irreduziblen Mannigfaltigkeit ein Primideal gleicher Dimension gehört, so können die Sätze § 3 2, 3, 7, 10 für Primideale unmittelbar auf irreduzible Mannigfaltigkeiten übertragen werden. Das ergibt:
Jede irreduzible Mannigfaltigkeit hat einen allgemeinen Punkt ,..., !„}, der von so vielen Parametern abhängt, wie die Dimensionszahl der Mannigfaltigkeit angibt "), und der Körper P (l x , ..., !„) ist dem Restklassenkörper des zugehörigen Primideals isomorph.
Jeder spezielle Punkt einer ¡u - dimensionalen irreduziblen Mannigfaltigkeit hat einen Transzendenzgrad < /i.
Eine nulldimensionale irreduzible Mannigfaltigkeit besteht aus einem Punkt.
11. Unter der algebraischen Abschließung einer Punktmenge M' in (7 „(P) verstehe ich die Menge M der gemeinsamen Nullstellen in C n { P) derjenigen Polynome aus R = P [x 1 , ..., x n ], die in allen Punkten von M verschwinden. Da diese Polynome offenbar ein Ideal bilden, so ist M eine algebraische Mannigfaltigkeit 15 ).
") Diese Eigenschaft zeigt die Ubereinstimmung unseres Dimensionsbegriffs mit dem aus der algebraischen Geometrie geläufigen.
lä ) Ist P der Körper der komplexen Zahlen, so umfaßt (weil jedes Polynom eine stetige Funktion darstellt) die algebraische Abschließung die topologische Abschließung. Z. B. hat in der Ebene C n (P) die Menge = 0, | | < 1 die topologische Abschließung ¿1 = 0, ¡ ¡ < 1, und die algebraische Abschließung = 0. Die algebraische Abschließung kann aber für die Algebra die Stelle der topologischen Abschließung voll-

198
B. L. van der Waerden.
12. Sind in einem algebraischen Erweiterungskörper Q von P(2i,..., A„), wo ..., la als irreduzibles System angenommen ist, n algebraische Funktionen £ lt ..., von A lt . i fl gegeben, und ist M' die Menge der Funktionswertsysteme {j;[, ■ ■ ■, in} > die zu regulären Argumentwerten Ai, A /t gehören, so ist M' eine Punktmenge in C n (P); wenn nun M die algebraische Abschließung von M' ist, so sagen wir, daß M durch die Funktionen £ n in Parameterdarstellung gegeben ist. Die Parameterdarstellung ist nur regulär in den Punkten der Teilmenge M' von M, sie bestimmt aber M eindeutig.
Die algebraische Abschließung von M' wird nach Definition dadurch konstruiert, daß man das Ideal p aller Polynome bildet, die in allen Punkten von M' verschwinden. Nach § 2, 7 kann man nun aber p auch bestimmen als das Ideal aller Polynome f aus ? [x x , ..x n ], für die f(Ç 1 ,...,£ n ) = 0, oder als dasjenige Primideal, das .••»!„} zur allgemeinen Nullstelle hat (§3,1). Alle Polynome von p verschwinden in allen Punkten von M, weil M ja die Mannigfaltigkeit von p ist, und wenn umgekehrt ein Polynom verschwindet in allen Punkten von M, so verschwindet es auch in allen Punkten von M', gehört mithin zu p. Also ist p das zu M gehörige Ideal (3). Damit ist bewiesen:
Jedes System von algebraischen Funktionen S lt S n von 1 1 , ..., l r bestimmt eine Mannigfaltigkeit M in Parameter dar Stellung, und das zu M gehörige Primideal p hat die allgemeine Nullstelle , ..., f , die also zugleich allgemeiner Punkt der Mannigfaltigkeit ist.
13. Da auch jedes Primideal p eine allgemeine Nullstelle {^, ..., | n } hat, wo die i i algebraische Funktionen von Parametern , ..., l, L sind, so folgt:
' Jedes Primideal =4= R das zugehörige Ideal seiner Mannigfaltigkeit, die irreduzibel ist ; und die allgemeine Nullstelle des Primideals ergibt eine Parameterdarstellung der Mannigfaltigkeit.
Folge: Hat ein Primideal p keine Nullstelle in G n ( P), so ist p = Ii.
14. Schließlich gilt, da auch zu jeder Mannigfaltigkeit ein Primideal 4= R gehört:
Jede irreduzible algebraische Mannigfaltigkeit hat mindestens eine Parameterdarstellung. Die Dimensionszahl der Mannigfaltigkeit ist die kleinste Parameter zahl, die in eine Parameterdarstellung eingehen kann.
ständig vertreten. Definiert man z. B. eine Mannigfaltigkeit durch algebraische Parametergleichungen, die für gewisse Parameterwerte unbrauchbar (singular) werden, so muß man zur Menge der regulären Punkte die Menge ihrer Grenzpunkte hinzunehmen ; man kann aber auch ihre algebraische Abschließung bilden, wie wir sehen werden.

Nullstellentheorie der Polynomideale.
199
15. Aus §3,6 folgt: Sind M iy M n _ irreduzible Mannigfaltigkeiten der Dimensionszahlen /u t , //„, und ist M., Untermenge von M l , so ist u x ^ / j „ , und das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn M 1 — M 2 .
§5-
Die Nullstellen beliebiger Ideale.
1. Zu einem Primärideal q im Polynombereich R gehört, wie wir (§ 1, 13) sahen, ein Exponent q und ein Primideal p, so daß
f q = 0(p), l P e =0(q).
Aus der Definition von p folgt: Die Mannigfaltigkeit von p ist mit der von q identisch. Daraus weiter: Die Mannigfaltigkeit eines Primärideals q ist irreduzibel. Weiter: Aus /V/ = 0 ( q ) folgt g = 0 ( q ), wenn f die Mannigfaltigkeit von q nicht enthält. Das letztere besagt nämlich nach § 4, 13: 0 (p). Diese Eigenschaft des Primärideals benutzen Lasker 1 ") und Macaulay 17 ) als Definition. Die Äquivalenz mit unserer (E. Noether- schen) Definition folgt aus dem Hilbertschen Nullstellensatz (9).
2. Aus § 4, 13 und § 5, 1 folgt: Hat ein Primärideal q keine Nullstelle, so ist q = R .
3. In denjenigen Ringen, für die der Hilbertsche Basissatz gilt, gilt auch, wie E. Noether 18 ) gezeigt hat, der folgende Zerlegungssatz:
Jedes Ideal mist K.G.V. von endlich vielen Primäridealen: m=[qj,..., q r ]. Fordert man, daß dies größte primäre Komponenten sind, d.h. daß [q ; , qj nicht mehr primär ist, und weiter, daß die Darstellung eine kürzeste ist, d. h. daß keine der q¿ überflüssig ist, so sind zwar nicht die Ideale q 15 ..., q,. eindeutig bestimmt, wohl aber ihre Anzahl r und ihre zugehörigen Primideale pj, ..., .
4. Um zu zeigen, daß für den Polynombereich die gemachten Aussagen über Eindeutigkeit nicht verschärft werden können, und zugleich um die geometrische Natur der Primärideale zu erläutern, mögen die folgenden Beispiele gegeben werden, die sich auf den Polynombereich P [x,y] beziehen.
Beispiel 1. Das Ideal m = {xy) besteht aus allen Polynomen, die
10 ) E. Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann. 60 (1905), S. 20-116.
17 ) F. S. Maeaulay, Modular Systems, S. 33.
18 ) E. Noether, Math. Ann. 83, S. 42. Der Beweis setzt den Wohlordnungssatz voraus. Einen etwas einfacheren Beweis gab W. Krull, Math. Ann. 90 (1923), S. 55—64. Für den Spezialfall des Polynombereichs: E. Lasker a. a. O.

200
B. L. van der Waerden.
auf der x- Achse und auf der y- Achse verschwinden, und hat u. a. die folgenden primären Teiler:
q 1 =(a:): Polynome, die auf der y- Achse verschwinden (Primideal). q 2 = ( y) : Entsprechend.
q 3 = (x 2 , xy, y 2 ): Polynome, die im Ursprung mindestens einen Doppelpunkt haben.
Daß q x , q 2 , q 3 primär sind, m aber nicht, und daß nt Untermenge von q 15 q„ und q 3 ist, folgt hier wie in allen folgenden Beispielen am einfachsten aus der eben gegebenen geometrischen Bestimmung dieser Ideale.
Offenbar ist nt = [q 1 ,q 9 ], aber auch m = [q x , q 9 , q 3 ]. Beide Zerlegungen sind Zerlegungen in größte primäre Komponenten, denn [q 15 q 2 ], [Qu ^3] unc ^ [q 9 , q 3 ] sind nicht primär. Nur die erstere Darstellung ttl=[q 1 , q 9 ] ist eine kürzeste.
Beispiel 2. Das Ideal nt — (x 2 , xy, i/ 2 ) (s. oben q 3 ) ist primär, und hat u. a. die folgenden primären Teile:
q 9 =(x 2 , y): Polynome, die die x-Achse im Ursprung zweifach schneiden oder ganz enthalten. q 2 = (x, y"): Entsprechend.
Zu allen drei Idealen gehört als Primideal das zum Ursprung gehörige Primideal ty = (x,y). Weiter ist m = p", während q x und q 2 Ideale zwischen p und p 2 sind 19 ). Die Zerlegung ltt = [q 1 ,q 2 ] ist eine kürzeste Darstellung, aber die q ¿ sind nicht größte primäre Ideale, denn m ist selbst primär.
Beispiel 3. Das Ideal m = (x 2 ,xy) besteht aus allen Polynomen, die die y- Achse enthalten und außerdem im Ursprung mindestens einen Doppelpunkt haben, m ist nicht primär, und hat u. a. die folgenden primären Teiler:
q x = p! = ( x ) (s. Beispiel 1).
Q2 = ( x 3 > M x + y) '■ Polynome, die die Gerade p. x + y = 0 im Ursprung zweifach schneiden oder ganz enthalten. Zugehöriges Primideal : p 9 = (a;, ?/).
Die Zerlegung ttt = [q 15 q 9 ] ist für jeden Wert von ¡u richtig, und immer eine kürzeste Darstellung durch größte primäre Komponenten. Nur die zugehörigen Primideale , p 2 sind eindeutig bestimmt.
5. Definitionen. Die Mannigfaltigkeiten der primären Komponenten q,. eines Ideals tn, oder, was dasselbe ist, die Mannigfaltigkeiten der zugehörigen Primideale pj, ..., p r , heißen die wesentlichen Mannig-
19 ) Daraus folgt nebenbei, daß für Ideale wie (x- , y ) eine Darstellung als Produkt von Primidealen, wie sie in der Theorie der Zahlkörper immer möglich ist, ausgeschlossen ist.
■°) Nach Macaulay, zur Unterscheidung von den unwesentlichen Mannigfaltigkeiten, welche die Resolventenbildung nach Kronecker ergibt.

Nullstellentheorie der Polynomideale.
201
faltigkeiten des Ideals. Diejenigen unter ihnen, die in einer anderen enthalten sind, heißen eingebettete Mannigfaltigkeiten, die übrigen isolierte Mannigfaltigkeiten. Haben alle wesentlichen Mannigfaltigkeiten von rtt die gleiche Dimensionszahl so heißt das Ideal trt ungemischt und von der Dimensionszahl ,u.
6. Ist wiederum m = [q x , ..., q r ], so ist die Mannigfaltigkeit von m die Vereinigung der (irreduziblen) Mannigfaltigkeiten von q 1( q r :
M r ).
Läßt man aus der Darstellung alle überflüssigen (eingebetteten Mannigfaltigkeiten fort, so bleibt eine kürzeste Darstellung:
von M als Vereinigung von irreduziblen Mannigfaltigkeiten. Diese ist eindeutig, denn ist
eine andere kürzeste Darstellung, so muß jede M { in ^(MÍ, ..., M¿ ), mithin nach §4,8 in einer M k enthalten sein, und diese nach dem gleichen Schluß wiederum in einer M- , welche dann notwendig gleich M i sein muß, weil sonst M¡ in M- enthalten wäre, und die Darstellung keine kürzeste. Also ist jedes ilí¿ einem Mk gleich, und ebenso umgekehrt.
Damit ist gezeigt : Jede algebraische Mannigfaltigkeit M läßt eindeutig eine kürzeste Darstellung als Vereinigung von endlichvielen irreduziblen Mannigfaltigkeiten zu.
7. Aus 2 und 3 folgt: Hat ein Ideal m keine Nullstellen, so ist nt — R .
8. Aus 1 und 3 folgt: Ist fg = 0(m), und enthält f keine wesentliche Mannigfaltigkeit von trt, so ist g = 0( m ).
Für die Anwendung dieses äußerst wichtigen Satzes braucht man Kriterien, um zu entscheiden, ob ein Ideal eingebettete Mannigfaltigkeiten hat. Ohne Beweis führen wir zwei solche an, deren erstes sich unmittelbar aus Satz XI (S. 46) der E. Noetherschen Arbeit 21 ) ergibt, während das zweite sich bei Macaulay 32 ) findet:
Ein Ideal nt hat dann und nur dann eine in der Mannigfaltigkeit des anderen Ideals n = (f 1 , ■ ■ - , f r ) enthaltene ivesentliche Mannigfaltigkeit, wenn es ein Polynom f gibt, so daß ff¡ = 0(m) für jedes i , und dennoch f= j=0(m).
Hat ein Ideal trt von der Höchstdimension ¡i eine Basis aus n — /¿ Elementen, so ist es ungemischt, und jede seiner Potenzen ist ungemischt.
2l ) Math. Ann. 83.
sa ) Modular Systems S. 49, 51.
Mathematische Annalen. 96.
14

202
B. L. van der Waerden.
9. Der Hilbertsche Nullstellensatz 23 ) in der ursprünglichen Fassung lautet:
Verschwindet ein Polynom f, oder allgemeiner ein Ideal a, in allen Nullstellen eines Ideals nt, so gibt es eine nur von nt abhängige Zahl o, so daß /' i? = 0(m) bzw. agi=0(nt).
Beweis. Sei nt = [Cfj q r ], und sei q der größte unter den
Exponenten von q 1# ...,q r . Enthält f die Mannigfaltigkeit von M, so ist f=0(p { ), wo p. das zu q ¿ gehörige Primideal ist; daraus folgt f e = 0 (pf), also /' e =0(q j ), also /' e = 0(m). Das gleiche gilt, wenn man a statt f schreibt.
Genau so beweist sich eine etwas abweichende Fassung des Satzes, die für einige Anwendungen noch bequemer ist:
Verschwindet ein Ideal a in den allgemeinen Nullstellen aller isolierten Primideale des Ideals m, so gibt es eine nur von nt abhängige Zahl g, so daß a e =0(m).
10. Ein ungemischtes (n — 1)- dimensionales Ideal nt hat eine Basis aus einem Element („ist Hauptideal").
Beweis. Sei zunächst nt = (f t , ..., f s ) primär, {> das zugehörige Primideal, Q — P (f a , ..., | n ) dessen Nullstellenkörper, und seien die Unbestimmten so numeriert, daß .. ., S n ~ 1 ein dem Körper Q äquivalentes irreduzibles System bilden.
Der größte gemeinsame Teiler f von f 19 ..., f — Teiler im Polynomsinn — bleibt größter gemeinsamer Teiler, wenn man /j, ...,f a als Polynome in x n mit Koeffizienten aus P(a; 1 , • ••,x n _ 1 ) betrachtet. Er ist also in der Form
f= «i/i + • •• + a s f s darstellbar, wo a¿e P {x t , ..., x n _ 1 )[x n \. Multiplikation dieser Gleichung mit dem Hauptnenner h (x 1 , ..., x n _ 1 ) der rechten Seite ergibt:
fh = 0(nt),
also, da h(£ 1 , ..., ¿¡„-J + 0, mithin Ä^0(p):
t = 0(nt).
Auch ist
nt = [fi, • • •> f a ) ä= 0(f),
also folgt nt = (f), womit für primäre Ideale der Satz bewiesen ist.
Ist nun nt = [q a , ..., q r ] ein beliebiges ungemischtes (n — 1)- dimensionales Ideal, sind also q x , ...,q r sämtlich (n — 1)- dimensional, so ist nach dem eben bewiesenen q ; = (f.), also
«=»[(£).•••» (fr)]-
2S ) D. Hilbert, Math. Ann. 42, S. 320.

Nullstellentheorie der Polynomideale.
203
Ist nun f das K. G. V. (im Polynomsinn) von so ist
m — (f), denn jedes Polynom, das durch teilbar ist, ist durch f
teilbar, und umgekehrt. Damit ist der Satz bewiesen.
Eine Zerlegung von f in Primfaktoren:
f=Px...Pr r ergibt eine Produktdarstellung für m:
Da die Ideale (p { ) prim sind, so folgt:
Jedes ungemischte (n — l )-dimensionale Ideal ist Produkt von Potenzen von Primidealen, deren jedes von einem Primelement erzeugt wird.
§6.
Der Hentzeltsche Nullstellensatz.
1. Der M. Noethersche Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen 24 ) lautet bekanntlich folgendermaßen:
Ist P ein algebraisch-abgeschlossener Körper, m = ein Ideal
in R = P [x x , x 3 ], wo /j und f 2 teilerfremd sind, und wo folglich das Ideal nur endlichviele Nullstellen {¡¡i \ Çi l) } [t = 1, , j] in C 2 (P) hat'"'), und ist f ein Polynom in R, so daß in jeder dieser Nullstellen eine Gleichung besteht von der Form'.
(1) f=Á?f í + AÍ*'f„
wo die A t , A 2 Potenzreihen nach (x t — i¡ l> ), (x¡¡ — sind, über deren Konvergenz nichts vorausgesetzt wird, so ist f= 0(m).
Dabei soll die Gleichung (1) in dem Sinne bestehen, daß, wenn beide Seiten rein formal nach Potenzen von x 1 — £{*', x„ — i¡ l) geordnet werden, alle Koeffizienten übereinstimmen.
Verschärfung 26 "). Ks ist hinreichend, wenn beide Seiten von (1) bis auf Glieder von der Ordnung g in x 1 — f®, x 2 — |,! l) übereinstimmen, wo q eine nur von rtt abhängige Zahl ist.
Beweis. Sei eine primäre Komponente von m, ihr Primideal,
21 ) M. Noether, Math. Ann. 6 (1873), S. 351.
25 ) Sind nämlich f 1 und f 2 teilerfremd, bo gibt es im Ideal m sowohl ein von x l , als ein von x¡¡ freies Polynom, die durch den Euklidischen Algorithmus gewonnen werden können. Diese beiden Polynome werden nur für endliohviele Werte von x„ bzw. x 1 Null.
2a ) Sonst würde nämlich die Mannigfaltigkeit von aus mehreren getrennten Punkten bestehen, mithin reduzibel sein; vgl. § 3, 10.
20 ") E. Bertini, Math. Ann. 34 (1889), S. 447; M. Noether, Math. Ann. 40 (1892), S. 140.
14*

204
B. L. van der Waerden.
g. ihr Exponent, und ß = max^). Dann ist, da nur eine Nullstelle {>«>,£«>} hat 26 ) :
fc=(® 1 — fi*'. »9 — fs 1 ').
Ersetzt man die Potenzreihen Ai \ A l 2 l> durch die Polynome a[ l \ a { ?, die aus ihren Gliedern der Ordnung < q bestehen, so folgt aus (1):
f=aíV, +ai"/>(W).
f= 0 (m, pf).
f=0 (cfj)
für jedes i, mithin
f = 0(m) q. e. d.
2. Der Satz läßt sich nach verschiedenen Richtungen hin n- dimensional verallgemeinern.
Erstens gilt der Beweis offenbar für beliebige Ideale m = (/i, .. f r ) von der Dimensionszahl 0 in R = P [x lt ..x n ]. 27 )
Zweitens kann man, wie wir zeigen werden, die Voraussetzung, der Körper P sei algebraisch-abgeschlossen, fallen lassen. Man hat dann die Nullstellen und die Koeffizienten der Potenzreihen in einem algebraischabgeschlossenen Erweiterungskörper ü von P anzunehmen. Bricht man von vornherein, was ja unwesentlich ist, die Potenzreihen mit den Gliedern ( q — l)-ter Ordnung ab, und schreibt man litn für das von m in Q[x 1 , ..x n ] erzeugte Ideal (§1,4), so lautet der verallgemeinerte Satz mit „Verschärfung" zusammengefaßt:
Ist m ein Ideal in R = P [x t , ..x n \, das die Dimension 0 hat (§ 5, 5) und folglich nur endlichviele Nullstellen ..., f«'' [ ¿ = 1, • • •, 7] in G n {Q), wo Q ein algebraisch-abgeschlossener Erweiterungskörper von P ist, so gibt es eine nur von m abhängige Zahl q, so daß, wenn feR, aus
f= 0 (ma, (x t — fl l) , ..., x n — Ç%') e ) [¿ = 1, ..., y]
folgt
f= 0(m).
Der Beweis von vorhin ergibt nicht die gesuchte Gleichung, sondern die andere:
f = 0 (nto).
Das heißt nach Definition von m#:
wo cc k eQ, f h em.
Drückt man die Größen K f durch endlichviele linear-unabhängige Elemente e, coj, co 2 , ... von ü mit Koeffizienten aus P aus, so kommt:
f=ffo + m i9i -f • wo
2 ') Vgl. etwa Macaulay, Modular Systems, S. 60.

Nullstellentheorie der Polynomideale.
205
mithin, da die co linear-unabhängig in bezug auf P sind:
f — 9 o ' ^ ffi » • • • >
also
f=0(m).
3. Läßt man nun drittens auch die Voraussetzung fallen, daß m die Dimensionszahl 0 hat, so kann man zunächst, wie es Lasker 28 ) und Macaulay 29 ) versucht haben, unter Verzicht auf die Verschärfung daran festhalten, daß nur für eine endliche Anzahl Punkte die
Gleichungen (1) vorausgesetzt werden. Die Beweise von Lasker und Macaulay scheinen aber unvollständig 29 ") und setzen außerdem voraus, daß P der Körper der gewöhnlichen komplexen Zahlen ist, und daß die Potenzreihen A in einem Gebiet konvergieren. Einen anderen Weg hat K. Hentzelt 30 ) eingeschlagen, indem er das Bestehen der Gleichung (1) in allen Punkten der Mannigfaltigkeit von m fordert, und die angegebene Verschärfung beibehält. Sein Satz, der hier auf kürzerem Wege bewiesen werden soll, lautet:
(Hentzeltscher Nullstellensatz, erste Fassung) Ist m ein Ideal in R = P[a; 15 .. x n ], und Q ein algebraisch-abgeschlossener Er- weiterungskörper von P, so gibt es eine nur von m abhängende Zahl g, so daß, wenn feR, aus dem Bestehen der Kongruenz (2) /•=0(m fl , (x 1 — £ 15 x n — £„) e )
für jede Nullstelle {f 15 | n } von m in C n {&) folgt
f= 0(ttt).
Der Satz kann, genau so wie der Hilbertsche Nullstellensatz dahin modifiziert werden, daß die Kongruenz (2) nicht für alle algebraischen Nullstellen von m gefordert wird, sondern nur für die allgemeine Nullstelle eines jeden zugehörigen Primideals So kommt man zum Satz 31 ):
(Hentzeltscher Nullstellensatz, zweite Fassung) 1st m ein Ideal im R — P \x 1} ..., x n ], sind die zugehörigen Primideale, und ist
2. = P (ß\ l) , .. |^') der Nullstellenkörper von so existiert eine Zahl o, so daß, wenn feR, aus
f= 0 (mv., (xi — |{ l) , ...,x n - in ) e ) [i = 1, ..., r]
28 ) Math. Ann. 60, S. 95.
20 ) Modular Systems, S. 61.
SOa ) Zusatz bei der Korrektur. Die Lücken des Macaulayschen Beweises sind in einem Briefwechsel zwischen Herrn Macaulay und dem Verfasser ausgefüllt worden. Die Konvergenzvoraussetzung blieb dabei aber aufrechterhalten. Ich besitze jetzt einen von dieser Voraussetzung freien Beweis, der bei beliebigem Koeffizientenkörper P gilt.
30 ) Siehe Fußnote 6 ).
81 ) Vgl. Grete Hermann, a. a. 0. Die Bezeichnungen „erste" und „zweite Fassung" sind dort gerade umgekehrt wie hier.

206 B. L. van der Waerden.
folgt
f= 0(m).
Dabei bedeutet wiederum vxs ( das von m in 2 i \x 1 , ..x n ] erzeugte Ideal; die Forderung wird jeweils vorausgesetzt in 2 { [x i , ..., x n \ für i = 1, r.
Die zweite Fassung dürfte für Anwendungen wichtiger sein wie die erste; ihr Beweis ist einfacher.
4. Man braucht offenbar die beiden Sätze nur für Primärideale zu beweisen: Durch die Zerlegung m == [q 1( ..., qj folgt dann der allgemeine Satz unmittelbar, wie im Spezialfall 1. Die zweite Fassung wird dadurch wesentlich vereinfacht; es ist nur zu beweisen:
Ist q ein Primärideal in R, p das zugehörige Primideal, 2= P ( ^,..., | n ), dessen Nullstellenkörper, so existiert eine Zahl g , so daß, wenn f e R, aus
(3) f = 0(q 2 ,{x 1 -i 1 ,...,x n -i n ) e ) in 2 [x t , ..x n ] folgt
f= 0 (q).
Beweis. Wir wollen den allgemeinen Fall auf den schon erledigten Spezialfall, daß q null -dimensional ist, zurückführen, indem wir gewisse X■ gleich Parametern setzen und so die Dimensionszahl erniedrigen.
Sei l die Dimensionszahl von q, und sei, evtl. nach Umnennung der Indizes, £ 1 ,..., £ l ein irreduzibles System in Q . Dann ist 2 algebraisch über P= P(f 1 , ..., |j). Sei A ein algebraisch-abgeschlossener Erweiterungskörper von 2, und seien ..., "[& = 1, ..., y] die mit fj +1 , ..., = f/+i, ..., £n ] konjugierten Elementsysteme. Dann sind nach §3,9 die y Punkte {f ls ..., £ { , fj+i, ..., diejenigen Nullstellen von qj, in denen x x , . ..,x x die Werte £ 1; .. ., haben. Ersetzt man, in allen Polynomen von die Unbestimmte x i , ..., x t durch , ..., so entsteht ein Ideal qj in /Í [x l + 1 , ..x n ], das nur die endlichvielen Nullstellen £(+!,..., f ® in C n+1 (z 1) hat. Aus (3) folgt, wenn man zu â übergeht und x x , ..., x t = ,..., f, setzt,
F— f{£ i> • • x i+ 1 ; • • • j x n ) = 0 (qj, (£ (+1 i l+ j, ..., x n f„) e )-
Ausübung der Automorphismen von ü, die F elementweise invariant lassen, ergibt:
F= 0 (q d , (x l+1 - Í&, ...,x n - f®) e ).
Mithin sind die Voraussetzungen des Hentzeltschen Satzes für das nulldimensionale Ideal q r in T [x l + 1 , ..x n ] erfüllt, und es folgt
(4) f=0(q r ).

Nullstellentheorie der Polynomideale.
207
Das heißt, f entsteht aus einem Polynom aus qr dadurch, daß man x 1 , ..x x durch | 15 ..ersetzt.
Ein Polynom aus qr hat die Form
ij Xn) ' w ° g ^ xi ' ■■■'
Mithin ist
t = S Xi+i '
Multipliziert man beide Seiten mit dem Hauptnenner y> (| 1S ..£,), so kommt:
V (^i> •••> £¡) f ($l' • • £¡t x i + i> • • X n)
— Zi(£]> ■ • $l) ff i (£l> • • • ' $l> X l +1 > • • •' x n)- Da die , ..., ein irreduzibles System bilden, kann man sie durch Unbestimmte x 1 ,...,x l ersetzen. Die rechte Seite wird dann ein Polynom aus q, also:
yj{x lt ..x t ) f(x 1 , ..x n ) = 0 (q).
Da aber yj (| 1S ..4= 0, so ist yj (x lt .. ., x¡)^0 (p), mithin
f(z ít ..., * n )=Ö (q) q. e. d.
5. Zum Beweise des Hentzeltschen Satzes in der ersten Fassung für ein Primärideal q können wir zunächst wieder voraussetzen, daß P algebraischabgeschlossen ist, mithin P—ü. Die Voraussetzung ist hinterher wie in 2 leicht aufzuheben^
Der Beweis verläuft anfangs ungefähr wie der in 4 geführte bis zur Formel (4). Man numeriert wiederum die Unbestimmten so, daß im Nullstellenkörper die Elemente £ 1 , ...,£¡ ein irreduzibles System bilden, mithin £ ¡+1 , ..., algebraische Funktionen von ihnen sind. Im Beweise 4 ist überall durch zu ersetzen, wo £¡ reguläre Argumentwerte
aus P, f/ +1 , ..., £n die zugehörigen Funktionswerte sind. Für diese £ 1; ..., gilt die Voraussetzung (2). An Stelle der in 4 benutzten Körper P, r, 2, A tritt der einzige Körper P. Man findet nach Analogie von (4):
(5) f' = 0 (q')>
wo der Strich überall bedeutet, daß x lt durch £Í, ..., ç' n ersetzt sind.
Aus dieser Gleichung wollen wir die andere
(6) f = 0 (qr)
[vgl. (4)] ableiten. Das geschieht, indem wir für q eine Basis annehmen. Die Polynome f 1} ...,f r bilden dann offenbar eine Basis für q', und f x , ..., f r eine Basis für q r . Nach einer von Grete Hermann 32 ) nach Hentzelt angegebenen Methode kann man nun die Kongruenz (6)

208 B. L. van der Waerden. Nullst eilen theorie der Polynomideale.
ersetzen durch die Forderung, daß ein gewisses lineares Gleichungssystem lösbar ist, oder daß ein gewisses Matrizenpaar m 1 , m 2 gleichen Rang besitzt. Ebenso drückt sich ( 5 ) aus durch die Ranggleichheit der entsprechenden Matrizen mí,m!¡, die aus m i , m„ entstehen, indem , ..., f ¡ durch , ..., ersetzt werden. Für die Einzelheiten der Rechnung können wir auf die Arbeit von Fräulein Hermann verweisen. Aus den Sätzen §2 ,6,7 folgt nun, daß man die Argumente | x , ..., regulär so spezialisieren kann, daß und m[ gleichen Rang haben, und ebenso m„ und mL Da die Voraussetzung (5) besagt, daß m[ und m\ gleichen Rang haben für alle regulären Argumentwerte , ..., so folgt die Ranggleichheit von m 1 und m 2 , mithin die Kongruenz (6).
Der Beweis verläuft weiter wie oben von (4) an.
32 ) A. a. O. S. 760. Die dort für den Fall t = n— 1 gegebene Betrachtung läßt sich ohne weiteres auf den allgemeinen Fall übertragen.
(Eingegangen am 14. 8. 1925.)

Abbildungsklassen n- dimension aler Mannigfaltigkeiten.
Von
Heinz Hopf in Berlin.
Brouwer hat die Umkehrbarkeit seines Satzes, daß zwei zu derselben „Klasse" gehörige, d. h. stetig ineinander überführbare Abbildungen einer ii-dimensionalen, geschlossenen, zweiseitigen Mannigfaltigkeit ¡1 auf eine w-diniensionale Mannigfaltigkeit ;i denselben „Grad" besitzen 1 ), für den Fall n = 2 untersucht und dieses Problem durch Angabe der notwendigen und hinreichenden Bedingungen erledigt, die zwei Abbildungen außer der Übereinstimmung ihrer Gradzahlen erfüllen müssen, um zu derselben Klasse zu gehören 2 ) 3 ). Während einige der dabei angewandten Methoden und gewonnenen Ergebnisse nicht an die Dimensionenzahl 2 gebunden sind 4 ), läßt sich, soviel ich sehe, der Beweis gerade des wichtigsten der hierher gehörigen Brouwerschen Sätze nicht ohne weiteres auf den Fall mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten übertragen. Dieser Satz lautet: „Ist n = 2, und fi' die Kugel , so gehören zwei Abbildungen gleichen Grades zur gleichen Klasse" 2 ).
Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist der Beweis des entsprechenden Satzes für alle n. Er wird — ohne Benutzung des Brouwerschen Resultats — durch Schluß von n — 1 auf n geführt. Die Ubereinstimmung der Grade der betrachteten Abbildungen f 1 und f„ greift in die im übrigen ganz elementare (§§ 1, 2) Untersuchung dadurch ein (§ 3), daß, wie eine durch Verallgemeinerung Brouwerscher Betrachtungen früher von mir bewiesene
*) Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71.
") Sur la notion de „classe" . .., Proc. of the V. intern. Congr. of Math., Cambridge 1912. — Over één-éénduidige continue transformares .. ., Amst. Akad. Versl. 21, (1913).
3 ) Aufzählung der Abbildungsklassen endlichfach zusammenhängender Flächen, Math. Ann. 81.
4 ) S. z. B. § 4 meiner Arbeit: Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem, Math. Ann. 95.

210
H. Hopf.
Formel 5 ) lehrt, die Anzahl der Punkte von [i, von denen f 1 und f„ zueinander diametrale, also der Uberführung ineinander am stärksten widerstrebende Bildpunkte liefern, bei richtiger Berücksichtigung von gewissen Vielfachheiten 0 ist. Für spezielle /u, z. B. für die n-dimensionalen Kugeln, kann man die Benutzung der erwähnten Formel, sowie einige etwas umständliche vorbereitende Überlegungen (§ 2) durch einfachere Betrachtungen ersetzen (§6).
Anwendung findet unser Satz bei Behandlung gewisser „Randwertaufgaben". Einer seiner Spezialfälle besagt nämlich, daß sich eine Abbildung des Grades 0 einer n- dimension alen Kugel auf eine andere stetig in eine Abbildung auf einen einzigen Punkt verwandeln läßt. Diese Tatsache ist mit der Lösbarkeit der einfachsten der erwähnten Aufgaben
n+l
identisch, die sich folgendermaßen aussprechen läßt: „Für x v = 1 ist
r=l
ein System von n -f- 1 stetigen, nirgends gleichzeitig verschwindenden
Funktionen F lt ..F n+1 von x 1 , ..., x n + 1 gegeben, dessen Kroneckersche
n+l
Charakteristik 6 ) den Wert 0 hat; man soll für x r 1 ein System ste-
r=l
tiger, nirgends gleichzeitig verschwindender Funktionen /j, ..., f n + 1 von x 1 ,...,x n + 1 mit den Randwerten F 1 ,...,F n + 1 definieren." (Daß das Verschwinden der Charakteristik für die Existenz der notwendig ist, ist bekannt 0 ).) Einige derartige Randwertaufgaben werden behandelt; dabei wird die geometrische Terminologie der anderen Abschnitte beibehalten, die das. Funktionensystem als Vektor, die Charakteristik als Abbildungsgrad deutet (§5).
Nachdem gezeigt ist, daß es höchstens eine Klasse von Abbildungen gegebenen Grades der gegebenen Mannigfaltigkeit /i auf die w-dimensionale Kugel gibt, liegt die Frage nahe, ob eine solche Klasse stets existiert. Daß diese Frage, wie gezeigt wird (§ 4), zu bejahen ist, ist nicht selbstverständlich; denn es hat z. B. jede Abbildung einer Fläche vom Geschlecht 0 auf eine Fläche höheren Geschlechts den Grad 0 3 ) 4 ).
§ 1.
Stetige Abänderung von Vektorfeldern.
r(P) bezeichne die Entfernung des Punktes P im n- dimension alen euklidischen Raum vom Nullpunkt 0 des Koordinatensystems. Durch
6 ) Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen (§2), Math. Ann. 95.
6 ) Kronecker, Uber Systeme von Funktionen mehrer Variabeln, Mon.-Ber. d. Kgl. Pr. Akad. d. Wiss. zu Berlin 1869. — Hadamard, Note sur quelques applications de l'indice de Kronecker in Tannery, Introduction à la théorie des fonctions II, 2. éd. 1910.

Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 211
r(P) ^ R ist eine w-dimensionale Vollkugel K, durch r (P) = R ihr Rand, die ( n — l)-dimensionale Kugel S"" 1 , charakterisiert. In K sei ein stetiges Feld 3$ auf dem Rand nirgends verschwindender n-dimensionaler Vektoren b (P) definiert. Wir betrachten stetige, die Randvektoren festlassende Abänderungen von 35, d. h. in P und einem Parameter t für 0 t t l stetige 7 ) Vektorfunktionen b(P, t), die die Gleichungen
b(P,0) = b(P) für r{P)^R
b(P, t) = b(P) für r(P) = P, 0 rgjj <¡
befriedigen.
Hilfssatz I. Man kann 93 stetig unter Festhaltung der Randvektoren in ein Vektorfeld abändern, das genau einen verschwindenden Vektor enthält.
Beweis. Wegen des Nichtverschwindens am Rande und der Stetigkeit der b gibt es zwei Zahlen r 1 , r 2 , so daß 0 < r 1 < r 3 < R und für r(P)^tr 1 stets jb(P)|>0 ist. Wir definieren die stetige Funktion
cp(r) = 1 für 0 r
( P( r ) = ^^ i für r i^ r £ r 2
cp (r) = 0 für r. 2 r R
und führen zunächst mit 0 t 1 folgende, die Randvektoren festhaltende stetige Abänderung aus:
b(P, 0 = [l-<-9'(r(P))]-ü(P).
In ihrem Ergebnis, dem Feld der Vektoren b(P, 1) verschwinden alle Vektoren für r(P)^r 1 , während für r(P)>r 1 alle Vektoren von 0 verschieden und den ursprünglichen Vektoren b (P) gleichgerichtet, für r (P) ^ alle Vektoren unverändert geblieben sind.
Bezeichnet Pr 1 den auf dem Strahl O P in der Entfernung r 1 von O liegenden Punkt, 33' das Vektorfeld, das aus 33 entsteht, wenn man für r(P)<r 1 die Vektoren b (P) durch die Vektoren b'(P) = b(Pr 1 ) ersetzt, so ist 33' in O und nur dort unstetig. Das Feld 33 der Vektoren b"(P) = r(P)-b'(P) ist überall stetig, für P=J=0 von 0 verschieden, für r ^ r i m it 33 gleichgerichtet und auf dem Rand von K mit 33 identisch.
Nun setzen wir die begonnene Abänderung für 1 ^ t ^ 2 folgendermaßen fort:
tj(P,t) = ü(P, l) + (i-l)-<p(r)-b"(P).
') Unter Stetigkeit einer Transformationsfunktion f(P,t ) ist hier und im Folgenden stets gleichmäßige Stetigkeit in den n+1 Variablen x lt . x„, t zu verstehen.

212
H. Hopf.
Dabei bleiben wieder die Vektoren mit r ^ r„ fest, so daß in dem Ergebnis
ü(P,2) = ü(P ) l) + 9J (r)-ü"(P)
gewiß Ö(P, 2) + 0 für r ^ r 2 ist; für 0 < r < r 2 aber ist der Vektor 9>(r)*ti"(P) =)= 0 und der Vektor ti(P, 1) entweder mit ihm gleichgerichtet oder 0, also t)(P, 2) =J= 0; es ist nur d(0, 2) = 0. Damit ist der Satz bewiesen.
Fragen wir nun, unter welchen Bedingungen sich durch eine Abänderung der betrachteten Art sämtliche Nullstellen des gegebenen Vektorfeldes beseitigen lassen. Nehmen wir an, dies sei möglich; mit P r bezeichnen wir die Randpunkte von K, mit P r den Punkt, der auf O P r im Abstand r von O liegt, mit 33 das Feld der Randvektoren ti(P R ), mit 33* das nullstellenfreie, transformierte Feld der Vektoren ö*(P), dessen Randfeld ebenfalls ÜB ist. Dann kann man 33 durch den Abänderungsprozeß
Ü(Pr, í) = ti*(P í ), [Ä^«^0]
stetig in das konstante Feld ü*(0) überführen, ohne daß dabei jemals ein Vektor verschwindet; dies läßt sich auch so ausdrücken: Die durch die Vektoren von 33 vermittelte Abbildung des Randes S" -1 von K auf die Richtungskugel des w- dimension alen Raumes läßt sich stetig zu einer Abbildung auf einen einzigen Punkt abändern.
Von der hiermit festgestellten Tatsache gilt folgende Umkehrung: Hilfssatz II. Läßt sich das Randfeld 33 stetig in ein Feld 'paralleler Vektoren überführen, ohne daß dabei einmal ein Vektor verschwindet, so kann man 33 unter Festhaltung von 33 stetig in ein nirgends verschwindendes Vektorfeld abändern.
Beweis. Es gelten die Bezeichnungen des Beweises zu Hilfssatz I. Das Feld 33j der ö(P r ,) läßt sich ebenfalls stetig in ein paralleles Feld überführen, ohne daß dabei einmal ein Vektor verschwindet, da es durch
ti(P ri ,i) = b(P)>
in 33 übergeführt wird; mithin läßt es sich auch stetig in ein Feld gleicher Vektoren transformieren. Es gibt also eine nirgends in ihrem Definitionsgebiet verschwindende stetige Vektorfunktion
tü (P Tl , t ) für r 1 ^ t 0 ,
mit
W(P ri , r 1 ) = ö(P ri ), tt)(P ri , 0)== iü 0 , wobei tü 0 ein konstanter Vektor ist. Das durch
ö"'(P) = tt,(P ri ,r(P)) für r(P)£ ri o"'(P) = ö(P) für r (P) r i

Abbildungsklassen n- dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 213
definierte Feld SS"' hat die beim Beweis des Hilfssatzes I genannten Eigenschaften von SS" mit dem Unterschied, daß es auch in 0 nicht verschwindet. Ersetzt man daher in diesem Beweis 58 durch 95"', so erhält man einen Beweis von Hilfssatz II.
§ 2.
Konzentration der Übereinstimmungspunkte zweier Abbildungen.
Die n-dimensionale, geschlossene, unberandete, zweiseitige Mannigfaltigkeit ¡i sei den eindeutigen und stetigen Abbildungen f x und f„ auf die n - dimensional e Kugel S n unterworfen. Unter einem Ubereinstimmungspunkt von f\ und /„ verstehen wir einen Punkt P von ¡u, dessen durch f x und f 2 gelieferte Bilder P 1 = f x (P), P„ = f^{P) zusammenfallen. — Es gilt der
Satz I. Ist n >1, so lassen sich und f 2 stetig in Abbildungen /i und f 2 abändern, die einen einzigen Ubereinstimmungspunkt besitzen 8 ).
Beweis. fi sei eine in ganz u erklärte simpliziale Abbildung"), die f\ so gut approximiert, daß man f ± stetig durch gleichförmige Bewegung der Bildpunkte auf Großkreisbögen in sie überführen kann, für die also der sphärische Abstand fi(P)fi(P) kleiner als n ist. Q sei ein Punkt von S n , der nicht auf dem Rande eines Bildsimplex liegt, A 1 ,...,A l seien die Punkte von [x, deren Bild er bei der Abbildung /i ist. Wir dürfen annehmen, daß f 2 (^4;.) 4= Q (A = 1 ,...,l) ist, da wir dies, falls nötig, durch eine stetige Abänderung von /' 2 erreichen können. f 2 sei eine f„ so gut -approximierende in ganz ¡i erklärte simpliziale Abbildung, daß man f« stetig in sie überführen kann, und daß auch f„ (A>„) =f= Q (2 = 1,...,/) ist; f 2 sei ferner so gewählt, daß Q nicht auf dem Rande eines Bildsimplex liegt. B lt ..., B m seien die Punkte, für die fi(B v )=Q (r=l ist. ® n_1 sei eine [n — 1 ) - dimensionale Kugel der sphärischen Maßbestimmung von S' 1 mit dem Mittelpunkt Q und so klein, daß 1. sie ganz im Innern aller den Punkt Q bei den Abbildungen f x und f 2 bedeckenden Bildsimplexe liegt, und daß 2. die die Punkte A 1 , ...,A l bzw. B 1 , ..., B m umgebenden Mannigfaltigkeiten 9t x ,..., , 93 1 , ..., 33,deren Bild bei fi bzw. fó ist, untereinander punktfremd sind.
8 ) Für n= 1 gilt der Satz nicht; denn zwei Abbildungen der Grade g lt g.¡ einer Kreislinie auf eine andere haben stets mindestens | g i — g 2 voneinander verschiedene Übereinstimmungspunkte.
°) In der in Fußnote l ) zitierten Abhandlung definiert Brouwer die simplizialen Approximationen f' der Abbildung f der Mannigfaltigkeit // auf die Mannigfaltigkeit /t' nur in Teilen von fi; ist fi' jedoch die n- dimensionale Kugel, so läßt sich f' in ganz ¡i stetig definieren; s. § 2 meiner unter 6 ) zitierten Arbeit.

214
H. Hopf.
b 1 ,...,b m seien die von 2Ï 19 ..., 23^ ...,93 m begrenzten abgeschlossenen Umgebungen von A 1 , ..B m in /u. Wir ändern nun fi stetig so in eine Abbildung f«, ab, daß /'/ und f,, Uberein- stimmungspunkte höchstens im Innern der a x , ..a v haben,
und daß die durch f[ und f 2 " gelieferten Bilder dieser l -f- m Elemente noch ein Gebiet von S n unbedeckt lassen. Zu diesem Zweck nehmen wir mit S" die stereographische Projektion s von Q aus auf den zu Q diametralen Tangentialraum Tq vor. sf x und sf. 2 bilden den abgeschlossenen
, i m -,
Teil ¡i' — /J. — < y](ci). — 21,0 + 2{b v — 93,.) > derart auf das Innengebiet
U=1 v=l >
der Kugel imd auf diese selbstab, daß s/i'(2í¿) = sf¿ (93,,) = ®
ist, während die Punkte von sf 2 (Sí;.), s/i (93,.), sowie alle Punkte 8fl(P), deren P auf keinem 91;. oder 33,. liegen, dem Innern von £ angehören. Daher ist das Maximum e der Entfernungen s f\ ( P) s fi ( P) für
alle P von ¡i' kleiner als der Durchmesser d von .ft' 1 , c bezeichne den
i , m _
Minimalabstand der Menge 2J s fi ( a >.) + 2sfx(fi v ) von §t, h sei eine
a=I r= i
Zahl, die die Ungleichungen e < h < d, h > d — c erfüllt. Ist nun t eine Translation in Tq um die Strecke h, so hat die Abbildung f." = s ~ 1 1 s fi von /u auf S n die obengenannten Eigenschaften: f x und f„ haben in /u' keinen Übereinstimmungspunkt; denn aus fi(P) = f« (P) = s~ 1 tsf-i (P) folgt sfi(P) = tsfi(P), also muß der Abstand der Punkte sf 1 (P) und sfi(P) gleich h > e sein, was für einen Punkt P aus u' unmöglich ist. Da ferner wegen h<d die Innengebiete von ÎÏ und t(Ê) ein gemeinsames Gebiet y' enthalten und dieses frei von Punkten der Mengen sfi{a>. ) und tsfa {b v ) sowie wegen h>d — c frei von Punkten der Mengen sfi (b v ) und tsf^^ax) ist, ist das Gebiet y — s~ 1 (y') in 3" frei von Punkten der Mengen fi(ax), f^'(b r ), fi (£>,.), fü(a>). Schließlich hat fi' auch die Eigenschaft, sich stetig aus f<¡ erzeugen zu lassen, da dem die Translation t herbeiführenden Bewegungsvorgang in Tq vermöge s~ l ein in ganz S" stetiger Deformationsprozeß entspricht.
Jetzt schließen wir die a>, und b v in ein einziges Element E ein, dessen Bilder h(E) und (E) zusammen auch noch ein Stück von S n unbedeckt lassen: wir ziehen l + m — 1 einfache Streckenzüge o i+m ^ 1
in ju derart, daß, wenn wir b v = a¿ +v , 93» = 2Í¿+» [v = 1, . m\ setzen, a i seinen Anfangspunkt mit Sí í , seinen Endpunkt mit 9I i+1 , im übrigen aber keinen Pimkt mit einem a i oder einem von ihm selbst verschiedenen Oj gemeinsam hat; zur Definition der „Strecke" ist dabei etwa die fi bestimmende simpliziale Zerlegung von u zugrunde zu legen. Sind u¡ +m - 1 hinreichend kleine abgeschlossene Umgebungen der o 1} ..., a; +m _ x , so bilden die Vereinigungsmengen der a i und u i ein Element E. Die von fi und f!! ge-

Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 215
lieferten Bilder der o i sind stückweise analytische Kurven in S n , da fit fi' s~ x tsfv stückweise analytische Abbildungen sind, und lassen mithin, da n > 1 ist, ein Teilgebiet y 1 von y = s -1 (y') frei 10 ); dasselbe gilt daher, wenn wir nur die u¿ hinreichend klein wählen, für E und ein Teilgebiet y a von y 1 .
[Die Konstruktion des Eléments E durch Bildung der u x ,... stößt auf keinerlei Schwierigkeit, weil die 3^ durch die affinen Abbildungen f[ und fo in die Kugel S 1 " -1 übergehen, also analytische, konvexe Hyper- flächen sind.]
Ist nun R ein Punkt von y 2 , p die stereographische Projektion der Kugel S n von Ii aus auf den zu R diametralen ebenen Tangential- raum T R , so sind pf[ und pfV in ganz E stetige Abbildungen, die auf dem Rand von E keinen Übereinstimmungspunkt haben. Wir ordnen jedem Punkt P von E denjenigen Vektor b (P) von T lt zu, dessen Anfangspunkt p fí (P), dessen Endpunkt p f" (P) ist. Dieses Vektorfeld können wir nach Hilfssatz I mittels einer Funktion b (P, t) (0 <[ t ^ 1) stetig so abändern, daß b (P, 0) = b(P) für alle P, ö (P, t) — ü (P). für alle P des Randes von E ist, und daß von den Vektoren t) (P, 1) nur einer, ö(P 0 , 1), verschwindet. Bezeichnen wir nun den Endpunkt des im Punkt pfi(P) angetragenen Vektors ö (P, t) mit p f" (P, t), und setzen wir / a " (P, t) = f" (P) für alle nicht zu E gehörigen P, so wird, während t von 0 bis 1 läuft, / 2 " (P) = /o" fP, 0) stetig in die Abbildung f'"(P) = f" (P, 1) übergeführt, die mit fi nur den einzigen Übereinstimmungspunkt P 0 hat. —
Damit ist Satz I bewiesen. Die Frage liegt nahe, wann sich auch der letzte Übereinstimmungspunkt beseitigen läßt. Eine hierfür notwendige Bedingung ist bekannt: lassen sich /j und f„ stetig so abändern, daß sie keinen einzigen Übereinstimmungspunkt mehr haben, so läßt sich f 2 weiter durch Bewegung der Punkte ( P) auf den von f x (P) nach /„ (P) laufenden Großkreisen in die zu f x diametrale Abbildung überführen, und die beiden Abbildungsgrade unterscheiden sich daher um den Faktor (—l) n+1 n ). Im folgenden Paragraphen wird gezeigt werden, daß diese Tatsache umkehrbar die genannte notwendige Bedingung also auch hinreichend ist.
§ 3.
Stetige Überführung zweier Abbildungen gleichen Grades ineinander.
Die am Ende des vorigen Paragraphen erwähnte Umkehrung eines bekannten Satzes lautet folgendermaßen:
10 ) Dies ist die einzige Stelle im' Beweis von"Satz I, an der die Voraussetzung n > 1 benutzt wird.
u ) „Satz von Poincaré-Bohl"; s. Hadamard, a. a. O. S. 467 f.

216
H. Hopf.
Satz IIa. Sind f x , f 2 zwei Abbildungen der n-dimensionalen, geschlossenen, unberandeten, zweiseitigen Mannigfaltigkeit u auf die n-dimen- sionale Kugel S n , sind g 1 ,g 2 die Abbildungsgrade von f i und f a , und ist g. 2 — l) n+1 g 1} so lassen sich f x und f„ stetig in zwei Abbildungen f*, f* überführen, die keinen Übereinstimmungspunkt besitzen.
Dieser Satz ist äquivalent mit dem folgenden:
Satz IIb. Sind F 1 , F„ zwei Abbildungen gleichen Grades von ¡i auf S n , so lassen sie sich stetig ineinander überführen.
Um die Äquivalenz der beiden Sätze zu erkennen, nehme man zunächst Satz IIa als richtig an und betrachte zwei Abbildungen F x , F.,, die die Voraussetzungen von IIb erfüllen. Bezeichnet die zu F a diametrale Abbildung von /1 auf S n , so erfüllen f x = F lt /„ = F 3 die Voraussetzungen von IIa, lassen sich also in zwei übereinstimmungsfreie und nach dem am Schluß des vorigen Paragraphen erwähnten bekannten Verfahren sogar in zwei zueinander diametrale Abbildungen f*, f* = f* stetig überführen. Bei diesem Prozeß werden F i = f x und F„ = f„ beide in f* übergeführt, so daß also die Behauptung IIb erfüllt ist. Wird andererseits IIb als bewiesen angenommen, und erfüllen f i; die Voraussetzungen von IIa, so kann man F 1 =f 1 ,F i =f i ineinander, d.h. f x und fg in zwei zueinander diametrale, also gewiß übereinstimmungsfreie Abbildungen überführen.
Den Beweis des Satzes IIa, b führen wir durch vollständige Ind ukt ion: er sei für die Dimensionenzahl n — 1 bewiesen, und f x , f. 2 seien zwei Abbildungen der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit fx mit den in IIa vorausgesetzten Eigenschaften. Gemäß Satz I führen wir sie stetig in zwei Abbildungen f*, f* mit einem einzigen Übereinstimmungspunkt P 0 über. Ist J 13 der „Index der Übereinstimmung" 5 ) von f*, f* in P 0 , so folgt aus der Formel 5 ) «7 ia = (— 1)"^ + gr 3 , da g., = (— l)" +1 ö' ] ist, J 12 = 0. Das bedeutet: vollzieht man von einem nicht mit Q = f* (P 0 ) = f* (P 0 ) identischen Punkt R von S n aus die stereographische Projektion p auf den zu R diametralen Tangentialraum T 1{ und ordnet jedem Punkt P des P 0 enthaltenden Elements E, das so klein sei, daß R weder von f* (E), noch von f* (E) bedeckt wird, denjenigen Vektor ü (P) von T R zu, dessen Anfangspunkt pf*(P), dessen Endpunkt pf*(P ) ist, so hat die durch die ü (P) vermittelte Abbildung des Randes © von E auf die Richtungskugel S n ~ 1 von Tji den Grad 0. Diese Abbildung läßt sich, da Satz IIb für die Dimensionenzahl n—1 als richtig betrachtet wird, stetig überführen, in eine Abbildung von (£ auf einen einzigen Punkt der Richtungskugel. Dann läßt sich nach Hilfssatz II das Feld der t> (P) unter Festhaltung der Randvektoren stetig in ein nirgends verschwindendes Feld abändern.

Abbildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 217
Dieser Änderung lassen wir, ebenso wie im Beweis des Satzes I, eine stetige Änderung von f.* entsprechen, die f* in allen Punkten von ¡u auf @ und außerhalb E ungeändert läßt. Ihr Ergebnis ist eine Abbildung f* *, die mit f* in keinem Punkt übereinstimmt. Satz II gilt also auch für die Dimensionenzahl n.
Wir haben ihn nur noch für n = 1 zu beweisen. In diesem Fall sind f.i und S 1 durch Kreise repräsentiert; a seien die Winkelkoordinaten von fx, ß die von S 1 , f eine Abbildung des Grades g von ¡u auf S 1 , und es sei f(0) = 0; dann ist
f(cc + 2n-m) = f[a) + 2 um g ,
und mittels der Funktion
f(a, t) = ( 1 — ) -\-t-ga,
die für jedes t ¡x eindeutig und stetig auf S 1 abbildet, wird f, während t von 0 bis 1 wächst, stetig in die „Normalform"
f*(a) = f(a, 1) = ga transformie rt. — Damit ist Satz IIa, b vollständig bewiesen.
§ 4.
Die Klassen der Abbildungen einer ^-dimension alen, geschlossenen,
zweiseitigen Mannigfaltigkeit auï die w-dimensionale Kugel.
Nachdem so gezeigt ist, daß es bei gegebener Mannigfaltigkeit fi und gegebener Gradzahl g höchstens eine Klasse von Abbildungen des Grades g von ¡i auf S n gibt, ist zu untersuchen, ob diese Klasse auch wirklich stets existiert. Wir dürfen dabei, wie aus dem letzten Absatz des vorigen Paragraphen hervorgeht, den Fall n = 1 beiseite lassen.
n+1 a
Sei zunächst /u = S n und durch die Gleichung £ = 1 im (n+1)-
v=l
dimensionalen euklidischen Kaum definiert. Führen wir in dem ebenen w-dimensionalen Raum x n + 1 = 0 „Zylinderkoordinaten" r,qp,x 3 ,...,x n durch die Beziehungen x 1 = r cos cp, x^ — r sin cp ein, so wird dieser Raum, wenn die ganze Zahl g > 0 ist, durchr' = r , cp = g • cp, x'„ — x v [v = S,n\ derart auf sich abgebildet, daß jedes hinreichend kleine Gebiet, in dem r > 0 ist, von genau g punktfremden Gebieten positiv, von keinem Gebiet negativ überdeckt wird. Vermöge stereographischer Projektion vom Punkt x n+1 = l, x v = 0 [»' = 1 , ..n] aus entspricht dieser Abbildung eine Abbildung des Grades g von S n auf sich. Da ferner durch x,', = x y [v — l,...,n\, x' n+1 = — x n+1 eine Abbildung des Grades —1 von S n auf sich definiert und die Existenz von Abbildungen des Grades 0 trivial ist, gibt es Abbildungen von S n auf sich mit jeder beliebigen Gradzahl.
Mathematische Annalen. 96. 15

218
H. Hopf.
Um nun dasselbe für die Abbildungen einer beliebigen Mannigfaltigkeit ¡u auf S n nachzuweisen, genügt, da bei Zusammensetzung zweier Abbildungen sich die Gradzahlen multiplizieren, die Herstellung einer Abbildung des Grades +1 von fx auf S n . Wir konstruieren eine solche folgendermaßen : P 1 , ..., P k seien die Eckpunkte einer simplizialen Zerlegung von ¡u, T\ , .. Pk irgendwelche k Punkte des (n + l)-dimensionalen Raumes, von denen niemals n -f- 2 einem îi- dimensionalen ebenen Raum angehören; jedes Simplex mit Ecken P m , P m , ..., P OT „ +1 der Zerlegung von ¡u bilden wir simplizial 1 ) auf das entsprechende Simplex P mi , P' m „,P 7 '„ n ^ t ab; auf diese Weise wird fi einer eindeutigen und stetigen Abbildung P' = s (P) auf eine aus endlich vielen Simplexen des gewöhnlichen Raumes bestehende Punktmenge fx! unterzogen, und diese Abbildung ist im Innern der Simplexe eindeutig umkehrbar. Nun betrachten wir eine gerichtete Gerade des Raumes, die ¡xaber keine der (n — l)-dimensionalen Schnitte zweier Simplexe von ¡x' trifft, und auf ihr einen Punkt B, der hinter dem ersten Schnittpunkt A, aber vor jedem weiteren Schnittpunkte mit u' liegt, Wir projizieren /¿' von B aus auf eine Kugel S n um B; bezeichnen wir diese Projektion mit p, so wird ju durch die Abbildung ps(P) auf S n bezogen. Dabei wird eine Umgebung des Schnittpunktes des Strahls BA mit S n einfach überdeckt, mithin hat die Abbildung ps den Grad ±1. — Damit ist bewiesen:
Satz III. Ist u eine n-dimensionale, geschlossene, zweiseitige Mannigfaltigkeit und g eine beliebige ganze Zahl, so gibt es eine und nur eine Klasse von Abbildungen des Grades g von ju auf die n-dimensionale Kugel S n (n ^ 1).
§5.
Randwertaufgaben für Vektorverteilungen.
1. Ist im Innern und auf dem Rande des n- dimensionalen Elementes E n im n- dimensionalen euklidischen Raum ein nirgends verschwindendes Vektorfeld 58 gegeben, so hat die durch die Randvektoren von SS vermittelte Abbildung des Randes (S n ~ 1 von E n auf die Richtungskugel notwendig den Grad 0"). Aus Satz II ergibt sich die Umkehrung dieser Tatsache, d.h. die Lösbarkeit folgender „Randwertaufgabe":
Auf dem Rande (£ n_1 des «-dimensionalen Elementes E" im n- dimensionalen euklidischen Raum ist eine nirgends verschwindende stetige Vektorverteilung SS gegeben, die eine Abbildung des Grades 0 von © n_1 auf die Richtungskugel vermittelt; man soll ein in ganz E n stetiges und nirgends verschwindendes Vektorfeld SS mit den Randwerten SS konstruieren.

Abbildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 219
Diese Aufgabe ist in der Tat stets lösbar: wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß E n eine Vollkugel vom Radius 1 ist, da ein Element ja deren eineindeutiges stetiges Bild ist. Nach Satz II kann man SS stetig in ein Feld paralleler, also auch in ein Feld gleicher Vektoren abändern, ohne daß während dieses Vorganges jemals ein Vektor verschwindet. Es gibt mithin eine für alle Punkte P von©" -1 und 1 ^ 1 0 erklärte stetige Funktion b (P, t) mit
b(P, l) = b(P), b(P, 0) = b o ,
wobei Ö (P) die Vektoren von SS, b 0 einen festen Vektor bezeichnet. Jetzt wird die Aufgabe durch b (P t ) = b (P, t) gelöst, wenn P t der auf dem zu P gehörenden Radiusvektor im Abstand t vom Mittelpunkt gelegene Punkt ist.
Bevor wir- eine Verallgemeinerung der eben behandelten Aufgabe lösen, betrachten wir noch einige ähnliche, einfachere Aufgaben, zu deren Lösung keiner der im Vorstehenden bewiesenen Sätze benutzt wird.
2. Es sei k<n. Auf dem Rande des im n-dimensionalen eu kli dischen Raum liegenden fc-dimensionalen Elementes E l ist eine stetige, nirgends verschwindende, im übrigen ganz beliebige Vektorverteilung SS gegeben. Man soll eine in ganz E l stetige, nirgends verschwindende Vektorverteilung S3 mit den Randwerten SS konstruieren.
Die bei Behandlung der ersten Aufgabe benutzte Methode lehrt, daß es zur Lösung der jetzt gestellten Aufgabe genügt, die durch SS vermittelte Abbildung f von auf die Richtungskugel S"" 1 stetig in eine Abbildung auf einen einzigen Punkt überzuführen. Dies ist aber stets möglich; denn erstens kann man/ - stetig in eine/" approximierende simpliziale Abbildung f' überführen, indem man die Punkte f{P) gleichförmig auf den Großkreisbögen nach f'(P) laufen läßt, falls nur der sphärische Abstand f(P)f'(P)<ji ist, und zweitens kann man, da die Abbildung f' stückweise analytisch ist und die Menge daher wegen k<n ein
Gebiet von >S n_1 frei läßt, die Punkte f'(P) auf den Großkreisbögen, die von einem von nicht bedeckten Punkt A ausgehen, gleichförmig
in den Gegenpunkt Ä von A überführen.
3. W n sei ein 7i-dimensionaler Quader, d.h. eine durch \x v \ <¡c„, c v > 0 (v = 1, ..n) im 7i-dimensionalen euklidischen Raum definierte Punktmenge. 9î x sei ein „vollständiger" Teil des Randes 3Ï von W", d. h. ein solcher Teil von 9Î, daß, wenn ein innerer Punkt eines &-dimen- sionalen Randquaders W'" von W n zu 9^ gehört, W'~ ganz zu 9^ gehört (0 ^ k n — 1). 3^ sei aber nicht der ganze Rand von W", es gebe also ein W n ~ x , dessen innere Punkte nicht zu gehören. (Sij braucht nicht zusammenhängend zu sein.) Auf ist eine stetige, nirgends verschwindende
15*

220
H. Hopf.
Vektorverteilung SS gegeben. Man soll in W" eine stetige, nirgends verschwindende Vektorverteilung SS definieren, die in mit SS übereinstimmt.
W"~' sei ein nicht zu 9Î X gehöriger (n — l)-dimensionaler Quader von 9Î. Durch Anbringung willkürlicher Vektoren in etwa noch unbesetzten Ecken W° und durch sukzessive Lösung von Aufgaben des Typus 2 für die W 1 , W\ ... läßt sich in allen Punkten von 3Í, die nicht innere Punkte von W"" 1 sind, eine stetige, nirgends verschwindende Vektorverteilung SS' definieren, die in $R 1 mit üß übereinstimmt. Sei nun IF" -1 etwa die durch X = c n definierte Seite von W n . Dann wählen wir einen Punkt A mit den Koordinaten x v = 0 (v = 1, 1), x n = a>c n ; jeder Punkt P
von W" wird von A aus in einen und nur einen Punkt P des mit Randvektoren ö bereits versehenen Teils des Randes von W n projiziert. Durch die Bestimmung ü(P) = ti(P) wird unsere Aufgabe gelöst.
(Die analoge Aufgabe für ein Simplex statt für einen Quader ist analog lösbar.)
4. Nunmehr können wir eine Verallgemeinerung der Aufgabe 1 lösen:
Auf dem Rande des n-dimensionalen Elements E n im n - dimension alen euklidischen Raum sei ein stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld SS gegeben, das eine Abbildung des Grades a von (£ n ~ 1 auf die Richtungskugel vermittelt; ferner seien im Innern von E n k Punkte
P 1 , P,, ..., P t . (k^>0) gegeben und derart mit ganzen Zahlen a x , a„, , a k k
versehen, daß a y . — a ist. Man soll ein in ganz E n stetiges Vektor-
X=1
feld SS mit den Randwerten SS konstruieren, das in den Punkten P 1 , P 9 , ..., P k von den Ordnimgen a ± , a 2 , a k , sonst aber nirgends, verschwindet. Dabei ist die Ordnung einer Nullstelle eines Vektorfeldes gleich dem Index der Singularität des zugehörigen Richtungsfeldes, d. h. gleich dem Grade der durch das Feld vermittelten Abbildung einer die Nullstelle umgebenden Kugel auf die Richtungskugel, (n^l.)
Wir denken uns E n durch den „Würfel" 0 ^ x v 1 (v = 1, 2, ..., n) repräsentiert und zerlegen diesen durch (n — 1 )-dimensionale ebene, seinen Seiten parallele Räume derart in rechteckige Quader, daß kein P y _ auf dem Rand eines Quaders liegt, daß kein Quader W x , der einen der P x enthält, noch einen zweiten dieser Punkte P x enthält, daß kein derartiger W x an den Rand von E" stößt, und daß kein Quader der Zerlegung mit mehr als einem W x einen Punkt gemeinsam hat.
Auf dem Rande jedes W x bringen wir nun, was, da n — 1 1 ist, nach § 4 möglich ist, eine stetige, nirgends verschwindende Vektorverteilung SS* an, die ihn mit dem Grade a x auf die Richtungskugel abbildet; ist P ein Punkt des Innern von W x , P' der Schnittpunkt des Strahles P X P mit dem Rande von W x , so ordnen wir dem Punkt P denjenigen Vektor b (P)

Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 221
zu, der parallel zu v(P') ist und dessen Länge sich zu der von Ö(-P') verhält wie die Strecke P K P zu der Strecke P X P'. Nachdem so die W x in vorschriftsmäßiger Weise mit Vektoren versehen sind, haben wir in dem Rest von E n ein nullstellenfreies Vektorfeld mit den richtigen Randwerten zu konstruieren.
Zu diesem Zweck bringen wir die Teilquader von E n in eine bestimmte Reihenfolge. Die Zerlegung von E n werde dadurch bewirkt, daß man jede der Strecken 0 (v = \,..., n) in m v Strecken sl, s\, ..., Sm y
zerlegt; dann sind die Quader eineindeutig bestimmt durch n Indizes « 1 , a. 2 , ..., a n , die besagen, daß der betreffende Quader zu den Strecken s«, j sl,, •. •, Sa n gehört. Wir ordnen nun die Quader lexikographisch, d. h. : es sei (« 1; «. 2 , <(ß 1 , ß 2 , ...,ß n ), wenn es ein ? ^ 1 8 ibt > so
daß a. < ß. , aber a { = ß { für i < j ist. Bei dieser Ordnung gibt es zu jedem Quader (« 1; « 2 , ..., u n ) außer zu dem letzten (m lf m a , ..., m n ) mindestens einen, (ai , cc%, .. «»)> der die Bedingungen erfüllt: (^i > ^2 j • • • ) ^n) j ^2 s ■ ■ * ? a n ), b ) ( , oig , . * *, ßjj) hat mit (a 1 ,a 2 ,..a n ) eine (n — l)-dimensionale Seite gemeinsam; c ) añ)
ist keiner der W x . — In der Tat existiert ein solcher (cc[, a¡¡, ..cc„); ist nämlich für kein v a v = m v , so erfüllen die Quader (c^ + l, a 2 , ..., cc n ) und (a 1 , a 2 1 , ..., a n ) beide die Bedingungen a) und b), und mindestens einer von ihnen außerdem c), da die Teilung so fein gewählt war, daß kein Quader an zwei verschiedene W x stößt; ist andererseits für ein v u r = m v , so gibt es wegen (a t , ß 2 , ..., a n ) =f= (m 1 , m 3 , .. ., m„) einen
Index ix, für den cc^ < m fl ist, und der Quader (cc¿, «á a¿)
= (a 1 , ttn-i, «, t + l, cc fl + 1 , •.« n ) erfüllt außer a) und b) auch c), da kein W x an den Rand stößt und dieses (%', «Ó, . .., a¿) den Index m v enthält, also ein Randquader ist.
Sind nun die r ersten der so geordneten Quader derart stetig mit außer in den P x nicht verschwindenden Vektoren versehen, daß diese auf dem Rande von E n und in den W x mit den dort bereits angebrachten Vektoren übereinstimmen, und ist der nächste, noch nicht mit Vektoren versehene Quader noch nicht der letzte in unserer Ordnung, so können wir auch in ihm in vorschriftsmäßiger Weise Vektoren definieren, die sich stetig an die bereits vorhandenen anschließen; denn infolge der Eigenschaften a), b), c) besitzt er eine noch nicht mit Vektoren belegte (n — 1)- dimensional e Seite. Die Bestimmung der Vektoren in ihm führt also auf Aufgabe 3, welche wir lösen können. So sind schließlich in allen Quadern, außer in dem letzten, IF*, sowie auf dem Rande 91* von W* die Vektoren definiert. Wie groß ist nun der Grad der durch die auf ' angebrachten Vektoren vermittelten Abbildung von 3Î* auf die Richtungskugel? Um ihn zu bestimmen, addieren wir die Grade der Abbildungen

222
H. Hopf.
auf die Richtungskugel der Ränder aller Teilquader: Jeder W x liefert den Beitrag a K , W* den Beitrag x, jeder andere Quader den Beitrag 0, da in ihm die Vektoren nirgends verschwinden; die Summe ist also
k
x -f- yj a x — x + a \ andererseits ist diese Summe gleich dem Grade der
X=1
Abbildung des Randes der Summe aller Quader, also des Randes von E n ; dieser Grad ist a, d. h. es ist x = 0. Mithin läßt sich die Vektorverteilung wegen der Lösbarkeit der Aufgabe 1 auch in Wnullstellenfrei fortsetzen, und damit ist Aufgabe 4 gelöst.
Zusatz. Bei der Definition der Felder SS* in den W x können wir in weitgehendem Maße willkürlich verfahren, wir haben nur den in vorgeschriebenen Index zu berücksichtigen. So können wir z. B. ohne weiteres erreichen, daß in W x die Vektorkomponenten analytische Funktionen der Koordinaten sind. Diese Bemerkung kann mitunter nützlich sein, da es oft angenehm ist, Vektorfelder betrachten zu können, die sich in der Umgebung ihrer Singularitäten möglichst unkompliziert verhalten 12 ).
5. Wir verallgemeinern Aufgabe 4 weiter:
M n sei eine w-dimensionale (n 2), von r (n — 1 )-dimensionalen geschlossenen Mannigfaltigkeiten M* -1 , ..., iW" -1 berandete Teilmannigfaltigkeit des w- dimension alen euklidischen Raumes, P 1 ,...,P k seien Punkte im Innern von M n , a 1 , a k ganze Zahlen. Auf den M^~ x sind stetige, nirgends verschwindende Vektorverteilungen 33 e definiert ; b 1 , ..., b r seien die Grade der durch sie vermittelten Abbildungen auf die Richtungskugel, wobei die Indikatrizen der M * ~ 1 als ,, Ran diridikatrizen " von M"
Je r
bestimmt sind, und es sei Yj a y . == b a . Man soll in M n eine stetige
V. — Í 1
Vektorverteilung $8 mit den Randwerten konstruieren, die in den P„, und nur dort, verschwindet, und zwar von den Ordnungen a y ..
Man nehme eine simpliziale Zerlegung von M n in Simplexe T' 1 vor, definiere in den nicht auf den liegenden Eckpunkten dieser Zerlegungen willkürliche Vektoren und versehe durch sukzessives Lösen von Aufgaben des Typus 2 alle (n — l)-dimensionalen Seiten der Simplexe stetig mit nicht verschwindenden Vektoren, die auf dem M,] 1 1 mit denen der übereinstimmen. Dann wähle man im Innern jedes Simplexes Ti einen Punkt G>. und definiere in T> n ein in C>. und nur dort verschwindendes Vektorfeld nach dem in Aufgabe 4 bei der Behandlung der Quader W x angewandten Verfahren. Nun konstruiere man ein ganz im Innern von M n liegendes, die endlich vielen Punkte C>. und P„_ im Innern enthaltendes
12 ) Siehe z. B. § 4 der nachstehenden Arbeit: Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

Abbildungsklassen n -dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 223
Element E n (etwa als Umgebungsmenge eines alle P y . und C;. verbindenden Streckenzuges; vgl. § 2). c sei der Grad der durch die bisher angebrachten Vektoren vermittelten Abbildung des Randes (£ n_1 von E n auf die Richtungskugel, falls man die Indikatrix von @" -1 als Randindikatrix von E n bestimmt; er sei also — c, falls man diese Indikatrix als Randindikatrix der Mannigfaltigkeit M " bestimmt, welche aus M n durch Portlassen des Innern von E n entsteht; dann ist, da das Vektorfeld in M" keine Null-
r r Je
stelle hat, £ b e — c = 0, c = 2Jb l? = a y .. Daher kann man Aufgabe 4
q =1 £>=1 y.= l
für E n so lösen, daß man die bisher im Innern von E" angebrachten Vektoren durch solche mit den vorgeschriebenen Nullstellen und den bereits vorhandenen Randvektoren ersetzt, womit Aufgabe 5 gelöst ist.
§6.
Vereinfachter Beweis des Satzes aus § 3 für gewisse Spezialfälle.
Mit Hilfe der bei Behandlung der Randwertaufgaben im vorigen Paragraphen angewandten Methoden kann man den in den §§ 1 und 2 vorbereiteten, in § 3 zu Ende geführten Beweis des Satzes, daß zwei Abbildungen der n - dimensionalen geschlossenen Mannigfaltigkeit ¡i auf die Kugel S n sich stetig ineinander überführen lassen, wenn ihre Grade übereinstimmen, durch Zurückführung auf einen leichter zu beweisenden Spezialfall elementarer gestalten, falls man die Gesamtheit der betrachteten Mannigfaltigkeiten ¡u einschränkt. Die Einschränkung, der /x unterworfen werden muß, besteht darin, daß sich ¡x durch eine Jordansche, überall stetig differenzierbare Hyperfläche im (n l)-dimensionaIen euklidischen Raum repräsentieren läßt, — eine Einschränkung, durch die, wie ich früher gezeigt habe 13 ), gewisse Mannigfaltigkeiten von der Betrachtung ausgeschlossen werden.
Die Vereinfachung des Beweises besteht, wie man sehen wird, darin, daß 1. die in § 2 vorgenommene Konzentration der Übereinstimmungspunkte zweier Abbildungen, und 2. die Verwendung der Formel J 12 = ( — 1)"^ -f- g„ in § 3 fortfällt. Da fast alle Schritte des vereinfachten Beweises im Vorstehenden schon vorgekommen sind, sei eine kurze Darstellung unter Berufung auf früher ausführlich behandelte Schlüsse gestattet: /u. lasse sich in der oben genannten Weise durch die Hyperfläche n x repräsentieren. Es soll zunächst gezeigt werden, daß der Beweis geführt ist, falls man Aufgabe 1 (§ 5) lösen kann. ju 2 sei eine Parallelfläche von /ij, die durch Abtragen einer hinreichend kleinen Strecke a auf den inneren Normalen von /n l entsteht, M n+1 die von 1 a 1 und begrenzte
13 ) §§ 4, 5 der unter 5 ) zitierten Arbeit.

224 H. Hopf. Abbildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten.
Mannigfaltigkeit. Sind f x , f 2 zwei Abbildungen des Grades g von ju auf S n , so bringe man auf : u y , /.i a die stetigen, nirgends verschwindenden, die Abbildungen f 1 , /„ von u t , ¡u„ auf die Richtungskugel vermittelnden Vektorfelder SSj, 95 2 an. Die Grade dieser Abbildungen sind, wenn man ¡u 1 und als Berandungen von M n+l orientiert, g und — g. Wenn Aufgabe 1 lösbar ist, läßt sich daher, wie die Behandlung von Aufgabe 5 (übrigens ohne Behandlung von 4) zeigt, in M n+1 ein stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld 33 mit den Randfeldern 33 1 , S5 2 definieren. Bezeichnet nun P f den im Abstand t von dem Punkt P von auf der inneren Normalen dieses Punktes liegenden Punkt, und ti(P t ) den zugehörigen Vektor von S3, so wird durch ü (P, t) = b (P t ), während t von 0 bis a läuft, 9^ in SS,,, also f x in f„ stetig übergeführt.
Damit ist der Beweis von Satz II für die jetzt betrachteten ( a zurückgeführt auf die Lösbarkeit von Aufgabe 1, also auf denjenigen seiner Spezialfälle, in dem die abgebildete Mannigfaltigkeit selbst die Kugel, der den beiden Abbildungen gemeinsame Grad 0 ist. Beweisen wir Satz II nun für Abbildungen des Grades 0 beliebiger Mannigfaltigkeiten, so haben wir ihn für eine Gesamtheit von Sonderfällen bewiesen, in denen der am Anfang dieses Paragraphen genannte, auf Beschränkung auf gewisse jli beruhende, enthalten ist.
f sei also eine Abbildung des Grades 0 der Mannigfaltigkeit auf die Kugel S". Wir zeigen, daß man f stetig in eine Abbildung auf einen einzigen Punkt A überführen kann, indem wir diese Behauptung für die Dimensionenzahl n — 1 als bewiesen annehmen : Wir führen f stetig in eine simpliziale Approximation f' über; bei ihr seien C 1 , .. ., G m die Punkte von u, deren Bild der Diametralpunkt A von A ist. Wir umgeben nun die Cj , ..., C m mit einem Element E, dessen Bild f'(E) einen Punkt R von S n nicht bedeckt, vollziehen die stereographische Projektion p von R aus auf T R (vgl. §§ 2, 3) und ordnen jedem Punkt P von E den Vektor mit dem Anfangspunkt f{Ä), mit dem Endpunkt pf'(P) zu. Aus der Definition des Abbil- dungsgrades — ohne Benutzung der früher an der analogen Stelle benutzten Formel =(— 1)" g r + g„ — folgt, daß die durch diese Vektoren vermittelte Abbildung des Randes von E auf die Richtungskugel von T R den Grad 0 hat; auf Grund von Hilfssatz II kann man daher (vgl. § 3), da der zu beweisende Satz für n — 1 gelten soll, f' stetig in eine Abbildung f" abändern, bei der Ä nicht Bildpunkt ist, und f" läßt sich nun (s. § 2, letzter Absatz) stetig in die Abbildung auf den zu Ä diametralen Punkt A überführen.
(Eingegangen am 11. 8. 1925.)

Vektorfelder in ti- dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
Von
Heinz Hopf in Berlin.
Poincaré hat bewiesen, daß es im allgemeinen nicht möglich ist, in jedem Punkt einer stetig differenzierbaren, geschlossenen, unberandeten Fläche vom Geschlecht p einen Tangentialvektor derart anzubringen, daß das so entstehende Vektorfeld überall stetig ist; er hat gezeigt, daß die Summe der „Indizes" der dabei auftretenden Singularitäten den Wert 2 — 2 p hat, woraus folgt, daß für p =(= 1 immer Unstetigkeitsstellen vorhanden sein müssen 1 ). Brouwer hat diesen Satz auf die n - dimensionalen Kugeln ausgedehnt: auch hier ist die Summe der Indizes der Singularitäten unabhängig von der speziellen Wahl des Vektorfeldes; sie ist 2 für die Kugeln gerader, 0 für die Kugeln ungerader Dimensionenzahl 2 ). Diese Tatsachen lassen sich auch aus einem ungefähr gleichzeitig mit der betreffenden Brouwerschen Arbeit von Hadamard ohne Beweis veröffentlichten allgemeineren Satze folgern, welcher besagt, daß für jede im (n -f- k)- dimensionalen ( & 1 ) euklidischen Raum liegende ji-dimensionale, geschlossene, unberandete Mannigfaltigkeit die Summe der Indizes der Singularitäten eines tangentialen Vektorfeldes eine topologische Invariante der Mannigfaltigkeit sei, so daß z. B. zur Bestimmung der von Brouwer für die Kugeln angegebenen Zahlen die Betrachtung spezieller Vektorfelder genügt 3 ). (Wie mir Herr Brouwer mitteilt, sind übrigens die
1 ) Sur les courbes définies par les équations différentielles, 3. partie, chap. 13, Journ. de Math. (4) 1 (1885).
2 ) Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71 (datiert vom Juli 1910).
3 ) Note sur quelques applications de l'indice de Kronecker in Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable II, 2. éd. (1910), Nr. 42. — Es wird dort auf Arbeiten von Poincaré, Dyck, Brouwer verwiesen; in den in Frage kommenden Abhandlungen dieser drei Autoren behandeln Poincaré und Brouwer die im Text genannten speziellen Fälle, während Dyck zwar verwandte Sätze, aber nicht den bei Hadamard formulierten Satz beweist.

226
H. Hopf.
Brouwersche und die Hadamardsche Arbeit teilweise unter Gedankenaustausch zwischen den beiden Verfassern entstanden.)
Gelegentlich der Untersuchung der Curvatura integra geschlossener Hyperflächen gelangte ich zu einem Beweis des von Hadamard ausgesprochenen Satzes für den Fall, daß ¿ = 1 ist 4 ); da jedoch, wie sich gleichzeitig herausstellte, nicht jede n-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit regulär in den (n + l)-dimensionalen euklidischen Baum eingebettet werden kann, so handelte es sich dabei nur um einen Spezialfall der fraglichen Behauptung.
In der vorliegenden Arbeit wird sie nun vollständig bewiesen. Der Satz wird dabei in zwei Richtungen verschärft : die eine, unwesentliche, Verschärfung besteht darin, daß man sich von der Einbettung der Mannigfaltigkeit in einen Raum höherer Dimensionenzahl überhaupt frei macht, was bei geeigneter Definition der Vektorfelder, insbesondere bei der Deutung des Vektorfeldes als einer „kleinen Transformation", leicht geschieht; zweitens aber wird die als Summe der Indizes auftretende topo- logische Invariante wirklich angegeben: sie ist gleich der Euler sehen Charakteristik der Mannigfaltigkeit, was nach ihrer in speziellen Fällen bereits vorliegenden Bestimmung zu erwarten war. Singularitätenfreie Vektorfelder sind in einer Mannigfaltigkeit mithin nur möglich, wenn die Charakteristik 0 ist. Die Frage liegt nahe, ob umgekehrt, im Falle verschwindender Charakteristik, also z. B. im Fall einer geschlossenen un- berandeten Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl 5 ), sich immer ein singularitätenfreies Vektorfeld konstruieren läßt. Diese Frage wird bejaht, indem die gewünschte Konstruktion auf die Lösung gewisser „Randwertaufgaben für Vektorverteilungen" zurückgeführt wird, die ich in anderem Zusammenhang behandelt habe 6 ). Eine der Folgerungen aus diesen Tatsachen ist der Satz : „Eine Mannigfaltigkeit gestattet dann und nur dann beliebig kleine fixpunktfreie Transformationen in sich, wenn ihre Charakteristik den Wert 0 hat." Insbesondere läßt also jede unberandete geschlossene Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl derartige Transformationen zu, während dies bei Mannigfaltigkeiten gerader Dimensionenzahl im allgemeinen nicht der Fall ist.
Ein verhältnismäßig breiter Raum (§§ 1, 2) mußte für die Diskussion von — größtenteils bekannten — Begriffen und Tatsachen verwendet werden, welche Komplexe, Mannigfaltigkeiten und deren Darstellung
4 ) Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen, Math. Ann. !)5
(1925).
6 ) S. z. B. H. Tietze, Uber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Wiener Monatshefte für Math. u. Phys. 19 (1908), § 8.
e ) Abbildungsklassen n - dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 96.

Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 227
betreffen. Der Zusammenhang zwischen der Indexsumme der Singularitäten eines Vektorfeldes und der Eulerschen Charakteristik wird im wesentlichen in § 3 behandelt; dies geschieht durch Schluß von n — 1 auf n Dimensionen; dabei ist das (n — 1)-dimensionale Gebilde, auf das man im Verlauf des für n- dimensionale Mannigfaltigkeiten zu führenden Beweises zurückzugehen hat, keine Mannigfaltigkeit mehr, sondern ein „Komplex", der Randkomplex der Mannigfaltigkeit. Dieser Umstand macht es notwendig, da man in Komplexen nicht ohne weiteres von Stetigkeit einer Vektorverteilung reden kann, einen neuen Begriff einzuführen, den des „komplexstetigen Vektorfeldes". In § 4 wird eine den Beweis des § 3 vervollständigende Hilfskonstruktion nachgetragen, und in § 5 wird dem Satz seine endgültige Formulierung gegeben; er wird in der oben erwähnten Weise als Fixpunktsatz für kleine Transformationen aufgefaßt und auf Grund der Lösbarkeit der „Randwertaufgaben" in der ebenfalls schon angedeuteten Weise umgekehrt; ferner wird gezeigt, daß die Zahlen, die als die „Totalkrümmungen" geschlossener Hyperfläclien 1 ) auftreten, in vielen Fällen als Eulersche Charakteristiken gedeutet werden können.
§ I-
Komplexe und ihre Darstellungen.
1. Im n - dimensionalen gewöhnlichen Raum seien ß " Simplexe T\ [V" = 1, ..., ß n ] gegeben; ihre k -dimensionalen [0 ^ k < n] Randsimplexe seien mit T% [v h = 1, ..., ß k ] bezeichnet. Die T ™n bilden eine „Komplexdarstellung"®", wenn zwischen den Punkten gewisser T", , die, „miteinander verbunden" genannt werden, Zuordnungen folgender Art bestehen :
T{\ T£ seien miteinander verbunden; dann gibt es zwei zu T¡\ T." gehörige Simplexe T\, T« [0 k <[ «], deren Punkte eineindeutig und stetig so aufeinander bezogen sind, daß jedem Tf [0 von T* ein T%
von T\ entspricht, während zwei nicht zu T\, T* gehörige Punkte A 1 , A<¡ von T", T? nicht einander zugeordnet sind. Diese Zuordnung ist transitiv, d. h. : sind einerseits A 1 , A„ , andererseits A,,, A s einander zugeordnete Punkte von T", T" bzw. T?, T", so sind auch A i , A :t einander zugeordnet.
Infolge der Transitivität können wir für jedes p [0 ^p^n] die ß v Simplexe derart in a p Gruppen gf T [A p =1, ..., <x v ; 1 <Lu p ^ ß v ] einteilen, daß die einer g v angehörigen T v einander zugeordnet sind, und analog lassen sich die Punkte A in Gruppen a zusammenfassen. Wir nennen die Gruppen a die „Punkte", die Gruppen gj v die „Simplexe" des „durch
dargestellen Komplexes C n ", und sagen, daß zwei zu derselben Gruppe gehörige Punkte bzw. Simplexe von „identisch in C n " sind.

22S
H. Hopf.
2. Ist in zwei Komplexdarstellungen 2)", S" für jedes k: ß* = ß*, und unterscheiden sie sich nicht hinsichtlich der Gruppierungen gf k ihrer Simplexe, sondern nur hinsichtlich der Punktzuordnungen innerhalb der Simplexe T* k , so nennen wir sie „isomorph"; zwei durch isomorphe ® ", ® 2 " dargestellte Komplexe C", C" lassen sich eineindeutig und stetig so aufeinander abbilden, daß dimensional e Simplexe einander so entsprechen, wie es durch den Isomorphismus vorgeschrieben ist 7 ), und wir betrachten sie als nicht voneinander verschieden.
Zu jeder Darstellung ®" gibt es eine ihr isomorphe „affine" Darstellung 91", d. h. eine solche, in der die Abbildungen von je zwei einander zugeordneten Simplexen aufeinander affin sind; um eine solche Darstellung zu erhalten, hat man nur mit je zwei Simplexen Tdiejenige affine Abbildung aufeinander vorzunehmen, die durch die vermöge SE" vorgeschriebene Zuordnung ihrer Ecken eindeutig bestimmt ist.
Eine Darstellung heißt „reduziert", wenn in ihr a n = ß n ist, d. h. wenn Zuordnungen nur für Randpunkte, nicht für innere Punkte der T" n vorgenommen sind. Man kann jede Darstellung durch Fortlassung gewisser T" n „reduzieren", und wir betrachten den durch die reduzierte Darstellung repräsentierten Komplex als nicht verschieden von dem ursprünglichen. Im allgemeinen haben wir im folgenden reduzierte affine Komplexdarstellungen im Auge.
3. Die (n — l)-dimensionalen Randsimplexe von®" bilden bei Aufrechterhaltung der durch ®" vorgeschriebenen Zuordnungen eine (n — l)-dimensionale Komplexdarstellung ®"~ l . Ist 5£>" affin, so ist auch ® n_1 affin, jedoch ist ®" -1 im allgemeinen auch bei reduziertem ®" nicht reduziert. Den durch ® n_1 dargestellten Komplex G n ~ x nennen wilden „Randkomplex" von C n .
4. Zerlegt man jedes T" n von ®" derart in endlich viele Teilsimplexe, daß die so entstandenen Zerlegungen verschiedener T * [1 <lJc<Ln], sofern diese einander zugeordnet sind, miteinander „identisch in C"" sind, so entsteht damit „durch Unterteilung" von SD" bzw. C n eine Darstellung ® " eines Komplexes C". G" und C" haben bekanntlich dieselbe „Eulersche Charakteristik"; diese ist in der obigen Bezeichnung für G n
definiert als (—1)'' a k . Durch die mit den T n n vorgenommene Zer-
fc=0 r
legung entsteht gleichzeitig durch Unterteilung von SD" -1 bzw. G n ~ 1 eine Darstellung SD" -1 des Randkomplexes C" -1 von C".
') H. Kneser, Die Topologie der Mannigfaltigkeiten (Anhang), Jahresbericht d. Deutsch. Math. Ver. 34, 1.—4. Heft (1925). — Es werden dort zwar nur Mannigfaltigkeiten betrachtet, doch bleibt die Argumentation unverändert für Komplexe gültig.

Vektorfelder in w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 229
31" sei eine affine Darstellung. Dann ist jede durch Unterteilung entstandene Darstellung 2Í" auch affin. Man kann mit einer vorgelegten affinen Darstellung 21" folgendermaßen eine beliebig dichte Unterteilung vornehmen: ra sei eine beliebig große ganze Zahl; man teile jede Kante T 1 j in ra gleiche Teile und lege durch jeden Teilpunkt A die parallelen ebenen Räume zu denjenigen T" -1 , die demselben T n angehören wie A, ohne A zu enthalten. Auf diese Weise wird jedes T l in endlich viele behebig kleine konvexe Polyeder P h zerlegt, und diese Zerlegungen sind in einander zugeordneten T k „identisch in C"". Die P h zerlegt man nun weiter in Simplexe, und zwar wieder unter Beachtung der vorhandenen Zuordnungen, so daß eine Unterteilung von C" entsteht 8 ). — Dabei ist für eine spätere Anwendung folgende Bemerkung wichtig: Bezeichnen wir zwei Polyeder als nach „Gestalt und Lage" nicht voneinander verschieden, wenn sie durch Dehnung und Translation — also in einem ..., x n ) - Koordinatensystem durch eine Transformation x'. = cx v _|- a v [v = l, n] — ineinander übergeführt werden können, so kommen für die P n , unabhängig von der Zald ra, nach Gestalt und Lage nur endlich viele Polyeder in Betracht. In der Tat: führen wir z. B. in T", dessen Seiten T 1 " -1 , ..., T„+1 seien, derart ein affines Koordinatensystem ein, daß die der Seite T"+i gegenüberliegende Ecke der Nullpunkt, die von ihm ausgehenden Kanten die Achsen, die übrigen n Ecken die Einheitspunkte auf den Achsen sind, so ist ein zu T" gehöriges P" ein Teil eines „Parallelepipedons" 77, dessen Kanten den Einheitsstrecken des Koordinatensystems parallel und proportional — nämlich von der Länge — — sind, also eines nach Gestalt und Lage von ra unabhängigen Gebildes; und zwar ist P" eines der Stücke von 77, die man erhält, wenn man durch jede Ecke von 77 den zu T„+x parallelen ebenen Raum legt, die also ebenfalls nach Gestalt und Lage von vornherein bestimmt sind. Nun läßt sich auch die Zerlegung dieser P n in Simplexe nach Gestalt und Lage von vornherein vorschreiben 0 ). — Diese Überlegung gilt für jedes einzelne T™ n ; damit ist gezeigt, daß man durch eine beliebig dichte Unterteilung (d. h. eine Unterteilung mit beliebig großem ra) von % n eine Darstellung 21" herstellen kann, deren Simplexe von vornherein in bezug auf Gestalt und Lage auf endlich viele vorgegebene, allein durch 21" bestimmte mögliche Fälle beschränkt sind.
5. Es sei 7 1 " ein Simplex von T"~ k [& 1 ] ein Randsimplex von 7". r p"~ k gehört k Simplexen T" _1 [* = 1, ..., &] an; der T" k
8 ) Hadamard, a. a. 0. Nr. 10, Fußnote 2).
9 ) Man verbinde den Schwerpunkt jedes P k [2 < k < n] mit jeder Ecke von f* und mi t, dem Schwerpunkt jedes P'[2^¿<&], das dem Rand von P k angehört.

230
H. Hopf.
enthaltende ebene (n — yfc)-dimensionale Raum E n ~ k ist der Durchschnitt der k {n — 1 )- dimension alen ebenen Räume E"~', welche die enthalten. Jeder E" 1 zerlegt den «,-dimensionalen Raum in zwei Teile; denjenigen, der T" enthält, nennen wir die „positive Seite" von P" -1 . Den Durchschnitt der positiven Seiten der P" _1 [x = l,...,&] nennen wir das „Innere" des durch die P" _l gebildeten „¿-fachen Winkels W% dessen Scheitel E n ~ k ist; das Innere mit Einschluß des Randes ist der „abgeschlossene Winkelraum" IF". (Unter einem ist demnach die durch einen E n ~ 1 bestimmte positive Hälfte des Raumes zu verstehen.) Jeder wird begrenzt durch Je abgeschlossene Winkelräume W£li , die der durch ®" definierten Darstellung ®" _1 des Randkomplexes C n ~ 1 angehören.
6. 21" sei eine affine reduzierte Darstellung von C", 21 " _1 die zugehörige affine (nicht reduzierte) Darstellung des Randkomplexes C n ~ x , 2(" _1 eine reduzierte affine Darstellung von C" -1 in einem ebenen Raum J" 1-1 . El 1 " 1 sei der das Randsimplex T^ 1 von 21" enthaltende ebene Raum, P, ein Punkt von P" -1 , lD t ein in P 1 angebrachter, in E"~ l liegender Halbstrahl. Sind Pf 1 ... P" -1 die mit P" _1 in C n identischen Randsimplexe von 21", P 2 , ..., P r die Punkte in ihnen, die mit Pj identisch sind, so sind vermöge der affinen Zuordnung zwischen den die Tg' 1 [o = 1, ..., r] enthaltenden E£~ l Halbstrahlen iü,,, ..., tt> r definiert, die in den P s beginnen und in den E',¡~ x liegen. Diesen r in 2t" _1 definierten Strahlen entspricht in 2Í" -1 vermöge der affinen und transitiven Zuordnung genau ein Strahl tu* von P" —1 , der in dem P 1 entsprechenden Punkt p des Simplexes t n ~ l von 2l" _1 angebracht ist, welches das Bild der P" -1 ist. Gehören P l und gleichzeitig mehreren (n— 1 )- dimensionalen Randsimplexen P" -1 von 2Ï" an, so entsprechen dem Halbstrahl ltJj und den mit ihm in C" identischen Halbstrahlen tü„, ..., to m
von 21" mehrere Halbstrahlen von P" _1 , welche dann jedoch alle in Rand- räumen von 2l"~ liegen und vermöge der affinen und transitiven Beziehung zwischen den Randräumen von 2Í" - aufeinander abgebildet sind.
7. Es sei & 1, T' l ~ k ein Randsimplex von 2Í", P ein Punkt von T n " k , E n 1 der T n k enthaltende ebene Raum, W£ der zu E n ~ k als Scheitel gehörige ¿-fache Winkel, u ein in P angebrachter, ins Innere von W£ gerichteter Halbstrahl, ö der zu it diametrale Halbstrahl, e 2 eine von u und ü ausgespannte 2-dimensionale Halbebene, e 2 schneidet jeden der k Randräume E" _1 [x — 1,..., k], die E n ~ k enthalten, in einem Halbstrahl tu*. Sind P" -1 die den P" -1 angehörigen Randsimplexe, so entspricht jedem P" -1 ein Simplex i" -1 von 2If~\ an jedem von diesen gibt es ein t"~ k , welches das Bild von T n ~ k ist, zu jedem gehört

Vektorfelder in «-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
231
ein Winkel (wj¡IÍ) x von 2Í" -1 ; in jedem t"~ k gibt es einen Bildpunkt p x von P, und jedem lu* entspricht ein in p y _ angebrachter Strahl tu * von F n ~ x . Wir betrachten die Eichtungen dieser lu* genauer; es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
I. (Hauptfall): e 2 habe mit je 2 der Í7" -1 nur den Punkt P gemeinsam; dann gehört jeder der Strahlen tu* nur einem 1 an; kein 10* ist daher in einem (n — 2)- dimensional en Randraum von Slf -1 gelegen. Dreht man u in e 2 bis in die Lage ü, so sei tu x der erste Schnitt mit einem El! -1 ; dann ist tü T der einzige lt )*, der dem Rande von W£ angehört, da alle andern tu* ins Äußere von W¡¿ zeigen. Daher zeigt lu* ins Innere von (w"-i )i, während alle anderen tu* ins Äußere ihrer gerichtet sind.
II. (Grenzfall): e 2 habe mit mehreren der 2?" _1 gleichzeitig außer P noch einen Punkt, also einen Halbstrahl gemeinsam; dann sind nicht alle tu* voneinander verschieden. Die k Halbstrahlen w x lassen sich in i Gruppen {i < k) derart zusammenfassen, daß die Strahlen einer Gruppe in einen Strahl tu,' [j — 1, ..¿] zusammenfallen. Für die tu/ bleiben die in Fall I für die tu i festgestellten Tatsachen richtig. Ist luí der erste Schnitt des gedrehten Strahls u mit einem E™~ 1 und ist luí nur mit einem einzigen tu* identisch, so bleibt das Resultat der Überlegung von Fall I unverändert bestehen, daß von den tu* [x = l, ...,&] genau einer, nämlich tu*, ins Innere seines (Wk-i)i zeigt, alle anderen lu* ins Äußere ihrer (w^-i) gerichtet sind. Ist dagegen lui mit mehreren tu* identisch, so ist diese Tatsache dahin zu modifizieren, daß gewisse tu*, etwa tu*, ..., tu,* (nämlich diejenigen, die to{ entsprechen), den Rändern ihrer (Wk~i)* angehören, und zwar so, daß sie vermöge der in SC" 1 definierten affinen transitiven Zuordnungen aufeinander abgebildet sind, während alle anderen tu* \x = m-\- 1, ..., &] ins Äußere ihrer 1 )* weisen.
Bevor wir die hiermit festgestellten Tatsachen verwerten, haben wir noch spezielle Komplexe zu betrachten.
§2.
Mannigfaltigkeiten und ihre Darstellungen.
1. Ein Eckpunkt T y °o einer reduzierten Darstellung von C n heißt ein „regulärer Eckpunkt", wenn die T* ; [k = 1, ..., »], die ihn sowie die mit ihm in C n identischen Punkte enthalten, einander zugeordnet sind wie zusammenfallende Simplexe und Randsimplexe der Simplexe eines gewissen Simplexsterns des n-dimensionalen kartesischen Raums. Dabei verstehen wir unter einem Simplexstern ein aus endlich vielen Simplexen derart zusammengesetztes Element S n , daß alle Simplexe einen Eckpunkt

232
H. Hopf.
A gemeinsam haben, während alle andern Eckpunkte auf einer Kugel um A liegen 10 ); T,'o heißt „innerer" oder „Randeckpunkt", je nachdem A im Innern oder auf dem Rande von S n liegt.
Ein Komplex, der nur reguläre Eckpunkte — innere oder Randpunkte — besitzt und außerdem „zusammenhängend" ist, d. h. in dem man von jedem T" zu jedem andern T"' durch eine Kette von T n gelangen kann, in welcher jedes T n mit dem folgenden verbunden ist, heißt eine (geschlossene) „Mannigfaltigkeit" M n . Hat M n nur innere Eckpunkte, so heißt sie „unberandet" "); hat M n auch Randeckpunkte, so bilden alle „Randpunkte" eine endliche Anzahl geschlossener unberandeter (n — 1 )- dimensionaler Mannigfaltigkeiten 12 ); dabei heißt ein Punkt ein Randpunkt von M n , wenn er einem solchen Randsimplex angehört, dem bei jeder Zuordnung zu den Simplexen eines Simplexsterns S n ein aus Randpunkten von S n gebildetes Simplex entspricht.
Ein Komplex, dessen Darstellung durch Unterteilung einer Darstellung einer Mannigfaltigkeit M n entsteht, ist, wie aus der Definition folgt, selbst eine Mannigfaltigkeit. Diese gilt für uns als nicht verschieden von M n .
2. Wir betrachten die gleichzeitige Abbildung mehrerer in M n miteinander verbundener Simplexe einer Darstellung auf Teile eines Elements im kartesischen Raum: Seien zunächst T\ die Simplexe einer affinen Darstellung 21" von M n , To eine Ecke, So der zugehörige Simplexstern; dann läßt sich die zwischen den k- dimensionalen Simplexen (0 ^k^n) von So einerseits und den Simplexen T* k andererseits bestehende Zuordnung, soweit diese definiert ist, zu einer Abbildung verschärfen, indem man zwischen jedem Simplex Z\ von So und dem ihm zugeordneten T\ die durch die Zuordnung der Ecken von Z* zu denen von T*u eindeutig definierte affine Abbildung ausführt; auf diese Weise wird So auf denjenigen Teil 20 von M" eineindeutig und stetig abgebildet, der in 51" durch alle den Eckpunkt To oder einen mit ihm in M n identischen Eckpunkt T{ enthaltende Simplexe T¡ 1 dargestellt wird.
3. Der so auf ein Stück des kartesischen Raums abgebildete Teil von M n umfaßt alle Simplexe, welche in M n die Umgebung eines Punktes, nämlich des durch To repräsentierten, bilden ; wir suchen mm eine analoge
10 ) Diese Definition des Simplexsterns weicht unwesentlich ab von der von Brouwer in der unter 2 ) zitierten Arbeit gegebenen.
11 ) Dann hat M" offenbar überhaupt nur „innere" Punkte im gewöhnlichen Sinne; vgl. dazu den unter ') zitierten Bericht von H. Kneser.
la ) Hadamard, a. a. 0. Nr. 16.

Vektorfelder in w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
233
Abbildung der ganzen Umgebung eines Simplexes einer Darstellung von M 1l \ wir definieren:
Eine affine Darstellung SIf von M n heißt eine „Umgebungsdarstellung", wenn sich zu jedem ihrer Simplexe TÔ ein Element Eô des gewöhnlichen Raumes mit folgender Eigenschaft angeben läßt: Ist Q q die „Simplexumgebung von Tô u , d. h. der durch die mit To verbundenen Simplexe T" in dargestellte Teil von M n , so läßt sich Eo in
m + 1 Simplexe z" t - [i = 0, 1, ..m] zerlegen und eineindeutig und stetig so auf Ü q abbilden, daß dabei z™, ¿ au ^ T* [¿ = 0, 1, .. m] affin bezogen ist 13 ).
Wir zeigen, daß man von jeder M n eine Umgebungsdarstellung herstellen kann: 2Ï" sei die oben besprochene affine Darstellung, in bezug auf die man die für ein einzelnes v° geschilderte Abbildung der S"o und 2™ [v° = 1 , ..., /5°] vorgenommen hat. Wir stellen durch Unterteilung eine Darstellung von M 11 her, indem wir jede eindimensionale Kante T v i in n -f- 1 gleiche Teile teilen, durch die Teilpunkte die zu den Seiten Ï 1 "»-! parallelen ebenen (n — 1 )-dimensionalen Räume legen und die so entstehenden konvexen Polyeder in Simplexe zerlegen. Ist ein Simplex der Darstellung und etwa T" das Simplex von 91 ", dem i" angehört, so gibt es eine (n — 1 )-dimensionale Seite von T¿\ mit der t' 0 l keinen Punkt gemeinsam hat; in der Tat, führen wir (wie in §1,4) ein affines Koordinatensystem , ..., £ n in T q ein, dessen Nullpunkt die Ecke von T„ ist, in welcher sich die Seiten 7 1 ™ -1 , ..., 7 1 ,' 1-1 schneiden, dessen Achsen die vom Nullpunkt ausgehenden Kanten, dessen Einheitspunkte auf den Achsen die übrigen Ecken von To sind, so genügen die Koordinaten jedes Punktes eines Simplexes der Darstellung Sif, welches mit jeder der Seiten T" _1 , ..., Tn' 1 einen Punkt gemein hat, den Ungleichungen
n];
n
dieses Simplex besitzt daher auf der letzten durch die Gleichung £ = 1
¿=i
definierten Seite Tn+i von To keinen Punkt. — Also gibt es zu tô eine Seite von T", z. B. T q " -1 , mit der tô keinen Punkt gemeinsam hat. Ist nun T q der T™~ 1 gegenüberliegende Eckpunkt von T", SÔ der zu To gehörige Simplexstern, so ist die oben besprochene eineindeutige stetige und stückweise affine Beziehung zwischen SÔ und den Simplexen von 21", die einen mit To in M n identischen Eckpunkt enthalten, in tô sowie in jedem
13 ) Allgemein bezeichnet also z™ in dem die Simplexumgebung von T" darstellenden Element E " dasjenige Teilsimplex, welches das Bild von T" ist. Mathematische Annalen. 96. 16

234
H. Hopf.
mit ¿o verbundenen Simplex von 2Í", also in der „Simplexumgebung" Í2" von to erklärt, d. h. : 21" ist eine Umgebungsdarstellung.
Wir können nun zur Darstellung von M n an Stelle der t"„ direkt die oben definierten Simplexe ,, benutzen, und erhalten so, wenn wir, um zu unserer früheren Bezeichnungsweise zurückzukehren, von vornherein z™n\ fi n = T f % setzen, eine Umgebungsdarstellung, die folgendermaßen aussieht: An jedes Simplex T^n li ) sind an denjenigen Randsimplexen, die keine Randpunkte von M n repräsentieren, Simplexe z\ ■ [¿=1, . • angebracht, die zusammen mit T*n ein Element E"„ , das eineindeutige Bild der Simplexumgebung ß"n von T"n in M n , bilden; dabei sind je zwei Simplexe z"„ z \ „,,, die zu zwei verschiedenen Elementen 2£"„, E"„ se-
r f* x » r t l 2 ' t "i 2
hören und denen dasselbe durch T*„ = 2 repräsentierte Stück von M n entspricht, durch Vermittelung von M n affin aufeinander abgebildet.
4. Diese „ausgezeichnete Umgebungsdarstellung" von M n , die wir wieder mit 21" bezeichnen wollen, ist geeignet zur Untersuchung gewisser Transformationen von M n :
Eine eindeutige stetige Abbildung von M n auf sich oder einen Teil von sich heiße in bezug auf 21" eine „Umgebungstransformation" von M n , wenn jeder durch einen Punkt eines Tâ„ repräsentierte Punkt von M n in einen Punkt der Simplexumgebung Q^n von T",, übergeht.
Z. B. sind die Transformationen f i einer in ganz M" gleichmäßig gegen die Identität konvergierenden Transformationsfolge f x , / 2 . ... in bezug auf jede beliebige ausgezeichnete Umgebungsdarstellung 21" von einem gewissen, von 21" abhängigen Index an Umgebungstransformationen; dies drücken wir gelegentlich so aus, daß wir sagen, eine „beliebig kleine Transformation" von M" ist eine Umgebungstransformation in bezug auf jede ausgezeichnete Normaldarstellung.
Ist f in bezug auf 21" eine Umgebungstransformation, so ist durch s ie in eindeutiger Weise eine eindeutige und stetige Abbildung f fl n jedes Simplexes T"n auf eine dem Element E™ n angehörige Punktmenge definiert. Wir nehmen an, daß f höchstens endlich viele Fixpunkte hat und daß diese nur inneren Punkten der T"„ entsprechen. Bringen wir nun in jedem Punkt P von T"n den nach dem Punkt f ft n (P) weisenden Vektor ti (P) an, so ist dieses Vektorfeld SS in einem gewissen Sinne, von den Fix-
14 ) ¡i" bezeichnet also jetzt, ebenso wie im § 1 v", einen von 1 bis a" laufenden Index.

Vektorfelder in M-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
235
punkten abgesehen 15 ), in ganz M n eindeutig und stetig. Es hat, unter Benutzung der Bezeichnungen des §1, u.a. folgende Eigenschaften:
A. In jedem einzelnen T f % [fi n = 1 , ..ß n ] ist 33 eindeutig und stetig, abgesehen höchstens von endlich vielen im Innern gelegenen Punkten.
B. P 0 sei ein Randpunkt von 7 0 " und gehöre einem Randsimplex T*~ k [1 ^Jc n\ an; T"~ k [g = 1,..r] seien die mit T£~ k identischen Randsimplexe anderer T" n , P die mit P Q identischen Punkte der T"~ k , {W") s [g = 0, 1 die ¿-fachen Winkel, deren Scheitel die T, n ~ k sind. Dann tritt stets einer von folgenden beiden Fällen ein:
I. (Hauptfall): Von den r + 1 Vektoren 0 (P ä ) weist genau einer ins Innere seines {W™) n , während alle anderen ins Äußere ihrer (gerichtet sind.
II. (Grenzfall) : Einige der b (P a ) gehören den Rändern ihrer (W") e an und sind vermöge der zwischen den Randräumen bestehenden affinen und transitiven Zuordnungen aufeinander abgebildet, während die übrigen Ü (PJ ins Äußere ihrer {W£) e zeigen.
Wie man erkennt, tritt Fall II dann und nur dann ein, wenn P 0 und f 0 (P 0 ) demselben Randsimplex angehören.
§3.
Komplexstetige Vektorfelder.
Bei der am Schluß des vorigen Paragraphen gewählten Formulierung der Eigenschaften A und B des Vektorfeldes 33 ist kein Gebrauch von der Tatsache gemacht, daß wir eine Umgebungsdarstellung einer Mannigfaltigkeit vor uns haben. Liegt eine reduzierte affine Darstellung 51" eines beliebigen Komplexes G" vor, so wird keine der eben ausgesprochenen Eigenschaften sinnlos, wenn wir M n durch C n ersetzen. Wir dürfen daher definieren:
Eine Zuordnung S3 von Vektoren D (P) zu den Punkten P der reduzierten affinen Darstellung 21" des Komplexes C" heißt ein „in C n (in bezug auf 21") komplexstetiges Vektorfeld", wenn sie den Forderungen A und B genügt. [Siehe den „Zusatz" am Schluß dieser Arbeit.]
1. Von den Eigenschaften komplexstetiger Vektorfelder, die uns im Folgenden beschäftigen werden, sei zunächst festgestellt: Ist 21" eine durch Unterteilung von 21" entstandene Komplexdarstellung, so ist 33 auch komplexstetig in bezug auf 2Í", vorausgesetzt, daß kein singulärer Punkt
16 ) Von nun an kommt es uns, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes bemerkt wird, stets nur auf die Stetigkeit der Richtungen, nicht der Längen der Vektoren an; Nullstellen des Vektorfeldes gelten daher als Singularitäten.
16*

236
H. Hopf.
von 35 auf einem Randsimplex der Darstellung 2t" liegt. Von der Richtigkeit dieser Behauptung überzeugt man sich durch die Feststellung, daß 33 die Eigenschaft B nicht nur, wie vorausgesetzt, auf den Rändern der Darstellung 2Í", sondern auch auf den bei der Unterteilung neu entstandenen Rändern hat, in denen SS stetig im gewöhnlichen Sinne ist.
2. Eine zweite wichtige Eigenschaft der komplexstetigen Vektorfelder betrifft die „Projektion des komplexstetigen Vektorfeldes 33 auf den Randkomplex". Darunter ist Folgendes zu verstehen: O", 3t", 33 haben dieselben Bedeutungen wie bisher, 2l" -1 sei die durch 9t" definierte nicht reduzierte Darstellung des Randkomplexes C" -1 , 2t" -1 sei eine reduzierte affine Darstellung von C" -1 , Tyu [k = 0,...,n\ v k = 1 , ..ß"; ß n — cc n ] seien die Simplexe von 21", t** [&=0,. n — 1; X k y n ~ 1 = a n ~ 1 '\ die Simplexe von 2Í"~ ■ Auf dem Rande jedes T , n n sei ein Feld U y n von Vektoren u (P) mit folgenden Eigenschaften gegeben:
a) u(P) ist ins Innere von T", gerichtet;
b) liegt P auf einem T n ~ 2 , so fallen die Richtungen u(P) und ü (P) nicht zusammen;
c) es gibt höchstens endlich viele Punkte P, in denen die Richtungen von u(P) und ö(P) zusammenfallen.
Wir lassen es dabei im Augenblick dahingestellt, ob solche Vektorfelder U,.« stets existieren.
Auf jedem T n ~ 1 von T v " fassen wir nun nur die Punkte P ins Auge , in denen ö (P) entweder nach der positiven Seite des T n ~ l enthaltenden ebenen Raumes E n l gerichtet ist oder in E n ~ i liegt — in denen ö (P) also dem betreffenden „abgeschlossenen Winkelraum Wî " angehört —, und projizieren diese ü(P) von u(P) aus auf ¿7" -1 , d.h. wir stellen denjenigen Vektor ft) (P) her, in dem E n ~ x von der durch u(P), Ö(P) und dem zu li(P) diametralen Vektor fl(P) ausgespannten Halbebene e 2 (P) geschnitten wird; dabei ist die Reihenfolge der genannten Vektoren in e 2 stets die folgende: it, ö, tu, ü. Diese Konstruktion wird nur in denjenigen, höchstens in endlicher Anzahl vorhandenen, der betrachteten Punkte P unmöglich, in denen u (P) und ö (P) zusammenfallen. Dem Vektor lu (P) entspricht nun entweder (s. § 1, 6) genau ein Vektor tü* in St" -1 , oder es entsprechen ihm mehrere in Randräumen von 2ÍÍ 1-1 liegende Vektoren lu*, die affin aufeinander abgebildet sind. Die Gesamtheit SB* der so in 2tf~ 1 erzeugten Vektoren lü* nennen wir eine „Projektion des Feldes 33" und behaupten, daß sie ein in G n ~ x komplexstetiges Vektorfeld darstellt. In der Tat: daß 393* die Eigenschaft A der für die komplexstetigen Vektorfelder charakteristischen Eigenschaften A und B

Vektorfelder in ra-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 237
besitzt, folgt aus der geschilderten Konstruktion von SB'" sowie der Tatsache, daß die Forderung B von 33 insbesondere für k = 1 erfüllt wird ; und daß SB* die Eigenschaft B für jedes k* <^n — 1 besitzt, ergibt sich daraus, daß 93 diese Eigenschaft für k — k* 1 besitzt, sowie aus dem in § 1, 7 diskutierten Verhalten der projizierten Vektoren, wonach insbesondere tu * dann und nur dann seinem abgeschlossenen Winkelraum iv"Ii angehört, wenn lu der erste Schnitt des in e" gedrehten Vektors it mit einem Randraum E' 1 " 1 von W£ ist, wenn also b dem abgeschlossenen Winkelraum IF/' 1 angehört.
3. Wir bringen nun die Indizes der Singularitäten von 93 in Beziehung zu den Indizes der Singularitäten von SB*. s v « sei die Summe der Indizes
a "
derjenigen Singularitäten von 3?, die in T"n liegen, und s" = s v n sei
v» = l
also die Indexsumme aller Singularitäten von 33; ferner sei s n_1 die Indexsumme aller Singularitäten von SB*, a v n die Summe der Ubereinstimmungsindizes') der beiden Abbildungen des Randes von T\ auf die Richtungskugel, die von U„n und dem zu 33 gehörigen Randfeld 3$,.» (in
cell
dieser Reihenfolge!) vermittelt werden, und a— ^ a v n die Summe
v n = 1
aller dieser Übereinstimmungsindizes. Nun läßt sich die Zahl a auf zweierlei Weise bestimmen: Dort und nur dort, wo U„« und 33*« Übereinstimmungsstellen haben, entsteht eine Singularität von SB*. Der Index einer solchen Ubereinstimmung ist gleich dem Index der Singularität des Feldes der projizierten Vektoren tu, also auch gleich dem Index der Singularität von 3B*, vorausgesetzt, daß man den [n — l)-dimensionalen Randraum E n ~ x , dem der betrachtete Punkt angehört, so orientiert, daß ein positiv orientiertes Achsensystem von E n ~ x zusammen mit einem Vektor von 1X v n als letzter Achse ein negatives Achsensystem des n - dimension alen Raumes bildet 18 ) ; in unserem Fall ist aber die Indikatrix von E n ~ 1 als Randindikatrix von T' l n bestimmt, d. h. ein auf die geschilderte Weise gebildetes n- fâches Achsensystem ist positiv orientiert 2 ). Folglich ist der Ubereinstimmungsindex von U,.« und 33,.» entgegengesetzt gleich dem Index der Singularität von SB * in dem entsprechenden Punkt, und es ist daher
(1) a — — s" -1 .
a n
Andererseits ist a=JJa,,n auf folgende zweite Weise zu bestimmen:
»n=i
a v n ist die Summe der Übereinstimmungsindizes der durch U,.» und 33,»
16 ) Beweis s. § 1 der unter 4 ) zitierten Arbeit.

238
H. Hopf.
vermittelten Abbildungen des Kandes von T", auf die Richtungskugel. Die durch U V " vermittelte Abbildung hat den Grad (—1)", da alle Vektoren u(P) ins Innere von T"n gerichtet sind, sich also stetig unter Festhaltung ihrer Anfangspunkte in Vektoren überführen lassen, die nach einem festen inneren Punkt zeigen. Die durch SS,,* vermittelte Abbildung hat den Grad s,.n. Daher gilt die Gleichung 4 )
(2) CL v n = ( — 1) •(— 1) -f- S v n = — 1 -f- Sylt ,
und hieraus folgt durch Summation als zweiter Wert für a
(3) a= £ a v n = -a n + s n .
r n=t
Vergleich der beiden Werte von a liefert:
/ j \ n n n—1
(4) S = CC — S
4. Wir beginnen nun den Beweis des folgenden Satzes:
Satz I. Die Indexsumme der Singularitäten eines in C" komplexstetigen Vektorfeldes ist gleich der mit (—1)" multiplizierten Eulerschen Charakteristik von C".
Wir führen den Beweis durch Schluß von n — 1 auf n .
Es sei zunächst n = 1, G n = C 1 also ein System von k 1 Strecken, deren Ecken in a° Gruppen zusammengefaßt sind; die einer Gruppe an- gehörigen Ecken sind identisch in C 1 und repräsentieren einen Punkt dieses Komplexes. (Wir können uns diese Identifizierungen etwa im dreidimensionalen Raum durch Zusammenheften ausgeführt denken.) Das komplexstetige Vektorfeld besteht aus Vektoren, die in den Geraden, denen die Strecken angehören, liegen, und besitzt Singularitäten im Innern der Strecken mit der Indexsumme s 1 . Es weist in jedem der a° Punkte des Komplexes, welche durch die ß° Eckpunkte der Strecken repräsentiert werden, genau einen ins Innere seiner Strecke gerichteten Vektor auf. Ist also — a 1? ) die Anzahl aller ins Innere ihrer Strecken gerichteten Eckvektoren, so ist
(1*) a — — a° .
Wir bestimmen a auf eine zweite Weise, indem wir jede der Strecken T v \ einzeln betrachten: Eine singulare Stelle des 1-dimensionalen Vektorfeldes $8 ist — in sinngemäßer Anwendung der für n Dimensionen getroffenen Definitionen — mit dem Index +1 zu versehen, falls in ihrer Umgebung
15 ) Bezeichnungen und Vorzeichen sind im Hinblick auf die Übereinstimmung mit dem n- dimensionalen Fall gewählt.

Vektorfelder in n- dimensional en Mannigfaltigkeiten.
239
alle Vektoren von ihr fort, mit dem Index — 1, falls in ihrer Umgebung alle Vektoren nach ihr hinweisen, mit dem Index 0, falls in ihrer Umgebung alle Vektoren gleichgerichtet sind (und die Singularität daher hebbar ist). Singularitäten mit anderen Indizes treten für n — 1 nicht auf. s y i sei die Summe der Indizes aller Singularitäten von SS auf T y \, — a v i die Anzahl der ins Innere von T v i weisenden Eckvektoren; dann ist s r i=— 1, 0 oder 4-1, je nachdem — a v i = 2, 1 oder 0 ist; jedenfalls ist also
(2*) a p i — — 1 + s„i.
Summierung liefert
(3*) a=-([ 1 |s 1 ,
und hieraus folgt durch Vergleich mit (1*)
(4*) s 1 — cc 1 — cc° = — (a 0 — K 1 ) .
Dies ist für n = 1 die in unserem Satz behauptete Beziehung. Wir nehmen ihn nun für n — 1 als bewiesen an. Ist dann C" ein Komplex und 58 ein derartiges komplexstetiges Vektorfeld in ihm, daß man Vektorfelder U,.« mit den oben unter 2. genannten Eigenschaften a), b), c) konstruieren kann, so folgt, da SB* komplexstetig ist und der Satz für den Randkomplex C n l richtig, da also
s" -1 = (—1)" _1 - l) fc a"
fc=0
sein soll, aus (4) die behauptete Beziehung
(5) s" = ß " 1)"«" = (-1)" j?(-i)*«*.
lc-0 le= 0
Jedoch wissen wir nicht, ob man die Felder U,,stets konstruieren kann. Da aber ein durch Unterteilung von C n entstandener Komplex dieselbe Eulersche Charakteristik hat wie G n , so ist Satz I vollständig bewiesen, sobald, was im nächsten Paragraphen geschehen wird, die Richtigkeit des folgenden Hilfssatzes gezeigt ist:
Ist Sí" eine reduzierte affine Darstellung des Komplexes C" und 58 darin ein komplexstetiges Vektorfeld, so kann man durch Unterteilung von 2t" eine Darstellung 33" und in 58" ein komplexstetiges Vektorfeld dessen Singularitäten mit denen von 58 in bezug auf Lage und Index identisch sind, derart herstellen, daß sich in jedem w-dimensionalen Simplex von 58" ein Vektorfeld U ; » konstruieren läßt, welches in bezug auf die Eigenschaften a), b), c) besitzt.

240
H. Hopf.
§4.
Vervollständigung des Beweises zu dem Satz über die Indexsumme der Singularitäten eines komplexstetigen Vektorfeldes.
Um S3" und ^ in der gewünschten Weise zu erhalten, beseitigen wir zunächst die im Innern der Simplexe T "n von 21" angebrachten Vektoren von 33 und ersetzen sie durch ein neues Vektorfeld das dieselben Randfelder und dieselben Singularitäten mit denselben Indizes besitzt wie 93, das aber in gewissen Umgebungen Q iP s ) der singulären Punkte P„ — diese selbst natürlich ausgenommen — analytisch ist; daß es derartige gibt, ist an anderer Stelle 18 ) gezeigt worden. ^ ist komplexstetig in 2Í", da es mit dem komplexstetigen Feld $8 die Randfelder gemeinsam hat; ist daher (nach § 3,1) auch komplexstetig in jeder durch Unterteilung von 21 " entstandenen Komplexdarstellung 58", sofern nur keiner der singulären Punkte auf einem Randsimplex von 58" liegt. Ist nun y eine beliebige positive Zahl, so stellen wir durch Unterteilung von 21" eine Darstellung S3"(y) her, die außer der eben genannten Berücksichtigung der singulären Stellen noch folgende Bedingungen erfüllt :
33 "(y) ist eine so feine Zerlegung, daß 1. jedes einen singulären Punkt P a enthaltende Simplex t n von 58" (y) ganz in der analytischen Umgebung Q (P e ) liegt, und daß 2. die Schwankung der Vektorrichtungen von in jedem t n , das nicht ganz in einem Q (P s ) liegt, kleiner ist als y; Bedingung 2 läßt sich, wenn 1 bereits erfüllt ist, durch weitere Unterteilung infolge der gleichmäßigen Stetigkeit von außerhalb der Q(P e ) stets erfüllen. 3. soll 93" (y) die Eigenschaft haben, daß jedes der Simplexe t n mit einem von endlich vielen, von vornherein durch 2Í" bestimmten Simplexen rtj? in Gestalt und Lage übereinstimmt (§1,4); daß die Erfüllung von 3 mit einer beliebigen Verfeinerung der Unterteilung verträglich ist, wurde in § 1, 4 gezeigt.
Wir beweisen nun, daß man bei hinreichend kleinem y Vektorfelder U in der gewünschten Weise an den Rändern der t' l „ anbringen kann. Um derartige y zu bestimmen, fassen wir zunächst ein Simplex r e " ins Auge: Ey 1-1 [v = \, ..., n -|- 1 ] seien die r" begrenzenden ebenen Räume, deren positive Seiten wie in § 1, 5 definiert seien. Unter einem „negativen Richtungsstern o Q von r"" verstehen wir ein System von n- 1-1 in einem festen Punkt O des Raumes angebrachten Einheitsvektoren ct„, die so gerichtet sind, daß a,. [v = 1, ..., n + 1J nicht nach der positiven Seite von E" -1 zeigt, also entweder nach der negativen Seite von Ey 1 " 1 weist oder parallel mit E '" _1 ist. Die a e bilden eine (n— 1)•(»+ l)-dimensionaIe
18 ) § 5, Aufgabe 4, Zusatz, der unter 6 ) zitierten Arbeit.

Vektorfelder in tt-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 241
abgeschlossene Menge S e . Unter den \n-(n-\-\) Winkeln zwischen je zwei der Richtungen eines a„ gibt es einen größten, m(a c ); dabei sind Winkelgrößen so zu messen, daß sie stets zwischen 0 und ji einschließlich liegen. m(a g ) ist stets positiv; denn wäre m(o g ) = 0, so würde das bedeuten, daß alle Vektoren a v eines a e in einen einzigen Vektor a zusammenfielen und daß daher dieser Vektor a für kein E" _1 nach der positiven Seite gerichtet wäre; dies ist aber unmöglich, da eine zu a parallele, durch einen inneren Punkt von r" gehende orientierte Gerade nach der positiven Seite desjenigen i?" -1 gerichtet ist, durch den sie in r" eintritt. Es ist also immer m(ö c )> 0; da andererseits m(a e ) als eine in der abgeschlossenen Menge S„ stetige Funktion an einer Stelle ihre untere Grenze y e erreicht, ist auch y Q > 0 .
Wir definieren nun y als die kleinste der r Zahlen y 1 ,...,y r und haben zu beweisen, daß man unter Zugrundelegung der Unterteilung 58"( y ) sowohl (Fall a ) in jedem Simplex t ", auf dessen Rand in ) die Schwankung von kleiner als y ist, als auch (Fall ß ) in jedem Simplex t n , auf dessen Rande ^ analytisch ist, ein Vektorfeld II mit den Eigenschaften a), b), c) (s. §3) konstruieren kann.
Wir beginnen mit Fall a : t" habe also die Eigenschaft, daß der Winkel zwischen je zwei Vektoren, die dem auf seinem Rande befindlichen Teil $ß 0 von angehören, kleiner als y ist; dann gibt es, so behaupten wir, unter seinen Randräumen F±~ r , ..., F„+ mindestens einen, nach dessen positiver Seite alle Vektoren von gerichtet sind. Andernfalls ließe sich nämlich aus Vektoren von ein negativer Richtungsstern o von t" bilden, und dieser wäre zugleich ein negativer Richtungsstern desjenigen t ", mit dem t" in Gestalt und Lage übereinstimmt; es wäre dann m (0) y e ^ y, entgegen der Tatsache, daß die Schwankung von kleiner ist als y . — Es seien also alle Vektoren von etwa nach der positiven Seite von Fi~ l gerichtet. A sei ein innerer Punkt des zu F"~ l gehörigen Randsimplexes von i", g ein
ins Innere von i" gerichteter, von A ausgehender Halbstrahl; t" 1 , ■■■, C+ / seien die übrigen (n — 1)- dimensionalen Randsimplexe von i 0 ", der
zu ihnen gehörige Teil von ^ß 0 , M die (eventuell leere) Menge der Punkte von g , in denen g von den durch die Vektoren von bestimmten Halbstrahlen geschnitten wird. A gehört nicht zu M, da andernfalls der A enthaltende Halbstrahl von ï|3 0 nicht nach der positiven Seite von FÎ" gerichtet wäre. M ist aber abgeschlossen; es gibt daher auf g im Innern von to Punkte, die nicht zu M gehören; B sei ein solcher Punkt. Wir definieren nun das auf dem Rand von t" zu konstruierende Feld U 0 zu-
1B ) Es genügt, iß auf den Rändern der t" zu betrachten.

242
H. Hopf.
nächst auf den t"~ l , ■.., C+i' durch die Bestimmung, daß diese Vektoren alle durch B hindurchgehen; dann erfüllt es dort gewiß die Bedingungen a), b), c), denn es ist überall ins Innere von i" gerichtet und hat mit ^J3 0 überhaupt keinen Übereinstimmungspunkt. Wir haben U 0 nun noch in den inneren Punkten des Simplexes t\~ zu konstruieren, auf dessen Rand es bereits festgelegt ist. Berücksichtigen wir, daß U 0 auf diesem Rande und daß auf ganz if -1 nach der positiven Seite von P" -1 weist, so können wir U 0 in den inneren Punkten von i" _1 folgendermaßen vorschriftsmäßig bestimmen: Ist P ein von A verschiedener innerer Punkt von ii" -1 , so sei P der Schnittpunkt des Strahles AP mit dem Rande von i" -1 , p(P), p(-P), u(P) seien die in P bzw. P angebrachten Vektoren von *ß 0 bzw. U 0 , q(P) die Projektion des Vektors £(P) vom Vektor u(P) aus auf EÎ' 1 (d. h., wie früher, der Schnitt von E"^ 1 mit der durch u(P), p (P) und den zu u(P) diametralen Vektor ü(P) ausgespannten Halbebene), C| (P) der in P angebrachte, zu q (P) parallele Vektor. Der zu definierende Vektor u(P) soll nun derjenige Vektor des von p (P) und q (P) ausgespannten 2 - dimensionalen, zwischen 0 und n liegenden Winkels sein, der diesen Winkel so teilt, daß das Winkelverhältnis ^C{p(P) u (P)} : ^C{u(P) q(P)} gleich ist dem Produkt aus dem Winkelverhältnis ^C{p(P) u(P)} : <£{u(P) q(P)} und dem Streckenverhältnis AP : AP; in A selbst soll u(^) = p(^4) sein. Das nunmehr auf dem ganzen Rand von i" definierte Feld U 0 genügt allen Anforderungen: es ist stetig, überall nach innen gerichtet und hat mit 5ß 0 einen einzigen Übereinstimmungspunkt A.
Damit ist Fall a erledigt, und wir wenden uns dem Fall ß zu, wir setzen also voraus, daß auf dem Rande von t" analytisch ist. K" sei eine ganz im Innern von gelegene Vollkugel. Dann gibt es einen positiven Winkel <5 derart, daß jeder Winkel, dessen Scheitel und einer Schenkel dem Rand von t " angehören, während der andere Schenkel einen Punkt von K n enthält, größer als ô ist. Wir teilen die Randsimplexe i" -1 , ..., C+i i n s0 kleine Teilsimplexe s" -1 , daß die Schwankung von in jedem einzelnen s" -1 kleiner als <5 ist; wenn dann ein zu einem Punkt von s" _1 gehöriger Vektor von ^3 0 nach einem Punkt von K" weist, so weisen alle ^-Vektoren von s" -1 ins Innere von — Die Halbstrahlen, die durch die in den (n — 2)-dimensionalen Randsimplexen s"~ 2 der s" -1 angebrachten Vektoren von festgelegt sind, bilden eine endliche Anzahl analytischer, (n — 1) -dimensionaler Hyperflächenstücke; es gibt daher in K" gewiß Punkte, die auf keiner dieser Hyperflächen liegen; C sei ein solcher Punkt. Definieren wir dann ll 0 zunächst in den s"~ 2 durch die Bestimmung, daß die Vektoren il (P) nach C weisen, so sind dort keine Übereinstimmungspunkte mit vorhanden. Dieselbe Festsetzung treffen

Vektorfelder in w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
243
wir für diejenigen s" -1 , in denen kein zu gehöriger Strahl nach einem Punkt von K n weist; auch dort treten dann keine Übereinstimmungs- punkte von lt 0 und auf. In den übrigen s" -1 weisen alle Vektoren p (P) ins Innere von i 0 ", und dasselbe gilt für die auf ihren Rändern schon angebrachten Vektoren von H 0 . Wir können daher in jedem einzelnen von ihnen durch das Verfahren, mit dem wir im Fall a das Simplex behandelt haben, nach innen gerichtete Vektoren u (P) konstruieren, die sich an die am Rande von s" -1 bereits vorhandenen Vektoren von U 0 stetig anschließen und im Innern von s" -1 in genau einem Punkt mit dem Feld übereinstimmen.
Damit ist auch Fall ß erledigt, die Gültigkeit des am Ende des vorigen Paragraphen formulierten Hilfssatzes ist gezeigt und Satz I vollständig bewiesen.
§5.
Fixpunkte kleiner Transformationen und Singularitäten stetiger Vektorfelder in geschlossenen Mannigfaltigkeiten.
Wir machen nun Anwendungen von Satz I und beschränken uns dabei ausschließlich auf den Fall, daß C n — M n eine geschlossene (berandete oder unberandete) Mannigfaltigkeit ist.
Jedem Punkt P von M" sei eine ihn enthaltende Umgebung U(P) zugeordnet, die so klein ist, daß sie bei Zugrundelegung einer bestimmten „ausgezeichneten Umgebungsdarstellung" 2I" von M" — in der Bezeichnung von § 2 — ganz in jedem der Elemente E"n dargestellt wird, die die Bilder der Simplexumgebungen der P enthaltenden Simplexe sind; für hinreichend kleine Umgebungen U(P) ist diese Bedingung gewiß erfüllt. f sei nun eine eindeutige und stetige Abbildung von M n auf eine zu M n gehörige Punktmenge und so „klein", daß mit P das Bild f{P) der Umgebung U[P) angehört; ferner besitze f, falls M" berandet ist, auf dem Rande keinen Fixpunkt. Dann ist f in bezug auf 21" eine „Umgebungstransformation' 1 und erzeugt ein komplexstetiges Vektorfeld, dessen Singularitäten, von denen wir, da sie innere Punkte von M n sind, voraussetzen dürfen, daß sie nur im Innern der T„" auftreten 20 ), nach Lage und Index mit den Fixpunkten von f identisch sind. Aus Satz I folgt dann
20 ) Zu jeder Darstellung von M" läßt sich eine mit ihr im Sinn der kombinatorischen Topologie homöomorphe Darstellung, d. h. eine solche, die durch Zerlegung und Zusammensetzung von Simplexen entsteht, angeben, in der endlich viele vorgeschriebene innere Punkte von M n durch innere Punkte der n-dimensionalen Simplexe repräsentiert werden.

244
H. Hopf.
Satz II. Die Summe der Indizes der Fixpunkte einer hinreichend kleinen Transformation der geschlossenen Mannigfaltigkeit M n in sich ist, vorausgesetzt, daß höchstens endlich viele Fixpunkte auftreten, gleich der mit (—1)" multiplizierten Euler sehen Charakteristik von M ".
Hieraus ergibt sich:
Satz IIa. Jede hinreichend kleine Transformation einer Mannigfaltigkeit mit von 0 verschiedener Eulerscher Charakteristik in sich besitzt mindestens einen Fixpunkt.
Wir stellen nun die Frage, ob es denn in jeder M" beliebig kleine Transformationen mit höchstens endlich vielen Fixpunkten gibt. Daß diese Frage zu bejahen ist, erkennt man — immer unter Benutzung der Bezeichnungsweise von §2 — folgendermaßen: T", ..., Tâ» seien die Simplexe von 21", Ei , ..., Ea" die die Simplexumgebungen der T"„ darstellenden Elemente. Auf dem Rande von T* definiere man ein stetiges Feld von auch der Länge nach bestimmten, nicht verschwindenden Vektoren, deren Endpunkte Ei angehören; ihnen entsprechen vermöge der affinen Abbildungen, die zwischen den Teilen der verschiedenen E,', l n bestehen, Vektoren auf gewissen Randsimplexen gewisser der Tl 1 , , T„n . Diese Vektoren bringen wir in den Punkten, zu denen sie gehören, an, so daß jetzt ein Teil der Randsimplexe von TT„,, mit Vektoren besetzt ist. Wir bringen nun auf dem ganzen Rand von T-T ein Feld von Vektoren an, deren Endpunkte in E« liegen und unter denen die auf gewissen Randsimplexen von T¡ 1 eventuell bereits angebrachten enthalten sind; daß diese Anbringung von Vektoren stets möglich ist, wurde in der Arbeit „Abbildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten" 0 ) (§ 5; 2, 3) gezeigt. So fahren wir für >- = 3,4,..., ß" fort, bis die Ränder aller T"n vollständig mit Vektoren besetzt sind. Darauf wählen wir im Innern jedes T"n einen Punkt P u „ und ordnen jedem von ihm verschiedenen Punkt P von T,]\ denjenigen Vektor PP' zu, der parallel ist zu dem Vektor desjenigen Randpunktes P von T,% , in den P von P fl n aus projiziert wird, und dessen Länge sich zu der des genannten Randvektors verhält wie die Strecke P, t *P zu der Strecke P f ,nP; dem Punkte P„n selbst ordnen wir den verschwindenden Vektor zu. Auf diese Weise ist ein Vektorfeld mit den Singularitäten P„n definiert. Durch die Vorschrift, daß jeder Punkt in denjenigen Punkt des in ihm angebrachten Vektors PP' übergehen soll, der die Strecke PP' in dem Verhältnis t : 1 — t teilt, ist für jedes t zwischen 0 und 1 eine Umgebungstransformation f t definiert. Die Schar der f t konvergiert gleichmäßig gegen die Identität, wenn t sich der 0 nähert; jede dieser Abbildungen hat die Punkte P fl n, und nur diese, zu Fixpunkten.

Vektorfelder in w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
245
Es gibt also beliebig kleine Transformationen von M n mit endlich vielen Fixpunkten. Wir ziehen hieraus eine Folgerung: Ist M[ l eine zu M" homöomorphe, d. h. eineindeutig und stetig auf M n abbildbare Mannigfaltigkeit, so läßt sich in M n eine Transformation mit endlich vielen Fixpunkten konstruieren, die jeden Punkt so wenig von seinem Ausgangspunkt entfernt, daß diese Abbildung nicht nur in bezug auf eine Darstellung von M n , sondern auch in bezug auf eine Darstellung von M™ eine Umgebungstransformation ist. Da nun der Index eines Fixpunktes eine topologische Invariante der betreffenden Transformation ist '), so ergibt sich hieraus auf Grund von Satz II der folgende bekannte
Satz III. Homöomorphe Mannigfaltigkeiten haben dieselbe Eulersche Charakteristik.
Dieser Satz ist einer der klassischen und einfachsten Sätze der kombina- torischen Topologie 5 ), in der man zwei Mannigfaltigkeiten als homoömorph betrachtet, wenn ihre Darstellungen miteinander isomorphe ( s. § 1) Unterteilungen besitzen. Der eben geführte Beweis gilt für die Topologie im weiteren Sinne, in der man zwei Mannigfaltigkeiten bereits dann als homöomorph bezeichnet, wenn sie sich eineindeutig und stetig aufeinander abbilden lassen. Auch unter diesem allgemeineren Gesichtspunkt ist Satz III bereits von Alexander 21 ) bewiesen worden.
Wir verfolgen nun die oben angeschnittene Frage nach der Existenz beliebig kleiner Transformationen mit endlich vielen Fixpunkten weiter: Ist es möglich, eine beliebig kleine Transformation anzugeben, welche an den vorgeschriebenen inneren Stellen Q 1} ..., Q m (m 0) Fixpunkte mit den vorgeschriebenen Indizes q 1 ,...,q m besitzt, falls nur deren Summe gleich der mit (—1)" multiplizierten Charakteristik c von M n ist? Dies ist in der Tat stets möglich 22 ). Denn die Punkte P 1; ..., P a „, Q 1 , ..Q m lassen sich in ein zu M n gehöriges Element F einschließen 23 ), und in diesem läßt sich weiter ein die genannten Punkte im Innern enthaltendes Element F 1 angeben. Wir wählen nun — in der obigen Bezeichnung — t so klein, daß das durch f t gelieferte Bild von F 1 ganz in F liegt. F' sei ein dem gewöhnlichen Raum angehöriges topologischen Bild von F, Fi in ihm das Bild von Fi, P/, ..., P a ' n , Q[,...,Q' m seien die Bilder der P x , ...,P a n, Qi, • ■Qm- D ßr Abbildung f t entspricht eine Abbildung fl
21 ) J. W. Alexander II, A proof of the invariance of certain constants of Analysis Situs, Transact, of the Am. Math. Soc. 16 (1915). — Dort wird die Invarianz der Bettischen Zahlen für die Topologie im weiteren Sinne bewiesen. Da die Eulersche Charakteristik durch die Bettischen Zahlen ausdrückbar ist (s. z. B. Tietze a.a.O.), ist damit Satz III bewiesen; vgl. auch H. Kneser a.a.O., Fußnote 2 auf S. 12.
22 ) Wir setzen w > 2 voraus.
•") s. § 2 der in Fußnote 6 ) genannten Arbeit.

246
H. Hopf.
von F[ auf einen Teil von F'; ihre Fixpunkte sind PI, ..., P,[n , die zugehörigen Indizes sind wegen ihrer topologischen Invarianz dieselben wie die entsprechenden Indizes bei der Abbildung f t \ die von den Randpunkten von F[ nach deren Bildpunkten bei der Abbildung f/ gezogenen Vektoren definieren daher eine Abbildung des Randes von Fl auf die Richtungskugel, deren Grad (— 1 ) n -c ist. Auf Grund der Lösbarkeit 22 ) einer „Randwertaufgabe für Vektorverteilungen" (s. die oben 6 ) zitierte Arbeit
m
über Abbildungsklassen, § 5, 4) können wir, da auch JJ q fl = (— l)"c ist,
ft= i
diese Randvektoren derart zu einem in ganz Fl definierten stetigen Vektorfeld ergänzen, daß dessen Vektoren in den Qú (¡u = 1, ..m), und nur dort, verschwinden, und daß die Singularitäten des Richtungsfeldes in diesen Punkten die Indizes q fl besitzen. Die Vektoren dieses Feldes können wir überdies alle so klein wählen, daß ihre Endpunkte sämtlich im Innern von F' liegen. Durch die Vorschrift, daß jeder Punkt von Fl in den Endpunkt des in ihm angebrachten Vektors übergehen soll, wird Fl derart auf einen Teil von F' abgebildet, daß diese Abbildung g' auf dem Rande mit ft übereinstimmt und in den Q',, Fixpunkte mit den Indizes q fl hat, im übrigen aber fixpunktfrei ist. Der Abbildung g' entspricht in F 1 eine analoge Abbildung g; ersetzen wir nun f t im Innern von F 1 durch g, während wir im Äußern und auf dem Rande von F 1 f t unverändert lassen, so haben wir eine Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften konstruiert. Damit ist bewiesen:
Satz IV. Sind Q 1 , ..., Q m (m 0) beliebige innere Punkte der Mannigfaltigkeit M n , q 1} ...,q m beliebige ganze Zahlen, deren Summe gleich der mit (— 1)" multiplizierten Charakteristik von M n ist, so gibt es beliebig kleine Transformationen von M 71 in sich, die in den Q„ (¡u = 1, ... m) Fixpunkte mit den Indizes g u besitzen, im übrigen aber fixpunktfrei sind 22 ).
Ein Spezialfall dieses Satzes ist:
SatzIVa. Jede Mannigfaltigkeit, deren Charakteristik 0 ist, gestattet beliebig kleine fixpunktfreie Transformationen in sich.
Da für jede unber ándete geschlossene Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl die Charakteristik 0 ist, so gilt insbesondere
Satz IVb. Jede geschlossene unberandete Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl gestattet beliebig kleine fixpunktfreie Transformationen in sich.
Wir betrachten nun Vektorfelder, die stetig im gewöhnlichen Sinne sind: In einer Umgebung U(P) jedes Punktes P von M " sei eine Menge kartesischer Koordinatensysteme derart ausgezeichnet, daß die Koordinaten von je 2 (zu demselben Punkt oder zu verschiedenen

Vektorfelder in w-dimenBionalen Mannigfaltigkeiten.
247
Punkten gehörigen) Koordinatensystemen in jedem ihnen gemeinsamen Stück durch stetig differenzierbare Transformationen auseinander hervorgehen; Randmannigfaltigkeiten von M n sollen in diesen Koordinatensystemen stetig differenzierbar sein. Dann ist klar, was unter Stetigkeit eines Vektorfeldes 15 ) zu verstehen ist. Um die Untersuchung der Indizes eines solchen Vektorfeldes direkt auf die Betrachtung unserer komplexstetigen Felder zurückführen zu können, müßten wir eine Darstellung von M n besitzen, in der die Ränder jedes einzelnen Simplexes T"n auch in bezug auf eins der in M n ausgezeichneten Koordinatensysteme ebenen Räumen angehörten. Die Existenz einer solchen Darstellung ist nicht selbstverständlich. Wir beschränken uns, um die hiermit angedeutete Schwierigkeit zu vermeiden, auf den Spezialfall, daß M n eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist; d. h. in jedem Punkt ist in bezug auf jedes ausgezeichnete Koordinatensystem eine stetig von dem Punkt abhängige symmetrische Matrix (g ik ) (i, k =-1, .. n) gegeben, deren zugehörige
n
quadratische Form g ilc dx i dx k = ds 2 positiv définit ist und ihren Wert
i, fc=l
beim Übergang von einem ausgezeichneten Koordinatensystem zu einem anderen nicht ändert. In jeder derartigen Riemannschen Mannigfaltigkeit entspricht nun jedem hinreichend kleinen Vektor eine Verschiebung des Punktes, in dem er angebracht ist, und jeder hinreichend kleinen Verschiebung ein Vektor in dem betreffenden Punkt. Mithin folgt aus den Sätzen II und IV
Satz V. Die Summe der Indizes eines Vektorfeldes in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist gleich der mit (—1)" multiplizierten Charakteristik; man kann stets 22 ) ein Vektorfeld mit vorgeschriebenen Singularitäten und Indizes konstruieren, sofern deren Summe gleich der genannten Zahl ist; es existiert dann und nur dann ein singularitätenfreies Vektorfeld, wenn die Charakteristik 0 ist-, insbesondere läßt sich in jeder unberan- deten geschlossenen Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl ein solches anbringen.
Unter den hiermit behandelten Riemannschen Mannigfaltigkeiten sind z.B. diejenigen enthalten, die in den (n + ¿)-dimensionalen euklidischen Raum (k^>0) in stetig differenzierbarer Weise eingebettet sind; im Fall k — 0 also die von endlich vielen stetig differenzierbaren (n — l)-dimen- sionalen geschlossenen unberandeten Hyperflächen begrenzten Teilmannigfaltigkeiten des Raumes; ferner die Cliff ord-Kleinschen Mannigfaltigkeiten, sowie viele andere, in denen sich eine Riemannsche Metrik definieren läßt ; als Beispiel seien etwa noch die komplexen projektiven Räume Z k genannt, d.h. die Gesamtheiten aller Verhältnisse z 0 :...:z k von komplexen, nicht

248
H. Hopf.
sämtlich verschwindenden Zahlen; in ihnen läßt sich eine Maßbestimmung mit dem Bogenelement
, . 1
ds- —
k - \ 2
2 z¡ Zi i= 0 /
k k
ZZi-êi IZi-dZi
1=0 i=0 k k
J¡dz i -z i 2!dz i -dz i
i=0 i=0
definieren 24 ).
Wir verweilen noch einen Augenblick bei dem Fall der von geschlossenen Hyperflächen begrenzten Teilmannigfaltigkeit des w-dimen- sionalen Raumes; M n sei durch die geschlossene unberandete Hyperfläche M n ~ l begrenzt. Die Vektoren eines Feldes der betrachteten Art gehören alle M n an, sind also auf M 1l ~ x überall entweder ins Innere von M n gerichtet oder tangential an M"' 1 . Die durch diese Vektoren gelieferte Abbildung von M n_1 auf die Richtungskugel hat den Grad (—l) n -c, wenn wieder c die Charakteristik von M n ist; die zu dieser Abbildung diametrale Abbildung, die durch ein Feld nirgends ins Innere von M n gerichteter Vektoren vermittelt wird, hat daher den Grad (— 1)" • ( — 1)" - c = c. Dieser Grad ist die „Curvatura integra" von M ni ). Damit ist bewiesen:
Satz VI. Die Curvatura integra einer im n-dimensionalen Raum liegenden, stetig differenzierbaren, eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit begrenzenden, Jordanschen Hyperfläche ist gleich der Charakteristik der begrenzten Mannigfaltigkeit.
Diesen Satz habe ich früher nur für den Spezialfall bewiesen, daß die begrenzte Mannigfaltigkeit ein Element ist. Ferner ergab sich an der genannten Stelle: Die 2k-dimensionale geschlossene, nicht notwendig Jordansche, stetig differ enzierb are Hyperfläche m des (2k + l)-dimensio- nalen euklidischen Raums sei ein „Modell" der zweiseitigen, geschlossenen, unberandeten Mannigfaltigkeit M~ k ; dann ist ihre Curvatura integra C(m) eine topologische Invariante von i)i 2 ' 1 , und die Indexsumme der Singularitäten jedes an m tangentialen Vektorfeldes ist, vorausgesetzt, daß nur endlich viele Singularitäten vorhanden sind, gleich 2 C(m). Hieraus folgt nunmehr :
Satz VII. Die Curvatura integra einer geschlossenen, nicht notwendig Jordanschen, stetig differenzierbaren Hyperfläche des (2k + \)-dimen- sionalen Raumes, die ein Modell der zweiseitigen, geschlossenen, unberandeten Mannigfaltigkeit M ik ist, ist gleich der halben Charakteristik von M 21 .
-') In § 5 der unter 4 ) zitierten Arbeit habe ich auf einfache Weise eine beliebig kleine Transformation bzw. ein Vektorfeld in Z¡, mit der Indexsumme k + 1 angegeben und außerdem in etwas umständlicher Weise gezeigt, daß die Charakteristik den Wert k+l hat; diese Bestimmung der Charakteristik ist nunmehr auf Grund von Satz V überflüssig.

Vektorfelder in »i-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
249
Daraus ergibt sich weiter (vgl. die mehrfach, zitierte frühere Arbeit), da die Curvatura integra stets eine ganze Zahl ist:
Satz VIII. Eine geschlossene, unberandete, ziveiseitige Mannigfaltigkeit M n mit ungerader Charakteristik besitzt im (n + 1)" dimensionalen euklidischen Raum keine stetig differenzierbare Hyperfläche als Modell, auch nicht bei Zulassung von Selbstdurchdringungen.
Das einfachste Beispiel für eine solche M n ist die als „komplexe projektive Ebene" definierte vierdimensionale Mannigfaltigkeit Z„ (s. Fußnote 24).
Ein Analogon zu Satz VIII ist die Tatsache, daß eine 2&-dimen- sionale geschlossene Mannigfaltigkeit M 2k , die die vollständige Berandung einer geschlossenen M s ' c+1 bildet, stets eine gerade Charakteristik hat, nämlich die doppelte Charakteristik von M ¿k+í - & ). Eine M" k mit ungerader Charakteristik, also z. B. Z 2 , kann daher durchdringungsfrei überhaupt in keinen einfach zusammenhängenden, nicht notwendig mit dem gewöhnlichen Raum homöomorphen, geschlossenen (2 k +1)- dimensionalen Raum R' 2lc+1 eingebettet sein — wenigstens nicht im Sinne der kombinatorischen Topologie, d. h. so, daß sie durch einen Teil des'Randkomplexes einer Darstellung von R 2 k41 repräsentiert wird —, da sie dann die Begrenzung jedes der beiden Teile bilden würde, in die sie R 2k ' 1 zerlegen müßte 28 ).
25 ) Dies folgt daraus, daß die unberandete (2 k -f 1 ) -dimensionale Mannigfaltigkeit, welche durch Identifizierung entsprechender Bandpunkte zweier Exemplare von M" lc+1 entsteht, die Charakteristik 0 besitzt ; vgl. Dyck, Beiträge zur Analysis Situs II, Math. Ann. 37 (1890).
- 6 ) H. Kneser, Ein topologischer Zerlegungssatz, Koninkl. Akad. v. Wetenschapen te Amsterdam Proc. 27, Sept. 1924.
(Eingegangen am 11. 8. 1925.)
Zusatz.
Ich bin darauf aufmerksam gemacht worden, daß der Begriff der „komplexstetigen Vektorfelder", auf dessen Verwendung die Ergebnisse der obigen Arbeit im wesentlichen beruhen, nicht klar genug definiert worden ist und zu Mißverständnissen Anlaß gegeben hat. Ich formuliere daher diese Definition noch einmal ausführlicher als früher:
21" sei eine reduzierte affine Darstellung des Komplexes C n . Eine Zuordnung SS von Vektoren Ö (P) zu den Punkten P von 2Í heißt ein in C n
Mathematische Annalea. 96. 17

250
H. Hopf. Vektorfelder in M-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
(in bezug auf 21") „komplexstetiges Vektorfeld", wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
A. Im Inneren und auf dem Rande jedes einzelnen T,". [/n n = 1,.. ß n ] ist iß eindeutig und stetig, abgesehen höchstens von endlich vielen im Inneren gelegenen Punkten.
B. P 0 sei ein Randpunkt von T"~ k [1 ^k<Ln] sei irgendein Randsimplex — nicht notwendig dasjenige niedrigster Dimensionenzahl —, dem P 0 angehört. 7" ~ A [ o = 1] seien die mit T" 1 in G n als identisch zu betrachtenden Randsimplexe anderer T"n, P„ die P 0 entsprechenden Punkte der T"~ l , (W£) e [g = 0, die k-fachen Winkel, deren Scheitel diejenigen ebenen Räume -S" -7 ' sind, zu welchen die Tn ~ k gehören.
Dann tritt stets einer von folgenden beiden Fällen ein:
I. (Hauptfall.) Von den r+1 Vektoren ti (P e ) weist genau einer ins Innere seines (W£) e , während alle anderen ins Äußere ihrer (IP")e gerichtet sind.
II. (Grenzfall.) Einer der Vektoren ö(P e ), etwa b(P 0 ), gehört dem Rande seines (W£) 0 an; dann kann es unter den Vektoren ü*, welche vermög der zwischen den Randräumen bestehenden affinen und transitiven Zuordnungen dem Vektor b(P 0 ) entsprechen, einen oder mehrere geben, die ebenfalls zu 23 gehören; es brauchen aber nicht — im Gegensatz zu dem am Schluß des § 2 herangezogenen Spezialfall des im gewöhnlichen Sinn stetigen Vektorfeldes in einer Mannigfaltigkeit — alle diese ü* zu 33 zu gehören. Alle übrigen Vektoren ö(P e ), welche nicht Vektoren b* sind, zeigen ins Äußere ihrer {W£) e .
(Eingegangen am 26. 5. 1926.)

Über affine Geometrie XL: Eiflächen konstanter
Affinbreite.
Von
Wilhelm Süß in Kagoshima (Japan).
1. Bekanntlich haben Eiflächen konstanter Breite b die Eigenschaft, daß die Verbindungssehne der Berührungspunkte zweier paralleler Stützebenen die konstante Länge b besitzt und jede Normale eine Doppel- normale ist. Es liegt nahe, die Möglichkeit analoger Verhältnisse in der affinen Geometrie der Eiflächen zu untersuchen. Dabei sei folgende Definition zugrunde gelegt: Eine „stetig-differentiierbare" Eifläche E besitzt die konstante Affinbreite ß, wenn die Affinentfernung 1 ) jedes Punktes P von E von seinem „Gegenpunkt" 2 ) P' den konstanten Wert ß besitzt. Andererseits fragen wir nach den Eiflächen, deren Affinnormalen affine Doppelnormalen sind. Es wird sich herausstellen, daß beide Fragestellungen nicht nur zu denselben Flächen führen, sondern sogar so einschneidende Bedingungen enthalten, daß sie charakteristische Eigenschaften des Ellipsoids darstellen. Wir werden folgenden Satz beweisen:
Die Ellipsoide sind sowohl die einzigen Eiflächen konstanter Affinbreite wie auch die einzigen analytischen Eiflächen, deren Affinnormalen sämtlich affine Doppelnormalen sind.
Außerdem werden wir auf das affingeometrische Analogon des Satzes von Herrn K. Reidemeister 3 ) eingehen, daß die Körper konstanten Durchmessers mit denjenigen konstanter Breite identisch sind. Am Schlüsse beschäftigen wir uns noch mit dem Problem der Eilinien, deren Affin- normalen affine Doppelnormalen sind, das auf Ellipsen führen wird.
*) Siehe z.B. W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie II, Berlin 1923, S. 110. Wir zitieren dies Buch mit (B).
2 ) D. h. in P und P' sind die Tangentenebenen einander parallel.
3 ) Über Körper konstanten Durchmessers, Math. Zeitschr. 10, S. 214 ff.
17*

252
W. Süß.
§1-
Eiflächen konstanter Affinbreite.
2. Wir wollen annehmen, die betrachtete Eifläche E sei keine Kugel, und die äquiformen (gewöhnlichen) Krümmungslinien als Parameterkurven (u,v) einführen. Dann ergibt sich für die konstante Affinbreite ß nach unserer Definition 1 ) der Ausdruck
(1) 0 = (S.,E».S-j ) = = jÇ-g),
i/EGLN y~K
wobei (j) den Gegenpunkt des Punktes (j), £ den Einheitsvektor der gewöhnlichen Flächennormalen, if=A -4 die Gaußsche Krümmung und E, F, G, L, M, N die gewöhnlichen Fundamentalgrößen im Punkte (j) bedeuten, für die dann
F=M= 0
sein soll.
Aus (1) folgt bei Vertauschung der beiden Punkte (j) und (j) für die Gaußsche Krümmung K im Punkte (j):
(2) K=r* = K = r i .
Wegen (2) aber wird die Eifläche E von der Berührungskurve jedes umschriebenen (Stütz-) Zylinders halbiert; E ist somit nach einem Satz von Herrn T. Kubota 4 ) eine 31ütelpunktseifläche.
Es sei nun weiter i) (ij) der Affinnormalvektor im Punkte (y) (bzw. (£)). Dann ergibt sich nach unserer Wahl der Parameterlinien 5 ):
( 3 ) 9 = ^G !li £ it = ^-£ B + - ^'Sv + T-
Wir behaupten nun das Bestehen der folgenden Beziehung:
(4) =
Setzen wir nämlich
(5a) l~l = Hlu + V lv + q£>
so folgt aus (1) zunächst
(5b) ¿> = f.
4 ) Einige Probleme über konvex-geschlossene Kurven und Flächen, Tôhoku Math. Journal 17, S. 351 ff., Satz 2.
5 ) (B), S. 166 (186).

Eiflächen konstanter Affinbreite.
253
Ferner erhält man durch Differentiation von (1):
K(£>S - E) + - S) + *(?.!»- E«) = 0 .
(f > Ë - s) + ¿ (f.. Ë - E) + ¿ (f. Ë« - E„) = 0 •
Hierin verschwinden die dritten Glieder, da die Tangentenebenen in (j) und (j) einander parallel sind. Und nach den Ableitungsgleichungen von Weingarten ist:
t £
£¡ Eu »
Somit erhalten wir
(5c)
.
'v Q. '
- t ÄL -
j; Eu> E
IN
S =0,
Nach (5 a) und (5 c) aber folgt
— XL/J, = 0,
— XNv = 0 ,
oder nach (5 c)
(5 d)
^0 o V = -s P ■
l-N r
Aus (5a), (5b) und (5d) ergibt sich die behauptete Beziehung (4). Statt (4) können wir auch schreiben:
(6) 9 + 5 =
Es sei nun 0 der Mittelpunkt von E, und es mögen die Vektoren 5 0 zum Ursprung haben. Da die Tangentenebenen in den Endpunkten zweier entgegengesetzter Vektoren 5 einander parallel sind, so sind stets £ und j zwei solche von 0 aus einander entgegengesetzte Vektoren :
(7) C = £ + j = 0.
Nehmen wir nun an, E sei kein Ellipsoid, und wählen wir von nun an die Affinkriimmungslinien zu Parameterkurven («', v') 6 ), so folgt für £ nach (4)
0 = Ê«' + E m ' = 2 E«' + ß t)u'
= E «'-[2 + ß(c}-h)]  . = E» ' ' [2 + ß (c® — A)] ,
(B), S. 164.

254
W. Süß.
wenn h die mittlere Affinkrümmung bedeutet. Daraus geht aber hervor:
cl — h = — h — — ~ ,
oder, da c. = 0 ist 7 ),
(8) A = J- = konst.
Nun sind aber die Ellipsoide die einzigen Eiflächen mit konstanter mittlerer Affinkrümmung h 8 ). Somit ist unsere Annahme, E sei kein Ellipsoid, falsch und der erste Teil unserer Behauptung in 1. bewiesen.
§2.
Eiflächen mit affinen Doppelnormalen.
3. Wir bezeichnen den zweiten Punkt, welchen die Affinnormale im Punkte (j) mit der analytischen Eifläche E gemeinsam hat, mit (£*). t)* möge der Affinnormalenvektor im Punkte (j*) sein. Dann lautet unsere Frage: Für welche Eiflächen E gibt es eine (skalare) Funktion des Ortes q(u, V ) derart, daß stets
(!) £*-E = g-9 = -<7*-l)*
ist, wenn q* den Wert von q im Punkte (£*) bedeutet?
(1) stellt eine doppelte Erweiterung der Gleichung (4) von § 1 dar, indem q nicht als konstant angenommen wird und die Tangentenebenen in (j) und (£*) nicht parallel sein müssen. Übrigens bedeutet q die Affinentfernung des Punktes (£*) vom Punkte (j). 9 )
Wir nehmen wieder an, E sei kein Ellipsoid, und wählen die Affin- krümmungslinien zu Parameterkurven (u, v). Die Parameter (u, v) seien dabei so normiert, daß der Vektor ï) in das Innere von E weist und die affinen Hauptkrümmungsradien r 15 r 2 , r*, r* im Punkte (j) bzw. (ç*) positiv sind 10 ). Die Affinnormalen fy* bilden nun nach (1) gleichzeitig mit l) eine Torse; d. h. wenn sich der Punkt (j) auf einer Affinkrümmungs- linie bewegt, so beschreibt der zugeordnete Punkt j* gleichzeitig eine Affinkrümmungslinie. u und v können somit gleichzeitig in den Punkten (j) und (j*) als Parameter der Affinkrümmungslinien verwendet werden. Dann ist nach dem affingeometrischen Analogon zu der Formel von O. Rodrigues
ís«+m m = O> i* + r * = 0 > u + M„=O, ?;+rf»; = o.
') (B), S. 163 (a ä2 ). - 8 ) (B), § 74. o) (B), S. 162 (a9) und S. 165 (184). 10 ) (B), S. 212.

Eiflächen konstanter Affinbreite.
255
Die zu t) und ty* gleichzeitig gehörigen Hüllgebilde haben mit t) bzw. t)* gemeinsame Berührungspunkte
(3)
â2 = ï+ r 2 t )=ï*
* Vi*
r*ï)
Durch Differentiation von (3) erhält man unter Beachtung von (1) und (2): S«!
.#
ï. i-~ +*"»
r iv<l
Ä *
1 *
E*(l —— l *
r a
Hieraus folgt entweder
(4a)
oder
(4b)
r x = r 2 , r* = r*
(ri-r 2 ) r*
r* =
t v
/ *
( r i
(r x -r,) r*
Eu
Wenn überall auf E (4a) erfüllt ist, so ist die Eifläche notwendig ein Ellipsoid 11 ), was im Widerspruch zu unserer gegensätzlichen Annahme von oben steht. Auf der analytischen Eifläche E muß also überall (4 b) erfüllt sein, dagegen (4a) nur in isolierten Punkten. Dann aber folgt aus (1), (2) und (4b)
C - £« =
i; ~ Ï» =
*
r 2 r ± -
- r 2
* r i
k*-
)
r i
r i r * -
- r 0
* r i
(f-
'.*)
1 r -2
Sv = 1v - V
Also ist überall auf E d. h.
(5) q = konst.
Außerdem besteht nach (4 b) für die Einheitsvektoren der gewöhnlichen Flächennormalen f* in (f) bzw. (f*) die Beziehung
(6) £ + f* = 0.
Mit (5) und (6) aber sind wir auf den in § 1 behandelten Fall der
u ) (B), § 77.

256 W. Süß.
dortigen Gleichung (4) zurückgeführt worden. E müßte also im Widerspruch zu der anfangs gemachten Voraussetzung doch ein Ellipsoid sein. Hiermit ist der zweite Teil des in 1. behaupteten Satzes bewiesen.
4. Hier soll eine Betrachtung von Körpern konstanten Affindurchmessers beigefügt werden. Es sei B ein dreidimensionaler, von einer geschlossenen, zweiseitigen, ganz im Endlichen gelegenen, stetig -differentiierbaren Fläche F begrenzter Bereich. Unter dem „Affindurchmesser" D von B verstehen wir das Maximum der Affinentfernungen e(ç, j) eines Punktes (j) aus B von einem Oberflächenpunkt (f ). In Analogie zu der entsprechenden Definition von Herrn K. Reidemeister 8 ) sagen wir, daß B von konstantem Affindurchmesser sei, wenn es zu jedem Punkt (j) auf F einen Punkt (f) in (B) gibt derart, daß für jeden beliebigen anderen Punkt (5) aus B
(7) e(s, ï)<;«(ï, ï) = c
ist, wobei c eine feste endliche Zahl bedeutet. Hierbei ist nach ( 1 ) in § 1
(8) e(| S ) = %^ = A(|, 5 - ? ).
Wir behaupten: Ein IÇôrper B konstanten Affindurchmessers ist ein Ellipsoid.
Dazu müssen wir nach § 1 nur zeigen, daß die Oberfläche F von B eine Eifläche ist und konstante Affinbreite besitzt.
Daß F eine Eifläche ist, folgt aus (7). Denn zunächst muß überall auf F K > 0 sein. Nach unseren Voraussetzungen für F muß nämlich auf jeden Fall irgendwo auf F K > 0 sein. Wäre aber in einem Punkte von F K = 0, so müßte B ganz in eine Ebene fallen, weil andernfalls nach (8) unendliche Affinentfernungen möglich wären, was im Widerspruch zu der Endlichkeit der Konstanten c in (7) steht. Wenn aber K an einer Stelle von F wesentlich positiv ist und nirgends verschwindet, so ist überall auf F K > 0 und F somit wegen seiner Geschlossenheit eine Eifläche 12 ).
Wir betrachten nun die Menge M aller Punkte (a), für die ( 9 ) e(a,£ o) = c
ist, wobei (f 0 ) ein fester Punkt von F ist. In M ist nach unserer Definition (7) mindestens ein Punkt (£) von B enthalten. Ein solcher Punkt (ç) gehört selbst zu F, weil sonst nach (8), da B ein Eikörper ist, der Schnittpunkt der Verlängerung von (j — f) über den Punkt (j) hinaus mit F größere Affinentfernung von (5) besäße als c. Alle Punkte (a)
12 ) Vgl. W. Blaschke, Kreis und Kugel. Leipzig 1916, S. 164.

Eiflächen konstanter Affinbreite. 257
in (9) liegen also auf F oder außerhalb B. Wir behaupten nun: Die Menge M der Punkte (et) ist eine zur Tangentenebene in (ç) an F parallele Tangentenebene in (|) an F. Nach (8) und (9) ist M eine Ebene, die wegen
0
(«.$-
zur Tangentialebene in (5) parallel ist; M enthält den Punkt (j); sie ist Tangentialebene in (j) an F, da sie Stützebene von B sein muß; wegen (9) gäbe es nämlich andernfalls wie oben größere Affinentfernungen in B als c.
(j) und (j) sind somit ein Punktepaar, das mit (7) die Bedingungen eines Eikörpers konstanter Affinbreite erfüllt, w. z. b. w.
§3.
Eilinien mit affinen Doppelnormalen.
5. Wir fragen jetzt nach den Eilinien mit affinen Doppelnormalen. Es sei E{%) eine solche Eilinie. Wir behaupten: E ist eine Ellipse.
E möge auf die Affinlänge s als Parameter bezogen sein. Es sei (j) oder (j(s)) der zweite Schnittpunkt der Affinnormalen im Punkte (j(.s)) mit E. Dann soll es also eine Funktiou q(s) geben derart, daß
(1) ï(*)-ï (*>=?(»)• £"(«),= -?(')• ï" (0
ist, wobei die Differentiation nach der Affinlänge stets durch Striche bezeichnet sei. Es sei k die Affinkrümmung, r = der Affinkrümmungsradius und t)(s) der Affinevolutenvektor im Punkte (£(«))• Dann ist 13 ):
(9) ( t)(s) =ï(s) + r(s)ï"(s),
\ t)'(s) = r'(s) tç"(s).
Da die Affinnormalen Doppelnoimalen sein sollen, so ist
Í t)(s) _ =t)0)>
Hieraus schließt man unter Verwendung von (1) und (2) auf
1 r («)?(*) + »"(*) ff («) = q(s)q(s),
\ q(s)r'(s)s' + q{s)r'(s) = 0.
Differentiiert man (1) nach s, so erhält man wegen der Beziehungen 11
,,, f ï'(s) + r (s)z'"(s) = 0,
(6 L 1 <*'. £"). = 1
13 ) (B), S. 28.
") (B), S. 15. (a, b) bedeutet hier die Determinante a 1 b 1 — a„b 1 .

258 W. Süß.
die Gleichungen
\ (í'(s), £'(s))s' = ff'(s), \ (ï'(«), £'(«)) =-q'(s)s',
(6)
aus welchen folgt:
(7) ?'(«) + ffW = 0.
Nehmen wir zunächst an, es sei
?'(«)= o,
so folgt aus (6), daß j'(s) und j'(s) stets einander parallel sind. Dann ist nach (1) und (5)
(ï(s)-ï(s), ï'(s))= -q=-q- |^ ( ( !j| ,
also 15 )
g(s) ■-= |ï'(s) 3 = ||'(s)! :! = e(s), wenn , q den äquiformen (gewöhnlichen) Krümmungsradius bedeutet. Dann aber ist E eine Eilinie mit Mittelpunkt. Da aber nach (4)
r ( s ) + r (s) = q = konst.
ist, so folgt für E
r (s) = r (s) = -| = konst.,
d. h. E ist eine Ellipse, wie wir behauptet haben.
Wir nehmen jetzt an, es sei nicht q' = 0, und werden aus dieser Annahme einen Widerspruch ableiten. Es ist E dann keine Ellipse, also auch nicht r'(s) = 0.
Durch Differentiation von (4^ erhält man unter Verwendung von (4) und (7) nach kurzer Rechnung die Relation
(8) q(s)r(s) = q(s)r(s),
wobei von unserer eben ausgesprochenen Annahme Gebrauch gemacht wird. Aus (4) 2 und (8) ergibt sich weiter
, _ _ q(s)r'(s) __ r( s)r'(s) q(s)r'(s) r (s) r' (s) '
Also ist
(9) r 2 (s) + r" (s) = « 2 = konst.
(4) 1; (8) und (9) führen schließlich zu der Gleichung
(10) r(s)g(s) = a" — r"(s) + ?" 2 (s) = konst.
Hieraus erhält man noch
(11) q' («) + r (s) = r («) V r -4) =
16 ) (B), S. 32.

Eiflächen konstanter Affinbreite. 259
Es sei für s = s 0 (s 0 = s (s 0 ))
?(* 0) =?(«<>)•
Dann folgt aus (10) und (11)
(12) ?(s 0 ) = ?(s 0 ) = 2r(s 0 ) = 2r(s 0 ) = ß} / 2.
Betrachten wir den für den Punkt (j(s)) geltenden Parametervvert s auch als Parameterwert des Punktes (j(s)), so besteht, wenn wir die Differentiation von y(s) nach s durch Punkte bezeichnen, die Beziehung 1 ")
(13) s' 3 = (j(s), ï(s)).
Nach (1), (5) und (10) ist nun
j(s)=j'(s)¡l-íi^] +?'(«)£"(«),
m - s»[i - 'M + «" (,) ] -
Nach (10) und (13) ist also:
( 14) a 4 s' 3 = [r («)- ß 3 ] [q"'{s) - ß 2 - cc°~q" (s)] + 3 a"q{s)q'-(s).
Aus (4)„ erhält man andererseits nach (7) und (10)
, _ _ q(J) r' (s) f(s) , 2 . q (s)r' (s) 2 a (s)
also ist
_ / îW \ ;!
(i5) r =
l a (5) / "
(16)
Im Falle (12) (s = s 0 ) ergibt sich somit aus (14) und (15):
k "s' 3 = « 4 - « 4 g"(s 0 ) + 3« 3 f2q'"(s 0 ) — a 4 .
Da ein analoger Schluß für den zugeordneten Wert s = s 0 = s(s 0 ) gilt, ist somit:
a ?"(*o) = 3Í2g' 2 (s 0 ),
«?"(* o) = 3Í2g' a (s 0 ).
Nun erhält man durch Differentiation aus (7)
?"(s) + ?"(s)s' 3 + 2g'(s)s's" = 0.
Ferner errechnet man aus (7), (11) und (15)
„ = 3g 2 (s)g'(s) a q{s) '
so daß nach (16) in einem (12) entsprechenden Punkte sein muß: (17) g' 2 (s 0 ) + ? ,2 (So) + 2«g'(So)9'(So) = 0 -
») (B), S. 10 (47;.

260 W. Süß. Eiflächen konstanter Affinbreite.
Da nun aus (7) und (15)
(18) ? <l (s)?'(s) + 9 ll (s)ç'(s) = 0
folgt, so muß nach (15) und (17) in einem solchen speziellen Punkte sein:
— «) = 0.
Der Wert der Konstanten « ist aber von der zugrunde gelegten Maßeinheit abhängig. Somit muß
?'( s o) = ?'(So)= 0
sein. Dann folgt aus (16)
q" K) = ?" ( 5 o) = 0
und durch sukzessives Differentiieren der aus (14) und (15) hervorgehenden Gleichung, sowie von (18) für alle v— 1, 2, 3, ...
(19) ? W (« 0 ) = S W (*«,)"= 0 (v = 1,2,3,...).
Dann aber muß überall auf E (12) bestehen; E müßte also im Widerspruch zu unserer Annahme eine Ellipse sein, w. z. b. w.
Folgender Satz, dessen Analogon in der elementaren Differentialgeometrie ich a. a. 0. beweisen werde, ist eine Folge des soeben bewiesenen Satzes :
Enthält ein Eikörper K in seinem Innern einen Punkt P von der Art, daß alle P enthaltenden Schnittovale Eilinien mit affinen Doppel- normalen sind, so ist K ein Ellipsoid.
Da nämlich die Schnittovale sämtlich nach dem Obigen Ellipsen sein müssen, erlaubt ein Satz von Herrn T. Kubota 17 ) den Schluß, daß K ein Ellipsoid ist.
Kagoshima, April 1925.
") Einfache Beweise eines Satzes über die konvexe, geschlossene Fläche; Science Reports of the Tôhoku Univ. 3 (1914), S. 235 fï. , Kap. III und IV, woraus sich eine Erweiterung des obigen Satzes entnehmen läßt.
(Eingegangen am 14. 7. 1925.)

Die Wiederholung des Michelson-Versuchs und die Relativitätstheorie.
Von
D. van Dantzig in Amsterdam.
§1-
Einleitung.
In ihren Mitteilungen 1 ) über die erste Wiederholung des im Jahre 1881 zum erstenmal ausgeführten, aber damals auf eine falsche Rechnung gegründeten Michelson-Versuches 2 ) berichteten A. A. Michelson und E. W. Morley 1887: „Nur die Bewegung der Erde in ihrer Bahn in Betracht ziehend . . . zeigen die Wahrnehmungen, daß die Relativgeschwindigkeit der Erde und des Äthers wahrscheinlich kleiner ist als ein Sechstel der Bahngeschwindigkeit der Erde und gewiß kleiner als ein Viertel." Seitdem wurde dieses Ergebnis durchweg als ein negatives betrachtet. Später ist der Versuch von E. W. Morley und D. C. Miller wiederholt worden (1904 —1906) 8 ), und, nachdem Erstgenannter gestorben war, von Miller allein in den Jahren 1921, 1924 und 1925 4 ). Im Anschluß an eine Bemerkung von Michelson und Morley 5 ) wurden die späteren Beobachtungen auf dem Mount-Wilson gemacht.
Das bekannte Michelsonsche Interferometer wurde einer kontinuierlichen Drehung in der Horizontalebene unterzogen, die durchschnittlich in etwa einer Minute ausgeführt wurde. Während dessen wurde ununterbrochen die Lage der Interferenzstreifen wahrgenommen. Gearbeitet wurde bei verschiedenen Tages- und Jahreszeiten, wobei besondere Maßnahmen
] ) Amer. Journ. of Science 34 (1887), S. 333; Phil. Mag. 24 (1887), S. 444.
2 ) Amer. Journ. of Science 22 (1881), S. 120.
3 ) Phil. Mag. 8 (1904), S. 753; 9 (1905), S. 619, 680; Proc. Nat. Acad. Sc. 41 :( 1905), S. 321.
4 ) Phys. Rev. 19 (1922), S. 407.
6 ) Amer. Journ. of Science 24, S. 341.

262
D. van Dantzig.
getroffen wurden, um die magnetischen und thermischen Einflüsse zu eliminieren. Im Gegensatz zu den früheren Resultaten wurde eine deutliche
Verschiebung der Interferenzstreifen wahrgenommen. In Fig. 1, die Millers Abhandlung in der National Academy of Sciences") entnommen ist, stellen die Pfeile der Größe und Richtung nach die maximale Verschiebung der Streifen, bzw. das zu diesem Maximum gehörige Azimuth im Laufe eines Sterntages dar. (Die Zeitpunkte sind in siderischer Zeit angegeben.) Insbesondere zeigte sich eine ziemlich gute Übereinstimmung dieser Versuche (vom April 1925) mit denen vom April 1921, obwohl sie auf einem anderen Berg, mit einem anderen Beleuchtungs- und Wahrnehmungssystem und mit einem seitdem völlig umgebauten Interferometer gemacht worden sind.
In England und Amerika haben diese Ergebnisse, die Miller in den Worten: „The ether-drift experiments at Mount-Wilson during the years 1921 to 1925 lead to the conclusion that there is a relative motion of the earth and the ether at the Observatory of approximately nine kilometers per second, being about one third of the orbital velocity of the earth" 7 ) zusammenfaßt, großes Aufsehen erregt. Dr. Ludvik Silberstein haben sie z. B. zu den Worten . . knock out the relativity theory radically . . und zum Versuche ihrer Deutung auf Grund der Äthertheorie von Stokes, Planck und Silberstein 8 ) veranlaßt").
Der Zweck der vorliegenden Abhandlung ist: zu zeigen, daß der Miller-Effekt einen Rückgang zur klassischen Äthertheorie keineswegs notwendig oder wünschenswert macht, und die diesbezüglichen Betrachtungen, die der Verfasser in seiner vorläufigen Mitteilung in Nature 10 ) niedergelegt hat, eingehender durchzuführen. Am Schluß der Abhandlung werden einige der wichtigsten Bedenken gegen die Experimente erwähnt werden, wobei sich herausstellen wird, daß ernster Zweifel an ihrer Richtigkeit keineswegs unberechtigt ist. Nichtsdestoweniger möchte es von Interesse
e ) D. C. Miller, „Ether-Drift Experiments at Mount- Wilson", Proc. Nat. Acad.
Science 11 (Juni 1925), S. 306. Eine kurze Übersicht findet man in Nature ll (i
(11. Juli 1925), S. 29.
7 ) Proc. Nat. Acad, of Science 11, S. 314.
8 ) L. Silberstein, Phil. Mag. 39 (1920), S. 161.
o) Nature 115 (23. Mai 1925), S. 798.
10 ) D. van Dantzig, „The Miller Effect and Relativity", Nature 116 (26. Sept. 1925), S. 465.

Michelson-Versuch und Relativitätstheorie.
263
sein, jetzt schon zu untersuchen, welchen Einfluß der Miller-Effekt auf die R.-T. haben würde, wenn er vielleicht dennoch sichergestellt würde. Vorläufig wollen wir also annehmen, daß dies tatsächlich geschehen sei, d. h. daß sich von experimentalphysikalischer Seite keinerlei Beobachtungsfehler aufweisen lassen, so daß die gefundenen Resultate vollwertig in den Naturgesetzen berücksichtigt werden müssen.
§ 2.
Über die Grundlagen der R.-T.
Zuerst wollen wir bemerken, daß das Grundprinzip der allgemeinen R.-T.: „Ein Naturgesetz ist invariant beliebigen topologischen (d. h. eineindeutigen stetigen) Transformationen gegenüber" von keinem einzigen Experiment beeinträchtigt werden kann, und also nach Hermann Weyl 11 ) ein rein formales Prinzip darstellt 12 ). Die Bedeutung dieses Prinzips wird besonders dadurch erhellt, daß man nach Prof. G. Mannoury 13 ) das Problem des Aufbaus der Physik gänzlich auf psychische Inhalte zurückführt. Ein derartiger Aufbau möge im folgenden kurz skizziert werden, wobei wir, der Kürze halber, auf vollkommene Strenge der Darstellung und Aufzählung sämtlicher Voraussetzungen verzichten müssen.
Der Möglichkeit einer Physik, sowie einer jeden „exakten" oder wenigstens „konkreten" Wissenschaft, liegt die — im Sinne Vaihingers 14 ) „fiktive" — Möglichkeit zugrunde, die kontinuierliche Wirklichkeit in eine Menge diskreter Elemente aufzulösen, die mittels irgendeines Symbols (z. B. Wortes, Zeichens) angegeben werden können: das ist aber nichts anderes als die Möglichkeit der Sprache überhaupt 15 ). Die Elemente dieser Menge nennen wir „Weltpunkte". Sodann muß die Möglichkeit postuliert werden, gewisse Teilmengen mittels besonderer Symbole zusammenzufassen. Und zwar soll einerseits eine Menge bestimmter Teilmengen mittels je
") „Massenträgheit und Kosmos", Die Naturwissenschaften 12 (1924), S. 197. Wieder abgedruckt in „Was ist Materie?" S. 61. Berlin: Julius Springer 1924.
12 ) Diese Auffassung wird in der letzten Zeit ziemlich allgemein vertreten, u. a. von Prof. Einstein, wie dieser dem Verfasser Dezember 1924 nach Kenntnisnahme vorliegender Abhandlung brieflich mitteilte. Vgl. auch die in Fußnote 22 ) genannte Abhandlung.
13 ) U. a. in seinen an der Amsterdamer Universität in den Jahren 1920—1921 gehaltenen Vorlesungen.
14 ) Hans Vaihinger, „Die Philosophie des Als-Ob". Berlin: Reuthen & Reichard, 2. Aufl., 1913.
15 ) Das Wort „Sprache" ist im allgemeinsten Sinne gemeint. Vgl. z. B. Fritz Mauthner „Beiträge zu einer Kritik der Sprache". Erster Band : „Zur Sprache und zur Psychologie". Stuttgart und Berlin: J. G. Cotta, 2. Aufl. 1906, S. 3ff.

264 D- van Dantzig.
einer „Identitätsrelation" (die dem psychischen Phänomen der Wiedererkennung entnommen ist und aussagt, daß die Weltpunkte zum selben „Etwas", z. B. zum „selben" wahrgenommenen Dinge gehören), andererseits eine Menge bestimmter Teilmengen mittels je einer „Koinzidenzrelation" (die aussagt, daß die zu einer Teilmenge gehörigen Weltpunkte in physikalischem Sinne „zusammenfallen") herausgehoben werden. Die Teilmengen erster Art wollen wir vorläufig A -Mengen, diejenigen zweiter Art „Punktereignisse" oder „Weltknoten" nennen. Sodann soll eine bestimmte A -Menge als „Ich-Menge" herausgegriffen und auf Grund der psychisch gegebenen (Eigen-) „Zeitrelation" linear geordnet werden. Achten wir auf die Tatsache, daß ein Individuum sein „Zeitgefühl" („Kopfuhr") auf die Welt überträgt, indem es ein beliebiges Punktereignis mit einem Moment seiner Lebenslinie (— eventuell nach „fiktiver" Verlängerung —) korrespondieren läßt, so läßt sich in einem System von Postulaten ausdrücken, daß jedes Punktereignis mittels „zur betrachteten Ich-Menge gehörigen Gleichzeitigkeitsrelationen" auf einen und nur einen Weltpunkte der Ich-Menge abgebildet wird, solchermaßen, daß jede A-Menge ebenfalls als eine linear geordnete Menge erscheint, die wir „Weltlinie" nennen wollen. Dabei wird gefordert, daß niemals eine geschlossene Kette von (von Weltknoten verbundenen) Weltlinien zyklisch geordnet sein soll. Bequemlichkeitshalber nehmen wir weiter an, die in dieser Weise konstruierte Menge sei zu einem vier dimension alen Kontinuum ergänzt, in dem die Weltlinien als stetige Kurven erscheinen, und das eineindeutig auf ein beliebiges stetiges Koordinatensystem bezogen ist 18 ).
Jede Axiomatisierung der. Physik 17 ) läßt sich in der angedeuteten Weise lediglich auf die Fundamentalbegriffe „Element" (oder „Einheit" oder „Ding" usw.) und „Relation" zurückführen. Darin spricht sich die schöne Bemerkung Henri Poincarés 18 ) aus, daß die Welt nur bis auf eine topologische Transformation definiert ist, das heißt: Es ist möglich, das Weltgeschehen in solchen Worten wiederzugeben, daß eine topologische
16 ) Eine ähnliche Betrachtung wird in physikalischer Sprache von Professor H. A. Lorentz geführt in der Einleitung von: „De bepaling van het <¡r-veld in de algemeene relativiteitstheorie met behulp van de wereldlijnen van lichtsignalen en stoffelijke punten, met eenige opmerkingen over de lengte van staven en den duur van tijdsintervallen en over de theorieën van Weyl en Eddington", Verslagen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 32 (1923), S. 383. Eine englische Übersetzung wird nächstens in den Proceedings of the Koninklijke Akademie van Wetenschappen veröffentlicht werden.
17 ) Z. B. H. Reichenbach, „Axiomatik der relativistischen Raum-Zeit-Lehre". Braunschweig: Vieweg & Sohn 1924.
18 ) Vgl. z. B. „La Science et l'Hypothèse". Paris: Flammarion 1906, S. 84ff. Chap. 4 und „Science et Méthode", ibidem 1913, S. 101 ff. (Livre II, Chap. I, §1).

Miohelson-Versuch und Relativitätstheorie.
265
Transformation niemals eine „richtige" Beschreibung eines Ereignisses in eine „falsche" verwandeln kann.
Die obigen Betrachtungen gestatten uns, den möglichen Einwand abzulehnen, die vor-relativistische Lage sei mit einem positiven Ergebnisse des Michelson-Versuches wieder eingetreten, und es sei deshalb jeder Grund zur Betrachtung von topologischen Transformationen der Welt in sich hinfällig geworden. Im Gegenteil: wir dürfen jetzt unabhängig vom speziellen Ergebnis jedes Experimentes die Grundlage der allgemeinen R.-T. und den ganzen Rechenapparat des Tensorkalküls übernehmen.
§ 3-
Was entscheidet der Michelson-Yersuch?
Soweit wir uns auf den Miller-Effekt verlassen können, zeigt dieser uns durchaus nichts über die etwaige „Existenz" eines „Äthers" oder über irgendeine Translation der Erde, wie Miller meint J9 ), sondern nicht mehr und nicht weniger als die Tatsache, daß sich bei einer Drehung des Inter- ierometers „etwas ändert", daß also eine starre Drehung (d. h. eine Drehung, die die starren Körper invariant läßt) die Lichtbahnen nicht invariant läßt. Verstehen wir unter Isotropie Invarianz gegenüber einer Drehungsgruppe, dann zeigt er uns also, daß Isotropie des Feldes und Isotropie der Lichtbahnen nicht äquivalent sind. Es werden also zweierlei Metriken definiert, nämlich diejenigen, die zu den starren Drehungen, und diejenigen, die zu den „lichtgeometrischen Drehungen" gehören, d. h. den Drehungen („mit Formänderung" der starren Körper), die den Lichtkegel, also die sich ausbreitende Wellenfläche, invariant lassen. Obwohl die R.-T. sich in ihrer heutigen Form auf die Identität dieser beiden 'Transformationsgruppen stützt, ist dieser Punkt nicht von entscheidender Bedeutung für die Theorie: von allgemein relativistischem Standpunkt betrachtet, bleibt die Möglichkeit offen, daß Lichtbewegung von raschester Bewegung verschieden sein kann.
Während bei negativem Ergebnisse des Michelson-Versuches die beiden vorgenannten Drehungsgruppen identifiziert werden können, werden zur Beschreibung der physischen Phänomene einschließlich des Miller-Effektes wenigstens zwei symmetrische Tensoren erforderlich (außer dem elektromagnetischen Potentialvektor 9^), nämlich der „starrgeometrische Tensor" ■dS* — s il .dx i dx k und der „lichtgeometrische Tensor" dL~ = l ik dx i dx k , die zusammen die Rolle des alten metrischen Tensors ds* = g ik dx i dx k übernehmen und nur wenig voneinander differieren. Den starrgeometrischen Tensor dS 3 identifizieren wir mit dem Gravitationstensor dG" = g ik dx i dx k
10 ) a. a. 0., vgl. '). Mathematische Annalen. 96.
18

266
D. van Dantzig.
und zwar deshalb, weil der Begriff des starren Körpers tautologisch vom Begriffe des Fiihrungsfeldes abhängig ist. Der Begriff des starren Körpers ist nämlich sekundär gegen den Begriff „Bewegung der starren Körper" und dieser läßt sich nur definieren, wenn der Begriff der „zwanghaften Führung" 20 ) schon bekannt ist. Wir benützen also zur Beschreibung der physischen Erscheinungen drei Tensorfelder: ein Gravitations- oder starrgeometrisches Feld g ik — s ik , ein elektromagnetisches Potentialfeld cp i und ein lichtgeometrisches Feld oder elektromagnetisches Führungsfeld l ik . Es ist übrigens eine große Schwierigkeit, daß bei jeder Vermehrung der Grundtensoren die Anzahl der Simultaninvarianten schnell zunimmt, so daß die Naturgesetze immer komplizierter werden. Wenn sich aber der Miller- Effekt als richtig erweist, so können wir unmöglich diese weitere Komplikation vermeiden; mögen wir also schon jetzt untersuchen, zu welchen Konsequenzen sie führt.
Durch die Wahl eines genügend kleinen Weltstückes können wir bekanntlich erreichen, daß der Lichtkegel
(1) dL* = l ik dx i dx* = 0
innerhalb dieser Umgebung konstante Koeffizienten besitzt. Dies bedeutet, daß wir die sich ausbreitenden Wellenflächen, die sich nur wenig von starren Kugeln unterscheiden, in einem genügend kleinen Gebiete, wie auch ihre „genaue" Gestalt sein möge, immer durch homothetische quadratische Flächen approximieren können. Wir schreiben dann die Gleichung des vom Punkte x° = x 1 = x 2 = x 3 — 0 ausgehenden Lichtkegels in der Form
(2) L" — l ilc x i x* = 0
und verabreden dabei, daß, wie üblich, über zweifach vorkommenden Indizes summiert wird, und zwar bei lateinischen Indizes über die Ziffern 0, 1, 2 und 3, bei griechischen hingegen nur über die Ziffern 1, 2 und 3. Wir nehmen jetzt zwei räumliche senkrechte Einheitsvektoren, a e bzw. ß s , die also den Bedingungen g e „a a a G — g„„ß e ß" = 1, g B „a e ß° = 0 genügen und legen an diese Vektoren die Arme des Michelsonschen Inf ero meters (Längen a bzw. b ) heran. Eine einfache Rechnung zeigt, daß die Verschiebung der Interferenzstreifen bei einer Drehung um 90° in der Ebene von a e und ß e
d = V (lo e ß°y-l 0 ol e aß e ß°)
ist, oder wenn wir Z 00 = c 2 , lo e — c 9s un d ~ — — r e« setzen, und
-°) Vgl. Hermann Weyl, „Raum, Zeit, Materie". Berlin: Julius Springer, 5. Aufl. 1923, S. 220; 4. Aufl. 1920, S. 200. Falls weiter nichts bemerkt wird, wird immer nach der 5. Aufl. zitiert.

Michelson-Versuch und Relativitätstheorie.
267
beachten, daß die eingeklammerte Größe höchstens von der Ordnung 10~ 8 c 2 , also q Q von der Ordnung 10~ 4 und r ea von der Ordnung 10" 8 sein kann, und bis auf Größen höherer Ordnung entwickeln,
(3) d = {a+ b){r ea u e a a -\-(q e u e y - r ga ß e ß"—(q e ß e Y}.
Wir haben hier „die" Lichtgeschwindigkeit c eingeführt, aber müssen dabei beachten, daß diese, für sich betrachtet, keinen Sinn mehr hat, indem sie nicht in allen Richtungen den gleichen Wert hat. Die Zahl c kann daher nur einen Mittelwert bedeuten und bleibt bis auf einen multi- plikativen Faktor (der in der Größenordnung 10" 8 von Eins differiert) unbestimmt. In diesem Zusammenhang sei hervorgehoben, daß der relative Fehler bei den letzten direkten Messungen der Lichtgeschwindigkeit bedeutend größer, nämlich von der Ordnung 10 ~ 4 ist 21 ), so daß eine Festsetzung dieses Faktors jeden physikalischen Sinnes bar ist.
Die Millerschen Experimente sind bisher nur auf die eingliedrige Drehungsgruppe in der Horizontalebene, noch nicht auf die dreigliedrige Gruppe im Räume bezogen worden. Wäre dies der Fall, dann ließen sich aus der Gleichung (3) mittels einer genügenden Anzahl von Messungen die q a und r aß bestimmen (die q a aber nur bis auf das Vorzeichen). Es wäre also die Bestimmung der l ik auf diejenige der g r f; . zurückgeführt. Zwecks späterer Betrachtungen wollen wir die Gleichung (3) noch etwas näher ausarbeiten. Beziehen wir uns auf ein orthogonales Koordinatensystem, in dem die x 1 - und x 2 -Achse die Horizontalebene enthalten, und setzen wir
u e = (cosçj , sinçj, 0) und ß 3 = (— sin cp, cos cp, 0),
indem der Apparat also in demselben Sinne gedreht wird, in dem cp wächst, so wird
(4) d = (a + b) {{ql + r xl - qj - r 23 ) cos 2 cp + (q, g 2 + r M ) sin 2 cp}. Setzen wir weiter
(5) ql + r lx — q%— r aa = 8- cosco; ? 1 g a + r 19 = S- sin co, so wird
(6) d = (a + 6)-$-cos(co — 2cp).
Es erreicht also d seinen Maximalwert d n , ax = D für das Azimuth <Pm= i co und es ist D = (a + b)-S.
21 ) A. A. Miohelson, „New Measurement of the Velocity of Light", Nature 116 (1924), S. 831. Gefunden wurde der Wert 299 -820 ^30 km/sek. Miohelson hofft, die Genauigkeit biB zum 4- oder 5-fachen steigern zu können.
18*

268
D. van Dantzig.
Bis heute sind nur Daten bezüglich der Extremalmessungen, also S und co, veröffentlicht worden. Daraus allein lassen sich selbstverständlich die q a und r a ß nicht bestimmen. Insbesondere fallen die beiden Voraussetzungen q a — 0 oder r a ß = 0 in den Bereich des Möglichen. Die erste Hypothese, die aussagt, daß die Lichtausbreitung in gleichförmigen Ellip- soiden stattfindet 32 ), deren Mittelpunkte in einem relativ zur Lichtquelle ruhenden räumlichen Punkte zusammenfallen, gibt, wenn die Koordinatenachsen in die Richtungen der Hauptachsen der von der Horizontalebene abgeschnittenen Ellipse (Längen bzw. Z-f-iü 2 ) gelegt werden:
Z> = i(a + 6)(Ä 1 -Äj.
Die zweite Voraussetzung hingegen, die aussagt, daß die Lichtwellen Kugelflächen mit gleichförmig zur Quelle bewegtem Mittelpunkte durchlaufen und also mit der klassischen Ätherhypothese identisch ist, gibt, wenn q 1 — q 2 = 0 gesetzt wird, die Bewegungsrichtung also zur a; 1 -Achse parallel gewählt wird,
D = 0+ b)q¡.
Dabei entscheidet die klassische Äthertheorie über den obengenannten Proportionalitätsfaktor in dem Sinne, daß c 2 .= (1 — q^ltf ) gesetzt wird, wo c 0 die Lichtgeschwindigkeit „relativ zum Äther" ist. Vorläufig haben wir aber noch durchaus keine Veranlassung, anzunehmen — wie Miller tut, indem er sich auf den Standpunkt der klassischen Theorie stellt — daß die q a von der Ordnung 10 die r aß dagegen von der Ordnung 10~ 12 oder noch kleiner seien, was zur Begründung der Ätherhypothese notwendig wäre.
§4.
Die Ätherfrage. .
Nehmen wir jetzt an, die Koeffizienten der quadratischen Form seien bestimmt, ohne vorauszusetzen, daß irgendeine kleiner wäre als notwendig ist — die q a und die r a p seien also von der Ordnung 10 ~ 4 bzw. 10~~ 8 —, dann können wir jedenfalls sagen, daß bei sichergestelltem Miller-Efiekte der Gültigkeitsbereich der Maxwellschen Gleichungen mit Bezug auf ein starres Koordinatensystem nicht über die Grenze 10 -s hinausragen würde.
22 ) Schon 1923 hat N. von Raschevsky in einer sehr lesenswerten Abhandlung, die dem Verf. erst nach Abschluß der vorliegenden Schrift bekannt wurde, die Möglichkeit einer Lichtausbreitung in konzentrischen Ellipsoiden erwähnt ( „ Kritische Untersuchungen zu den physikalischen Grundlagen der R.-T.", Zeitschr. f. Phys. 14 (1923), S. 107—149). R. benutzt aber nur Rotationsellipsoide und führt sie in anderem Zusammenhange und zu einem anderen Zweck ein als hier geschehen ist.

Michelson-Versuch und Relativitätstheorie.
269
Es wäre dann zu untersuchen, ob die anderen Versuche, die einen Effekt von der zweiten Ordnung nachweisen könnten, z. B. der Trouton-Noblesche, bei Wiederholung immer noch ein deutlich „negatives" Resultat zeigen, was allerdings eine schwer zu lösende Diskrepanz hervorbringen würde 23 ). Nach der Bestimmung des Lichtkegels wäre die Frage übrigens in ihr kosmo- logisches Stadium getreten. Es wäre dann — aber auch erst dann! — zu untersuchen, ob sich irgendwelcher Zusammenhang finden ließe zwischen Richtung und Größe der Achsen des Ellipsoids und des Vektors q a einerseits und der Massenverteilung im Weltall bzw. deren Änderung relativ zur Erde im Laufe der Zeit andererseits. Dabei müssen wir der wichtigen Bemerkung Hermann Weyls 24 ) Rechnung tragen, nach der es möglich ist, alle getrennten Körper in der Welt mittels einer topologischen Transformation simultan auf Ruhe zu transformieren, so daß es keinen topologisch invarianten Sinn hat, von relativer Bewegung getrennter Körper, z. B. der Erde und der Sternmassen, zu reden. Eine Bewegung der Erde relativ zu den Weltmassen hat folglich nur insofern empirische Bedeutung, als sie die zeitliche Änderung der Beziehungen zwischen der Erde und dem Felde in ihrer unmittelbaren Umgebung, dem „Sternenkompasse", darstellt.
Sind die q a wirklich von der Ordnung 10dann definiert der Miller-Effekt einen Vektor q a , den man „Äthergeschwindigkeit" nennen kann. Hier müssen wir uns der relativistischen Physik besonders dankbar zeigen für den von ihr eingeführten Begriff des metrischen (und zwar lichtgeometrischen) Feldes, der imstande ist, den alten Äther als Träger der Lichtivellen und anderer elektromagnetischer Phänomene zu ersetzen, so daß er vortrefflich geeignet erscheint, den „Ätherismus" mit dem „Non-Ätherismus" zu versöhnen. Wenn wir aber auf Grund des Miller- Effektes eine Äthertheorie aufstellen, d. h. den Effekt in der Sprache der klassischen Äthertheorie beschreiben wollen, so müssen wir darauf achten, daß nur noch der Begriff „Äthergeschwindigkeit", nämlich das Vektorfeld, nicht aber noch der Begriff des Äthers selbst einen physikalischen Sinn erhalten hat. Es läßt sich aber ein beliebiges Vektorfeld als Geschwindigkeitsfeld irgendeiner hypothetischen „materieartigen" Substanz deuten, deren physikalische Charaktere, wie Zusammendrückbarkeit, Elastizität usw., aus
■ 3 ) Dieser Versuch ist inzwischen tatsächlich wiederholt worden, und zwar von R. Tomaschek auf dem Jungfraujoch, wie dieser in einer nach Abschluß dieses Aufsatzes veröffentlichten Abhandlung mitteilt [Annal, d. Phys. (4) 78 (1925), S. 743—756]. Weil T. keinen positiven Effekt hat beobachten können, ist die im Text erwähnte Unstimmigkeit tatsächlich entstanden, wie auch T. 1. c. S. 755 bemerkt.
24 ) Am untor 13 ) angeführten Ort, S. 198 bzw. S. 62. Vgl. auch „Raum, Zeit, Materie", S. 268.

270
D. van Dantzig.
der etwaigen Existenz eines zugehörigen Divergenz- bzw. Spannungsfeldes abgelesen werden können. Obwohl streng genommen eine ausgedehnte „gewöhnliche" Flüssigkeitsmasse letzten Endes auch mittels ihres Geschwindigkeitsfeldes — genauer: ihres' Mitführungsfeldes schwimmender Körper — definiert ist, so bleibt dennoch die „Äthersubstanz" in anderem Sinne hypothetisch als z. B. die Wassersubstanz, weil der Unterschied substanzerfüllter und substanzleerer Raumteile bei einer Flüssigkeitsmasse direkt der Anschauung entnommen werden kann, im Falle des Äthers aber durchaus keinen physikalischen Sinn besitzt. In diesem, aber auch nur in diesem Sinne kann der Begriff eines substantiellen Äthers eine hypothetische physikalische Realität erhalten.
Der klassischen Äthertheorie kann eben die Existenz des genannten Vektorfeldes nur nützen, falls die r a ß gleich Null sind. Selbst dann aber wäre das Vektorfeld nur noch definiert in der Umgebung der Erde; es ließe sich noch in einer beliebigen Weise über den ganzen Raum ausbreiten; nur eine petitio principii könnte dazu führen, dieses Feld lediglich aus einer Relativbewegung der Erde mit Bezug auf die Weltmassen zu erklären. Wenn auch in experimenteller Hinsicht die prärelativistische Lage wieder eingetreten wäre, wo das „negative" Michelson-Resultat noch nicht seine erschütternde Wirkung ausgeübt hatte, so wäre dennoch die klassische Äthervorstellung nicht mehr aufrechtzuerhalten, auf Grund der neugewonnenen Einsichten in die Grundlagen der Physik, die vor allem eine Verschärfung des Begriffes des physikalischen Definiertseins und einen engeren Anschluß an das rein Empirische bedeuten.
§5.
Die physikalische Bedeutung der Riemannschen Metrik.
Wie wir oben sahen, lehrt uns der Miller-Effekt den Zusammenhang kennen zwischen den l iu und g ik . Weil der Lichtkegel sich nicht mit genügender Genauigkeit direkt bestimmen läßt, sind wir gezwungen, die g ik aus den Gravitationserscheinungen allein, ohne Zuhilfenahme der Lichtbahnen, zu bestimmen. Es sei zu diesem Zweck die Welt auf ein beliebiges Gaußisches Koordinatensystem x°x 1 x"x s bezogen, in dem die („möglichen" und „wirklichen") Führungslinien — d. h. die Weltlinien sich kräftefrei bewegender materieller Punkte — empirisch bestimmt und durch die Gleichungen
(7) «< ==£*(«, c 1 c a c 8 c i c s c e c 7 c 8 )
dargestellt sein mögen, wo t irgendein auf jeder Führungslinie zweimal stetig differenzierbarer Parameter ist, solchermaßen, daß für jeden Wert

Miohelson-Versuch und Relativitätstheorie.
271
von t die Punkte x i ein dreidimensionales Kontinuum bilden. Dabei soll der Begriff „kräftefrei" empirisch definiert sein durch die Angabe bestimmter Bewegungen, wobei wir wie üblich die Gravitations- und Zentrifugalkräfte nicht als Kräfte in diesem Sinne ansehen wollen. Anstatt mit den Gleichungen (7) können wir auch mit den Differentialgleichungen
d* X* .( „ , „ „ dx° dx 1 dx 2 dx 3
( 8 ) x a x
operieren. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Führungslinien die Extremalen des Integrals I = J L dt sind, ist bekanntlich
die Existenz einer Lösung L (x { x*) = L [x^x^x 2 x 3 ^ C ^- des
simultanen Systems partieller Differentialgleichungen
/ n s d 1 L ■ . d 2 L . ■ dL „
( 9 ) : r qpj -\ : r X3 : = 0 .
dx v dx 3 8x l dx J da3*
Die Frage, ob die Welt eine Maßbestimmung gestattet, solchermaßen, daß die Führungslinien geodätische Linien werden, ist also empirisch zu lösen : dies ist dann und nur dann der Fall, wenn die empirisch bestimmten Funktionen cp i die Eigenschaft haben, daß sie die Integrabilitätsbedin- gungen der Gleichungen (9) identisch erfüllen. Wird diesen Bedingungen genügt, dann kann jede Lösung L von (9) als Maßfunktion dienen; jede Lösung definiert eine mögliche Metrik. Diese Metrik hat insbesondere
die spezielle Riemannsche Gestalt L = wo dG° eine nichtentartete quadratische Differentialform ist, dann und nur dann, wenn sich für jede Führungslinie ein solcher Parameter G finden läßt, daß die Gleichungen (8) durch Transformation auf diesen Parameter die spezielle Gestalt
W ^ + r Ȕiiw = 0
erhalten, indem die Funktionen rj k (x r ) überdies gewissen Integrabilitäts- bedingungen genügen, die von L. P. Eisenhart und 0. Vehlen aufgestellt worden sind' 25 ). Für den Fall des gravitationsfreien Feldes, der sich
durch die Gleichungen ^ = 0, also cp* =0 auszeichnet, erhalten wir
d G
z. B. als allgemeinste Maßfunktion
r „ fdx° dx 1 dx 2 d x a \ , dx' d „ , n , „
L = F A-iQTäTä de) + täi* F >
wo F x und F 9 beliebige Funktionen ihrer Argumente sind. Durch Spezia-
25 ) „The Riemann Geometry and its Generalization", Proc. Nat. Ac. Sc. 8 (1922), S. 19-23.

272
D. van Dantzig.
lisierung findet man bekanntlich, daß im gravitationsfreien Felde eine Riemannsche Metrik existiert mit konstanten g ik .
Falls die Welt eine Riemannsche Metrik gestattet, lassen sich die g iu aus den Gleichungen
— r'ik(Jri J r riig rk
mit höchstens zehn Konstanten f t ... f 10 bestimmen. Hiermit ist also die Frage nach der Möglichkeit einer Weltmetrik vollständig auj experimentell lösbare Probleme zurückgeführt. Vollständig bestimmt ist jedoch die Metrik noch nicht, solange die Konstanten noch nicht bestimmt sind. Es entsteht also jetzt die Frage, wie diese Festsetzung der Konstanten möglich ist. Bekanntlich genügt es dazu, die Zahlenwerte der g ik in einem beliebig vorgegebenen Weltpunkte zu bestimmen. Nun wissen wir, daß in einem genügend kleinen Gebiete die g aß — ö a ß = (1, a = ß; 0,a=^ß) sind, mit Bezug auf ein starrgeometrisch-orthogonales Koordinatensystem. Weil wir außerdem die Welt wenigstens mit großer Annäherung als statisch betrachten können, können wir die g 0a gleich Null setzen, so daß nur noch g 00 unbestimmt bleibt. Zur Bestimmung dieser letzten Größe ist dem Verfasser keine einzige Möglichkeit bekannt. Der Miller-Effekt bietet kein Mittel dazu, weil darin nur die räumlichen Komponenten der g ik auftreten. Die Perihelbewegung des Merkurs gestattet uns, die g a ß mit größerer Genauigkeit zu bestimmen als es die irdischen Wahrnehmungen ermöglichen; g 00 tritt aber auch in diesem Effekt nicht auf. Die Lichtbahnkrümmung im Gravitationsfelde soll jetzt nicht mehr auf Grund der g ik , sondern der l ilc berechnet werden, diese liefert uns also, ähnlich wie der Miller-Effekt auf der Erde, ein Mittel, etwas über das gegènseitige Verhalten dieser beiden Tensoren in der Nähe der Sonne usw. zu erfahren. Von den g ¡k treten aber auch hier nur die räumlichen Komponenten auf. Schließlich sind bisher noch niemals Gravitationswellen beobachtet worden ; wäre dies wohl der Fall, so könnte man aus ihrer Geschwindigkeit sofort den Wert von g 00 bestimmen. Die Annahme, daß diese Geschwindigkeit derjenigen des Lichtes gleich sein soll, hat natürlich nur dann einen Sinn, wenn die g ik und l ik identisch sind, wie in der bisherigen R.-T. Der Annahme, daß z. B. g 00 gleich Null oder wenigstens sehr klein gegenüber l 00 sein soll, kann man nur die rein formale Forderung entgegenhalten, daß die Riemannsche Fundamentalform nicht ausarten soll. Physikalisch ist sie durchaus gleichberechtigt mit der Annahme, g Qf) sei gleich l 00 oder sehr groß gegenüber l Q0 .

Miohelson-Versuch und Relativitätstheorie.
273
§6-
Starrgeometrie und Liclitgeomctrie.
Überblicken wir jetzt den zurückgelegten Weg. Man hat vor etwa vierzig Jahren im Michelson-Experiment eine Beziehung erblickt zwischen zwei gleichförmig gegeneinander bewegten Systemen : dem relativ zur Erde und dem relativ zum „Äther" bzw. zu den Fixsternen ruhenden System. Diese Betrachtungsweise ist von Einstein in aller Konsequenz durchgeführt, indem er manche überflüssige Spekulation entfernte; damit hat er den wichtigen Ubergang von der älteren Substanzphysik zur heutigen Feldphysik vollzogen, die wesentlich auf dem Transformationsbegrift' beruht. Heute müssen wir aber sagen, daß das Michelson-Eperiment allein — gänzlich abgesehen noch vom späteren angeblich positiven Resultat — nicht notwendig zur Betrachtung von Transformationen der genannten Art führt. Empirisch sind durchaus keine zwei gegeneinander bewegte Systeme gegeben, sondern es handelt sich lediglich um ein viel engeres Transformationsproblem, nämlich ein Isotropieproblem. Nur der Wunsch, ein etwaiges positives Ergebnis restlos auf Rechnung der Erdbewegung schieben zu können, kann zur Betrachtung von Translationen führen.
Man hat damals ganz richtig aus dem negativen Michelson-Effekt geschlossen, daß die quadratische Differentialform der Lichtbewegung dL' 2 = dxl — dx\ — dxl — dx\ bei einer starren Drehung invariant bleibt. Die weitere Folgerung aber, die Gravitationserscheinungen seien von derselben Difierentialform beherrscht, war keineswegs selbstverständlich. Man hätte eigentlich nur schließen können, das Gravitationsbogenelement dG sei eine übrigens gänzlich unbestimmte Funktion F{dT, dF) der beiden Argumente dT= dx 0 und dF = )dxl + dx'¡ + dxl ■ Zur Begründung der Einsteinschen Theorie braucht man noch die weitere Hypothese: A. „Die Funktion F hat die besondere Gestalt F(dT, dT) =^dT~ — dT' u . Auf Grund dieser Hypothese erst kann dG durch einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe dargestellt werden. Das Michelson-Experiment hat aber nicht, wie öfters behauptet wird, gezeigt, daß die Lichtgeschwindigkeit c mit Bezug auf verschiedene gegeneinander in gleichförmiger Translation begriffene Bezugssysteme den gleichen Wert hat — und das wird es auch niemals zeigen können —, sondern nur, daß sie von der Richtung (mit Bezug auf die fest gedachte Erdoberfläche), in der sie gemessen wurde, unabhängig war, wenigstens soweit es sich um Drehungen in der Horizontalebene handelt. Die Invarianz von c bei einer Translation konnte nur mittels weiterer Hypothesen aus der Lorentz-Transformation erschlossen, d. h. also postuliert werden. Um die Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bewegungszustand (also obengenannte Hypothese A) (wenn

274
D. van Dantzig.
der Miller-Effekt nicht gültig ist) zu beweisen, müßte allererst sowohl die Geschwindigkeit eines von einem Himmelskörper kommenden Lichtstrahls wie diejenige des von einer irdischen Quelle ausgesandten Lichtes jede für sich genügend genau meßbar sein, und müßte ihre Differenz sich als kleiner als die Ordnung 10 _8 , also absolut genommen kleiner als etwa ein Meter/Sekunde herausstellen. Dies erscheint vorläufig wohl ausgeschlossen, weil der Fehler einer direkten Messung bei irdischer Quelle mindestens etwa 30 km/sek beträgt (s. o.).
Unabhängig von obengenannter Hypothese geht dG bei einer beliebigen vierdimensionalen topologischen Transformation über in
dG = F(y i jdx i dx', e^x*),
wo dr* = y ij dx i dx* eine einfach entartete, also positiv semi- definite quaternäre quadratische Form und e i dx i = dT ein totales Differential, also e- ein irrotationell verteilter Vektor ist.
I
Mit Rücksicht auf die historische Lage ist es leicht verständlich, daß man damals geglaubt hat, die obengenannten Folgerungen aus dem Michelson-Experiment ziehen zu müssen. Nichtsdestoweniger kann sich die Hypothese A auf keine einzige empirische Tatsache stützen, weil, wie wir oben sahen, der Vektor e¿ in keiner der bekannten Gravitationserscheinungen auftritt, mit Ausnahme der Führungslinien, die aber zur vollständigen Festlegung nicht ausreichen.
Professor G. Mannoury hat in seinem Colloquium an der Universität Amsterdam seit 1921 wiederholt hervorgehoben, daß die zwei Arten des Messens : mittels des Lichtes, bzw. mittels starrer Körper, zwei logisch unabhängige Definitionen der Geometrie erzeugen, so daß die Identität der beiden zugehörigen Bewegungsgruppen als ein Naturgesetz explizit ausgesprochen werden soll 26 ), analog wie Einstein die genaue Übereinstimmung der beiden, ebenfalls unabhängigen, Definitionen des Massenbegriffs als träger bzw. schwerer Masse, im „Äquivalenzprinzip" zur Geltung gebracht hat. Diese wichtige Bemerkung hat das Entstehen der vorliegenden Abhandlung möglich gemacht, indem sie den Verfasser zur Lösung des Michelson-Problems führte, und zwar in dem Sinne, daß hier der Interferenzversuch als Experimentum crucis für die Existenz oder Nichtexistenz der betreffenden Identität betrachtet wird 27 ).
90 ) Vgl. in diesem Zusammenhang auch L. E. J. Brouwer, „Het Wezen der Meet- kunde" (Groningen 1909), S. 7.
") Das Axiom der Identität von Lichtgeometrie und Starrgeometrie hat Hans Reichenbach in einer inzwischen veröffentlichten Abhandlung ausdrücklich hervorgehoben, die dem Verfasser erst nach Einreichung dieser Schrift bekannt wurde [„Über die physikalischen Konsequenzen der relativistischen Axiomatik", Zeitschr.

Michelson-Versuch und Relativitätstheorie.
275
§ 7.
Metrik und Physik.
Eine Metrik ist im Wesen nichts anderes als eine Meßmethode, ein Mittel, um physikalische Größen gleicher Art in verschiedenen Weltpunkten miteinander zu vergleichen, also ein Gesetz, das den Körper der in einem beliebigen Weltpunkte definierten („wirklichen" oder „möglichen") orientierten Größen abbildet auf den Körper der in jedem benachbarten Punkte definierten Größen, kurz: ein Ubertragungsprinzip im Sinne der Infinitesimalgeometrie. Ein derartiges allgemeines Ubertragungsprinzip, das die bekannten linearen Übertragungen als Spezialfall mitumfaßt, läßt sich aus gewissen physikalischen Zustandsfeidern ableiten; insbesondere wird die Metrik Riemannscher Natur sein, falls sie sich in der bekannten Weise aus einem symmetrischen nicht entarteten Tensorfelde zweiter Stufe ableiten läßt. Die Frage, ob die Welt eine Riemannsche Metrik gestattet — bei der nicht das Wort „Metrik", sondern das Wort „Riemannsche" betont ist —, hat nur dann einen Sinn, wenn von vornherein irgendein Zusammenhang zwischen den die betreffende Metrik definierenden Größen und gewissen empirisch gegebenen physikalischen Zustandsf eidern gefordert wird, ähnlich wie in § 6 diese Frage beantwortet worden ist für den Fall, daß
f. Phys. 34 (1925), S. 32—48]. Vgl. insbesondere S. 35: „Der Inhalt der Körperaxiome läßt sich nun folgendermaßen zusammenfassen: die materiellen Gebilde stellen sich auf die relativistische Lichtgeometrie ein", und S. 47: „Jetzt können wir auch die Frage beantworten, was sich in der R.-T. ändern würde, wenn die Versuche Millers als Beweis angesehen werden müßten, daß der bisherige negative Ausfall des Michelson-Versuches nicht prinzipiell festgehalten werden darf. Nicht ändern würde sich die Einsteinsche Zeitlehre, sie hat mit dem Michelson-Versuch gar nichts zu tun. Nicht ändern würde sich auch die Lichtgeometrie; sie bleibt auf jeden Fall eine mögliche Definition der raumzeitlichen Metrik, und wahrscheinlich eine viel bessere und genauere als die Geometrie der starren Stäbe und Uhren. Ändern aber würde sich unser Wissen über die Einstellung der materiellen Gebilde auf die Lichtgeometrie." Hier wäre nur zu bemerken, daß die prinzipielle Gleichwertigkeit von Lichtgeometrie und Starrgeometrie bei Reichenbach nicht ganz deutlich hervortritt. Vgl. aber auch Fußnote 28 ). Eine sehr verwandte Bemerkung findet sich auch in der in 22 ) erwähnten Abhandlung von N. von Raschevsky: „Dabei sei noch bemerkt, daß die Annahme, die Lichtstrahlen seien geodätische Nullinien derselben Welt, für welche die Bahnen materieller Punkte geodätische Linien seien, auch vom Standpunkt allein der allgemeinen Relativitätspostulate gar nicht notwendig ist" (S. 147). Nur das Wort „Welt" wäre hier vielleicht etwas irreführend und könnte besser durch „Feld" ersetzt werden, obwohl das auf dasselbe hinauskommt. Die weitere Bemerkung aber „Nun wird entweder die Welt (a) oder die Welt (b) der Wirklichkeit entsprechen müssen" (S. 148) ist nicht ganz klar: es können sehr wohl beide „Welten", d. h. beide Geometrien simultan „der Wirklichkeit entsprechen".

276
D. van Dantzig.
die Identität der zur Metrik gehörigen geodätischen Linien mit einer Schar empirisch gegebener Führungslinien gefordert wird.
Weil es wegen dieser großen Freiheit im allgemeinen möglich ist, eine größere Anzahl verschiedener Maßbestimmungen in die Welt einzuführen, die durchaus nicht immer miteinander in Übereinstimmung zu sein brauchen, verliert in der hier vertretenen Auffassung das Gravitationsfeld die ausgezeichnete Stellung, die es in der bisherigen Theorie besitzt; irgendein physikalisches Zustandsfeld, welches sich eignet, eine Größenübertragung zu erzeugen , kann als metrisches Feld betrachtet werden. Damit fällt auch der Begriff „des" physikalischen Raumes (Raum-Zeit-Kontinuums) im Sinne eines metrischen Raumes hinweg: die Welt wird ein mit Linienelementen ausgestatteter topologischer Raum, der sich in mannigfacher Weise als metrischer, insbesondere als Riemannscher Raum betrachten läßt. Die in der heutigen Form der R.-T. fast mystisch erscheinende Einheit von Raum, metrischem Felde und Gravitationsfelde wird dann dadurch geklärt, daß das empirisch gegebene Gravitationsfeld praktisch geeignet erscheint, eine Metrik zu erzeugen — und in seiner Qualität als starrgeometrisches Feld auch tatsächlich zum Messen benutzt wird.
Obwohl also eine Identität von Starrgeometrie und Lichtgeometrie keineswegs tautologisch bedingt ist, und dG und dL also nur annähernd gleich sein werden**), so würde dennoch bei negativem Ergebnis des Michelson- Experimentes das „ökonomische Prinzip" zur Begründung ihrer provisorischen Identifizierung, also zur Annahme der Hypothese A, vollständig ausreichen. Können wir aber den Miller-Effekt als zuverlässig betrachten, so ist überdies dT* ungleich dx^ + dx\ + dx*, wenn dL 2 die obengenannte symmetrische Gestalt hat, also in einem „lichtgeometrisch-orthogonalen" Koordinatensystem. Damit wäre aber jeder Grund zur Annahme der Hypothese A hinfällig geworden. Beachten wir weiter, daß in der bisherigen Theorie das Intervall ds begrifflich wesentlich von der Lichtgeometrie abhängig ist, daß sich die Äqui-Intervallvarietäten z. B. durchaus nicht ohne Zuhilfenahme von Lichtstrahlen empirisch definieren lassen, daß also bei Spaltung der Geometrie in Starr- und Lichtgeometrie das Gravitationsintervall dG durchaus keine physikalische Bedeutung hat, so müssen wir schließen, daß es dann durchaus keinen Sinn hat, die beliebige Funktion F einzuführen, so daß auch die Gravitationserscheinungen zu
2S ) Eine ähnliche Bemerkung findet sich in der in 27 ) genannten Abhandlung von H. Reichenbach: „Es ist von vornherein eigentlich sehr unwahrscheinlich, daß die Körperaxiome völlig streng erfüllt sein sollen. Das Licht ist ein physikalisch sehr viel einfacheres Gebilde als ein materieller Stab, und wenn man einen Zusammenhang zwischen beiden sucht, sollte man zunächst annehmen, daß er nicht einem so idealen Schema entspricht, wie es die Körperaxiome behaupten" (S. 48).

Michelson-Versuch und Relativitätstheorie.
277
ihrer Beschreibung zwei als voneinander unabhängig zu betrachtende Differentialformen brauchen, nämlich die entartete quadratische und die lineare. Es wäre weiter zu untersuchen, wie sich die Führungslinien am einfachsten aus diesen beiden Tensoren erklären ließen und ob die e¿ vielleicht gänzlich zu entbehren wären, wenn man die Identität der Führungslinien mit den geodätischen Linien preisgeben und als ihre Hamiltonsche Funktion nicht mehr dG, sondern irgendeine Funktion von dT betrachten würde. Außerdem würde man fragen können, ob die y ik irgendwie mit den l ilc zusammenhängen oder ob vielmehr zwei mehr oder weniger gleichartige Zusammenhänge existieren: einerseits zwischen den y ik und e { und der Massenverteilung im Weltall, bzw. dem Begriff des starren Körpers, andererseits zwischen den l ik und cp i und den Strahlungserscheinungen im allgemeinen, bzw. dem elektromagnetischen Zustand. Vorläufig kommt man aber in dieser Hinsicht über Vermutungen nicht hinaus.
§ 8.
Der Miller-Effekt und die klassische Theorie.
Wir wollen jetzt noch einiges bemerken über einige Einwände, die gegen den Miller-Effekt hervorgehoben worden sind. Wir haben schon berichtet, daß Silberstein die Gelegenheit sofort ergriffen hat, um die R.-T. à la lanterne zu verurteilen. Dagegen wendet Eddington 20 ) ein, daß diese „surprising hypothesis of ether-drift" schon im voraus von den täglichen astronomischen Wahrnehmungen zurückgewiesen wird, und zwar auf Grund der Tatsache, daß die „Äthergeschwindigkeit" mit der Höhe zunehmen würde. Wenn ein Lichtstrahl eines Sternes auf dem Mount-Wilson vertikal wäre, so würde dieser auf Meeresniveau eine Neigung von 7" haben. „An error of the order 7", variable according to the time of day, would play havoc with fundamental astronomy." Daß der Äther irrotationell verteilt sein muß, hat übrigens schon Stokes 1845 auf Grund der Aberrationserscheinungen bewiesen. Eddington schließt mit den bemerkenswerten Worten: „The Michelson-Morley experiment was originally performed because it was thought — mistakenly as we now realise — that it would measure absolute ether-drift. ... In the new application to differential ether-drift it is invading a field in which the facts have long been established by delicate observation, and it is difficult to regard it as a serious competitor." Mit Bezug hierauf bemerkt Giovanni Giorgi 30 ), daß man aus einer Zunahme der Horizontalkomponente der Äthergeschwindigkeit mit der Höhe noch nicht auf ihre Rotationalität schließen darf, weil die Rota-
20 ) Nature 115 (6. Juni 1925), S. 870. 30 ) Nature 116 (25. Juli 1925), S. 132.

278 D. van Dantzig.
tion dennoch Null sein kann, falls nur die partielle Ableitung der Vertikalkomponente in der „Bewegungsrichtung" genügend groß ist. Bs bleiben dann nach Giorgi drei große Schwierigkeiten übrig: 1. Eine irrotationelle Verteilung des Vektors zu finden, die zahlenmäßig mit den Miller-Ergebnissen übereinstimmt; 2. zu erklären weshalb, wenn der „Griff" („grip") auf den Äther nicht die Wirkung einer Adhäsion ist, die Horizontalkomponente auf Meeresniveau Null wird; 3. wird die Vertikalkomponente irgendwo Null, so wird sie auf derselben Höhe, 100 km vom genannten Ort entfernt, 500 km/sek betragen müssen! Dies müßte von groben Effekten aufgezeigt werden können. Der Gesamteindruck Giorgis ist: „In the present condition of things it will be advisable not to draw any conclusion from Prof. Miller's experiment until results of further experiments are available and until, finally, we are able to examine whether some unknown phenomenon has affected the results." Weiter hat W. F. G. Swann 31 ) aus der Lorentzschen Fassung der Stokes-Planckschen Äthertheorie für die Geschwindigkeit V r bei einer Entfernung r vom Erdmittelpunkte die Formel
Yr+Ii-VR h Vr ~ R
hergeleitet. Hierin bedeutet R den Radius der Erde, also etwa 6400 km, und h die Differenz der Höhen zwischen Cleveland und dem Mount-Wilson (1,7 km), so daß diese Formel für eine Differenz der beiden Geschwindigkeiten von der Ordnung 10 km/sek offenbar auf einen Widerspruch führt 3 ' 2 ).
31 ) Nature 116 (28. November 1925), S. 785.
32 ) Nach Einreichung dieser Abhandlung bemerkte G. Joos [Phys. Zeitschr. 27 (1926), S. 1 — 5] ebenfalls, daß die Relativbewegung des Sonnensystems gegen die Fixsterne, deren Geschwindigkeit etwa 20 km/sek beträgt, nioht imstande ist, die von Miller beobachtete starke Zunahme des Effektes mit der Höhe zu erklären. Dazu müsse man schon die Bewegung des Milchstraßensystems gegen die entfernteren Spiralnebel, deren Geschwindigkeit nach Strömberg etwa 300 km/sek beträgt, in Betracht ziehen. In derselben Lieferung der Phys. Zeitschr. zeigt aber J. Weber, daß auoh dann die Beobachtungen den zu erwartenden Resultaten widersprechen. Übrigens macht G. Joos a. a. O. S. 5 eine Bemerkung: „Da ein einziger die fortschreitende Bewegung der Erde anzeigender Versuch der R.-T. widersprechen kann, so sprechen zwar die anderen hier besprochenen Arbeiten gegen die Wahrscheinlichkeit des Miller- schen Befunds, sie können ihm aber, wenn seine Richtigkeit sichergestellt ist, niemals aufwiegen", die etwas gefährlich ist, weil der Ausdruck „der R.-T. widersprechen" manchmal in dem Sinne benutzt wird, daß die Rückkehr zu einer der Äthertheorien von Stokes, Lorentz, Lodge, Silberstein, Lenard usw. die einzig übrigbleibende Lösung wäre. Hier kann aber nur gemeint sein, daß gewisse Änderungen in der R.-T. angebracht werden sollen, wie es z. B. der Verf. im Text gemacht hat, die aber das neu entstandene Weltbild nicht wesentlich ändern. Vgl. hierzu die in 2a ) zitierte Abhandlung von N. v. Raschevsky: „Versteht man unter Theorie die Gesamtheit aller ge-

Michelson-Versuch und Relativitätstheorie.
279
Es möge dahingestellt bleiben, ob die Silbersteinsche Fassung der Äthertheorie tatsächlich imstande ist, den Miller-EfEekt quantitativ zu erklären 38 ), es geht jedenfalls wohl so viel aus der angeführten Diskussion hervor, daß das Ergebnis weniger noch mit der R.-T., als mit der klassischen Äthertheorie im gröbsten Widerspruch steht. Am deutlichsten zeigt dies außerdem eine ebenso wichtige wie einfache Bemerkung, die Prof. H. A. Lorentz Anfang Oktober 1925 in einem von der vorliegenden Abhandlung veranlaßten Gespräch mit dem Verfasser machte, und die merkwürdigerweise in der englischen Diskussion übersehen worden ist. Diese Bemerkung lautet folgendermaßen: Nehmen wir an, es gäbe eine absolute Äthergeschwindigkeit, die eine feste Richtung gegen die Fixsterne habe. Dieser Vektor würde dann (auf die Erde bezogen) im Laufe eines Tages einen Rotationskegel um die Himmelsachse beschreiben. Seine Horizontalkomponente durchliefe also ein ebenes Vektorbüschel, das symmetrisch läge zur Projektion der Himmelsachse auf der Horizontalebene, das heißt zur Richtung Nord—Süd. Im Mittelwert über einen siderischen Tag würde der Vektor also die Richtung Nord —Süd haben müssen. Aus Abb. 1 geht aber ganz deutlich hervor, daß die mittlere Richtung der Vektoren einen Winkel von wenigstens 40° mit den Meridian bildet, im Widerspruch zu unserer Annahme 34 ). Diese Betrachtung läßt sich nach einer ebenfalls von Prof. Lorentz Anfang Oktober 1925 herrührenden Gedankenfolge auf den vom Verfasser behandelten allgemeineren Fall erweitern. Anstatt durch einen Vektor (D, rp M ), wie Miller es tut, können wir nämlich das Ergebnis einfacher durch den Vektor (D, co) darstellen, wo \co — cp M das Maximal- azimuth bedeutet. Bis auf einen Proportionalitätsfaktor werden dann die Komponenten des Vektors den Größen S cos co und S sin co gleich sein [vgl. die Gleichungen (5)]. Die Rechnung wird dadurch erheblich vereinfacht und ergibt nach Prof. Lorentz, falls die l ik mit Bezug auf das Fixsternmachten Voraussetzungen und ihrer Polgerungen, so kann natürlich durch Preisgabe der Einsteinschen Gleichungen die heutige allgemeine R.-T. durch eine neue ersetzt werden; in ihren Grundprinzipien aber, welohe Vorstellungen über Raum, Zeit und Bewegung betreffen, wird diese neue Theorie von der heutigen nie verschieden sein" (S. 404). Über die Bedeutung der etwas vagen bei Joos vorkommenden Begriffe „Wahrscheinlichkeit eines Befundes" und „Sicherstellung der Richtigkeit" vgl. § 9 des Textes.
33 ) Hierzu bemerkt Hans Thirring in einer nach Einreichung dieses Aufsatzes veröffentlichten Abhandlung [Naturwissenschaften 14 (12. Februar 1926), S. 111—116]: „ ... die Stokessche Annahme (stellt) überhaupt keine ausgearbeitete Theorie des elektromagnetischen Feldes dar und kann mit der Einstein-Minkowskischen Elektrodynamik, die eindeutige Feldgleichungen lieferte, eine Reihe neuer Gesichtspunkte eröffnete und beobachtbare Effekte voraussagte, nicht in Wettbewerb treten."
al ) Dieselbe Bemerkung wurde später in dem in 33 ) genannten Aufsatze von Thirring gemacht.

280 D. van Dantzig.
system konstant sind, daß der Mittelwert von S sin co über einen siderischen Tag verschwindet. Das so erhaltene Diagramm, das aus Abb. 1 dadurch hervorgeht, daß man die Winkel aller Vektoren mit der Vertikale verdoppelt, soll dann also symmetrisch liegen zur Vertikalen, was ebensowenig der Fall ist. Die Betrachtung läßt sich übrigens auch ohne Rechnung durchführen, wenn man beachtet, daß eine Funktion, die im obengenannten System konstant ist, im mit der Erde rotierenden System immer die Meridianebene zur Symmetrieebene hat. Dies gilt also auch für die Komponenten eines Tensors beliebiger Stufe, also auch für jede daraus abgeleitete Invariante, insbesondere für den Vektor ( S , co).
Aus diesen verschiedenen Bemerkungen geht hervor, daß es gänzlich ausgeschlossen ist, im Miller-Effekt ein Experimentum crucis zwischen der klassischen Theorie und der R.-T. zu erblicken.
Aus der obenerwähnten Unabhängigkeit der Möglichkeit des allgemeinen Tensorkalküls von jedem Experimente ergibt sich ohne weiteres, daß die Erwägung der Möglichkeit einer Rückkehr zur klassischen Theorie nicht mehr und nicht weniger bedeutet als die Vermehrung der Anzahl der Grundtensoren. Und wenn man dies tut, so gibt es durchaus keine Veranlassung, die l ik sofort durch die Bedingung einzuschränken, die räumlichen Komponenten von dL~ sollen mit denen von dG 2 identisch sein, wie es die Erklärung des Miller-Effektes mittels eines einzigen Vektors tut; da ist eben die oben eingeführte Verallgemeinerung zur vollständigen Unabhängigkeit der beiden Tensoren die am meisten auf der Hand liegende und vorurteilsfreiste Erklärung. Es läßt sich dann auch der Lorentzschen Kritik dadurch vorbeugen, daß man z. B. annimmt, die q a seien (im Fixsternensystem) nicht, die r a ß aber wohl von der Zeit abhängig, und zwar in dem Sinne, daß die letzteren ganz oder teilweise von der Erde bei ihrer Drehung mitgeführt werden, das heißt, daß das Ellipsoid im Laufe des Tages seine Lage relativ zur Erde beibehält, also gegenüber dem Fixsternsystem rotiert (wodurch die Komponente in der Richtung Ost —West bei Miller erklärt werden kann), und daß die Abweichung des Ellipsoids von einer Kugel mit der Höhe zunimmt. Die Konstanz der q sichert dann die Irrotatio-
a
nalität des Geschwindigkeitsvektors, und die Variabilität der r a ß widerspricht den Aberrationserscheinungen nicht, weil diese, wie u. a. G. Giorgi a. a. 0. bemerkt, von der Richtungsdifferenz der Wellennormalen am Anfang und Ende eines Lichtstrahls unabhängig sind. Der Michelsonsche Versuch über den Einfluß der Erdrotation auf die Lichtgeschwindigkeit, der kürzlich von A. A. Michelson und Henry G. Gale wiederholt worden ist 35 ), ergibt
86 ) A. A. Michelson und H. G. Gale: „The Effect of the Earth's Rotation on the Velocity of Light", Nature 115 (18. April 1925), S. 566. Vgl. auch: C. Runge, Die Naturwissenschaften 13 (15. Mai 1925), S. 440, und E. Freundlich, ebenda 13 (29. Mai 1925), S. 485.

Miohelson-Versuch und Relativitätstheorie.
281
auf Grund unserer Rechnungen genau dasselbe Resultat wie in der klassischen Theorie. Lösen wir nämlich dL" = 0 nach dx°, dann finden wir für die zum Durchlaufen eines infinitesimalen Vektors dx a benötigte Zeit
— L dx a ± T(Z n „ dx a )* — l R dx a dx& ■ L n
(11) dx° = —^ 0a . aJ -
^00
Wenn wir den Vektor in entgegengesetzter Richtung von einem Lichtstrahl durchlaufen lassen und die Differenz der Zeiten bilden, so erhalten wir zweimal das erste Glied im Zähler, indem das zweite Glied, die Dis- kriminante, eine gerade Funktion in dx a ist und also fortfällt. Beim Miller-Efïekt war es gerade umgekehrt, weil da die Differenz der Wurzeln, d. h. die Diskriminante auftrat. Dies ist im allgemeinen der Unterschied zwischen den Effekten ersten und zweiten Grades: bei Effekten ersten Grades tritt die Summe, bei denjenigen zweiten Grades die Differenz der Wurzeln dx° \ondL 2 = 0 auf. Übrigens sind die in Gleichung (11) auftretenden l ilc (die wir deshalb weiterhin mit l ik bezeichnen) nicht dieselben wie die früher eingeführten: die l ilc haben Bezug auf das Fixsternsystem x°x 1 x"x z , die l' ilc auf ein mit der Erde rotierendes Koordinatensystem y°y 1 y 2 y 3 . Wählen wir die Erdachse als gemeinsame x 3 - und y 3 - Achse, dann lauten die Transformationsformeln : y°=x°, ?/ 1 + ¿ ?/ 2 = e ( .r 1 ¿ £ 2 ), y 3 = x 3 . Schreiben wir xj für die partielle Ableitung von x* nach yJ und drücken wir die l ik wie früher aus in den q a und r a ß, dann lauten die Transformationsgleichungen für l a o auf Grund der Invarianz von dL"
l a o ^ij Xa X 0 In () Xa Xq I q o x a , weil alle anderen Glieder in Fortfall kommen. Schreiben wir hierfür
laO === CQa = C q e X a ,
dann stellt sich heraus, daß die q a sich genau so transformieren, als ob nur eine dreidimensionale räumliche Transformation vorgenommen würde. Für l 00 finden wir
I qq === ^ij x 0 X'o === ^00 l 0 o. X„ ~f~ l a ß Xq Xq =
= C C Qa X q ~ Ç aß %0 X 0 ^aß x 0 X 0 •
Das zweite und vierte Glied ist klein gegenüber den anderen und kann vernachlässigt werden, weil l 00 nur im Nenner auftritt. Das dritte Glied ist, wie eine einfache Rechnung zeigt, gleich co" {(«/') " + ( 2/ 2 ) "}' a l so gleich dem Quadrat der linearen Geschwindigkeit eines Punktes der Erdoberfläche, und kann deshalb ebenfalls gegen c 2 vernachlässigt werden. Wir
Mathematische Annalen. 96. 19

282 D* van D ant zig.
erhalten deshalb für die Zeitdifferenz zweier Lichtstrahlen, die in entgegengesetzten Richtungen eine geschlossene Kurve K durchlaufen,
2 if = £ $ q ' edye = ^ 9ßdxe '
K 00 K K
Das ist aber genau derselbe Wert, den Michelson gefunden hat. So wie mit diesem ist unsere Erklärung des Miller-Effektes mit jedem Experimente erster Ordnung (10 ') bis auf Größen von der Ordnung 10 1 " in Übereinstimmung.
Anläßlich der Erörterung über den Miller-Effekt möge hier noch auf einen schon von Anfang 1924 datierenden Versuch Herrn N. v. Raschevkys 36 ), sich mit diesem Effekte auseinanderzusetzen, hingewiesen werden. Die dort gemachte Bemerkung, der Michelson-Versuch könne in der allgemeinen R.-T. wegen der Krümmung der Lichtstrahlen nur annähernd negativ ausfallen, ist zwar prinzipiell richtig, kann aber (wie Herr v. Raschevsky jetzt selbst zugibt) dennoch nicht zur Erklärung des Effektes dienen, weil eine merkliche Änderung der Gravitationspotentiale innerhalb eines Gebietes, das in der Zeit einige Minuten, im Räume einige Meter umfaßt, zu groben anderen Effekten Anlaß geben müßte. Im Prinzip ist aber manche Bemerkung der vorliegenden, unabhängig davon entstandenen Abhandlung schon bei Herrn v. Raschevsky vorweggenommen.
§ 9.
Schlußbemerkungen.
Wir wollen uns durchaus nicht verhehlen, daß die hier gegebene Erklärung des Miller-Effektes als eine Überlegung ad hoc angesehen werden muß. Die weitaus einfachste Erklärung, die man überhaupt von den Beobachtungen Millers geben kann, ist unbedingt diejenige, die sie für fehlerhaft erklärt.
Es ist die Aufgabe der Physik, die wahrgenommenen 'physikalischen Erscheinungen soviel wie möglich zu ordnen, Regelmäßigkeiten in ihnen zu erkennen und sie in möglichst wenig Urteilen (Gesetzen) zusammenzufassen. Diese sind, streng genommenrein historische Urteile, aber sie ermöglichen es, unsere Erwartungen betreffs späterer Erscheinungen auf sie zu stützen und mit einem starken Gefühl von Sicherheit in den Naturablauf einzugreifen, einem Gefühl, das uns, wie die Praxis zeigt, nicht allzu oft betrügt 37 ). Eine beliebig vorgegebene endliche Menge von Erschei-
S6 ) „Bemerkung über das positive Ergebnis des Michelsonschen Versuches und die Relativitätstheorie", Zeitschr. f. Phys. 22 (1924), S. 401.
37 ) Vgl. hierzu: L. E. J. Brouwer, „Over de Grondslagen der Wiskunde" (Amsterdam-Leipzig, Maas en Van Suehtelen 1907), S. 81 fí.

Michelson-Versuch und Relativitätstheorie.
283
nungen läßt sich immer in einem genügend komplizierten Naturgesetz ( das auch über nicht oder noch nicht wahrgenommene Erscheinungen Aussagen macht) vollständig wiedergeben, ähnlich, wie man durch eine beliebig vorgegebene endliche Menge von Funktionswerten immer eine ganze rationale Funktion legen kann. Und ebenso wie man eine gegebene Menge von Funktionswerten von der endlichen Kardinalzahl N mittels eines Polynoms gegebenen (n- ten) Grades für N > n + 1 solchermaßen approximieren kann, daß die Genauigkeit mit n steigt, so kann man auch eine gegebene endliche Menge von Erscheinungen mittels einer Physik von beliebig vorgegebener beschränkter Kompliziertheit mehr oder weniger genau approximieren, wobei die Genauigkeit mit der Kompliziertheit der Physik wächst.
Dazu ist notwendig, daß die Menge der Erscheinungen „gegeben", d. h genau aufgezählt ist. Dies wäre klar, wenn wir den Begriff „wahrgenommene physikalische Erscheinungen" unzweideutig festlegen könnten. Dies ist aber keineswegs der Fall: er läßt sich nach Belieben mehr oder weniger weit ausdehnen. Es ist nicht üblich zu fordern, daß z. B. die „metapsychischen Phänomene" oder die „Experimente" irgendeines Anfängers in die Naturgesetze aufgenommen werden sollen obwohl dies sehr wohl möglich wäre. "Über die Frage, ob die Gesetze den Mill erEffekt mit einschließen sollen oder nicht, läßt sich aber noch streiten. So viel ist jedoch wohl sicher: in einer Physik, deren Kompliziertheit dadurch beschränkt ist, daß sie höchstens die beiden Fundamentaltensoren von vier Dimensionen g ilc und y i enthalten soll, läßt sich der als positiv angenommene Effekt wahrscheinlich nicht wiedergeben] erweitert man aber die Anzahl der Grundtensoren, dann zeigt die vorliegende Überlegung, daß die kompliziertere Physik auch dieser Erscheinung vollständig Rechnung zu tragen vermag.
(Eingegangen am 25. 1. 1926.)
19*

Über die Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
Von
Aurel Wintner in Budapest.
Für die exakten Differentialgleichungen der Himmelsmechanik ist typisch die nichtlineare Differentialgleichung
(1) '¿-\-(p (t )z = X 2<p k (t )z k ,
k= O
wobei X einen Parameter bedeutet und die <p bekannte, nach 2 n periodische Funktionen sind.
(2) z -f- <p (t)z = 0
ist also eine homogene lineare Differentialgleichung mit periodischen Koeffizienten, die bekanntlich wenigstens eine Eigenlösung von der Gestalt
(3) JJ^exp [(ß+ &)*!'- 1]
k
besitzt. Wir wollen nicht voraussetzen, daß es eine solche Lösung von (2) gibt, die einerseits von säkularen Gliedern frei ist, andererseits mit (3) ein Fundamentalsystem von (2) bildet. Wir ivollen also den Fall der mehrfachen Elementarteiler nicht ausschließen.
Können wir behaupten, daß (1) eine Lösung besitzt, die in eine konvergente Reihe von der Gestalt
(4) 22hÀ x ) ex P [(ÍQ + &)« J^T]
i k
entwickelt werden kann (wenigstens wenn |x] hinreichend klein ist), wobei g dieselbe Zahl wie in (3) bedeutet? Man setze q = a -f- x 1, wobei a und r reell sind. Wir werden die Frage bejahend beantworten in dem Falle, wo a rational ist. Ist r = 0, so ergeben sich die periodischen Lösungen der ersten bzw. zweiten Poincaréschen Klasse (genre), je nachdem a verschwindet oder nicht (modi); ist t ^O, so ergeben sich asymptotische Lösungen. Es sei schon jetzt erwähnt, daß die Poincarésche

A. Wintner. Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
285
Theorie der letzteren prinzipiell mangelhaft ist. — Wir erhalten alle diese Lösungen mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten, also mit einer Methode der Praxis:
Wir setzen (4)in(l) ein und vergleichen die Koeffizienten der beiderseits stehenden „bedingtperiodischen" Reihen. Es ergibt sich so ein unendliches, nicht lineares, implizites System von Gleichungen, welches durch (5) bezeichnet werden soll. Von leicht angebbaren Einzelfällen abgesehen, kann dieses System rekursiv nicht aufgelöst werden. Wir beweisen, daß unter den genannten Voraussetzungen die X ik (x) durch (5) als (analytische) Funktionen von x definiert werden, und daß sie derart abgeschätzt werden können, daß daraus die Konvergenz von (4) geschlossen werden kann. Es ist dabei von Wichtigkeit das Prinzip der Transformation des Kernes.
Des näheren sei auf die Punkte 1., 3., 4., 5. und 6. der Einleitung verwiesen; den übrigen Teil der Einleitung kann der Leser überschlagen.
Einleitung.
1. In der neueren Himmelsmechanik nimmt das folgende Problem eine zentrale Stellung ein:
Vorgelegt ist das Differentialsystem
(1) £.= x„ x n ; ex-p(tf-l), exp (— t\— 1); //)
(»' = 1, 2, n);
hierbei ist i(^0) die unabhängige Veränderliche; ju ist ein Parameter; bekannt ist eine nach 2ji periodische Lösung
(2) . °x i = X i (t) (i —1,2,..., n) des Differentialsystems
(3) °x i = (°x 1 , °x 3 , ..., °x n ; exp (í I'— 1), exp (— t J— 1); 0)
(»' = 1, 2, .. ., n),
in das das System (1) für /x = 0 übergeht; es wird verlangt, an die bekannte Ausgangslösung (2) „bedingtperiodische" Lösungen von (1) analytisch anzuschmiegen.
Der Fall, wo
(4) g'-O (¿=1 ,2,..., n),
soll nicht ausgeschlossen werden.
Man versucht für (1) den Ansatz
(5) x¡ = X { (t) +/ig. (» = 1,2,...,»).

286
A. Wintner.
Mit Rücksicht auf (2), (3) ergibt sich für die das Differentialsystem
(6) 'é i = Í!Í k ¿r&i(X 1 (t), exp («pi), exp (-¿pi); 0)
i=l ox h
+ $ i (X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t); exp (¿pi), exp(-i|'-l); 0)
+ f B ; exp (t l'— 1 ), exp(— tf— 1); fi)
(¿ = 1 ,2,...,%)
mit der Nebenbedingung
(7) ¿=1.
Hierbei ist W i eine bekannte Funktion. Wir setzen voraus, daß die ( P i derart sind, daß die W¡ in reguläre Potenzreihen ihrer Argumente entwickelt werden können.
2. Setzen wir voraus, daß, indem (6) ohne Rücksicht auf die Nebenbedingung (7) behandelt wird, sich eine von X und ¡u abhängige Lösungsschar
(8) ii(t; X, ju) (¿=1,2,...,») ergibt. Die Lösungsschar sei etwa für
(9) I A I < A , |/¿ I < M
bekannt. Die beiden Schranken A, M sind einander in dem Sinne assoziiert, daß z. B. auf Kosten der Verkleinerung von M die andere Schranke A im allgemeinen vergrößert werden kann. — Wir setzen voraus, daß die Schranke M derart gewählt werden kann, daß zu ihr A = 1 als assoziierte Schranke gehört. — Dies ist gewiß möglich, wenn die Bedingungen (4) erfüllt sind, da dann 1 in (6) überhaupt nicht eingeht; dies ist z. B. in der Hill-Brownschen Mondtheorie der Fall. — In anderen Fällen kann A = 1 erreicht werden, wenn statt (5) der Ansatz
(10) ®i = -2i(0 + i u *f» (¿=1,2,...,»)
versucht wird usw. Wir wollen voraussetzen, daß (7) erlaubt ist.
3. Nach dem vorigen Punkte wollen wir das Differentialsystem (6) ohne die Nebenbedingung (7) betrachten.
Setzt man in (6) X — fi — Q, so ergibt sich das Jacobische System
(11) % = 2J'hw (*)> ^ *»(«); exp (t P1), exp (- t pï); 0)
7. 1 O Xl. "T T
(¿ =1,2,..., »)
(Variationsgleichungen), wobei das Zeichen ' darauf hinweisen soll, daß (5)' ^(0 + ^i (¿ = 1,2,...,»)

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
287
im allgemeinen noch keine Lösung von (1) darstellt, sondern nur eine erste Näherung gibt.
Nach der von Hill herrührenden, von Poincaré und v. Koch präzisierten Theorie der charakteristischen Exponenten kann die Aufsuchung der bedingtperiodischen Lösungen des linearen Difïerentialsystems (11) auf die Methode der unbestimmten Koeffizienten gegründet werden; wir beschäftigen uns, im Anschluß an eine wenig beachtete Arbeit von v. Koch 1 ), mit der Aufgabe, mit derselben Methode die bedingtperiodischen Lösungen von (6) zu finden.
4. Die Hauptschwierigkeiten der Poincaréschen Himmelsmechanik'-) rühren bekanntlich davon her, daß identisch verschwindende charakteristische Exponenten existieren 3 ). — Im Falle der asymptotischenLösungen hat Poincaré diese Schwierigkeiten auch nicht überwunden. Er erhält nämlich (übrigens mit einer nicht stichhaltigen Schluß weise) eine gewisse Schar von Funktionenreihen in t, welche Schar durch einen Parameter fj. zusammengehalten wird; würde die Funktionenreihe bei einem festen ¡u 0 konvergent sein, so würde sie eine asymptotische Lösung bei diesem Werte von ¡ j , darstellen. Nun sind die Reihen divergent; Poincaré beweist die Semikonvergenz und folgert bloß daraus die Existenz der asymptotischen Lösungen. — Ohne eine nähere Untersuchung wird aber durch die Semikonvergenz die Existenz offenbar noch nicht verbürgt, da (wegen der Semikonvergenz) der Parameter einem Grenzprozesse zu unterwerfen ist; es läßt sich also a priori nicht behaupten, daß es ein ¡u b gibt, zu welchem eine asymptotische Lösung gehört. — Poincaré hat die Existenz der asymptotischen Lösungen im Falle der Himmelsmechanik nicht bewiesen (seine späteren, bloß formalen Untersuchungen kommen hier nicht in Betracht); was von Poincaré behandelt wird, ist eine interessante Eigenschaft seiner Reihenschar, aber nicht mehr.
5. Die erwähnte Schwierigkeit umgehe ich durch einen Kunstgriff, der von Herrn Schmidt 5 ) in seinen analogen Untersuchungen über die nichtlinearen Integralgleichungen angewendet und seitdem von Herrn Lichtenstein zur Behandlung von anderen schwierigen Fragen herangezogen
1 ) Bull. Soc. Math, de France 27 (1899), S. 215—227.
2 ) Acta Math. 13 (1890); Méth. Nouv. de la Méc. Cél. I—III. Paris (1892—1899).
3 ) Und zwar wegen der Existenz der klassischen Integrale (NB. das Integral der lebendigen Kräfte [Jacobisches Integral] isj zweifach zu zählen), also aus geometrischen Gründen (Transformationsgründen), wie in der Theorie der Gleichgewiehts- figuren. — In der Hillschen Perigäum-Theorie werden diese Exponenten bekanntlich mit Hilfe desselben Integrals eliminiert, aus welchem sie entspringen.
4 ) Méth. Nouv. I, chap. VII.
6 ) Math. Annalen 65 (1908), S. 370-399. — Vgl. v. Koch, 1. c. S. 221-222.

288
A. Wintner.
wurde (Transformation des Kernes). — Die Hilfsmittel sind dabei die Theorie der normalen Determinanten 6 ), deren Hauptsätze in dem zweiten Abschnitte zusammengestellt sind, und ein Existenzsatz (nebst Abschätzungen) über unendliche implizite Gleichungssysteme; der Beweis dieses Existenzsatzes geschieht ohne Schwierigkeit mit derselben Methode, die Herr Lindelöf 7 ) in dem elementaren Falle angewendet hat.
Bei den periodischen Lösungen ergeben sich als Bedingungsgleichungen unendliche Systeme vom Typus
(12) 2 a ik y k = xf i (x; y 0 , y x , y_ 1 , ...) (i = 0, ± 1, ± 2, ...),
Je— — oo
wobei die Matrix || a iu j| normal ist und die f\ gewisse Potenzreihen von unendlich vielen Veränderlichen bedeuten. Es kann nicht vorausgesetzt werden, daß diese nichtlinearen Bedingungsgleichungen mit Rekursionsformeln äquivalent sind. — Bei den asymptotischen Lösungen ist die Matrix im allgemeinen nicht normal; ich zerspalte dort das System (12) in zwei unendliche simultane Teilsysteme. Das erste derselben wird mit der bei den periodischen Lösungen angewendeten Methode behandelt, während das zweite Teilsystem summarisch, bloß auf Grund des Existenzsatzes erledigt werden kann; bloß mit dem letzteren könnte man bei dem vollständigen Systeme nicht auskommen.
Es sei übrigens bemerkt, daß der Existenzsatz nicht nur an die Theorie der normalen, sondern auch an die der absolut konvergenten Determinanten 8 ) angepaßt werden kann; vgl. auch den Anhang.
Die Realitätsdiskussion werde ich nicht durchführen; bei den periodischen Lösungen reduziert sie sich auf die Diskussion der Verzweigungsgleichungen 9 ); bei den asymptotischen Lösungen tritt dazu noch ein anderer Umstand hinzu; die Frequenzen der bedingtperiodischen Reihen sind nämlich hier nicht alle reell, was man nicht zu beachten pflegt; begnügt man sich mit der ersten Näherung, d. h. betrachtet man nur die Variationsgleichungen (11), so verursacht freilich dieser Umstand in gewissen Fällen keine Schwierigkeit, vgl. eine Arbeit von Herrn Hough 10 ).
6. Wir werden aus (6) nur eine Gleichung und nur einen Parameter behalten und überdies voraussetzen, daß der Parameter bloß als Faktor
e ) v. Koch, Acta Math. 16 (1892-1893), S. 217-295.
') Bull, de Darboux 23 (1899), S. 68. — Vgl. meine Note Math. Annalen 95 (1926), S. 544-556.
8 ) v. Koch, C. R. 116 (1893), S. 179-181.
9 ) Vgl. Lichtenstein, Math. Zeitschr. 1 (1918), S. 265—268.
10 ) In Darwins Scientific Papers, I, S. 117—119, Cambridge 1911.

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
289
eintritt. Wir werden uns also mit der Differentialgleichung
(13) z + <p (t) z = X J] (p n (t) z"
n=0
beschäftigen, wobei x der Parameter ist und die cp nach 2 n periodisch sind. Aus den Beweisen wird hervorgehen, daß der Übergang von (6) zu (13) unter sinngemäß entsprechenden Annahmen bloß auf eine Vereinfachung der Schreibweise hinausläuft.
Nach der Theorie der linearen Differentialgleichungen besitzt die lineare Differentialgleichung
(14) z-\-cp{t)z = 0,
da cp{t ) periodisch ist, wenigstens eine Eigenlösung von der Gestalt
(15) 2 •■= £ ¿s ex P [(e + k)tí^Í].
lt= — CO
Es wird für uns bequem sein, abweichend von der üblichen Normierung, als den charakteristischen Exponent die Zahl q zu bezeichnen. Nach dieser Bezeichnung gehören nicht die rein-imaginären, sondern die reellen Exponenten zu den „stabilen" periodischen Lösungen. Der charakteristische Exponent kommt nur modulo Eins in Betracht.
Ist ri >1, so ist natürlich ausdrücklich vorauszusetzen, daß (11) partikulare bedingtperiodische Lösungen besitzt; in der Hill-Brownschen Mondtheorie, bei Librationszentren usw. ist diese Bedingung bekanntlich erfüllt. Ich brauche also nicht vorauszusetzen, daß die allgemeine Lösung von (11) bedingtperiodisch, d. h. von säkularen Gliedern frei ist. Noch weniger ist es notwendig, daß alle charakteristischen Exponenten voneinander verschieden sein sollen.
Den Fall der Himmelsmechanik können wir bei den asymptotischen Lösungen aus Vorzeichengründen jedoch nicht behandeln. Wir können zwar die Bedingungsgleichungen auflösen und beweisen, daß die bedingtperiodischen Reihen für t = 0 absolut konvergent sind. Um aber die Konvergenz für 0^£>— oo oder für 0 <! t < -)- oo zu beweisen, müssen wir natürlich voraussetzen, daß die imaginären Teile der in der Partikularlösung von (6) auftretenden charakteristischen Exponenten entweder alle ^ 0 oder alle ^ 0 sind und diese Bedingung ist bei den Bewegungsgleichungen bekanntlich nicht erfüllt.
Abgesehen von den „regulären" periodischen Lösungen (Abschnitt IV), beschäftigen wir uns, wie erwähnt, nur mit der folgenden Aufgabe:

290
A. Wintner.
Q ist ein bekannter charakteristischer Exponent von (14); es wird verlangt, die Lösungen
(16) JS7i?*i»(»)exp[(»e+ *)«][— 1]
i k
von (13) zu finden, wenn jcc| genügend klein ist.
Wir lösen diese Aufgabe in den folgenden Fällen:
a) q = 0 (Abschnitt V);
b)p = ^-, 1 < q (Abschnitt VI);
c) ß = o-(-r} / — 1, i2;0, CT = "g~' (AbschnitteVII—XI).
7. Es bleiben daher die beiden Fälle übrig:
d) q ist reell und irrational.
e) q = a + r| — 1, r2:0, o ist reell und irrational.
In der Mondtheorie ist bekanntlich der charakteristische Exponent reell (in unserer Normierung). Ist er auch rational, so kann unsere Aufgabe gelöst werden; zwar sagt Herr Brown 11 ), daß dieser Fall [nämlich b)] auszuschließen sei, da sonst die Bedingungsgleichungen eine Unbestimmtheit zeigen; doch ist dies, wie wir sehen werden, ein Versehen (oder wenigstens eine ungewohnte Terminologie). Es ist eine offene Frage, ob unsere Aufgabe im Falle d) (in dem nicht praktischen Sinne des Wortes) gelöst werden kann. [Im Falle e) kann sie ebenso gelöst werden wie im Falle c).]
8. Ich möchte in diesem Zusammenhange ein Versehen von Poincaré erwähnen. Es folgt bekanntlich in einem Gebiete, das in dem Inneren der zugehörigen Hillschen Grenzkurve liegt, aus der Existenz einer definiten Integralinvariante die Poissonsche Stabilität fast überall. Poincaré behauptet, es gehe aus der Existenz der asymptotischen Lösungen hervor, daß die kursiv gesetzte Einschränkung nicht weggelassen werden kann. Nun sind in dem Felde, in das die Hillsche Variationskurve eingebettet ist, die charakteristischen Exponenten reell. Folglich liegen die im klassischen Sinne asymptotischen Kurven, falls sie existieren, anderswo. Mithin ist die Frage der Existenz der erwähnten Nullmenge unerledigt. Poincaré wurde offenbar durch seinen Satz Méth. Nouv. I, S. 226 irregeführt.
9. Die Lösung unserer in dem sechsten Punkte gestellten Aufgabe kann auf die Mondtheorie unmittelbar nicht angewandt werden. Denn wir betrachten den charakteristischen Exponent als von vornherein gegeben und variieren ihn nicht mit x, während die Natur der besonderen mondtheoretischen Konstantendeutung eine solche Variierung des charakteristi-
ll ) Amer. Journ. of Math. 15 (1893) S. 250.

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
291
sehen Exponenten erfordert. Doch kann man den analytischen Kern des Hill-Brownschen Prozesses 13 ) folgendermaßen herausschälen :
Man geht von einer periodischen Lösung (2) aus; sie ist die Hillsche Variationskurve. Den von Hill 13 ) als Desideratum formalierten direkten Existenzbeweis derselben habe ich anderswo 14 ) geführt, mit einer Methode, die auch bei der die Mondparallaxe berücksichtigenden Kurve von Herrn Brown 1S ) angewendet werden kann.
Es sei nun die periodische Lösung (2) gegeben. Man macht den Ansatz (5) und erhält so die Differentialgleichungen (6). Die Exponenten sind reell. Sind sie auch rational, so können wir unsere Aufgabe lösen: der Ansatz führt zu einer periodischen Lösung. Wir wiederholen nun mit dieser periodischen Lösung den Prozeß, den wir auf (2) angewendet haben usw. in inf. Es ist natürlich nicht bewiesen, und es ist auch nicht zu erwarten, daß dieses Verfahren in dem analytischen Sinne des Wortes konvergent ist.
10. Es sei schließlich bemerkt, daß analoge Untersuchungen auch in dem komplexen Gebiete möglich sind.
I. Existenzsätze über unendliche implizite Gleichungssysteme.
Hauptsatz. Es sei y 1 , ,...; fa, •..)} eine solche Folge
von Potenzreihen von unendlich vielen Veränderlichen, daß es positive Zahlen
a , <x, ôj , bç, , ..., A 1 , A 2 , •.., J\l^ , il 5 « • ■
gibt, derart, daß, wenn f { die beste Majorante von bedeutet, die folgenden Ungleichungen gleichzeitig bestehen:
f i {a-,b 1 ,b„,...]A 1 ,A„,...)£M i (¿ = 1,2,...).
Dann besitzt das System
Vi = zfi (¿ = 1,2,...)
in dem Bereiche
I X I <[ min(a, «); \¡x 1 \^A 1 , \ /i^ | ^ A 3 , ... eine und nur eine Potenzreihenlösung
{ Vi ( X j /^15 /*3 > •••)}>
die den Bedingungen
 Vi( ...) = 0 (¿ = 1 ,2,...)
12 ) S. z. B. Brown, Amer. Journ. of Math. 17 (1895) S. 318—358.
13 ) Coli. Math. Works I. S. 287. Washington 1905.
") Math. Zeitschr. 2t (1925) S. 259-265.
16 ) Amer. Journ. of Math. 14 (1892), S. 141-166.

292 A. Wintner.
genügt ; es gelten dabei in dem erwähnten Bereiche die Abschätzungen
I «/.(«; Pi, . ..)| ^ (i = 1,2,
Aus dem Hauptsatze folgt leicht eine Verallgemeinerung desselben für den Fall, wo man mehrere x hat. Es seien die f si solche Potenzreihen
f,Á x i> • • •» x > Vi' y*> • Pi> ■ • •) ( s = 1» 2, ..r; i = 1, 2, ...),
daß es positive Zahlen
cc, a , j 6,2 , j , -/lo , .. •, ? ^1^2 j . • • gibt, derart, daß
C£ ^ / s j (ß , O, . . . , ß , , 6o > • • • j "^1 > ^2 ' * * ") =
(s = 1, 2, ..., r; ¿ = 1, 2,...).
Dann gibt es ein solches /?(>0), daß das System
Vi= (i — 1 ,2,...)
S=1
in dem Bereiche
I X x I = ß> I ®9 I = ^ ' • • " ' I ®r I = ß ' I A®1 I = *^1 > I I ¿ "^'2 > • • •
eine und nur eine Potenzreihenlösung
{y.(x i, x.,, ...,x r ; ju lt ju 2 ,...)} besitzt. Es gelten in dem erwähnten Bereiche die Abschätzungen
I Vi ( X 1 s ' ' " ' ' ' /^1 ' /^2 ' * • *) I ^ (¿ - - 1 ,2, . . .)
und es verschwinden natürlich alle y, wenn alle x verschwinden.
Um diesen Satz aus dem Hauptsatze abzuleiten, setzen wir zunächst
F¡= Zx s f si , also
Vi = Fi (¿ = 1 ,2,...).
Man hat offenbar
Fi(ß,ß, A 1 ,A i ,...)£M i rß (¿ = 1,2,...),
wenn
0 < ß <j a.
Nach dem Hauptsatze besitzt also das System
y i =x 0 F i (¿ = 1,2,...)
in dem Bereiche 1G )
I x 0 1 = y ~ß ' \ x i\£ß>\ x *\ = ß' • • •' I X r I = ß > I i^l ! = ' I /"2 I = ^2 ' • • •
16 ) x o g e ^t nämlich in die F¡ nicht ein.

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 293
eine und nur eine Potenzreihenlösung
{ y i (®o ' ' • * • ' ®r ' ¿"i ' ' •••)}>
derart, daß in dem erwähnten Bereiche
! ¥i( x 0> »!, «9> » r ; /"i» i"a> •••)! (»=1,2,...).
Wird nun derart gewählt, daß ^^1, so ist damit unsere Behauptung bewiesen.
Wir könnten diese Verallgemeinerung des Hauptsatzes zu Konvergenzbeweisen heranziehen, indem wir {6 ¿ } derart wählen könnten, daß J£bf< -j- oo. Es wird aber bequemer sein, den folgenden Spezialfall des verallgemeinerten Hauptsatzes anzuwenden :
Es seien die
f»i (®i> ®a> • • •' ®r> Vi' y$' • • *' A*a> • • *) (® = 1j 2, ..., p ; ¿ = 1,2,...) solche Potenzreihen, daß es positive Zahlen
a; 6; yl 2 , ...; 1/
gibt, derart, daß
f si (a,a,...,a -,b,b > ...;A 1 ,A 1 ,...)<^M (s = 1, 2,..., r; » = 1, 2, ...). Dann gibt es ein solches /? (> 0), daß das System
y¡ = Jjx s f si (¿ = 1,2,...)
«=i
in dem Bereiche
K|<;£, Jas, I £ß, ..., ! ^ I ^ /9; l^al^A....
eine und nur eine Potenzreihen-Lösung
{ y i ( ®1 » ®9 ' ■ • • > ®r » > i^a > • • ■ ) } besitzt. Bs gelten dabei die Abschätzungen
I 2/t (*^1 ' *^2 ,.*■ 5 ' /^1 5 /^2 » * ' * ) ! = ^ (^* == 1 5 2 , . . . ) . Wir werden diesen Satz schlechthin als den Existenzsatz zitieren. Setzt man voraus, daß die f si des Existenzsatzes eine gemeinsame Majorante besitzen, so erhält man im besonderen einen Satz, der nach
1
dem Übertragungsprinzip f — h ► dem Fundamentalsatze von Herrn
0 0
Schmidt (1. c.) entspricht.

294
A. Wintner.
II. Sätze aus der Theorie der normalen Determinanten.
Es sei <5^=1, ö ik = 0 (i, Je = 0, ± 1, ± 2, ...; i =j= k).
Die Matrix ||a ifc || wird normal genannt, wenn 17 )
+ CO + CO
U U Í I < + °°"
•£= — co Jc= — co
Dann läßt sich durch Abschnittbildung zu dem Symbole det (a ik ) eine Zahl D eindeutig zuordnen.
Man setze ä ile = a ki . Die Matrix ||a iJk || ist mit der transponierten Matrix ¡ají gleichzeitig normal.
Die Matrix, die in der normalen Matrix ||o <ft || dem Elemente a ik ad- jungiert ist, ist normal. — Es bezeichne a ik bzw. ä ik den Wert derjenigen normalen Determinante, die in der Matrix ||a is || bzw. ||o ffc || dem Elemente a ik bzw. a ik adjungiert ist. Dann gilt der Satz:
if \a ki \ = 0(1); + £ |a H ¡ = 0(l).
Je— — co Jc— — œ
In dieser Arbeit sind die Landauschen Symbole immer so zu verstehen, daß der Stellenzeiger in den beiden Richtungen ins Unendliche wächst und daß die Abschätzung nicht nur für fast alle, sondern auch für alle Werte des Stellenzeigers gilt.
Das System
(» = 0, ± 1, ± 2, ...)
h = — co
läßt bei allen je beschränkten b { - Folgen dann und nur dann eine beschränkte Lösung zu, wenn D=(=0. Man erhält aber einen falschen Satz, wenn man das kursiv gesetzte Wort unterdrückt; auf diesem Umstände beruht das Prinzip der Transformation des Kernes; auch ein Versehen von Poincaré, betreffend die periodische Lösbarkeit bzw. periodische Nichtlös- barkeit gewisser Differentialgleichungen, hängt mit diesem Umstände zusammen, wie es aus dem Abschnitt V hervorgeht.
Es gilt aber der folgende Satz: Das obige System läßt bei einer beliebig festgehaltenen beschränkten b { - Folge dann und nur dann eine eindeutig bestimmte beschränkte Lösung zu, wenn D =j= 0; und zwar man hat dann
+ CO
Vi = 1) Zj b k aki (* = o, ±1, ±2, ...).
k—- oo
17 ) Wir bezeichnen den absoluten Betrag der Zahl A t u durch ! yl¡^ j, den Wert der zu der Matrix ||.A(fc|| gehörigen Determinante, falls er existiert, durch det(-4,ü)

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 295
Eine Lösung {2^} des homogenen Systems
S a ikVk = 0 (i = 0, ± 1, ± 2, ...)
k= — cc
soll eine Eigenlösung genannt werden, wenn
+ 00
o < U \ y* \ < +°°-
Jc= — CO
Das zu der Matrix ||a ik [| gehörende homogene System läßt dann und nur dann Eigenlösungen zu, wenn D — 0 .
Die Anzahl r der linear unabhängigen Eigenlösungen, die zu ||a ifc || gehören, soll als der Rang von ||a ifc || bezeichnet werden.
Zu r = 0 sei D =f= 0 zugeordnet.
II a ifc H und ¡I a ik i sind vom gleichen Range.
Der Rang ist endlich.
III. Das Prinzip der Transformation des Kernes.
Es sei die Matrix ||a ifc || normal und es sei det(a iJ[ ) = 0, also r1. Es seien
K !s) }; {d! s) } (s.= 1, 2, ..., r)
solche Zahlenfolgen, daß
¿Vi-'K+oc; 2\d} s) |<+oo (s = l, 2,...,r).
i= — co i= — 00
Setzt man dann
a iu = a ik — 2 di ] dk {i,h = 0, ± 1, ± 2,.. .\
5=1
so ist II II normal, wegen
+ CO -f CO +CO+CO
JE 1 2 \ a iic fe I ^ 2 ~Z \a ik -à ilc \
i= — CO Jc= — CO i— — cc Jc= — 30
+ 2 2 if |^ 8> ^ (s) | <+00.
s = l i=— CO Jc= — CO
Das Prinzip der Transformation des Kernes besagt, daß die r -f- r Zahlenfolgen derart gewählt werden können, daß det(cc ik ) von Null verschieden ausfällt, d. h. daß zu |||| keine Eigenlösung gehört; und zugleich auch derart, daß diese Elimination der Eigenlösungen durch weniger als r -f- r aus diesen Zahlenfolgen nicht geleistet werden kann.

296 A. Wintner.
IY. Periodische Lösungen der ersten Klasse. Der reguläre Fall.
Es sei die Differentialgleichnng
(1) ¿ + <p(t)z = X 2!<p n (t)z n
71=0
vorgelegt; t ist die reelle unabhängige Veränderliche, x ist ein Parameter, <p(t)= 2 c fc exp(Ä:i] , -l),
(2) J - + ;
<p n (t) = y, c< n) exp (Je tj — 1), («. = 0, 1, 2, ...)
k=- <*>
sind gegebene Funktionen. Wir setzen voraus, daß
(3)
+ co
2 jcj < + oo;
u h I
: — 00
I e* n) I < + 00 (» = 0,1,2,...),
k= — ce
co , + ce \
und daß die Potenzreihe I 2 I c i"' ! ) 2 " einen von Null verschiedenen
71=0 Jc=~ co
Konvergenzradius besitzt. Da eine Ähnlichkeitstransformation von z die Gestalt von (1) unverändert läßt, können wir gleich voraussetzen, daß
w ¿(2\<P\){ 2-?)"< + <*>;
n=0 k= — co k= — cd
statt ^ soll immer 1 gelesen werden.
Versucht man den Ansatz
(5) 2 =¿7^exp(fc*pi)
k= — co A
und setzt man (2) und (5) in (1) ein, so ergibt die Vergleichung der Koeffizienten der darin beiderseits stehenden Fourierreihen das folgende unendliche nicht lineare System von Bedingungsgleichungen:
+
(6) 2J a tt y 1t = xy> i (y 0 ,y l , y_ t ,...) (» = 0, ± 1, ...),
k= — oo
worin
«0*=-^ (k =.0, ± 1,...),
a ik = -^ (i, k=±l, ±2,...;i + k),
k
(?) c
a u = 1-% (.*= ±1, ±2, ...);
I
Vi - - °!°>- 2"# », - 2 2 - • (.'-0, ± 1, - - ■)•
i Ä 4 l K 1

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 297
Da so entsteht; daß
+ ®
2J ( ^7 c *"' ¿ J — 1 )) (
k= — co
+ CO
= y* exp(fci}' —1)
n— 0 k— — co &= —co
+ CO
k= — co
gesetzt wird, so ist nach (4)
2 ñ(i,i,i, ...)< + °°.
&= — CO
um so mehr
(8) ^-(1, 1,1,...) = 0(1).
Andererseits ist die Matrix ||a ift || normal, da nach (7) und (3)
+ CO-J-CO +CO -f-co+co
i=—colc=—ca i= — co ^ k=— coi=— co
+ CO -f CO + CO
== 1 +1 c 0 1 ^7 -i- ^7 i^7i c il<
¿= — OO ^ i=— 00 ^ ¿=—00
CX).
Setzen wir zunächst voraus, daß
(9) D = det(a iÄ ) 4= 0.
Dann können wir nach der Theorie der normalen Determinanten das System (6) in der Gestalt
+ »
( 10 ) Vi — x fi'i fi = ¿ 2j y-\ aH ■ 0 = o, ±i,...)
k= - co
+ CX
darstellen, wobei ¿ |a il | = 0(l). Mit Rücksicht auf (8) ist also auch
Jc= — CO
/¿(1,1,1,...) = 0(1). Nach dem Existenzsatze gibt es also ein solches ß, daß durch (10) die y { als solche, in dem Gebiete \x\<ß reguläre Funktionen definiert werden, daß in diesem Gebiete
( n ) |y<(®)]'âi (* = 0, ± 1, ...).
Damit ist die formale Existenz und zugleich auch die Konvergenz von (5) bewiesen. Daß letztere zwei Sachen wesensgleich sind, hat bei einem anderen Problem schon Poincaré 18 ) gefunden; bei Poincaré gibt es eine Rekursionsformel, bei uns nicht.
18 ) Journ. de Math. (4) 1 (1885), S. 172-196.
Mathematische Annalen 96.
20

298
A. Wintner.
Die Existenz und die Stetigkeit der zweiten Ableitung von z folgt aus (5) und (11) unmittelbar noch nicht, wohl aber mit Heranziehung von
(1)' Z= -<p(t)z + x jjcp n (t)z n ,
n=0
da wir die Reihe (5) mit Rücksicht au! (4) und (11) in die rechte Seite von (1)' einsetzen können.
Ist also (9) erfüllt, so sind die y¡(x) eindeutig bestimmte reguläre Funktionen; ist im besonderen Ç9 0 (i) = 0, so ist mithin y.(x) = 0 (» = 0, ± 1, ...), da dann 2 = 0 eine Lösung von (1) darstellt. Anders wird die Sache stehen in dem folgenden Abschnitt, falls man die Zahlenfolgen gehörig normiert.
V. Periodische Lösungen der ersten Klasse. Der Verzweigungsfall.
Es sei jetzt det(a iÄ ) = 0. Der Rang r von ||o jfc || ist also 1 - Es sei zunächst r — 1 .
Es seien
(12) { d £ >; {d t } solche Zahlenfolgen, daß
(13) J?KI<+°°; H \<i k \< + °o.
1= — CO k= — CO
Setzt man dann
( 14) ßjk = d'à; d i d k (i, k — 0, + 1, ...),
so ist nach dem dritten Abschnitt die Matrix ||a ¿ J| normal, und nach dem Prinzip der Transformation des Kernes können wir voraussetzen, daß
(15) 4 = det(a.J =t=0.
Es ist nach (14)
-(- CO -f CO -f- CO ^
2 a il: y k = 2 cc ilt y k + u d^yj
Je— — CO Jc= — CO k=— CO
setzt man also
+ ® ^
(16) x 1 = — JEd lt y k (Verzweigungsgleichung),
k= — co
so kann (10) in der Gestalt
+ CD
(17) J! ct il! y k = xyj i + x 1 d i (* = 0, ±1,...)

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
299
dargestellt werden. Das System (17) kann man aber nach der Theorie der normalen Determinanten mit Rücksicht auf (15) in der Gestalt
+ CO +00
(is) (* = o, ± i >...)
k= — CO Je— — œ
schreiben, wobei
(19) £ |««|=0(1).
k— — CO
Man hat nach (8), (13), (19)
+ CO + CO
% -¿ñ(i,i,i,...) l « w l = ó(i); \ j?d*«"=*o(i).
k= — CO k= — CO
Nach dem Existenzsatze gibt es also ein solches ß, daß die y i durch (18) als solche, in dem Gebiete \x\<ß] \ x 1 \ < ß reguläre Funktion von x und x 1 definiert werden, daß in diesem Gebiete
(20) Syi(®.«i)l¿l (* = 0, ±1,...);
man hat ferner
(21) ^.(0,0) = 0 (i = 0, ± 1, ...).
Mit Rücksicht auf (13) und (20) können wir diese y i (x, x x ) in die Verzweigungsgleichung (16) einsetzen. Es ergibt sich so die Relation
(22) x 1 = - s Ky^x, »J.
k— — co
In dem Punkte x = x i = 0 verschwinden nach (21) die beiden Seiten von
(22). Durch (22) wird also x 1 als solche im kurventheoretischen Sinne analytische Funktion von x definiert, welche mit gehöriger Annäherung des Punktes x = 0 verschwinden kann bzw. für x — 0 erklärt ist und = 0. Es sei x 1 (x) diese Funktion.
Um feste Vorstellungen zu haben, setzen wir etwa voraus, daß x 1 (x) eine solche, bei x = 0 algebraisch verzweigte Funktion ist, deren alle bei x = 0 liegende Zweige verschwinden für x = 0. Es gibt dann ein solches /, daß I x x (x) I < ß, wenn Ist gleich y^Lß, und setzen wir
Vi( x ) — Vi( x > x i(®))j so ist nac h (20)
(23) ! y i I {x) I 1, wenn | x \ <y (i = 0, ± 1, .. .)•
Offenbar ist {y { (x)} eine Lösung von (18), also auch von (10). Daraus und aus (23) ergibt sich die Existenz der bei (6) versuchten periodischen Lösung wie vorher.
Ist r> 1, so setze man statt (14), (16), (17) usw. bzw.
(14)' « ifc = a ift -2X !g) $\
S=1
20*

300 A. Wintner.
(16)' *,= -2d¡?M
Jc= — CO
(17)' 2 1 a ik y 1t = xrpi+ jjx s d¡"\
7c= — co s= 1
USW.
VI. Periodische Lösungen der zweiten Klasse.
Setzt man in (1) und (6) x = 0, so erhält man bzw.
(24) f + ç>(*K = 0;
(25) H a ik i) k = 0 (» = 0, ±1, ...).
7c= —co
Nach der Theorie der linearen Differentialgleichungen besitzt (24) wenigstens eine Eigenlösung von der Gestalt
+ co
J,
. o
l
(26) f= ^TÍexp[(0 + ¿)í|— lj.
g ist der charakteristische Exponent. Ist £> = 0, so geht (26) in eine Reihe von der Gestalt
+ co
(27) £ = - 2 exp (¿¿V-1)
t=-00 1
über; man überzeugt sich leicht, daß der Ansatz (27) für (24) zu den Bedingungsgleichungen (25) führt; der Fall des vorigen Abschnittes ist also der des verschwindenden charakteristischen Exponenten.
Es sei jetzt
q = |; 0 <p<q; (p,q) = 1.
Zunächst führen wir in (1) neue Bezeichnungen ein; wir setzen
G i = Ci] Cl n) = cf, falls i = 0 (mod g); s «
C- = 0 ; Gi n) = 0, falls i ^ 0 (mod q) .
Dann können wir statt (1) und (2) schreiben:
co
z+ &(t)z = x2J ^„(0« B ;
71 = 0
+ M Jctf^I
(28) 0(t)= 2^ ex P^—;
i=-CO
+ x k t I ^T
*„(0= 2' c * Wex p—■■
i=-«>

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
301
Wir versuchen den Ansatz
(29) 2= JJ -a- exp t—.
& = — CO
Bis auf die Wahl der ¿-Einheit, haben wir mit einem schon behandelten Probleme zu tun. Es bleibt zu beweisen übrig, daß die Lösungen, zu welchen der Ansatz (29) führt, sich nicht alle zu Lösungen der ersten Klasse entarten, d. h. daß (29) auch zu solchen Lösungen führt, bei denen ein solches i 0 (mod q)} existiert, daß Y i (x) nicht identisch verschwindet ; also zu solchen Lösungen, deren primitive Periode größer ist als 2n. Das System
+ CO
(30) i 2? = (* = o, ±1, ...)
Jc= —CO
soll so zu (28), (29) gehören, wie (6) zu (1), (5) gehört. Dann ist die Matrix ||-4 ifc || normal und das zu (30) gehörige homogene System, d.h. das System
(31) 2 0 (¿ = 0, ±1, ...)
Tc— — co
gehört so zu der Differentialgleichung
(32) Z+0(t)Z = 0,
wie (25) zu (24); mit anderen Worten, der Ansatz
+ " T it |LT
(33) Z — yj 4aexp - -
i— — CO ^
führt zu den Bedingungsgleichungen (31).
Jede Lösung von (24) ist eine Lösung von (32). Daraus folgt, daß jede solche Lösung (24), die von der Gestalt (27) ist, identisch ist mit einer solchen Lösung (32), die von der Gestalt (33) ist. Es entspricht mithin einer jeden solchen Lösung von (2-5), welche der Bedingung
+ CO
yj ' ' < + co genügt, in eindeutiger Weise eine solche Lösung von
7, JC
K= — CO
4- co
I*
(31), welche der Bedingung 5] -—J— < + co genügt. Diejenigen Lösungen
7 .-r* k "
A/ — CO
von (31), die in diesem Sinne aus den Lösungen von (25) abgeleitet werden können, sollen als entartete Lösungen von (31) bezeichnet werden.
Da — ^ 0 (mod <?)] ein charakteristischer Exponent ist, so besitzt (31) wenigstens eine nicht entartete Eigenlösung. Da eine solche von den entarteten Lösungen offenbar linear unabhängig ist, so ist mithin die

302
A. Wintner.
Matrix H J,. J von größerem Range ais |¡a ifc ||. Ist also r(^0) der Rang von ¡|a jfc ||, so haben wir nach, dem Prinzip der Transformation des Kernes (vgl. auch die Schlußbemerkungen der beiden vorigen Abschnitte) zur Behandlung des allgemeinen Ansatzes (29) wenigstens r + 1 a; s -Parameter einzuführen, während zur vollständigen Behandlung des entarteten Ansatzes (6) r X- Parameter genügen. Mithin führt der Ansatz (29) auch zu solchen Lösungen, zu denen der Ansatz (6) nicht führt, q. e. d. Freilich sind dabei die von Herrn Schmidt erwähnten Ausnahmefälle nicht berücksichtigt.
Wir werden diese Schlußweise bei den asymptotischen Lösungen nicht wiederholen. Übrigens deckt sich dort der Begriff der nicht entarteten Lösung mit dem der zu j = 1 gehörigen Eigenlösung. Auch vorher könnten wir zwei Stellenzeiger anwenden und es wäre dann auch hier dies der Fall.
VII. Asymptotische Lösungen. Aufstellung der Bedingungsgleicliungen.
Wir gehen zu dem Falle über, wo der charakteristische Exponent nicht reell ist. Es sei
(1) f? = er + r|—1, t^O, a = 0 ^p<q- In der Differentialgleichung
(2) 2 + <p(t)z = X Jj(p n {t)z n ,
n—0
worin
(3) 9>(0 = 2 c k exp(&0'-1),
k— — *>
(4) 9 '„(0= 2 Ci? exp ( le 1f—l ) (»=0,1,...),
7c— — so
sollen die Bedingungen
(5) \c k \£~ (* = 0, ±1,...),
/C
(6) |ci n) |^f: (» = 0,1,...; ¿ = 0, ±1,...)
k
erfüllt sein (statt -jjj- ist 1 zu lesenj ; es soll ferner der Konvergenzradius
CO
der Potenzreihe Y r z n von Null verschieden sein. Dann können wir
J 11
11=0
gleich voraussetzen, daß
(7) i3 = ¿r fl JT 3 "<+oo,
71=0
wenn K eine absolute Konstante bedeutet; sie soll später, bei (42), definiert werden.

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 303
Setzt man den Ansatz
(8) Z = Ê 2 «PK/e + O'Ü-l]»
j =0 i=—a> <1 ^
sowie die Reihen (3) und (4) in die Differentialgleichung (2) ein, so ergibt die Vergleichung der Koeffizienten der darin beiderseits stehenden bedingtperiodischen Reihen die Bedingungsgleichungen
Joo
n—0
je + i\-
[cpz} 00 = X \2 < Pn Zn \
n-0
-Voi+to*]^ x \ Ë<P n z n ] oi ( ¿ = ±1,+ 2, ...),
n=0 JUI
- (i — 1. 2, ...),
(j = 1, 2, ..* = ±1, ± 2, .. .).
Es bedeutet dabei [Q]^ den Koeffizient von exp[(7 g + 1] * n der
bedingtperiodischen Reihe Q.
Offenbar [vgl. (38)] ist [fz]^ eine Linearform derjenigen y, deren erster Stellenzeiger gleich j ist; wir wollen setzen
+ 00
Vo 0 "I" [^^Joo — JL ((¿Oje ^0 7Í) VOTÍ*
k= — Qo
+ CO
>4>í = 2W-á l1t )y 01t (*■= ±1,±2,...),
k= — ao
( 10 ) -■p[v«]jo= S {aol-ä ot )y Jk (/ = 1 ,2,...),
= i=-oo
_ __ + v (Ai) . \
(¿g+y g*—»
(7=1,2,...; i = ± 1, ± 2, ...). Die a sind Konstanten, die durch die c bestimmt sind; <5^=1, sonst
^=0.
Wir setzen ferner
K a =\2<Pn* n ]
00 I Tn Jo0 "
. . n=0
(H)
Ki = (»=±1. ±2, ...)»
?t=0 JU1

304 A. Wintner.
*»— i||r.«*L, (1 = 1,2,...),
(H)
\ 2 V»z n \ U=o iJi
^ ji (je+i\' 2
? + n- ji J
j 1
(j = 1,2,...; i = ± 1, ± 2, ...), die h s ind also gegebene Potenzreihen der y.
Wir können dann das System (9) folgendermaßen zusammenfassen:
(12) 2 a ( ây jli =xh ji (7 = 0, 1, ¿ = 0, ± 1, ...)•
k— — co
Es gelten dabei, wie nachträglich gezeigt werden soll, für alle Werte der Stellenzeiger die Abschätzungen
(13) + £ Z Uu~ô ik \<j£e<+co,
i— —00 Tc= —CO J
(14) ^(1, 1, 1,
J J
VIII. Asymptotische Lösungen. Zerspaltung der Bedingungsgleichungen.
Wir setzen
+ CO
( 15 ) 9ji (•*■, y oo > y oi » yîo > • ■ •) = —J { a n¡ ^iu) yj^ -)- x
k— — co
(j = 0,1, ...; i= 0, ± 1, ...).
Dann ist nach (13) und (14)
(16)^(1,1,1,1,...)! if 2 | off - ô ilc I + Ä yi (1, 1, 1, ...) ^
i— — CO k — — CO J
0 = 0, 1, ...; i = 0, ± 1, ...).
Es bedeute e eine positive Zahl. Nach (16) gibt es ein solches N s , daß
(17) 3^(1,1,1,1,."..)^« (7 = ^ + 1,^+2, ...; ¿ = 0, ±1,...).
Es bedeute j 0 einen festen nicht negativen Stellenzeiger, der nicht größer ist als N e . Nach (13) ist die Matrix |¡ || gewiß normal. Da q ein charakteristischer Exponent ist, so ist der Rang von || a¡l- || größer als Null. Um die Schreibweise zu vereinfachen, setzen wir voraus, daß die iy f + l Matrizen ¡| |[ alle vom Range Eins sind. Es seien
(18) {d joi }; {d 3 i } (j 0 ist fest)

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 305
solche Zahlenfolgen, daß
(19) £ I d ki ¡<+00; JJ I d hi I < + 00 (/„ = 0, 1, .. N,).
i= — CO i— — CO
Setzt man also
( 20 ) aÜ 0> = a& o) - d Joi d jok ,
so sind die N £ + 1 Matrizen || a¡ J k ¡¡ normal. Nach dem Prinzip der Transformation des Kernes können wir (18) derart wählen, daß
(21) ^, = det(«^) + 0 (j o = 0,l,...,N e ). Man hat nach (20)
— 1 a ik Uj„k — 2 a ii° Uj 0 k 2 dj 0 i dj 0 k y kk .
k= — CO k— — co k— — CO
Setzt man also
(22) x jo = - 2 d jok y jok (? 0 = 0,1,..., N„),
k— — co
so hat man nach (12)
(23) 2 cci k yj ok = X hj oi -j- Xj a dj 0 i (j 0 = 0, 1, ..., N e ~, i = 0, + 1, ... ), *=-*>
1 —f— CO -j -j- 00
(24) Kw = *P 2 Ä M « 0o)ii + ^i- 2 dj ok a^ )ki ,
j„k=-x> j'o i= —»
also mit Rücksicht auf (21)
O'o = 0 > 1 > • • • » N e ; i = 0 , ± 1, ... ),
wobei
+ 00
(25) 2 |« wil | = 0(l) 0o = 0, !»-| —+ 00).
k= — co
Bezeichnet man die rechte Seite von (24) durch
(26) **.'> Voo> Von •■■) (0 ^io = ^»)>
so folgt aus (14), (19) und (25) unmittelbar, daß es eine Zahl Z c gibt, derart, daß für | x | ^ 1 , | Xj 0 1 1
(27) \fjoi( X > X i°> 1 ' 1 » • • •) I ^ (I ® I + I X jo\) Ze (0 £j 0 £Ne)
besteht. Setzt man noch der Symmetrie halber
(26)' fji = 9ji ( j>N e ),
so kann man das System (12) in der folgenden gemischten Gestalt darstellen :
(28) Vji-fji (? = 0, 1, ... ; ¿ = 0, ± 1, ... ) •

306 A. Wintner.
Hierbei sind die f.. Potenzreihen der Veränderlichen X ; x 0 , x ± , ..., ; î/oo> 2/oi> 2/io> • • • >
x ist der Parameter der Differentialgleichung (2), die xj o sind durch die Verzweigungsgleichungen (22) definiert; nach (27), (17), (26)' bestehen die Abschätzungen
(29) I fji{x; Xj] \,l, ...)\<L{\x\ + \x.\)Z c (1x1^1,1^1^1; j = 0, 1, .. N £ ; i = 0, ± 1, .. .),
(30) /^(1,1,1,1,...)^
(j = N c + 1 , N e + 2, ...; i = 0, ± 1, .. .)•
IX. Asymptotische Lösungen. Auflösung der Bedingungsgleichungen.
Es sei 0 < # 1. Dann ist nach (29)
(31) V-, 1, 1, ...)£2dZ E (0 £j£N c )
Wir wählen e derart, daß 0 < s ^ 1, legen dann N E und Z, fest und wählen # so, daß 2l)Z c £l. Dann ist nach (30) und (31)
(32) \f j{ \£1 (/ = 0,1,...; » = 0, ± 1, • • •), wenn
(33) \x\£ft-, | íc 0 |^#, \x 1 \<L&, ..., I ZjyJ ^ ■&; \y ji \<=l. Betrachten wir statt (28) das System
(28)'
Da I in die f.. nicht eingeht, und da die b und die M des Hauptsatzes jetzt gleich der Einheit sind, so ist die Zahl min (et; a) dieses Satzes bei dem Systeme (28)' gleich der Einheit. Da also £ = 1 erlaubt ist, so besitzt das System (28) im Bereiche (33) [die x sind jetzt die fx des Hauptsatzes] eine und nur eine Potenzreihenlösung {y i (je; x 0 , ... , x kc )}, derart, daß
(34) I yji(x-, x 0 , ..., x N¡¡ ) I 1. {j = 0, 1,-...; ¿ = 0, ± 1,...).
Wir behandeln endlich die Verzweigungsgleichungen (22), ebenso, wie das in dem fünften Abschnitte angegeben ist. Es ergibt sich so, daß es ein Bereich 33 von x gibt, derart, daß durch das System (9) die y. { also solche analytische Funktionen y j{ {x) definiert werden, daß in jedem Punkte von 58 die Abschätzung
(35) \y ji {x)\£l (j = 0, 1, ...; ¿ = 0, ± 1, ...) besteht.

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
307
Nach (1) hat man t ^O. E s sei z. B. r < 0. Wir setzen dann voraus, daß t ^ 0. Dann hat man für j > 0
(36) I exp [(jQ + i) t J^T] I = I exp [- jxt + {ja + ¿) t f— 1] |
- exp(— jrt) <[ exp(— xt) 1;
es ist also nach (35)
r-i-
exp [(/e + O'J'-i] ^7
i
(j = 0, 1,.. i = 0, ± 1, ...)
und die Reihe (8) ist auf der durch S3 und durch t 0 bestimmten Punktmenge gleichmäßig konvergent.
Definieren wir eine periodische Funktionenschar v(t;x) mittels der [wegen (35) gleichmäßig konvergenten] Fourierreihe
+ 0O
(37) v(t; x) = ^J ^exp (itf— 1),
i— — CO
so ist nach (8), (35) und (36)
I z(t; x)-v(t\ x)\£2J 2J
j= 1 i = - CO
exp [(jg + i)t\— 1]
^exp(-rí) JJ ~
j=l l— — CO
■ 0, t — ► — oo.
Mithin ist (8) eine konvergente Darstellung einer asymptotischen Lösung.
Bei Briot-Bouquetschen Problemen, wo die y rekursiv berechnet werden können, gilt bekanntlich in wenigstens einem Blatte von 58
(37)' v(t ; X ) = 0, doch ist das im allgemeinen nicht wahr.
X. Asymptotische Lösungen. Beweis der Abschätzung (13).
Bedeuten j, i beliebige Stellenzeiger, und nimmt man cp und z aus (3) bzw. (8), so ist
- +CO -fco -f CO
(38) [cpz] ji =
2J C fc exp(¿¿] , -1))^ 7 J] J^-exp[(Ze + fc)¿J— 1]
7" Je
Ä=-00 ' 1 = 0 k=-OO 6 K
+ CO -fco
yj c k exp(&ff-l)) 2] -feoxptOe+ 1]
k=-K k=- xí
+ CO +00
X 7 c k exp (let (—1)) ¿ T %exp(¿íí-1)
J*
3 *
k= — co
Oi

308 A. Wintner.
oder ausführlich geschrieben
+ CO
[9?2]oo= U y 0k >
Je— CO
+ CO
- [<p 2 ]oí= - E V"
Vok
&=-<*>
(39)
+ QO
J*[<pz] j0 = --TTs 2 c -fy jh
* Q J k= — co Ä
O + 00
(ie+i) 2 íé¿ r %
(¿ = + 1, + 2, ..
•),
Die Vergleichung davon mit (10) ergibt
(0) öüo
= c,
o>
(40)
(0) O
a 0Z — ö 0! =
L
„ (0) _ ,S _ _ C '~fc
«Ol- — à 0k -
.vi 7 a
9 J k
($=1,2,...; »=%fcl, ±2, ..
(ï= ± 1, ± 2, .. (i = ± 1, + 2, (7 = 1,2,...),
- <5;* = - (7==% 2,-..; » = ± 1, ± 2,..
Qe + *) fc
(& = 0, ± 1, ...).
Es ist bekanntlich
(41) I
+ CO
rr
T=°( 1)
*=-oo * (t-Ä)
(statt i ist 1 zu lesen) ; es sei X die kleinste solche Zahl, daß
(42) besteht.
I 7
1
{i — 0, ± 1, ...)
Man hat nach (40), (5), (42) für j = 0
+ co 4" CO + 00 + CO
i— CO Jc= —CO
+ CO +00
i= — CO Jc= — CO
+ co
£i + r£ 1 £ i + rx J]
<=-00 *=-00 & (^ & ) <=-00 1

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 309
und für j > 0
-fco +00 +CO + CO +CO
i= —CO lc— —CO k— —CO 1^1 J i —— CO ÎC ——CO
l C/ - k
(je + ifk*
+ CO + CO + CO o
£ rr
\g\-°T + £ k~ l
+ CO
^^ + TK 2J
, œ \ je + i\ '
%— — CO
Um (13) zu beweisen, haben wir uns noch mit der letzten Summe zu beschäftigen. Es ist nach (1)
+ co + co + co
\jß + i\* (j0 + i)*+j*T* (J I + i)' + i' S
4" co
= V I
¿-J V ,\ a .
- + i) +j-r 2
wobei durch v eine gehörig gewählte Restklasse modulo q repräsentiert wird; es gibt nun nur endlich viele solche Summen, und offenbar sind
sie alle < k °° st ' , da q und t 2 feste positive Zahlen bedeuten.
XI. Asymptotische Lösungen. Beweis der Abschätzung (14).
Es ist nach (42)
(43) (i — 0,1,— 0, ± 1,...).
Sind Q t und Q„ solche Funktionen, für welche die Operationen [ ] }i erklärt sind, so sind die letzteren offenbar auch für das Produkt erklärt und wir können (43) folgendermaßen deuten 18 ): Ist
I I ^ tttî. if Q°]ji I ^ ¿ (natürlich für alle j und i),
J j i j i
so ist
Also
J I
w ) Vgl. analoge Anwendungen von (41) bei Riemann, Werke, 2. Aufl. (1892), S. 250 und bei Lütkemeyer, Diss. Göttingen (1902).

310
A. Wintner.
A) Ist I [ Qv]ji I ^ tAs (»' = 1,2,...,»), so ist
3 t
TsUn-l)
3 I
Lv
B) 1st I I ^ TâTi (»' = 1,2), SO ist
3 »
3 *
CO +00
*(*)=*2j U TF^ ex P[0"e +*)'!- 1]
j— o i= — CO J ^
Wir setzen
(8)' und
(4)' Vn( t )= S | c¿ n) | exp (itf— 1)
Í= — co
Dann ist nach A)
(44)
7T2(Î1-1)
\~z"
L " J] t == .2.-2
3 I
Andererseits hat man nach (5) und (4)'
(45)
.7 1
Aus (44) und (45) ergibt sich nach B)
(46)
r TT <2n
[&*"]» á Ai
y t = -2.2
J *
Da (46) nach (45) auch für n= 0 besteht, so ist
+ CO
2 r n K* n
^íñn.g " 0 .... .
»=o 3 »
d. h. nach (7) offenbar (47)
da alle Koeffizienten ^ 0. Es ist also nach (11)
[U ? B Z*]..<-T L „=o " Jj»—»
y»—j *
h
o»
(i, i, i,...)^ ^4
L «. = n J()¿ i
L n = 0 J ;'o
(»= 0, 1, . ..) (» = 1, 2, ...)
(» = 0, 1, ...)
(» = 1, 2,...)
(¿ = 0, ± 1, ...
! iÇo(i.i.i,'..-.)^ier , [i^î"l (j = 1,2,...),

Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 311
und für die übrigen h
I" 2J <Pn *"] n
K(hi, : =o : Ú
j h+±
I ji
\je+J I
ß ^ ü konst
= 2~ ^ i
, . , ..2 . .2 2== .2 2
(jô+î) +J J I J
Anhang.
Zur Hilbertschen Theorie der unendlich vielen Veränderlichen.
Es bedeute {f { (x] y 1 , y 2 , ...)} eine solche Folge von reellen Potenzreihen, daß
(1) ü[fi(a; b,b, ...)]"< + oc, a> 0, 6>0.
i
Es bedeute \\a ik || die Matrix einer reellen beschränkten 20 ) Bilinearform, die eine (eindeutig bestimmte, reelle) beschränkte Reziproke besitzen soll; es bezeichne ||6 jfc || die Matrix der letzteren. — Wir behaupten, daß das nicht lineare System
(2) Ua ik y k (x) = xf i (x; y t {x), y 9 {x), ...)
k
in einem gewissen Intervalle
(3) —ß<x<ß {ß^ a ) eine und nur eine reelle reguläre Lösung besitzt, derart, daß
(4) 2[yi(x)Y < konst, falls (3) erfüllt ist.
Betrachten wir das lineare System
(5) Ua i i c y k = xf i (x;r¡ t) 2 , . .
k
wobei X und die r¡ reelle, den Ungleichungen
(6) \x\ <La; \Vi\^i¡b> ¡la I ^ b ■» • • • genügende Zahlen bedeuten. Man hat nach (1)
(7) 2 [f t (x; 2 < k °nst,
i
falls (6) erfüllt ist. (5) wird nach bekannten Sätzen durch
(8) y i = xl]l>i 1 cfi c (x;v 1 >y> s ,---)
 k
20 ) Vgl. E. Schmidt, Rend. Palermo 25 (1908), S. 74—77.

312 A.
A. Wintner. Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.
yjbh = o( i).
le
Nach bekannten Sätzen ist dabei
(10)
2 y ? < konst,
falls (6) erfüllt ist. Wir setzen
(11) ® ' Vit Vit • • ■ ) Vit Vi' • • • ) •
Das System (2) kann nach (8) und (11) in der Gestalt
(12)
y { {x) = X <P.(x; y 1 [x), */ 2 (x), ...)
geschrieben werden, wobei nach (11), (1) und (9)
(13)
&i(a; b, b, ...) = 0(1).
Nach dem Existenzsatze besitzt also (12) in einem Gebiete (3) eine und nur eine reguläre Lösung; (4) ergibt sich aus (10), da nach dem Existenzsatze \Vi{x)\ ^b; die Realität ergibt sich daraus, daß die Teilsummen der y { (x) aus (12) rekursiv berechnet werden können.
Man beachte, daß die nicht eine gemeinsame Majorente zu besitzen brauchen [vgl. die Andeutungen von Herrn Schmidt 5 )].
Der Fall, wo das System J£a ilc y k = 0 eine endliche Anzahl von
k
linear unabhängigen Eigenlösungen besitzt (Punktspektrum), läßt sich mit Hilfe der Transformation des Kernes auf den regulären Fall zurückführen. Es hängt freilich dann von den Verzweigungsgleichungen ab, ob man zum Schluß Reelles erhält.
In den nicht behandelten Fällen (Häufungsstelle und Streckenspektrum) können analoge Sätze nach Herrn Hellinger 31 ) nicht bestehen.
Wegen Anwendungen verweise ich auf eine Arbeit von Herrn Lichtenstein 22 ), worin auf Grund der Hilbertschen linearen Sätze lineare Differentialgleichungen behandelt werden.
21 ) Diss., Göttingen (1907), S. 20.
22 ) Rend. Palermo 38 (1914), S. 113-166. Vgl. Gött. Nachr. 1919, S. 171.
(Eingegangen am 1. 8. 1925.)

Über den Zusammenhang zwischen den definierenden Gleichungen und der Idealtheorie in algebraischen
Körpern.
(Erste Mitteilung.)
Von
öystein Ore in Oslo.
In den Untersuchungen über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und den höheren Kongruenzen hat Dedekind versucht, die Verbindung zwischen den Idealeigenschaften und den Eigenschaften der definierenden Gleichung eines Körpers zu bestimmen. Seine Untersuchungen sind aber auf Gleichungen von spezieller Form beschränkt und auch für diese erhalten seine Resultate nicht die notwendige Allgemeinheit, indem die sogenannten gemeinsamen außerwesentlichen Diskriminantenteiler auftreten. Bei seinen Untersuchungen über die Verzweigungstheorie der algebraischen Körper wird der Diskriminantensatz unter gleichzeitiger Heranziehung von mehreren erzeugenden Gleichungen erreicht.
Die Kroneckersche Theorie der Ideale mit der Einführung von unabhängigen Variablen als Hilfsgrößen leistet für die Verzweigungstheorie nicht mehr als die Dedekindsche, und man kann daraus auch keine Schlüsse auf die Eigenschaften der definierenden Gleichungen ziehen.
Bei der Henselschen Theorie der Ideale wird der Körper durch 23-adische und 7z>adische Zahlen erweitert, und man erhält in diesem erweiterten Körper durch den Henselschen Hauptsatz direkt einen Zusammenhang zwischen der Primidealzerlegung einer Primzahl und der Zerlegung der definierenden Gleichung im p-adischen Bereiche.
In dieser Arbeit werde ich zeigen, wie man in voller Allgemeinheit den Dedekindschen Gedankengang durchführen kann und wie man sehr natürlich unter Anwendung der Theorie der Primzahlpotenzmoduln für eine feste endliche Potenz p a und ohne Adjunktion von Hilfsgrößen diese Probleme behandeln und lösen kann. Speziell gebe ich eine neue und aus-
Mathematische Annalen. 96. 21

314
0. Ore.
nahmslose Behandlung der Verzweigungstheorie bei den algebraischen Körpern.
Diese Untersuchungen beruhen auf dem folgenden Hauptsatz, der dem Henselschen analog ist:
Wird der Körper durch die irreduzible Gleichung f(x) = 0 definiert, und besteht für f(x ) die Zerlegung in irreduzible Faktoren (mod p"), a > ô -)- 1,
f(x) = f-iWf^x) ... /;.(a;)(modp a ),
wobei der Grad von f¡(x) gleich n i ist, so hat die Primzahl p die Primidealzerlegung
p = Npî' = p n >.
Die Diskriminante von f(x) ist genau durch p s teilbar.
Von diesem Satz ausgehend, behandle ich zunächst die Eigenschaften des Führers; und durch Einführung von neuen Führerbegrifi'en (Partial- führern in bezug auf Primzahlen und Primideale) wird gezeigt, wie sich der Führer zerlegt; es wird auch gezeigt, wie man für die definierende Gleichung eine Normalform angeben kann, wobei alle Partialführer der Primideale gleich Eins werden. Weiter führe ich die Abbildungskörper für die Primideale ein und studiere damit u. a. die Eigenschaften des Index; es ergibt sich daraus eine neue Formel für die Zusammensetzung des Index.
Dann werden die Eigenschaften der Körperdifferente und Körper- diskriminante behandelt und gezeigt, wie man durch Einführung der Supplementzahlen diese Größen ohne Ausnahme bestimmen kann. Die Dedekind- Henselsche Ungleichung für die Differentenexponenten wird unter Anwendung eines einfachen Hilfssatzes in ein paar Zeilen bewiesen; durch diesen Hilfssatz erhält man auch den Lückensatz für die Supplementzahlen, wodurch der sonst übliche Ausnahmefall vollständig erledigt wird. Zuletzt gebe ich einige Existenzsätze für algebraische Körper mit vorgeschriebenen Idealzerlegungen und Differentenexponenten, insofern sie nach den obigen Sätzen mit der Primidealzerlegung verträglich sind; diese Sätze sind auch für mehrere andere Untersuchungen von Bedeutung. Es wird auch hier die genaue obere Grenze der Multiplizität angegeben, womit eine Primzahl in der Diskriminante eines Körpers n- ten Grades aufgehen kann. Ich mache'speziell darauf aufmerksam, daß es unterhalb dieser Grenze Lückenzahlen gibt, welche nicht als Diskriminantenexponenten vorkommen können.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
315
Kapitel I.
Einige Sätze über höhere Kongruenzen für Primzahlpotenzmoduln.
§1-
Ein Hilfssatz.
Die hier gegebene Behandlung der Theorie der algebraischen Zahlen beruht auf der Theorie der höheren Kongruenzen für Primzahlpotenzmoduln, und ich werde daher in diesem Kapitel die notwendigen Theoreme aus diesem Gebiet aufstellen.
Bekanntlich hat die Theorie der höheren Kongruenzen für Primzahlpotenzmoduln nicht denselben einfachen Charakter wie für Primzahlmoduln, und namentlich gilt nicht mehr der Satz von der eindeutigen Zerlegung der Polynome in irreduzible Faktoren. Wie ich aber in Kapitel 2 zeige, wird dieser Satz durch einen anderen Hauptsatz ersetzt.
Es soll zunächst ein wichtiger Hilfssatz entwickelt werden.
Es seien
f(x) = a 0 x n -I- a x x n ~ x + .. • + a n , g (x) = b 0 x m + b 1 X™- 1 + ... + b m
zwei Polynome, wobei hier, wie sonst immer unter Polynom eine ganze rationale Funktion mit ganzen rationalen Koeffizienten verstanden wird. Weiter sei
R = R(f(x), g(x))
die Resultante von f(x) und g{x), wobei R eine ganze rationale Zahl ist. Es wird R 4= 0 angenommen, so daß die Polynome f(x) und g(x) keinen gemeinsamen Faktor haben.
Mit p soll immer eine rationale Primzahl bezeichnet werden. Es sei p" die genaue Potenz, worin p in der Resultante R aufgeht.
Wenn dann F(x) ein beliebiges Polynom vom Grade kleiner als n -f- m ist, also
F{x) = c 0 + c, x"+>»~ s + ... + c n+m _ 1 ,
so soll bewiesen werden, daß man immer solche Polynome f x [x) und g x (x) bestimmen kann, daß
(1) f{x)g 1 (x) + g{x)f 1 {x) = peF(x)( mod p a )
ist, wo a > Q eine beliebige ganze rationale Zahl ist und wo weiter die Grade von /j (x) und g 1 (x) kleiner als n bzw. m sind, also
fi (x) = A 0 X»- 1 + A x x n ~ 2 + ... + A n _ 1
g t (x) — B 0 x™- 1 + B x x m ~ 2 4- ... + B m _ 1 .
21*

31(3
Ö. Ore.
Die Richtigkeit dieser Behauptung beweist man leicht, indem man in
(1) die Produkte ausmultipliziert und die Koeffizienten der entsprechenden Potenzen von x vergleicht. Man erhält so das System von linearen Kongruenzen
a O ß O + ^0-^0 — P e c o
(2) B 0 -\- a 0 B 1 -\- b 1 A 0 + b 0 A 1 V e c i (mod p«)
und man sieht leicht, daß die Determinante dieses Systems gleich R ist. Durch passende Multiplikation mit Unterdeterminanten erhält man aus (2) Kongruenzen von der Form
R A¡ == p^ií ¿ (mod p") (i = O, 1, ... n — 1), RB { = p e mod p a ) (i = 0, 1, .. . m — 1),
w oßi i und H i ganze rationale Zahlen sind, welche als lineare Ausdrücke in den Koeffizienten c f dargestellt werden können. Setzt man nun R = p(.'R\ wobei R' also nicht durch p teilbar ist, kommt
A¡ = R" K¡( mod p a ~ e ),
B { = R" H¡( mod p a ~e),
wobei
R' R" = 1 (mod p a ~e)
ist. Umgekehrt folgt leicht, daß diese Werte von A¡ und B¡ eine Relation von der Form (1) geben.
Wie man auch bemerkt, sind die Koeffizienten A¡ und B¡ (mod p a ~e) eindeutig bestimmt und wenn daher f„(x) und g„ (x) zwei andere Polynome sind, wofür die Gradzahlen kleiner als n, bzw. m sind, und weiter die Kongruenz
f(x)g^(x) + g(x) /" 2 (x) = ps^(a;)(mod p") besteht, so hat man notwendigerweise
fi (®) = U («). vA x ) B |a («)(rnod p"-e).
Diese Resultate können folgendermaßen ausgesprochen werden:
Satz 1. Wenn die Resultante der Polynome fix) und g (x) genau durch p e teilbar ist und weiter F (x) ein gegebenes Polynom vom Grade kleiner als n + m bezeichnet, kann man immer Polynome ( x ) und g^{x) mit Gradzahlen kleiner als n und m so bestimmen, daß
f( x )9i ( x ) + 9 ( x ) fi ( x ) = V o F(x) (mod p a ),
und die Polynome f 1 (x) und g 1 (x) sind dann (mod p a ~ e ) eindeutig bestimmt.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
317
§ 2.
Faktoren (1er Polynome (modjp").
Ein Polynom cp(x) heißt Teiler von einem Polynome f(x ) (mod p a ), wenn eine Kongruenz
f[x) = cp (X) cp 1 (x) (mod p a )
besteht.
Ein Polynom soll reduziert heißen, wenn der Koeffizient der höchsten Potenz von x nicht durch p teilbar ist. Im allgemeinen kann man dann annehmen, daß dieser Koeffizient gleich eins ist.
Im folgenden werden auch nicht-reduzierte Polynome vorkommen, wie ich aber zeige, kann man für solche Polynome einfach eine Normalform (modp") angeben. Es gilt nämlich der Satz:
Satz 2. Es seien in
f{x) = a 0 x n + a x x»- 1 + ... + x r+1 + a n _ r x r +... + «„
alle Koeffizienten a 0 , a lt ..., a n _ r _ 1 durch p teilbar, während a n _ r nicht durch p teilbar ist. Es besteht dann eine Zerlegung
f(x) = g(x) (A -j-ph(x)) (mod p a ),
wobei g ( x ) ein reduziertes Polynom vom Grade r ist, h (x) ist ein Polynom, und A bezeichnet eine durch p nicht teilbare Konstante, und weiter ist diese Zerlegung (modp°) nur in einer Weise ausführbar.
Dieser Satz ist schon von Schönemann 1 ) bewiesen, ich gebe aber hier einen anderen Beweis.
Es besteht die Kongruenz
f{x) = a n _ r {x r + b 1 x r ~i + ... + b r ) = a n _ r g (1 >(x), (mod p),
wenn nur die Zahlen b { so gewählt sind, daß
^i a n-r — a n-r + i ( mod P)
ist, was offenbar immer möglich ist. Daraus folgt, daß man A — a n _ r setzen kann.
Der Satz wird jetzt durch vollständige Induktion bewiesen. Es bestehe die Kongruenz
f(x) = 0 <a-1> (a:) (A +ph {a ~ 1) (x)) (mod p"' 1 )
und nach der Voraussetzung über die Eindeutigkeit kann man dann
<7< a) (x) — g (a ~ 1) (x) + p a ~ l G (x),
A + p h (a) (cc) — A + P A <0-1) (x) -|- p a_1 H(x)
1 ) Th. Schönemann, Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind, Journ. für Math. 32 (1846), S. 93-105, § 54.

318
Ü. Ore.
annehmen. Die Zusatzpolynome G(x) und H(x) werden dadurch bestimmt, daß die Relation
f{x) =- (^ <a_1) (X) + p"- 1 G (X)) (A + p h [a - y) {X) + p a ~ x H [X)) (mod p a ) bestehen muß. Daraus folgt
fix) — g (a ~ l) {x) ( A + ph^'^ix)) = p a ~ 1 (H(x)g ia ~ 1) (x) +AG{x)) (modp°)
oder wenn man
fix) — g {a ~ l) (x) {A + ph^'^ixj) = p"~ 1 F{x)
setzt, erhält man zur Bestimmung von G(x) und H{x)
F{x) = H(x) g {a ^ 1] (x) -f- A G {x) (mod p).
Diese Kongruenz kann aber nur (mod p) in einer eindeutigen Weise befriedigt werden, und zwar indem man F[x) durch gr (a_1) (a;) dividiert,
F(x) = q(x) g( a ~ü(x) + r{x),
wobei also
H(x) = q(x), A G (x) = r (x) (mod p)
wird. Der Satz 2 ist dadurch bewiesen.
Es sei jetzt f(x) ein reduziertes Polynom und weiter
f{x) = f (a:) f^(x) ... f r (x) (mod p a )
eine beliebige Zerlegung von fix) in Faktoren (modp"). Man kann dann nach Satz 2 immer annehmen, daß ein Faktor fix) die Form
fi( x ) = 9i ( x ) {A + V \ ix)) (mod p a )
hat, wobei g¡ix) reduziert ist und die Konstante A { soll nicht durch p teilbar sein. Das Produkt
Q{?) = 9Á x )9Á x ) 9Á X ) ist dann wieder reduziert, und weiter kann man auch
(3) A + pHix) = (^ + ph^x)) ...iA r + ph r ix)) setzen, wobei A nicht durch p teilbar ist. Aus der Kongruenz
fix) = G ix) i A + p H ix)) (mod p a )
schließt man aber
(4) A p Hix) = 1 (mod p a ).
Denn der Grad von G ix) ist, wie man leicht sieht, gleich dem Grade von fix), und wenn es in p Hix) Glieder gäbe, welche nicht (mod p") verschwinden, würden daraus durch Multiplikation mit G ix) Glieder entstehen, welche nicht in fix) enthalten wären. Die Richtigkeit von (4) ist also nachgewiesen.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
319
Aus (3) folgt dann
+ (a:))... {A r + ph r [x)) = 1 (mod p a ),
und daraus leitet man sofort den Satz ab:
Satz 3. Wenn ein reduziertes Polynom (mod p") durch ein Polynom von der Form A -f- p F(x) teilbar ist, gibt es immer ein anderes Polynom B-\-pG(x), so daß
(A 4- p F (x)) (B -f- p G (x)) == 1 (mod p a ).
Solche Polynome A + p F{ x) kann man passend Einheitsteiler (mod p a ) nennen. Man erkennt leicht an Beispielen, daß solche Einheitsteiler für alle a existieren. So ist z. B.
1 + x m pP, ß^Y
ein Einheitsteiler (mod p a ), indem
(1 + x m p ß ) (1 — x m pP) =' 1 (mod p a ).
Ein Polynom <p (x) soll irreduzibel (mod p a ) heißen, wenn cp (x) reduziert ist und außer sich selbst keine reduzierte Teiler (mod p' 1 ) enthält. Aus dem Vorausgehenden folgt einfach, daß jedes reduzierte Polynom in irreduzible Faktoren zerlegt werden kann, ich bemerke aber sofort, daß diese Zerlegung im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist.
Von den unwesentlichen Einheitsteilern wird im folgenden bei der Zerlegung eines reduzierten Polynoms immer abgesehen.
§ 3.
Über den Zusammenhang zwischen den Faktoren (modp a ) íür verschiedene a.
Für die weitere Untersuchung der Zerlegungen der Polynome ist ein Satz, der in anderer Gestalt bereits von Herrn Hensel 2 ) aufgestellt ist, von Wichtigkeit.
Es sei f(x) ein gegebenes, reduziertes Polynom, und weiter D = D ( f{x)) die Diskriminante von f(x). Es wird D =f= 0 vorausgesetzt, d. h. f(x) soll keine mehrfachen Faktoren enthalten; man setzt voraus, daß D genau durch p ô teilbar ist.
Weiter wird angenommen, daß eine Zerlegung
(5) f{x) = f t (x) /- 3 (a:)(mod p ô+l )
besteht, wobei also f x (x) und f\{x) reduziert angenommen werden. Wenn '-) K. Hensel, Theorie der algebraischen Zahlen, Kap. IV, § 3. Leipzig 1908.

320 Ö. Ore.
dann die Resultante R(f 1 (x), ^{x)) genau durch ps teilbar ist, so folgt aus der Relation
D — D (fi( x )) D {f°A x )) R ~f»A x )) ( mod v d+l )
sofort, daß ô 2 g sein muß 3 ).
Man kann nun beweisen, daß man aus der Zerlegung (5) für alle a > ô + 1 eine Zerlegung
(6) f{x)=fi a \x) ft\x) (mod p a ) ableiten kann, wobei
(7) fi"\ x ) = fi (®), f¡" ) (x) = f 2 (x)(modp s -e+ 1 ) ist.
Man beweist auch diesen Satz durch Induktion, indem man
(8) f(x) f= ^(x) f?~ x) (z) (mod p a_1 ) als bewiesen voraussetzt, wobei also auch
(9) f^ c ~ 1) {x) = f 1 {x), / 3 < "~ 1) (x) = f 9 (x) (mod p 6 ~ e+1 )
sein soll. Da, wie schon bemerkt, ô — q ^ q ist, so wird auch die Resultante von (x) und f«""^ (x) genau durch ps teilbar.
Setzt man jetzt
/i (a> 0) = fi al) (®) + P a ^~ e 9i 0), ft\x) = fr i) {x) + p a -^g,(x),
so sind wegen (9) sicher die Kongruenzen (7) erfüllt. Weiter kann man aber die Zusatzfunktionen g 1 (x) und g. 2 {x) so bestimmen, daß auch die Zerlegung (6) besteht. Dazu ist nur erforderlich, daß die Kongruenz
f{x) = f/«- 1 ' (x) f¡ a ~v [x) + p a ~ 1 ~e(g 1 (x) f¡ a ~v ( x ) + g 2 (x) f¡ a ~v (z)) (mod p a )
besteht, indem man bemerkt, daß das Glied
p*°-*-*e gi (x) g^{x)
(modp") verschwindet. Nach (8) kann man aber
p"- 1 F(x) = f(x) — /j <a-1) (:r) f¡ a ~ x) {x)
setzen, so daß man zur Bestimmung von g 1 (x) und g n (z) die Kongruenz
9i( x ) f2 a ~ 1] ( x ) + ff 2 ( x ) f¡ a ~ 1] ( x ) — V a F {x) (modpe +1 )
erhält. Diese Kongruenz ist aber nach Satz 1 immer lösbar, wodurch unsere Behauptung bewiesen ist.
3 ) Es ist von Interesse zu bemerken, daß diese Relation nicht zu bestehen
braucht, wenn man niclit-reduzierte Faktoren (mod j") zuläßt.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
321
Es sei nun
(10) f(x) = f x (x) f^(x)... f r (x) (mod p^ 1 )
eine beliebige Zerlegung von f(x) in reduzierte Faktoren. Es wird vorausgesetzt, daß die Diskriminante D (f¡(x)) eines Faktors genau durch p i¡ teilbar ist, während die Resultante R.. = R (f { (x), fj(x)) genau durch pe¡j teilbar sein soll. Nach einem bekannten Satze über Diskriminanten folgt dann aus (10)
(11) <5 = ¿<5,-+ 2 2 Qij .
i= 1 i>3
Setzt man hier der Kürze wegen
(12) Q'^Uea,
i>J
so geht die Gleichung (11) in
(13) 6 = ¿t î,. + 2e'
i= 1
über.
Unter Anwendung der vorstehenden Untersuchungen folgt dann die Richtigkeit des Satzes :
Besteht für f(x) die Zerlegung (10), so besteht auch für alle «>(5 + 1 eine entsprechende Zerlegung
(14) f(x) = f¡ a) (x) f¡ a) (x) ... f¡ a) (x) (modp«), wobei allgemein
fW{x) = fi(x) (modp' 5 -e'+ 1 ) (» = 1, 2, r).
Man leitet auch mittels dieser Untersuchungen einfach als Spezialfall den Satz von Schönemann 4 ) ab:
Besteht die Zerlegung
f(x) = f % (x) f t (x)... f r (x) (mod p),
wobei die Faktoren f¿(«)(mod p) alle zueinander relativ prim sind, so besteht für alle a eine Zerlegung
f(x) = fl a) (x) f¡ a) (x) ... f r M (x) (mödp a ),
wobei
fW(x) = f{{x) (mod p) (»j§= 1, 2, .. r).
Unter Anwendung dieser Sätze werde ich nun die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren (modp a ) untersuchen.
Aus dem Schönemannschen Satze schließt man sofort, daß eine irreduzible Funktion (modp™) entweder kongruent einer Primfunktion (modp)
4 ) Th. Schönemann, a. a. 0. § 59.

322
Ö. Ore.
oder kongruent einer Potenz einer Primfunktion (modp) ist. Wenn die irreduzible Funktion (modp a ) nämlich verschiedene Primfunktionen (modp) enthielte, so würde sie auch (modj9 a ) reduzibel.
Es sei jetzt (10) eine Zerlegung von f(x) in irreduzible Funktionen, d. h. die Faktoren f { (x) sollen alle (modp' 5+1 ) irreduzibel sein. Die irreduziblen Funktionen f. (x) müssen dann alle voneinander verschieden sein, da sonst die Diskriminante von f(x) nicht genau durch p 6 teilbar sein kann.
Aus einer irreduziblen Funktion f { (x) (mod p s+1 ) erhält man einen entsprechenden Faktor f. {a) (x) in der Zerlegung (14) von f(x) (modp K ). Man kann dann zeigen, daß auch fi a) (x) eine irreduzible Funktion (modp") ist, d. h. die Zerlegung (14) ist eine Zerlegung von f(x) in irreduzible Faktoren (modp a ).
Man hat nämlich bewiesen, daß
f£ a) {x) = f { (x ) (mod p a- e' +1 ) ist. Nach (11) und (12) ist aber
ö^ö-e',
so daß auch die Kongruenz
fM(x) = f t {x) (modp Ä ' +1 )
besteht. Daraus folgt aber, daß fí a) (x) (modp á <' +1 ) irreduzibel sein muß, und also ist (x) um so mehr (modp a ) eine irreduzible Funktion. Das Polynom f f (x) muß nämlich (modp Ä<+1 ) irreduzibel sein, da sonst f { (x) nach dem früher Bewiesenen für alle höheren Potenzen von p, also auch (modj? ä+1 ) reduzibel wäre, gegen die Voraussetzung.
Man kann diese Resultate in einem Satze zusammenfassen:
Satz 4. Zerlegt man das Polynom f(x) in irreduzible Faktoren (mod p ô+1 )
f( x ) — fÁ x )f"A x ) ■ • ■ fÁ x ) (modp á+1 ),
so besteht für alle a > (5 -(-1 eine entsprechende Zerlegung in irreduzible Faktoren (modp a )
f(x) = ff a) (x) f¡ a) (x)... f} a) (x) (mod p a ),
ivobei
fj a) ( x )= /•(») (modp' 5 -e'+ 1 ) (i = 1, 2, ..., r).
Aus diesem Satze folgt, daß die Zahlen und q .. für die entsprechenden Faktoren fj a] (x) dieselben wie für f { (x) sein werden, sie sind also von a unabhängig.
In dem nächsten Kapitel werde ich als Anwendung der Untersuchungen

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
323
über algebraische Zahlen auch einen Hauptsatz über die Mehrdeutigkeitsverhältnisse bei den Zerlegungen (modp a ) geben.
Kapitel II.
Allgemeine Untersuchungen über algebraische Zahlkörper.
§1-
Zwei Hilfssätze.
Es sollen jetzt die Eigenschaften eines algebraischen Zahlkörpers K vom Grade n untersucht werden. Der Körper K wird durch eine ganze algebraische Zahl & definiert, wobei # der irreduziblen Gleichung
(1) f(x) = x n + a 1 x"~ 1 + ... + a n = 0, f(&) = 0 genügt, worin die Koeffizienten a i ganze rationale Zahlen sind.
Alle Zahlen in K werden durch die Zahlen
(2) i^) = c 0 + c 1 tf + ... + c n _ 1 fl n - 1
erzeugt, wenn die c i alle rationalen Werte durchlaufen. Für K kann man bekanntlich auch eine Minimalbasis
(3) m 1 , co 2 , ..co n finden, so daß jede Zahl co in K in der Form
co = b 1 ojj -)- b. 2 co., —[— ... —b n co n
dargestellt werden kann, und wenn co eine ganze Zahl des Körpers ist, so sind alle b { ganze rationale Zahlen. Die Diskriminante einer Minimalbasis heißt die Körperdiskriminante und soll mit d bezeichnet werden.
Alle Zahlen von der Form (2), wobei die Koeffizienten c { ganz rational sind, bilden einen Ring R, d. h. die Summe und Differenz Fi(&) ± und Produkt F 1 (■&) (#) von zwei Zahlen in R ist
wieder in R enthalten.
Es soll zunächst ein einfacher Hilfssatz bewiesen werden. Aus den Eigenschaften der Minimalbasis (3) folgt, daß Gleichungen von der Form
1 = c u m 1 + e„ <w 3 + ... + c ln co n ,
^ 1 ^ == ^21 CD^ —{— CO.2 ¡ . . . —}" C¡ 2 n Cl) n ,
. t) n 1 = c nl C0 1 + c n3 to 2 + ... + c n „ co n bestehen müssen, wobei alle c i( ganz rational sind. Die Determinante
Je = J c¿j J ( i = 1,2,...,«, ^' = 1,2,..., n)

324 0. Ore.
heißt der Index der Zahl #. Wenn D die Diskriminante der Gleichung ( 1 ) ist, so beweist man leicht aus (4), daß die Relation
(5) D = k"d
besteht; es folgt daraus, daß die ganze rationale Zahl k nicht verschwinden kann.
Aus den Gleichungen (4) folgen Relationen von der Form
(6) kco^A^ + A^ + .-. + A^r-i (» = 1 ,2,... n), wobei auch alle A¡j ganz rational sind.
Es sei jetzt der Index k genau durch p" teilbar, so daß man k = p"k' setzen kann, wo k' nicht durch p teilbar ist; der Buchstabe « soll im folgenden immer diese feste Bedeutung haben. Wenn daher a > x eine ganze rationale Zahl ist, so folgt aus (6)leicht, daß die Zahlen p" m i (moàp a ) alle kongruent einer Zahl des Ringes R sind. Daraus sieht man sofort die Richtigkeit des folgenden Satzes ein.
Satz 1. Wenn co eine beliebige ganze Körperzahl ist, so ist immer p"co (mod p a )u > y., kongruent einer Zahl des Ringes R. Dabei kann a beliebig groß gewählt werden, und pbezeichnet die genaue Potenz, worin p in k aufgeht.
Ich beweise auch an dieser Stelle einen anderen wichtigen Hilfssatz. Es soll untersucht werden, wann eine Ringzahl in R durch p " teilbar ist, also die Bedingung dafür, daß eine Kongruenz von der Form
F(fî) = 6 0 + b t & + ... + b n _ 1 #" _1 = 0 (modp a )
besteht. Man ersetzt die Potenzen durch ihre Werte (4) und erhält dadurch die Kongruenzen
K c u + C 3 1 + • • • + &„_! C „1 = 0
&0 C 1 «+ &i C -'n+ ••• + c „„ = 0
(mod p a ).
Die Determinante dieses Systems ist gleich k und man leitet daher daraus die Kongruenzen
kb¡ = 0 (modp a ) (» = 0, 1, ..., n — 1)
ab. Dann wird aber
Ô; = 0 (modp"-") (»'= 0, 1, ..., ft — 1),
und es ist also bewiesen:
Satz 2. Wenn eine Ringzahl Fiti) durch p" teilbar sein soll, müssen alle Koeffizienten b¡ durch p a ~ x teilbar sein, d. h. es besteht die identische Kongruenz
F(x) = 0 (modp a ~*).

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
325
Aus diesem Satze folgt sofort, daß für zwei Ringzahlen F 1 (#) und F ¡1 (&) die Kongruenz
J?i (0) = J, (#) ( mod?;«) nur dann bestehen kann, wenn
F 1 [x) = F 2 (x) (modp" - *).
§ 2.
Beweis des Hauptsatzes.
Es soll nun die erste Hauptaufgabe behandelt werden: Man soll den Zusammenhang zwischen der Form des Polynoms f(x) und der Prim- idealzerlegung einer Primzahl p untersuchen.
Es sei
(7) f(x) = f x (x) f„ («)... f^x) (mod p a )
eine Zerlegung von f(x) in irreduzible Faktoren (mod p a ), wobei a ô -f- 1 vorausgesetzt wird, wenn wie früher die Gleichungsdiskriminante D von f(x) genau durch p s teilbar ist. Nach Kap. 1 kann man annehmen, daß die Faktoren f { (x) reduziert sind; die Grade der Faktoren sollen mit
(8) n lt n,, ..., n r bezeichnet werden, wobei natürlich
(9) n 1 + » 2 +... + » r = »
ist.
Aus ( 1 ) und ( 7 ) folgt für x = & die Kongruenz
(10) fiW/iW-./fW^Otmodp»),
und daraus schließt man, daß die Zahlen mit p gewisse gemeinsame
Idealteiler besitzen müssen.
Es sei wie in Kap. 1 die Resultante von zwei irreduziblen Funktionen fi(x) und f (x) genau durch p e 'J teilbar, während die Diskriminante D i von f { (x) genau durch p 5¡ teilbar sein soll; zwischen den Zahlen q i - und ô { besteht dann die Relation (11) Kap. 1. Nach Satz 1, Kap. 1, kann man nun solche Polynome A {j (x) und B ii (x) bestimmen, daß
(11) Afj ( x) fi ( x ) + B {j ( x ) fj ( x ) = p e 'i ( : mod p « ).
Wenn dann £ ein beliebiges Primideal ist, das in p aufgeht, so wird vorausgesetzt, daß die Zahl /"¿(0) genau durch p''' teilbar ist; die Zahl y i soll die charakteristische Zahl des Primideals p in bezug auf f { (x) heißen. Geht das Primideal p in p genau in der Potenz p" auf, so folgt

326 0. Ore.
aus (11), wenn man x=ê setzt, daß nicht zugleich y { und y. größer als e Q-j sein kann. Wenn daher y i die größte unter den Zahlen
( 12 ) 7i> JV • ••> ?V
ist, so hat man für die anderen charakteristischen Zahlen, wie man aus (11) für X = û sieht, die Ungleichungen
( 13 ) 7j = e Qij > (» + j) welche auch bestehen, wenn es unter den Zahlen (12) mehrere größte gibt.
Aus (10) folgt aber leicht die Ungleichung
7l + 7<i + ■■■ + 7r^ ea >
und daher nach (13)
y i ~ J r e (0ii + • • • + Qi,i-i + Qi.i+i + • • • + Q ir ) > ea,
oder
yi>e(a- 6i i - ... - Q iti _ x - Q i i+1 - ... - Q{r ).
Setzt man wie in Kap. 1
(14) Q'-Zqíp
i>J
so ist
S' ^ Su + • • • + Qi t i- 1 + 6{.i+ 1 + • • • + Q ir >
und daher
(15) . y^ e{a — q').
Nach der Relation (13) Kap. 1 schließt man daher, daß es für jedes Primid eal p, das in p aufgeht, eine einzige größte charakteristische Zahl y i gibt, während für alle anderen die Ungleichungen (13) bestehen.
Dies soll im folgenden kurz so ausgedrückt werden, daß das Primideal p zur irreduziblen Funktion f.(x) gehört.
Es ist also bewiesen, daß jedes Primideal p zu einer einzigen irreduziblen Funktion / - i (x)(modj) a ) gehört. Es soll nun bewiesen werden, daß es auch zu jeder irreduziblen Funktion f { {x) mindestens ein zugehöriges Primideal gibt.
Wenn nämlich dies nicht der Fall wäre, so würde also für ein i die Zahl ffij}) für jeden Primidealteiler p von p nur durch !p y ' teilbar sein, wobei
y i £ e Qij (?+*)
wäre, wenn p zur irreduziblen Funktion fj{x) gehöre. Daraus fo'lgt aber nach (10), daß die Zahl

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
327
für alle Primideale durch p e<0: e,J \ also auch durch p c( " e) teilbar würde. Es muß daher die Kongruenz
fiW- • -Ü-iWfi+iW-- -frW = 0 (modp—e') bestehen. Wird aber darauf der Satz 2, Kap. 2, angewandt, so folgt die identische Kongruenz
= ° (modp«-«'-"),
welche aber nicht bestehen kann, indem die linke Seite nicht durch p teilbar ist. Man muß also
a ^ Q' + X
haben, was auch nicht möglich ist, indem a ^ ô + 1 und nach (13) Kap. 1
Ô Ô
folgt q '^ 2 unc ^ ebenso nach (5)
Unsere Behauptung ist also bewiesen.
Es sollen nun genauer die Eigenschaften eines Primideals £ studiert werden, das zur irreduziblen Funktion f { (x) gehört.
Nach dem Satze 4, Kap. 1, kann man aus (7) eine entsprechende Zerl egung von f[x ) in irreduzible Faktoren für alle Moduln (modp^) ß > a bestimmen,
f(x) = fi ß) (x) fi ß) (x).. . fr ß) (x) (mod <p ß ),
wobei allgemein
/f'O) = fi(x) (modp"~ e ).
Für die Faktoren fi ß \x) erhält man daher dieselben Zahlen q { . und ö i wie für die entsprechenden f { (x). Weiter werden auch die charakteristischen Zahlen für ein Primideal £ nicht geändert; nur wenn p zur irreduziblen Funktion f\ (x) gehört, so wird die entsprechende charakteristische Zahl y. für fi ß) (x) mit ß beliebig groß, indem man nach (15)-
Yi^ e iß - Q) hat, d. h. es besteht die Kongruenz
(16) fi ß) W= 0 (mod*)^-^).
Es soll jetzt untersucht werden, wann eine Ringzahl F(ft) durch eine Potenz von £ teilbar sein kann, der Einfachheit wegen wird vorausgesetzt, daß der Exponent ein Multiplum von e ist, d. h. man soll untersuchen, wann F(&) durch p ey teilbar sein kann.
Für jedes y gibt es sicher Polynome 6? y (a;)EjE0 (modp), wofür die Kongruenz
(17) G-/W — 0 (modp e '')

328
Ö. Ore.
erfüllt ist. Denn nach (16) hat sicher f^(x) diese Eigenschaft, wenn nur ß^ty-\-o' gewählt wird. Unter den Polynomen G r (x), wofür die Kongruenz (17) erfüllt ist, gibt es sicher solche, wofür der Grad möglichst klein wird und der Grad von einem solchen Polynome ist gewiß <¡71,-. Man kann auch annehmen, daß ein solches Polynom reduziert ist. Denn im entgegengesetzten Falle kann man nach Satz 2, Kap. 1, G y (x) in die Form
G y (x) = Fy(z) (A + P Hy (x)) (modpi')
schreiben, wobei F y (x) reduziert und die Zahl A nicht durch p teilbar ist. Da die Zahl A-\-pHy(ë) nicht durch p teilbar ist, enthält F y (#) auch die Potenz und man kann daher G.,{x) durch das reduzierte F v (x) ersetzen.
Der Grad m y eines solchen Polynoms F y (x ) wird natürlich von y abhängen und mit y wachsen oder jedenfalls nicht abnehmen. Da aber m y w,- ist, so folgt, daß es ein y 0 gibt, so daß, wenn y > y 0 ist, der Grad von F r (x) von y unabhängig und also gleich m yo wird. Man kann aber dann zeigen, daß m Y ^ — n i ist. Denn dividiert man fW{x) durch Fy(x), so erhält man
(18) ff)[x)= Q(x)F y (x) + R(x) (y>y 0 , ß>y + Q r ),
woraus für x = ■& folgt, daß die Zahl R (ß : ) auch durch p"? teilbar ist. Da aber der Grad von R[x) kleiner als m,. 0 ist, müssen in R{x) alle Koeffizienten durch p teilbar sein, so daß man
(19) R(x) = p'-R } (x), R 1 (x)=^ 0 (modp),
setzen kann. Die Zahl R 1 (ê) wird also durch p e <y-V teilbar, und dies ist nur möglich, wenn
e(y-X)<ey 0
ist, also
¿>r — y 0 -
Wählt man nun y so groß, daß y — y 0 ô -f- 1 und also 1 > ô + 1 ist, so folgt aus (19) und (18)
f!®(x) = Q(x)Fy(x) (mod p 5+1 ).
Diese Kongruenz ist aber nicht möglich, außer wenn Q (x) = 1 (modp á+:l ) ist, indem (x) (modp â+1 ) eine irreduzible Funktion ist; man hat also m.y = my 0 — n i , wenn y > y 0 ist. Allgemeiner sieht man ein, daß immer die Kongruenz
Fy(x) = fl ß) {x) (modp>'-''°) (ß y + q ')
besteht.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 329
Wenn nun eine beliebige Ringzahl F (■&) durch p c , y > y 0 teilbar sein soll, kann man F(x) durch f.W ( x ) dividieren,
(20) F(x)=Q{x)f$(x)+R{x) (ß^Y + Q')>
und für x — d- folgt daraus, daß R(J)) durch p e r teilbar ist, woraus man wie früher R[x) = 0 (mod pY-Y°) schließt, so daß nach (20) die Kongruenz
F(x) = Q (x)fl ß) (x) (moAp r ~ y °) besteht. Man kann daher sagen:
Wenn eine Ringzahl F (ft) durch teilbar sein soll, so besteht die identische Kongruenz
F{x) = 0 (moddp'' _, '°, f¡ P) (x)).
Daraus folgt weiter einfach, daß, wenn für zwei Ringzahlen F 1 (■&) und F„ (ß) die Kongruenz
i F„(&)(mod\)<y) bestehen soll, so hat man identisch
fi ( x ); = f 2 (x) (moddp 1 ' - '' 0 , f- ß) (x)).
Aus der letzten Bemerkung kann man eine sehr wichtige Eigenschaft des Primideals p herleiten. Da es nämlich unter den Polynomen F (x) (modd p v ~ y °, fi (x)) genau p n ' (: '~' /o) verschiedene Reste gibt, so gibt es auch mindestens p«t(r-vo) verschiedene Ringzahlen für den Modul p c ''.
Andererseits kann man eine beliebige Körperzahl a> nach § 1 immer in der Form
F(&)
œ ~ k
schreiben, wobei F(&) eine Ringzahl und k der Index ist. Wenn dann co durch p e r teilbar sein soll, muß also F(&) durch £«<>•+") teilbar sein. Dies ist aber, wie man leicht bemerkt, sicher der Fall, wenn
F(x) = 0 (modd p y+y ', fl ß> (x)) (ß > y + x +g')
ist. Da es für den Doppelmodul (moddp > ' +íí , fl ß) (x)) genau p ni ^ +,<) verschiedene Reste gibt, so wird es im Körper höchstens p n 'G , .+*> verschiedene Zahlen (mod£> e '') geben.
Wenn nun der Grad von p gleich f ist, so wird
A^pey) = pefr und man hat daher die Ungleichungen
pniiy-Yo) < rpefy < pni(y+x)
oder auch
n i(r — Yo)^ e fr Ú n i(r + x )y
Mathematische Annalen. 96. 22

330 Ö. Ore.
woraus folgt, wenn man durch y dividiert
n > (l — ^f) = e ^ = n i (l + y-) •
Da man hier y beliebig groß machen kann, so wird daraus folgen, daß n • beliebig nahe an ef kommt, und da es sich um ganze rationale Zahlen handelt, erhält man folglich die wichtige Gleichung
(21) ef=n i .
Unter Anwendung der Gleichung (21) kann man nun die wichtige Tatsache beweisen, daß es für jede irreduzible Funktion f { (x) nur ein einziges zugehöriges Primideal gibt. Denn wie schon bewiesen, gibt es jedenfalls zu jedem f { {x) ein entsprechendes p it und wenn Ordnung und Grad von mit e { und bezeichnet werden, so ist nach (21) e i f i — n i . Wenn man dann das Ideal
p' = t>í'í>!' ... P r er bildet, so ist sicher p' ein Teiler von p. Da aber
r r
2e t f, En,
N p' = p l ~ l = p 1 - 1 — p n
ist, so muß man auch p' = p haben, d. h. es kann für jedes f^x) nur das einzige p. geben. Es ist daher der folgende Hauptsatz bewiesen:
Satz 3. Besteht für f(x) die Zerlegung in irreduzible Faktoren (mod p a ), a ^ <5 -f 1 >
f{x) = f y (»)/;(«)... f r {x) (mod|?),
wobei der Grad von f¡ (x) gleich n i ist, so hat die Primzahl p in R die Primidealzerlegung
p = p* p^... p r e r,
ivobei
N (Pf) = P ni -
§3.
Anwendungen des Hauptsatzes.
Es werden im folgenden die Bezeichnungen angewandt: Die Primzahl p soll die Primidealzerlegung
(22) p = pp ... p r e r, Np { = pf'
haben. Wenn dann
f(x) = f x {x) f 2 (x)... f r (x) (mod p a ) («><5 + 1)

Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 331
eine Zerlegung von f(x) in irreduzible Faktoren (mod p") ist, so hat man also
(23) e ¡ fi = n i,
wenn n¡ der Grad von f¡(x) ist. Wenn weiter die Zahl /'.(/>) genau durch pi'j teilbar ist, so heißt die charakteristische Zahl von 1)(x) in bezug auf p ; . Es bestehen dann nach § 2 die Ungleichungen
(* + *)»
während die Zahl nach (15) sicher durch teilbar ist.
Man kann nun genauer angeben, wann eine Ringzahl F(ß), i^(x)^ü (modp) durch eine Potenz teilbar ist. Nimmt man nämlich zuerst an, daß der Grad von F(x ) kleiner als n i ist, so bildet man die Zahl
/f > (#)... /&(#) F(fi) f& (#)... ff (0) (ß>y + Q ').
Diese Zahl ist sicher durch \>t n teilbar, während jedes von p ( . verschiedene Primideal ^ sicher in der Potenz pp r vorkommt. Man hat daher
ff (#)... A-a W F(fi) f¡í\ (#)... ff (ft) = 0 (mod pr) woraus nach Satz 2
/i (/?) («)••• A-1 0*0 ^(«) A+'i 0*0 •• • ff 0*0 = 0 (mod p r—)
folgt. Diese letzte Kongruenz ist aber nur möglich, wenn man
F(x) = 0 (mod py~")
hat. Im allgemeinen Falle, wo der Grad von F(x) größer als n- ist, folgt dann leicht wie früher aus der Kongruenz
F (ft) ^ 0 (mod pi' y )
die identische Kongruenz
F(x) = 0 (modd p y ~", ff(x)) (ß y + £>').
Satz 4. Wenn eine Ringzahl F (ft) durch p¡ ir teilbar sein soll, muß das Polynom F(x) (mod p r ~") durch ff (x), ß y + q', teilbar sein.
Man kann auch eine wichtige Anwendung von diesem Satze auf die Theorie der höheren Kongruenzen für Primzahlpotenzmoduln geben. Es seien
(24) f(x) = ff (x) ff (x)... ff (x) (modp") («^¿ + 1),
= vfix) <pf(#)• ■ ■
zwei Zerlegungen von dem Polynome f(x) in irreduzible Faktoren (modp a ). Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung von p in Primideale folgt dann
22*

332
0. Ore.
zunächst, daß r — s sein muß. Weiter wird ein Primideal zu den beiden irreduziblen Faktoren cp¡ a) (x) und f¡ a) (x) derart gehören, daß
/f'(tf) == 0 (mod p¿ i(a ~ e) ),
<p¡ a) (ft) = 0 (mod $i l(a ~ e ')
ist, wobei q " für die zweite Zerlegung (24) dieselbe Bedeutung wie q ' für die erste hat. Nach (23) folgt, daß sowohl f¡ a) (x) als cp\"\x) vom Grade n i ist. Man kann nun, was unwesentlich ist, o" q' voraussetzen.
Dann folgt nach Satz 4, daß <pi a) ( x ) (niodp" - ' 1 d urc h f¡ a \x) teilbar
Ô Ô
sein muß. Da aber x ^ -g-, q" ist, so folgt daraus einfach
fi a) (x) = <pi a) (x) (mod p a ~ s ).
Es ist daher bewiesen:
Satz 5. Zerlegt man ein irreduzibles Polynom f(x) in irreduzible Faktoren (mod p a ), so ist diese Zerlegung (moàp a ~ s ) eindeutig, d. h. wenn zivei Zerlegungen
m^n a) (x)ft ) {x)...fi a) (x)
(mod» a )
= <pi" (x)cpi" (x). ..<p¡. a (x)
bestehen, so ist r = s und für alle i = 1, 2,..., r
(fi l) (x) = fi a) (x) (mod p a ~ s ).
Dieser Satz kann natürlich auch direkt, ohne Anwendung der Theorie der algebraischen Zahlen bewiesen werden.
Kapitel III.
Über die Eigenschaften von Diskriminanten und Differenten.
§1.
Über Führer.
Wie schon in Kap. II § 1 bemerkt, bilden die Zahlen
(1) i2(#) = a 0 Oj#+ ..■. +a n _ i \
wobei die a i ganz rational sind, einen Ring, d. h. die Summe, Differenz und Produkt von zwei solchen Zahlen hat wieder dieselbe Form. Im allgemeinen werden nicht alle ganze Körperzahlen zum Ringe gehören; wenn aber k den Index der Zahl ß bezeichnet, so folgt aus Kap. II § 1 leicht, daß wenn co eine ganze Körperzahl ist, so wird
(2) kco = A (ft) eine Ringzahl.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
333
Alle Zahlen cp des Körpers, welche die Eigenschaft haben, daß für jedes co das Produkt
(3) (o<p = A{&)
eine Ringzahl wird, bilden, wie man leicht sieht, ein Ideal f, das nach Dedekind der Führer des Ringes heißt. Aus (2) folgt sofort, daß f ein Teiler von k sein muß. Setzt man in (3) co = 1, so folgt, daß alle Zahlen in f auch dem Ringe angehören.
Die Zahl /■'(#) heißt die Différente der Zahl und es ist dann
(4) D=±N(f'(#)),
wobei D die Gleichungsdiskriminante von der Gleichung f(x) — 0 ist. Man beweist dann weiter leicht, daß eine Relation
(5) fW = f-b
besteht, wo das Ideal b von der speziellen Wahl der Zahl § unabhängig ist. Das Ideal b heißt die Différente des Körpers und hat die wichtige Eigenschaft, daß
(6) N(b) = \d\,
wobei d die Körperdiskriminante ist.
Man kann nun weitere Führerbegriffe einführen, indem man die Bedingung (3) durch entsprechende Kongruenzen ersetzt. So bilden alle ganzen Zahlen cp ¿ a) mit der Eigenschaft, daß für alle co die Kongruenz
m cpy a) = A (#) ( mod p a )
besteht, ein Ideal f'p\ das sicher ein Teiler von f wird.
Das Ideal f¿ n) wird natürlich von cc abhängig, aber man kann zeigen, daß wenn nur a oberhalb einer bestimmten Grenze liegt, so wird f¿ K> von « unabhängig, und zwar hat man
(7) f P = r = U a) («>*),
wenn wie früher der Index k genau durch p" teilbar ist. Dies folgt einfach aus der Tatsache, daß wenn eine Kongruenz
(8) co = P* (■&) (mod p")
gilt, so kann man auch ein Polynom P a (x ) so bestimmen, daß
co e= P a (&) (modp a ) (cc > x)
wird. Aus (8) folgt nämlich sofort
co = P K (#) + p x co x ,
wobei m 1 wieder eine ganze Zahl ist, und daher ist nach Satz 1 Kap. II auch p"co 1 (mod p") kongruent einer Ringzahl.

334
Ö. Ore.
Das von cc unabhängige Ideal f in (7) soll der Führer des Ringes in bezug auf p heißen, und wenn co eine Körperzahl ist, und cp eine Zahl in fp, so besteht immer eine Kongruenz
cocp = P (•#) (rnodp"),
wobei a beliebig groß gewählt werden kann.
Da nach Satz 1 Kap. II immer p" co (modp a ) kongruent einer Ringzahl ist, so wird immer ein Teiler von p" und kann daher nur solche Primideale enthalten, welche in p aufgehen. Wenn p nicht in k aufgeht, ist p* = 1 und man erhält daher auch f = 1. Die Ideale f p werden also nur dann vom Einheitsideale verschieden, wenn p ein Teiler von k ist. Man beweist nun:
Satz 1. Der Führer f ist gleich dem Produkte aller Führer f j)5 wobei p die Primzahlteiler von k durchläuft, also
\=n\ r
*/p
Zunächst folgt aus einer Gleichung (3), daß auch die entsprechenden Kongruenzen für alle Moduln bestehen, so daß eine Zahl cp in f auch zu allen Idealen gehört, und also, da die zueinander teilerfremd sind, auch zu ihrem Produkt, f muß daher durch das Produkt ]Jf ;i teilbar sein.
Wenn aber umgekehrt cp eine Zahl des Ideals J[ f ist, so besteht auch immer eine Kongruenz
œcp = P p ($) (mod p a ),
oder
(9) co<p = P p (&) + p a co p .
Für eine andere Primzahl q folgt entsprechend, daß co cp und daher auch nach (9) p a co ¡t (mod qß) eine Zahl des Ringes wird. Dann wird also auch co (mod qß) eine Zahl des Ringes und man erhält aus (9) eine Gleichung von der Form
m y = + p" q ß
Ebenso zeigt man allgemein, daß wenn p,q,...,r die verschiedenen Primzahlteiler von k sind, so besteht eine Gleichung
m cp = P p ,„ r (&) + p a qß .. .r? coj, ¡q r .
Da hier das letzte Glied durch k teilbar wird, so muß co cp auch selbst eine Zahl des Ringes sein und daher zu f gehören.
Zuletzt erwähne ich noch einen weiteren Führerbegriff. Wenn p ein Primideal ist, das in p genau in der Potenz p" aufgeht, so kann man = setzen, wo q nicht durch teilbar ist. Die Zahlen cp, wofür immer eine Kongruenz
wcp = P (#) (modp")

Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 335
besteht, bilden ein Ideal j^ a . Man zeigt auch hier leicht, daß wenn u>ex ist, fp = jy*' von a unabhängig wird. Dies folgt, indem man beweist, daß man aus einer Kongruenz
(10) m = P e ,.X&) (mod p e ")
eine Kongruenz
co = P a (#) (modp a )
ableiten kann. Man kann nämlich immer eine solche Zahl y> bestimmen, daß die Kongruenzen
y = 1 (modp"), tp = 0 (modq")
erfüllt sind, und wenn man dann (10) mit ip multipliziert, erhält man eine Kongruenz von der Form
co =P ex (ê)-{-p x m (modp«),
woraus nach Satz 1, Kap. II folgt, daß co (mod £>") kongruent einer Ringzahl ist.
Das Ideal heißt der Führer des Ringes in bezug auf p, und wenn cp e ine Zahl in f p ist, so besteht für alle ganze Körperzahlen m eine Kongruenz
cocp = P (#) (mod p a ),
wo « beliebig groß gewählt werden kann. Wie oben zeigt man leicht, daß jede durch p e " teilbare Zahl ( mod p") zum Ringe gehört, so daß jp ein Teiler von p e " und folglich auch eine Potenz von p sein muß.
Ich werde jetzt den Zusammenhang zwischen den Führern und dem entsprechenden Primzahlführer f ermitteln. Es sei die Primidealzerlegung von p durch (22), Kap. II gegeben, und da f P( . eine Potenz von ist, kann man
(11) f Pt = P i "
setzen.
Es werden nun die allgemeinen Bezeichnungen des Kapitels II angewandt, und die charakteristischen Zahlen des Primideals sind daher
7u> •••> 7 ir - Man setzt
(12) 7i = 7n + • • • + 7i,i- 1 + 7ÏU+1 +> • • +• 7i, V und nach der Definition der Zahlen y, . ist dann die Zahl
n iW=flW ■■■ fi-lWfi + lW ■■■ frW
genau durch teilbar.
Da alle durch \)Ji teilbaren Körperzahlen kongruent einer Ringzahl

336
Ö. Ore.
(mod p..") sind, so wird es auch im Ringe e i f i = n i durch p. r <' teilbare Zahlen
so geben, daß sie ein Fundamentalsystem für (modp.") bilden 5 ), d.h. jede durch teilbare Zahl co läßt sich (mod^" 1 ) kongruent einer Summe
co e- a® (ê) + a® R® (fi) + ... + (mod ft 0 )
schreiben, wobei die Zahlen aj l> alle ganz rational sind.
Bildet man dann weiter das System von n Zahlen
= (¿=1 ,2,. i = 1, 2, r),
so sind diese Zahlen, wie man leicht sieht, ein Fundamentalsystem in bezug auf p für ein Ideal
a ;
= ïiï T 7 '
Í= 1
d. h. jede durch a teilbare Zahl kann in der Form
m = a®K it j {■&) (mod p")
iyj
dargestellt werden, wobei alle af ganz rational sind. Da alle Zahlen K i j('&) zum Ringe gehören, so folgt, daß f ein Teiler von a sein muß.
Man kann aber zeigen, daß a = f ist, indem man beweist, daß kein Primideal in f in einer kleineren Potenz als i> y . ,+T ' vorko mm t Es soll
~ i
nun bewiesen werden, daß nicht alle Zahlen im Ideale (modp«) zum
Ringe gehören. Man kann nämlich eine solche Ringzahl F(&) finden, daß sie genau durch teilbar ist, und weiter kann man auch voraussetzen, daß der Grad von F(x) kleiner als n i ist. Weiter kann man auch F(x) so wählen, daß F(x) ^ 0 (modp) wird, indem sonst, wie man leicht sieht, jede durch ■pi'" -1 teilbare Zahl kongruent einer Ringzahl (mod ^') wurde. Wenn man dann die Zahl
m
bildet, so ist, wie man leicht sieht, co eine ganze Zahl, welche zum
Ideale — gehört. Es kann aber keine Kongruenz Vi
CO = n t (#) = F 1 (0) (mod p«)
bestehen, indem sonst nach Kap. II, Satz 2 die identische Kongruenz n i (x)F(x) = pF,(x) (mod p a ~ x )
5 ) Man sehe meine Arbeit: Ö. Ore, Bestimmung der Différente eines algebraischen
Zahlkörpers, §1, Acta Math. 46 (1925), S. 365-392.
La. -

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
337
bestehen würde, was nach den Voraussetzungen über F(x) nicht möglich ist. Es folgt daher
Satz 2. Der Führer f des Ringes ist durch die Formel
f ,-íyr'
1=1
bestimmt.
Es sei wie früher e i und f. die Ordnung bzw. Gradzahl eines Primideals pj. Wenn dann <p(x) (modp) eine beliebige Primfunktion /¿-ten Grades ist, so zeigt man leicht "), daß man in K eine solche ganze Zahl o> finden kann, daß cp(co) genau durch die erste Potenz von teilbar ist, während keine anderen Primidealteiler von p in <p(co) aufgehen. Es soll nun die Gleichung F(x) = 0 untersucht werden, welcher die Zahl o> genügt. Es folgt sofort, daß man
F(x) = n (x) (p(x) e (mod p)
haben muß, wobei 7i(a;)(mod p) nicht durch cp (x) teilbar ist. Daraus folgt aber weiter aus dem Satze von Schönemann (Kap. I, § 3), daß für alle a auch eine Zerlegung
F(x) = n(x) 0 (x) (mod p a )
bestehen muß, wobei
n (x) = jt(x), 0 (x) = cp (x) e (mod p)
ist. Das Primideal entspricht also im Sinne des Hauptsatzes dem Faktor <P(x), der (modp") für u > % irreduzibel werden muß. Aus
n,- — e ; fi = ef-
I I I l 1 1
folgt dann sofort e = e i , und man kann daher
&(x) = <p(x) eiJ r pMix)
setzen. Nach dem Hauptsatze wird auch die Zahl í>(tu) durch beliebig hohe, nur von u abhängige Potenzen von teilbar, und daraus folgt leicht, daß die Zahl M(co) nicht durch \) i teilbar ist, d. h. M{x) ist (mod p) nicht durch <p (x) teilbar. Man kann dies folgendermaßen ausdrücken :
Satz 3. Es sei m eine ganze Körperzahl, welche der Gleichung Fix) = 0 genügt. Man kann dann m so bestimmen, daß für ein bestimmtes Primideal der entsprechende irreduzible Faktor F { (x) von F(x) (mod p a ) die Form
F i{ x ) = <p{x~) e ' + pM(x)
6 ) Man sehe z. B. D. Hilbert, Zahlenbericht § 9. Jahresber. d. Deutschen Mathematikervereinigung 4 (1894).

338
Ö. Ore.
erhält, wobei <p(x) ( mod p) eine Primfunktion ten Grades ist, M (x) (modp) nicht durch cp (x) teilbar ist, und weiter die übrigen irreduziblen Faktoren F-{x) (j =(= i) von F(x) nicht (mod p) durch cp (x) teilbar sind.
An einer späteren Stelle werde ich zeigen, wie man im vorgelegten Falle wirklich eine solche Zahl w finden kann. Aus den Eigenschaften von co folgt sofort, daß man das Primideal ^ immer in der Normalform
Pi = (P> <PÍ™))
darstellen kann.
Man sieht nun leicht ein, da cp(co ) nur die erste Potenz von enthält, daß die Zahlen
w r (p(a>y (r = 0,1, f t — l; s = 0,l,..., ßj—1)
ein Fundamentalsystem für die Potenzen von ^ bilden, d. h. jede Körperzahl ist (modp?) kongruent einem linearen Ausdrucke mit ganzen rationalen Koeffizienten von diesen Zahlen. Daher ist jede Körperzahl (modp?) kongruent einer Ringzahl, d. h. der Partialfiihrer des Ringes R(oj) in bezug auf p t . ist gleich dem Einheitsideal.
Aus Satz 3 folgt weiter, daß alle charakteristischen Zahlen in bezug auf verschwinden, es ist also
7il = • • • = g; <-i = Vi, i + l = • • • = Yi,r = 0 .
woraus nach (12) y t = 0 folgt. Aus den Sätzen 2 und 3 schließt man dann weiter, daß der Führer f von R ( oj) nicht durch p i teilbar ist, woraus nach (5) sofort der bekannte Satz folgt:
Die Körperdif fer ente ist der größte gemeinsame Faktor von den Dif- ferenten der Zahlen des Körpers.
Man kann auch in jedem Körper eine solche Zahl 0 bestimmen, daß alle Partialführer Einheitsideale werden. Denn es ist zunächst möglich, O so zu bestimmen 7 ), daß für alle i die Zahl (p¿{&) genau durch die erste Potenz von ^ teilbar wird, wobei allgemein (p^x) (modp) eine Primfunktion vom Grade ist. Diese Primfunktion kann übrigens beliebig gewählt werden, wenn sie nur vom Grade ist. Der entsprechende
') Unter Anwendung der Methode, die ich in meiner Arbeit: Weitere Untersuchungen zur Theorie der algebraischen Körper, Acta Math. 45 (1924), S. 145 —160 benutzt habe, zeigt man leicht die Richtigkeit des folgenden Hilfssatzes, den ich auch später anwenden werde:
Man kann immer eine solche Zahl a> des Körpers bestimmen, daß eine Zahl <p i (co) genau durch p! 1 ' teilbar wird. Dabei bedeutet <p i (x) eine Primfunktion (mod p) f { - ten Grades, und die q> i (x) können, wenn mehrere Primideale von demselben Grade f i existieren, beliebig, gleich oder verschieden unter den Primfunktionen /"¿-ten Grades gewählt werden. Die Zahlen li¡ können beliebig gewählt werden.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
339
Faktor f¡(x) von f(x) muß dann (modp) durch ^(x) teilbar sein, und aus dem Hauptsatze folgt leicht
fi( x )= <PÁ X Y' ( mod P)>
also
Genau wie früher folgt hier, daß M { (x) (modp) nicht durch <p t (x) teilbar sein kann. Da nun <£>¿(0) genau die erste Potenz von p ¿ enthält, so bilden die Zahlen
® r <Pi (ßY (r = 0,1, — 1; s = 0,1,.. e ¿ — 1) ein Fundamentalsystem für die Potenzen von d. h. jede Körperzahl ist (modp t ?) kongruent einer Ringzahl i?(0), und folglich ist ^ = 1. Im Falle e ; = 1 braucht man aber nicht vorauszusetzen, daß <p i (0 ) genau die erste Potenz von ^ enthält, um f P( =1 zu machen ; denn in diesem Falle enthält p genau die erste Potenz von p f , so daß schon die Zahlen 0 r (r = 0, ..., f t — 1) ein Fundamentalsystem bilden. Wenn daher e i — 1 ist, braucht also die Bedingung M(x) ^ 0 (moddp, <Pi(x)) nicht zu gelten.
S a tz 4. Man kann immer eine solche Zahl 0 bestimmen, daß fp = 1 f ür alle Partialführer des Ringes R (0) tuird. Die Gleichung f(x) = 0 der Zahl 0 hat dann die Form
f( x ) = fl{<?¿ x ) ei + V M ¿ x )) (modp"),
i=l
wobei <p { (x) eine Primfunktion vom Grade /■ ist, während M { (x) (mod p) nicht durch <p { (x) teilbar ist, wenn e { > 1 ist.
Dieser Satz gibt eine Normalform für die definierende Gleichung des Körpers; später soll noch eine andere Normalform angegeben werden.
Es folgt aus diesen Bemerkungen sofort ein Beweis des Dedekind- schen Kriteriums für die sogenannten gemeinsamen außerwesentlichen Dis- kriminantenteiler. Es gibt bekanntlich Körper, wobei die Indizes k der Zahlen des Körpers alle einen gemeinsamen Teiler haben. Nun folgt leicht aus den Gleichungen (4), (5) und (6), daß (13) N\ = k 2
ist, und wenn daher k nicht durch die Primzahl p teilbar sein soll, muß zuerst fp. = 1 für alle Partialführer, d. h. f(x) muß die Form des Satzes 4 haben. Nach Satz 2 müssen auch alle charakteristischen Zahlen der Prim- ideale verschwinden, d.h. die Primfunktionen (p i (x) müssen alle (mod p) verschieden sein. Daher folgt:
Die Primzahl p ist dann und nur dann ein gemeinsamer außerwesentlicher Diskriminantenteiler, ivenn von den Ungleichungen
r f > gif) (f=l,2,...,n)

340 Ö. Ore.
wenigstens eine erfüllt ist. Dabei bedeutet r, die Anzahl der Primidealteiler von p vom Grade f, während g(f) die Anzahl der verschiedenen Primfunktionen (mod p) vom Grade f angibt. Für die Zahl g (/) hat man bekanntlich eine einfache Formel. Später werde ich noch einen Satz über gemeinsame außerwesentliche Diskriminantenteiler geben.
Es folgt auch weiter, daß eine Primzahl p nur dann kein Teiler des Index ist, wenn f(x) die Form
f(x) = cp 1 ( x) e 1 ... cp r (x) er + p M(x)
hat, wobei ,M(a;) (mod p) nicht durch <p i (x ) teilbar ist, wenn e ir >l. Dann hat p die Primidealzerlegung
P = PÍ 1 pt ■ ■ ■ pT r , N = p {! ,
wobei
*>¿ = (P'ViW)
ist. Dies sind die Hauptresultate der Dedekindschen Arbeit: „Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der höheren Kongruenzen" s ).
An einer späteren Stelle zeige ich, wie man immer die Primidealzerlegung von p bei gegebener Gleichung bestimmen kann.
§ 2.
Über die Abbildungskörper der Primideale.
Wenn man den Körper nicht durch die Zahl ß, sondern durch eine andere primitive Zahl mit der Gleichung F(x) = 0 definiert, so bestehen wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung nach dem Hauptsatz gleichzeitig die beiden Zerlegungen
/"(*)=- fl («>... fri*) , A F(x)^F 1 (x)...F,(x) { V) '
wobei fiix) und F^x) (mod p a ) irreduzible Funktionen vom selben Grade n¿ sind. Weiter besteht zwischen f¡(x) und F i {x) der Zusammenhang, daß
/J(0f^ 0(mod^ (o "' ,} )
Fi(&i) = 0 (mod ^i' <a_e " ) )
Ô Ô
ist, wobei q ' unc ^ entsprechend q " wenn die Diskriminante von
F(x) genau durch p s i teilbar ist.
Es soll nun untersucht werden, wie sich ein Faktor F i {x) aus dem
s ) Abhandlungen der Kg], Gesellschaft d. Wissenschaften zu Göttingen 1878.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
341
entsprechenden f { (x) ableitet. Nach § 1, Kap. II kann man immer /> 1 in der Form
k i\ = a 0 + ê + ... + a n - x & n ~ 1
annehmen, wobei alle a { ganz rational sind. Da man weiter nur t) 1 für Moduln untersuchen soll, welche Potenzen von sind, so besteht auch sicher eine Kongruenz von der Form
«a \ + b, & + ... + b n¡ ê"'- 1 (mod .
Multipliziert man diese Kongruenz nacheinander mit 1 $ n ' -1 und
reduziert alle Potenzen von d größer als nach der Relation
/";•($) = #"'+ c i 1 -f- c m = 0 (modpj' 1 ' e> ),
so erhält man das folgende System von Kongruenzen
p" = a} 1 ' + ai 1 ' # + 4- a„t
• <2> I I I ^(2) „Q«.—1
p K 0, # = a[ + ar #+...+ a%
= a? i] ^ a?» $
(»i)
Am)
+ «C 0
(»;) nu,- 1
( mod p, e/
e; («-£>')
Durch Elimination von # erhält man dadurch die Kongruenz
A(^)
(1) * Q
«i — P
az\
... a
(i)
ai
(2)
ß 3
(2)
(2)
* ci (2
V a ni
<»() «1 j
(«/) ßo ,
• • O»"' 1 — p'tit
: 0 (modp'
e/ (a-e') \
Aus dieser Kongruenz folgt dann nach Satz 4, Kap. II, daß die Determinante A (x) (mod p a -e'-e"-"i') durch F i (x ) teilbar sein muß, und da
Ô Ô Ô
q ' ^ -g" ' f?" = "^ > "i = "^ ist, so folgt leicht die Kongruenz
pmx F.[x) = A(x) [modp a ~ s ~ ä ').
Es folgt auch natürlich, daß im Polynom A (x) alle Koeffizienten durch p niX teilbar sein müssen; setzt man daher p"'"Aj^(x) — A (x), so kommt
F i (x) = A i (x)(mod p a ~ t ),
wobei der Kürze wegen t = ô + -f- n¡ x gesetzt worden ist.
Als Hilfsmittel bei den folgenden Untersuchungen führe ich nun eine ne ue algebraische Zahl ê u) ein, welche im allgemeinen nicht zum Körper K gehören wird. Man wählt « fest und oberhalb einer Grenze, welche später angegeben wird; die Zahl {)''' ist dann eine Wurzel der irreduziblen Gleichung
f l (# W ) = 0,
und der aus # (!) gebildete Körper K u) vom Grade n { heißt der Abbildungskörper des Primideals p ; .

342 0. Ore.
Ich führe weiter zwischen den Körpern K und K (l) eine Korrespondenz ein, indem man zu jeder Zahl
# x = Jl(â)
in K die Zahl
â® = R (tf (i) )
in K m zuordnet.
Bildet man nun die Gleichung &(x) = 0, welcher die Zahl &¡" genügt, so folgt leicht nach derselben Methode, daß manA 1 (&i') — 0 hat, woraus natürlich A 1 (x) — 0 (x) folgt. A 1 (x) war nämlich (mod p"-') kongruent einer irreduziblen Funktion F { (x) und kann daher nicht &(x) als Teiler enthalten. Es folgt daher, daß, wenn die Zahl $1'' der Gleichung <ß(x) = 0 genügt, so ist
(14) <5 (x) = i* 1 ¿ (x)(modp a_í ),
wobei F { (x) der Faktor des Primideals in der Gleichung F(x) = 0 der Zahl & 1 ist.
Wählt man nun speziell für eine Zahl co, wofür der entsprechende Partialführer f Vi gleich dem Einheitsideale ist, so wird F i ( x) nach Satz 3 die Form
F { (x) = <p (x) ei + p M (x)
haben, wobei M(x) (mod p) nicht durch cp(x) teilbar ist. Wenn daher in
(14) a t + 2 gewählt wird, so wird die zugeordnete Zahl co w der Gleichung (p(x) — 0 genügen, wobei auch
<Z> (x) = <p(x) ei + p M(x)(modp a ~ t )
ist. Daraus folgt sofort, daß die Primzahl p in K {1) die Primidealzerlegung
p = },»*, N {i) {p®) = p f '
hat, wobei das Zeichen N l,) Normen in K {l) angibt. Die Zahl cp{co (l) ) ist weiter genau durch die erste Potenz von p (i) teilbar, wenn e { > 1 ist, so daß die Zahlen
««Xa)»)' (r =o, i,..:,fi-i-, s =o, 1 — i)
oder auch
co (i)r (r = 0,1, ..., n¡ — 1)
ein Fundamentalsystem für die Potenzen von bilden, d. h. es besteht für jede Zahl 0 (i) in K (l) eine Kongruenz
(15) 0« = iü(o)«)(mod^f e ' (a_Ö ), wobei das Polynom R(x) vom Grade kleiner als ist.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
343
Ebenso folgt leicht, daß die Zahlen
co r (r = 0, 1, 1)
in K ein Fundamentalsystem für die Potenzen von bilden und daß dann aus (15) die entsprechende Kongruenz
0 = R (co) (mod £«<'<«-")
in K folgt. Ich untersuche nun, wann eine Zahl 0 in K genau durch ei ne Po tenz p" teilbar ist. Man kann a = e { q -\- r schreiben, wobei O^r < e¡ ist, und es folgt leicht, daß R(x) die Form
R (¡r) =s p q cp (x) r Q (¡c)(modp í + 1 )
haben muß, wobei Q(a;)(modp) nicht durch cp (x) teilbar ist. Umgekehrt ist natürlich auch 0 genau durch p" teilbar, wenn R(x) diese Form hat. Mehr allgemein sieht man ein, daß; wenn eine Kongruenz
■& 1 = $ 3 (mod pi)
bestehen soll, wobei
= R 1 (co), = Ä 2 (<u) (mod £<"(«-'>),
so muß man
R t (x) — R. 2 (x) = p"<p(x) r Q (a:)(mod p q+1 )
haben. Genau das Entsprechende gilt aber für die Zahlen in if (l> in bezug auf ihre Teilbarkeit durch pf' 1 , und man kann daher sagen:
Wenn eine Zahl 0 genau durch p, a , a < e¡(a — t), teilbar ist, so wird auch die entsprechende zugeordnete Zahl 0 {l} genau durch p ( " teilbar sein und umgekehrt.
Wenn in K eine Kongruenz
= # a (mod:p") a<e i (a — t)
besteht, so besteht auch zwischen den zugeordneten Zahlen die entsprechende Kongruenz
= ^(mod p (<)a )
und umgekehrt.
Aus diesen Tatsachen über den Abbildungskörper kann man verschiedene andere Resultate ableiten.
Zunächst ist in K {,) der Führer der Zahl co ( ' ] nicht durch p {,) teilbar und nach (5) folgt, daß die Différente <5 (,) von K {l) genau dieselbe Potenz von p (i) enthält, wie die Zahl Í>'( g ¿> (,) ). Weiter ist in K der Führer der Zahl co nicht durch p i teilbar und man zeigt dann leicht nach Satz 3, daß die Différente ô von K genau dieselbe Potenz von wie die Zahl F¡ ( œ ) enthält. Nach (14) folgt dann sofort, wenn man nur a — t hinreichend groß wählt:

344
Ü. Ore.
Wenn die Différente des Abbildungskörpers K [ " genau durch p (0 1 teilbar ist, so wird die Différente von K genau durch pf' teilbar.
Wenn dann weiter die Körperdiskriminante von K { " genau durch p d > teilbar ist, so folgt nach (6), daß
ist, und man sieht daher ein:
Die Körperdiskriminante von K ist genau durch
r
Id,
pi-1
teilbar.
Da die Diskriminante von # (t) , also die Diskriminante von f i (x) nach den früheren Bezeichnungen durch p ,í¡ teilbar war, so kann man nach (5), Kap. 2
<5. = 2 x i + d i
setzen, wenn der Index von in K il] genau durch p"' teilbar ist. Es folgt nun leicht aus der Definition des Führers, daß, wenn der Partial- führer von ■& in K gleich ist, so wird der Führer f (i) von ß 111
in K [l) gleich p (l) Aus (13) folgt dann auch die Relation
(16) 2x.= r i f i .
Man kann nun auch eine einfache Relation zwischen den charakteristischen Zahlen y.. und den Zahlen p.. ableiten. Die Zahl y,. war da-
/ IJ I IJ
durch definiert, daß die Zahl /j($) genau durch p¡'j teilbar war; dann folgt aber auch, daß die Zahl f. ($ (i) ) im Abbildungskörper genau durch pW'V teilbar wird. Die Zahl q .. war dagegen so definiert, daß die Resultante Rij— R(f i {x), fj(x)) genau durch \> e 'J teilbar sein sollte. Da aber bekanntlich
R ij = N {i) (f j (& & ))
ist, so muß die Resultante genau durch p f ' y 'J teilbar sein. Man hat also = f. y.. und ebenso beweist man auch o¡- = f.y J - i . Es ist daher bewiesen :
Satz 5. Zwischen den charakteristischen Zahlen y ij und den Ordnungszahlen Q i j der Resultanten R (f. (x), fj(x)) bestehen die Relationen
(1 7 ) 6{j — fi Vij — fj Yji-
Ich beweise zuletzt einen wichtigen Satz über den Index. Nach (13) folgt nämlich, wenn man für den Führer f den Ausdruck des Satzes 2 einsetzt, daß k" genau durch
pZy¡fi+ l'rtfi

Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 345
teilbar sein muß. Man hat daher nach (12) die Relation
2* = UfiYii+SfSi,
oder nach (16) und (17)
- ' 1J
i—1 j=l i= 1
2* = ^ 2 q + 2 2Jx { ,
i=l )= 1 ¿=1
woraus sofort folgt:
Satz 6. Der Index der Zahl & ist genau durch p" teilbar, wobei
* = y Qij+
i>j 1= 1
Hier bedeutet Q i;j die Ordnungszahl der Resultante R (f¡(x), fj(x)), während x i die Ordnungszahl des Index des Abbildungkörpers von ist. Führt man hier die in Kap. 1 angewandte Zahl q ' ein, so ist also
■■ = e' + 2*o
woraus sofort y.¿tQ r kommt.
i= 1
§ 3.
Bestimmung der Körperdifferente und Körperdiskriminantc.
Es sei co eine Zahl, wofür der entsprechende Führer nicht durch teilbar ist. Nach Satz 3 hat dann die entsprechende Gleichung die Form
(18) F(x) =b Q(x)F { (x) (mod p a ), wobei
Fi(x) = <p (x) e < + p M(x)
und Q(x)(mod2J) nicht durch cp(x) teilbar ist. Nach (5) wird dann die Zahl F'(co) dieselbe Potenz von enthalten wie die KörperdifEerente. Man hat nun nach (18)
F'(co)^Q(œ)F i '(co) + Q'(œ)F i (co)(moàp"),
und da hier das letzte Glied durch teilbar ist, so folgt
F\œ)^Q(œ)FÎ(co)( mod^ a ).
Die Zahl Q (œ) ist aber nach der Voraussetzung nicht durch teilbar, und es folgt daher, daß die Zahl
(19) F'i{œ ) = e i cp(co)" i ~ l cp' (co) + pM' (co)
genau dieselbe Potenz von wie die Körperdifferente enthält. Wenn hier e i nicht durch p teilbar ist, enthält F¡ (co) genau die Potenz p 1 ' 1 , indem <p(co) genau durch die erste Potenz von teilbar ist. Wenn aber
Mathematische Annalen. 96.
23

346
Ö. Ore.
e- durch p teilbar ist, wird FÍ (m) sicher durch p"' oder eine höhere Potenz teilbar. Man hat daher den Dedekindschen Satz"):
Satz 7. Die Körperdifferente ist genau durch teilbar, wobei Qi = 0 , wenn e t - nicht durch p teilbar ist, während ^ 1 , wenn e¡ durch p teilbar ist.
Die Zahl g. soll die Supplementzahl des Primideals heißen. Man kann die Supplementzahl folgendermaßen einfach bestimmen : Man schreibt das Polynom F/ (x) in der Form
(20) F¡ {x)=--'z A s (x)p a *cp{x) s ,
8=0
wobei der Grad von A s {x) kleiner als f\ ist, und weiter wird a s so gewählt, daß A s (x)^0 (modp) ist, wenn A i {x)=^Q. (Mit der Ausdrucksweise, welche später angewandt wird, kann man kurz sagen, daß man die Entwicklung ( p,cp{x )) von F-(x) bildet.)
Setzt man in (20) x — co, so wird ein Glied
A s {w)p a ' ( p{(o)'
genau durch pi'" s+s teilbar. Zwei verschiedene Glieder in (20) können nicht durch dieselbe Potenz von teilbar sein, denn aus
e i a a + s = e i a r +r
folgt s =---- r (mod e¿), also s — r. Man hat daher bewiesen:
Satz 8. Wenn R die kleinste unter den Zahlen
e¡K s + s (s = 0, 1, ..., e { — 1)
ist, so wird die Körperdifferente genau durch teilbar. Die Supplementzahl Q i ist dann durch g¡ = R — e i + 1 bestimmt.
Wenn für alle Primideale die Ordnungen e { und Supplementzahlen bestimmt sind, so ist auch die Körperdiskriminante d bestimmt. Es folgt nämlich aus (6), daß d genau durch
i >,<•,- i+ e )
(21) p 1=1
teilbar wird.
Es sollen nunmehr eingehend die Eigenschaften der Supplementzahlen g. untersucht werden. Diese Untersuchungen beruhen alle auf dem Hilfssatz:
°) R. Dedekind, Über die Diskriminanten endlicher Körper, Abhandlungen der Kgl. Gesellschaft d. Wissenschaften zu Göttingen 29 (1882).

Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
347
Satz 9. Es gibt leein Polynom g (x), so daß g'(x) die Form
(22) g'(x) = p a <p(x) kpa Q(x) (modp ffl+1 ) h at, wobei Q (x) (mod p) nicht durch <p(x) teilbar ist.
Es sei nämlich ö eine Wurzel der Gleichung <p(x) = 0; im Körper k (tí) wird die Primzahl p unzerlegbar und selbst ein Primideal. Weiter wird
cp (.r) = (x - 0) <p' (tí) + <p" (tílf ...
und
«■.(*) =«(0)..+.(*-0)«'(0)+... ,
wobei die Zahlen cp' (tí) und Q(d) nicht durch 'p teilbar sind. Setzt man diese Ausdrücke in (22) ein, erhält man für g'(x) eine Entwicklung
g'{x) = pV(0) ,:pa+1 - 1 g(0)( a; - e) kpa+1 ~ 1
+ A¿(x — + 1 -f ... (mod p a+1 ),
und hier ist also der Koeffizient zu (x — g) fcpa+1_1 nicht durch p a+1 teilbar. Entwickelt man aber auch g(x) nach Potenzen von x — ö. so kann das erste Glied in g'(x) nur durch Differentiation eines Gliedes B (x — 6) /,p in g(x) entstehen; dadurch erhält man aber offenbar immer ein durch p a+1 teilbares Glied.
Unter Anwendung dieses Hilfssatzes beweise ich zuerst die sogenannte Dedekind-Henselsche Ungleichung, welche eine obere Grenze für die Zahlen o i gibt. Wenn nämlich die Zahl e { genau durch p s¡ teilbar ist, kann man e i —p s 'e i ' setzen, und es gilt der Satz:
Satz 10. Es ist
(23) &i£s i e i .
Diese Ungleichung ist zuerst von Dedekind 10 ) vermutet, später von Herrn Hensel 11 ) bewiesen. Vereinfachte Beweise sind von Herrn Bauer 12 ) geliefert worden. A. a. O. 13 ) habe ich auch einen anderen einfachen Beweis von (23) gegeben; der folgende Beweis scheint mir aber der einfachst mögliche zu sein.
10 ) Man sehe die in °) zitierte Arbeit (Schlußbemerkung).
u ) K. Hensel, Uber die Entwicklung der algebraischen Zahlen in Potenzreihen, Math. Ann. 55 (1902) S. 301—336.
12 ) M. Bauer, Uber die Différente eines algebraischen Zahlkörpers, Math. Ann. 83 (1921), S 74—76. M.Bauer, Verschiedene Bemerkungen über die Différente und Diskriminante eines algebraischen Zahlkörpers, Math. Zeitsehr. 16 (1923), S. 1 —12.
13 ) Man sehe die Arbeiten: 0. Ore, Bemerkungen zur Theorie der Différente, Math. Zeitsehr. 25 (1926), S. 1—8; Ö. Ore, Uber die Bedeutung der Fundamentalgleichung in der Theorie der algebraischen Körper, Math. Ann. 95 ( 1925 ), S. 239—246.
23*

348
Ö. Ore.
Soll nämlich o i > s¡ e¡ sein, so wird die Körperdifferente sicher durch p°'~ 1+s ' e ' +1 = jpi'' +1)e ' teilbar, und man hat daher nach (19) die Kongruenz
F i '(m) = e ; 99 (co)"' -1 cp' (co) -¡-pM'(co) == 0 (modpf' +1)e <), woraus, wie in § 2, leicht die identische Kongruenz
e i <p(x) e '~ 1 cp' (X) + p M' ( X ) = 0 (mod p" i+l )
oder
M' (x) = —p'' 1 cp(x) e ' v ' _1 cp' (x) (modp 5 ')
folgt. Diese Kongruenz ist aber nach Satz 9 nicht möglich, wodurch (23) bewiesen ist.
Ich untersuche weiter, welche Zahlen o i , wofür 1 ■s i e t - wirklich
als Supplementzahlen vorkommen können, wenn die Ordnung e¿ des Primideals gegeben ist. Man beweist dann den Satz:
Satz 11. Es sei o i eine Zahl, wofür 1 ^ Q i ^s i e i . Es gibt dann immer solche Körper n-ten Grades, daß die Körperdifferente genau durch Pi'~ 1+e> teilbar ist, außer ivenn g i die folgenden Ausnahmewerte annimmt :
2p, ...,
(24)
e i> 2 e¡,
P>
e¿+P 2 ,
2 e { + p 3 ,
e i 2 e-
2 p\... 2p 3 ,...
P,
2e i -p"', Ze-p\
-(«» — l)e<, («<—1)^+3?*, {s i -l)e i - s r 2p s ,...,s i e i —p s .
Es folgt zunächst leicht, daß q . den maximalen Wert s i e i annehmen kann 14 ); man braucht nämlich nur in (19) M(x)=m zu setzen, wo m ganz rational ist. Dann ist M'(x)= 0 und daher die Körperdifferente genau durch p^~ x+s ' e i teilbar.
Wenn aber Q i <s i e i ist, so ist also in (19) das erste Glied durch p¡'~ 1+8 ' e ' teilbar, und daher muß die Zahl pM'(co) genau durch p*'~ l+e ' teilbar sein, d.h. die Zahl M'(co ) wird genau durch teilbar.
Wenn Q i zu den Ausnahmezahlen (24) gehört, kann man
q { — ae i + kp a+1 , kp a+l <e¡ schreiben. Dann besteht also die Kongruenz
M'(m) = 0 (mod p?' -1 ),
14 ) Diese Tatsache ist schon von Herrn Bauer in seiner Arbeit: Verschiedene Bemerkungen über die Différente usw., Math. Zeitschr. 1(> (1923), S. 1 — 12, bewiesen worden. Weiter ist auch bewiesen, daß q , = 1 sein kann; man sehe die Arbeit: M. Bauer, Bemerkungen zur Theorie der Différente, Acta litt. ac. scient, reg. Univ. Hungaricae 1 (1923), S. 195-198.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 349
woraus, wie in § 2 leicht folgt, daß M'(x) die Form
M'(x) s p" cp (x) kv ' 1-1 Q(x) (mod p a+1 )
haben muß, was nach Satz 9 nicht möglich ist.
Wenn aber g. nicht zu den Ausnahmezahlen gehört, kann man
9i = a + kpP, Je ^ 0 (mod p)
schreiben. Wird dann
(25) M(x) — m -j- p"~ ß (p (x) kp/1 gesetzt, so ist
M '(co) = p"~'' Jcp'' cp (a)) kpl _1 cp'(w)
genau durch ^" e i +kvli ~ i — teilbar.
Den Satz 11 kann man auch auf eine andere einfachere Form bringen. Die Zahl g i — s i e i ist, wie schon bemerkt, immer als Supplementzahl möglich. Wenn dagegen 1 g. < s { e¡ ist, dividiert man g i durch e¡:
(26) g. = ae i -\-b, 0 <La<s { , 0 b < e.,
wobei also a = wird, und wenn in diesem Falle die Zahl g i genau durc h p T ' teilbar ist, so folgt leicht aus Satz 11, daß sicher r i <s i sein muß, wenn g i für das gegebene e i als Supplementzahl möglich sein soll. Die Gleichung (26) zeigt dann, daß die Zahl b auch genau durch p r < teilbar wird. Die Ausnahmezahlen des Satzes 11 sind aber eben diejenigen Zahlen (26), wofür b durch eine höhere Potenz als p a teilbar ist. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß g i als Supplementzahl möglich ist, wird daher r { ^a — .
Satz 12. Es sei g i eine genau durch p r > teilbare Zahl, wofür 1 ^Q i ^s i e i ist. Wenn dann g i in bezug auf e i als Supplementzahl möglich ist, so ist entweder g i = s i e ; oder 1 ^ e ; , und in diesem
Falle muß r¡ j^J sein.
'§ 4.
Einige Existenzsätze für algebraische Körper.
Man kann unter Anwendung dieser Untersuchungen einige wichtige Existenztheoreme für algebraische Körper mit gegebenen Eigenschaften beweisen.
Satz 13. Wenn zivei Systeme
fl, fit ■■ -, fr

350
0. Ore.
von ganzen rationalen und -positiven Zahlen so gegeben sind, daß
e i fi ~r e -2 /2 + • ■ • + e r fr = 71
ist, so kann man immer einen solchen algebraischen Körper K n-ten Grades bestimmen, daß die Primzahl p in K die Primidealzerlegung
P = Pi' pt • • • Pr r i Npi = p f <
hat 15 ).
Man bestimmt bloß zu jedem Primideale eine Primfunktion cp { (x) (mod p) vom Grade und bildet das Polynom
(27) f i (x) = (p i (x) e ' + pM { (x),
wobei alle M { (x) voneinander verschieden sein sollen und Mjx) (mod p) nicht durch r p { (x) teilbar. Die Diskriminante des Produkts
n {x) = f x (x) f„(x)... f r (x) ist dann von Null verschieden und genau durch p s teilbar. Das Polynom
f(x) = n (x) + p 5+1 M(x)
zerfällt daher (mod^ l5+1 ) in die r-irreduziblen Faktoren f { {x), und die Gleichung f (x) = 0 definiert folglich den gewünschten Körper, wenn sie irreduzibel ist. Die Irreduzibilität von f(x) erreicht man aber leicht dadurch, daß man M(x) so wählt, daß f (x) in bezug auf einer anderen Primzahl den Bedingungen des Eisensteinschen Irreduzibilitätssatzes genügt.
Es seien nun die Systeme e i und f i des Satzes 13 gegeben. Wenn dann weiter die Zahlen
^1) ^2.' • ' ' ) Qr
so gegeben sind, daß o ¡ = 0 ist, wenn e¿ nicht durch p teilbar ist, während 1 wenn e { genau durch p 3 ' teilbar ist, soll aber in diesem
Falle nicht zu den Ausnahmezahlen (24) gehören, so sage ich kurz, daß die Zahlen g. in bezug auf p ein System von möglichen Supplementzahlen zu den Zahlen e i bilden. Es kann nun bewiesen werden:
15 ) Diesen Satz habe ich zuerst in meiner Arbeit: Zur Theorie der algebraischen Körper, Acta math. 44 (1923), S. 219 — 314, bewiesen. Man vgl. auch die Arbeit: Zur Theorie der Eisensteinschen Gleichungen, Math. Zeitschr. 20 (1924), S. 267—279. Ein Beweis desselben Satzes, aber auf Relativkörper erweitert, ist später von Herrn H. Hasse, Zwei Existenztheoreme über algebraische Zahlkörper, Math. Annalen 95 (1925), S. 229 — 238, gegeben worden. Man zeigt leicht, daß man mittels der hier gegebenen Untersuchungen dieselbe Erweiterung beweisen kann; diese Methode hat weiter den Vorteil, daß man alle Zahlkörper mit dieser Eigenschaft bestimmen kann; man vgl. die Note: Ö. Ore, Ein Problem von Dedekind, Acta litt. ac. soient, reg. univ. Hungaricae 2 (1924), S. 15—17.

Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 351
Satz 14. Es seien
^1J ®2.J • • • 5 j
U, fr,
öl J C3 > • • • J Gr r
drei Systeme von Zahlen, wo ¿ e i f i = n ist, und die Zahlen q { in bezug
i= 1
auf p ein mögliches System von Supplementzahlen zu den Zahlen e i bilden. Man kann dann immer einen solchen Körper K n-ten Grades bestimmen, daß in K die Primzahl p die Primidealzerlegung
V = Np { = p f{
besitzt, und weiter die Körperdifferente von K genau durch teilbar ist.
Die beiden letzten Sätze lassen sich einfach auf eine beliebige endliche Anzahl von Primzahlen ausdehnen. Die Kichtigkeit des letzten Satzes folgt sofort dadurch, daß man in (27) für nach (25) Ausdrücke
von der Form
M¿ (x) = + p"~''cp(x) kvl '
einsetzen kann.
Zuletzt soll noch ein Problem bei der Körperdiskriminante erwähnt werden. Nach (21) enthält die Körperdiskriminante von p genau die Potenz von dem Exponenten
(28) JjfM-i + eù-
i= 1
In diesem Ausdrucke können die Zahlen e { und /) beliebig variieren, wenn
nur vorausgesetzt wird, daß der Grad des Körpers ungeändert gleich n,
r
also e i f i = n ist, und weiter immer eine mögliche Supplementzahl
i=i
zu e¡ bildet. Es wird dann immer nach Satz 14 entsprechende Körper ?i-ten Grades geben, wofür die Körperdiskriminante genau diese Potenz von p enthält.
Ich habe für gegebene n und p den größten Wert des Ausdruckes (28) gesucht und zwar gefunden 1 "):
Satz 15. Man schreibt die Zahl n als p-adische Zahl
n — a 1 p a i + a 2 p a ~- + . .. + a s p a » (a 2 > > ... > a t ), P-
16 ) Für den Beweis dieses Satzes verweise ich auf die Arbeit: ö. Ore, Existenzbeweise in der Theorie der algebraischen Zahlkörper, Math. Zeitschr. 25 (1926), S. 474-489.

352
0. Ore. Definierende Gleichungen und Idealtheorie.
Die höchste Potenz von p, welche als Teiler der Diskriminante eines Zahlkörpers n-ten Grades vorkommt, hat dann den Exponent
N(n,p) = (X + l)a 1 p a > + (cc„ + 1 ) a»P a ' 1 + ■ ■ ■ + (« s + l)a s P" s — «•
Man zeigt leicht an Beispielen, daß nicht alle Zahlen unterhalb N (n, p) wirklich als Diskriminantenexponenten vorkommen können. Es wäre von Interesse zu untersuchen, welche Zahlen überhaupt vorkommen, d. h. zu untersuchen, welche Werte der Ausdruck (28) unter den angegebenen Bedingungen annehmen kann.
(Eingegangen am 3. 11. 1925.)

Über das assoziative Gesetz bei der Komposition der quaternären quadratischen Formen.
Von
H. Brandt in Aachen.
1.
Wenn bei einem endlichen oder unendlichen System von Elementen A, B, C, . .. eine Verknüpfung (Komposition) existiert, welche jedem geordneten Paar von Elementen A, B eindeutig ein drittes Element P = AB zuordnet, so sprechen wir von der Gültigkeit des assoziativen Gesetzes, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Sind A, B, C drei beliebige Elemente des Systems und entsteht durch Komposition von A mit B das Element AB = P und durch Komposition von B mit G das Element B C — Q, so ergibt die Komposition von P mit G und A mit Q beidemal dasselbe Element, d. h. es ist PC = AQ oder ÇA B) G = A{B G). Hieraus folgt dann in bekannter Weise, daß Kompositionen aus beliebig vielen Elementen A, B, ..K allein durch die Reihenfolge schon eindeutig bestimmt sind, so daß keine Klammern gesetzt zu werden brauchen.
Ist das System so beschaffen, daß zwar bei jedem geordneten Paar von Elementen A, B eine Komposition möglich ist, das komponierte Element AB = P aber in einzelnen Fällen oder auch immer mehrdeutig bestimmt ist, so wird man ebenfalls von der Gültigkeit des assoziativen Gesetzes sprechen können, wenn für jedes Tripel von Elementen A, B , G die Gesamtheit der Elemente X—{AB)C mit der Gesamtheit der Elemente Y= A{B C) identisch ist.
Wie steht es aber, wenn die Komposition nicht immer möglich ist, wenn vielmehr bei jedem vorgelegten Elementenpaar A, B zuerst entschieden werden muß, ob A mit B komponiert werden kann oder nicht? Hat es auch dann noch Sinn, von einem assoziativen Gesetz zu sprechen? Tatsächlich ist das möglich. Berücksichtigt man nämlich bei jedem zu komponierenden Paar von Elementen auch die Möglichkeit der Nichtkomponier-

354
H. Brandt.
barkeit, so wird man zu folgenden Forderungen geführt, die in unserm Falle als Ausdruck des assoziativen Gesetzes zu gelten haben:
Aus der Existenz von A B und B C folgt die von (AB)C und i(BC). Aus der Existenz von AB und (AB) G folgt die von BG und A(BG). Aus der Existenz von BG und A (B G) folgt die von AB und (AB) G. Dabei ist in allen drei Fällen (AB)C=A(BC).
Auch wenn ein System diesen Forderungen genügt, kann man von Kompositionen aus beliebig vielen Elementen A, B, ..K sprechen. Eine solche Komposition ist, wenn sie existiert, allein durch die Reihenfolge der Elemente bestimmt, so daß keine Klammern gesetzt zu werden brauchen. Für die Existenz aber ist erforderlich und auch ausreichend, daß an jeder Trennungsstelle zweier aufeinander folgenden Elemente ... F, G ... ein Aggregat unmittelbar vorhergehender Elemente mit einem Aggregat unmittelbar nachfolgender Elemente, z. B. das vorhergehende Element F mit dem nachfolgenden Element G komponiert werden kann.
Nur in dieser Weise kann bei der Komposition der quaternären quadratischen Formen oder Formenklassen eine Gültigkeit des assoziativen Gesetzes in Frage kommen. Daß dies Gesetz in diesem Sinne aber auch tatsächlich gilt, das nachzuweisen ist der Zweck der folgenden Zeilen 1 ).
2.
Die Komposition der quaternären quadratischen Formen der gleichen Diskriminante führt auf Systeme von endlich vielen Formenklassen, A,B,G,..., die zwar alle durch die Komposition eng miteinander verknüpft sind, aber doch nicht beliebig untereinander komponiert werden können. Wir bestimmen ein solches System von Klassen in der folgenden Weise. Wir wählen eine der für die Komposition in Betracht kommenden Klassen primitiver Formen, also primitiver /t-Formen 2 ) beliebig aus. Dann fügen wir zu dieser Klasse A alle primitiven Klassen B der gleichen Diskriminante hinzu, mit denen A rechts oder links komponiert werden kann, für die also die Kompositionen A B oder B A existieren. Jede der
*) Vgl. hierzu die früheren Arbeiten:
I. Über ein Problem von A. Hurwitz, quaternäre quadratische Formen betreffend. Math. Ann. 88 (1923), S. 211.
II. Der Kompositionsbegriff bei den quaternären quadratischen Formen. Math. Ann. 91 (1924), S. 300.
III. Die Hauptklassen in der Kompositionstheorie der quaternären quadratischen Formen. Math. Ann. 94 (1925), S. 166.
IV. Über die Komponierbarkeit quaternärer quadratischer Formen. Math. Ann. 94 (1925), S. 179.
2 ) II, S. 302.

Assoziativität der Komposition quaterniirer Formen.
355
hinzugefügten Klassen B behandeln wir wieder ebenso wie die Ausgangsklasse A. In dieser Weise fahren wir fort und ergänzen das System für jede bereits aufgeführte Klasse durch alle damit rechts oder links komponierbaren Klassen, soweit diese Klassen nicht bereits aufgeführt sind. Das Verfahren muß einmal zu einem Abschluß kommen, da es nur endlich viele Klassen der gleichen Diskriminante gibt. Wir haben dann ein in sich abgeschlossenes und zugleich möglichst kleines System von Klassen erhalten, das mit jeder Klasse, die darin aufgeführt ist, auch alle Klassen umfaßt, mit denen diese Klasse rechts oder links komponiert werden kann. Offenbar ist die3 System durch eine beliebige seiner Klassen schon vollständig bestimmt.
Dies System ist nun tatsächlich von der oben erörterten Art. Daß die Komposition der Klassen nicht immer eindeutig ist, könnte leicht durch Beispiele belegt werden 3 ). Daß in dem System aber im allgemeinen (sobald nämlich mehr als eine Hauptklasse darin vorkommt) nicht zwei beliebige Klassen komponiert werden können, wurde früher gezeigt. Für die Komponierbarkeit der Klasse A mit der Klasse B ist nämlich notwendig 4 ) und hinreichend 5 ), daß die rechts zugehörige Hauptklasse von A mit der links zugehörigen von B übereinstimmt.
Der Nachweis, daß in diesem System von Klassen das assoziative Gesetz in dem obigen Sinne gültig ist, wird nun in zwei Schritten erledigt. Zuerst wird gezeigt, daß die drei genannten Existenzforderungen erfüllt sind. Dann folgt der Nachweis, daß die Kompositionen (AB) C und A(B C), wo sie existieren, zu demselben Ergebnis führen.
3.
Der erste Teil des Beweises ergibt sich unter Benutzung früherer Ergebnisse sehr einfach. Zum Beweise bezeichnen wir durch A, B, C, ... wie oben die Klassen unseres Systems, setzen aber nicht voraus, daß verschiedene Symbole auch verschiedene Klassen bezeichnen. Ist dann A mit B komponierbar und AB = P, so haben B und P dieselbe rechts zugehörige Hauptklasse 1 ). Je nachdem nun, ob diese Hauptklasse der Klasse G links zugehört oder nicht, sind die beiden Kompositionen B C und P C gleichzeitig möglich 5 ) oder gleichzeitig nicht möglich 1 ). Ist ebenso B mit C komponierbar und BC = Q, so haben B und Q dieselbe links zugehörige Hauptklasse 1 ). Je nachdem nun, ob diese Hauptklasse der Klasse A rechts zugehört oder nicht, sind die beiden Kompositionen A B und A Q gleich-
3 ) II, S. 314.
*) IV, S. 194.
5 ) IV, S. 196.

356
H. Brandt.
zeitig möglich 5 ) oder gleichzeitig nicht möglich 1 ). Daraus ergeben sich aber die obigen drei Existenzforderangen.
Es ist also nur noch zu zeigen, daß überall da, wo die Kompositionen (AB)C und A(BG) einen Sinn haben, die Gleichheit (A B ) C = A(B C) stattfindet. Zu dem Zwecke wählen wir aus den Klassen A, B, C, ... in beliebiger Weise je eine bestimmte die Klasse repräsentierende Form aus und bezeichnen diese Formen wie ihre Klassen ebenfalls der Einfachheit halber durch A, B , C, ... .
Sind nun A, B , C, D, D', L, K solche nicht notwendig sämtlich verschiedene Formen, für welche aber die Kompositionen AB — L, LC — D und B G = K, A K = D' möglich sind, so gibt es bilineare Substitutionen 31, N, 3H\ N' mit den für die Komposition erforderlichen Eigenschaften"), welche der Keihe nach diese Kompositionen vermitteln. Übt man nun in N auf die Variablen von L die bilineare Substitution 31 aus, so entsteht eine trilineare Substitution 2ÎÎ> die nach einer früher benutzten Symbolik 7 ) durch
zu bezeichnen ist und die Komposition ( AB)C = D vermittelt. Übt man ebenso in JSi' auf die Variablen von K die bilineare Substitution 31' aus, so entsteht eine trilineare Substitution
welche die Komposition A(BG) = D' vermittelt.
Der hier erforderliche Nachweis, daß die Gesamtheit der Formen D mit der Gesamtheit der Formen D' identisch ist, wird nun sogleich erbracht sein, wenn wir, was im folgenden geschehen wird, sogar zeigen können :
Jede trilineare Substitution, welche bei Zusammenfassung zweier in der einen Weise nacheinander ausgeführter Kompositionen entsteht, kann gleichzeitig auch durch Zusammenfassung zweier in der andern Weise nacheinander ausgeführter Kompositionen hergeleitet werden. Symbolisch geschrieben heißt das: Die eine der beiden Formeln
m =^
31
211 = ^
°) II, S. 304. ') III, S. 168.

Assoziativität der Komposition quaternärer Formell.
357
zieht die andere nach sich. Die Kompositionen (Ali) C ~ D und A(B G) = D bedingen sich also gegenseitig und können beide durch dieselbe trilineare Substitution vermittelt icerden.
4.
Um nun diese Behauptungen zu beweisen, bezeichnen wir wie früher") durch Vo die bilineare Substitution der Quaternionenmultiplikation
Z q = X q y 0 X^ i/j 3-2 2/2 3 y 3 ' ^1 x o Vi "I - x i Vo i~ y s x s y a usw. und durch A, B, T, A, A, K lineare Substitutionen, welche die Form E, d. h. eine Summe von vier Quadraten bzw. in A, B, C, D, L, K transformieren. Sind nun M , JY bilineare Substitutionen, welche die Kompositionen AB = L, LG = D vermitteln, so kann man nach früherem 8 ) A, B, r, A, A mit gleicher (positiver bzw. negativer) Determinante so bestimmen, daß die Formeln
✓ A / A
^=A- 1 .F 0 ( , JY = A~ ■ V 0 (
B T
erfüllt sind. Setzt man dann
M' = K -1 - F„^ B , jy' = A~ l -F 0 ; A
K
wobei über die Substitution K noch Näheres festgesetzt werden soll, so ist wegen der aus der Assoziativität der Quaternionenmultiplikation fließenden Beziehung ^
j7 /^° y
0 ° \ F '
* 0
wie man durch Einsetzen der vorigen Formeln findet, jedenfalls
/M
N y =S\.
-31'
Nun kann aber K so gewählt werden, daß N' und 31 ' wirklich auch Kompositionen vermitteln. Die Möglichkeit, der ganzzahligen Bestimmung von JV' und 31' folgt zunächst aus diesem allgemeinen Hilfssatz:
Wenn eine bilineare Schar ganzzahliger Matrizen als Produkt nicht singulärer linearer Scharen darstellbar ist, können diese auch ganzzahlig gewählt werden.
8 ) I, S. 214.

358
H. Brandt.
(Wird nämlich die bilineare Schar durch !T (U> x { y k bezeichnet und
ik
ist diese in der Form T ll) x { - ¿ T'® y k darstellbar, wobei die Deter-
i k
minanten | ¿ T (i) x { |, \ 2 T' ik) y k | nicht identisch verschwinden, so schließt
i k
man aus der Ganzzahligkeit der T [1,l) leicht, daß sich eine nicht singulare Matrix R so bestimmen läßt, daß die sämtlichen Matrizen T h) R und iü -1 T' u> ganzzahlig ausfallen.)
Ist die Substitution K diesem Hilfssatz entsprechend bestimmt und hat man dabei noch das Vorzeichen der offenbar reellen Determinante von K ebenso gewählt wie das der Determinanten der Substitutionen A, B usw., so möge die Form, in welche E durch K transformiert wird, durch K bezeichnet werden. Dann werden durch die bilinearen Substitutionen 31' und jV ' die Identitäten BC=K und AK=D vermittelt. Dabei handelt es sich aber um Kompositionen; denn 31' und JV ' haben wegen des gleichen Vorzeichens der Determinanten von A, B, . . ., K positive Signatur und Art, und A, B, C, D, K sind primitive Formen der gleichen Dis- kriminante. Das ist nur noch von K zu zeigen. K ist zunächst ganzzahlig, da N' es ist, K hat aber auch dieselbe Diskximinante wie die übrigen Formen, weil wegen der Identität BG—K die Diskriminante höchstens so groß sein kann und wegen der Identität AK = D mindestens so groß sein muß wie die der übrigen Formen, endlich ist K primitiv, weil K durch 31' in das Produkt der primitiven Formen B, C transformiert wird.
Damit ist aus der Komposition (AB) C = D die andere A(BC) = D hergeleitet. Da man in ganz entsprechender Weise auch aus der zweiten Komposition die erste findet, ist damit die Gültigkeit des assoziativen Gesetzes nachgewiesen.
5.
Dies Gesetz gestattet, die Definition des Kompositionsbegriffes, die ursprünglich nur für zwei Formen gegeben wurde 8 ), auf drei und mehr Formen auszudehnen.
Die trilinearen Substitutionen, die bei Kompositionen von der Gestalt (A B) C oder A (B G) auftreten, unterscheiden sich nach dem vorigen nicht. Sie können durch gleichzeitige lineare Transformation ihrer vier Variablenreihen durch Substitutionen mit gleichen Determinanten in diejenige trilineare Substitution übergeführt werden, welche bei der Multiplikation dreier Quaternionen die Komponenten des Produktes durch die Komponenten der Faktoren ausdrückt. Umgekehrt läßt aber der vorige Beweis erkennen, daß jede ganzzahlige trilineare Substitution, welche bei

Assoziativität der Komposition quaternärer Formen. 359
vier primitiven Formen gleicher Diskriminante A, B, C, D eine Identität AB G = D vermittelt, sobald ihr nur jene Eigenschaft zukommt, so in doppelter Weise in bilineare Substitutionen gespalten werden kann, daß die Kompositionen ( AB)C=D und A(BC) = D hervorgehen. Wir werden daher kurz sagen, eine solche trilineare Substitution vermittelt die Komposition ABC — D.
Es ist leicht, diese Betrachtungen auf beliebig viele Formen auszudehnen. Trennt man dabei noch den Fall der positiv-definiten K- Formen von dem Fall der indefiniten K- Formen, so wird man zu der folgenden allgemeinen Definitionen des Kompositionsbegriffes geführt.
Wenn durch eine ganzzahlige n-fach lineare Substitution
v~7 (l) (2) (tl)
%v Wly ., ,% n • • • x in
i\%i ... in
eine Form A({x)) in das Produkt der Formen A x ((#)), A 2 ((x)), ..., A n ((x)) transformiert wird, wobei A, A 1 , A.,, ..., A n primitive Formen der gleichen Dislcriminante bedeuten, so liegt eine Komposition vor, wenn die n-facli lineare Substitution so beschaffen ist, daß sie sich durch reelle lineare Transformation ihrer n + 1 Variablenreihen durch Substitutionen mit gleichen positiven Determinanten auf die Form
X=X (1) X (2) ...X ( "' bringen läßt, wobei X im Fall positiv-definiter Formen die Matrix £__j| «0 + i x ! x 2 -j- i x s II ! — x„ i x s x 0 — i x l und im Fall indefiniter Formen die Matrix
x Q
x„
I ®1
x 3
bedeutet, während die übrigen Matrizen X' 1 ', X ( ~\ . .., X [n) entsprechende Bedeutung haben.
(Eingegangen am 7. 11. 1925.)

Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.
Von
H. Brandt in Aachen.
Durch Probleme aus der Theorie der quaternären quadratischen Formen bin ich schon vor längerer Zeit auf eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes geführt worden 1 ), die auch auf anderen Gebieten von Bedeutung sein dürfte — erscheint sie doch überhaupt als eine naturgemäße und sogar notwendige Ergänzung zur gewöhnlichen Gruppentheorie —, weshalb ich mir erlaube, diese Begriffsbildungen im folgenden zu entwickeln. Dabei wird von den Untersuchungen aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen, die dazu die Veranlassung gaben, nichts gebraucht werden, sondern alles auf einfache Postulate gegründet.
Es sei also eine endliche 2 ) Menge von Elementen A,B,G... und zwischen ihnen ein Verknüpfungsgesetz (Komposition, Multiplikation) gegeben, das, auf gewisse geordnete Paare von Elementen A, B angewandt, ein drittes Element C liefert, auf gewisse andere geordnete Paare von Elementen A, B dagegen nicht angewandt werden kann. Im ersten Fall heißt A mit B komponierbar, und C heißt das aus A und B komponierte Element oder auch das Produkt aus A und B und wird durch C — AB bezeichnet. Im zweiten Falle heißt A nicht mit B komponierbar und ein komponiertes Element oder ein Produkt AB existiert nicht. (Hier wäre die Einführung eines neuen Elementes Null als Symbol für bisher nicht existierende Produkte möglich, aber im allgemeinen doch von geringem Vorteil, weshalb wir davon absehen.)
1 ) Vgl. hierzu „Der Kompositionsbegriff bei den quaternären quadratischen Formen", Math. Ann. 91 (1924), S. 313, sowie einen Vortrag auf der Tagung der Schweizer Naturforschenden Gesellschaft am 2. Oktober 1924, Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 1924, II. Teil, S. 102 oder L'Enseignement mathématique 24 (1925), S. 130.
*) Die meisten Sätze gelten auch für abzählbar unendlich viele Elemente.

H. Brandt. Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.
361
Eine solche Menge miteinander verknüpfter Elemente soll Gruppoid heißen, wenn die folgenden vier Postulate erfüllt sind.
I. Wenn zwischen drei Elementen A, B, C eine Beziehung AB = G besteht, so ist jedes der drei Elemente A, B, C durch die beiden andern eindeutig bestimmt.
II. Wenn A B und B G existiert, so existiert auch (AB) G und A{B G), wenn AB und (AB) G existiert, so existiert auch B G und A (B G), wenn BC und A(B G) existiert, so existiert auch AB und (A B) G , und jedesmal ist (AB) G = A(B G), so daß dafür auch ABC geschrieben werden kann.
Aus diesen Assoziationsgesetzen schließt man leicht, daß bei Produkten aus beliebig vielen Elementen sowohl Existenz wie Wert allein durch die Reihenfolge der Elemente bestimmt sind, so daß keine Klammern gesetzt zu werden brauchen.
III. Für irgendein Element A existieren stets die folgenden eindeutig bestimmten Elemente, die Rechtseinheit E, die Linkseinheit E' und das inverse Element Ä, derart, daß die Beziehungen bestehen: AE = A, E'A = A, ÄA = E.
Wegen II kommen dazu noch die weiteren AÄ = E', EA-^Ä, ÄE' — Ä sowie EE—E und E'E' — E'. Demnach ist A das inverse Element von Ä, so daß man auch von zwei zueinander inversen Elementen sprechen kann, und Rechtseinheit und Linkseinheit vertauschen sich beim Ubergang zum inversen Element.
Die Gleichung EE = E ist offenbar für die Einheiten charakteristisch. In Verbindung mit II und I zeigt sie, daß jede Einheit E Rechtseinheit ist für alle Elemente A, für die AE, und Linkseinheit für alle Elemente B , für die EB existiert.
Die Anzahl r der verschiedenen Einheiten des Gruppoids wird als Rang bezeichnet. Gruppoide vom Rang 1 sind offenbar Gruppen.
Die Einheiten gestatten die Bedingungen der Komponierbarkeit sehr einfach zu formulieren:
Zwei Elemente A , B sind in dieser Reihenfolge dann und nur dann komponierbar, wenn die Rechtseinheit von A mit der Linkseinheit von B identisch ist.
Die Existenz des inversen Elementes ergibt: Wenn für drei Elemente A,B,G eine Gleichung AB — C besteht, so gilt gleichzeitig Ä C B, G B = A, jBÄ—C, CA — B, BC — Ä. Demnach darf das inverse Element Ä auch durch A 1 bezeichnet werden, und die Produkte A A 1 oder A 1 A sind nur da zu berücksichtigen, wo sie für sich allein stehen,
Mathematische Annalen. 96. 24

362
H. Brandt.
während sie sonst immer fortgelassen werden dürfen. Ist AB ... M — N ein Produkt aus beliebig vielen Elementen, so hat man offenbar für das inverse Element N' 1 = M~ x ... B 1 A \
Aus dem Bestehen einer Kompositionsgleichung A B = G ergeben sich eine Reihe von Folgerungen für die zugehörigen Einheiten von A,B,C, A,B,C. Man findet nämlich die sechs Tatsachen, deren jede auch umgekehrt für die Möglichkeit der Gleichung AB = C hinreicht: B und C, C und A, A und B haben paarweise gleiche Rechtseinheiten, B und C, C und A, Ä und B haben paarweise gleiche Linkseinheiten (die übrigens den drei Rechtseinheiten entsprechend gleich sind).
Der bequemeren Ausdrucksweise wegen nennen wir Elemente, welche dieselbe Rechtseinheit haben, einander rechts, Elemente, welche dieselbe Linkseinheit haben, einander links und Elemente, welche dieselbe Rechtsund dieselbe Linkseinheit haben, einander doppelt zugehörig.
Endlich wird noch die Forderung erhoben:
IV. Für irgend zwei Einheiten E,E' gibt es stets Elemente A, so daß E Rechtseinheit und E' Linkseinheit von A ist.
Die sämtlichen derartigen Elemente A sind nach der eben eingeführten Bezeichnung einander doppelt zugehörig. Sind P und Q zwei feste Elemente derartig gewählt, daß P die Rechtseinheit E' und Q die Linkseinheit E hat, so existiert PAQ, wie auch immer A der obigen Bedingung gemäß gewählt ist. Alle die Elemente PAQ=B sind aber verschieden voneinander und haben mit P die Links- und mit Q die Rechtseinheit gemeinsam. Ist andererseits B ein beliebiges Element, so wähle man nach dem letzten Postulat unter den B links zugehörigen Elementen P so aus, daß die Rechtseinheit E' ist, und unter den B rechts zugehörigen Elementen Q so, daß die Linkseinheit E ist. Dann existiert das Element P~ 1 B Q' 1 und ist unter den A enthalten, so daß B durch die Formel PAQ geliefert wird.
Verschiedene Komplexe einander doppelt zugehöriger Elemente lassen sich also stets eineindeutig aufeinander beziehen. Die Anzahl der einem Element doppelt zugehörigen Elemente hat daher für jedes Element denselben Wert. Diese Anzahl g wird als Ordnung des Gruppoids bezeichnet. Die Anzahl der rechts und auch der links zugehörigen Elemente ist ebenfalls für jedes Element dieselbe und gleich rg, die Anzahl aller Elemente des Gruppoids also r" g .
Die sämtlichen einer Einheit doppelt zugehörigen Elemente bilden offenbar eine Gruppe. Wir nennen daher solche Elemente Gruppenelemente. Die verschiedenen Gruppen, welche auf diese Weise den verschiedenen Einheiten entsprechen, sind zueinander homomorph. Sind nämlich E, E

Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.
363
zwei beliebige Einheiten, ist P ein Element, das die Rechtseinheit E, die Linkseinheit E' hat und durchläuft A die Gruppe der sämtlichen der Einheit E doppelt zugehörigen Elemente, so durchläuft PAP eine isomorphe Gruppe, nämlich die Gruppe der der Einheit E' doppelt zugehörigen Elemente.
Ersetzt man in einer Kompositionsgleichung AB — C A durch A', B durch B', wobei A und A', ebenso B und B' einander doppelt zagehörig sind, so existiert auch A' B' = C', und C und C' sind ebenfalls einander doppelt zugehörig. Demnach bilden die Komplexe einander doppelt zugehöriger Elemente selbst ein Gruppoid, und zwar ein solches von der Ordnung 1. Die Einheiten in diesem Gruppoid sind die Gruppen der den Einheitselementen doppelt zugehörigen Elemente.
Ein Gruppoid von derselben Struktur läßt sich auch aus einzelnen Elementen konstruieren. Wählt man nämlich, von einem Einheitselement E ausgehend, unter den rechts zugehörigen Elementen für jede Einheit E¡ gerade ein links zugehöriges Element A { aus, so bilden die Elemente A¿ Ä k offenbar ein Gruppoid von der Ordnung 1, das wir homomorph zu dem vorigen Gruppoid nennen können, weil sich die Elemente beider Gruppoide eineindeutig in einfacher Weise entsprechen und dies gegenseitige Entsprechen bei Kompositionen erhalten bleibt.
Wenn die Elemente eines Gruppoids § sämtlich in dem Gruppoid & enthalten sind, so soll § ein Teilgruppoid von © heißen; sind dabei alle Einheiten von © auch in ¡Q enthalten, so wird das Teilgruppoid auch Unter- gruppoid genannt. Wählt man in der Gruppe g der der Einheit E doppelt zugehörigen Elemente eine Untergruppe lj von der Ordnung h aus, und haben die Elemente A i die vorhin angegebene Bedeutung, so bilden die in den sämtlichen Komplexen A¿ I) Ä k enthaltenen Elemente ein Unter- gruppoid von der Ordnung h. Man sieht auch leicht, daß jedes Unter- gruppoid bei geeigneter Auswahl der Untergruppe Í) und der Elemente A¡ in dieser Weise darstellbar ist. Die Komplexe A¡ f) Ä k selbst bilden natürlich wieder ein Gruppoid von der Ordnung 1, das zu den früheren Gruppoiden von der Ordnung 1 homomorph ist.
Die Komplexe A { l)Ä k bilden aber auch ein Gruppoid, wenn die A i ganz beliebige zu E rechts zugehörige Elemente sind. Man darf dann aber zwei Komplexe noch nicht komponierbar nennen, wenn die Elemente des ersten mit den Elementen des zweiten komponiert werden können, sondern erst dann, wenn die komponierten Elemente selbst wieder gerade einen dieser Komplexe bilden. Die Rolle der Einheiten spielen offenbar die Komplexe A { f) Ä i . Einem beliebigen Komplex A { Í) Ä jc ist der Einheitskomplex A { 1) Ä i links, der Einheitskomplex A k Í) Ä k rechts zugehörig, während der Komplex A k Í] Ä i dazu invers ist. Die Gültigkeit der vier
24*

364
H. Brandt.
Postulate für das aus den Komplexen gebildete Gruppoid ergibt sich durch Zurückgehen auf die in den Komplexen enthaltenen Elemente.
Es soll noch die Ordnung y und der Rang q bei diesem Gruppoid bestimmt werden. Das Produkt g y gibt an, wieviel verschiedene der Komplexe A i i)Ä lc demselben Einheitskomplex, z. B. {) rechts zugehören. Ist A ein Element aus einem derartigen Komplex, so muß dieser mit dem Komplex A Í), also auch mit einem Komplex A ■ f) identisch sein. Da nun jeder Komplex A- {) h verschiedene zu E rechts zugehörige Elemente enthält, zwei dieser Komplexe aber entweder dieselben oder gar kein gemeinsames Element enthalten und es im ganzen rg zu E rechts zugehörige Elemente gibt, so ist die Anzahl der verschiedenen Komplexe
Aj 1) gleich , demnach gilt
ra
Q7 = T -
Die Ordnung y ist gleich der Anzahl derjenigen dieser Komplexe Ají), welche dem Einheitskomplex f) gleichzeitig auch links zugehören, so daß Í) Aj Í) = Aj \), welche Beziehung gleichwertig ist mit I) Aj = A j I). Alle dieser Bedingung genügenden Elemente A. gehören der Gruppe g der der Einheit E doppelt zugehörigen Elemente an und bilden selbst eine Gruppe tt, nämlich den Normalisator 3 ) von I) in g. Die Anzahl y der verschiedenen Komplexe Aj i) ist also gleich dem Index von I) in n. Wird die Ordnung von rt durch n bezeichnet, so hat man daher
n
y = ~h
und wegen des Ausdruckes für o y
ra
Q— • c n
Diese Betrachtungen gelten auch, wenn das ursprüngliche Gruppoid & den Rang r = 1 hat, also mit der Gruppe g der der Einheit E doppelt zugehörigen Elemente zusammenfällt. Ist dann noch n = g, Í) also Normalteiler von g, so wird o = 1, das entstehende Gruppoid ist also ebenfalls eine Gruppe, nämlich die zu I) komplementäre Gruppe oder Faktorgruppe g/í). Wenn I) nicht Normalteiler von g ist, tritt an die Stelle der Faktorgruppe ein Gruppoid, dessen Begriff somit hier als Verallgemeinerung des Begriffs der Faktorgruppe erscheint.
Wir werden deshalb allgemein das von den Komplexen A { f) A k gebildete Gruppoid das zur Gruppe I) im Gruppoid @ komplementäre Gruppoid oder Faktorgruppoid nennen und durch @ /I) bezeichnen.
3 ) Siehe etwa A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung (1923), S. 38.

Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.
365
Wenn man die Elemente des Gruppoids © in geeigneter Weise in ein quadratisches Schema von rgxrg Feldern, und zwar jedes der rg Elemente g - mal einträgt, so erhält man eine Kompositionstafel, welche folgende bemerkenswerte Eigenschaft hat: Wählt man in dem Schema vier Felder, welche nicht notwendig voneinander verschieden zu sein brauchen, mit den Elementen E, A, B , C , von denen E Einheit ist 4 ), so aus, daß das erste und zweite, ebenso das dritte und vierte Feld je einer Zeile, das erste und dritte, ebenso das zweite und vierte Feld je einer Spalte angehören, so ist A mit B komponierbar, und das komponierte Element A B ist gleich G 5 ).
Man kann nämlich das Schema so ausfüllen, daß diese Eigenschaft gewiß immer dann gilt, wenn das erste Feld ein ganz bestimmtes ist. Man braucht nur in dies Feld eine beliebige Einheit, in dessen Zeile die rechts, in dessen Spalte die links zugehörigen Elemente einzutragen. Ist dann aus der Zeile ein erstes, aus der Spalte ein zweites Element gegeben, so trägt man das offenbar existierende, aus beiden Elementen komponierte Element da ein, wo sich die Spalte des ersten und die Zeile des zweiten Elements treffen. Füllt man das ganze Schema in dieser Weise aus, so ergeben die Assoziationsgesetze leicht die allgemeine Gültigkeit der obigen Regel.
In der Kompositionstafel enthält eine Zeile einander rechts, eine Spalte einander links zugehörige Elemente, und zwar diese immer sämtlich und jedes Element nur einmal. Zwei Spalten oder zwei Zeilen unterscheiden sich entweder nur durch die Anordnung ihrer Elemente oder haben überhaupt kein Element gemeinsam. Irgend g Elemente, die einander doppelt zugehören, finden sich in g Zeilen und in g Spalten, also genau in den g 2 Feldern, in denen diese Zeilen und Spalten zusammentreffen.
Da man in der Kompositionstafel die Zeilen und auch die Spalten beliebig anordnen darf, so kann man die rg Felder, welche Einheitselemente enthalten, in die von links oben nach rechts unten verlaufende Diagonale bringen. Dann enthalten Felder, welche spiegelbildlich zur Diagonale stehen, zueinander inverse Elemente. Trifft man dabei die Anordnung so, daß immer die g Felder mit derselben Einheit in der Diagonale aufeinander folgen, so ist damit eine Einteilung des Schemas in quadratische Bezirke von je g 3 Feldern gegeben, und jeder Bezirk enthält g verschiedene einander doppelt zugehörige Elemente. Die Einteilung in Bezirke gibt zugleich die Kompositionstafel für das von den Komplexen dieser Elemente gebildete Gruppoid.
4 ) Ist E beliebig, so gilt AE B = C.
s ) Vgl. hierzu ').

366
H. Brandt. Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes.
Die Anordnung der Kompositionstafel läßt sich aber noch weiter verfeinern. Ist nämlich I) wieder eine Untergruppe der Ordnung h aus der Gruppe g der der Einheit E doppelt zugehörigen Elemente, so permutiere man die Spalten so, daß in einer das Element E enthaltenden Zeile die Elemente nach den Komplexen A¿I) geordnet werden. Permutiert man gleichzeitig die Zeilen in derselben Weise, so daß die Einheitselemente in der Diagonale bleiben, so sind auch in der Spalte, welche die ausgewählte Zeile in einem Diagonalfeld trifft, die Elemente nach den Komplexen í) A . geordnet. Damit ist eine quadratische Einteilung in Unterbezirke von je fr Feldern gegeben, und jeder Unterbezirk enthält die h Elemente eines Komplexes A¿ Í) Ä k . Diese Einteilung in Unterbezirke kann gleichzeitig wieder als Kompositionstafel für das komplementäre Gruppoid ©/f) angesehen werden.
Bei den Gruppen ist die Kompositionstafel unter dem Namen Gruppentafel bekannt. Man sollte hier aber die Elemente fortlassen, welche die Eingänge der Zeilen und Spalten bezeichnen"), weil sonst unter den Einheitselementen der Tafel eins in unnötiger Weise bevorzugt wird und somit ihre eleganten Eigenschaften verdunkelt werden.
°) Siehe etwa a. a. 0. 3 ), S. 3.
(Eingegangen am 12. 12. 1925.)

Über die Transzendenz gewisser dyadisclier Brüche.
Von
P. E. Böhmer in Dresden.
Einleitung.
Eine nur aus Nullen und Einsen gebildete unendliche Folge a k , [¿==0,1,2,...], definiert eine Zahl
(!) "-¿"¿Si
jfc=0 4
des abgeschlossenen Intervalles (0, 1) und weiter eine zweite unendliche Folge \m— 1,2,3,...], deren Glieder
(II) w^ m) = ~ a k ,
k= o
die relative Abschnittshäufigkeit der Eins in der Folge a k bedeuten 1 ). Umgekehrt bilden die Koeffizienten der dyadischen Entwicklung einer reduzierten Irrationalzahl u , [ 0 < u < 1 ],
(III) a lc = [2 k+1 u]-2[2 k u],
unter [a;] die größte ganze Zahl x verstanden, eine unendliche Folge von Nullen und Einsen, der vermöge (II) eine w; (m, -Folge zugeordnet ist. Von besonderem Interesse ist nun der Fall, daß die Folge einen Grenzwert
(IV) tt> = limw (m)
m= co
besitzt.
Es sei iv eine beliebig vorgegebene reduzierte Irrationalzahl, [0 < w < 1] ; dann ist 2 )
f 0 oder a lc = [kw -{■ w] — \kw] — j ^
') Vgl. Böhmer, Berichte der math.-phys. Kl. d. Sächs. Akademie 75 (1923), S. 91 f. ") Vgl. dieselben Berichte 76 (1924), S. 149f.

368 P. E. Böhmer.
und somit
di u= y r tw +w]-[¿«>]
^ ' S ! -, /-±1
k=i
ein dyadischer Bruch-, da hier
) k-\- 1 fc=0 *
w
fa.1 — r»«]
m
ist, besitzt die Folge iv lm) den Grenzwert w.
In der nachfolgenden Untersuchung beweise ich das
Theorem. Sind die Teilnenner des regelmäßigen Kettenbruches für w unbeschränkt, so ist die durch (1) definierte Zahl u transzendent.
§1-
Hilfssätze über [rw~\.
Der regelmäßige Kettenbruch für die reduzierte Irrationalzahl w habe die Gestalt
(2)
, ¡ rí=l
a 3 + ...
wo die a n natürliche Zahlen sind. Werden die Zahlen p und q durch die Differenzengleichungen
f Pn + l a n+lPn~ i T Vn-1'
l ?« + l = «» + !?« '+?»-!
und die Nebenbedingungen
(3.) = ^ -1 '
I So = 1. ?i - «,
bestimmt, so ist
< 4 > "--f.
der îi-te Näherungsbruch von w; es gelten dann bekanntlich die Darstellungen
(»i
n—0 q " q,, + 1
und
(6) «> = <»„ + {-V2
so daß stets die Ungleichungen
J
j _ q Qn + lthi + U + i
W^ v < W < lV« v+1

Transzendenz dyadischer Brüche. 3gg
erfüllt sind. Aus (6) folgt die wichtige Formel
(7) [o<i<i],
auf die sich die drei nachfolgenden Hilfssätze stützen.
Hilfssatz 1. 1st 0 < r q n + 1 und r 0 (mod q n ), so ist
(8 a) [rw] = \ ~-
L Hn
Beweis. Da nach Voraussetzung ist, folgt aus (7)
0 < , r . — < e < 1 O +V) 1n+i
r P« + (— !) e
rw — — — ;
In
da ferner nach Voraussetzung rp n :q n eine gebrochene Zahl, also
[~ r Vn ~\ I J < rp« q„-1
- ( ln -I L Qn J
und
[Mi + 1 +(-*)"* < rw < r^i + a.- i+(-i)"«
L J q n = = L q» J ' q n
ist, ergibt sich die Behauptung (8 a). Insbesondere gilt also (8 a) stets, wenn r < q n ist.
Hilfssatz 2. Ist 0 <r<^q n+1 und r=mq n , so ist (8b) [rw] =mp n — •
Beweis. Aus (7) folgt hier
. (—1 ) n m
nun ist aber nach Voraussetzung mq n ^q n + 1 , daher
m ^ 1
9w -f- 1 ÇLn
und
( 1 \ n
riv=mp n -\ — [0 < e < 1 ].
( ln
Somit erhalten wir
[rw]
Í mp n
1 mp n - 1
für gerades n, für ungerades n, in Übereinstimmung mit der Behauptung (8b).
Hilfssatz 3. Ist 0 < r <¡ q n+1 , und sind r' und m durch die Bedingungen
r — r' + mq n , 0 <r'<Lq n

370 P. E. Böhmer.
bestimmt, so gilt
(8c) [rw] = [r'w] + mp n .
Beweis. Für 0 < r' < q n gelten nach Hilfssatz 1 die Gleichungen
Ir' + mqjw] — [(r' + oiîj J] — +
e'»] -.[*?$
hingegen bestehen für r' = q n nach Hilfssatz 2 die Gleichungen
[{m + 1) q n w] = {m + 1) p n - —,
r i l-(-l)" [iM = Pn - 2 •
In jedem der beiden Fälle liefert die Differenz des Gleichungspaares die behauptete Gleichung (8c).
§2.
Die Funktion 0 (tv).
Die im Einheitskreis erklärte und über diesen Kreis nicht fortsetzbare analytische Funktion
(p (z) = (l — z)JJa k z k , M<1,
(9)
k=0
K k = [kw -j- w\ — [kw]
nimmt an der Stelle z — \ den Wert
(9a)
an und strebt bei Annäherung an die Stelle z — 1 unbeschränkt dem Grenzwerte
(9b) lim 9 ?(z) = w
Z—l
zu. Durch (9) ist <p (z) nicht nur für die irrationalen reduzierten, sondern für alle reellen Werte von lo eindeutig erklärt; indem wir von jetzt an w als das Argument, z aber als einen positiven echt gebrochenen Parameter ansehen, schreiben wir nunmehr 0(z¿>) für cp (z). Eine naheliegende Umformung von (9) liefert die Darstellung
o œ
(10) 0(w)= (] - z z) ' 2J[kw]z k ;
i=l
sie lehrt, daß <l> (w ) für positives z eine monoton wachsende Funktion von w ist, die an den Stellen 0 und 1 die Werte 0(O)=O und 0(1) = 1

Transzendenz dyadischer Brüche.
371
annimmt und jede rationale Stelle zur Sprungstelle hat. Ist nämlich
(IIa) w 0 ~^, (p < q und p, q teilerfremd),
so wachsen, wenn das Argument wachsend den Wert w 0 annimmt, gleichzeitig die Glieder
[mqw], [m = 1,2,3,...],
je am die Einheit; die Sprunggröße beträgt also
(IIb'
(1-z) 2
q- 1
1-Z «
Indem wir die Menge der rationalen echten Brüche mit Einschluß der 1 nach Nennern q ordnen nnd jetzt unter cp(q) die Anzahl der positiven echten teilerfremden Keste von q verstehen, erhalten wir für die Summe aller Sprünge im halboffenen Intervalle 0 < w 1 den Wert :! )
V m („\Lz£l.
<p(q)~ „ :?=i-
q = l
Da die gesamte Zunahme der Funktion also mit der Summe ihrer Sprünge übereinstimmt, ist <&(«;) an allen irrationalen Argumentstellen stetig; da 0(w) weiter an allen rationalen Stellen den oberen Grenzwert annimmt, ist &(w) obere Limesfunktion. Die zugehörige untere Limesfunktion & (w) wird an der Stelle w 0 = ^ auf Grund von (11) durch
{12)
(2-1
dargestellt; an irrationalen Argumentstellen hingegen ist C J> [w) mit C I> {w) identisch und kann deshalb einfacher mit <P{w) bezeichnet werden.
Durchläuft das Argument eine konvergente Folge rationaler echt gebrochener Werte w n [n — 1,2,3,...] mit dem irrationalen Grenzwerte w, so haben die beiden Funktionenfolgen 0 (w n ) und C J J (w n ) den gemeinsamen Grenzwert denselben Grenzwert besitzt auch eine Funktionenfolge (p[w n ), wenn <&(w n ) bei jedem einzelnen n in beliebiger Weise entweder gleich 0(to n ) oder gleich (w n ) gewählt wird 4 ).
3 ) Vgl. etwa K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Berlin 1922, S. 435.
4 ) Man erkennt leicht, daß der Wertevorrat des Funktionenpaares '/'(w), ']> (w) im Argumentintervalle 0 < w < 1 eine perfekte nirgends dichte Untermenge des Kon- tinuums von 0 bis 1 bildet, die die Mächtigkeit des Kontinuums und das Maß Null besitzt.

372
P. B. Böhmer.
§3.
Die Funktion <P (^) .
Die Funktionen <I> eines rationalen Arguments ^ sind rationale Funktionen des Parameters z; denn man findet aus (10), wenn k = r J r mq gesetzt wird,
1 [?] - ¿ È (-P + [?]) — fe* + [?].'}.
*=1 m=0 r=l l r = l a J
also
< 13 "
Ist p:q unkiirzbar, so erhält man aus (lia) und (lib)
(13b) ® (£)_ÛJ=î>l/î^l' + 2" [-1
V z(l-z») ( 1 — z fti L q j \
Wir betrachten nun f P(w) als Grenzwert einer Funktionenfolge f I> (w n ), deren Argumente die Näherungsbrüche der Irrationalzahl w sind. Da aus den Ungleichungen
Wov < W < W 2v+i
wegen der Monotonie von &(w) auch die Ungleichungen
( J>{w 2r ) < <£(tt>) < <P(w 2v+ 1) folgen, erhalt en wir d ie besten Näherungen an ( P (w), wenn wir
j <P(w 2v ) = 0(w 2v ),
\ 0(w 2v+i ) = $(w 2v+1 )
wählen. Die dieser Wahl entsprechenden Darstellungen (13a) und (13 b) lassen sich vermöge der Hilfssätze 1 und 2 auf eine gemeinsame Gestalt bringen. Man hat nämlich nach (8 a)
= [rw>] für r<q,
dagegen nach (8b)
[y] = V = [*■ w] + für r = 1\
das liefert aber in (13a bzw. b) eingesetzt beidemale denselben Ausdruck

Transzendenz dyadischer Brüche. 373
Endlich gewinnen wir durch Einführung des Parameters 'Q
an Stelle von z die Darstellung
(14) C *(í)-R;¡ -Hg.
WO
q
P (£) = (£— 1) ^[riv]C s ~ r + p,
(14a)
Polynome in f sind.
<2(0=^
§4.
Der Kettenbruch für <P(w).
Zwischen den Zählern P(C), die zu drei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen von w gehören, besteht eine lineare Beziehung, die wir durch eine Umformung des Ausdruckes
Qji + I
P n+ An = U -1) J] [rw)^~ r + Pn + 1
r=l
gewinnen können; wir stützen uns dabei auf die Gleichungen (3) und den Hilfssatz 3 des § 1. Setzt man
r = r' + mq n , [0 <r'<Lq n ],
so erhält man, wenn der Akzent nach der Ersetzung wieder weggelassen wird,
q q a —1
71 + 1 „ „ n «4.]
2[rw]t in " 0,2 2 8 "
r=l r— 1 m=0
+ Ê[{r + a n + 1 q n )w] f 4 »-"''
r—l
und daraus durch Anwendung der Gleichung (8c)
Qn f = J [f«] f
r— i r=l m—O r=l
« +1 1
1..
Wird jetzt
+ PnUC^ 2 IVn + an + 1 P n U f—"
r=i m— O r= i
= ' c " n ¡ l Q f'" 1 = A n+1 (o
m=0 Ç ' n - 1

374 P. E. Böhmer,
gesetzt, so ergibt sich
"" V 1 m + i n __ C g "+' — _ ttn + i £ g "-i _ A n+1 — a n + 1 C g « -i
»r^O (Í*»-!) 2 £"»-1 ~~ £ Q n- 1
und es erscheint nach gehöriger Zusammenfassung
2 = 4.+1 (J? l> «>] f ? " -r + i) +ÏJ [> «0 >
also
Pjt + 1 = A + l ((£ ~ 1)^' + 2>«) + (£ — 1) + P„-i »
x r=l ' r=l
oder mit Rücksicht auf (14 a)
(3*, P) ^+ii^P. + P«.!;
und damit ist die zu Beginn dieses Paragraphen angekündigte lineare Relation aufgestellt. Man erkennt unmittelbar aus der Gestalt von A +1 und der Definition (14a) von Q n , daß für die Q dieselbe lineare Relation
(3*) Q) 6 n +i = Ai+i6ii"l"6 n -i
besteht; da sich ferner aus den Gleichungen (14 a) wegen (3 a) die Sonderwerte
' P 0 = 0, P 1 = 1,
(3 a)
Q 0 = 1, Qi~ ^ziy 1 ' = A 1
ergeben, bilden die A n die Teilnenner, die P n und Q n die Näherungszähler bzw. Näherungsnenner der Kettenbruchentwicklung von 'Q f I> (uj). Das gesamte Ergebnis zusammenfassend können wir sagen:
Bedeutet <p(z) die durch (9) erklärte Funktion und stellt (2) den
1
C
regelmäßigen Kettenbruch für die Irrationalzahl w dar, dann wird 'Ç cp durch den Kettendruch
:»>
mit den Teilnennern
—l—l y q
(15a) AU) = " -- =
\ / n \ ' / t.« "i ».(7 ^ ^
formal dargestellt. Die Teilnenner sind also Polynome in Ç und gehen für C=1 in die Teilnenner von w über; der Kettenbruch (15) konvergiert daher für £ = 1 mit dem Werte w.

Transzendenz dyadisoher Brüche.
375
§5.
Konvergenz des Kettenbruches.
Die Differenz zwischen un( i dem w-ten Näherungsbruche der
Kettenbruchdarstellung (15) läßt sich auf Grund der Definition von
<I> ) und der Darstellung (10) in der Gestalt
2
k=l
• p
k —
3«
[kw]
l-(-l)" V 1
c*
2,
Ä=1 *
hq n
schreiben. Für gerades n fällt die zweite Summe fort und die Koeffizienten der ersten Summe sind Null oder negativ. Da
[Je w) < kiv ist, findet man nach (7)
und k — — 1 <
k*
[kw\ —
V
k — ?„
<Ck\w
1 <
+1
1.
Dagegen erhält man bei ungeradem n, wo die Koeffizienten der ersten Summe Null oder positiv sind, aus den Ungleichungen
die Beziehung
V ' k-*
<k-
— [kw] < k
und kw — 1 < [&m>]
w) -j- 1 <
2„?„ + 1
+ 1.
Nun sind hier aber die Koeffizienten der abzuziehenden Summe Null oder Eins; die rechte Seite der vorstehenden Ungleichung ist also eine Majorante der Koeffizienten des gesamten Klammerausdruckes.
In diesem Klammerausdrucke verschwinden aber nach den Hilfssätzen 1 und 2 alle Glieder, für die der Exponent von £ die Zahl q n + 1 nicht übertrifft; und damit gelangen wir zu der Abschätzung
i Pn{C)
\ Qn(C)
Mt)
H' I /- I " + 1 T. — -, ïn ?n+ 1 '
|C| " Ti A=l
Die Reihe rechter Hand konvergiert für 1 «< ¡ f | und hat zur Summe
( (Zn + 1 4" ( 7« + 1 1 ) I C I ( fjfn + 1 Çn +1) ^ f 1 I ^^1^1 1 ^ ^ I ^ I
< \ l+ 7J\ L+ ïrrJ
Qti f ¿n + 1 ( I £ I 1 )

376
P. E. Böhmer.
Aus der so bewiesenen Ungleichung
(17) 'frfy -^(?) <(i + 1 )(i+—)— 1 — K ~ 1|2|C J für i<i
x« ( £ ) Í ^ ^ + X' j £ I +1 (|£| — 1)"
folgt der Satz:
Im Bereiche l <jf| konvergiert der Kettenbruch (15) gleichmäßig und stellt dort die Funktion 'Ç cp dar.
§6.
Beweis des Theorems.
Wählt man 'Q als eine natürliche Zahl gleich oder größer als 2, dann werden die Teilnenner A n und die Näherungsnenner Q n sämtlich natürliche Zahlen; daher stellt dann die rechte Seite von (15) die regelmäßige Kettenbruchentwicklung des Zahlwerts der linken Seite dar.
Hilfssatz 4. Für 0 < n besteht die Ungleichung
(IS)
Beweis. Aus den Darstellungen
Q und A
Í-1 ^»+1 C"-1
ergibt sich
Q^ +1_1 __ (C g "-l) a »+i
-^» + 1 (C — l) a « + 1 1)
 (1 — Ç~ q " )"" + ! _1
Für 1 < a n+1 ist der Zähler kleiner als 1, während der zweite und der dritte Nennerfaktor größer als 1 sind; der erste Nennerfaktor endlich nimmt nur für f = 2 den Wert 1 an und ist sonst stets größer als 1. Ist dagegen a n + 1 = 1, so geht der ganze Bruch in 'r ~ q n-i über, ist also kleiner als 1, da für 0 < n stets 1 ^q n _ 1 ist. Der Bruch ist also in jedem Falle kleiner als 1, w. z. b. w.
Die Teilnenner a n des regelmäßigen Kettenbruches für w seien jetzt unbeschränkt, d. h. es lasse sich zu jeder vorgegebenen natürlichen Zahl v ein Zeiger n so finden, daß
v < a n+l
ist. Nun heißt eine Zahl

Transzendenz dyadischer Brüche.
377
mit den Näherungsnennern Q n eine Liouvillesche, wenn zu jeder noch so großen natürlichen Zahl v ein Zeiger n gefunden werden kann, für den die Ungleichung
Q V n<A + 1
gilt 5 ). Da nach Hilfssatz 4
" = a n + i - 1
die Ungleichung erfüllt, stellt 'Qcp (y) für jede natürliche Zahl £, die 1 übertrifft, eine Liouvillesche Zahl dar ; und das gleiche gilt von cp ^ selbst. Nach einem bekannten Satze von Liouville 6 ) ist aber jede Liouvillesche Zahl transzendent; die in unserem Theorem, behauptete Transzendenz von u = cp (I) ist damit bewiesen, darüber hinaus aber, daß auch die
Zahlen cp mit £ = 3,4,5,..., insbesondere also auch die dyadischen Brüche
<F ( 2 l) [m = 1, 2, 3, .. .]
transzendente Zahlen sind. Man sieht endlich leicht ein, daß die sämtlichen Ergebnisse dieser Arbeit auch dann bestehen bleiben, wenn \w] von Null verschieden ist ; denn in diesem Falle ändert sich die Darstellung (15) nur dahin ab, daß rechts die Zahl
[w]£ = A 0
als nullter Teilnenner hinzutritt.
Dresden, im August 1925.
5 ) Vgl. O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig u. Berlin 1913, S. 140 f.
6 ) J. de math. 16, 1851.
(Eingegangen am 6. 11. 1925.)
Mathematische Annalen. 96.
25

Zur Theorie der lastperiodischen Funktionen.
Von
G. Szegö in Berlin.
(Auszug aus einem Briefe an H. Bohr.)
... In einer kürzlich in den Comptes Rendus erschienenen Note 1 ) beweisen Sie das folgende interessante Theorem:
Wenn eine fastperiodische Funktion f[x) der reellen Veränderlichen x eine beschränkte Exponentenfolge besitzt,
(1) \A v \<K (* = 1,2,3,...),
dann ist fix) eine ganze Funktion; d. h. es gibt dann eine ganze Funktion der komplexen Veränderlichen x, die sich auf der reellen Achse auf f(x) reduziert.
Der a. a. O. 1 ) für dieses Theorem gegebene Beweis beruht auf einem zentralen Resultat der II. Mitteilung Ihrer Arbeit Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen aus den Acta Mathematica 2 ), nämlich auf dem sog. verschärften Approximationssatz 8 ). Es soll nun im folgenden für das obige Theorem ein kurzer Beweis angegeben werden, der von diesem Satze keinen Gebrauch macht und aus den Hauptergebnissen der Theorie der fastperiodischen Funktionen nur den sog. Eindeutigkeitssatz 4 ) heranzieht.
1 ) H. Bohr, Sur une classe de transcendantes entières [Comptes Rendus 181
(1925), S. 766-768],
3 ) I. Mitteilung: 45 (1924), S. 29-127; II. Mitteilung: 46 (1925), S. 101-213; III. Mitteilung: 47 (1926), S. 237—281. — Diese drei Arbeiten werden im folgenden mit I, II, III zitiert.
3 ) Vgl. II, S. 184. Man könnte übrigens den in Rede stehenden Satz auch aus einem Resultat von III (S. 265) schließen (vgl. H. Bohr, Uber allgemeine Fourier- und Dirichletentwicklungen, Den Sjette Skandinaviske Matematikerkongres, S. 173 —190, insb. S 183), das jedoch in III ebenfalls mit Hilfe des verschärften Approximationssatzes bewiesen wird.
4 ) Vgl. I, S. 54.

G. Szegö. Fastperiodische Funktionen.
379
Dieser lautet: Wenn für eine fastperiodische Funktion fix) die (notwendig existierenden) Grenzwerte
X
(2) lim — [f(x) e~ i,x dx (A reell)
o
für alle reellen Werte von A verschwinden, dann ist f{x) identisch gleich 0.
Als wesentliches Hilfsmittel wird ferner eine Integralbildung benutzt, die dem Fejérschen Integral analog ist und, auf eine fastperiodische Funktion angewendet, ein Analogon der Fejérschen Mittel der gewöhnlichen Fourier- schen Reihe liefert. Schließlich werden die Ergebnisse mit einem Satz von S. Bernstein kombiniert; dies liefert eine weitere interessante Eigenschaft der fastperiodischen Funktionen, welche durch die Bedingung (1) charakterisiert sind.
1. Es sei zunächst f[x ) eine beliebige, im Intervall — oo < x < co definierte beschränkte und stetige (nicht notwendig fastperiodische) Funktion. Wir setzen für jedes positive (nicht notwendig ganze) n
(3) 4(.)--± /«* + *,.££)« -
— CO — co
Das letzte Integral konvergiert auch für komplexes x und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Bereiche der a;-Ebene: f (x) ist eine ganze Funktion von x.
2. Es sei jetzt f{x) eine fastperiodische Funktion und
(4) f(x)~ £a r e iA * x
V— 1
5 ) Solche Integrale sind in der Literatur öfters betrachtet worden. Vgl. z. B. G.H.Hardy, Notes on some points in the integral calculus, LVI: On Fourier's series and Fourier's integral [Messenger of Mathematics 52 (1922), S. 49 —53], s. insb. S. 52, (11). — Im Falle einer periodischen Funktion reduziert sich (3) wegen
CO
y i = i
^.(f+a ( 2sin |) 3
auf die gewöhnlichen Fejérschen Mittel.
Es ist, wie man auf eine geläufige Weise zeigen kann,
lim f n (a
und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle (bzw. gleichmäßig für — co 0<; oo wenn f {x) auf der ganzen reellen Achse gleichmäßig stetig ist).
25*

380 G - Szegö.
ihre Fourier-Entwicklung. Dann ist, wie unmittelbar ersichtlich, f n (x)
ebenfalls fastperiodisch "). Ich behaupte, daß ihre Fourier-Entwicklung folgendermaßen lautet:
(5)
Mr I < »
wo, wie angedeutet, nur solche Glieder vorkommen, für die ¡ A,. < il gilt. Es gilt, wenn 1 eine beliebige reelle Zahl ist,
X <*> / X \ / ■ n t\°
i r 2 r i c \ sin 2
yj f n {x)e-* ix dx= —J ( r J f{è + x)e-^*dx\[—ç—)dÇ
X
O — OD \ O
2 n h .
?+X N fsin -^Y
Çm i Ç , -v.x , \ 2 , -Je I I f{x)e dx \—|— J dç .
— co \ § /
Nun hat man gleichmäßig in f 7 )
Folglich ist
¡ c x
lim yr f(x) e~ iix dx = a(À) —
a,.
für X
0
sonst.
CO
/ • n
r
l sin "9
1 e
ail 2
J
V I
lim ^ f n (x) e~ iix dx = a(X) \— f~/ •
^ * 0 —co
Das letzte Integral kann wegen
cc ( . % J\ " X
(0)
v/ nn J \ £ / nn J t 2
— co
leicht ausgerechnet werden. Es ist
co / . n A 3 CO
2 U m « ) = JL f cost?(l-coBnt)
njiJ \ Ç / s t 2
CO QO 00
1 feos/, f — 1 , e 1 feos^ + tt)! — 1 ,. 1 feos (A — n) | — 1 , ,.
~ njcJ f 2 2^J" £ 2 _ 2wlrJ — p -
— CO — CO —CO
. ill I I ¿ + n j , l¿-n| = I 1 - 1 ' ' wenn 1 1 I ^ w '
n 2»i ■" 2 m j
I 0 sonst,
womit (5) bewiesen ist.
8 ) Die Funktionen f n (x) und f (x) bilden sogar eine sog. ausgezeichnete Menge. Vgl. II, S. 107.
') I, Satz VIII, S. 45-46.

Fastperiodische Funktionen. 381
3. Betrachten wir nun eine fastperiodisclie Funktion f(x), deren Exponentenfolge A ,, beschränkt ist,
\A V \<K (*=-1,2,8,...).
Dann ist also für n^> K
cc
40) ~ ib 7 - ^r) UveiAyX -
v=t
Hieraus folgt
CO
(« + l)f n+i (x) — n /*„ (®) a r e iA v x ,
V=1
so daß nach dem Eindeutigkeitssatz
(7) f{x) = (n+l)f n+1 (x) — nf n (x)
r/rtf ) {(—(—f^r-)'} « •
= 1.
Das Integral auf der rechten Seite stellt hier eine ganze Funktion von X dar, womit die Behauptung bewiesen ist.
4. Es gilt etwas allgemeiner als (7) für jedes a > 0
(8, f( x ) _ +
2
it a
(n>K).
Wir wollen diese Darstellung benutzen, um die Funktion /'(a;) und ihre Ableitungen auf den zu der reellen Achse parallelen Geraden abzuschätzen.
Es sei X = u + i V gesetzt (u, v reell) und M bezeichne die obere Grenze von \f(u)\ für — co < u < oo. Dann folgt aus (3) für »4=0
I I
2 M f sin
CO
< ^ ( = ~ññ-í
CO
< — f
— nie J
11
sin (f — i«) f — i«
COsh HD- COS
c--!-r a
< ii c " sh " r -- + M < Jí C e" w ,
— W r ;■ 1
wo C eine absolute Konstante ist.

382 G. Szegö. Fastperiodische Funktionen.
Aus (8) schließen wir also, daß
(9) \f(u + iv)\ < 2 SE±SÙMC e w+a)\v\ ( a > o).
Für ganze Funktionen von dieser Art kann aber nach einem Satze von S. Bernstein f'(u) für reelles u abgeschätzt werden 8 ). Es ist
\f\u)\^(K-\-a)M (-co < « < oo),
und da dies für jedes a gilt,
I f'{u)\<^KM (— oo < u < oo).
Eine ähnliche Abschätzung gilt für die höheren Ableitungen:
(10) \f n \u)\ £K m M (-oo <«<«>; m = 0, 1,2, ...). Hieraus folgt übrigens, daß schärfer wie (9)
oo i«»+«)i
ml
I m—O
< Me K l®l
gilt 8 ). Es ist ferner, wie man auf dieselbe Weise zeigt,
(10') \f m (u + iv)\<K m Me K 1*1 (m = 0,1 ,2,...).
Aus (7) ersieht man schließlich, daß sämtliche Ableitungen von f{x) auf der reellen Achse und auf allen dazu parallelen Geraden fastperiodisch sind. Wir erhalten also das folgende Theorem:
Es sei f(x) eine fastperiodische Funktion der reellen Veränderlichen x, deren Exponentialfolge beschränkt ist,
\A V I < K (r = l, 2, 3,...).
Dann ist fix) eine ganze Funktion, die samt ihren sämtlichen Ableitungen auf allen zur reellen Achse parallelen Geraden fastperiodisch ist. Es gelten ferner bei beliebigem komplexem x die Ungleichungen
\f'*0(x)\:£K m MeXl3*\ (m = 0, 1,2, ...),
wobei M die obere Grenze von j f(x)\ für reelle x bezeichnet 10 ).
Berlin, März 1926.
9 ) S. Bernstein, Sur une propriété des fonctions entières [Comptes Rendus 176 (1923), S. 1603—1605]; vgl. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis [Berlin, J. Springer, 1925], Abschnitt III, Nr. 165, 1, S. 116—117, 289, Abschnitt IV, Nr. 201, 2, S. 35, 218-219.
9 ) Vgl. G. Pólya und G. Szegö, a. a. 0. 8 ), Abschnitt IV, Nr. 202, 2, S. 36, 219.
10 ) Dieser Satz kann — abgesehen von der Abschätzung von /" ( " !> (x) für 7>i= 1, 2, 3, ... — auch mit Hilfe der Beweismethode der Bohrschen Note erhalten werden.
(Eingegangen am 17. 3. 1926.)

Beiträge zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. II. Teil 1 ). Funktionen mehrerer Variablen.
Von
S. Bochner in Berlin.
Inhaltsverzeichnis.
§ 6. Einleitung.
§ 7. Einige Definitionen.
§ 8. Die Approximierbarkeit durch Exponentialpolynome.
§ 9. Fourierreihen.
§ 10. Die Zurückführung auf grenzperiodische Funktionen.
§ 11. Integralgleichungen.
Verzeichnis der zitierten Literatur.
§6.
Einleitung.
Die Behandlung der mehrvariabligen Funktionen wird sich auf Grund der Definition der Fastperiodizität, von der wir ausgehen werden, sehr einfach gestalten.
Es sei eine (gleichmäßig stetige) Funktion zweier Variablen /"(£, r¡ ) gegeben. Zu jedem e seien relativ dichte Werte g(e) des Intervalls — oo < g < -f- co und relativ dichte Werte o(e) des Intervalls — oo < a < + oo gegeben, so daß jede Kombination aus einem solchen g ( e) und einem solchen a (e) einen zu e gehörigen Verschiebungsvektor der Funktion f(£, ij) liefert:
/— co< £< + oo\
\f(£ + Q,v + a ) — f(£,v)\£ e ( , i j •
 \—oo<r¡
l ) Der I. Teil dieser Arbeit, mit dem Untertitel: „Funktionen einer Variablen", erschien in den Math. Ann. 96, S. 119. Die Paragraphen und Sätze sind fortlaufend numeriert; alle Bezeichnungen und Abkürzungen haben dieselbe oder eine (jeweils aus dem Zusammenhang unmittelbar ersichtliche) analoge Bedeutung wie im I. Teil.

384
S. Bochner.
Die eben gegebene Charakterisierung läuft offenbar darauf hinaus, daß die Funktion f(f, »;) in jeder Variablen (bei Festhalten der anderen) eine fp. Funktion ist, und daß die zu den Parametern j ; und | gehörigen Funktionenmengen
9?,(£) = V)
v>e(v) = f{£> v)
ausgezeichnete Mengen sind. Nach Satz V kann man dann die Funktionen y\{r¡) gleichartig durch ein Polynom in r¡
5] a n (£)
approximieren, in welchem a n (f), von einem konstanten Faktor abgesehen, den Wert des „Fourierkoeffizienten"
hat. Jede solche Funktion a„(f) ist aber, wie unschwer zu zeigen, fastperiodisch in f, also durch Polynome in £ approximierbar, woraus dann endgültig folgt, daß man bei jedem e Approximationspolynome von f(f, ■>]) der Gestalt a n angeben kann:
I /"(£, rj) — 2 a n I <¡ e.
Die eben skizzierte Zurückführbarkeit des „mehrvariabligen" Approximationssatzes auf den „einvariabligen" schließt in sich, daß der Bohrsche „Fundamentalsatz" nicht nur für die einvariabligen, sondern auch für die mehrvariabligen fp. Funktionen das „Fundament" abgibt. Der Approximationseigenschaft ist es zuzuschreiben, daß auch alle anderen Eigenschaften der einvariabligen Funktionen sich in analoger Weise auch von den mehrvariabligen behaupten lassen.
Die Gesamtheit der fp. Funktionen, die wir behandeln werden, wird (im Falle zweier Variablen) nicht größer sein als die eben umschriebene, nur daß wir eine (scheinbar) allgemeinere Definition zugrunde legen werden, indem wir nur verlangen werden, daß die Verschiebungsvektoren (o, o) flächenhaft relativ dicht in der g -a- Ebene liegen sollen, derart, daß sie in jedem Rechteck von den Längen ^(e) und Z 3 (e) mit irgendeinem Vektor vertreten sein sollen.
Die Zurückführung dieser Definition auf die obige Charakterisierung, die man auch in einfacher Weise nach der Beweismethode zu Satz III aus Abh. I vornehmen kann -), wird sich auf dem Wege über die Normalitätseigenschaften der fp. Funktionen ergeben.
Unsere Definition der Fastperiodizität wird sich von vornherein auf Funktionen unendlich vieler Variablen erstrecken. Die Behandlung der
-) Diese Bemerkung rührt von Herrn H. Bohr her.

Fastperiodische Punktionen. II.
385
mehrvariabligen Funktionen ist gar nicht anders als die der zweivariabligen, bei den unendlichvariabligen tritt noch hinzu, daß eine solche Funktion sich in erster Linie durch endlichvariablige fastperiodische approximieren läßt.
Durch passende Wahl der Bezeichnungen und Begriffe gelangen wir zu einer wörtlichen Übertragung fast aller Sätze über einvariablige Funktionen. Unter anderem existieren Fourierreihen, mit denen formal gerechnet werden kann, Sätze über Summation durch Fejérpolynome, gleichartige Summation, ausgezeichnete Mengen, Zurückführung der allgemeinen Funktionen auf grenzperiodische usw.
Im letzten Paragraphen bemerken wir noch, wie sich Integralgleichungen mit fp. Kernen wörtlich ebenso wie die mit periodischen behandeln lassen.
§7.
Einige Definitionen.
Jede Zahl im üblichen Sinne werden wir zur Unterscheidung von noch einzuführenden anderen Zahlen als „skalar" bezeichnen.
1. Unter einer Funktion f(x) schlechthin verstehen wir von nun an eine Funktion von endlich oder abzählbar unendlich vielen Variablen. Der zugrunde gelegte Variablenraum
X — (X, X, X, . . .)
12 3
umfaßt alle Punkte
— co <• X < + oc [v = 1, 2, 3, ...).
V
Die Zahl x heißt die v-te Komponente des Punktes x. Im Falle
V
eines nicht als endlichvaTiablig spezialisierten Raumes ist eine endlichvariablige Funktion eine solche, die in allen Komponenten von einem bestimmten Index an konstant ist.
2. Wenn irgendwo im folgenden eine ganze Zahl, z.B. N, als variabler Index der Komponente x unendlich groß werden kann oder soll, dann
N
heißt das im Spezialfälle eines endlichvariabligen Raumes oder einer endlich- variabligen Funktion, daß von einer gewissen Stelle ab diese ganze Zahl, z. B. N, dem konstanten Wert n der Dimension des zugrunde liegenden Raumes gleich sein kann oder soll.
3. Es gelten die Abkürzungen
f(x) = f{x, x, x, ...),
12 3
X = (X, X, X, . . .),
12 3
c = (c, C , C, .••)}
12 3

386 S. Bochner.
X V = ( Xy , Xy , Xy , . . . ) j 12 3
x' = (x', x', x', ...),
12 3
f (Xi_ + X¡) = f(Xy + X 2 , Xy + Xi, x x + x 2 , ...).
1 la 2 3 3
Nur für numerisch ausgeschriebene Zahlen (z. B. — § und 17) gelten die Abkürzungen
-§*+17 = (-§* + 17, -§* + 17, -§* + 17, ...) ,
— x = (— l)x= (— X, — X, — X, ...), V-i; 123
0 = (0, 0, 0, ...),
oo = (oo, OO, CO, . . .).
4. Wenn zwei Punkte a und b, mit a <b, v = 1, 2, 3, ..., gegeben
V V
sind, dann verstehen wir unter dem offenen Intervall
(2) a < x < b bzw. dem abgeschlossenen Intervall
(3) a x b die Punktmengen
a<x<b bzw. a<tX<^b (v = 1, 2, ...),
V V V V V V
und unter der Länge l = b — a des Intervalls a <^x <Lb ist die „Zahl"
(b — a, b — a, b — a, ...)
1 1 2 2 3 3
(vgl. 12) gemeint. Ein Intervall (2) oder (3) heiße endlich, wenn alle Skalare a und b endlich sind.
V V
5. Wir legen unserem Variablenraume den in Abh. II, § 7 eingeführten Konvergenzbegriff zugrunde, wonach zwei Punkte als „nahe gelegen" aufzufassen sind, wenn sie für „genügend großes" N in den N ersten Komponenten nur wenig differieren, und führen demgemäß die folgende Terminologie ein. Unter einer „ Entfernungszahl " ô (wir werden das Symbol d auch für skalare Zahlen verwenden) ist eine Doppelzahl (ô',N) zu verstehen, wobei <5' ^ 0 und N eine ganze Zahl 1 ist. Die Relation ^ <[ ist gleichbedeutend mit
und N^N 2 ,
und die Addition von Entfernungszahlen und ihre Multiplikation mit positiven Skalaren geschieht nach der Vorschrift

Fastperiodische Funktionen. II.
387
¿i -j- <5 2 — (ó a + da, Min [N 1 ,N <¡ )) kô = (kô', N).
Eine Folge von Enfcfernungszahlen á,, v = 1, 2, 3, ..., heiße gegen Null konvergent, falls
ö' v —»0 und N r —»oü (vgl. 2).
v —y co v —► co
6. Von zwei Punkten x 1 und x„ sagen wir, daß sie einen Abstand ^ (5 haben,
¡ — x 3 I ^ ô,
falls
\ x i~ x *\úá' 0' = 1, 2, ..., N).
V V
Aus x 1 — x 2 I ^ ö und ô folgt ¡ x x — x 9 | ^ , aus | x 1 — x. 2 \ <¡ ô und k > 0 folgt k x 1 — k x 2 | <j k ô und aus x 1 — x<¡ j <[ und ] — cc 3 <1 (\ 2 folgt I x t — x a | ^ ô 1 -(- ó<¡ .
7. Die <5-Umgebung des Punktes x besteht aus allen Punkten y, für welche y — x I <[ ci und die ¿-Umgebung der Punktmenge X aus den ö- Umgebungen aller Punkte x aus X. Eine Punktfolge x x , x<¡, ... konvergiert gegen x 0 , wenn in jeder Umgebung von x 0 nur endlich viele Punkte x v nicht enthalten sind, wofür notwendig und hinreichend ist, daß komponentenweise Konvergenz statthat
lim x r = x Q (m = 1,2,3,...).
r -> co m m
Nach Cantor-Hilbert besitzt demnach eine in einem endlichen Intervall gelegene Punktmenge mindestens einen Häufungspunkt.
8. Es bedeute P v (v = 1, 2, 3, ...) die Gesamtheit der Punkte
( 9i -, ~, ..., ~, 0, 0, 0, ...) mit irgendwelchen ganzen Zahlen g 1 , g^, ..., g v ,
dann bildet die Vereinigungsmenge P = P (1) + P'" 1 + P (i) + • • • e i ne a b- zählbare, überall dicht gelegene Punktmenge, von der schärfer folgendes ausgesagt werden kann.
Es gibt eine ( abzählbare) Punktmenge P derart, daß zu jedem endlichen Intervall a<^x<Lb und jeder Entfernungszahl ö eine endliche Teilmenge P& von P so angegeben werden kann, daß die ô - Umgebung von P, ï das Intervall a<lx<^b vollständig überdeckt. Denn man wähle v so groß, daß
ôv = (7' ") = 0
ist, dann leisten diejenigen (endlich vielen) Punkte aus P (l '', die in a<^x ^ b gelegen sind, das Gewünschte.

388
S. Bochner.
9. Eine Funktion f(x) ist stetig in x 0 , wenn zu jedem e alle Punkte x einer ô (e)-Umgebung von x 0 der Ungleichung
I f(x) — f{x o) I ^¡e
genügen. Die Funktion f{x) heißt gleichmäßig stetig, wenn ein für alle Punkte x 0 gültiges ó (e) angegeben werden kann. Eine überall stetige Funktion ist in jedem endlichen Intervall beschränkt, weil sonst in einem solchen Intervall mindestens ein Unstetigkeitspunkt liegen müßte.
10. Es liege eine in einer Punktmenge E des x- Raumes definierte Funktion cp(x) und eine Teilmenge E' von E vor. Wir nennen <p[x) gleichmäßig stetig
a) in E', wenn für irgend zwei Punkte aus E'
I 99 ('á^ ) — cp (a; 3 ) I e für | x x — | '<§ à (e)
besteht ;
b) auf E' , wenn für einen Punkt x 1 aus E' und einen Punkt x 2 aus E die Relation
! <p( Xl ) — für I x 1 — x^ I ^ ô (e)
besteht.
Nach bekannter Schlußweise (vgl. z. B. Abh. II, S. 136) ist eine stetige Funktion f(x) auf jedem endlichen Intervall
a <Lx <^6
gleichmäßig stetig.
11. Den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz verstehen wir im üblichen Sinne. Der gleichmäßige Limes gleichmäßig stetiger Funktionen ist eine gleichmäßig stetige Funktion. Jede gleichmäßig stetige Funktion f(x) ist durch ebensolche endlichvariablige, z. B. die Funktionen
fn( x )=f( x > X,..., X, 0, 0, ...),
12 11
gleichmäßig approximierbar.
12. Unter einer [Punkt-)Zahl
a = (ß, «,...) i 2
verstehen wir eine mit reellen Skalaren aufgebaute Zahl von derselben Dimension wie der zugrunde liegende Variablenraum. Wegen der Punkt- Null vgl. (1). Eine Zahl heißt finit, wenn nur endlich viele Komponenten von Null verschieden sind. Eine ganze Punktzahl y bzw. eine rationale Punktzahl g ist eine Zahl, deren Komponenten ganz bzw. rational sind. Unter einer ganzen Zahl g bzw. einer rationalen Zahl r, ohne weiteren Zusatz, ist immer nur ein Skalar gemeint. Zwei Zahlen sind gleich
a = ß,

Fastperiodische Funktionen. II. 389
wenn sie komponentenweise gleich sind
a = ß, (*=1,2,8,...),
V V
weiterhin gilt die Rechenregel
r x a + r 2 ß = [r 1 u + r^ß, r x a + r 2 ß, a + r 2 ß, ...).
1 1 2 2 3 3
Wenn von zwei Zahlen, a und ß, (mindestens) eine finit ist, so verstehen wir unter dem Produkt «/? = ( aß) das Skalar
CO
2 aß.
V=1 V V
Wo immer ein Produkt der Gestalt i. t auftritt, wo „die Variable" t als Punkt des Variablenraumes gemeint ist, wird der Faktor X als finit vorausgesetzt.
Für beliebige Punktzahlen a und ß verstehen wir unter [aß] die Punktzahl [aß, aß, aß, ...].
1 1 2 2 3 3
18. Auf Punktzahlen übertragen sich wörtlich alle Betrachtungen aus § 1, 14 bis 19, die wir gedrängt resümieren. Als (finite) Zalilenmenge bezeichnen wir immer eine endliche oder abzählbare Menge von untereinander verschiedenen (finiten) Zahlen. Jede im folgenden vorzunehmende Operation führt bei finiten Zahlenmengen immer nur auf finite Zahlenmengen. Unter einer reduzierten Zahlenmenge verstehen wir eine Zahlenmenge, deren Elemente a 1 , , a 3 , ... keine lineare Verbindung mit rationalen r
«i + « 2 + ••• +r k a k = 0 (I î-i ! + | r a | + ... +| r k | > 0), also kein simultanes Gleichungssystem
+ r 2 ß 2 + ... + r k a k = 0 (v = 1, 2, 3, ...)
V V V
zulassen. Weiterhin erinnern wir an die Begriffe: Basis einer Zahlenmenge, linear unabhängige Zahlenmengen, Modul, ganzer Modul G{a 1 ,a ¡¡ , ...,a k ), Vereinigungsmodul, und an den Satz: Jeder Modul läßt sich durch endliche ganze approximieren. Ebenso wie im einvariabligen Falle (vgl. Abh. II. S. 122) sprechen wir von einer ganzen Basis (ß 1 , « 2 , a s , . . .) der (beliebigen) Zahlenmenge (| 1S f 2 , ...), wenn in den Darstellungen
iv = rï' ] a 1 + ri v) a 2 + ... {v = 1, 2, 3, ...)
alle Koeffizienten r¡, r) ganz sind.
14. Die stetige Funktion f(x ) soll reinperiodisch mit der Periode
V = {Vi, Ps»P 8 ,---) (P» + o)

390
S. Bochner.
heißen, wenn für jede ganze Punktzahl y
f(x-\~[yp]) = f(x), w ozu genügt, daß f(x) i n jeder Komponente x reinperiodisch mit der
m
Periode p m ist
f(...,x + p m ,...) = f(...,x,...).
m m
Unter einer grenzperiodischen Funktion f(x) mit der Grenzperiode
P = (Pi> Pa>--')
ist eine Funktion gemeint, die sich gleichmäßig durch reinperiodische mit Perioden der Gestalt [gp] ( Q beliebig rational; vgl. 12) approximieren läßt, wozu notwendig und hinreichend ist, daß sie sich durch reinperiodische Funktionen mit Perioden rp (r beliebig rational; vgl. 12) beliebig approximieren läßt (vgl. Abh. II, S. 146, § 12).
15. Zum Schluß noch eine Bemerkung. Es ist ganz klar, daß auf Grund unserer Definitionen, insbesondere der des Umgebungs- (d. h. des Konvergenz-)Begriffs alle Eigenschaften unserer Funktionen (Stetigkeit, Periodizität, Endlichvariablichkeit usw.) erhalten bleiben, wenn man von einer festen Anordnung der Variablen zu einer beliebig anderen festen Anordnung übergeht. Der Einfachheit halber denken wir uns im folgenden eine Anordnung der Variablen beliebig gewählt und festgehalten.
§8.
Die Approximierbarkeit durch Exponentialpolynome.
1. Definition. Eine (überall im x-Raume definierte und) stetige Funktion f(x) soll fastperiodisch heißen, falls es zu jedem e eine ,, Inter - vallänge" l = 1(e) (l > 0) derart gibt, daß jedes Intervall a < r < ß der
V
Länge ß — a — l mindestens eine Verschiebungszahl x (f, e) enthält, d.h. eine Punktzahl t, welche der Relation
I f(x + t ) f(x) I ^ s (— oo < a; < + oo)
genügt.
Wir werden uns dahin ausdrücken, daß die Verschiebungszahlen r.(f,e) relativ dicht liegen, und werden im allgemeinen unter dem relativ dichten Auftreten von Punkten einer gegebenen Menge die Existenz einer Länge l meinen, so daß jedes Intervall dieser Länge mindestens einen der fraglichen Punkte enthält.
2. Satz XXV. Jede fp. Funktion f(x) ist beschränkt und gleichmäßig stetig.

Fastperiodisclie Punktionen. II.
391
Beweis. Man bestimme zu e = 1 die Verschiebungslänge Z = 2(1). Im Intervall 0 x l hat | f(x) | eine Schranke G (vgl. § 7, 9.), also ist
! f( x ) I ^ $ + 1 (—oo<x<+°°)-
Um zu einem e ein Stetigkeits -ö(e) zu erhalten, bestimme man zu das l und zum Intervall
(1) 0^x£l
ein zu 4) gehöriges ô x für die gleichmäßige Stetigkeit auf diesem Intervall. Dann kann man ô { e ) = ô 1 setzen. Von zwei Punkten | x 1 — | ¿»j kann man nämlich x 1 durch eine Verschiebungszahl nach (1) verschieben: 0 <¡ x 1 -j- r ^ l ) , woraus folgt
\f( x i) — f( x *) I ú\f( x i + T ) - f( x 2 + T ) I + \f( x i + r ) — f( x i) I
+ |/'(« 9 + «) — fi X i)\
^ e I £ I £
^ 2" + T + T = e -
Satz XXVI. Die Limesfunktion f{x) von gleichmäßig konvergenten ff. Funktionen f ± (x), f 2 {x),f a (x), ... ist wieder fastperiodisch.
Beweis. Wenn | f n (x) — f{x) | ^ y ist, ist jedes r (f n , ein r (f, e).
Satz XXVII. Jede (stetige) reinperiodische Funktion {demnach auch jede grenzperiodische Funktion) ist fastperiodisch.
Beweis. Wenn p = {p 1 , p 2 , p 3 , ...) eine Periode der Funktion ist, kann man jedem e die Verschiebungslänge l=2p zuordnen.
Kor o llar. Jeder Exponentialausdruck ae i,x , d. h. jeder {endlich- variablige) Ausdruck der Gestalt ae' 11 32 ist fastperiodisch.
Es kommt jetzt der Satz an die Beihe, daß die Summe zweier fp. Funktionen wieder fastperiodisch ist. Dieser Satz wird sich auf dem Wege über die Normalitätseigenschaft ergeben, der wir uns nunmehr zuwenden.
3. Unter der Verschiebungsfunktion vJr) einer (beliebigen) beschränkten Funktion f ( x ) verstehen wir die in — oo < t < -f- oo (—oo<r<-|-oo; '' = 1,2,3,...) definierte reelle Funktion
Vf(r) == Ob. Gr. \f{x J r x) — f{x)\.
— CO <C$<C + 00
Bei fp. Funktionen werden wir wiederum die Bezeichnung e(x) gebrauchen.
Satz XXVIII. Damit eine Funktion e(r) eine {fp.) Verschiebungsfunktion ist, ist notwendig und hinreichend, daß sie die nachfolgenden

392 S. Boehner.
Bedingungen a), b), c), d) oder a), b), c), d" ) erfüllt. Die Verschiebungsfunktion von e(r) ist wiederum e(r).
a ) e ( T ) ^0, e(0) = 0,
b) e(r)== e( — x),
c ) e ( r i + t 2) ^ e ( T x) + e ( t 2) bziu. \e(r 1 +t 2 ) — e(r l )\ ^.e(r a |,
d) e(r) ist fastperiodisch,
d ) e( t) ¿sí stetig im Punkte t = 0 und f ür jedes e liegen die Punkte e (r) ^ e relativ dicht in — oo < x < -f- oo. Beweis: Wörtlich wie in § 4, 1.
Satz XXIX. Die Verschiebungsfunktionen e^ (r), e^(r), e f „ (r), ... von gleichmäßig konvergenten fp. Funktionen f 1 (x), f., (x), f z (x), ... konvergieren gleichmäßig gegen die Verschiebungsfunktion der Limesfunktion lim f n {x).
n-> oo
Beweis. Wie zu Satz XII und XIII.
4. Eine ausgezeichnete Menge (vgl. § 1, 8.) ist eine Gesamtheit von fp. Funktionen, die für jedes e gemeinsame Stetigkeits-<5(s) und gemeinsame relativ dichte Verschiebungszahlen r («) besitzen.
Eine fp. Funktion f(x) ist Majorante der Funktion g (x), falls
e f (r)>e g (T).
Im Falle e f {r) = e g (r) heißen die Funktionen ähnlich. Funktionen mit gemeinsamer Majorante bilden eine majorisierbare Menge.
Satz XXX. Jede ausgezeichnete Menge ist majorisierbar und jede majorisierbare Menge ist ausgezeichnet. Für jede majorisierbare Menge
e i (r) (i durchläuft eine Indexmenge D )
ist die Funktion
e(r) = Ob. Gr. (e f (r))
i\D
die kleinstmögliche (Verschiebungs-)Majorante.
Beweis. Man überzeugt sich leicht, daß der Beweis zu den Sätzen XIX und XX wörtlich herübergenommen werden kann.
5. Eine stetige Funktion f(x) soll eine Normalfunktion heißen, wenn aus jeder Folge f(x +Jfc v ) (»>=1,2,3,...) mit irgendwelchen Punktzahlen k v eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ausgewählt werden kann.
Satz XXXI. Jede fp. Funktion ist eine Normalfunktion und jede Normalfunktion ist eine fp. Funktion.
Beweis. Wir haben zuerst zu zeigen, daß aus jeder Folge f(x-\-k y ) (»» = 1,2,3,...) eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ausgewählt werden kann. Ähnlich wie in § 5, 3. werden wir die Auswählbarkeit schon für

Fastperiodische Funktionen. II. 393
den Fall einer beliebigen (gleichartig) beschränkten ausgezeichneten Folge nachweisen. Es liege eine derartige Folge
fi(x), f t (x), f a (x), ...
vor. Wir bestimmen eine Teilfolge
(2) fi(x), fl(x), fs(x),...
derart, daß sie in jedem Punkte der Punktmenge P aus § 7, 8. konvergent ist. Die Folge (2) ist dann gleichmäßig konvergent. Sie ist nämlich in jedem endlichen Intervall a <^b gleichmäßig konvergent. Denn bestimmt man zu ~ ein ô der gleichartig gleichmäßigen Stetigkeit und zu
diesem die (endlich vielen) in a ^ x <j b gelegenen Punkte P s (vgl. § 7, 8.) und ein so großes N, daß in den Punkten
für m^N, n^>N,
dann ist für jeden Punkt aus a <^x <¡6
I C{x) - n (x) I ^ I fm (Í) — /» (í) I + I f¿ (f ) - f!n (x) \
+ I fñ (£ ) — fn (®) |^2"+j+4" = e,
wobei I den x nächstgelegenen Punkt aus Ps bedeutet. — Und nun schließt man wörtlich wie in § 5, 3., daß jede ausgezeichnete Folge, die auf jedem endlichen Intervall gleichmäßig konvergiert, auch schlechthin gleichmäßig konvergent ist.
Es sei umgekehrt eine Normalfunktion f(x) gegeben, wir haben zu .zeigen, daß sie fastperiodisch ist. Aus der Auswählbarkeit folgt, daß j f(x) I beschränkt und f(x) gleichmäßig stetig ist. Ganz wie in § 5, 4. schließen wir, daß auch die Verschiebungsfunktion
vJr) = v(t ) = v(r, r,r, .. .)
12 3
eine Normalfunktion ist. Daraus folgt sehr leicht, daß jede ¡i -variablige Funktion
(3) cM(ï) = t,(t, t r,0, 0, ...),
12 f i
und insbesondere jede einvariablige Funktion
v (1> ( t) — v (0, 0, ..., r, 0, 0, ...)
V V
eine Verschiebungs- und Normalfunktion ihres (bezüglichen) Variablenraumes ist. Von emvariabligen Normalfunktionen wissen wir aber (§ 5, 4.),
Mathematische Annalen. 96. 26

394 S. Bochner.
daß sie fastperiodisch sind, also liegen für jede Funktion e (1) (r) die Punkte
V
ß(1) ( T ) ^ e relativ dicht. Aus der wegen c) bestehenden Ungleichung
V
v w (r) ^ e (1) (r)
1> = 1 V
folgt aber, daß auch (t) fastperiodisch ist (nach d*)), und daher ist auch v(t) selbst, wegen der Approximierbarkeit durch Funktionen (3), fastperiodisch.
6. Satz XXXII. Die Summe und das Produkt zweier fp. Funktionen f{x) und g (x) sind wieder fastperiodisch.
Beweis. Es ist einzusehen, daß f(x)-\-g(x) eine Normalfunktion ist. Denn man kann aus f(x + k v ) + g(x -f- k,.) (v =1,2,...) „auswählen", wenn man aus jeder Unterfolge von f(x-\-k r ) und g(x-\-k v ) auswählen kann
7. Wegen
= \[(f+ff) 2 - (f- 0O 2 ]
ist auch das Produkt von f(x) und g(x) wiederum fastperiodisch.
Korollar. Jedes Exponentialpolynom Jv 1 a m e L/ ' mJ und auch jede gleichmäßig konvergente Reihe a n e u '" x stellen durch ihre Summen fp. Funktionen dar.
8. Wir kommen jetzt zur Zuriickfiihrung unserer Definition der Fast- periodizität auf die in § 6 angegebene „Charakterisierung".
Satz XXXIII. Es seien eine fp. Funktion
(4) f(x) = f(x, x, ..., x, x, ...)
12 k &+1
und ihre Verschiebungsfunktion e f {x) gegeben. Für jedes k und jede Wahl der konstanten Werte x = c, x — c,... ist die Funktion
yfc-f 1 &-+-1 k+2 k-\~ 2
(5) f(x, x, ..., x, c, c, ...)
12 k & + 1 7c+ 2
eine fp. Funktion in (x,x,...,x). Läßt man bei konstantem k die
12 k
Parameter c, c, ... beliebig variieren, dann ist diese Gesamtheit von
&+1 Ä + 2
Funktionen in (x, x, ..x) majorisierbar mit
12 k
(6) eAz, t, . .., x, 0, 0, ...)
12 k
als Majorante. Insbesondere ist bei jedem v die Gesamtheit der Funktionen
(7) f(c, c, c, x, c, c, ...)
1 2 v— 1 v v+1 v + 2
majorisierbar mit e f (0, 0,. .., t , 0, 0, ...) als Majorante.

Fastperiodische Funktionen. II. 395
Sind umgekehrt für eine gleichmäßig stetige Funktion (4) bei jedem v und jeder Wahl der Konstanten (c,c, c, c, . ..) die Funktionen (7)
1 2 v-\ r + 1
fastperiodisch und bei festem v majori si er bar, dann ist die Funktion f(x) auch fastperiodisch.
Beweis. Es sei k gegeben. Es besteht die Gleichung
(8) eJt, r, 0, 0, ...)
12 lc
= Ob. Gr. I f(x -\-r, ..X ~r r, x, x, ...) — f(x, x, .x, x, ...) j .
— oo<a;<+ œ 11 k k k+ 1 fc+2 12 k fc +1
Bildet man die rechte Seite von (8) bei festgehaltenen x, x, dann entsteht eine Funktion i+1 h+ ~
(9) x, ...),
12 k A-+1
die als Funktion in ( t , r, ...,r) den Bedingungen a), b), c) genügt und
1 2 k
5^ eÂx, t , .. x, 0, 0, ...) und daher eine fastperiodische Verschiebungs-
12 k
funktion mit (6) als Majorante ist. Also ist jede Funktion (9) fastperiodisch. Die Relation
Ob. Gr. I f(x + t, .. x + t, x, ...) — f(x) |
— co<œ< + co 11 je je jc + 1
= Ob. Gr.
X, X, ..
k +1 jc+2
Ob. Gr. I f(x + r, ..., x + r, x, ...) — f(x) \
x, x, x 1 1 Je k Ä+'l
Li 2 k
zeigt, daß wirklich die Funktion (6) die genaue Majorante aller Funktionen (9) und demnach auch aller Funktionen (5) ist.
Die Umkehrung ist evident: man kann mit Leichtigkeit eine Verschiebungslänge 1(e) der Funktion f(x) angeben.
9. Hauptsatz A. Damit eine Funktion f(x) eine fp. Funktion ist, ist nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig, daß sie sich durch Exponentialpolynome y a n e l/ " J: ( mit finiten Punktzahlen k n ) gleichmäßig approximieren läßt.
Beweis. Jede fp. Funktion läßt sich nach dem vorigen Satze durch endlich variablige fastperiodische approximieren, z. B. durch die Funktionen
fn( x ) = f( X > X > 0, 0, . . .).
12 n
Es liege nun die ¿-variablige fp. Funktion f(x, x, ..., x) vor. Nach dem
12 k
letzten Satze ist sie fastperiodisch in x und die Gesamtheit der Funktionen
(10) <& x , x X (x) = f(x,x,...,x)
1 2 k- 1 k 12 k
26*

396 S- Bochner.
majorisierbar. Nach Satz V kann man daher die Funktionen (10) gleicha rtig in (x, X, ..., x) durch ein Exponentialpolynom in x (mit skalaren l v )
i a jfc— i k
2vk a >-Á x > x > ■■■> x ) el> ' r l
1 2 jfe-1
approximieren,
I f(x) — 2 Vk A >- v ( x > ■ • •' I ^ e >
i ¡t-i
wobei p >r Konstante sind und die Koeffizienten A-,_ r die „Fourierkoeffizienten"
A,„ = M{& x ,..., x (t) *~ iKt } = M{f(x, ..., x, t) e~ iKt }
1 x—1 1 Je—1
darstellen. Wenn wir noch gezeigt haben werden, daß A>. v eine fp. Funktion in x,x,...,x ist, dann ist der Hauptsatz durch Induktionsschluß
1 2 *-i
bewiesen. Wegen 7. genügt es generell zu zeigen, daß für eine fp. Funktion h(x, x, ..., x) in k Variablen der „Mittelwert"
12 k
g (x, x, .. x) = M{ h (x, x, ..x, t)}
1 2 k- 1 1 2 fc -1
eine fp. Funktion ist. Es sei nun r = (r, r, ..., r) eine zu e gehörige Ver-
1 2 k- i
Schiebungszahl der (k — 1 )-variabligen Verschiebungsfunktion
t ' • • • > ^ î ^ ) ,
1 4-1
wo e, (r) die Verschiebungsfunktion von h(x, ..x) ist. Dann ist nach
1 k
dem letzten Satze
\g{x-\-T) — g(x)\
^ Ob. Gr. I h(x '+ t, ..., x -j- r, t) — h(x, .. x, t)\^ e.
x, x, ..., x, t - 1 1 Je—1 ¿—1 1 Je— 1
1 2 £-1
Und damit sind wir mit dem Beweis zu Ende.
10. Bevor wir uns auf Grund des eben bewiesenen Satzes den „Schwingungseigenschaften" zuwenden, wollen wir noch einiges zu den „Verschiebungseigenschaften" bemerken.
Fp. Funktionen f^x),..., f n {x) in endlicher Anzahl haben immer Majoranten, unter denen die Funktion e(r) = Max(e^(r), ef„(r), ..ef n (r)) die „kleinste" ist. — Normal&Zasse und beschränkte ausgezeichnete Menge sind ein und dasselbe (vgl. § 5, 2.)
Gegeben seien fp. Funktionen
/i(#)> f-A x )>
und irgendeine Funktion F(u 1 , u 2 , .. welche in einem Teil U des

Fastperiodische Funktionen. II. 397
Raumes (w i; w 2 (u,, = v v -f- i w v ), definiert und gleichmäßig stetig ist. Wenn die Punktmenge
u v = fv(x) (— oo < X < + oo, V = 1, 2, 3, ...)
ganz in U enthalten ist, dann ist die Funktion F(x) = F(f i (x), f^(x)...) eine fp. Funktion der Variablen x.
§9.
Fourierreihen.
An Hand des Hauptsatzes A können wir die weitestgehende Angleichung unserer Funktionen an die einvariabligen betreiben. Für den Spezialfall von rein- und grenzperiodischen (mehrvariabligen) Funktionen sind die Begriffe „Mittelwert" und „Fourierreihe", um welche die folgenden Betrachtungen zentrieren, bereits in Abh. II, Anhang II, eingehend entwickelt worden.
1. Es sei eine beliebige fp. Funktion f(x) gegeben. Für jede Komponente x existiert (vgl. § 8, 9.) der Mittelwert
k
1 T
M{f} = M { f(x, . x , t, x ,...)} = lim = j f(x, ..X , t, x, .. .)dt
k l k-i k + 1 T->*> o 1 fc-1 i+1
und ist eine fp. Funktion in
( X, . .., X, X j X, ... )
] k—1 &4-1 & + 2
(mit eAx, 0,r, r, ...) als Majorante). Es besteht die Relation
1 2 k-1 i+l k+2
\M{f}\£ Ob. Gr. fix) I,
k -=o<a;<+«:
also auch
M{f}~ M{g}\< Ob. Gr. | f(x)-g(x)\.
k k — co < œ < + co
2. Es seien untereinander verschiedene Indizes & 15 & 3 , ..., lc n gegeben.
Wir bilden von f(x) den Mittelwert über x, von der so entstehenden fp.
k,
Funktion den Mittelwert über x und so fort bis x. Der so entstandene Mittelwert
M {f}
L\, ki, .. A n
ist eine in (x, x, ..., x) konstante, fp. Funktion in x und genügt wieder-
ki ko kji
um den Relationen
(1) I M {f}\£ Ob. Gr. \f(x)\,
k» k* ..., i« —oo<a;< + co
(2) I M {/"} — M {g-}|^ Ob. Gr. f(x) — g(x) |.
k¡ k„ ky, ..., k„ —oo<a:<+oo

398 S. Bochner.
Für ein Exponentialpolynom p(x) =^a n e i> " x erhält man den Mittelwert M {p} einfach dadurch, daß in der Summe alle diejenigen
7»*i,..., Jen
Terme, die im Exponenten eine der Komponenten x,x, ...,x tatsächlich
JC\ JCn JCjl
enthalten, gestrichen werden, woraus insbesondere folgt, daß eine Vertauschung der Indizes k 1 , & 2 ,..k n untereinander den Wert der Funktion M {pj nicht ändert. Aus der Approximierbarkeit durch Polynome
1¿1, • • kn
und der Relation (2) ergibt sich aber unmittelbar, daß diese „Invarianz"- eigenschaft einer jeden fp. Funktion f{x) zukommt.
3. Es sei nunmehr eine beliebige unendliche Folge von Indizes
( 3 ) k 1 , k¡¡ , k s , ...
gegeben. Für ein Polynom p (x) sind die Mittelwerte M {p} von einem
JCj, Ä*2» • • •} J¿Jl
genügend großen n ab, n n 0 , alle einander gleich und zwar entsteht diese „Limes"funktion durch Streichung aller Terme, die eine der Variablen x, x, ... faktisch enthalten. Approximiert man eine beliebige Funktion f(x)
7i*j Je 2
durch ein Polynom p{x) bis auf e, dann ist für n lt n 2 ^ n 0 I M {/•}- M {/"} I ^ 2 e,
Jej, . .., Tcji J /jj ,..., 7cji n
woraus folgt, daß die Funktionen
M {/'} (n=l,2,3,...)
Jci. Je±, .. •, Jcji
gleichmäßig gegen eine mit
(4) M {/•}
, Je 2, ...
zu bezeichnende, in den Komponenten x,x,... konstante, fp. Funktion
JC J JC-y
konvergieren. An der Polynomapproximation ist auch folgendes zu erkennen. Teilt man die Indizes (3) in irgendeiner Reihenfolge auf endlich oder unendlich viele Gruppen
k\ , kr¡ , . . .
k" k"
, /i/o , . . .
k'" k"'
^1 5 ^2 3 * * *
von je endlich oder unendlich vielen Indizes auf, dann konvergieren die Funktionen
fi= M {f} kl. ki, ...

Pastperiodische Funktionen. II. 399
U= M {/>}
7. " 7."
«■1 » A/-2 > • • •
f 3 = ^ (A)
, r/r 7 r/r
/¿1 , K-2 , • • •
gleichmäßig gegen (4).
4. Besonders bemerkenswert ist derjenige Mittelwert, der über alle Komponenten genommen ist und also einer (absoluten) Konstanten gleich ist.
Satz XXXIV. Jede fp. Funktion besitzt einen Mittelwert M{f(t)} = M{f(t,t,t, ...)},
12 3
ivelcher eine (endliche) skalare Zahl ist und (beispielsweise) als gleichmäßiger Limes der Folge der k- fachen Mittelwerte
(5) X, ...)} (* = 1,2,...)
12 k £+1
erhalten iverden kann.
Wir wollen noch bemerken, daß man den Mittelwert (5) beliebig genau durch das Integral
Z+Tx j"+r 2 s+T/c
Y~ñr —r"/ f -f ■■■>*> x ' ■■ -) ¿í ' •••' dt
i 8 " M Í S 1 k £+1 1 le
12 k
approximieren kann (sogar gleichmäßig in (f, . ..,■() und in ( x , x, ...),
1 k A +1 Je+2
wovon wir aber keinen Gebrauch machen werden), wenn man die Werte T x , T 2 , ..., T k unabhängig voneinander beliebig groß werden läßt.
5. Da mit f(x) auch ! f(x) | 2 fastperiodisch ist, existiert auch der Mittelwert M { | f{t) | 2 }.
Man denke sich alle Exponentialausdrücke e ilx mit irgendwelchen fini ten Punktzahlen X aufgestellt und für die gegebene Funktion fix) die Mittelwerte
a(X) = M { f(t)e~ i '- t }
gebildet.
Satz XXXV. Zu jeder fp. Funktion f{x) gibt es nur abzählbar viele Werte 1, für welche der Mittelwert
a(i) = M {f(t)e~ at }
von Null verschieden ist.
Mit den so herausspringenden Exponenten k (den Fourierexponenten), die wir in irgendeiner Anordnung mit A 1 , A 2 , ... bezeichnen, und den dazugehörigen Mittelwerten
A A] =a(A 1 ), A Äi == a(A 0 ), ...

400
S. Bochner.
(den Fourierkoeffizienten) bilden wir formal die zu f{x) gehörige Fourierreihe
f(x) ~ Y, Aj n e iA " x .
Die Fourierreihe einer durch die Summe einer gleichmäßig konvergenten Reihe T\A\ u e i)nX dargestellten Funktion stimmt mit eben dieser Reihe überein; jede Folge von finiten Zahlen / kann die Exponentenfolge einer fp. Funktion sein.
Es bestehen die üblichen Gesetze für das Rechnen mit Fourierreihen (Abh. I, § 5), insbesondere, daß aus ■der gleichmäßigen Konvergenz der Funktionen f m (x) ^yjA^ e lA " :l gegen die Funktion f(x)^y¡Aj ¡¡ e lA '" 1 (nach entsprechender „Ergänzung") die Relationen
A ( Z^A An (»=1,2,3,...)
m -> ce
folgen.
Bei festgehaltenen Exponenten l n ist der Mittelwert
v—1
am kleinsten für
a r = a[X v ) = A)_ r .
Es besteht die Parsevalsche Gleichung
2\A A X=M{\f(t) I a },
d. h. die Limesrelation
M { \f(t)- 2AA n e iAnt \*)~+ 0.
jV->-co l v = l '
Beweis. Der Beweis verläuft bis auf den letzten Absatz ganz ebenso wie im Falle einvariabliger Funktionen; man vergleiche Abh. I, § 3 und 5, und (unseren) § 1. Bezüglich des letzten Absatzes ist zu bemerken, daß jede Funktion, die sich durch Polynome gleichmäßig approximieren läßt, sich erst recht durch Polynome im Mittel approximieren läßt, woraus dann unmittelbar die Parsevalsche Relation folgt.
6. Satz XXXYI. Es sei f{x) fastperiodisch. Aus
folqt
f[x) = 0.
Beweis. Wir werden folgendes zeigen. Es sei irgendeine fp. Funktion <7(2)^ 0 gegeben, und es sei z.B. g(0) — c>0. Dann gibt es einen Index N und eine Konstante C>0, so daß für alle Werte ( x , x , ...)
iV + l if + 2
M N {g) = M{g{t, t, ..., t, x , x ,
12 N N+l N + 2

Fastperiodische Funktionen. II. 401
Der Mittelwert von M x {g} über ( x , x , ...) ist dann offenbar
N + l N+2
C, und daraus folgt nach 3. ( „Invarianz" eigenschaft)
Wir bestimmen für g{x) ein zu £ = t gehöriges Stetigkeits-á(e)
ô = (ô',N) { ô '<j)>
eine zu e = gehörige Verschiebungslänge
l = (l, l, ...)
1 2
und ein l > 1, so daß
(r = 1, 2, ..iV).
0 r
Wir fügen ein, 'daß die aus irgendeiner zu ^ gehörigen Verschiebungszahl r = (r, r, . .T, T , r , .. .)
12 iV + 1 iY + 2
hervorgegangene Zahl
T*=( t ,T, 0, 0, ...)
12 N
nach der Bestimmung von N jedenfalls eine zu ~ + = -'j- gehörige Verschiebungszahl ist.
Die Komponenten ( x , x , .. .) mögen irgendwelche, aber feste Werte
jv + l N+Z
(a, a, a, ...) haben. Für die Menge X 0 aller Punkte
12 3
X Q = .( Xq , XQ , . . . , , Gt, (X, . . . )
12 jy i 2
mit
0^x o ^(5' (" = 1,2,...,^)
besteht die Abschätzung
9 (®o) ^ c - ï = •
Für irgendwelche ganze Zahlen n v ^>0 (v = 1, 2, ..N) gibt es eine zu ~ gehörige Verschiebungszahl
x = (r, r, . . ., t, 0 ,0,...),
1 2 N
so daß
2n„ + ^-) l <* (2 n,. + f) Z (v = 1, 2, .. N).
0 v " ¿ ' 0
Die aus X 0 durch Verschiebung um r hervorgehende Punktmenge Xj
Xj = Ç Xj, x j, ..., x j, a , a , ... )

402 S. Bochner.
ist gänzlich im Intervall
(J) 2n v l X ^ 2 {n r + 1) l (v = l ,2
0 V o
enthalten und genügt der Relation
Das iV-dimensionale Volumen von Xj ist (<5') A , des Intervalls J selbst = (2Z) J \ Wegen g(x)^. 0 ist dann
0
M{g{t, t, ..t, X , (Ii) >0.
1 2 jV iV + 1 o
Wir bemerken noch folgendes. Weiß man von irgendeinem Punkte ¿ = (f, f, £, ...), daß g (£) = c > 0, dann wird man zu derselben Schranke
12 3
s eführfc -
0
Aus der Parsevalschen Gleichung erhält man in Verbindung mit Satz XXXVI den
Satz XXXVII. Eindeutigkeitssatz. Jede fp. Funktion, die keine wesentlichen Terme enthält,
f(x) ~ 0,
ist identisch Null:
f(x) = 0.
7. Wir wollen noch etwas zu 3. nachtragen. Wegen der formalen Konvergenz der Fourierreihen von gleichmäßig konvergenten Funktionen folgt aus der Polynomapproximation, daß auch für eine beliebige fp. Funktion
die Fourierreihe des Mittelwertes über die Indizes ( k, k, ...) aus der
i s
ursprünglichen Fourierreihe durch gliedweise Mittelwertbildung, d. h. durch Streichung der Terme mit einer der Komponenten x, x, ... entsteht.
Ä] Ten
(Für den Spezialfall grenzperiodischer Funktionen vgl. Abh. II, Anhang II, S. 188, 202).
8. Wir sprechen ganz im Sinne von § 1, 6. von „Mittelkonvergenz" und „Mittelkonvergenz gegen eine vorgegebene fp. Funktion".
Satz XXXVIII. Eine ausgezeichnete Folge
Vi(»). <P 2 (z), (pA x )' •••> die im Mittel konvergent ist, ist gleichmäßig konvergent 3 ).
3 ) Man kann sogar folgendes beweisen. Eine ausgezeichnete Folge
<P r (*) ~ 2e iAn * (*=1,2,3,...)
(Fortsetzung der Fußnote 3 auf der nächsten Seite.)

Fastperiodische Funktionen. II.
403
Beweis. Es genügt nachzuweisen (vgl. Abh. II. S. 108), daß zu jedem c > 0 ein G > 0 so zugeordnet werden kann, daß je zwei Funktionen, für die in einem einzigen Punkte f die Ungleichung
IMO -
besteht, auch
- 9»»(Ol) ^ G
erfüllt ist (weil doch dann auf Grund der Schwarzsehen Ungleichung f \ 2 } ^ (-&f{ I f\}y ers t recht M{\cpp(t) — <Pv{t)\"} ^ C 3 ist). Offenbar ist die Gesamtheit von Funktionen | cp fl (x) — <p v (x) | (/.i, v = 1, 2,3, ...)
ausgezeichnet. Bestimmt man zu e =ein Stetigkeits- ô (e), ó = (ri', N),
(mit <5'<|) und eine Verschiebungslänge 1(e) = (l , l , l, .. .) ihrer Majo-
12 3
rante, dann erhält man wörtlich wie in 6.
0
9. Auf Grund des letzten Satzes kann man durch wörtliche Wiederholung der Überlegungen in § 2, 1. nachweisen, daß die Polynomapproximation der Funktion f(x) ~ £ AA„e tA " x durch Fejérpolynome geschehen kann, d. h. durch Ausdrücke der Gestalt
k
.... n/c —
+n, +njc
 V V ft I v i I ^ ft II \ a ««n «• + •••
- Zj Zj \ L ~ -JT-) Ar ia¡ +...+r kak e
v¡ = -n, *t¡=— n/¡
wobei die Zahlen a lt ...,<x k linear unabhängige finite Zahlen sind (und, wie üblich, der Ausdruck (v 1 a 1 + ... -f- v h cc k )x durch die insgesamt end-
CO CO
liehe Summe v 1 a 1 x + • ■ • + £ a k x definiert ist). Denn bildet man
(7 = 1 a a o— 1 a a
für irgendeine finite Zahl cc den Kern
/ tz \ ^
+n / I l\ 1 sin ö at \ / _ x _ \
n «(«t)= 2{ l - A i L ) e ~ irat = n( . ¡ (vcct = v¿cct),
(7=1
an)
dann hat man wieder die Darstellung
s%; = m {f(x +1) n n l (cc 1 t)... n nk (a k t)},
aus welcher wiederum folgt, daß die Gesamtheit der Fejérpolynome von
ist schon dann gleichmäßig konvergent, wenn die Fourierreihen formal konvergieren, derart, daß für jedes n
lim AW
yin
vorhanden und endlich ist.

404
S. Bochner.
f{x) durch f(x) majorisiert wird und daß daher jede ihrer im Mittel konvergenten Folgen auch schon gleichmäßig konvergent ist.
10. Wörtlich übertragbar sind auch Wortlaut und Beweise der Sätze III und IV, wonach Funktionen mit gemeinsamen Exponenten auch gemeinsame approximierende Fejérpolynome besitzen, welche im Falle ausgezeichneter Mengen sogar gleichartig approximieren. Analog zu Satz V haben wir auch den
Satz XXXIX. Jede ausgezeichnete Menge besitzt eine gemeinsame (sogar gleichartig) approximierende Folge von Fejér polynomen.
Denn der Beweis des Satzes V beruht auf zwei Tatsachen: auf der Majorisierbarkeit einer ausgezeichneten Folge und (vgl. § 1, 17. Bemerkung) auf dem „Satze B" über diophantische Approximationen aus Abh. II, S. 113. Nun überzeugt man sich leicht, daß der Wortlaut und der Beweis des Satzes B unverändert zu Recht bestehen, wenn man die dort vorkommenden Zahlen , ..., ¡x und I finite Zahlen sein läßt.
11. Zum Schluß bemerken wir noch, daß die Sätze VII, VIII, IX über absolute Konvergenz von gewissen Fourierreihen (linear unabhängige Exponenten, allgemeinere Zerlegungen in linear unabhängige Bestandteile, positive Koeffizienten) gleichfalls wörtlich richtig bleiben.
§ io.
Die Zuriickíührung auf grenzperiodische Funktionen.
In § 2, 7. haben wir einen auf dem Approximationssatz beruhenden Beweis für das bemerkenswerte Ergebnis aus Abh. II gegeben, daß es zu jeder einvariabligen fp. Funktion <p(£) grenzperiodische Funktionen f(x) = f(x,x,...) gibt, von denen die Funktion 95(f) die „Diagonal-
1 2
funktion" ist, d. h. aus denen sie durch die Substitution x = x — x = ... — £
12 3
hervorgeht
<p(£) = f(£> £> • • •)•
Auf ganz analogem Wege werden wir zeigen, daß allgemeiner auch jede mehrvariablige fp. Funktion sich als „Diagonalfunktion" von grenz- periodischen auffassen läßt, womit dann innerhalb der Gesamtheit aller mehrvariabligen fp. Funktionen den grenzperiodischen Funktionen, die ja nur einen Teil dieser Gesamtheit ausmachen, der Charakter „primärer" Funktionen verliehen wird, auf welche alle anderen in einfacher Weise zurückführbar sind.
1. Man kann die rein- und grenzperiodischen Funktionen, die wir durch Verschiebungseigenschaften definiert haben, in eindeutiger Weise auch durch Schwingungseigenschaften charakterisieren. Die fp. Funktion

Fastperiodische Funktionen. II. 405
f(x) ~ Ají ,, e iA " x (alle Aa,,=\= 0) ist dann und nur dann reinperiodisch mit der Periode p = [p 1 , ... ), wenn
f (X, • . • , X ' ; " , X , . . . ) = /* ( X , • . . X , ... ) (w = 1, 2, 3 , . . . ),
1 m m+1 1 m m+1
d. h. auf Grund des formalen Kalküls mit Fourierreihen und des Eindeutig- keitssartzes, dann und nur dann, wenn
co i -d 7i P/n % AfiX co i, AjiX
JJÄ A „e m e =2JA A „e (m = 1,2,3,...),
n—1 n—1
2 71
also wenn jedes A n ein ganzzahliges Multiplum von — ist, also dann und
m _ P' n
nur dann, wenn die Funktion f(x) die ganze Basis (vgl. § 7, 13.)
A = (a 15 « 3 , ...)
mit
«,.= (0,0, ...,y,0, o, ...)
besitzt. Damit f(x) grenzperiodisch mit der Grenzperiode p — (p i; p. 2 , • • •) ist, ist notwendig und hinreichend, daß sie durch reinperiodische mit Perioden [pp] approximierbar ist, d. h. daß jede Zahl A n ein rationales
m
2 71
Multiplum von — ist, d. h. es ist notwendig und hinreichend, daß f(x) Pm
die (im allgmeinen: nicht ganze) Basis
A = (k x , «„, ...)
mit
«» = (o, 0, 0,0, ...)
r %•
besitzt.
Aus eben Bewiesenem folgt, daß unsere „allgemeinen" Fourierreihen im Spezialfälle rein- und grenzperiodischer Funktionen dasselbe sind, was in Abh. II, Anhang II im direkten Zuschnitt auf diese Funktionen als Fourierreihe definiert wird.
2. Es seien der x-Raum (x,x,...), der |-Raum (f, |, ...) und
12 12
irgendwelche finite Punktzahlen G 1 , C 2 , ... des x- Raumes in der Anzahl der Dimension des Raumes gegeben. Wenn man in eine beliebige fp. Funktion des i - Raumes 'p (£) die Substitution
£ = C x x
1
(1) £ = C 2 x • (i = Ox)
vornimmt, so entsteht eine Funktion des x- Raumes
f[x) = <p(Cx),

406 S. Boohner.
welche, wie man auf dem Wege über approximierende Polynome sofort einsieht, eine fp. Funktion ihres Raumes ist. Wir nennen f(x) eine Transformierte von 99(f). Den Fourierreihen ist es „anzusehen", daß jede ganz- basige Funktion als Transformierte einer reinperiodischen und jede beliebige als Transformierte einer grenzperiodischen dargestellt werden kann. Wir wollen diese Aussage gleich in einer präziseren Form beweisen. Wenn in der Substitution ( 1 ) jede Punktzahl G v in einer Komponente = 1, in allen übrigen = 0 ist, so wollen wir diese Substitution eine Diagonalsubstitution, die Funktion f(x) eine Diagonalfunktion von 93(f), und 93(f) eine Verräumlichung von f(x) nennen. Man kann nun präziser behaupten, daß jede ganzbasige Funktion die Diagonaliunktion einer reinperiodischen und jede beliebige die Diagonaliunktion einer grenzperiodischen ist. Es liege ein Polynom
(2) IX e ""?
vor, und die (skalaren) reduzierten Zalilenmengen
A v = ( CC 1 , C¿ 2 , CCq , . . . )
V V V
seien bezügliche Basen der Komponentenmengen
K r = ( , A 3 , A 3 , ... ).
V V V
An Hand der Darstellungen
 a = c v n (j cc a g rational )
V V
XpX = J£c r/ia ci a x
V V V V
bilden wir die linearen Formen
\ C v n a CC a 'Q v O
V V V
mit der zweifach unendlichen Schar von Variablen a , indem einfach x überall,
V
wo es mit dem Faktor a„ auftritt, durch 'Ç r „ ersetzt wird, und substituieren
V
in J>]a n e l ~''"* statt der Formen in x die Formen in £. Das so entstandene Exponentialpolynom ist offenbar grenzperiodisch in den Variablen
'Q vn mit der Grenzperiode (' 1' 9' 3' ' ") U1K "' e " ie Verräumlichung
von (2). Die benutzte Diagonaltransformation ist
Li = Cv2 = £v3 = ... =x, (v= 2, 3, ...)
V
Bei einer beliebigen Funktion f[x) approximieren wir sie durch Polynome der Gestalt (2)
vA x )'VA x )>---> (~*f( x ))>

Fastperiodische Funktionen. II.
407
wählen gemeinsame Basen A v und verräumlichen eine jede Funktion p k (x) zu P k (Ç). Wenn wir zeigen, daß auch die Folge P,, (£) gleichmäßig konvergiert, sind wir mit dem Beweis zu Ende. Die Verräumlichung von p t (x) — 'p k (x) wird durch l' t (f ) — P ; (C) geliefert, und jetzt brauchen wir nur noch zu zeigen, daß bei einer Verräumlichung P(f ) eines Polynoms p ( x) zu jedem Punkte £ (0) ein Punkt x'"' so zugeordnet werden kann, daß sich P(t <0) ) beliebig wenig von p(x [0) ) unterscheidet. Daß das möglich ist, folgt aber nach Kronecker, weil man (vgl. Bohr [8]) die endlich vielen Kongruenzen
I a a x — I e (mod 2 ^ ( q rationale Zahl ; v, a = 1,2,3,...}
V V @
in x auflösen kann. — Bei einer ganzbasigen Funktion f(x) führt diese
V
Verräumlichung zu einer reinperiodischen Funktion von f.
3. Wir können nun den Satz aussprechen:
Hauptsatz B. Die allgemeinsten fjj. Funktionen sind die allgemeinsten Diagonalfunktionen der allgemeinsten grenzperiodischen Funktionen.
4. Unsere mehrvariabligen fp. Funktionen sind insofern die „allgemeinsten", als bei einer Iteration des Prozesses des Überganges zu mehrvariabligen Funktionen eine Erweiterung der Funktionenklasse nicht herauskommt. D. h. faßt man unsere allgemeinen Begriffe: Punkt, Intervall, Intervallänge, Verschiebungszahl, Periode usw. als „eindimensional" auf, und baut auf ihnen auf dieselbe Weise, wie diese aus den „tatsächlich ein- variabligen" Begriffen hergeleitet wurden, ihrerseits „mehrdimensionale" Begriffe auf, so wird dadurch die Klasse der fp. Funktionen nicht vergrößert.
§11-
Integralgleichungen.
Wir wollen noch am Beispiel der Integralgleichungen sehen, in wie unmittelbarer Weise Betrachtungen über reinperiodische Funktionen auf fastperiodische übertragbar sein können.
Es liege eine reelle fp. Funktion zweier Variablen K(x,y ) und eine r eel le fp. Funktion f(x) vor. Gefragt wird nach allen fp. Funktionen (p (x) T welche für konstante Werte X der Gleichung
(A) cp(x) = f(x) — IM {K(x, t)<p(t) } genügen. Wenn man der Gleichung (A) die Gleichung
i
(B) cp* (x) = f* (x) — X f K* (x,t) cp* (t) dt
o

408
S. Bochner.
gegenüberstellt, in welcher die Funktionen 99* (z), f*(z) und K""(x,y)
als (durchweg) stetig und in jeder Variablen reinperiodisch mit der Periode 1
angenommen werden, dann kann man, überschlägig gesprochen, behaupten,
daß jede Aussage über die Gleichung (B) unmittelbar und wörtlich auf
1
die Gleichung (A) übertragbar ist, wenn man jede vorkommende Operation f
¿I
durch die entsprechende Mittelwertbildung ersetzt. (Wir halten uns hinsichtlich der gegebenen und gesuchten Funktionen strikt an unsere Definition der Fastperiodizität, obwohl man auf Grund bereits bestehender Verallgemeinerungen des Fastperiodizitätsbegriffs (Stepanoff [1]) mit den üblichen Konzessionen an Unstetigkeiten im Falle (B) in gewisser Weise auch im Falle (A) Schritt halten kann). Z. B. berücksichtigt man, daß die Gesamtheit der Funktionen M { K (z, t) g (Z)} für alle möglichen fp. Funktionen g(t ) mit M { | g(t) | 2 } ^ 1, weil doch nach der Schwarzsehen Ungleichung auch { | <7(£) I } ^ 1; e i ne ausgezeichnete Menge (mit e K (r, 0) als Majorante) bilden, dann gelangt man (vgl. Cöurant-Hilbert [1], III, § 1 bis 4) wörtlich ebenso wie im Falle (B) zu dem Fredholmschen Satze: Die Gleichung (A) besitzt bei festem 1 entweder für jede Funktion f(z) eine ( einzige ) Lösung cp (2;), oder die zugehörige homogene Gleichung
cp{x)= l M { K(z, t) cp [t)}
besitzt eine endliche Anzahl voneinander linear unabhängiger Lösungen ip 1 (x), ifz (z yj r ( x), in welchem Falle die Gleichung (A) nur für solche Funktionen f(x) lösbar ist, für die M{ f(t) y.<-( t) } = 0, ¿= 1, 2,.... r. Man kann zu diesem Satze auch auf jedem anderen im Falle (B) gangbaren Wege gelangen.
Weiterhin gelten z. B. die Zusammenhänge zwischen transponierten Gleichungen, die Sätze über symmetrische Kerne, Entwicklungen nach Eigenfunktionen usw. — Die iterierten Kerne sind zu definieren durch
K f,+V (z, y) = M{ K fl (z, t) IC (t, y )}.
Die Resolvente
Hx,y,V)=2k n K n (x,y),
für welche
<P( X ) = f{x) + XM { K(z,t]k)f(t)},
ist selbstverständlich auch fastperiodisch und gleich dem Quotienten von • T) (cc ij •
ganzen Funktionen ^ — mit der Formel
 •>
V
und der entsprechenden Formel für D (z, y, A), wiederum kann man die Eigenfunktionen durch Minoren höherer Ordnung erhalten usw.

Pastperiodische Funktionen. II.
409
Selbstverständlich sind wir anch in unserem Falle keineswegs an die Eindimensionalität der Variablen x und y gebunden. Genau so und mit dem Ergebnis ganz analoger Resultate wie im Falle (B) können auch im Falle (A) die Variablen x und y zwei (untereinander gleiche) mehrdimensionale (sogar unendlichdimensionale) Räume durchlaufen (vgl. § 10, 4.).
Verzeichnis der zitierten Literatur.
H. Bohr [8], Neuer Beweis eines allgemeinen Kroneckerschen Approximationssatzes, Kgl. Danske Videnskabernes Selskab 6 (1024), Nr. 8. R. Courant U .D.Hilbert [1], Methoden der mathem. Physik I, 1924. W. Stepanoff [1], Über einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen. Math. Annalen 95 (1926), S. 473.
(Eingegangen am 20. 10. 19'25.)
Mathematische Annalen. 96.
27

Über Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alle ganzzahlig sind.
Von
M. Fekete in Budapest.
1. Man verdankt den unten folgenden interessanten Satz den Herren Pólya und Carlson, von denen der erstere ihn zuerst formuliert 1 ), der zweite aber zuerst bewiesen") hat:
1. Wenn eine Potenzreihe
(1) a 0 + a 1 x + a i x°~-\-a n x"+...
mit ganzzahligen 3 ) Koeffizienten a n im Einheitskreise konvergiert, so ist die dargestellte Ftmktion fix) entiveder rational oder über den Rand des Einheitskreises hinaus nicht fortsetzbar. Im ersteren Falle hat fix) die Form
Pix)
(1 -x")" '
wobei P(x) ein Polynom, p und q ganze positive Zahlen bezeichnen.
2. Den wichtigen speziellen Fall dieses Satzes, wo die Koeffizientenfolge {a n } von r (l) beschränkt ist, also nur endlich viele voneinander verschiedene ganze Zahlen [enthält, hat Herr Szegö folgenderweise verallgemeinert 4 ):
*) G. Pólya, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. Math. Ann. 77 (1916), S. 497-513.
") F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. Math. Zeitschr. Í) (1921), S. 1-13.
3 ) Ganzzahlig heißt: von der Form a + bi, wobei a und b ganze rationale Zahlen sind.
4 ) G. Szegö, Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten. Sitzungsber. der Preußischen Akad. d. Wiss. 1922, S. 88 — 91.

M. Fekete. Potenzreiken mit ganzzahligen Koeffizienten. 411
II. Wenn unter den Koeffizienten der Potenzreihe (1) nur endlich viele voneinander verschiedene komplexe Werte vorkommen, so ist die durch (1) dargestellte Funktion f(x) entweder rational, oder über den Einheitskreis nicht fortsetzbar. Im ersten Falle hat f(x) die Form
wobei P(x) ein Polynom, p eine natürliche Zahl bezeichnet.
3. Herr Szegö hat auch allgemeinere Typen von Potenzreihen als (1er eben genannte untersucht, indem er die Bedingung der Endlichvielwertigkeit sämtlicher a n fallen ließ und das Bestehen dieser Bedingung nur für „fast alle" a n forderte 5 ). So gelangte er zum folgenden interessanten Resultat 8 ):
III. Die Koeffizienten a n der Potenzreihe ( 1 ) mögen nur endlich viele verschiedene Werte d ± , d,,, ..., d k annehmen, mit Ausnahme einer Folge
( ^ • ■ • s ^n r j • ■ •
von Koeffizienten, die den folgenden Bedingungen unterworfen sind:
1. lim —= 0.
n v
2. Sie sind beschränkt.
Dann stellt diese Potenzreihe eine eindeutige Funktion dar, deren Existenzbereich durch einen Kreis | x | = r 1 begrenzt ist; die singular en Punkte im Existenzbereiche, wenn solche überhaupt vorhanden sind, sind einfache Pole, die in Einheitswurzeln liegen. Der Fall r — oo ist so zu verstehen, daß die Funktion meromorph (eventuell rational) ist.
Dieser Satz ist eine Erweiterung von II und enthält zugleich (bis auf die Bedingung der Beschränktheit der Koeffizienten) auch den sogenannten Fabryschen Lückensatz 7 ).
5 ) Eine Teilfolge {u n ,,} der unendlichen Folge {u„} enthält „fast alle" Glieder von {«,,}, wenn lim — = 1 ist, oder, anders ausgedrückt, wenn lim — —- = 1, wobei
r-> co riv m ~y oo rti
A(m) die Anzahl derjenigen Glieder von { u n } bezeichnet, deren Index <m ist und die der Teilfolge {u„ v } angehören.
B ) G. Szegö, Tschebyscheffsche Polynome und nichtfortsetzbare Potenzreihen. Math. Ann. 87 (1922), S. 90-111, Satz 3, S. 97-101.
') Fabry, Sur les points singuliers d'une fonction donnée par son développement en série et l'impossibilité du prolongement analytique dans des cas très généraux Ann. scient, de l'École Normale Supérieure (3) 13 (1896), S. 367 — 399; s. insbes. S. 381 — 382. Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers. Acta math. 22 (1899), S. 65—87.
27*

412
M. Fekete.
4. Durch Herrn Szegö angeregt, habe ich mir nun die Frage gestellt, ob für Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alle ganzzahlig sind, eine ähnliche simultane Erweiterung von I und des Fabryschen Lückensatzes gilt? Es ist mir leider bisher nicht gelungen, diese Frage völlig zu erledigen, doch bin ich zu einem Teilergebnis gelangt, das vielleicht auf einiges Interesse rechnen kann. Mein Resultat enthält gleichzeitig den Satz I und den Hadamardschen Spezialfall 8 ) des Fabryschen Lückensatzes; es kann folgenderweise formuliert werden:
IV. Es seien die Koeffizienten a n der Potenzreihe (1) mit dem Konvergenzradius 1 ganzzahlig, mit Ausnahme einer Folge (2) von Koeffizienten, für welche
lim inf —> 1
y -y co ~ l
besteht. Dann stellt diese Potenzreihe eine eindeutige Funktion dar, deren Existenzhereich durch einen Kreis \ x | = r ^ 1 begrenzt ist.
Die singulären Punkte im Existenzbereiche, ivenn solche überhaupt vorhanden sind, sind Pole, die in Einheitswurzeln liegen. Der Fall r = o o ist so zu verstehen, daß die Funktion meromorph (eventuell rational) ist.
5. Ich beweise diesen Satz mit Hilfe einer Methode, welche Herr Szegö zu einem neuen Beweise des Hadamardschen Lückensatzes, ferner des Satzes I und verwandter Sätze benutzt hat 9 ). Ich stütze mich dabei auf einen Hilfssatz, in welchem mein früheres Resultat 10 ), betreffend die Annäherung der Null durch ganzzahlige Polynome, in verschärfter Form wiedergewonnen wird. Dieser Hilfssatz lautet:
V. Es sei G eine Kurve in der komplexen x-Ebene von der Beschaffenheit, daß man Polynome
(3) t n {x)^:x n +1^x n - i + ... +C (» = 1,2,...)
finden kann, für welche auf C (von einem geivissen n an)
K(s)| <#"
gilt, wobei ff eine nur von C abhängige positive Zahl bedeutet, die kleiner als 1 ist. Dann gibt es auch Polynome
9 n (x) = xn + g™x n - 1 + ••• + 9™ (» = 1> 2, ...)
8 ) Vgl. E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. Berlin 1916. S. 73.
°) A. a. 0. *).
10 ) 1°. A. a. 0. 4 ) S. 104. 2°. M. Fekete, Über die Verteilung der Wurzeln, bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Math. Zeitschr. 17 (1923), S. 228-249; s. insbes. § 7, S. 246-249.

Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. 413
mit ganzzahligen Koeffizienten, für welche auf G (von einem gewissen n an)
\9n( X )\ < K
ist, wobei ■& 1 eine feste positive Zahl kleiner als 1 bezeichnet.
Ich werde diesen Hilfssatz auf dieselbe Weise ableiten, wie ihn Herr Kakeya 11 ) im Spezialfälle bewiesen hat, wo G ein reelles Intervall von der Länge < 4 ist. Ich betrachte mit Herrn Kakeya die linearen Kombinationen
L n ,k( x ) — in (®) + tn-l( x ) + ^2 ' ^n-2 ( x ) + • • • + ^n-k h ( x ) der Polynome (3). Offenbar gibt es unter diesen linearen Kombinationen für jedes »>4 auch solche, in welchen die Faktoren X^ l) , À« H) , ..., A„lk dem Betrage nach kleiner als 1 und die Koeffizienten der Potenzen x n , x n ~ x , x n_3 , ..x k+1 , x k ganzzahlig sind. Eine solche Kombination läßt die Zerlegung
(4) (*n,k (*^) + Hn,k (^0 ZU, wo
G n k (x) = x n + g^ k) x n ~ x + gf< k) x n ~* + • • • + 9n' k)
lauter ganzzahlige Koeffizienten hat, während
H n ,k («) = K nM x k + h[ n ' k) x"' 1 + ... + hl n ' k)
ein Polynom von höchstens &-tem Grade bedeutet, deren Koeffizienten dem Betrage nach kleiner als 1 sind. Außerdem genügt L n ,n(x) überall auf G der Ungleichung
(5) \L n ,k(x)\£r+# n - 1 + '& n -*-^... +#*<1^#.
Sei nun Je eine feste natürliche Zahl, für welche
ft k 1
(6)
ist. Man kann aus der Gesamtheit der Polynome
H n ,k(x) (»=¿*+1,4 + 2,...)
eine unendliche Folge
Hn lf k (^) ) Hn z ,k ( > • • • s ^n v ,k (%) t • • •
auswählen, welche für v—»oo auf G gleichmäßig konvergiert, da ja aus den beschränkten Folgen
ht k) (¿ = 0, 1, 4; » = 4+1,4 + 2,...)
solche Teilfolgen
(» = 0,1, 2,..., 4; r = 1, 2, ...)
u ) Y. Okada, On Approximate Polynomials with Integral Coëfficients only. The Tohôku Math. Journal '23 (1923), S. 26 — 35.

414 M. Fekete.
sich aussondern lassen, für welche
lim hl"'' ' í !
V -> CO
existiert. Man kann also ein solches Zahlenpaar n u , n„ finden, daß n B > n„ und auf C
(7) \Hn e , k (x)-H nak (x)\^
ist. Dann ist aber nach (4), (5), (6) und (7) daselbst
! Gn e ,k(x) — G n¡jtk (x ) I ^ I Ln g , k(%) I + ! L„ ntk (x) I + I H n s ¡k (x) — H Ua:k (x) | < " g " H — g" + -g- = 1 , folglich ist
r(x)=Gn e , k (x) — Gn aik (x) = X n e + 7l x^ 1 + ... + yn 0 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, für welches
Max j r(x) I = 0 < 1
<C)
ist. Nun konstruiert man mit Hilfe dieses Polynoms die g (x) des Hilfssatzes mit größter Leichtigkeit. Ist nämlich
n = q-n a + r,
wo q und r ganze rationale Zahlen sind, welche den Bedingungen
9^0, 0 — 1
genügen, so setze man einfach
(8) g n {x) = x r [r{x)]*.
Die durch (8) definierten Polynome haben ja ganzzahlige Koeffizienten, ihr höchstes Glied ist x n und sie befriedigen auf C von einem gewissen n an die Ungleichung
n-r / 1 _\ n
I g n (x) ^\x r \W < KW = Kr* K- [d n ej <K,
wo K eine von C und n e abhängende, von n unabhängige Konstante,
i
aber eine positive Zahl bedeutet, welche > 6 n s und < 1 ist. 6. Nun gehe ich zum Beweise von IV über. Da die Behauptungen dieses Satzes im Falle, wo die durch (1) dargestellte Funktion f{x) über den Einheitskreis nicht fortsetzbar ist, offenbar richtig sind, so nehme ich an, daß sich am Einheitskreise eine reguläre Stelle x 0 von f(x) befindet. Dann zeige ich, daß (1) die Zerlegung
(9) i>n, ¿7 x n = H(x) + P(x)
r=l »=i "

Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten.
415
zuläßt, wo H(x) eine Hadamardsche. Reihe (d. h. eine Potenzreihe, für welche
n r
lim inf > 1
V 00 ^ V 1
besteht) bezeichnet, deren Konvergenzradius r größer als 1 ist, P(x) aber eine Pólyasche Reihe ist, d. h. eine Potenzreihe mit ganzzahligen Koeffizienten und mit dem Konvergenzradius 1. Der obigen Annahme zufolge stellt P(x) gemäß I eine rationale Funktion von der Form
y(*)
(i -x*y
dar, wobei g(x) ein Polynom, p und q natürliche Zahlen bezeichnen, während H(x) eine für \x\ <r reguläre Funktion h(x) definiert, deren Existenzbereich nach dem Hadamardschen Lückensatz durch den Kreis X \ = r begrenzt ist. Die Funktion
besitzt ja die in IV behaupteten sämtlichen Eigenschaften. Um nun die Möglichkeit der Zerlegung (9) zu beweisen, werde ich den „Bruchteil" derjenigen Koeffizienten a Hy der Reihe (1) abschätzen, welche ausnahmsweise nicht ganzzahlig sind. Zu diesem Zwecke werde ich gewisse lineare Kompositionen
(10) a n v + «n r -2 + ••• + {? a n v _ x +1
der Koeffizienten a Hr , a n> ,_i, a By _2,..., a n „_ 1 +i mit den ganzzahligen Faktoren 1, Â, //, ..., g bilden.
Es wurde vorausgesetzt, daß f(x) im Punkte x 0 des Einheitskreises regulär ist. Sei arcx 0 = cp 0 . Sind cp 1 < cp 0 , g? 2 > <p 0 , R > 1, ä 0 > 0 geeignet gewählt, so ist gemäß dieser Voraussetzung f(x) regulär im Innern und auf der Kurve F (ö), bestehend aus den Kreisbögen
^ I x\ = R, <p i <[ arc x ^ tp 9 ,
j as I = 1 — ó, 9^ arc x <p t -f- 2 n
und aus den geradlinigen Strecken
1 — ô { x I ^ R , arc x = <p 1 ,
1 — ô I x \ ^ R , arc x = cp„,
(12) sobald
à > 0, ô ô n

41(5
M. Fekete.
ist. Man hat alsdann
( 13) kfi v = a„ r + X dn,,-i H- a n,-i + • • • + 6 a n,._i + i
ru s)
-T(ä)
wo Q (x) ein Polynom (n v — — l)-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten und mit dem höchsten Koeffizienten Eins bezeichnet. Ich will zeigen, daß bei geeigneter Wahl dieses Polynoms der Betrag von (10) (von einem gewissen v an) kleiner als 0 n " ausfällt, wobei 6 eine feste positive Zahl bezeichnet, die kleiner als 1 ist. In der Tat, ist ö 1 <j ö 0 passend gewählt, so geht die Kurve r(ä) für ô <¡ durch die Transformation
in eine Kurve C(<5) über, deren Abbildungskonstante 12 ) kleiner als 1 ist. Nun kann man aber zu jeder Kurve mit einer Abbildungskonstante kleiner als 1 Polynome von der Form (3) finden, deren Betrag auf der Kurve von einem gewissen Wert des Polynomgrades n an kleiner als ■ß n ist, wobei #<1, >0 ist und nur von der Kurve abhängt 13 ). Daher darf man den Hilfssatz Y auf die Kurve C(ô, ) anwenden. Danach gibt es Polyome g n (x) mit ganzzahligen Koeffizienten und mit dem höchsten Gliede x n , für welche auf C^) und somit für ô < <5 X a fortiori auf G(ô) (von einem gewissen )i an)
ist, wobei ■& 1 eine feste (von <5 unabhängige) positive Zahl kleiner als 1 bezeichnet. Ich behaupte nun:
la ) Die Abbildungskonstante einer Kurve C ist gleich dem Halbmesser desjenigen Kreises mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt, auf dessen Äußeres das Äußere der Kurve C konform und schlicht derart abgebildet wird, daß die Vergrößerung im unendlich fernen Punkte gleich 1 ist.
13 ) Vgl. G. Faber: a) Über Tschebyscheffsche Polynome, Journal für die reine u. angew. Math. 150 (1919), S. 79—106; b) Potentialtheorie und konforme Abbildung, Sitzungsber. der math.-phys. Klasse der bay. Akad. d. Wiss. 1920, S. 49—64, insbes. § 3 . Vgl. auch a. a. O. 4 ) und 6 ).
(14)
! 9n O) I <
i»
(15)
Q[x) — g (#)

Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. 417
leistet das Gewünschte. Man hat nämlich für ô < nach (11), (12), (13), (14) und (15)
I le I ■*"' ^ (Í) A^-ní-r 1 : Jtl ^ c & 1 " KV 1 7]/i' r S
I fc »v I ^ w f (1 _ ô) „„_ 1+2 \dS\<c 1 — M (o) ,
rió)
wo Cj eine von r unabhängige Konstante und M (ö) das Maximum von I f(x) I auf r(ô) bezeichnet. Daraus folgt
i-—
i n v I n y
lim sup I Vk„ v \ <: J ,
v-> CO 1
wobei
y - lim inf ——
V —V CO — l
ist. Doch ist nach Voraussetzung des Satzes IV,
y> 1,
folglich
1 — — == L> 0, y
also besteht bei 6 = êf und für jedes ô ^ <5 X
i n,, i g
lim sup I Vk n¡r ! <[ y— ^ ,
V -> CO
somit auch
(16) lim sup i Vkn r |^0,
r-> co
wie behauptet wurde.
Aus der mit (16) äquivalenten Ungleichung
I kn,\£B n ', (0 < 0 < 1)
mit Hinsicht auf die Definition der Kompositionen (10) folgt, daß k Ky bei genügend großem r den Bruchteil 14 ) von a n¡ ergibt. Setzt man also
Vn = a „ » Wenn n +
X,, = [«„]. wenn n = n r
a n v = ( a n,,) >
so erhält man die Koeffizienten der Zerlegung (9). Damit ist der Beweis von IV in allen Stücken dargetan.
14 ) Der Bruchteil (z) von z ist gleich der Differenz
z-[z],
wobei [z] diejenige ganze Zahl a + ib bedeutet, welohe zu z am nächsten liegt (gibt es solcher mehrere, so ist unter ihnen diejenige zu wählen, deren beide Koordinaten a, b möglichst groß ausfallen) .
(Eingegangen am 24. 11. 1925.)

Ein Satz über die absolute Konvergenz von Fourierreihen, in denen sehr viele Glieder fehlen.
Von
S. Sidon in Budapest.
In der vorliegenden Note beweise ich zunächst den Satz I. Es sei l x < /„ < ... < X n ... eine unendliche Folge positiver ganzer Zahlen, bei ivelcher die Bedingung
n—t
(i)
Jc= 1
für jedes n erfüllt ist 1 ). Ist dann
CO
2 0„ cos K x + b n sin K x )
n—1
CO
die Fourierreihe 2 ) einer beschränkten Funktion fix), so ist £ (I a » I + I b n \ ) konvergent.
Beweis. Es ist für ein beliebiges x, wenn
sgn (a k cos X k x + b k sin X k x ) = e k
gesetzt wird,
n n
n 2J I a k cos X k x + b k sin X k x \ = n 5] e k (a k cos X k x + b k sin X k x)
k=1 ' k=1
2 .-r „ 2 31
= Jf(t)2e h coBX k (t — x)dt =Jf(t)P n (t - x) dt,
0 i = l 0
n
wo P (z) = J]~( 1 + £ k cos 2) ein nichtnegatives trigonometrisches Polynom
k=l
>) Dies ist *z. B. der Fall, wenn für jedes n j> 3 ist.
11
2 ) Unter Fourierreihe ist hier immer die Fourierreihe einer im Lebesgueschen Sinne integrierbaren Funktion zu verstehen.

S. Sidon. Fourierreihen mit Lücken.
419
bedeutet, dessen Absolutglied =1 ist, und das wegen (1) offenbar sämtliche e k cos A k z (k ^n) als Glieder enthält 3 ). Daraus folgt aber
n
I a k cos A,, a; + b k sin A k x | < 2 Max \f(x)\
k = 1
für jedes x und n , womit I. bewiesen ist.
Ein unmittelbares Korollar des soeben bewiesenen Satzes ist, daß die Beschränktheit der Funktion f[x) schon ihre Stetigkeit zur Folge hat. I. ist verschiedener Verallgemeinerungen fähig. Z. B. läßt sich auch
.. n 02
für X n = 2 die Konvergenz von ( | a n | -f- | b n | ) beweisen.
n=1
Ich erwähne hier noch das folgende Analogon des Satzes I, das sich auch auf ganz ähnliche Weise beweisen läßt.
Satz II. Gilt (1) und ist die trigonometrische Reihe
00
2] (a n cos l n x + b n sinA n x)
71=1
die Fourierreihe einer Funktion von beschränkter Schwankung, so läßt
CO
sich dies auch von sämtlichen Reihen ^ e k (a k cos  k x + b k sin x) be-
i-= i
hausten, ivo die e k voneinander unabhängig die Werte 1 oder — 1 annehmen können.
Die letzten Reihen stellen sogar Integralfunktionen dar, woraus dann weiter folgt:
Gilt (1) und ist die trigonometrische Reihe
CO
£ (a n cos X n x + b n sin l n x)
n=1
eine Fourierreihe, so sind es auch alle
CO
£ e k (a k cos l k x + b k sin l k x).
 k=l
3 ) Dieses Produkt — ohne die e k — wurde zum ersten Male von Herrn F. Riesz in seiner Arbeit: Über die Fourier-Koeffizienten stetiger Funktionen von beschränkter Schwankung, Math. Zeitschr. 2 (1918), S. 312—315, angewendet.
(Eingegangen am 14. 7. 1926.)
Nachtrag bei der Korrektur.
Wie ich nach Abfassung dieser Note bemerkte, bedient sich auch Herr Bohr beim Beweise der absoluten Konvergenz der Fourierreihe einer fastperiodischen Funktion im Falle linear-unabhängiger Exponenten des Produktes P„ (z) (auch ohne die ei¡) (vgl. Bochner, Fastperiodische Funktionen, Math. Annalen 90 (1926), S. 119—147). Da aber hierbei auch der Kroneckersche Satz über diophantische Approximationen zur Anwendung kommt, ergibt diese Beweismethode nicht auch unseren obigen Satz I.
15. 8. 1926.

Sur une nouvelle fonction entière et son application à la théorie des nombres.
Von
S. Wigert in Stockholm.
Introduction.
Dans une note récente 1 ) j'ai étudié la fonction définie pour
R (z) > 0 par la série
y I
¿—i v >
ix- 1 e
fi K z_ 2
k étant un entier positif >1. En supposant le nombre k pair, L k (z ) admet la formule de transformation
(A)
T £ (k) i
L A Z ) = +
ri
-iMi) , !
1 1- 1
kz'
(2 i* + l) (ï-l)jli
„ w
L„
(2*)
! ■ I _(2v + l)jii\
+ e
(2v+l) [k —l)xi ~ 2k
1+
1
Z *
1 (2v+l)7li\
(2*) k e 2k
où nous avons posé
CO
4(*) A—— •
v — 1 1 k v k z
e v z -\
Si k est impair, on aura seulement une formule asymptotique de transformation, comme je l'ai montré dans la note citée.
') Sur une extension de la série de Lambert, Arkiv för Matematik etc. 19 A, Nr. 8, 1925.

S. Wigert. Sur une nouvelle fonction entière. 421
a-\-i c
il r
¿711 J
Dans le présent travail j'ai cherché à tirer parti de la formule (A) pour le calcul de l'intégrale
a+i co
e xz L k ( z ) dz z p+1 ~
O — i co
J'ai obtenu ainsi une représentation analytique de la fonction 2 )
¿ 2J d(1C) O) O - n) v ,
analogue à un développement traité par moi à une autre occasion 3 ). Or, on ne rencontre plus les fonctions de Bessel, dont la théorie générale était si utile. On aura ici affaire à la fonction entière
Çk
/1 = 0 [£_/' i^-fâ + 1
le paramètre a ayant la valeur spéciale p + t • ^a première partie de
A/
cette note est consacrée à l'étude de la fonction g k<a [z). Il s'agit surtout d'un examen de \g k ,a{z)\ dans le cas où la variable z appartient à la région angulaire
. — (-i _ o™ „ " ( i I
k
=■ U-xKarg*^ 1-
Je me hâte de signaler une lacune dans mon analyse de g¡¡, a (z). C'est qu'il manque une méthode pratiquable pour le calcul de la fonction, le module de z étant très grand.
Dans la seconde partie'je m'occupe de la démonstration de Végalité fondamentale 4 )
(B)
ZRU—iy ^^-x 1 * e~ ~»
™ r 1,1 (2v + l) ni , V i
¿¡S lk) (n)g i ((2 ti) k e 2k YnxJ?,
k,v+ k
2 ) d® (m ) = le nombre des diviseurs de n qui sont des puissances /fciêmes.
3 ) Sur quelques fonctions arithmétiques, Acta Math. 37, p. 132.
4 ) S(n) — J 7 -, où l'accent affectant la somme signifie que v parcourt
r| " J k
seulement les diviseurs de n complémentaires à ceux qui sont des puissances /fciêmes.

422 S. Wigert.
où il faut supposer, cependant, p> 1. Je n'ai pu décider, si la série converge ou non pour p — 1. Mais pour p > 1 la convergence est absolue
1 x p ( v- v -—
et la partie du second membre succédant au terme — est = O k + l
Ce résultat est un peu plus précis que celui qu'on obtient immédiatement de la formule
(les) ds
Ts+py
t j>- i , i p — "— ~ e à savoir 0\x i+1
Ajoutons seulement que le résultat trivial
y¡d ik) (n)(x~ ra) = £(¿)y + 0 (x ' k )
n^x
peut être précisé un peu, pourvu que k ne dépasse pas 4. En partant de l'équation
i (n)(x-n)* = Ç(k) x ¡ + f (i) ; * + ¥ + Ö t 2 "^)
n =* (1+ ïA 2+ i
2k + l
et en formant la première différence correspondant aux valeurs x -f- x 3(k+1) et x on trouve en effet
i
1+ ;
2Jd lk) ( n ) (x - n) = f (k) Ç + C (j) ^4 + 0 (z 1+3l * +1,+E ) •
n^x 1 + -y-
K,
§ 1.
Sur la fonction entière (j k , a (z) = 2j 77.— 2 \*
/t =o j^r +«+ ij
1. Nous commencerons par déduire quelques relations importantes concernant la fonction g k a (z). On a d'abord
(1)
et aussi
Z ff' k ,J Z )= k ffk,a-l( Z )~ ka 9 k ,a( Z )>
d'où
( 2 ) ( ?i ') = z "~ lflí *.|j1 M '
relation qui nous sera utile plus tard. On trouve de même
^ > a( Z ) = (- 1 ) i V i -,a + l( Z )>

Sur une nouvelle fonction entière. 423
et
ce qui fait voir que la jonction y = g k a (z) satisfait à Véquation différentielle linéaire et homogène d'ordre k -)- 1
( 3 ) z ^íTI + ¿ ( K + 1 )^f + (~ 1 ) , ' + 1¿ 2/ =0 -
Disons aussi un mot sur le cas où le paramètre ci est 0. Soit X l'entier positif défini par les inégalités
A+l ^ . X
-"F< B ^~P
c'est-à-dire X=[— ka\, en employant une notation bien connue. On démontre alors la formule
1 ;
/ in A + I A + I f* .
00 |/ J (i-0)^ fca+it i( 2 ô)àe+2 7 —
i Y
=° tii r (|- + a: + 1 )'
d'où nous voyons que Ç k a (z) peut s'exprimer à l'aide d'une fonction à paramètre positif. Dans ce qui suit nous supposerons toujours a > 0 .
2. Nous allons maintenant étudier l'ordre de grandeur de \ g k (z) \ en nous servant de la représentation intégrale
^«( z ) = ¿ J
a+i co
r (s) ds
( a+1 -l)
(o> 0)
En posant
s = a-\-it, z = çe i 'p
on aura, comme il est bien connu
Vr'"h . , '
S
\r (s)\ = 0{\t \ a ~*e~* ltl ) , — ^ -- 0 (|C iL He^"
et par là, en supposant | cp | < ~ (l — ij ,
e
0
On peut choisir a aussi grand que l'on veut; l'ordre de g k a {z)\ pour oo sera donc inférieur à toute puissance négative de g . Si, au
contraire, | cp | ==, il faut supposer a < . Nous allons re-

424
S. Wigert.
prendre plus loin l'étude de ce cas, mais à présent nous chercherons une limite supérieure plus précise de \g k u (z) \ en admettant l'hypothèse
I 95 1 < f i 1 ~ T) • Soifc donc
a = a'-\-n, 0^a'<l, s' — a'-\-it\
on aura
ï'|^o*.:+î<1 + î, |r(«' + n)|
= | («' '-f 1) | ...(«' + » — l)r(s' + 1 ) I < (i + 2')... (i + n) I r(a' + 1) I ,
d'où
1 j r(s' -|- 1) I ,
(Il
Ul
\r(s' + n)\< Or, nous avons
j r(s' +1)| <
n±lt n ~ \r(s'+ 1)|, t> 1.
A, t£ 1
A t a ' + T e "TT*, t > 1,
en désignant par A une constante absolue. On a donc finalement
<Ar(a + 2), ¡5^1
I r(o + « í) |'< < 1
( AT{a + 2)t a ~~2 ¿'J', t> 1.
La formule (5) peut aussi s'écrire
a+ica
X r
lut J
F (s) T — a J sin jr — aj cl s
de sorte que nous aurons
0
La partie de cette intégrale correspondant à t 1 est
dt .
<A r(a + 2 )r(|- K + 2);
00
quant à J , elle sera
1
A fa \ ( a ( 1+ j)~ a ~ 1 ~{ 2 ¿
<^r(o + 2)r(|-«+2)J t 1 l ' e 121 K > dt.
En désignant par ô la différence ^ (l — -^) — | cp | on trouve ainsi

I0*.«(*)l < A
Sur une nouvelle fonction entière.
425
QCl ô
a I+-7- — a
 f-2
« . k
0 + 2/ T" +" 2
< A
(a\ k ( aS + k
> aa W I a + 1
a
a + i
, a + —
2 /"( 1+ Í)/( 1+ T)
jy <B k , a a*
ou bien
l^,«( 2 )l < B k ,a aÍ
en posant, pour abréger
»•K)
1+-
2 Í 1+ T) T 1+ r
\ l! frk ,5 k
frïi
i+Y
J k s
2(1+ - 1 -) —
„ \ T k) J.k
jx 1 + T
La fonction
a
■K)
1+ Y
LM V
ßu = :
atteint pour a = ~ ß k Z{k+1) ô~ g 2{k+1) son mint-
mum, = e
~ 2 ( 1+ r) a
= e
2(* + l)
En observant que
/K).
_?A
fc-fl
V 1 ^ T > 1 efc <ï ue a i = 0\q ' + J , on aura donc le résultat suivant
(G)
k,.(*)lSA'~ 8V,e
 k_
2(4 + 1)
1-
\<p\ > 0.
3. Considérons maintenant le cas où (5 = 0. De la formule (5) on tire ¡ g k a {z) I = O Í— ^mais nous verrons qu'on peut s'affranchir du
,4 + 1
terme e. A cet effet nous allons représenter notre fonction entière par une autre intégrale, à savoir
Mathematische AnnaJen. 96. 28

426 (7)
Posons ici il s'ensuit
S. Wigert.
a+i co
' ( Z ) = ô— •
k , a \ / ¿71 \ *J
e 1 w jfc
rfco .
a —icc
(a> 0)
® = 58ïê e<0 ' * = 0^
H — P 7c
2 — (cos 0) cos
hi)
cos a_1 0| dO I .
Ilft - Wl< i£ I e ""
Jt
~ 2
En supposant <p = ± (l — ~) on aura cos ^ = sin et
• V sin ~
en tenant compte de l'inégalité > — , valable pour 0 < ^ ,
J
on voit bien que cos [cp — > i cos 6 . Nous avons ainsi
Y ^j-(cos0) 1+ k
\ 9* a( Z ) I < ~ä f e 1<a " C0SK_1 ddd
' n a J
i ± l ka i í fc+1 di
On en conclut
(8)
¿e g f e kak ■
■a a (k+i)J
k,»l = °
27c 7c+ ï
Tea p ~7c + l ,
y = ± 9 1 - T •
§ 2.
Sur la fonction arithmétique -^~yjd (k) (n) (x — n) 1 ' .
— n^x
Reprenons la formule de transformation (A) et appliquons-la au calcul de l'intégrale
a+i'œ
L f e xz L k (z)dz
lui J zP+ ] '

Sur une nouvelle fonction entière.
427
où X est réel et > 1, a > 0 et p un entier positif choisi suffisamment grand. En substituant pour la fonction L k (z) son développement
L k (z)=2¡S w (n)e
n—i
k
-n z
il faut montrer avant tout que
lim B„ — lim ——
1 '¿ni
q— oo q—cc
1
Je
n y 1
a— i X.
e \
' V+1+ lê «=S+1
dz — 0,
en mettant, pour abréger
1+4" ±rr*(2v + l)
y = (2 ti) k e 2k
y = 0... T -l.
Considérons, d'une manière générale, la somme £ S (n)Ç n , où 0 < £ < 1.
n=q+ 1
Pour n > 1 on a
il i
(n-1) k
et, en posant T n = S Uc) (v) ,
i_ J. il.
2 (n)i nle = - T J 1 " + I 1
n=ï+l n=î+l
Or, on trouve sans peine
T n — n k log n-\- 0 [n k ) < n' ,
(n>g)
pourvu que ß soit > , et par là
ÍS«(n)^<(l-f) jjn'f"*
n=q + 1
n=q
D'autre part 5 )
6 ) On a en effet pour t > 0, 1 >¿> 0: ( 1 -f t)'* < 1 + A t, (1 +t) 1 ~ > ~ < 1 + ( 1 — A) t , \l-il , i, /1 , ■ * t
1 + f>(l+í) 1 ~' l + -U > (1 + í) >1
(1 + 0
i-;. •
28*

428 S. Wigert.
r ■>'
Icq
1 1
111 T T
/ i N~* ¥ * " 1 - "
(g + y) —q >q
donc
1 1 t» — ~
¿V r T = / í 4 " J 7 (i +-/ ¿ (?+r) * -» *
n=7+l r =l ^
1
~k
V
\ - o Hi <?*£' ¿, 7 (l + — )f* ,?+1>
v=l ®
Nous avons de plus pour X > 0
j >J e~ lvk < f e~ Aí k dt = ~ , Max [í e — *) = (^) , y=l J ^
O
è ve ~ iv k c ( uf- + J ue ~ u k dt = {us *+ S& •
V = 1 V
O
Iog C
En posant / = on obtient ainsi")
1
? 2*-3
1-1
y ,, , ßA t k(q+i) * r pa rce que 2k — 3^> Je — 1 pour k^.2, et enfin — f <
V ^(n)f» l < ^ gT C_y •
«=ï + 2 ( l0g j)
Ceci posé, nous pouvons écrire 7 )
") Je suppose ici log i < 1. Il n'y a pas là d'inconvénient, comme nous verrons tout de suite.
i+i l
_(2^)_ft (co8e) l + T
le 1 (2jt) k+1
') On voit que f = e ka ' > , pour peu qu'on prenne g> .
e lc k

Sur une nouvelle fonction entière.
429
Rq+l i <
: (cose) î ' +1+ "k
v+i + T a «
i+— 1 l
(äll) — (cos ö ) 1+ "* » T
.^, T <S" d (n)e ka
n=((+a
< e ax C(k 1 a)q 2k+ ^~ 3 j* < ó
= 0 ï«iî(' + -f- s
1+i J, « (2*) /c k 1+ T
"3" j 8 (cos 0) '*
a dO cos- 0
k a '
(cosöf +& 2fc 2 d0
En supposant < ß <Y(jc~-fïj' ^ su ^fit ^e P ren di'e p^(i-)-l)(2i— 1),
pour que l'exposant de -y soit positif. Sous cette hypothèse on aura donc
R q —* 0 pour q—-o o, ce qui revient à dire que la formule (B), obtenue
par intégration terme à terme, est exacte. Or, la série indéfinie figurant
en (B) est absolument et uniformément convergente pour p^> 2. En effet,
™S w (n) 1
la série V converge absolument pour R (s ) > -r- et nous avons
n= 1
•>k
nx =
0
1
Tep+1| ,h(lc + iy
il suffit donc que p soit > 1. En vertu de l'équation (2.) la différentiation ne produit dans la formule (B) autre changement que de remplacer p par p — 1. L'égalité (B) reste donc valable pour p^L 2.
Le cas où p = 1 semble difficile. On peut montrer qu'en remplaçant S u '\n) par sa valeur moyenne on obtient une série absolu-
n'-T
ment convergente, mais on ne parvient pas à une démonstration de con-
n i 1
vergence en employant la formule S ik) (v) — n k \ogn 0 (n k ) et la
V— 1
sommation partielle.
(Eingegangen am 9. 10. 1925.)

Über die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen.
Von
J. L. Walsh 1 ) in München.
Viele Resultate über die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen sind wohlbekannt 2 ), darunter das Theorem von Runge:
Es sei die Funktion f (z) eine analytische Funktion von z in einem einfach zusammenhängenden Bereiche R der z- Ebene. Dann läßt sich f(z) in eine Reihe nach Polynomen von z entwickeln, welche in jedem ganz innerhalb R gelegenen abgeschlossenen Bereiche gleichmäßig konvergiert.
Der Zweck dieses Artikels ist, ein Resultat anzugeben, das in bezug auf bestimmte Funktionen noch allgemeiner ist, als das Theorem von Runge, und das außerdem erlaubt, das Theorem von Runge sehr leicht zu beweisen:
Satz. Es sei f(z) eine analytische Funktion von z im Inneren einer Jordanschen Kurve G, und es sei f(z) stetig im abgeschlossenen Bereiche, welcher aus der Kurve G und ihrem Inneren besteht. Dann läßt sich f(z) im ganzen abgeschlossenen Bereiche in eine Reihe nach Polynomen von z entwickeln; diese Reihe konvergiert gleichmäßig in demselben abgeschlossenen Bereiche.
Dieser Satz kann, wenn die Kurve analytisch ist, leicht durch den Gebrauch konformer Abbildung bewiesen werden 3 ). Auch im allgemeineren Falle werden die gewünschten Resultate durch einen Courantschen Satz 4 )
1 ) Fellow, International Education Board.
•) Siehe z. B. Montel, „Leçons sur les Séries à une Variable Complexe" (Paris 1910), wo die Literatur zitiert ist.
3 ) Walsh, „On the Expansion of Analytic Functions in terms of Polynomials", Trans. Amer. Math. Soc. 26 (1924), S. 155 — 170, Theorem III.
4 ) „Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung", Göttinger Nachrichten, Math.-phys. Klasse, 1914, S. 101 — 109; 1922, S. 69 — 70.

J. L. Walsh. Entwicklung nach Polynomen.
431
über konforme Abbildung erreicht. Prof. Carathéodory hat mich angeregt, die Möglichkeit einer Anwendung dieses Courantschen Satzes auf das vorliegende Problem nachzuprüfen.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß der Punkt z = 0 im Inneren von C liegt; diese Annahme schränkt die Allgemeinheit nicht ein. Wir betrachten eine Folge {C n } von ineinander eingeschachtelten Jordan- schen Kurven in der z- Ebene, die im Äußern von G liegen, und so, daß die Bedingungen des Satzes von Courant erfüllt sind 5 ). Wir bilden das Innere von C, C n , resp. auf das Innere des Einheitskreises r in der w-Ebene ab, so daß die Punkte z = 0 und u = 0, und in diesen Punkten auch die positiven Richtungen der Achsen des Reellen einander entsprechen. Wir bezeichnen mit u = <p(z), <p n {z ) die Funktionen, welche diese Abbildungen liefern, und mit z — yj(u), y> n {u) resp. die Umkehrfunktionen. Durch die Abbildung u = cp n (z ) wird die Kurve C in die im Inneren von r liegende Jordansche Kurve y n transformiert.
Die Funktionen f[y>(u)\ und f{y [(/>„(z)]} sind im Inneren von /' und C resp. analytisch und in den entsprechenden abgeschlossenen Bereichen stetig. Um unseren Satz zu beweisen, genügt es zu zeigen, daß es zu jedem e > 0 ein n gibt, so daß für irgendeinen Punkt z auf oder im Inneren von G die Ungleichung
(1) \f{y J [ ( Pn ( Z )]}-f ( Z )\<i
gilt. Denn nach dem Rungeschen Theorem können wir die Funktion f{v [Vn ( z )]} au ^ C un< ^ ™ I nneren von C beliebig genau durch ein Polynom p(z) annähern:
I f{v>[9»(*)]} ~P( Z )\<^'
Hieraus erfolgt unmittelbar die Schlußfolgerung unseres Satzes:
\f(s) — p(z) |<«
für alle betreffenden Punkte, da gleichmäßige Entwicklung und Annäherung mit beliebiger Genauigkeit vollständig äquivalent sind.
Wir beweisen die Ungleichung (1) durch die Transformation z = W n (u) auf die u- Ebene, d. h. wir wollen zeigen, daß für jedes u auf oder im Inneren von y n die Ungleichung
(2) ir[v(«)l—/"[>„(«)] I <!
5 ) Eine solche Folge läßt sich mit Hilfe eines Quadratnetzes im Äußern von C konstruieren. Vgl. Osgood, Funktionentheorie (Leipzig 1912), S. 156.

432 J. L. Walsh.
»
befriedigt ist. Es ist hinreichend, die Ungleichung (2) für alle auf y n liegenden Punkte u zu beweisen. Wenn der Punkt u auf y n liegt, so liegen beide Punkte z = ip (u) und z = y n {u) im abgeschlossenen Bereich, welcher aus der Kurve C und ihrem Inneren besteht; in diesem abgeschlossenen Bereiche ist f[z) stetig und damit gleichmäßig stetig. Das heißt, die Ungleichung (2) gilt gleichmäßig für alle betreffenden Werte von u, wenn wir nur n so auswählen können, daß | y(u) — ip n (u) j beliebig klein ist, gleichmäßig für alle auf y n liegenden Punkte u. Diese letzte Bedingung läßt sich erfüllen infolge der in r gleichmäßigen Konvergenz der Folge {y n }, welche aus dem Courantschen Satz erfolgt"). Unser Satz ist hiermit bewiesen.
Wenn jeder der Bereiche C 1; C„, ..., C m durch eine Jordansche Kurve begrenzt ist und wenn der kürzeste Abstand der abgeschlossenen Bereiche C { , Cj (i, j — 1, 2, ..., m, i 4= j) voneinander nicht null ist, so ist jede innerhalb C 1 + C 2 + ... + G m analytische, in der entsprechenden abgeschlossenen Punktmenge stetige Funktion in eine gleichmäßig konvergierende Reihe von Polynomen entwickelbar. Wir führen den Beweis nicht aus, weil derselbe wegen einer ähnlichen Erörterung von Montel ") sehr einleuchtend ist.
Die Frage, ob eine innerhalb eines Bereiches analytische und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetige Funktion in eine im abgeschlossenen Bereiche gleichmäßig konvergente Reihe von Polynomen entwickelbar ist, gilt in der Enzyklopädie als ungelöst 8 ). In dieser Beziehung machen wir vier Bemerkungen, deren Tragweite in Wirklichkeit noch größer ist, als wir hier zu erörtern brauchen.
1. Unser Satz erstreckt sich nicht bis zum allgemeinsten einfach zusammenhängenden Bereiche der z-Ebene. Zum Beispiel betrachten wir als Bereich einen außerhalb eines Kreises K liegenden Streifen A, der an einem Ende geschlossen ist und sich spiralförmig gegen Ii unendlich oft
6 ) A.a.O. S. 108, Satz IV. Unser Satz kann auch durch den Satz lila von Courant bewiesen werden.
') A. a. 0. Kap. IV. Die Methode stammt von Runge her.
8 ) Hilb und Szász, Bd. ir 3 , Heft 8, S. 1276 (Sept. 1924). Siehe auch Montel, a.a.O. S. 66 — 71, wo die Frage im Zusammenhang mit der Annäherungemethode von Tschebyscheff betrachtet ist. Wir haben also bewiesen, daß für eine im Innern einer Jordanschen Kurve analytische und im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetige Funktion die Methode von Tschebyscheff eine gleichmäßig konvergente Folge von Polynomen liefert, deren Grenze die ursprüngliche Funktion ist.
Hilb und Szász bemerken auch, daß Konvexität des Bereiches genügt; ich habe das unabhängig davon auch bemerkt (a.a.O. S. 168, Fußnote), April 1924.

Entwicklung nach Polynomen.
433
windet und sich beliebig nahe dem Kreis nähert. Die Funktion
wo z = a der Mittelpunkt von K ist, ist überall im abgeschlossenen Bereiche A analytisch, doch nicht in eine im abgeschlossenen Bereiche gleichmäßig konvergente Reihe von Polynomen entwickelbar. Denn die Summe F(z) einer solchen Reihe ist innerhalb K analytisch und in der abgeschlossenen Kreisfläche stetig. Auf der Kreislinie kann aber nicht F{z) = f(z ) sein, wegen der Werte der Integrale:
¡F(z)dz = 0, ff (z)dz = 2ni. k k
2. Gegeben ein einfach zusammenhängender Bereich G. Es ist nicht wahr, daß die Möglichkeit, eine beliebige im Inneren von C analytische, im abgeschlossenen Bereiche stetige Funktion in eine im abgeschlossenen Bereiche gleichmäßig konvergente Reihe von Polynomen zu entwickeln, ergibt, daß C durch eine Jordansche Kurve begrenzt ist. Zum Beispiel, betrachten wir den Bereich C in der z(= r e i0 )-Ebene:
G : — n < 0 < n.
Jede Funktion f{z), die im Inneren von C analytisch und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig ist, ist auch im ganzen Inneren des Bereiches 1 > r 0 analytisch 9 ), und deshalb läßt sich dieselbe auf die beschriebene Weise entwickeln. Trotzdem ist der Bereich G nicht durch eine Jordansche Kurve begrenzt.
Ein Bereich, der die besagte Eigenschaft hat, braucht nicht einfach zusammenhängend zu sein; das Beispiel
C': l>r>0 ist dem soeben angegebenen Beispiel ähnlich.
3. Wir nennen einen Randpunkt Q eines Bereiches hebbar, wenn eine Umgebung von Q existiert, in der kein Punkt liegt, der sich nicht im abgeschlossenen Bereiche befindet. Wenn wir hebbare Randpunkte ausschließen, so gilt der folgende Satz, dessen Beweis wir skizzieren:
Es sei ein zusammenhängender Bereich C in der z-Ebene gegeben. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede im Bereiche G mit Einschluß des Randes reguläre analytische Funktion in eine im abgeschlossenen Bereiche G gleichmäßig konvergente Reihe von Polynomen entwickelbar sei, ist, daß G entiveder mit der ganzen Ebene mit Einschluß des Punktes z = oo zusammenfalle oder mit einem endlichen einfach zu-
9 ) Siehe z. B. Osgood, a. a. 0. S. 315.

434
J. L. Walsh.
sammenhängenden Bereich, dessen Rand die Ebene in genau zwei zusammenhängende Bereiche zerteile l0 ).
Wenn der Bereich die ganze Ebene ist, so muß die betreffende Funktion eine Konstante sein, die natürlich entwickelbar ist. Sonst muß der Bereich C beschränkt sein, weil jedes nicht konstante Polynom im Punkte oo den Wert oo hat und eine Reihe von solchen Polynomen in der Umgebung des Punktes oo nicht gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergieren kann. Von nun an betrachten wir nur endliche Bereiche. Wir nennen C den C entsprechenden abgeschlossenen Bereich.
Die besagte Bedingung ist notwendig. Sonst existiert ein in G nicht enthaltener Punkt P: z — z y , der sich nicht mit dem Punkt oo durch einen Streckenzug, welcher keinen Punkt von C enthält, verbinden läßt. Sämtliche Punkte, die sich mit P durch einen Streckenzug verbinden lassen, der keinen Punkt von C enthält, bilden einen einfach zusammenhängenden Bereich B, dessen Rand aus lauter Punkten von C besteht. Die Funktion
f(z) = - 1 —
v ' z — z t
ist in jedem Punkt von C regulär; wäre sie in C entwickelbar, so wäre die Summe S (z) der Reihe im Inneren von B regulär analytisch, was nach Voraussetzung ausgeschlossen ist.
Wir benutzen hier nämlich den folgenden Satz: Stimmen die Werte von zwei in einem einfach zusammenhängenden Bereiche B definierten monogenen analytischen Funktionen f¡ (2) und f „(z) auf dem Rande von B überein, und sind die Funktionen in der in B liegenden Umgebung des Randes von B regulär, dann sind die Funktionen identisch. Wenn nämlich die Funktion z — tf(u ) den Einheitskreis der w-Ebene auf den Bereich B abbildet, so ist die Funktion
\u\ = l,
\u\ < 1,
I u\ > 1,
für [ u I = 1 regulär und Null, und daher identisch Null.
10 ) Diese Bedingung lautet auch so, daß C entweder mit der ganzen Ebene zusammenfalle oder ein endlicher Bereich sei, dessen Komplementärmenge (d. h. Komplementärmenge des abgeschlossenen Bereiches, in bezug auf die ganze Ebene) zusammenhänge.
Diese Bereiche finden sich in einer Klasse von Bereichen, deren schöne Eigenschaften Prof. Carathéodory studiert hat, Math. Annalen 72 (1912), S. 107 — 144, Kap. III.
F(u) =
0,
fi[v( u )\ — /à [>(«)]>
ikSl-ftki)].

Entwicklung nach Polynomen.
435
Die Bedingung ist hinreichend. Denn nach der Regularitäfc von f(z) im abgeschlossenen Bereiche gibt es eine von z 0 unabhängige positive Größe e, so daß f(z) im Kreise \z — z 0 |<e regulär ist, wenn nur z 0 in C liegt. Es existiert also eine Jordansche Kurve J, welche C enthält und deren Inneres aus lauter Regulärpunkten von f(z ) besteht; das Resultat folgt hiernach aus dem Theorem von Runge.
Wir beweisen die Existenz der Kurve J genauer. Es gibt in der Tat ein e endliche Anzahl von Kreisen K 1 , K 2 , ..., K N , jeder vom Halbmesser e und mit dem Mittelpunkt auf dem Rande von G, die den Rand von G überdecken. Die Jordansche Kurve, welche aus den zu äußerst liegenden Bogen dieser Kreise besteht, enthält etwa M einfach zusammenhängende Bereiche ßj, B. 2 ,..., B m , deren Punkte weder zu G noch zu K l , K„,..., K N gehören. Ein beliebiger Punkt A l von B l läßt sich mit dem Punkt oo durch einen Streckenzug verbinden, welcher keinen Punkt von G enthält. Wir können diesen Streckenzug in einen Bereich einschließen, der gleichfalls keinen Punkt von G enthält und der durch einen anderen Streckenzug S, begrenzt ist. Die oben gebrauchte Jordansche Kurve J besteht aus Bögen von K 1 , K 2 , .. ., Kx und aus Strecken von S 1 , S 2 , ..., S. m, die in den Kreisen K 1 K N liegen.
4. Es sei die Funktion f(z) im Inneren einer Jordanschen Kurve C analytisch und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche C stetig. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede im Inneren von C analytische und im abgeschlossenen Bereiche C stetige Funktion F(z) in eine im abgeschlossenen Bereiche G gleichmäßig konvergierende Reihe von Polynomen von f(z) entwickelbar sei:
besteht darin, daß f(z) im abgeschlossenen Bereiche schlicht sei.
Eine Funktion f{z) heißt im abgeschlossenen Bereiche G schlicht, wenn die Gleichung
wo z 1 =t= z 2 ist und z 1 und z„ in G sind. Die Funktion F(z) = z ist dann in G nicht entwickelbar, weil die Reihen (3) für z = z 1 und für z = z„ identisch sind, jedoch FÇz^ =\= F(z 2 ) ist.
(3)
F(z) = j¡ ¿ c in [f(z)Y\
i=0 n=0

436 J- L. Walsh. Entwicklung nach Polynomen.
&
Die Bedingung ist hinreichend. Der Bereich C entspricht einem Bereiche B in der u- Ebene mittels der ein-eindeutigen Transformation u = f(z). Der Bereich ]} ist durch eine Jordansche Kurve begrenzt. Wir haben also nach unserem Hauptsatze die im abgeschlossenen Bereiche B gleichmäßig konvergierende Entwicklung
(4) F[cp{u)\ = 2 ¿ c in u'\
i— 0 n=0
wo F(z ) eine beliebige in C analytische, in G stetige Funktion ist, und wo <p(u) die Umkehrfunktion von f[z) ist. Die Reihen (3) und (4) sind äquivalent.
Dieser Satz gilt auch für einen unendlichen Bereich C, der durch eine Jordansche Kurve begrenzt ist.
(Eingegangen am 24. 10. 1925.)

Über die Entwicklung einer Funktion einer komplexen Veränderlichen nach Polynomen.
Von
J. L. Walsh in München 1 ).
In dem vorliegenden Artikel soll in der Hauptsache ein Beweis des folgenden Satzes entwickelt werden:
Satz I. Ist die komplexe Funktion F(z) der komplexen Veränderlichen z = X -f i y stetig auf einer Jordanschen Kurve C, die den Punkt 2 = 0 einschließt, so läßt sich F (2) in eine auf G gleichmäßig konvergierende Reihe von Polynomen in z und 1 jz entivickeln.
Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des klassischen Satzes von Weierstraß, daß jede stetige periodische Funktion von 0 (0) von Periode 2n sich gleichmäßig entwickeln läßt in eine Reihe von trigonometrischen Polynomen:
^(0) = J? 2J( a in cos710 + ¿¿„sin nO).
i=0 n=0
Satz I ist mit dem Satze von Weierstraß identisch, wenn die Kurve G der Einheitskreis ist, denn die Relationen
Q z n -z~ n a Z n + Z~ n
sin na = —s-.—, cos nu =— ^75 :
2 1 2
z" = cos ji0 + ¿ sin n0, z~ n = cos nd — i sinn 6
gelten dann auf G. Jedes trigonometrische Polynom ist ein Polynom von z und 1 ¡z, und umgekehrt.
Satz I findet sich schon bewiesen für den Fall, daß die Kurve G eine analytische Kurve ist 3 ).
1 ) National Research Fellow.
2 ) Walsh, Transactions of the American Mathematical Society 26 (1924), S. 168,
Fußnote.

438
J. L. Walsh.
Satz I ist dem folgenden neulich bewiesenen Satz 3 ) ähnlich, welchen wir im Beweis gebrauchen:
Satz II. Ist die Funktion F(z) im Inneren einer Jordanschen Kurve G analytisch und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig, so läßt sich F(z) in eine im abgeschlossenen Bereiche gleichmäßig konvergierende Reihe von Polynomen in z entwickeln.
Satz II wird durch einen Satz von Courant über konforme Abbildung 4 ) gewonnen, dessen Benutzung mir Prof. Carathéodory geraten hat. Zum Beweise von Satz I benutzen wir den folgenden Hilfssatz:
Satz III. Es sei B ein ringförmiger Bereich, der durch zwei Jordansche Kurven G 1 und G„, die keinen gemeinsamen Punkt besitzen, begrenzt wird, und es sei die Funktion F(z) im Inneren von B analytisch, im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig. Wenn der Nullpunkt im Inneren von C 1 und C\ 2 liegt, so läßt sich F(z) gleichmäßig im abgeschlossenen Bereiche B nach Polynomen von z und 1/z entwickeln. Wenn C 2 im Inneren von C\ liegt, so ist diese Entwicklung die Summe einer axif und innerhalb C 1 gleichmäßig konvergierenden Reihe von Polynomen von z und einer auf und außerhalb C 2 gleichmäßig konvergierenden Reihe von Polynomen von 1 /z.
Es seien K x und K 2 zwei im Bereiche B liegende analytische Jordansche Kurven, so daß jede die Kurve C 2 einschließt, und es liege K„ im Inneren von K 1 . Die Funktionen
(V J.M-Ä/t .
K, K a
wo die Integrale im positiven Sinne in bezug auf den durch K x und K 2 begrenzten Bereich erstreckt sind, verhalten sich im Inneren von K x bzw. im Äußeren von K , analytisch. Wenn z zwischen K x und K„ liegt, so gilt die Gleichung
(2) F(z)^F 1 (z) + F,(z).
Die Integrale (1) sind von der besonderen Wahl der Kurven K 1 und K„
3 ) Walsh, Mathematische Annalen 96 (1926), S. 430 — 436.
(Bemerkung bei der Korrektur.) Ieh habe erst neulich (am 23. Juli 1926) durch eine freundliche mündliche Mitteilung von Herrn Marcel Riesz erfahren, daß dieser Satz durch die von Carleman benutzten Methoden sich beweisen läßt. Carleman hat einen ähnlichen aber weniger allgemeinen Satz bewiesen. Vgl. „Uber die Approximation analytischer Funktionen", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 17 (1922-23).
Herr Riesz hat diese Tatsache vor drei Jahren bemerkt, ohne sie zu publizieren.
4 ) Göttinger Nachrichten 1914, S. 101 — 109, Satz IV.

Entwicklung nach Polynomen.
439
unabhängig; wir lassen diese Kurven die Kurven G 1 bzw. G„ annähern. Die Funktion F ± (z) ist im ganzen Inneren von K 1 regulär-analytisch. Wenn z zwischen K 1 und K„ liegt, aber sich einem Punkt von G, nähert, so nähern sich F(z) und F 1 (z) — und deshalb auch F. 2 (z) — stetigen Grenzwerten. Die Funktion F 1 (z) beträgt sich ebenso, wenn z gegen einen Punkt von C 1 geht. D. h. die Funktionen F 1 (z) und F a (z) sind im Inneren von C 1 analytisch, im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig, bzw. im Äußeren von C. 2 (inklusive des Punktes co) analytisch, im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig, wenn passende Definitionen dieser Funktionen auf den Kurven gegeben werden. Die Gleichung (2) gilt für alle im abgeschlossenen Bereiche B liegenden Punkte.
Die Funktion F 1 ( z) läßt sich nach Satz II auf und im Inneren von C 1 nach Polynomen von z gleichmäßig entwickeln. Man sieht durch die Transformation z = I /2', daß die Funktion F s (z) sich auf und im Äußeren von G, nach Polynomen von z' gleichmäßig entwickeln läßt. Die gliedweise Summe dieser beiden Entwicklungen befriedigt die Behauptungen unseres Satzes.
Jetzt können wir den Satz I leicht beweisen: es sei u — f(z ) eine Funktion, die das Innere von G auf das Innere des Einheitskreises F in der «-Ebene abbildet, so daß f(0) = 0 ist, und es sei z = cp ( m ) die Umkehrfunktion von f(z). Die Funktion F[cp{u)] ist auf F definiert und stetig und läßt sich dort nach Polynomen von u und 1 ¡u nach dem Weierstraß sehen Satze gleichmäßig entwickeln. D. h. wir haben auf G die gleichmäßige Entwicklung
(3) F { z )=2 ¿ c in [f(z)]\
i=0 n=—i
Die Funktion f[z ) läßt sich nach Satz II auf G durch Polynome von z gleichmäßig approximieren. Die Funktion 1 //"(z) ist im Inneren von C überall regulär-analytisch, außer im einzelnen Punkte z — 0. Nach Satz III läßt sich 1 /f(z) auf G durch Polynome von z und 1/z gleichmäßig approximieren 5 ). Der Satz I folgt nun mit Hilfe der Gleichung (3).
6 ) Ich verdanke Prof. Hartogs die Idee der folgenden Bemerkung.
Satz III ist an und für sich vielleicht nicht ohne Interesse. Man kann aber beweisen, daß die Punktion 1 ¡f{z) sich auf C nach Polynomen von z und 1/z gleichmäßig approximieren läßt; daher folgt Satz I ohne Gebrauch von Satz III. Die Funktion f(z ) hat nämlich eine einfache Nullstelle in z = 0, und die Funktion 1 lf(z) dort einen einfachen Pol:
m = ^ +fAz) '
wo f t (z) im Inneren von C analytisch ist und im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetig. Die Gleichung gilt im abgeschlossenen Bereich. In diesem abgeschlossenen Bereich läßt sich f 1 (2) durch Polynome von z gleichmäßig approximioren, also 1 lf(z) durch Polynome von z und 1 ¡z.

440
J. L. Walsh.
Einige weitere Tatsachen sind noch bemerkenswert.
I o . Satz I kann auch folgendermaßen ausgesprochen werden:
1st die Funktion F(z) auf der Jordanschen Kurve G stetig, so läßt sich F(z) in eine auf C gleichmäßig konvergierende Reihe von rationalen Funktionen von z entwickeln.
Die Entwicklung, die im Satze I betrachtet wird, ist schon eine Entwicklung nach rationalen Funktionen, und behält diese Eigenschaft nach einer ganzen oder gebrochenen linearen Transformation der Ebene. Wir brauchen also, um die Äquivalenz dieser Sätze nachzuweisen, nur das Umgekehrte zu betrachten.
Wenn eine Funktion F(z) nach rationalen Funktionen entwickelbar ist, so haben höchstens endlichviele dieser Funktionen Pole auf C. Jede rationale Funktion, die keinen Pol auf G hat, läßt sich auf G nach Satz III durch Polynome in z und 1/z gleichmäßig approximieren, wenn die Lage der Kurve G die verlangte ist. Die Funktion F(z) läßt sich also auf G nach Polynomen von z und 1/z entwickeln.
Die jetzige Formulierung des Satzes I ist aber auch gültig, wenn die Kurve G den Nullpunkt nicht einschließt, und auch wenn die Kurve G sich ins Unendliche erstreckt.
2°. 1st die Funktion f(z) auf einer Jordanschen Kurve G stetig, so ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine beliebige auf G stetige Funktion F(z) in eine auf G gleichmäßig konvergierende Reihe von Polynomen von f(z) und 1 ¡f(z) entwickelbar sei, daß die Transformation u = f(z) die Kurve C ein-eindeutig auf eine den Punkt u — 0 einschließende Jordansche Kurve in der u-Ebene abbilde.
Die Bedingung ist notwendig. Zuerst bilden die Punkte u = f(z) eine Jordansche Kurve K, weil die Abbildung u=f[z) ein-eindeutig ist. Die Transformation u — f(z) ist nämlich ebenso wie f(z) selbst eindeutig. Die Umkehrfunktion z — cp(u ) ist gleichfalls eindeutig. In der Tat, wäre
f( z i) = Zi + z 2 , z i> z 2 auf G,
so wäre die Funktion I (z) = z nicht entwickelbar, denn die Reihen für z = z 1 und z — z„ wären dieselben, mit F(z 1 ) 4= F(z„).
Liegt zweitens der Punkt u = 0 auf K, so ist llf(z) in einem Punkt unendlich und es können nur endlich viele Glieder der Entwicklung von F(z) negative Potenzen von /'(z) enthalten; also ist jede Funktion F(z) nur nach Polynomen von f{z) gleichmäßig entwickelbar. D. h. jede auf K stetige Funktion F[<p(u)\ wäre nach Polynomen von u gleichmäßig entwickelbar. Liegt anderseits m = 0 außerhalb K, so istl/wauf und innerhalb K regulär-analytisch und dort nach Polynomen von u gleichmäßig ent-

Entwicklung nach Polynomen.
441
wickelbar; infolgedessen ist ebenfalls jede auf K stetige Funktion F [cp (w)] nach Polynomen von u gleichmäßig entwickelbar. Hier haben wir einen Widerspruch, weil die Funktion F[cp(u)] = —-—-, wo u 0 innerhalb K liegt,
U Kiq
stetig ist und doch nicht nach Polynomen von u gleichmäßig entwickelbar 0 ).
Die Bedingung ist hinreichend. Die beliebige stetige Funktion F (z) = F [cp (u)] ist auf K nach Polynomen von u und 1 \u gleichmäßig entwickelbar, d. h. nach Polynomen von f{z) und 1 lf(z).
Es ist nach dieser Erörterung klar, daß es keine auf C stetige Funktion f(z) gibt, derartig, daß jede auf C stetige Funktion F(z) nach Polynomen nur von f{z) entwickelbar ist.
Für die Gültigkeit der Bemerkung 2° braucht nicht die Kurve G endlich zu sein.
3°. Es sei B ein Bereich, der durch zwei Jordansche Kurven C 1 und C„ begrenzt ist, und möge C\ außerhalb der Kurve C 2 liegen. Es existiert dann keine Funktion f(z), die im Inneren von B analytisch, im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig ist, so daß eine beliebige, im Inneren von B analytische, im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetige Funktion F(z) nach Polynomen von f{z) gleichmäßig entwickelbar ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede solche Funktion F(z) nach Polynomen von f(z ) und l/f(z) gleichmäßig entwickelbar sei, ist, daß durch die Transformation u — f(z) der Bereich B einem Bereiche B' entspreche, welcher durch zwei Jordansche Kurven ohne gemeinsamen Punkt begrenzt ist, und daß jede dieser Kurven den Nullpunkt einschließe.
6 ) Eine solche Entwicklung würde eine im ganzen Inneren von C analytische Funktion darstellen, was wegen des folgenden Satzes unmöglich ist:
Stimmen die Werte von zwei in einem einfach zusammenhängenden Bereiche B definierten monogenen analytischen Funktionen auf dem Bande von B überein, und sind die Funktionen in der in B liegenden Umgebung des Randes von B regulär, in der entsprechenden abgeschlossenen Umgebung stetig, dann sind die Funktionen identisch.
Ein Beweis dieses Satzes findet sich skizziert bei Walsh, Math. Annalen loc. cit. Es ist auch nicht notwendig für die Gültigkeit dieses Satzes bzw. seines dort gegebenen Beweises, daß die Werte der fraglichen Funktionen auf dem ganzen Rande von B übereinstimmen.
Wir haben in der Tat durch die dort gegebene Skizze den folgenden Satz:
Es sei die Funktion F (z) auf dem Rande eines beschränkten Bereiches B reguläranalytisch. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß F (z) auf dem Rande von B (bzw. im ganzen abgeschlossenen Bereich B) nach Polynomen von z gleichmäßig entwickelbar sei, besteht darin, daß F(z) in jedem Punkt regulär-analytisch sei, der sich nicht mit dem Punkt œ durch einen Streckenzug, der keinen Punkt des Bandes von B enthält, verbinden läßt.
Dieser Satz gilt auch, wenn der Bereich B mehrfach zusammenhängend ist.
Mathematische Annalen. 96. 29

442
J. L. Walsh.
Der Beweis ist einfach und wird dem Leser überlassen. 4°. Man kann ein weitergehendes Resultat als den Satz I herleiten, wenn die Funktion F{z ) auf C eine Bedingung von Lipschitz befriedigt und wenn die Kurve G im Sinne von Osgood 7 ) regulär ist.
Die Funktion F(z ) läßt sich nämlich als die Summe
(4) F{z) = F 1 (z) + F^z)
schreiben, wo F 1 (z) im Inneren von G analytisch ist und im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetig, und wo F„ (z) im Äußeren von G analytisch ist und im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetig 8 ).
Entwickelt man die Funktionen F 1 (z) und F 3 ( z ), so bekommt man nach (4) die Entwicklung
(5) F[z) = 2 Za in z n + jt Sa in z"
¿ = 1 7i=0 i=l 71=0
wo die Reihen auf und im Inneren von G, bzw. auf und im Äußeren von C gleichmäßig konvergieren. Die Entwicklung (5) ist natürlich nicht möglich für alle auf G bloß stetigen Funktionen, wenn auch G regulär ist.
5°. Es sei der Bereich B durch die Jordanschen Kurven G 0 , G 1} ..., C n begrenzt, wo B innerhalb C 0 und außerhalb G 1 ,G i ,...,G n liegt, und wo die Kurve C¿ keinen gemeinsamen Punkt mit der Kurve Cj (»,7 = 0,1,..., n, i 4= j) hat. Es seien z 1 , z 9 , ..., z n beliebige Punkte innerhalb C 1 ,C^,...,G n bzw. Ist die Funktion F(z) innerhalb B analytisch und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig, so ist sie in demselben abgeschlossenen Bereiche die Summe von (n -j- 1) Funktionen:
F{z) = F 0 (s) + F, (z) + F t (z) + ... + F n (z),
wo F 0 (z) im Inneren von G 0 regulär und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig ist und wo F k (z), h = 1, 2,..., n, im Äußeren von G k regulär und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig ist. Die Funktion F{z) ist also im abgeschlossenen Bereiche B als die Summe von (n + 1) Reihen entwickelbar :
F{z) = Z jja imZ ™ + í Z< m {z-z i y m
t=0 m=0 i=0 m=0
+ Ê ¿a¡' m (z-z,y m + ... + 2 2alZ(z-z n )- m .
<=0 m=0 i=0 m=0
Jede dieser Reihen konvergiert im abgeschlossenen Bereiche B gleichmäßig-, die erste konvergiert auf und im Inneren von C 0 gleichmäßig, die
7 ) Funktionentheorie I (Leipzig 1912), S. 51.
8 ) Plemelj, Monatshefte für Math, und Phys. 19 (1909), S. 205—210.

Entwicklung nach Polynomen.
443
(&-j-l)-ie, Je = 1 , 2, ..., n, konvergiert auf und im Äußeren von C k gleichmäßig.
Der Beweis dieses Satzes ist fast genau derselbe wie der Beweis des Satzes III.
6°. Jede Funktion F(z), die auf einem Jordanschen Kurvénstück G' stetig ist, läßt sich auf G' nach Polynomen von z gleichmäßig entivickeln.
Man kann eine Jordansche Kurve C konstruieren, von welcher das Stück C' ein Bogen ist"). Wir nehmen an, daß der Nullpunkt innerhalb G liegt. Die Funktion F(z ) läßt sich auf G fortsetzen, so daß die erweiterte Funktion F(z) auf der ganzen Kurve G stetig ist. Nach Satz I läßt sich die Funktion .F(z) auf G nach Polynomen von z und 1/z gleichmäßig entwickeln.
Die Funktion 1 Jz läßt sich auf G' nach Polynomen von z gleichmäßig approximieren. In der Tat, sei K ein Jordansches Kurvenstück, welches den Nullpunkt mit dem Punkt oo verbindet, und welches keinen Punkt von C' enthält 10 ). Die in solcher Weise aufgeschnittene Ebene ist ein einfach zusammenhängender Bereich B, in dessen Inneren die Funktion 1/z regulär-analytisch ist, und dessen Inneres den Punkt oo nicht enthält. Nach dem wohlbekannten Satze von Runge ist also die Funktion 1/z im Inneren von B nach Polynomen von z entwickelbar und die Reihe konvergiert gleichmäßig in jedem ganz im Inneren von B liegenden abgeschlossenen Bereich, daher auf C'.
Da F(z) auf C' nach Polynomen von z und 1/z gleichmäßig entwickelbar ist, und da die Funktion 1/z sich auf C' durch Polynome von z gleichmäßig approximieren läßt, so ist F[z) auf C' nach Polynomen von z gleichmäßig entwickelbar.
Die Bemerkung 6° ist eine direkte Verallgemeinerung des klassischen Weierstraßschen Satzes, daß jede in einem abgeschlossenen Intervall a<Lx<^b stetige Funktion F(x) sich in diesem Intervall nach Polynomen in X gleichmäßig entwickeln läßt.
Diese Bemerkung 6° hat der Verfasser erst nach einer Unterredung mit Professor Hartogs gemacht. Professor Hartogs hatte schon diese Bemerkung für ein analytisches Kurvenstück G' gebraucht, um weitere Anwendungen auf Entwicklungen nach Polynomen zu machen. Die allgemeinere Bemerkung 6° ist ebenfalls weiterer Anwendungen fähig 11 ).
°) Vgl. von Kerékjártó, Topologie I, S. 69 (Berlin 1923).
I0 ) Ein einfacher Bogen zerlegt die Ebene nicht, von Kerékjártó, 1. c. S. 67.
"■) Hartogs und Rosenthal, eine Arbeit, die in den Mathem. Annalen erscheint.
(Bemerkung bei der Korrektur.) Noch eine weitere Anwendung ist folgende: Ist die Funktion F (z) auf einer beschränkten abzahlbaren Punktmenge M, die
(Fortsetzung auf dir nächsten Seite.)
29*

444
J. L. Walsh.
Für die ursprüngliche Bemerkung 6° muß die Kurve C' ganz im Endlichen liegen, aber für die folgende Bemerkung — die sehr leicht zu beweisen ist — kann die Kurve C' sich ins Unendliche erstrecken.
Es sei die Funktion f(z) auf einem Jordanschen Kurvenstück G' stetig. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede auf G' stetige Funktion nach Polynomen von f(z) gleichmäßig entwickelbar sei, besteht darin, daß f(z x ) =(= f(z 2 ) sei, wenn z x =)= z 2 ist und z 1 und z„ auf G' liegen.
Diese Bedingung ist nämlich die, daß die Transformation u = f{z) das Kurvenstück C' eineindeutig auf ein beschränktes Jordansches Kurvenstück abbildet.
Wenn die Funktion f(z) reell ist, so ist also notwendig und hinreichend, daß f(z) monoton im engeren Sinne sei.
Sind die Punkte der Kurve C' als eine eindeutige stetige Funktion z{t) des reellen Parameters t gegeben, wo z (ij =(= z (i 3 ) ist, wenn =(= ist, so heißt monoton im engeren Sinne, daß t t < t„ stets f[z (t 1 )J < f[z(t„)] ergibt, oder daß \ stets /"[z()] > f[z(i.,)] ergibt. Wenn die Kurve C' ein Intervall der reellen Axe ist, so ist diese Bedingung, daß f(z) streng monoton sei 12 ).
Es gibt also keine stetige reelle oder komplexe Funktion f(z) von Periode p, derartig, daß eine beliebige stetige Funktion F(z) der reellen Veränderlichen z von Periode p nach Polynomen von f(z) gleichmäßig approximierbar ist. Nach Bemerkung 2° gibt es auch keine reelle stetige Funktion f(z) von Periode p, so daß eine beliebige stetige Funktion F(z) der reellen Veränderlichen z von Periode p nach Polynomen von f(z) und 1 jf(z) gleichmäßig entwickelbar ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für eine solche komplexe Funktion f(z ) ist natürlich in Bemerkung 2° enthalten.
7°. Wenn man eine stetige Funktion einer reellen Veränderlichen x durch Polynome von f(x) gleichmäßig approximieren will, so ist es keines-
nur endlich viele Häufungspunkte besitzt, stetig, dann ist F (z) auf M nach Polynomen in z gleichmaßig entuiickelbar. Man konstruiert in der Tat ein Jordansches Kurvenstück C , welches die Menge M enthält, und man erweitert die Definition der Funktion F(z), so daß sie überall auf C definiert und stetig ist. Die Funktion F (z) ist auf G nach Polynomen gleichmäßig entwickelbar, also auch auf M. Diese Aussage wurde von Herrn Szegö und mir zusammen formuliert.
la ) Eine solche Transformation u- f (z) wird oft von Lebesgue, S.Bernstein, Jackson, de la Vallée-Poussin und anderen in der Theorie der Approximation durch Polynome einer reellen Veränderlichen gebraucht, um Resultate über rationale Polynome bei der Annäherung durch trigonometrische Polynome anzuwenden, und umgekehrt. Vgl. de la Vallée-Poussin, Approximation des fonctions d'une variable réelle (Paris 1919).

Entwicklung nach Polynomen. 445
wegs notwendig, daß f(x) selbst stetig sei 13 ). Wir beweisen in der Tat das folgende für reelle Funktionen:
Es sei die reelle Funktion f(x) definiert auf der beschränkten Punktmenge C der reellen Achse. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine willkürliche auf G im engeren Sinne stetige Funktion F (x) nach Polynomen von fix) gleichmäßig entwickelbar sei, besteht darin, daß f{x) eine beschränkte Funktion sei, deren Umkehrfunktion eindeutig und im engeren Sinne stetig ist.
Die Funktion g(z) heißt im engeren Sinne stetig, wenn limz n = z 0
n-> co
nur dann in sich schließt, daß lim¡7(2,,) existiert, wenn g(z n ) definiert
n-> co
ist, und daß diese Grenze gleich g (2,,) ist, wenn auch g(z 0 ) definiert ist.
Diese Bedingungen sind notwendig. Die Funktion f(x) muß beschränkt sein, sonst ist keine beschränkte Funktion F(z) gleichmäßig entwickelbar, außer einer Konstanten. Die Umkehrfunktion x = cp{u ) von u = f(x) muß eine eindeutige Funktion von u sein. Sonst hätten wir
t( X l)=f( X *)> X 1 + X -2 •
In diesem Falle wäre die Funktion F(x) = x nicht gleichmäßig entwickelbar, weil die Reihen für x — x 1 und x = x í¡ dieselben wären, mit F( Xl ) + F(x 2 ).
Die Funktion cp (u) muß im engeren Sinne stetig sein, sonst hätten wir lim u n = u 0 , lim cp{u n ) = cp 0 ,
n-> 00 7&->co
lim u¿ = u 0 , lim 93«) = cpó H= <Po,
n-> co n-> co
wo die Werte uñ alle gleich u 0 sein dürfen. Wir hätten auch anderseits für F(x) = x die Reihen
(6) F(x)= 2Jc in [f(x)] n , c in konstant,
i= 0 71=0
<p(u*) = Js üc in u£, <p(uk) = 2 2c in {u' k ) n .
i=0 n=0 i= 0 n = 0
13 ) Die Funktion f(x) kann ja in jedem Punkt unstetig sein. Es sei zum Beispiel das Intervall 0 < x < 1 ; wir setzen
x rational, x irrational.
Man kann jede für 0 ^ x < 1 stetige Punktion durch Polynome von fix) gleichmäßig approximieren.
*

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J. L. Walsh.
Die entsprechenden Gleichungen für die Grenzwerte:
OO Í CO ^
9?0 == Cin Uo ; SPo ' * ¿Lj ^ Mo j
¿=0 n—0 i= 0 n=0
enthalten also den Widersprach cp 0 = cp' 0 .
Die Bedingung ist hinreichend. Die Funktion F[cp(u )] ist vielleicht nicht auf einer abgeschlossenen Punktmenge definiert, aber läßt sich erweitern, so daß sie auf einer abgeschlossenen Punktmenge definiert und stetig ist und zwar so, daß sie für alle Werte von u definiert und stetig ist. Wenn M so gewählt ist, daß \f(x)\^M ist, so ist F[(p(u)] für —M^u^M nach Polynomen von u gleichmäßig entwickelbar:
FW{u)] = .ï 2c in u n
i=0 71=0
ist, welches gleichwertig mit (6) ist. Hiermit ist unser Beweis vollendet.
Dieser Satz gilt auch für eine unbeschränkte Punktmenge G, wenn in der Definition der Stetigkeit im engeren Sinne auch der Wert oo als Grenzwert für abhängige und unabhängige Veränderliche zulässig ist, und wenn wir nur beschränkte Funktionen F (x) entwickeln.
8°. Man kann auch analytische Funktionen einer komplexen Veränderlichen durch Polynome einer unstetigen Funktion gleichmäßig approximieren. Wir geben nur ein sehr einfaches Beispiel; die Erörterung läßt sich leicht verallgemeinern und der Leser wird dann einen allgemeinen Satz formulieren können.
In der z (= x + i y)- Ebene sei u = f 1 (z ) die Funktion, die das Innere des Halbkreises y>0,\z\<l auf das Innere des Kreises G 1 : | M | ^ 2 abbildet und sei u — f^{z) die Funktion, die das Innere des Halbkreises 2/ < 0, I z I < 1 auf das Innere einer beliebigen Jordanschen Kurve C 2 abbildet, die im Kreise | u — 3 | <[ § liegt. Die Funktionen f 1 (z) bzw. f 2 (z) sind in diesen abgeschlossenen Halbkreisen stetig, wenn passende Definitionen der Funktionen auf den Rändern gegeben werden. Es sei C s eine beliebige geschlossene Jordansche Kurve, die im Kreise \u — 5¿|^1 liegt, und C i ein beliebiges Jordansches Kurvenstück: u= co(t), 0 <¡ 2 <1 1 [wobei co(¿ x ) =4= co) ist, wenn t ± =4= t« ist], das im Inneren des Kreises I m— 9 + 6 ¿|=3 liegt. Es sei u = f s (z) die Funktion, die das Innere des Kreises C : |z| = 1 auf das Innere von C s abbildet; die Funktion f 3 (z) ist im abgeschlossenen Bereich | z j ^ 1 stetig.

Entwicklung nach Polynomen.
447
Wir betrachten jetzt die Funktion:
f00 =
/iO), y > o, |z| < l,
/aOO» 2/ < °» l z l <
co (z), 0 < a; < 1,
/*!(z), — 1 <1 X < 0, X rational, y = 0, fa (z), — 1 < ® < 0, a; irrational, .
/s (z) j I Z I = 1, z 2 + 1,
1492, z — 0,
1776, z = l,
die im ganzen abgeschlossenen Bereich G : | z | <[ 1 definiert ist. Wir behaupten: 1st F{z) im Inneren von G analytisch, im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetig, so läßt sich F(z) nach Polynomen von f(z) im abgeschlossenen Bereich gleichmäßig entwickeln.
Es sei z = cp(u ) die Umkehrfunktion von u = f(z). Die Funktion F[(p{u)] ist, wenn die Definition passend erweitert wird, im Inneren von G t , 0 2 , C 3 analytisch, im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetig. Nach Bemerkung 6° läßt sich F[cp («)] auf C 4 durch Polynome von u gleichmäßig approximieren. Wir setzen noch
F[cp(u)]
\F{ 0), I u — 1492 |^1,
\F( 1), I u — 1776 I ¿ 1.
Die in solcher Weise erweiterte Funktion F[cp(u)] ist also nach Polynomen von u gleichmäßig entwickelbar 14 ), und es bleibt nur u durch f(z) zu ersetzen, um die Behauptung zu erweisen.
Eine solche Funktion f(z), die die Eigenschaft hat, daß jede Funktion F(.z ), die für | z | < 1 analytisch und im abgeschlossenen Bereich G : | z | ^ 1 stetig ist, sich nach Polynomen von f(z) gleichmäßig entwickeln läßt, braucht aber in keinem Punkt stetig zu sein. Die Funktion
{z, X und y rational,
f s (z), in jedem anderen Punkte,
wo f 3 (z) die obige Bedeutung hat, besitzt die besagte Eigenschaft.
9°. Wir fügen noch einen Satz über den Grad der Approximation hinzu :
Es sei die Funktion F(z) auf einer Jordanschen Kurve G definiert. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß Polynome n-ten
14 ) Walsh, Math. Annalen, loc. cit.

448
J. L. Walsh.
Grades F„(z) existieren, n— 0,1,2,..., derartig, daß die Ungleichheit
(7) \F{z)-V n (z)\<j ¡rn >
B, R > 1, konstant und von n, z unabhängig,
für sämtliche z auj G befriedigt sei, besteht darin, daß eine auf und im Inneren von C regulär-analytische Funktion F{z) existiere, die auf G mit der gegebenen Funktion F(z) übereinstimmt.
Wenn die Ungleichheit (7) für sämtliche z auf G befriedigt ist, so existiert natürlich eine im Inneren von C reguläre, im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetige Funktion f(z), die auf G mit der gegebenen Funktion F(z) übereinstimmt, so daß (7) für alle z im abgeschlossenen Bereiche befriedigt ist; die Funktion F(z) ist bloß die Grenzfunktion der Folge F„(z).
Das Wesentliche dieses Satzes findet sich schon bei Szegö 15 ), obgleich nicht ausdrücklich betont, aber nur für den Fall, daß die Kurve G analytisch ist.
Wir geben den Beweis dieses Satzes, wenn die Kurve C der Einheitskreis ist. Einerseits ist, wenn die Funktion F(z) auf und im Inneren von G regulär-analytisch ist, F(z) regulär-analytisch in einem mit G konzentrischen, aber größeren Kreis, und die Abschnitte F n (z) der Taylor- schen Entwicklung um den Nullpunkt von -F(z) befriedigen die Bedingung ( 7 ). Anderseits bekommt man für die Taylorschen Koeffizienten c von F(z), wenn F{z) auf C gegeben ist, so daß (7) befriedigt ist,
C » = ¿/^ Z ) Z ~"~ ldZ== 2¿í / t F ( Z )~ V n-l (Z)]z~ n -*dz, c
(8) kl^
c B R 1l ~
Aus (8) folgt unmittelbar, daß die Taylorsche Entwicklung der vorher beschriebenen Funktion f(z ) in einem Kreis vom Radius q (1 < g < R) gleichmäßig konvergiert. Die Funktion F(z) ist daher auf C reguläranalytisch.
16 ) Math. Zeitschr. 9 (1921), S. 218—270, insbesondere S. 263—267; der Beweis dafür, daß die besagte Bedingung hinreichend ist, stammt im wesentlichen von Fejér her.
Dieses Resultat wurde, wenn C eine Ellipse ist, von S. Bernstein schon früher bewiesen: Mémoires Acad. Roy. de Belgique, Cl. des Sc. (2) 4 (1912), Sätze 24, 61.
Für den Kreis vgl. auch de la Vallée-Poussin, loe. cit. Ch. VIII, IX.
(Bemerkung bei der Korrektur.) Siehe auch eine Arbeit von Walsh, Münchner Berichte, 1926.

Entwicklung nach Polynomen.
449
Dieser soeben gegebene Beweis stammt im wesentlichen von Szegö; er g ilt fast unverändert für irgendeine analytische Jordansche Kurve C, wenn man nicht mehr die Taylorsche Entwicklung, sondern die Entwicklung nach den zur Kurve C gehörenden Polynomen P n (z) (von Szegö) gebraucht.
Der Satz erstreckt sich aber bis zur allgemeinsten Jordanschen Kurve C. Die besagte Bedingung ist hinreichend. Die Funktion F{z) ist auf und im Inneren von G regulär-analytisch, darum in einem größeren abgeschlossenen Bereiche regulär-analytisch, der aus einer außerhalb G liegenden analytischen Jordanschen Kurve G 1 und ihrem Inneren besteht. Eine Folge von Polynomen existiert mit der Eigenschaft (7) für jedes z auf und im Inneren von C lt infolgedessen für jedes z auf und im Inneren von G.
Die Bedingung ist notwendig. Es gibt nach einem Satz von Carathéodory 16 ) außerhalb bzw. innerhalb G liegende analytische Jordansche Kurven G 1 und C 2 , so daß das Äußere von G t bzw. C 3 auf das Äußere des Kreises | u | = q bzw. \u\ = l (1 < q < R) abgebildet wird durch eine und dieselbe Transformation u = cp(z), wobei <p ( oo) = oo ist. Die Entwicklung der schon definierten Funktion f(z) nach den zu G„ gehörenden Polynomen P n (z) von Szegö konvergiert gleichmäßig im abgeschlossenen Bereiche, welcher aus der Kurve G 1 und ihrem Inneren besteht, wegen der zu (8) entsprechenden Abschätzung. Der Satz ist also vollständig bewiesen.
Der Satz von Carathéodory und folglich auch unser Satz (mit dem obigen Beweis) gilt für allgemeinere Bereichgrenzen als Jordansche Kurven.
Wir greifen den folgenden Satz heraus:
Es sei die Punktmenge G die volle Grenze eines beschränkten (ev. mehrjach zusammenhängenden) Bereiches B, und es sei die Funktion F(z) auf C definiert. Eine notivendige und hinreichende Bedingung dafür, daß Polynome n-ten Grades V n (z) existieren, n = 0,1,2,..., derartig, daß die Ungleichheit (7) für sämtliche z auf G befriedigt sei, besteht darin, daß eine im abgeschlossenen Inneren von C regulär-analytische Funktion F(z) existiere, die auf C mit der gegebenen Funktion F(z) übereinstimmt. Hier heißt das abgeschlossene Innere von C die Punktmenge G aller Punkte, deren keiner sich mit dem Punkt oo durch einen Streckenzug verbinden läßt, der keinen Punkt von C enthält. Diese Punktmenge C ist also abgeschlossen; jeder Punkt von G selbst gehört dazu.
ie ) Math. Annalen 72 (1912), S. 107-144, Kap. III.

450 J- L. Walsh. Entwicklung nach Polynomen.
Die Bedingung ist hinreichend. Die Funktion F[z) ist auf und innerhalb einer Jordanschen Kurve analytisch, welche jeden Punkt des abgeschlossenen Inneren von G enthält 17 ). Polynome existieren also, welche die Eigenschaft (7) für alle zu G gehörenden Punkte z besitzen.
Die Bedingung ist auch notwendig. Die zu G komplementäre Menge (in bezug auf die ganze Ebene) ist ein Bereich, dessen Grenze zur Punktmenge C gehört. Der Satz von Carathéodory und seine Anwendung gelten also wie vorher, wenn B einfach zusammenhängend ist. Wenn der Bereich B nicht einfach zusammenhängend ist, so ist noch eine kurze Erörterung nötig. Die Punktmenge B ', die aus den Punkten von B und den Punkten des Inneren jedes ganz in B liegenden Polygons besteht, ist ein einfach zusammenhängender Bereich, von welchem jeder Grenzpunkt auch ein Grenzpunkt von B ist. Das abgeschlossene Innere der Grenze von B ' fällt mit dem abgeschlossenen Inneren G der Grenze von B zusammen und enthält natürlich jeden Punkt der Bereiche B und B Die Grenzfunktion f(z) der Folge V n (z) ist auf der ganzen Punktmenge G definiert, und die Ungleichheit (7) gilt für f(z) statt F(z) für jeden Punkt z von C. Wir gebrauchen den Bereich B ' statt B in der Anwendung des Satzes von Carathéodory.
17 ) Vgl. Walsh, Math. Annalen, loc. cit., Bemerkung 3.
(Eingegangen am 26. 1. 1926.)

Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik. III.
Von
L. E. J. Brouwer in Amsterdam.
Wohlordnung.
§ 1. Die wohlgeordneten Spezies sind geordnete Spezies, welche auf Grund der folgenden Festsetzungen definiert sind:
1. Ein beliebiges Element einer wohlgeordneten Spezies ist entweder ein als ,, Vollelement" zu bezeichnendes Element erster Art, oder ein als „Nullelement" zu bezeichnendes Element zweiter Art.
2. Eine Spezies mit einem einzigen Elemente wird, nachdem man dieses Element entweder mit dem Prädikate eines Vollelementes oder mit dem Prädikate eines Nullelementes versehen hat, zu einer wohlgeordneten Spezies, und wird als solche insbesondere als Urspezies bezeichnet.
3. Aus bekannten wohlgeordneten Spezies werden weitere wohlgeordnete Spezies hergeleitet durch die erste erzeugende Operation, welche in der Addition einer nicht verschwindenden endlichen Anzahl, und durch die zweite erzeugende Operation, welche in der Addition einer Fundamentalreihe von bekannten wohlgeordneten Spezies besteht.
Jede wohlgeordnete Spezies, welche bei der Herstellung der wohlgeordneten Spezies F nach dem vorigen Absatz eine Rolle gespielt hat, heißt eine konstruktive Unterspezies von F. Diejenigen konstruktiven Unterspezies, welche bei der letzten erzeugenden Operation von F eine Rolle gespielt haben, heißen konstruktive Unterspezies erster Ordnung von F und werden durch einen Index v voneinander unterschieden, also mit F 1 , F„, ..., F m bzw. mit F 1 , F 2 , F s , ... bezeichnet. Die konstruktiven Unterspezies erster Ordnung eines F v heißen konstruktive Unterspezies zweiter Ordnung von F und werden mit F v ±, F r2 , F rm bzw. mit F v i, F v2 , F r3 , ... bezeichnet. Die konstruktiven Unterspezies erster Ordnung eines F v¡ ... Vn heißen konstruktive Unterspezies {n -f- 1 )-ter Ordnung von F und werden mit F Vl ... Vn i, F Vl ...,. n 2, ..., F Vl ... Vn m bzw. mit F Vj ... r „i, F Vl ... Vn2 , F n ... Vn3 , ...

452
L. E. J. Brouwer.
bezeichnet (F selbst gilt als konstruktive Unterspezies nullter Ordnung von F). Jede bei der Herstellung von F benutzte Urspezies erscheint in dieser Weise als konstruktive Unterspezies endlicher Ordnung von F (obgleich es natürlich möglich ist, daß diese Ordnung für passend gewählte Urspezies von F unbeschränkt wächst). Um dies einzusehen, braucht man nur die induktive Methode anzuwenden, d. h. zu bemerken, daß die betreffende Eigenschaft für Urspezies erfüllt ist, daß, wenn | f 1 -f- f 2 + ... + auf Grund der ersten erzeugenden Operation und + | a + ... -f- £ m _ 1
auf Grund der ersten erzeugenden Operation ist (m 2), die betreffende Eigenschaft, wenn sie für £ a , ..., sowie für f' gilt, ebenfalls für f besteht, und schließlich, daß, wenn | ^ -f- + • • • au ^ Grund der
zweiten erzeugenden Operation ist, die betreffende Eigenschaft, wenn sie für jedes f, gilt, ebenfalls für f besteht.
Mittels der induktiven Methode ersieht man, daß für eine beliebige wohlgeordnete Spezies F sowohl die Spezies der Indizesreihen der Elemente wie die Spezies der Indizesreihen der konstruktiven Unterspezies eine abtrennbare Teilspezies der Spezies der endlichen Nummernreihen bildet; weiter, daß für eine beliebige konstruktive Unterspezies F v¡ ... Vn von F die Kardinalzahl der F v¡ bekannt ist.
Wir heben hervor, daß die Definition einer bestimmten wohlgeordneten Spezies F auf der Erzeugung von F beruht (mithin insbesondere die Bestimmung der Indizesreihen der einzelnen Elemente in sich schließt), daß also die Bestimmung der Elemente von F und der zwischen denselben bestehenden ordnenden Relationen zur Festlegung der Definition von F im allgemeinen nicht ausreicht.
Offenbar ist jede wohlgeordnete Spezies diskret und mithin vollständig geordnet.
Die ordnungsgemäße Summe einer wohlgeordneten Spezies von wohlgeordneten Spezies liefert in auf der Hand liegender Weise wiederum eine wohlgeordnete Spezies, welche auch kurz als die ordnungsgemäße Summe der von den Summanden dargestellten wohlgeordneten Spezies bezeichnet wird.
Zwei wohlgeordnete Urspezies F' und F " besitzen denselben Erzeugungswert oder heißen erzeugungsgleich, wenn das einzige Element, aus dem jede von ihnen besteht, entweder für beide ein Vollelement oder für beide ein Nullelement ist.
Zwei wohlgeordnete Spezies F' und F" heißen erzeugungsgleich, wenn für ein beliebiges v die konstruktiven Unterspezies erster Ordnung Fy und F'.' entweder beide nicht existieren oder beide existieren und erzeugungsgleich sind. In diesem Falle sind, wie man mittels der induktiven Methode ersieht, die Spezies der Indizesreihen der konstruktiven Unterspezies

Intuitionistische Mathematik. III.
453
von F' und von F" identisch. Wenn umgekehrt die letztere Eigenschaft besteht, und überdies jedem Vollelemente bzw. Nullelemente von F ein Vollelement bzw. Nullelement der gleichen Indizesreihe von F" entspricht, dann ergibt die induktive Methode an der Hand der Erzeugung von F', daß zu jeder konstruktiven Unterspezies von F ' eine mit ihr erzeugungsgleiche und die gleiche Spezies der Indizesreihen der konstruktiven Unterspezies besitzende konstruktive Unterspezies von F" existiert, so daß insbesondere F' sich als mit F" erzeugungsgleich herausstellt.
Zwei wohlgeordnete Spezies (oder Teilspezies von wohlgeordneten Spezies) F' und F" besitzen denselben Ordnungswert oder heißen gleichwertig, und wir schreiben F' ~ F" , wenn zwischen ihnen eine solche Ähnlichkeitskorrespondenz besteht, daß dabei immer Vollelemente mit Vollelementen und Nullelemente mit Nullelementen korrespondieren. Wenn F' und F" gleichwertig sind, besteht ein Gesetz, auf Grund dessen aus der Indizesreihe eines Elementes von F' bzw. F" die Indizesreihe des korrespondierenden Elementes von F" bzw. F' hergeleitet werden kann.
Zwei wohlgeordnete Spezies (oder Teilspezies von wohlgeordneten Spezies) F' und F" heißen inhaltsgleich, wenn die Spezies der Vollelemente von F' und die Spezies der Vollelemente von F" ähnlich sind.
Es sei a ein Element der wohlgeordneten Spezies F, das in F die Indizes i 1 , ..., i m besitzt. Alsdann geht in leicht ersichtlicher, eindeutiger Weise aus der Erzeugung von F als wohlgeordneter Spezies die Erzeugung einer bestimmten, die a m F nicht vorangehenden Elemente von F als Elemente besitzenden und zwischen denselben die gleichen ordnenden Relationen wie F aufweisenden, wohlgeordneten Spezies a F hervor, wobei von einem beliebigen Elemente von a F der erste Index in a F um i ± — 1 niedriger ist als in F, von einem beliebigen, in F den ersten Index i x besitzenden Elemente von a F der zweite Index in a F um — 1 niedriger ist als in F, von einem beliebigen, in F die beiden ersten Indizes i 1 und besitzenden Elemente von a F der dritte Index in a F um ¿ 3 — 1 niedriger ist als in F, . .., von einem beliebigen, in F die m — 1 ersten Indizes i lt i 2 , ..., i m _ 1 besitzenden Elemente von a F der m-te Index in a F um i m — 1 niedriger ist als in F, während alle weiteren Indizes der Elemente von a F in a F die gleichen sind wie in F. Wir nennen die wohlgeordnete Spezies a F einen Rest der wohlgeordneten Spezies F.
In analoger Weise geht, wenn a nicht das erste Element von F ist, aus der Erzeugung von F als wohlgeordneter Spezies die Erzeugung einer bestimmten, die a in F vorangehenden Elemente von F als Elemente besitzenden und zwischen denselben die gleichen ordnenden Relationen wie in F aufweisenden, wohlgeordneten Spezies F a hervor, wobei von den Ele-

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L. E. J. Brouwer.
menten von F a alle Indizes in F a die gleichen sind wie in F. Wir nennen die wohlgeordnete Spezies F a einen Abschnitt der wohlgeordneten Spezies F. Wir schreiben auch a F ^ F — F a und bezeichnen a F als die Differenz von F und F a . Unter den Abschnitten von F rechnen wir F selbst als uneigentlichen Abschnitt mit.
Es seien a und b zwei verschiedene Elemente der wohlgeordneten Spezies F, und es sei a<b. Alsdann geht aus der Erzeugung von F als wohlgeordneter Spezies die Erzeugung einer bestimmten, die a in F nicht vorangehenden, aber b in F vorangehenden Elemente von F als Elemente besitzenden und zwischen denselben die gleichen ordnenden Relationen wie in F aufweisenden, wohlgeordneten Spezies a F h hervor, wobei von den Elementen von a F h alle Indizes in a F b die gleichen sind wie in a F. Wir nennen die wohlgeordnete Spezies a F h einen Ausschnitt der wohlgeordneten Spezies F. Unter den Ausschnitten von F rechnen wir die Reste von F als uneigentliche Ausschnitte mit.
Wenn die wohlgeordneten Spezies F' und F" gleichwertig sind, so korrespondieren für die Gleichwertigkeitskorrespondenz mit den Ausschnitten von F' Ausschnitte von F" , insbesondere also mit den konstruktiven Unterspezies von F' Ausschnitte von F".
Der Begriff eines Restes von F ist enger als derjenige eines Endteiles von F, d. h. einer solchen abtrennbaren Teilspezies von F, zu der alle auf eines ihrer Elemente folgenden Elemente ebenfalls gehören. Ebenso ist der Begriff eines Abschnittes von F enger als derjenige eines Anfangsteiles von F, d. h. einer solchen abtrennbaren Teilspezies von F, zu der alle einem ihrer Elemente vorangehenden Elemente ebenfalls gehören. Anfangsteile und Endteile von F brauchen nicht wohlgeordnet zu sein, sind aber, wie alle abtrennbaren Teilspezies von F, mit wohlgeordneten Spezies inhaltsgleich.
Wenn für eine Fundamentalreihe a t , a 2 , ... von Elementen der wohlgeordneten Spezies F für jedes v die Beziehung a v < a r+1 gilt, so sprechen wir von einer steigenden Fundamentalreihe von F. Wenn überdies a m ein derartiges Element von F ist, daß a v < a m für jedes v, während zu jedem Elemente b < a m von F ein a v > b angegeben werden kann, so heißt a m Grenzelement der steigenden Fundamentalreihe a 1 , a. 2 , ... . Wenn aber zu jedem beliebigen Elemente b von F ein a v > b angegeben werden kann, so heißt a 1 ,a a> ... eine abschließende Fundamentalreihe von F.
Eine durch eine endliche Anzahl oder durch eine abschließende Fundamentalreihe von verschiedenen Elementen von F zustande gebrachte ordnungsgemäße Teilung von F in eine endliche Anzahl bzw. in eine Fundamentalreihe von Ausschnitten 1 F, „F,..., m F bzw. t F, „F, 3 F, ... heißt eine reguläre Zerlegung von F, und wir schreiben F ^ ± F~{- 2 F + ...

Intuitionietische Mathematik. III.
455
+ m F oder 1 i 1 + ^F + ... + m F ~ F bzw. F ^ + „F + 3 F + ... oder l F+,F + s F+...~F. 1 )
Sei FÍ, F-Í , ... eine Fundamentalreihe, in welcher jedes F r entweder in Fortfall kommt oder eine wohlgeordnete Spezies vorstellt, wobei indes entweder eine steigende Fundamentalreihe v 1 ,v i ,v a> ... definiert ist, so daß jedes Fl eine wohlgeordnete Spezies vorstellt, oder ein m bekannt
ist, so daß Fy für v > m in Fortfall kommt. Wenn dann F v = Fl + F¿ + ... + jFr auf Grund der ersten erzeugenden Operation, und F = F' F-2 + Fi + ... auf Grund der ersten oder auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, so wird die wohlgeordnete Spezies F auch als lim F r bezeichnet.
V
Mittels der induktiven Methode beweisen wir leicht folgende Sätze:
1. Ein Gesetz, welches in einer wohlgeordneten Spezies F eine konstruktive Unterspezies F' bestimmt und jeder schon bestimmten konstruktiven Unterspezies F {y) entweder die Hemmung des Prozesses oder eine in F vor F {v) liegende konstruktive Unterspezies F {v+1) zuordnet, bestimmt sicher eine natürliche Zahl n und eine zugehörige konstruktive Unterspezies F (n) , der es die Hemmung des Prozesses zuordnet. Insbesondere gilt diese Eigenschaft, wenn jedes F (v) ein Element von F ist, und hieraus folgern wir unmittelbar die Unmöglichkeit der Ähnlichkeit und insbesondere der Gleichwertigkeit von F und einer Teilspezies eines eigentlichen Abschnittes von F.
2. Eine wohlgeordnete Spezies F ist entweder endlich oder abzählbar unendlich, und die Spezies ihrer Vollelemente ist zählbar. Mithin ist die Spezies derjenigen Nummernreihen, welche als Indizesreihe eines Voll- elementes von F auftreten können, eine Menge, so daß in dieser Weise zu jeder wohlgeordneten Spezies eine zählbare vollständig geordnete Menge von endlichen Nummernreihen gehört, welche die Eigenschaft besitzt, daß jedes Gesetz, welches in ihr eine Nummernreihe z' bestimmt, und jeder schon bestimmten Nummernreihe z w entweder die Hemmung des Prozesses oder eine vor 2 (v) liegende Nummernreihe z {v+1) zuordnet, sicher eine natürliche Zahl n und eine zugehörige Nummernreihe z in \ der die Hemmung des Prozesses zugeordnet ist, bestimmt.
1 ) Offenbar ist auf Grund dieser Gleichungen F nicht eindeutig durch die V F bestimmt. Weiter ist zu bemerken, daß jedes Element von F in t F+ m F bzw. in t F+ ç.F+ 3 F +... eine um 1 höhere Anzahl Indizes besitzt als in F. In Übereinstimmung hiermit schreiben wir insbesondere F G oder G ~ F, wenn F—>G oder G+—F, d. h. wenn G aus F hervorgeht, indem wir auf F die erste erzeugende Operation mit nur einem einzigen Summanden anwenden, also der Indizesreihe eines jeden Elementes von F den Index 1 als ersten Index hinzufügen.

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L. E. J. Brouwer.
3. In der wohlgeordneten Spezies F existiert erstens ein erstes Element, zweitens entiveder ein letztes Element oder eine abschließende Fundamentalreihe von Elementen. Weiter existiert entweder keine letzte konstruktive Unterspezies nichtverschivindender Ordnung oder eine nicht verschwindende endliche Anzahl m von solchen, nämlich von den Ordnungen 1,2 m je eine.
4. In der ivohlgeordneten Spezies F besitzt jedes Element e, mit Ausnahme des ersten, entiveder ein ihm unmittelbar vorangehendes Element, oder es ist Grenzelement einer steigenden Fundamentalreihe von Elementen von F. Schreiben wir nämlich F ~ F e + e F, so ist dieser Satz eine unmittelbare Folge des auf F c angewandten Satzes 3.
5. In der wohlgeordneten Spezies F besitzt jedes Element, mit Ausnahme des letzten, falls ein solches existiert, ein nächstfolgendes Element.
Wenn die wohlgeordnete Spezies F' einem wenigstens ein Vollelement auslassenden Abschnitt der wohlgeordneten Spezies F gleichwertig ist, so schreiben wir F' < F" oder F" > F', und sagen, daß F größer ist als F', und daß F' kleiner ist als F". Schreiben wir noch F'^~F oder F'^iF', wenn entweder F' ~ F" gilt oder F' einem Abschnitte von F gleichwertig ist, so gelangen wir, indem wir die Folgerung des obigen Satzes 1 berücksichtigen, sofort zu den folgenden Eigenschaften:
1. Die Relationen F' < F" und F'^_F" schließen einander aus.
2. Aus F' < F" und F" ^ F " sowie aus F'^F" und F" < F' folgt F'<F'".
3. Aus F'~F" und F" ~ F'" folgt F'~F"'.
4. Aus F'<F" und F"<F"' folgt F'<F'".
5. Die Relationen F'^F und G<G schließen zusammen die Relation F' + G'>F"+G" aus.
6. Die Relationen F'^~F und G'^G schließen zusammen die Relation F' + G' > F" + G ' aus.
Eine wohlgeordnete Spezies, welche ausschließlich Vollelemente enthält, nennen wir vollständig. Die Ordinalzahlen der vollständigen wohlgeordneten Spezies nennen wir Ordnungszahlen.
Die Spezies derjenigen Ordnungszahlen, welche kleiner sind als eine gegebene Ordnungszahl ß, besitzt (wenn sie nach der Größe ihrer Elemente geordnet und 0 mit hinzugerechnet wird) die Ordinalzahl ß. Zwischen den vom ersten verschiedenen Elementen und den eigentlichen Abschnitten einer vollständigen wohlgeordneten Spezies F der Ordnungszahl ß besteht nämlich eine solche eineindeutige Beziehung, daß, wenn das Element e 2 nach dem Elemente e x liegt, der Abschnitt V e .. größer als der Abschnitt V e¡ ist.

Intuitionistische Mathematik. III.
457
Wir nennen eine wohlgeordnete Spezies quasi-vollständig, wenn zu einem beliebigen Nullelement e 0 entweder ein erstes auf e 0 folgendes Vollelement angegeben werden kann oder feststeht, daß keine auf e 0 folgenden Vollelemente existieren; zu einem beliebigen Vollelement e i entweder ein erstes e 1 vorangehendes und durch kein Vollelement von e 1 getrenntes Nullelement angegeben werden kann, oder feststeht, daß keine e 1 vorangehenden und durch kein Vollelement von e 1 getrennten Nullelemente existieren; und entweder ein erstes Nullelement, auf welches nur noch Nullelemente folgen, angegeben werden kann, oder feststeht, daß keine Nullelemente, auf welche nur noch Nullelemente folgen, existieren.
Die Ausschnitte und Reste einer quasi-vollständigen wohlgeordneten Spezies sind offenbar ebenfalls quasi-vollständig.
Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Quasi-Vollständig- keit einer wohlgeordneten Spezies besteht darin, daß während ihrer Erzeugung bei jeder durch eine Formel F' = F[ + F> -|- F¡ + ... ausgedrückten Anwendung der zweiten erzeugenden Operation die betreffende Fundamentalreihe elementar induziert ist, d. h. entweder eine Fundamentalreihe von unbeschränkt wachsenden natürlichen Zahlen m 1 , m„, m 3 , ... bestimmt ist, so daß in jedem Fm p ein Vollelement angegeben werden kann, oder eine natürliche Zahl m besteht, so daß F', für v > m lauter Nullelemente enthält. Hieraus folgern wir mittels der induktiven Methode weiter, daß zu einem beliebigen Elemente e einer quasi-vollständigen wohlgeordneten Spezies, mit Ausnahme des ersten, entweder ein erstes e vorangehendes und durch kein Vollelement von e getrenntes Nullelement, oder eine e als Grenzelement besitzende steigende Fundamentalreihe von Vollelementen, oder aber ein e unmittelbar vorangehendes Vollelement angegeben werden kann, während entweder ein erstes Nullelement, auf welches nur noch Nullelemente folgen, oder eine abschließende Fundamentalreihe von Vollelementen, oder aber ein letztes Element, das ein Vollelement ist, existiert.
Mittels der induktiven Methode ersieht man leicht, daß die Spezies der Vollelemente einer quasi-vollständigen wohlgeordneten Spezies F' entweder elementlos ist oder ein angebbares Element besitzt, während im letzteren Falle eindeutig eine n F' entsprechende" oder „mit F ' korrespondierende", mit F' inhaltsgleiche vollständige wohlgeordnete Spezies F" bestimmt ist. Sei nämlich F = Fl + F-¿ + . .. auf Grund der ersten oder auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, und seien im Falle, daß F' ein angebbares Vollelement besitzt, F v¡ , F^, .. . diejenigen (endlich- oder abzählbarunendlichvielen) unter den F v , welche je ein angebbares Vollelement und im Anschluß daran eine entsprechende vollständige wohl-
Mathematische Annalen. 96. 30

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L. E. J. Brouwer.
geordnete Spezies F" a besitzen. Alsdann ist F" — F,'.'-\- F"„ + ... auf Grund der ersten oder auf Grund der zweiten erzeugenden Operation.
Dagegen ist nicht jede mit einer vollständigen inhaltsgleiche wohlgeordneten Spezies F auch quasi-vollständig, und zwar schon deshalb nicht, weil ihre konstruktiven Unterspezies nicht mit vollständigen wohlgeordneten Spezies inhaltsgleich zu sein brauchen, wie aus folgendem Beispiel hervorgeht: es werde k 1 in üblicher Weise (vgl. z. B. Math. Ann. 93, S. 255) definiert und es sei F 1 = a 1 -\- a 2 + « 3 + •.., wo a,. für v^>k 1 ein Nullelement, sonst ein Vollelement ist; F. 2 — b x + & 9 + b a + ..wo b v für V = k 1 ein Vollelement, sonst ein Nullelement ist; F 3 = c x -f- c 3 -f- c 3 + .. wo c r für V > Jc 1 ein Vollelement, sonst ein Nullelement ist; F = F 1 + F s + Fg.
Einer quasi-vollständigen wohlgeordneten Spezies sprechen wir die gleiche Ordnungszahl zu, wie den vollständigen wohlgeordneten Spezies, mit denen sie inhaltsgleich ist. Den ausschließlich Nullelemente enthaltenden wohlgeordneten Spezies sprechen wir die Ordnungszahl Null zu. Die ordnungsgemäße Summe einer „der ersten erzeugenden Operation unterzogenen" endlichen Folge von Ordnungszahlen wird mittels der ordnungsgemäßen Summe entsprechender vollständiger bzw. (im Falle der Ordnungszahl Null) nur ein einziges Nullelement enthaltender wohlgeordneter Spezies wiederum als Ordnungszahl definiert. (Das gleiche Resultat wird erhalten, wenn im Falle, daß alle Summanden gleich Null sind, auch die Summe gleich Null gesetzt wird, und im entgegengesetzten Falle nur die von Null verschiedenen Summanden beibehalten werden).
Eine wohlgeordnete Spezies heißt basiert, wenn ihr erstes Element ein Vollelement ist.
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt kondensiert , wenn sie einen (eigentlichen oder uneigentlichen) Abschnitt der Ordnungszahl 1 besitzt. Der vom auf das erste Vollelement von F folgenden Elemente bestimmte Rest von F heißt Hauptrest von F und wird mit h ( F ) bezeichnet. Selbstverständlich kann h (F) auch in Fortfall kommen.
Bei der Multiplikation von endlichvielen elementefremden wohlgeordneten Spezies erteilen wir das Prädikat eines Vollelementes nur denjenigen Elementen des Produktes, welche aus lauter Vollelementen der Faktoren bestehen; alle anderen Elemente des Produktes erhalten das Prädikat eines Nullelementes. Mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung des rechtsseitigen Faktors ersehen wir, daß das Produkt zweier elementefremder wohlgeordneter Spezies in auf der Hand liegender Weise wiederum eine wohlgeordnete Spezies liefert, welche auch kurz als das Produkt der von den Faktoren dargestellten wohlgeordneten Spezies bezeichnet wird. Diese Erweiterung des Produktbegriffes läßt sich

Intuitionistische Mathematik. III.
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unmittelbar auf das Produkt endlichvieler elementefremder wohlgeordneter Spezies ausdehnen. Erzeugungsgleiche bzw. gleichwertige bzw. inhaltsgleiche Faktoren liefern dabei erzeugungsgleiche bzw. gleichwertige bzw. inhaltsgleiche Produkte. Das Produkt endlichvieler Ordnungszahlen wird mittels des Produktes entsprechender vollständiger bzw. (im Falle der Ordnungszahl Null) nur ein einziges Nullelement enthaltender wohlgeordneter Spezies wiederum als Ordnungszahl definiert.
Man beweist ohne Schwierigkeit, daß das Produkt zweier quasi-voll- ständiger Faktoren wiederum quasi-vollständig ist und inhaltsgleich mit dem Produkte der vollständigen bzw. nur ein einziges Nullelement enthaltenden wohlgeordneten Spezies, mit denen seine Faktoren inhaltsgleich sind, so daß die Ordnungszahl des Produktes gleich dem Produkte der Ordnungszahlen der Faktoren ist. Mithin gilt dasselbe für das Produkt endlichvieler quasi-vollständiger Faktoren.
§ 2. Unter den Ordnungszahlen des ersten Bereichs verstehen wir die endlichen Ordnungszahlen, mit Einschluß der Ordnungszahl Null.
Unter einer Spezies des ersten Bereichs verstehen wir eine (vollständige oder quasi-vollständige) wohlgeordnete Spezies, welche eine Ordnungszahl des ersten Bereichs besitzt.
Offenbar ist jede Spezies des ersten Bereichs, deren Ordnungszahl von Null verschieden ist, kondensiert.
Zwei beliebige Ordnungszahlen des ersten Bereichs sind vergleichbar, d. h. wenn die Relationen > , =, ^ zwischen zwei nicht verschwindenden Ordnungszahlen dann gelten sollen, wenn sie für die entsprechenden vollständigen wohlgeordneten Spezies gelten, und die Ordnungszahl Null als kleiner als die Ordnungszahl einer beliebigen vollständigen Spezies des ersten Bereichs gelten soll, dann sind zwei beliebige Ordnungszahlen des ersten Bereichs entweder einander gleich oder eine von ihnen ist größer als die andere. Überdies besitzen sie, wenn sie voneinander und von Null verschieden sind, eine gleichfalls zum ersten Bereich gehörende Differenz.
Die ordnungsgemäße Summe und das Produkt endlichvieler Ordnungszahlen des ersten Bereichs sind wiederum Ordnungszahlen des ersten Bereichs.
Eine Fundamentalreihe ß ± , ß 2 , ... von Ordnungszahlen des ersten Bereichs heißt induziert in bezug auf den ersten Bereich, wenn entweder eine Fundamentalreihe von unbeschränkt wachsenden natürlichen Zahlen m v m.,, m 3 , ... bestimmt ist, so daß jedes ß my von Null verschieden ist, oder eine natürliche Zahl m besteht, so daß ß r für r > m gleich Null ist.
Wenn wir die ordnungsgemäße Summe einer „der zweiten erzeugenden Operation unterzogenen" in bezug auf den ersten Bereich induzierten Fun-
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damentalreihe von Ordnungszahlen des ersten Bereichs mittels der ordnungsgemäßen Summe entsprechender vollständiger bzw. aus nur einem einzigen Nullelement bestehender wohlgeordneter Spezies definieren (das gleiche — auf eine beliebige elementar induzierte Fundamentalreihe von Ordnungszahlen erweiterbare — Resultat wird erhalten, wenn wir im Falle, daß alle Summanden gleich Null sind, auch die Summe gleich Null setzen und im entgegengesetzten Falle nur die von Null verschiedenen Summanden beibehalten), dann erweist sich diese Summe wiederum als eine Ordnungszahl, und zwar ist dieselbe entweder gleich co oder gehört wiederum dem ersten Bereiche an.
Wir formulieren folgende vier evidente Eigenschaften:
1. Zu einer beliebigen von Null verschiedenen Ordnungszahl des ersten Bereichs gehört sicher ein vollständiger Erzeugungswert, der vollständig induziert in bezug auf den ersten Bereich ist, d. h. dessen konstruktive Unterwerte alle Ordnungszahlen des ersten Bereichs besitzen und für den bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation die betreffende Fundamentalreihe von Ordnungszahlen in bezug auf den ersten Bereich induziert ist.
2. Jeder beliebige Abschnitt einer Ordnungszahl des ersten Bereichs gehört ebenfalls dem ersten Bereiche an, was wir kurz folgendermaßen ausdrücken:
Der erste Bereich der Ordnungszahlen ist ununterbrochen.
3. Eine Fundamentalreihe , a 3 , ... von Ordnungszahlen des ersten Bereichs, deren (in der im vorigen schon mehrfach angegebenen Weise definierte) ordnungsgemäße Summe entweder die Ordnungszahl co oder eine Ordnungszahl des ersten Bereichs ist, ist induziert in bezug auf den ersten Bereich.
4. Ein beliebiger, zu einer Ordnungszahl des ersten Bereichs gehöriger Erzeugungswert ist vollständig induziert in bezug auf den ersten Bereich (um dies für einen quasi-vollständigen Erzeugungswert zu zeigen, setzen wir denselben zum entsprechenden vollständigen Erzeugungswert in Beziehung).
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt unbestimmt zerlegt in bezug auf den ersten Bereich, wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden) Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F" regulär zerlegt werden kann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementen besteht oder einen mit co inhaltsgleichen Anfangsteil besitzt, und F mit einer Spezies des ersten Bereichs inhaltsgleich ist ( mithin eine endliche Ordnungszahl besitzt).

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Eine wohlgeordnete Spezies F heißt scharf zerlegt in bezug auf den ersten Bereich , wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden) Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F regulär zerlegt werden kann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementen besteht oder die Ordnungszahl co oder einen Abschnitt der Ordnungszahl co besitzt und F eine Ordnungszahl des ersten Bereichs besitzt (hierbei können wir, ohne der wohlgeordneten Spezies F eine weitere Einschränkung aufzuerlegen, überdies fordern, daß F' entweder in Fortfall kommt oder wenigstens ein Vollelement enthält).
Eine quasi-vollständige wohlgeordnete Spezies F ist, wie man unter Verwendung des S. 457, Z. 13 bis 21 erwähnten Satzes mittels der induktiven Methode einsieht, unbestimmt zerlegt in bezug auf den ersten Bereich, dagegen nicht notwendig scharf zerlegt in bezug auf den ersten Bereich, wie aus folgendem Beispiel hervorgeht: Es bestehe F v für v = yfc x aus einer Fundamentalreihe von Vollelementen, sonst aus einem einzigen Vollelement, und es sei F = F 1 + + -^s + • • • •
Ebensowenig ist eine in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegte wohlgeordnete Spezies F notwendig quasi-vollständig, sogar nicht mit einer vollständigen inhaltsgleich, wie folgendes Beispiel zeigt: Es bestehe G v für v k 1 aus einer Fundamentalreihe von Vollelementen, für v = k 1 + 1 und für v = k 1 + 2 aus einem einzigen Vollelement, für v > k 1 -f- 2 aus einem einzigen Nullelement, es sei G = G 1 + 6r 2 + G s + • • • > es bestehe H aus einer Fundamentalreihe von Vollelementen, und es sei F = G + H (aus diesem Beispiel geht gleichzeitig hervor, daß die konstruktiven Unterspezies einer in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegten wohlgeordneten Spezies in bezug auf den ersten Bereich nicht einmal unbestimmt zerlegt zu sein brauchen).
Eine mit einer vollständigen inhaltsgleiche wohlgeordnete Spezies F ist nicht notwendig unbestimmt zerlegt in bezug auf den ersten Bereich, wie man aus folgendem Beispiel ersieht: Es bestehe F r für v <L 1e y + 1 aus einem Vollelement, sonst aus einem Nullelement, Fy' ] (^>1) für v = k 1 + aus einem Vollelement, sonst aus einem Nullelement, es sei F w {p = 1, 2, 3, ...) = *i a) + Ff + Fa' ] + • • • und es sei F = F' + F" + + F'" + ... (vom Reste F" F' + . .. von F läßt sich hier weder behaupten, daß er aus lauter Nullelementen bestehe, noch daß er einen mit co inhaltsgleichen Anfangsteil besitze).
Wir fügen noch ein Beispiel einer wohlgeordneten Spezies F hinzu, welche einerseits mit einer vollständigen inhaltsgleich, aber nicht quasivollständig, andererseits in bezug auf den ersten Bereich unbestimmt, aber nicht scharf zerlegt ist: Es bestehe I* r fí) (¡u < k^ für v — ¡i aus einem Vollelement, sonst aus einem Nullelement, Fy' } (ju = k l ) für v'^tk 1 aus

462
L. E. J. Brouwer.
einem Yollelement, sonst aus einem Nullelement, Fl!' ] ( i a>i 1 ) aus einem Nullelement, es sei F w — F^ + F^ + F-¡¡ 1) + • • • un( l es sei F = F' + F" -\-
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt vollständig induziert in bezug auf den ersten Bereich, wenn während ihrer Erzeugung bei jeder durch eine Formel F 0 = F t + F<¡ -f- F a + ... ausgedrückten Anwendung der zweiten erzeugenden Operation, wo jedes F v nach der Formel F v ^ Fl -j- F" in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegt ist, die betreffende Fundamentalreihe F lt F„, F 3 , ... in bezug auf den ersten Bereich induziert ist, d. h. erstens entweder eine unbeschränkt wachsende Fundamentalreihe v v v v v s> • • • existiert, so daß jedes F v Vollelemente besitzt, oder ein solches m angegeben werden kann, daß F v für v > m aus lauter Nullelementen besteht bzw. fortfällt, zweitens im letzteren Falle die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F", F¡ , F',' , ... (wobei wir einem fortfallenden F v die Ordnungszahl Null zusprechen) in bezug auf den ersten Bereich induziert ist. Demzufolge ist dann jedesmal auch F 0 in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegt.
Sei Fi l ,• i m ein Element der in bezug auf den ersten Bereich vollständig
induzierten wohlgeordneten Spezies F. Der Reihe nach ergibt sich, daß dieses Element in F t¡ in > iiÍ2 ..., in F i± in F {l und in F je einen
Abschnitt und einen Rest bestimmt, die in bezug auf den ersten Bereich gleichfalls vollständig induziert sind. Mithin haben wir den Satz, daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den ersten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleichfalls in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert ist.
Eine in bezug auf den ersten Bereich vollständig induzierte wohlgeordnete Spezies F ist offenbar erstens quasi-vollständig, zweitens scharf zerlegt in bezug auf den ersten Bereich 2 ). Schreiben wir, der scharfen Zerlegbarkeit von F in bezug auf den ersten Bereich entsprechend, F ^ F' ~ f- F", so besitzt die wohlgeordnete Spezies F\ wenn sie nicht fortfällt, entweder einen Rest der Ordnungszahl m, oder alle nichtverschwindenden Ordnungszahlen von Resten von F' sind größer als co. 3 )
3 ) Dagegen ist sogar eine sowohl vollständige wie in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegte wohlgeordnete Spezies nicht notwendig vollständig induziert in
bezug auf den ersten Bereich, wie folgendes Beispiel zeigt: Es bestehe F v für v <ky aus einer Fundamentalreihe von Vollelementen, für v >• aus einem einzigen Vollelement, und es sei F = F l J t -F. 1 J rF ;i J r ....
3 ) Die Aussage, daß eine in bezug auf den ersten Bereich vollständig induzierte wohlgeordnete Spezies F in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegt ist, bleibt auch dann richtig, wenn die Bedingungen für die scharfe Zerlegung dahin verschärft werden, daß im entsprechenden F' kein Nullelement, auf welches nur Nullelemente folgen, enthalten sein darf.

Intuitionistische Mathematik. III.
463
Sei F eine in bezug auf den ersten Bereich vollständig induzierte wohlgeordnete Spezies, welche mit der ordnungsgemäßen Summe einer Fundamentalreihe F x , F„, ... von in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegten wohlgeordneten Spezies gleichwertig ist. Wir wollen beweisen, daß die Fundamentalreihe F v F 2 , ... in bezug auf den ersten Bereich induziert ist und bemerken dazu zunächst, daß für die wohlgeordnete Spezies F, eben weil sie in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert ist, eine der drei folgenden Eigenschaften bestehen muß: Entweder F besitzt einen Rest mit einer Ordnungszahl des ersten Bereichs (die auch Null sein kann), oder von einem gewissen Rest von F besitzt jeder Rest ■die Ordnungszahl co, oder aber jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl > co. Diese drei Fälle behandeln wir der Reihe nach.
Erster Fall. F besitzt einen Rest F° mit einer Ordnungszahl des ersten Bereichs. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F 2 , daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe
F m +i> ■ • • mit F " gleichwertig ist, so daß jedes Glied der
letzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des ersten Bereichs besitzt und die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summe eine Ordnungszahl des ersten Bereichs ist) in bezug auf den ersten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m+1 , F m + a ,... bzw. für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F^+i, F„+2> •••> mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m+1 , F m+ mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F v F 3, F s ,....
Zweiter Fall. Vom Reste F° von F besitzt jeder Rest die Ordnungszahl co. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F mi , daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe F m% , F m+1 ,F m + i , ... mit F° gleichwertig ist, so daß jedes Glied der letzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des ersten Bereichs besitzt und die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summe gleich co ist) in bezug auf den ersten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m + 1 , F m+i , .. . bzw. für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m+1 , F m+S , . .., mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m+1 , F m+a , .. mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F 1 , F„, F
_l 3 , ... .
Dritter Fall. Jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl > co. Zu jedem m gibt es dann ein derartiges v m , daß für einen bestimmten (eigentlichen oder uneigentlichen) Abschnitt F,° m von F,. m die ordnungsgemäße Summe F m -f- F m+1 + • • • + F Vm -i -f Fy m die Ordnungszahl co besitzt, so

464
L. E. J. Brouwer.
daß wenigstens eine der wohlgeordneten Spezies F,' a , Fm+i, ■ ■ -, FÍ m - i, F,'. m existiert und Vollelemente besitzt. Das heißt aber, daß es zu jedem m ein derartiges Q m ¿im gibt, daß F Sm existiert und Vollelemente besitzt, so daß die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F 1 , F 2 , F s , ... in bezug auf den ersten Bereich induziert ist.
Kombinieren wir den hiermit bewiesenen Satz mit der Eigenschaft, daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den ersten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies gleichfalls in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert ist, so ergibt sich, daß jede mit einer in bezug auf den ersten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleichwertige wohlgeordnete Spezies G ebenfalls in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert ist (und zwar mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von G ). Auf Grund dieser Eigenschaft bezeichnen wir eine Ordnungszahl als in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert, wenn jeder zu ihr gehörige vollständige Erzeugungswert in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert ist.
Dann aber ist auch jeder zu ihr gehörige quasi-vollständige Erzeugungswert in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert. Sei nämlich ß ein solcher quasi-vollständiger Erzeugungswert, daß der entsprechende vollständige Erzeugungswert a in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert ist. Jeder durch eine Formel cc r a' T -f- a" ausgedrückten scharfen Zerlegung in bezug auf den ersten Bereich eines konstruktiven Unterwertes a T von K entspricht dann eine durch eine Formel ß z ~ ß[ -f- ß" ausgedrückte scharfe Zerlegung in bezug auf den ersten Bereich des entsprechenden konstruktiven Unterwertes ß x von ß (welche leicht eindeutig festgelegt werden kann, z. B. durch die Forderung, daß, wenn ß[ nicht fortfällt, jeder Rest von ß T Vollelemente aufweisen soll). Auf Grund dieser scharfen Zerlegungen seiner konstruktiven Unterwerte aber stellt sich ß an der Hand seiner mit a parallelen Erzeugung unmittelbar als in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert heraus.
§ 3. Sei a ein basierter Erzeugungswert, ß ein quasi-vollständiger Erzeugungswert. Alsdann wird die Potenz aß, in welcher a das Argument, ß der Exponent heißt, auf Grund der folgenden Festsetzungen definiert:
Wenn ß einer Null-Urspezies entspricht, so ist ccß = 1, d.h. gleich dem Erzeugungswerte einer Voll-Urspezies.
Wenn ß einer Voll-Urspezies entspricht, so ist ccß — u.
Wenn ß=ß 1 -\~ß« J r ...~\-ß m auf Grund der ersten erzeugenden Operation,
so ist aß = cc A -j- ußi-h^aß*) -(- h (a^ 3 ) -J- ... -f- ccß !+&+••• +A»-i. h {a^ m )
cc^ 1 ■ ccß- • aß' ... ccß ,n .

Intuitionistische Mathematik. III. 465
CO
Wenn ß = ^ ß v auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, so ist
V = 1
aß = -)- K^-h(cc^) -f- aß* + ß*-h (a^ s ) lim aßi+ßt+ •••+ßv
~ lim a ßl+ +ßei) + Cßei+1 + "' + ße<t) + + < ^"- 1 +1 + + ßßv ',
V
wo gl, g 2 , ... eine beliebige Fundamentalreihe von unbeschränkt wachsenden natürlichen Zahlen vorstellt.
Aus diesen Festsetzungen folgt, daß aß wiederum ein basierter Erzeugungswert ist. Ist weiter ß° der mit ß korrespondierende vollständige bzw. einer Null-Urspezies entsprechende Erzeugungswert, so ist, wie sich mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von ß herausstellt, aß" = aß.
Hinsichtlich des Potenzbegriffes gelten zunächst folgende Sätze:
1. Wenn ß ~ ß -j- „ß .. . -|- Jß , so ist aß ^ a *ß • a*ß . . . a»>ß
CC-" + mß t
CO
2. Wenn ß ~ ^ v ß (in diesem Falle existiert wegen der Quasivoll-
r= 1
ständigkeit von ß entweder eine steigende Fundamentalreihe v x , v a , .. ., so daß v ß für jedes a Vollelemente enthaltenden wohlgeordneten Spezies entspricht, oder ein m, so daß v ß für v > m immer ausschließlich Nullelemente enthaltenden wohlgeordneten Spezies entspricht), so ist aß ^ + iß + = lim (Xiß + iß + ■■■ + v ß.
V
Beide Sätze sind offenbar erfüllt, wenn ß den Erzeugungswert einer Urspezies darstellt. Bei ihrem (ja gleichzeitig für die Ausschnitte und Reste von ß gültigen) Beweise dürfen wir mithin ihre Gültigkeit für die konstruktiven Unter werte erster Ordnung von ß, sowie für deren Ausschnitte und Reste voraussetzen.
Sei also erstens ß = ß 1 + /? 2 + ... + ß n auf Grund der ersten erzeugenden Operation und sei ß ~ ß + ß + ... + m ß ■ Wir können es nun so einrichten, daß
ß v ~ß {r *-i +1) + ß^-i + 2) + ...+ß^ (*=1,2 r 0 — 0; r v+1 >r v ); r ß = ß lh *-i + 1) + ... + ß {h * ) bzw. *-ß lK)
(v = 1, 2, .. m\ ä 0 = 0; Ti r > h v - 1 + 1 bzw. = A,,_i + 1).
Alsdann ist aß ~ aß'-aß*... aß» ~ aß' -aß" ... ~ a>ß -a*ß ... a m ß. Sei zweitens ß = ß 1 -f- ß 2 + ... + ß n auf Grund der ersten erzeugenden Operation und sei ß ~ ß -f- ß + s ß + ... . Wir können es nun so einrichten, daß
ß r ~ß< r '-i +1 > + ß<'-i+V+ ...i +ßW (»== 1, 2,— 1; ro = 0; r v+1 >r v )-,

466 L- E. J. Brouwer.
ß n <, ß (r n-l +l) + j g"'»-l + 2 > + . . . ; r ß = ß<K-l+V _|_ 0«,-!+» _j_ . . . ß<K) bzw. +—ß {hy) (v = 1, 2, 3, .. h 0 == 0; h v > A„_i + 1 bzw. = h r - i + 1).
Alsdann ist aft+Ai+-+/'»-i ^aß'-aß" . . . ~ aß' + ß" + ••• +/? <r "- l) ;
#/5« ^ li m ß/ ?(r " _1+1 *+ +/S <r »-i + <" ) . K ß ccßi+ ■••+ß* '-1 ■ a' 5 » ~ lim aß' + - +/S (r "- 1 ' . .^i p »-.+i) + ...+/j(r»-i + A«)^ / lim a /î'+^"+... + l 8( I )^li ma ^ + J M... + ^.
r V
00
Sei drittens ß = ^ auf Grund der zweiten erzeugenden Operation
r=l
und sei ~ ,/5 + „/3-|- ... + „,/?• Wir können es nun so einrichten, daß y Jr ^^- 1 + 1) _ h/3 ( r,- 1 + 2) + ii-+iö (M ( y = 1)2 , ... ; r 0 = 0; r„ +1 >r„); r ß = ß">v-i +1) + . . . + 0 ( *»> bzw. (*=1, 2, ..., m - 1; & o = 0;
Ä„>A,-i + 1 bzw. =^_ 1 + 1); m/ 5 = j 8 (A "- 1 + 1) + / 5 (ÄM - 1+2> +.
Alsdann ist = lim «A + & + ■■•+&. ~ (wie oben unter erstens be-
V
wiesen wurde)
lim a £' + £" + ••• + / ?(r » ,) lim aß' + ß" + ---+ß {fl) ^ K /S' +/S" +... +/3' Äm - 1 '.
V fl
■Hm ß/ j(Ä '"- 1 + 1) + --+^ (A " , - 1 + r) ~ß^.o;^ ... . U mß.
X
CO
Sei viertens ß = J>¡ ß r auf Grund der zweiten erzeugenden Operation
V = 1
und sei ß ~ t ß -f- 2 /? + s ß + ... . Wir können es nun so einrichten, daß /? r ~y3 (r - 1+1) +/? (r "- 1+2) +... + j ß (r " ) (»=1,2,...; r 0 = 0; r y+1 >r„); ,yS = _j_ . . t _j_ ß»r) bzw. — ß (K) (» = 1,2,3,...; h 0 = 0;
h,. > hy-i + 1 bzw. == h v -t + 1).
Alsdann ist aß = lim aA + & + + ßv <-w (wie oben unter erstens be-
V
wiesen wurde)
lim aß' +ß"+ ■■■ +ß^ v) lim aß' + ß" + ••• +
V fl
~ lim «</?'+••• +/? (,i ' ) ) + ( í 8 ( ^+ 1 ' + ... + ß Ul *h +... + (^< A r-i+ 1 > +... + p(Kh
r
= lim «1^ + ^+ +iß .
z
Nachdem hiermit die Sätze 1 und 2 hergeleitet sind, sind wir in der Lage, das nachstehende Theorem auszusprechen:
Wenn ß und ß° gleichwertig sind, dann sind auch aß und aß 0 gleichwertig.
Diese Eigenschaft ergibt sich leicht mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von ß. Nehmen wir nämlich an, daß sie für jeden konstruktiven Unterwert ß v von ß bewiesen ist, und sei ß,, ein mit ß v gleichwertiger Ausschnitt bzw. Eest von ß°, so daß also a Pv und c¿ /; °

Intuifcionistische Mathematik. III. 467
für jedes v gleichwertig sind. Ist nun ß = ß 1 + -f ... -f- ß m auf Grund der ersten erzeugenden Operation, dann ist (nach dem obigen Satz 1) aß" ~ aß" -aß°... • aß™ ~ aß' • a ß*... • aß»' ~ aß. Und ist ß = ß 1 -f- /S 9 -\-ß s + ... auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, dann ist (nach dem obigen Satz 2) aß" ~ lim aß° + ߣ+ + ß° ~ lim aA+& + ■■■ + ßv = aß.
V V
Sind ß und ß nur inhaltsgleich, so sind die mit ß und ß° korrespondierenden vollständigen bzw. einer Null-Urspezies entsprechenden Erzeugungswerte # und 0° gleichwertig, so daß wir haben : aß" = a®° ~ a a = aß, d. h. wenn ß und ß° inhaltsgleich sind, dann sind aß und aß" gleichwertig.
Noch einfacher ergibt sich (wiederum mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von ß) folgende Eigenschaft:
Wenn a und a 1 inhaltsgleich {bzw. gleichwertig) sind, dann sind auch aß und aß inhaltsgleich {bzw. gleichwertig).
Mittels der induktiven Methode beweisen wir noch den Satz:
/ ß\ y ßy ( a ) ~ er .
Es sei nämlich y = -f- -f- ... -j- y m auf Grund der ersten erz euge nden Operation, und es seien die Formeln {a^) rv w a ßr " {v — 1, 2,..., m) bewiesen. Alsdann ist
m
y ßv
ßy v—\ v ßvi ßy2 ß y m ( ß \^ 3 ( ß \^ 2 í ß \Y ,n
a' = a'- 1 ^ a' " -a n . . . er r ~ {a ) • {a) ... {a )
, ß.7i + y^+ ■■■+Ym , ß.y
~(a") = 0 ) •
Es sei weiter y — y 1 -j- -|- y 3 + ... auf Grund der zweiten erzeugenden
Operation, und es seien die Formeln («^)" ~ cc ßr " {v = 1, 2, 3, ...), mitra n
. ß , 2 v v ß 2 y v
hin auch die Formeln ( a p ) v ~ 1 ~ a v=1 (»=1,2,...) bewiesen. Alsdann ist
00 n n n
ßy 2ßy r . 2ßy v . ß2y r , 2 y v
a = a v ~ 1 =lim« r - 1 =lima v - 1 ~ lim (er J*- 1
n n n
00
= («^»=i rv =(u ß y.
Im Falle, daß der basierte Erzeugungswert a ebenfalls quasi-vollständig ist, ersehen wir unter Anwendung der Eigenschaft, daß das Produkt zweier quasi-vollständiger Erzeugungswerte wiederum quasi-vollständig ist, sowie des S. 457, Zeilen 13 bis 21 erwähnten Satzes, mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von ß, daß auch aß quasi-vollständig ist. Wenn dann a i bzw. ß 1 ein mit a bzw. ß inhaltsgleicher vollständiger bzw.

468
L. E. J. Brouwer.
zu Null-Urspezies gehöriger Erzeugungswert ist, haben wir nach dem Obigen, daß aP mit inhaltsgleich ist, was wir auch wie folgt ausdrücken können:
Ist a ein basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert der Ordnungszahl a und ß ein quasi-vollständiger Erzeugungswert der Ordnungszahl b, dann ist aP ein basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert der Ordnungszahl a b .
§ 4. Unter den Ordnungszahlen des zweiten Bereichs vom Grade Null verstehen wir die Ordnungszahlen des ersten Bereichs. Unter den Ordnungszahlen des zweiten Bereichs vom Grade p (p eine nicht verschwindende natürliche Zahl) verstehen wir die Ordnungszahlen
œ Vi -a 1 oj p =-a 2 + • • • + co p »-a n >
wo n und die a,, nichtverschwindende natürliche Zahlen sind und die p v natürliche Zahlen (unter denen auch 0 vorkommen kann, in welchem Fall co° = 1 ist), deren größte gleich p ist. Offenbar dürfen wir annehmen, daß p v+1 > p v (v — 1, 2, .n — 1).
Unter einer Spezies des zweiten Bereichs vom Grade p verstehen wir eine (vollständige oder quasi-vollständige) wohlgeordnete Spezies, welche eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs vom Grade p besitzt 4 ).
Offenbar ist jede Spezies des zweiten Bereichs, deren Ordnungszahl von Null verschieden ist, kondensiert.
Wie man leicht einsieht, sind zwei beliebige Ordnungszahlen des zweiten Bereichs vergleichbar und besitzen, wenn sie voneinander und von Null verschieden sind, eine gleichfalls zum zweiten Bereich gehörende Differenz.
Die ordnungsgemäße Summe endlichvieler Ordnungszahlen des zweiten Bereichs ist wiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs.
Aus der Formel
((o Vi -a 1 -f- co P2 -a 3 + co Pn -a n ) co - œ Vi -a i -co = œ Vi -(a 1 -œ) — co Pi+1
4 ) Eine wohlgeordnete Spezies der Ordnungszahl w Vi -a 1 + w v -- a 2 + ... -\-co Vn -a n können wir erzeugen durch Addition einer — vollständigen oder quasi-vollständigen — wohlgeordneten Spezies der Ordnungszahl co Pl -a 1 (welche wir ihrerseits herstellen können durch Multiplikation von + 1 elementefremden — vollständigen oder quasivollständigen — wohlgeoidneten Spezies, von denen die ersten p x die Ordnungszahl«« und die letzte die Ordnungszahl a L besitzt), einer — vollständigen oder quasi-vollständigen — wohlgeordneten Spezies der Ordnungszahl co P2 -a 2 , . .., und einer — vollständigen oder quasi-vollständigen — wohlgeordneten Spezies der Ordnungszahl c o v "-a n . Diese Erzeugungsweise von Spezies des zweiten Bereichs ist indes keineswegs die einzige, wie man schon für die Ordnungszahl co 2 durch einfache Beispiele belegen kann.

Intuitionistische Mathematik. III.
469
geht hervor, daß die Multiplikation einer Ordnungszahl des zweiten Bereichs mit einem rechtsseitigen Multiplikator m , mithin auch mit einem rechtsseitigen Multiplikator œ p , mithin auch mit einem beliebigen, eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs darstellenden rechtsseitigen Multiplikator, wiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist. Hieraus folgt, daß allgemein das Produkt endlichvieler Ordnungszahlen des zweiten Bereichs wiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist.
Eine Fundamentalreihe von Ordnungszahlen des zweiten
Bereichs heißt induziert in bezug auf den zweiten Bereich, wenn eine solche steigende Fundamentalreihe v^v^, ... existiert, daß die Grade von ß Vi , ... entweder beständig wachsen oder einander gleich sind, während für m zwischen v n und v n + 1 der Grad von ß m kleiner ist als der Grad von ß Vn+1 , und, falls die ß Vn vom Grade Null sind, die Fundamentalreihe ß r t ß Vl +i, ßv>+2, ... in bezug auf den ersten Bereich induziert ist.
Wenn wir die ordnungsgemäße Summe einer in bezug auf den zweiten Bereich induzierten Fundamentalreihe von Ordnungszahlen des zweiten Bereichs mittels der ordnungsgemäßen Summe entsprechender vollständiger bzw. aus nur einem einzigen Nullelement bestehender wohlgeordneter Spezies definieren, dann erweist sich diese Summe wiederum als eine Ordnungszahl, und zwar ist dieselbe entweder gleich co m oder gehört wiederum •dem zweiten Bereich an.
Wir formulieren jetzt eine Reihe von sechs Eigenschaften:
1. Zu einer beliebigen von Null verschiedenen Ordnungszahl des zweiten Bereichs gehört sicher ein vollständiger Erzeugungswert, der vollständig induziert in bezug auf den zweiten Bereich ist, d. h. dessen konstruktive Unterwerte alle Ordnungszahlen des zweiten Bereichs besitzen, und für den bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation die betreffende Fundamentalreihe von Ordnungszahlen in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist.
2. Eine beliebige von Null verschiedene Ordnungszahl des zweiten Bereichs, deren letzter Exponent von Null verschieden ist, ist gleich der ordnungsgemäßen Summe einer in bezug auf den zweiten Bereich induzierten Fundamentalreihe von nichtverschwindenden Ordnungszahlen des zweiten Bereichs.
3. Jeder Abschnitt (also auch jeder Rest und jeder Ausschnitt) einer Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist wiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs (so daß der zweite, ebenso wie der erste Bereich der Ordnungszahlen ununterbrochen ist).
Diese Eigenschaft braucht nur für eine beliebige von Null verschiedene Ordnungszahl des zweiten Bereichs ß bewiesen zu werden. Sie ergibt

470
L. E. J. Brouwer.
sich mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung eines (auf Grund der Eigenschaft 1 existierenden) zu ß gehörigen vollständigen und in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierten Erzeugungswertes.
4. Eine Fundamentalreihe a v a 2 , ... von Ordnungszahlen des zweiten Bereichs, deren (in der im vorigen schon mehrfach angegebenen Weise definierte) ordnungsgemäße Summe entweder eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs oder die Ordnungszahl <xt a ist, ist induziert in bezug auf den zweiten Bereich.
Im ersten Falle dürfen wir, weil die ordnungsgemäße Summe von ßj, ß 2 , ... voraussetzungsgemäß quasi-vollständigen wohlgeordneten Spezies entspricht, und mithin feststeht, entweder daß nur endlichviele, oder daß> abzählbarunendlichviele nichtverschwindende a r existieren, annehmen, daß> das letztere der Fall ist. Weiter dürfen wir den Beweis beschränken auf den Fall a = co p , wo p = q -f- 1 und q nicht verschwindet, mithin a = lim co q -n ( n eine unbeschränkt wachsende natürliche Zahl). Alsdann gibt es ein kleinstes q 1 , zu dem ein solches v 1 > 0 bestimmt werden kann, daß m 1 -(v 1 + 1) > + S + • • • + ^ W-v ¡ ; ein kleinstes g^ y zu dem ein solches v 2 > v 1 bestimmt werden kann, daß -f- 1) > a 1 +
+ a a + ... + a et ^ co Q 'V^; ein kleinstes g 3 , zu dem ein solches v 3 > v 2 bestimmt werden kann, daß œ q -(v s -f 1) > a 1 -f- a 2 -f- ... -)- a e¡ ^ u> q -v 3 - y usw. Die Exponenten der Anfangsglieder von a 8l , a ... müssen alle gleich q sein, während für m zwischen g n und £> n + 1 die Exponenten von a m kleiner als q sind. Mithin ist die Fundamentalreihe cc 1 , « 2 , a s , .. . induziert in bezug auf den zweiten Bereich.
Im zweiten Falle ist die Ordnungszahl a 1 + « 2 + cc 3 + • • • gleich der Ordnungszahl co + co 2 -)-cü 3 -)-... und gibt es ein kleinstes g x , zu dem ein solches > 0 bestimmt werden kann, daß <x> ri+ ' i > a x + k 3 + ... + tt ei ^ a>v '' e ^ n kleinstes g 2 , zu dem ein solches r 3 > r 1 bestimmt werden kann, daß co r * +1 > a x -f- « 2 -|- ... + ein kleinstes g 3 , zu dem
ein solches v 3 > v a bestimmt werden kann, daß co v * +1 > + a 2 + ... + ß es = cw ' s » usvv - Die Grade von a ej , a et , ... müssen beständig wachsen,, während für m zwischen g n und g n + 1 der Grad von a m kleiner ist als der Grad von a en+l . Mithin ist die Fundamentalreihe cc v a 8 , ... induziert in bezug auf den zweiten Bereich.
5. Wenn ß v ß 2 , ß 3 , .. . eine Fundamentalreihe von Ordnungszahlen ist, welche mit der in bezug auf den zweiten Bereich induzierten Fundamentalreihe etj, a ä , ... von Ordnungszahlen des zweiten Bereichs additiv-zusammengehörig ist (d. h. daß zu jedem v ein solches /u gefunden werden kann,, daß -f- ß 0 -)- ... -)- ßp > «i + -)- ... -f- a,., und zu jedem g ein solches a y daß a x -(- ß 2 -j- ... -f- ci a > ß x -f- /? 2 + • • • + ß e ), so gehört auch jedes ß v zum

Intuitionistische Mathematik. III.
471
zweiten Bereich und ist die Fundamentalreihe ß v ß„, ß 3 , .. . in bezug auf den zweiten Bereich induziert.
Diese Eigenschaft ist eine unmittelbare Folge der Eigenschaften 3 und 4'.
6. Ein beliebiger zu einer Ordnungszahl des zweiten Bereichs gehöriger Erzeugungswert ist vollständig induziert in bezug auf den zweiten Bereich.
Für einen vollständigen Erzeugungswert folgt diese Eigenschaft unmittelbar aus den Eigenschaften 3 und 4. Um sie für einen quasi-vollständigen Erzeugungswert (dessen Ordnungszahl wir als nichtverschwin- dend voraussetzen dürfen) herzuleiten, genügt es, denselben zum entsprechenden vollständigen Erzeugungswert in Beziehung zu setzen.
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt unbestimmt zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich, wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden) Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F regulär zerlegt werden kann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementen besteht oder einen mit co m inhaltsgleichen Anfangsteil besitzt, und F" mit einer Spezies des zweiten Bereichs inhaltsgleich ist (ohne deshalb notwendigerweise eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs besitzen zu müssen).
Eine in bezug auf den zweiten Bereich unbestimmt zerlegte wohlgeordnete Spezies F braucht — schon im Falle, daß F" mit F identisch und mit der Ordnungszahl co inhaltsgleich ist — nicht notwendig unbestimmt zerlegt in bezug auf den ersten Bereich zu sein, wie aus folgendem Beispiel hervorgeht: Es sei F r für v < k 1 und G v für v ¡> k x eine Voll-Urspezies; F r für v^.k 1 und G v für v < k 1 eine Null-Urspezies; F— (F 1 + -F 2 + • • •) + (®i + ö 9 +•• • •)•
Ebensowenig ist eine in bezug auf den ersten Bereich unbestimmt zerlegte wohlgeordnete Spezies G notwendigerweise unbestimmt zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich, wie folgendes Beispiel zeigt: Es sei G v eine vollständige wohlgeordnete Spezies, welche für v < k 1 die Ordnungszahl co v , für v ^ k 1 die Ordnungszahl co k ' besitzt, und es sei G = G í + + ö 8 + - •. •
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt scharf zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich , wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden) Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest ^"regulär zerlegt werden kann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementen besteht, oder die Ordnungszahl co™ oder einen Abschnitt der Ordnungszahl co co besitzt, und F" eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs besitzt (hierbei können wir, ohne der wohlgeordneten Spezies F eine weitere Einschränkung aufzuerlegen, überdies fordern, daß F' entweder in Fortfall kommt, oder wenigstens ein Vollelement enthält).

472
L. E. J. Brouwer.
Eine in bezug auf den zweiten Bereich, scharf zerlegte wohlgeordnete Spezies ist ebenfalls scharf zerlegt in bezug auf den ersten Bereich. Nach dem obigen Beispiel G = G t -f- G. 2 + G 3 + • • -, wo G r eine vollständige wohlgeordnete Spezies der Ordnungszahl co v bzw. m ki vorstellt, ist aber eine in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegte wohlgeordnete Spezies nicht notwendig scharf zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich.
Von einer in bezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegten wohlgeordneten Spezies ist nicht notwendig auch jede konstruktive Unterspezies in bezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegt, wie wir aus folgendem Beispiel ersehen: Es besitze G v für v k 1 die Ordnungszahl co®, für v > lc 1 die Ordnungszahl eo; H v für jedes v die Ordnungszahl co r ; und es sei G = G 1 + G 2 -j- ... ; H — H 1 + + ... ; F — G + H. Alsdann ist F scharf zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich; die konstruktive Unterspezies G von F dagegen ist weder scharf, noch unbestimmt zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich.
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt vollständig induziert in bezug auf den zweiten Bereich , wenn während ihrer Erzeugung bei jeder durch eine Formel F 0 = F^ -j- F^ -|- F s + ... ausgedrückten Anwendung der zweiten erzeugenden Operation, wo jedes F v nach der Formel F v <<_, F v -f- F r in bezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegt ist, die betreffende Fundamentalreihe F t , F„, F s ,... in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist, d. h. erstens entweder eine unbeschränkt wachsende Fundamentalreihe v i> > v a ' • • • existiert, so daß jedes F Va Vollelemente besitzt, oder ein solches m angegeben werden kann, daß F' v für v > m aus lauter Nullelementen besteht bzw. fortfällt, zweitens im letzteren Falle die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F 1 , J2, F3, ... ( wobei wir einem fortfallenden Fr die Ordnungszahl Null zusprechen) in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist. Demzufolge ist dann jedesmal auch F 0 in bezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegt.
Sei ein Element der in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F. Der Keihe nach ergibt sich, daß dieses Element in F^... im _ 1} in ..., in F i¡Í2 , in F u und
in F je einen Abschnitt und einen Rest bestimmt, die in bezug auf den zweiten Bereich gleichfalls vollständig induziert sind. Mithin haben wir den Satz, daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleichfalls in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert ist.
Eine in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierte wohlgeordnete Spezies F ist offenbar scharf zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich, weiter quasi-vollständig und, wie wir mittels der induktiven Methode ersehen, auch in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert.

Intuitionistische Mathematik. III.
473
Schreiben wir, der scharfen Zerlegbarkeit von F in bezug auf den zweiten Bereich entsprechend, F ^ F' -\- F", so besitzt die wohlgeordnete Spezies F', wenn sie nicht fortfällt, entweder einen Rest der Ordnungszahl cd m , oder alle nichtverschwindenden Ordnungszahlen von Resten von F' sind größer
als co a> .
Sei F eine in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierte wohlgeordnete Spezies, welche mit der ordnungsgemäßen Summe einer Fundamentalreihe F 1 , F 2 , ... von in bezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegten wohlgeordneten Spezies gleichwertig ist. Wir wollen beweisen, daß die Fundamentalreihe F x , F„, ... in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist, und bemerken dazu zunächst, daß für die wohlgeordnete Spezies F, eben weil sie in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert ist, eine der drei folgenden Eigenschaften bestehen muß: entweder F besitzt einen Rest mit einer Ordnungszahl des zweiten Bereichs (die auch Null sein kann), oder von einem gewissen Reste von F besitzt jeder Rest die Ordnungszahl œ w , oder aber jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl >co to . Diese drei Fälle behandeln wir der Reihe nach.
Erster Fall. F besitzt einen Rest F° mit- einer Ordnungszahl des zweiten Bereichs. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F mi , daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe F m + is F m +2, ••• mit F u gleichwertig ist, so daß jedes Glied der letzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs besitzt, und die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summe eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist) in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m+i , F m+2 , ... bzw. für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m '+1, F^+ 2, • • mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m+1 , F m+2 , ..., mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F F F
1 ' 2' ^3? ••• •
Zweiter Fall. Vom Reste F° von F besitzt jeder Rest die Ordnungszahl Co"'. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F m „, daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe F m o, F m+ x, F m+2 , ... mit F° gleichwertig ist, so daß jedes Glied der letzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs besitzt und die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summe gleich co' ü ist) in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m+1 , F m+ 2, ... bzw. für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von Fm+i, -?C+s, ■ • mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies
Mathematische Annalen. 96. 31

474
L. E. J. Brouwer.
F m + 1; Fm+2, mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F t , 1%, F 3 , ... .
Dritter Fall. Jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl > w"'. Zu jedem m gibt es dann ein derartiges v m , daß für einen bestimmten (eigentlichen oder uneigentlichen) Abschnitt F,? m von F,. m die ordnungsgemäße Summe F m + F m+1 + ... + F Vm - x J r'Fy m die Ordnungszahl œ co besitzt, so daß wenigstens eine der wohlgeordneten Spezies F m , F m+1 , ..., Fy m - 1, Fy m existiert und Vollelemente besitzt. Das heißt aber, daß es zu jedem m ein derartiges Q m ^ m, gibt, daß F e ' m existiert und Vollelemente besitzt, so daß die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F 1} F<¡, F a , ... in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist.
Kombinieren wir den hiermit bewiesenen Satz mit der Eigenschaft, daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies gleichfalls in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert ist, so ergibt sich, daß jede mit einer in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleichwertige wohlgeordnete Spezies G ebenfalls in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert ist (und zwar mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von G ). Auf Grund dieser Eigenschaft bezeichnen wir eine Ordnungszahl als in bezug auf den ziveiten Bereich vollständig induziert, wenn jeder zu ihr gehörige vollständige Erzeugungswert in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert ist.
Dann aber ist auch jeder zu ihr gehörige quasi-vollständige Erzeugungswert in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert. Sei nämlich ß ein solcher quasi-vollständiger Erzeugungswert, daß der entsprechende vollständige Erzeugungswert a in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert ist. Jeder durch eine Formel a T « r ' -j- a" ausgedrückten scharfen Zerlegung in bezug auf den zweiten Bereich eines konstruktiven Unterwertes a T von a entspricht dann eine durch eine Formel ßz ~ ßz + ßz ausgedrückte scharfe Zerlegung in bezug auf den zweiten Bereich des entsprechenden konstruktiven Unterwertes ß T von ß (welche leicht eindeutig festgelegt werden kann, z. B. durch die Forderung, daß, wenn ß[ nicht fortfällt, jeder Rest von ß[ Vollelemente aufweisen soll). Auf Grund dieser scharfen Zerlegungen seiner konstruktiven Unterwerte aber stellt sich ß an der Hand seiner mit a parallelen Erzeugung unmittelbar als in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert heraus.
§ 5. Unter den Ordnungszahlen des dritten Bereichs vom Range Null verstehen wir die Ordnungszahlen des zweiten Bereichs. Unter den Ord-

Intuitionistische Mathematik. III.
475
nungszahlen des dritten Bereichs vom Range 1 verstehen wir die Ordnungszahlen
m Vl - a y + ... -fco v "-a n ,
wo n und die a r nichtverschwindende natürliche Zahlen sind und die p v Ordnungszahlen des zweiten Bereichs, deren Maximalgrad nicht verschwindet. Unter den Ordnungszahlen des dritten Bereichs vom Range p + 1 verstehen wir die Ordnungszahlen
co Pl - ctx + • •• +
wo n und die a v nichtverschwindende natürliche Zahlen sind und die p v Ordnungszahlen des dritten Bereichs vom Maximalrange p.
Unter einer Spezies des dritten Bereichs vom Range p verstehen wir eine (vollständige oder quasi-vollständige) wohlgeordnete Spezies, welche eine Ordnungszahl des dritten Bereichs vom Range p besitzt.
Offenbar ist jede Spezies des dritten Bereichs, deren Ordnungszahl von Null verschieden ist, kondensiert.
Es gelten folgende zwei Eigenschaften:
1. Je zwei Ordnungszahlen des dritten Bereichs sind vergleichbar und besitzen, wenn sie voneinander und von Null verschieden sind, eine gleichfalls zum dritten Bereich gehörende Differenz.
2. Bei der Ordnungszahl co Vl - a 1 + ... co Vn - a n darf man annehmen, daß jedes p v+1 < p v ist.
Diese Sätze begründen wir, indem wir den ersten für Zahlen, deren Rang < p ist, mithin den zweiten für Zahlen, deren Rang ^ p ist, als bewiesen annehmen, und hieraus die Gültigkeit des ersten für Zahlen, deren Rang ^ p ist, folgern. Hierzu bemerken wir zunächst, daß wir für zwei Zahlen q und a, deren Rang < p ist, aus q < o die Formel cü" = co e + co a folgern dürfen, und nennen sodann für eine Zahl des dritten Bereichs co Vl • a 1 + ... -|- w Vn -a n den Exponenten p h das (2 h — l)-te Bestimmungselement und den Koeffizienten a h das 2h -te Bestimmungselement. Unter diesen Voraussetzungen wird von zwei Zahlen, deren Rang p ist, diejenige als die größere erkannt, von der das erste Bestimmungselement, das nicht für beide Zahlen gleich ist, das größere ist, während als Differenz der beiden Zahlen wiederum eine Zahl des Ranges p auftritt.
Die ordnungsgemäße Summe endlichvieler Ordnungszahlen des dritten Bereichs ist wiederum eine Ordnungszahl des dritten Bereichs.
n
Es seien yjco Pv -a v und co p , wo weder a 1 noch p verschwindet, zwei
V— l
Zahlen des dritten Bereichs. Indem wir p=\-\-q, mithin (o p — co-a> q
31*

476 L. E. J. Brouwer.
setzen, ersehen wir, daß co p sich mittels der beiden erzeugenden Operationen aus Urzahlen a> herstellen läßt. An der Hand dieser Konstruktion von co p können wir nun die Formel
I y, m p '-a r ! • w v = co v¡ -co p ur=l J
mittels der induktiven Methode beweisen, und zwar auf Grund der Tatsachen, daß
r n -i
w Vr •dyl-co — co p '■ co ;
L r _i J
daß für ß = + /? 2 + ... + ß m auf Grund der ersten erzeugenden Operation, aus
2¡co p "-a v ] •ß l = a!>«•»•&; [ j> Pv -ed -ß % = co^-ß^;
V=l - 1 V — 1 J
folgt
\2Jw p "-a v \ .ß m = co p >-ß„
L V=1
[j> p "-a„] -ß= co p '-ß;
und daß für ß = JJ ß fl auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, aus
/'=i
folgt
[ 2 m Pr -a,.} -ß u = w p *-ß fi für jedes ) : 1 J
\¿co Pv -a„] .ß = m p >-ß. L r _i J
Es seien nun und ¿ oj^-b^ + b m+í , wo a 1 , b m+ 1 und
V = 1 fX — 1
die q, t nicht verschwinden, zwei Zahlen des dritten Bereichs. Alsdann ist das Produkt
gleich
r n -i r 7Yb
\2co p *-a v • E^'b fi + b m+ !
V—1 J 1 u=1
on r n -i r 71 i
2 \ 2œ v *-a r \(o q > i -b tl + \ 2m Vr -a r \-b„^ =
(i = l *-v=l ^ ^-v = l
m +1
n
= 2 <o Vl+Qu -bu + a) p ^(a 1 b m+1 ) + ¿ , co p "-a,..
v—2
Mithin ist das Produkt von zwei, also auch allgemein von endlich- vielen Ordnungszahlen des dritten Bereichs wiederum eine Ordnungszahl des dritten Bereichs.

Intuitionistische Mathematik. III. 477
r » "I ^
Insbesondere ist, wenn p ± nicht verschwindet, \ œ Vv -a v \ eine Zahl
U=i J
des dritten Bereichs mit dem ersten Glied co Pi ' 2 • a x \ \^Jco Pv -a r \ eine
»
L v=l
n
Zahl des dritten Bereichs mit dem ersten Glied co Pl ' s
3
[ /» m
2¡co Pv -a v \ ,
v=l
wo m eine beliebige nichtverschwindende natürliche Zahl vorstellt, eine Zahl des dritten Bereichs mit dem ersten Glied co Pi ' m -a 1 . Mithin ist
r- n n CO CO p 71 - fl CO
\jJ(o Pv -a v \ = 2 \2Jco Pr -a v '= = co^" 0 .
^-r=l f.i= 1 U»=l ti=l
Auf Grund dieser Eigenschaft können wir, wenn co p , wo p nicht verschwindet, eine Zahl des dritten Bereichs ist, an der Hand einer Konstruktion von <x>v mittels der beiden erzeugenden Operationen aus Ur- zahlen co, die Formel
v= 1
mittels der induktiven Methode herleiten, und zwar unter Benutzung der Tatsachen, daß für ß = ß 1 -[- ß 2 ... -f- ß m auf Grund der ersten erzeugenden Operation, aus
\ßx
r 11 « i r n i '
[fleo v *a»J = coPi'ß'; co'' v ■ a,,J
(yiWa;
folgt
r 71 -\ ßm
\ 2<» Vv -a v \ =co^-ß,n
2 co Pr -a v \ = co Pi 'ß,
y= 1 J
und daß für ß = lim ß ft auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, aus
/ 1
= co Pl '^ für jedes ^
folgt
lim 2>| >ß.
5] œ Pv -a v I = lim I JJ w Pr -a,. I ' = lim co Vl '^ l = co '' = co^'
r=l
Sei nun 2 co^-bp + b m+i , wo die </,« und b m+1 nicht verschwinden,
/"=i
eine weitere Zahl des dritten Bereichs, so ist
iib Q nv n
„ 2 -% + trt.i r » -, Syv.b n
\Zo> p *-a r " =1 =f2co p *-a r ]" =1 - Í
l v=i J U=i J U=i
1 b m+1
m a
Pi- 2 o> P. b w
,"=1 v-i p., m-t I
CO • 2J W
L, — i

478
L. E. J. Brouwer.
welcher Ausdruck als Produkt zweier Zahlen des dritten Bereichs wiederum eine Zahl des dritten Bereichs ist.
Mithin ist eine Potenz, deren Argument und Exponent Zahlen des dritten Bereichs sind, wiederum eine Zahl des dritten Bereichs.
Eine Fundamentalreihe ß l , ß^, ... von Ordnungszahlen des dritten Bereichs vom Range Null heißt induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn sie induziert in bezug auf den zweiten Bereich ist. Eine Fundamentalreihe a ls .. tt m , ß 1 , ß%, ... von Ordnungszahlen des dritten Bereichs, bei welcher ß 1 , ß.,, ... alle vom Range Null sind, heißt induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn die Fundamentalreihe ß 1 ,ß 2 ,... induziert in bezug auf den dritten Bereich ist.
Eine Fundamentalreihe ß 1 , ß. 2 , ... von Ordnungszahlen des dritten Bereichs, bei welcher eine solche steigende Fundamentalreihe v 1 , v„, ... existiert, daß ß Vl . alle vom Range p (> 0) sind, während für m
zwischen v und v n + x der Rang von ß m kleiner als p ist, heißt induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn erstens eine solche steigende Fundamentalreihe Q l ,Q i ,... existiert, daß die Exponenten ß Sl ,ß B , i ,... der Anfangsglieder von ß e ,, ß e ,, . ■. entweder beständig wachsen oder einander gleich sind, während für m zwischen g n und ç> n + 1 die Exponenten von ß m kleiner sind als ß' e , M , zweitens im ersteren Falle bei der Fundamentalreihe ß 'i , ß", •wo ß"= ß' 0l und jedes /C+i = ßL»~ ßL> eine steigende Fundamentalreihe o i; a 9 ,... auftritt, so daß ß a [, ß„ n , . .. alle vom Range h (< p) sind, während für m zwischen a n und a n + 1 der Rang von ß m kleiner als h ist, und die Fundamentalreihe ß", ß 2 , ... in bezug auf den dritten Bereich induziert ist.
Wir wollen jetzt beweisen, daß die (in üblicher Weise definierte) ordnungsgemäße Summe einer in bezug auf den dritten Bereich induzierten Fundamentalreihe ß lt ß^, ... von Ordnungszahlen des dritten Bereichs, bei welcher eine solche steigende Fundamentalreihe ^, r 3 , ... existiert, daß ß Vi , ... alle vom Range p sind, während für m zwischen v n und v n + 1 der Rang von ß m kleiner als p ist, wiederum eine Ordnungszahl des dritten Bereichs ist. Weil der Satz offenbar für p— 0 erfüllt ist, so dürfen wir beim Beweise des Satzes für den Rang p die Gültigkeit des Satzes für Ränge < p voraussetzen. Überdies dürfen wir bei der Beweisführung annehmen, daß g 1 = 1 ist und uns auf den ersten Fall des vorigen Absatzes beschränken, weil für den letzten Fall der Satz ohne weiteres einleuchtet. Für eine derartige im ersten Falle befindliche Fundamentalreihe ß 1 ,ß i ,... aber haben wir unter der Voraussetzung q 1 = 1 :
m ft' lim fil ,
lim ß r = lim ß Bn = lim aA« = m n = «r™ = ß w , wo ß cü auf Grund
m r= i n n

Intuitionistische Mathematik. III.
479
der Gültigkeit des Satzes für Ränge < p eine Zahl des dritten Bereichs vorstellt, so daß sich auch ß m als eine Zahl des dritten Bereichs ergibt.
Eine Fundamentalreihe ß x , /? 9 , ... von Ordnungszahlen des dritten Bereichs heißt induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn erstens eine solche steigende Fundamentalreihe existiert, daß die Ränge
von ß Vj , ß Vi , ... entweder beständig wachsen oder einander gleich sind, während für m zwischen v n und v n + 1 der Rang von ß m kleiner ist als der Rang von ß Vn „, zweitens im letzteren Falle die Fundamentalreihe ß lt ß„, ... in bezug auf den dritten Bereich induziert ist.
CO
Schreiben wir cd"' = œ l , co M¡ — a> 2 , m"'* = co 3 , ..., co n — e , so ist
n= i
die (in üblicher Weise definierte) ordnungsgemäße Summe einer in bezug auf den dritten Bereich induzierten Fundamentalreihe von Ordnungszahlen des dritten Bereichs entweder gleich der Ordnungszahl e oder wiederum eine Ordnungszahl des dritten Bereichs.
Wir leiten jetzt eine Reihe von sechs Eigenschaften her:
1. Zu einer beliebigen von Null verschiedenen Ordnungszahl des dritten Bereichs gehört sicher ein vollständiger Erzeugungswert, der vollständig induziert in bezug auf den dritten Bereich ist, d. h. dessen konstruktive Unterwerte alle Ordnungszahlen des dritten Bereichs besitzen, und für den bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation die betreffende Fundamentalreihe von Ordnungszahlen in bezug auf den dritten Bereich induziert ist.
Für eine Ordnungszahl vom Range Null ist die Eigenschaft evident. Beim Beweise für eine Ordnungszahl vom Range p dürfen wir also voraussetzen, daß die Gültigkeit der Eigenschaft für Ordnungszahlen von Rängen < p schon feststeht. Weiter dürfen wir den Beweis beschränken auf eine Ordnungszahl der Form co k , wo k eine Ordnungszahl des dritten Bereichs vom Range q<p (für welche also die Gültigkeit unserer Eigenschaft schon feststeht) vorstellt. Wir beweisen nunmehr nach der induktiven Methode, daß derjenige zu co k gehörige Erzeugungswert, der einem unserer Eigenschaft genügenden zu k gehörigen Erzeugungswert entspricht, ebenfalls unserer Eigenschaft genügt.
Sei r = + • • • + eine bei der Erzeugung des betreffenden
zu k gehörigen Erzeugungswertes auftretende Anwendung der ersten erzeugenden Operation. Alsdann gilt unsere Eigenschaft, wenn sie für w Ti , co z -, , .., cd 7 '", sowie für h(œ z *), ..h{co Xm ) gilt, ebenfalls für
w T > -J- co Tl ■ h (co T =) = ft> Ti+T % sowie für ä. (co ri ) + fo ri - A (co T ') = h (co ri+I =); .. mithin auch für co T ^ ++ w T,+ --- + Tm - i -h(co Tm ) = co z , sowie für
h (co T ' + -- -+ T »'-i) -j- co T i+- .Ji(a> r '") = h (co z ) •
Sei % = x t r a -f- r 3 + ... eine bei der Erzeugung des betreffenden

480
L. E. J. Brouwer.
zu Je gehörigen Erzeugungswertes auftretende Anwendung der zweiten erzeugenden Operation. Alsdann gilt unsere Eigenschaft, wenn sie für jedes co Ty , sowie für jedes h (co ) gilt, nach dem vorhergehenden ebenfalls für jedes C0 T ' +Ii+ --- +7 V ) un( J somit (weil die Fundamentalreihe r 13 r 9 ,..., also auch die Fundamentalreihe œ z ', cu Ti+I % œ Zi+r * +z \ ... bzw. die Fundamen- talreihe m T >, co z >-h (co z *), (o Zi+T *-h(co z '),... in bezug auf den dritten Bereich induziert ist) auch für lim a> Ti+T ' + -- +T v — co T , sowie für lim h (eo T i+ r =+- ••+ r v)
7 V V
■■= h (co 1 ).
Also gilt unsere Eigenschaft für co 1 '.
2. Eine beliebige von Null verschiedene Ordnungszahl des dritten Bereichs, deren letzter Exponent von Null verschieden ist, ist gleich der ordnungsgemäßen Summe einer in bezug auf den dritten Bereich induzierten Fundamentalreihe von nichtverschwindenden Ordnungszahlen des dritten Bereichs.
Diese Eigenschaft ergibt sich unmittelbar mittels der induktiven Methode unter Benutzung der Eigenschaft 1.
3. Jeder Abschnitt (also auch jeder Rest und jeder Ausschnitt) einer Ordnungszahl des dritten Bereichs ist wiederum eine Ordnungszahl des dritten Bereichs (so daß der dritte ebenso wie der erste und der zweite Bereich der Ordnungszahlen ununterbrochen ist).
Die Eigenschaft braucht nur für eine beliebige von Null verschiedene Ordnungszahl des dritten Bereichs ß bewiesen zu werden. Sie ergibt sich mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung eines (auf Grund von Eigenschaft 1 existierenden) zu ß gehörigen vollständigen und in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierten Erzeugungswertes.
4. Eine Fundamentalreihe a 13 a„,... von Ordnungszahlen des dritten Bereichs, deren (in üblicher Weise definierte) ordnungsgemäße Summe entweder eine Ordnungszahl des dritten Bereichs oder die Ordnungszahl e ist, ist induziert in bezug auf den dritten Bereich.
Im ersten Falle dürfen wir, weil die ordnungsgemäße Summe von « 1 ,ß 2 ,... voraussetzungsgemäß quasi-vollständigen wohlgeordneten Spezies entspricht und mithin feststeht, entweder daß nur eine endliche Anzahl, oder daß eine Fundamentalreihe von nichtverschwindenden a,, existiert, annehmen, daß das letztere der Fall ist. Auch dürfen wir annehmen, daß cc 1 + «a + • •. eine Ordnungszahl des dritten Bereichs a vom Range k ist, während die Gültigkeit der zu beweisenden Eigenschaft für Ränge der ordnungsgemäßen Summe < 1c schon feststeht. Weiter dürfen wir den Beweis beschränken auf den Fall a = co", wo p eine Ordnungszahl des dritten Bereichs vorstellt, deren Rang < lc ist.
Nehmen wir als ersten Unterfall an, daß der letzte Exponent von p

Intuitionistische Mathematik. III.
481
verschwindet, mithin p = q - |- 1 (wo q ebenfalls eine Ordnungszahl des dritten Bereichs, deren Rang < k ist, vorstellt) und a = lim co q -n ( n eine unbeschränkt wachsende natürliche Zahl). Alsdann gibt es ein kleinstes ^, zu dem ein solches v x >0 bestimmt werden kann, daß eo«-(r 1 +l)> ßj-pitj-f ... + a Bl oo q ■ v 1 ; ein kleinstes , zu dem ein solches r 2 > v 1 bestimmt werden kann, daß co q -(v., + 1) > cc x + + ••• + a "~ ein kleinstes q . ¿ , zu dem ein solches > v„ bestimmt werden kann, daß c ° a '(. v a + 1) > a i + ß 2 + • • • ~r a ez ^ 0)9 ' v sl usw - Die Exponenten der Anfangsglieder von a ßl , a e „, ... müssen alle gleich q sein, während für m zwischen o n und g n+1 die Exponenten von a m kleiner als q sind. Mithin ist die Fundamentalreihe a x , cc 2 , cc s , ... induziert in bezug auf den dritten Bereich.
Bleibt als zweiter Unterfall, daß der letzte Exponent von p nicht verschwindet. Alsdann ist (nach Eigenschaft 2) p = lim p v , wo jedes p,.
V
eine Ordnungszahl des dritten Bereichs vorstellt, und p r+1 > p r für jedes v. Mithin ist auch die Ordnungszahl cc = co p gleich der Ordnungszahl lim co Py und
V
gibt es ein kleinstes g i; zu dem ein solches > 0 bestimmt werden kann, daß co 1Pri + 1 > «j + + ... + a gi co Pr ' ; ein kleinstes o._,, zu dem ein solches v„ > v x bestimmt werden kann, daß œ Pr - +1 > a x + a„ - - ... + ^ ! e ^ n kleinstes q s , zu dem ein solches v 3 > r 3 bestimmt werden kann, daß co Pr * +1 > a x + -(- ... + a e , ^ c ° 1 ' r ' '> usw - Bezeichnen wir den Exponenten des Anfangsgliedes von mit er,', so müssen u ßl , a'„ n _, ... eine beständig wachsende Fundamentalreihe bilden, während für m zwischen p n und£) n + 1 die Exponenten von ec m kleiner als u ßn+1 sind. Weiter ist die Ordnungszahl lim u ßy = p. Schreiben wir also a ßl — a ßj und a¿' n+i = — a' Cn
für jedes 1, so ist (eben weil die zu beweisende Eigenschaft für Ränge der ordnungsgemäßen Summe < Je schon feststeht) die Fundamentalreihe a ßi , a ß [, ... in bezug auf den dritten Bereich induziert. Mit-
t f
hin sind auch zunächst die Fundamentalreihe oj a e>, co " ei , ..., sodann die Fundamentalreihe co" 1 ', co" 3 , . . . und schließlich die Fundamentalreihe ß x , , ... in bezug auf den dritten Bereich induziert.
Im zweiten Falle ist die Ordnungszahl a 1 +a 3 +-.. gleich der Ordnungszahl œ + m 1 + co„ -j- ... und gibt es ein kleinstes o 1 , zu dem ein solches ^>0 bestimmt werden kann, daß co Vl+i > cc x + + • • • + a Bi ^ o),., ; ein kleinstes o 2 , zu dem ein solches v„ > v x bestimmt werden kann, daß co v ,+i > «i + a 2 + ... + a ßi ^ co„ 2 ; ein kleinstes o :1 , zu dem ein solches v 3 > v 2 bestimmt werden kann, daß w V3+1 >«i + «2+ •• • + ^! usw. Die Ränge von a e¡ , a e „, .. . müssen beständig wachsen, während für m zwischen q n und Q n+1 der Rang von a m kleiner ist als der Rang von ß e „ + 1 .

482
L. E. J. Brouwer.
Mithin ist die Fundamentalreihe ß 1 ,ß 2 ,a 3 , ... induziert in bezug auf den dritten Bereich.
5. Wenn ß 1 ,ß a ,... eine Fundamentalreihe von Ordnungszahlen ist, welche mit der in bezug auf den dritten Bereich induzierten Fundamentalreihe u y von Ordnungszahlen des dritten Bereichs additiv- zusammengehörig ist, so gehört auch jedes ß v zum dritten Bereich und ist die Fundamentalreihe in bezug auf den dritten Bereich induziert.
Diese Eigenschaft ist eine unmittelbare Folge der Eigenschaften 3 und 4.
6. Ein beliebiger zu einer Ordnungszahl des dritten Bereichs gehöriger Erzeugungswert ist vollständig induziert in bezug auf den dritten Bereich.
Für einen vollständigen Erzeugungswert folgt diese Eigenschaft unmittelbar aus den Eigenschaften 3 und 4. Um sie für einen quasi-voll- ständigen Erzeugungswert (dessen Ordnungszahl wir als nichtverschwindend voraussetzen dürfen) herzuleiten, genügt es, denselben zum entsprechenden vollständigen Erzeugungswert in Beziehung zu setzen.
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt unbestimmt zerlegt in bezug auf den dritten Bereich , wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden) Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F" regulär zerlegt werden kann, daß jeder Rest von F entweder aus lauter Nullelementen besteht oder einen mit e inhaltsgleichen Anfangsteil besitzt und F" mit einer Spezies des dritten Bereichs inhaltsgleich ist (ohne deshalb notwendigerweise eine Ordnungszahl des dritten Bereichs besitzen zu müssen).
Eine in bezug auf den dritten Bereich unbestimmt zerlegte wohlgeordnete Spezies F braucht — schon im Falle, daß F" mit F identisch und mit der Ordnungszahl co 1 inhaltsgleich ist — nicht notwendig unbestimmt zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich zu sein, wie aus folgendem Beispiel hervorgeht: Es sei F v für v < lc 1 und G v für v^t.k 1 eine vollständige wohlgeordnete Spezies der Ordnungszahl co''; es bestehe F,, für v'^.k 1 und G r für v < k 1 aus einem einzigen Nullelement; und es sei F — ( F x ~t- F. 2 -f- F s + ... ) -p ( G 1 + G<¡ + G s + • • • ) •
Ebensowenig ist eine in bezug auf den zweiten Bereich unbestimmt zerlegte wohlgeordnete Spezies G notwendigerweise unbestimmt zerlegt in bezug auf den dritten Bereich, wie folgendes Beispiel zeigt: Es sei G,. eine vollständige wohlgeordnete Spezies, welche für v < k 1 die Ordnungszahl co r , für v ^ die Ordnungszahl cú¡ c¡ besitzt, und es sei G — G 1 + G a -f- G s + ... .
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt scharf zerlegt in bezug auf den dritten Bereich, wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden) Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F" regulär zerlegt

Intuitionistische Mathematik. III.
483
werden kann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementen besteht oder die Ordnungszahl e oder einen Abschnitt der Ordnungszahl e besitzt, und F" eine Ordnungszahl des dritten Bereichs besitzt (hierbei können wir, ohne der wohlgeordneten Spezies F eine weitere Einschränkung aufzuerlegen, überdies fordern, daß F' entweder in Fortfall kommt oder wenigstens ein Vollelement enthält).
Eine in bezug auf den dritten Bereich scharf zerlegte wohlgeordnete Spezies ist ebenfalls scharf zerlegt in bezug auf den zweiten (mithin auch in bezug auf den ersten) Bereich. Nach dem obigen Beispiel G = G 1 + G., + G 3 + ..., wo G v eine vollständige wohlgeordnete Spezies der Ordnungszahl co,, bzw. m ki vorstellt, ist aber eine in bezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegte wohlgeordnete Spezies nicht notwendig scharf zerlegt in bezug auf den dritten Bereich.
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt vollständig induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn während ihrer Erzeugung bei jeder durch eine Formel F 0 = F x + F^ + • • • ausgedrückten Anwendung der zweiten erzeugenden Operation, wo jedes F v nach der Formel F v ~ F v + F v in bezug auf den dritten Bereich scharf zerlegt ist, die betreffende Fundamentalreihe F x , F„. ... in bezug auf den dritten Bereich induziert ist, d.h. erstens entweder eine unbeschränkt wachsende Fundamentalreihe v x , r 3 ,... existiert, so daß jedes F r Vollelemente besitzt, oder ein solches m angegeben werden kann, daß F,'. für v > m aus lauter Nullelementen besteht bzw. fortfällt, zweitens im letzteren Falle die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von FÍ' , Fi , ... (wobei wir einem fortfallenden F r die Ordnungszahl Null zusprechen) in bezug auf den dritten Bereich induziert ist. Demzufolge ist dann jedesmal auch F 0 in bezug auf den dritten Bereich scharf zerlegt.
Sei F^4... im ein Element der in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F. Der Reihe nach ergibt sich, daß dieses Element in F^...^,, in F ilin _.._ im _^ .. in F it ia , in F i¡ und in F je einen Abschnitt und einen Rest bestimmt, die in bezug auf den dritten Bereich gleichfalls vollständig induziert sind. Mithin haben wir den Satz, daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleichfalls in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist.
Eine in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierte wohlgeordnete Spezies F ist offenbar scharf zerlegt in bezug auf den dritten Bereich, weiter quasi-vollständig und, wie wir mittels der induktiven Methode ersehen, auch in bezug auf den zweiten (mithin ebenfalls in bezug auf den ersten) Bereich vollständig induziert. Schreiben wir, der scharfen

484
L. E. J. Brouwer.
Zerlegbarkeit von F in bezug auf den dritten Bereich entsprechend, F ^ F '^ F ', so besitzt die wohlgeordnete Spezies F', wenn sie nicht fortfällt, entweder einen Rest der Ordnungszahl e, oder alle nichtver- schwindenden Ordnungszahlen von Resten von F' sind größer als e.
Sei F eine in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierte wohlgeordnete Spezies, welche mit der ordnungsgemäßen Summe einer Fundamentalreihe F i , F 2 , ... von in bezug auf den dritten Bereich scharf zerlegten wohlgeordneten Spezies gleichwertig ist. Wir wollen beweisen, daß die Fundamentalreihe F x , _F a , ... in bezug auf den dritten Bereich induziert ist, und bemerken dazu zunächst, daß für die wohlgeordnete Spezies F, eben weil sie in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist, eine der drei folgenden Eigenschaften bestehen muß: entweder F besitzt einen Rest mit einer Ordnungszahl des dritten Bereichs (die auch Null sein kann), oder von einem gewissen Reste von F besitzt jeder Rest die Ordnungszahl e, oder aber jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl > e. Diese drei Fälle behandeln wir der Reihe nach.
Erster Fall. F besitzt einen Rest F° mit einer Ordnungszahl des dritten Bereichs. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F hl „ , daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe F a» + F m + i , • • • F" gleichwertig ist, so daß jedes Glied der
letzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des dritten Bereichs besitzt, und die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summe eine Ordnungszahl des dritten Bereichs ist) in bezug auf den dritten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m + 1 , F m+2 , ... bzw. für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von Fm+i, Fm+%> • • •> mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m+1 , F m + „, ..., mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F i; _F 2 , F 3 , ... .
Zweiter Fall. Vom Reste F° von F besitzt jeder Rest die Ordnungszahl e. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F m „, daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe F m „, F m + 1 , F m + 2 , .. . mit F° gleichwertig ist, so daß jedes Glied der letzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des dritten Bereichs besitzt und die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summe gleich e ist) in bezug auf den dritten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m+1 , F m + 2 , ... bzw. für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F," +1 , F 7 " + «, ... , mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m + 1 , F m + 2 , . .., mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies Fi, F«, F 3 ,

Intuitionistische Mathematik. III.
485
Dritter Fall. Jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl > s. Zu jedem m gibt es dann ein derartiges v m , daß für einen bestimmten (eigentlichen oder uneigentlichen) Abschnitt F°„, von F,. m die ordnungsgemäße Summe F m + F m + 1 ... + F Vm -± + Fy m die Ordnungszahl e besitzt, so daß wenigstens eine der wohlgeordneten Spezies F' m , F' m+X , ..rf v „ existiert und Vollelemente besitzt. Das heißt aber, daß es zu jedem m ein derartiges Q m ^ m gibt, daß F ßm existiert und Vollelemente besitzt, so daß die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F lt F. v F s , ... in bezug auf den dritten Bereich induziert ist.
Kombinieren wir den hiermit bewiesenen Satz mit der Eigenschaft, daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies gleichfalls in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist, so ergibt sich, daß jede mit einer in bezug auf den dritten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleichwertige wohlgeordnete Spezies G ebenfalls in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist (und zwar mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von G ). Auf Grund dieser Eigenschaft bezeichnen wir eine Ordnungszahl als in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert, wenn jeder zu ihr gehörige vollständige Erzeugungswert in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist.
Dann aber ist auch jeder zu ihr gehörige quasi-vollständige Erzeugungswert in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert. Sei nämlich ß ein solcher quasi-vollständiger Erzeugungswert, daß der entsprechende vollständige Erzeugungswert a in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert ist. Jeder durch eine Formel a z ^ a' T -f- ß r " ausgedrückten scharfen Zerlegung in bezug auf den dritten Bereich eines konstruktiven Unter wertes a T von a entspricht dann eine durch eine Formel ß r ß' T + ß" ausgedrückte scharfe Zerlegung in bezug auf den dritten Bereich des entsprechenden konstruktiven Unterwertes ß T von ß (welche leicht eindeutig festgelegt werden kann, z. B. durch die Forderung, daß, wenn ß z nicht fortfällt, jeder Rest von ß' z Vollelemente aufweisen soll). Auf Grund dieser scharfen Zerlegungen seiner konstruktiven Unterwerte aber stellt sich ß an der Hand seiner mit cc parallelen Erzeugung unmittelbar als in bezug auf den dritten Bereich vollständig induziert heraus.
§ 6. Im vorigen haben wir gesehen, wie zur endlichen Bezeichnung von Ordnungszahlen zweierlei Elementarsymbole benutzt werden, nämlich Zahlsymbole, welche je eine bestimmte Ordnungszahl, und Verknüpfungssymbole, welche je ein aus gewissen geordneten endlichen Mengen von vorgegebenen Ordnungszahlen jedesmal eine Ordnungszahl erzeugendes Ge-

486 L. E. J. Brouwer.
setz repräsentieren. Zur Bezeichnung der Ordnungszahlen des ersten Bereichs genügten dabei das Zahlsymbol 1 und das Verknüpfungssymbol der Addition; zur Bezeichnung der Ordnungszahlen des zweiten Bereichs kam das Zahlsymbol co und das Verknüpfungssymbol der Multiplikation hinzu, während die weitere Hinzunahme des Verknüpfungssymbols der Potenzierung die Bezeichnung der Ordnungszahlen des dritten Bereichs erlaubte. Indem wir auf den Aufbau systematischer Theorien von Bereichen von Ordnungszahlen, welche über den dritten Bereich hinausgehen, verzichten, beschränken wir uns darauf, ein Beispiel eines Verknüpfungssymbols anzugeben, das, in Vereinigung mit den Zahlsymbolen 1 und co und den Verknüpfungssymbolen der Addition, Multiplikation und Potenzierung, die Bezeichnung von Ordnungszahlen erlaubt, welche nicht nur größer sind als die Ordnungszahlen des dritten Bereichs, sondern auch größer als die
Co
Ordnungszahlen e, s 1 = e c , e 2 = e El , e 3 == e r =, ..., e' e n .
n=l
Es sei a ein beliebiger basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert, ß ein beliebiger quasi-vollständiger Erzeugungswert. Alsdann definieren wir den symbolischen Ausdruck {«, ß} mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von ß durch folgende Festsetzungen:
Wenn ß einer aus einem einzigen Nullelemente bestehenden Spezies entspricht, so ist { u, ß } = u.
Wenn ß einer aus einem einzigen Vollelemente bestehenden Spezies entspricht, so ist {cc,ß} = cc".
Wenn ß = ß 1 -f- /? 2 + ... + ß m au f Grund der ersten erzeugenden Operation und der symbolische Ausdruck {«,/?,,} für v = 1, 2, .. m für jeden basierten quasi-vollständigen Erzeugungswert a als basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert definiert ist, während überdies ein beliebiger basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert u für v = 1, 2, .. m einen Abschnitt von {cc,ß„} darstellt, so ist { a, ß} = { a,ß 1 } -)-[{{ a, ß 1 }, ß„ } — {«, ß 1 }]
+ [{{(ßi + ßz)}, ß 3 } — {«> (ßi + /V}] + • • • + [{("> (ßi+ ßi~\- ••• +/ö,„_i)}, ß m } — {«, (ß 1 -j- /S 2 -j- • • • + ß m - 1)}]> so daß auch {«, ß } für jeden basierten quasivollständigen Erzeugungswert a als basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert definiert ist, während überdies ein beliebiger basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert a einen Abschnitt von {a, ß} darstellt.
CO
Wenn ß—JEßv auf Grund der zweiten erzeugenden Operation und
v= 1
{a, ß r } für jeden basierten quasi-vollständigen Erzeugungswert a und jedes v als basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert definiert ist, während überdies ein beliebiger basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert a für jedes v einen Abschnitt von { u, ß t , } darstellt, so ist { a, ß } = { a, ß 1 } + [{ ß > (ßl'T ßi)}~ i a ' ßl }] + [{ CC >(ßl + & + Ai)} ~ { a '(ßl + ßi)}} + • ••

Intuitionistische Mathematik. III.
487
= lim { a, (ß 1 -|- ... + ß r )}, so daß auch { k , ß} für jeden basierten quasi-
V
vollständigen Erzeugungswert a als basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert definiert ist, während überdies ein beliebiger basierter quasi-voll- ständiger Erzeugungswert a einen Abschnitt von { «, ß} darstellt.
Auf Grund dieser Definition beweist man, in derselben Weise wie die analoge Eigenschaft der Potenz daß die Gleichwertigkeit bzw. Inhalts- gleichheit von ß und ß° einerseits und von a und a° andererseits, die Gleichwertigkeit bzw. Inhaltsgleichheit von {ci,/?} und {cc°,ß°} nach sich zieht. Der symbolische Ausdruck {a, ß} ist mithin nicht nur für einen beliebigen basierten quasi-vollständigen Erzeugungswert a und einen beliebigen quasi-vollständigen Erzeugungswert ß als basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert, sondern auch für eine beliebige nichtverschwin- dende Ordnungszahl a und eine beliebige Ordnungszahl ß als nichtver- schwindende Ordnungszahl definiert.
Wie weit man indessen zur Bezeichnung von Ordnungszahlen mit der Einführung neuer Zahlsymbole und Verknüpfungssymbole auch fortfährt, so läßt sich dabei doch die Spezies der eingeführten Symbole in jedem Stadium als endlich betrachten, weil jede Definition einer Fundamentalreihe von Symbolen r lt r„, ... auf die Definition eines einzigen, auf ein beliebiges Element von A, mithin auf eine beliebige endliche Gruppe von Symbolen 1 bezüglichen Symboles r hinauskommt. Wenn wir nun nur solche Verknüpfungssymbole zulassen, welche je aus einer beliebig vorgegebenen endlichen geordneten Menge von Ordnungszahlen entweder eine Ordnungszahl erzeugen oder unmöglich eine Ordnungszahl erzeugen können, so bilden in jedem Stadium der Symboleinführung diejenigen Zusammensetzungen der schon eingeführten Elementarsymbole, welche Ordnungszahlen repräsentieren, eine zählbare (und selbstverständlich auch abzählbar unendliche) Spezies, von der übrigens mehrere Elemente dieselbe Ordnungszahl repräsentieren können.
Hieraus folgern wir die Unmöglichkeit, ein System a von Zahlsymbolen und Verknüpfungssymbolen der angegebenen Art einzuführen, das die Darstellung aller Ordnungszahlen erlaubt. Nehmen wir nämlich einen Augenblick die Existenz eines diese Eigenschaft besitzenden Systems a an, zählen wir diejenigen durch a gelieferten endlichen Zusammensetzungen von Elementarsymbolen, welche nichtverschwindende Ordnungszahlen repräsentieren, als eine Fundamentalreihe ab und sei ß v die dabei der natürlichen Zahl v
CO
entsprechende Ordnungszahl. Alsdann kann die Ordnungszahl ß<o=2jßv
V = 1
keinem ß v gleich sein, womit wir zu einem Widerspruch gelangt sind.
In analoger Weise zeigt man, daß die Spezies O der Ordnungszahlen nicht aufzählbar ist. Andererseits kann man jeder endlichen Ordnungszahl

488
L. E. J. Brouwer. Intuitionistische Mathematik. III.
die entsprechende Nummer der Folge 'Ç und jeder unendlichen Ordnungszahl die Nummer 1 zuordnen. Bezeichnen wir also die Kardinalzahl von O mit o, so haben wir nebst der Beziehung o M a die Unmöglichkeit der Beziehung ago, mithin die Beziehung o>a, d. h. O ist von größerem Gewicht als A.
(Eingegangen am 28. 11. 1925.)
Berichtigung
zu dem Aufsatz von L. E. J. Brouwer: „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik. II" in Band 95, S. 453—472.
S. 470, Z. 4 v. u. statt „2 (z* — 1)" lies „2z v —1" (der Fehler ist nach der Druckfertigerklärung infolge eines Versehens der Geschäftsführung entstanden).

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen
Topologie.
Von
Paul Alexandrofï in Moskau.
In dieser Arbeit will ich zeigen, daß kompakte metrisierbare topo- logische Räume sich auf eine bestimmte Weise durch aus endlich-vielen Simplexen zusammengesetzte Gebilde (71-dimensionale Komplexe) approximieren lassen; daß, umgekehrt, jeder auf diese Weise approximierte Raum kompakt und metrisierbar ist; daß dabei ein ji-dimensionaler Raum 1 ) sich durch (im klassischen Sinne) n-dimensionale Komplexe approximieren läßt, und w- dimensional e Komplexe höchstens w-dimensionale Räume approximieren.
Die Kenntnis der Grundbegriffe der Dimensionstheorie 2 ) wird im folgenden vorausgesetzt.
I. it-dimension ale Komplexe.
1. Wir verstehen unter einem höchstens n-dimensionalen Komplexe ein (abstrakt gegebenes) endliches System von höchstens n - dimensionalen Simplexen, von denen je zwei entweder zueinander fremd sind, oder einen
') S. zur Orientierung in der allgemeinen Dimensionstheorie (außer der 1913 im Journ. f. Math. 142 erschienenen kurzen Brouwersehen Note, welche dieses Untersuchungsgebiet zuerst eröffnet hat):
Paul Urysohn, Les multiplicités Cantoriennes, Comptes Rendus de l'Ac. des Sc. de Paris 175 (septembre 1922); Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, Fund. Math. 7 und 8, sowie den Auszug aus der letzteren Arbeit, die demnächst in den Math. Annalen erscheint;
Karl Menger, Über die Dimension von Punktmengen, Monatshefte f. Math. u. Phys. 33 u. 34.
2 ) Siehe die Fußnote l ). Im folgenden werden insbesondere die Urysohnschen Arbeiten zitiert. Vor allem ist das Kapitel V des Urysohnschen „Mémoire ..für das Folgende von grundlegender Bedeutung.
Mathematische Annalen. 9ß. 32

490
P. Alexandroff.
aus einer gemeinsamen Seite 3 ) der beiden Simplexe bestehenden Durchschnitt besitzen. Falls dabei der eine Simplex p- und der andere q -dimensional ist (p < q), so kann der g-dimensionale Simplex den p- dimensional en als eine seiner Seiten enthalten.
Ein höchstens n-dimensionaler Komplex heißt n- dimensional, wenn unter seinen Simplexen wenigstens ein n-dimensionaler vorkommt.
Wir werden immer zu den den Komplex bildenden Simplexen auch alle ihre Seiten zählen, so daß, wenn ein Komplex
(1) $ = {S lt S 9 ,...,Sx}
vorliegt (wobei S 1} S<¡, ... , Si die den Komplex $ bildenden Simplexe sind), sich unter den Sj_, S 2 , • • Sx auch alle Seiten dieser Simplexe befinden. Diese Eigenschaft eines Komplexes dürfte als seine Vollständigkeit bezeichnet werden und wird im folgenden stets vorausgesetzt.
2. Es soll von Anfang an folgende Bemerkung gemacht werden. In der Topologie, ebenso wie in der elementaren Geometrie, ist ein n- dimensional er Simplex immer durch seine n -f- 1 Eckpunkte vollständig bestimmt, so daß zwei dieselben Eckpunkte besitzende Simplexe untereinander identisch sind.
Daraus folgt, daß der topologische Simplex nichts anderes als das System seiner n + 1 Eckpunkte ist, also eigentlich eine endliche Menge von Elementen feines bestimmten Elementenvorrates), die „Eckpunkte" heißen. Die Dimension des Simplexes ist einfach die um eine Einheit verminderte Kardinalzahl dieser Menge; die Seiten des Simplexes sind Teilmengen derselben endlichen Menge.
Wir können also folgende Definition aufstellen:
Es sei eine unendliche Menge W gegeben, deren Elemente Eckpunkte heißen sollen, und von der weiter nichts vorausgesetzt wird.
Eine aus n -j- 1 verschiedenen Elementen der Menge W bestehende Menge S heißt ein n-dimensionaler Simplex (n = 0,1,2,...); die echten Teilmengen der Menge S (die also r-dimensionale Simplexe sind, 0<¡?"<^?i— 1) heißen (die r-dimensionalen) Seiten des Simplexes S. Der Simplex S selbst kann auch als seine uneigentliche (n-dimensionale) Seite betrachtet werden.
Der Simplex S heißt größer als T , falls T eine Seite von S ist.
Zwei Simplexe heißen benachbart, falls sie (als endliche Mengen betrachtet) einen nichtleeren Durchschnitt haben. Dieser Durchschnitt ist dann stets eine gemeinsame Seite der beiden Simplexe.
Eine endliche Menge von höchstens w-dimensionalen Simplexen, unter
3 ) Dabei ist unter einer 0-dimensionalen Seite ein Eckpunkt zu verstehen.

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 491
denen wenigstens ein n-dimensionaler vorkommt, heißt ein n-dimensionaler Komplex; diese Simplexe selbst und ihre Seiten heißen Elemente des Komplexes 4 ).
II. Ein einleitendes elementares Beispiel.
3. Es sei R eine Kreislinie. Wir teilen R in 2 m+1 (gleiche) Bögen und nennen den, aus diesen Bögen (und ihren Endpunkten) gebildeten, geometrisch vorliegenden, eindimensionalen Komplex. Jeder Punkt xcR ist entweder nur in einem Bogen aus enthalten, oder es ist x der gemeinsame Endpunkt zweier Bögen.
Indem wir durch $î m den zu ÍI,* dualen Komplex 5 ) bezeichnen, entspricht jedem Punkte x<=R entweder ein einziges 0- dimensionales Element von $ m , oder zwei zu einem und demselben 1-dimensionalen Elemente gehörende 0-dimensionale Elemente, und dann dieses 1 - dimensionale Element selbst.
Jedem Punkte xcR entspricht jedenfalls ein einziges Maximalelement von ( d. h. ein in keinem größeren, dem Punkte x entsprechenden Elemente enthaltenes Element), und dann entsprechen dem Punkte x auch alle (höchstens 2) Seiten dieses Maximalelementes.
Da dies für jedes m gilt, so enspricht jedem Punkte xcR eindeutig eine Kette
,if' ^2,»*' • • •>
wobei S .x das einzige, dem Punkte x entsprechende Maximalelement ans ist.
4. Nun müssen wir genauer einsehen, was eigentlich eine Kette ist.
Verschiedene Komplexe (m = 1, 2, 3, ...) werden untereinander
dadurch verbunden, daß gewisse Systeme von Simplexen, die zu verschiedenen gehören, wenigstens einem Punkte xa R gleichzeitig entsprechen (dabei jedoch nicht notwendig als Maximalelemente). Falls wir durch S m , im irgendein Element des Komplexes Îï m und durch das be-
4 ) Es sei an dieser Stelle bemerkt, daß die ganze kombinatorische Topologie sich auf diesen Boden übertragen läßt. Der Ansatz dazu ist in meiner Arbeit „ Zur Begründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie (Math. Ann. 94, S. 296) gegeben.
Ich möchte noch besonders betonen, daß dieser Standpunkt überhaupt erst dadurch ermöglicht ist, daß Brouwer zum ersten Male die Mannigfaltigkeitstopologie auf den Begriff des Simplexes gestützt hatte (Math. Ann. 70, 71, 72).
5 ) Der aus S } * dadurch entsteht, daß man jedes 0- dimensionale Element von S'm durch ein 1 - dimensionales ersetzt und umgekehrt.
32*

492
P. Alexandroff.
treffende Element von £* ( bezeichnen, nennen wir ein System von (0-oder
1 - dimensionalen) Elementen
(3 0 ) [Äi t<1 , S$ t ¿ u , ..i m ]
ausgezeichnet, falls alle diese Elemente gleichzeitig einem Punkte x<=R entsprechen (d. h. einfach, falls der Durchschnitt aller Simplexe S* io S*i■■■, S*, im nicht leer ist).
Eine Folge von der Gestalt
(4Q) $2,¿ 2 I • • •> • • •
soll dann ausgezeichnet heißen, wenn jeder ihrer Abschnitte [iS^, $2,i 25 • • •, S m , i,„ ] ausgezeichnet ist.
Eine Kette ist dann nichts anderes als eine ausgezeichnete Folge, die ihre Eigenschaft, ausgezeichnet zu sein, verliert, wenn man irgendeins ihrer Elemente durch ein größeres ( also ein 0 - dimensionales Element durch ein eindimensionales) ersetzt.
Wir haben gesehen, daß zu jedem Punkte xczR eine einzige Kette (4 0 ) gehört, und dann ist x der einzige, in allen Simplexen S* iim enthaltene Punkt.
Aber auch umgekehrt bestimmt vermöge letzterer Vorschrift jede Kette einen einzigen (zu allen S*, im gehörenden) Punkt x<= R.
Zwei Ketten, ( 4 0 ) und
(5 0 ) $1,7!) • • •» ■ ■ •
sind verschieden, falls wenigstens für ein m S m j m von S m , ,- m verschieden ist. Dann sind aber auch die entsprechenden Punkte x und y verschieden, und folglich sind von einem bestimmten m an die beiden Simplexe und Sm : j m nicht nur verschieden, sondern auch zueinander fremd.
Zwei verschiedene Ketten (4 0 ) und (5 0 ) können also nicht unendlich viele benachbarte Elemente und S m j,„ enthalten, d. h. die Bedingung 4° des § 7 ist erfüllt.
Offenbar sind auch die Bedingungen I o , 2°, 3° des § 6 erfüllt. 5. Wir betrachten jetzt folgendes, die Kreislinie als topologischen Raum definierendes Umgebungssystem.
Falls x ein gemeinsamer Endpunkt zweier Bögen des Komplexes $,* ist, so erklären wir als die m-te Umgebung U m (x ) des Punktes x die Menge aller Punkte der beiden in x anstoßenden Bögen von S',*, mit Ausnahme der beiden von x verschiedenen Endpunkte dieser Bögen.
Falls aber x nur zu einem Bogen des Komplexes gehört, so soll TJ m {x) aus allen inneren Punkten dieses Bogens bestehen.
Auf diese (übrigens einzig denkbare) Weise wird für jeden Punkt x und jedes m eine U m {x) bestimmt.

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.
493
Es sei nun
17!, i,,, > • •
die dem Punkte x entsprechende Kette und y irgendein anderer Punkt der Kreislinie R. Wenn man durch
die dem Punkte y entsprechende Kette bezeichnet, sieht man sofort ein, daß y dann und nur dann zu U m (x) gehört, wenn S 1 j i , S %J ^, ..., S m .j„, bzw. in S lt i„ /Si.i,, ..., S m ,i m enthalten sind.
Es gilt also folgende Regel:
Die m-te Umgebung des Punktes x besteht aus denjenigen Punkten, deren entsprechende Ketten als ihre ersten m- Elemente (echte oder unechte) Teilelemente der betreffenden Elemente der zu x gehörigen Kette haben.
Auf diese Weise wird unsere Kreislinie wirklich durch die Folge (2 0 ) als topologischer Raum definiert. Die „topologische Approximation" der Kreislinie durch die Komplexe (2 0 ) erhält dadurch einen ganz präzisen und mit unsrer Anschauung vollkommen übereinstimmenden Sinn. Wir wollen nun zeigen, daß dieser Sinn auch für beliebige kompakte metrisier- bare Räume derselbe bleibt.
III. Der allgemeine Begriff der topologischen Approximation.
6. Definition I. Eine abzählbare Folge von Komplexen
wird zu einem Spektrum, sobald ein Gesetz gegeben ist, welches gewisse, zu verschiedenen gehörige Elemente zu ausgezeichneten Systemen, die auch Gruppen heißen sollen, derart zuordnet, daß dabei folgende Bedingungen zur Geltung gebracht werden:
I o . Jede Gruppe 6 ) hat die Gestalt (3) S m , (,„]•
2°. Jeder Abschnitt einer Gruppe (3) (d. h. jedes System [Ä aiil ,..., wo m' < m ist) ist wiederum eine Gruppe, und umgekehrt ist jedes Element S m ,i„, wenigstens in einer Gruppe, und jede Gruppe als Abschnitt in einer anderen Gruppe enthalten.
3°. Jedes ausgezeichnete System bleibt ausgezeichnet, falls man in ihm irgendein Element durch ein Teilelement (= eine Seite) ersetzt.
Definition II. Ein Spektrum heißt endlich- und zwar n-dimen- sional, wenn alle Komplexe aus denen es besteht, n- dimensional sind.
m,im > ■ •
(2)
e ) E b sei nochmals bemerkt, daß in dieser Arbeit die Ausdrücke „Gruppe" und „ausgezeichnetes System" gleichbedeutend sind.

494 P. Alexandroff.
Ein Spektrum heißt unendlich dimensional, falls die Dimension von mit m unbegrenzt wächst.
7. Es sei ein Spektrum (2) gegeben.
Definition III. Eine unendliche Folge von Elementen
(^0 ,¿i> ^2,i 2 > • • •' • • •
soll ausgezeichnet heißen, falls jeder ihrer Abschnitte [, So;,,..., ausgezeichnet ist.
Definition IV. Eine ausgezeichnete Folge heißt eine Kette, wenn ihre Eigenschaft, ausgezeichnet zu sein, verloren geht, sobald man irgend- eins ihrer Elemente durch ein größeres Element ersetzt.
Definition V. Ein Spektrum soll ein approximierendes Spektrum heißen, wenn es folgende weitere Bedingung erfüllt:
4°. Zwei verschiedene Ketten
(4) ^liii ' ,ii> • • •; • ■ •
und
( "- 1 ) S hjl , . . ., $m,j m , • • •
können höchstens endlichviele benachbarte Elemente S m¡im und S m j m enthalten.
(Zwei Ketten heißen dabei verschieden, falls wenigstens ein Element S m ,i m der einen von dem entsprechenden Elemente 8 m j m der anderen Kette verschieden ist.)
8. Unter den Voraussetzungen I o bis 4° soll ein approximierendes Spektrum den („durch dieses Spektrum approximierten ") Raum R in eindeutiger Weise folgendermaßen bestimmen:
Jede Kette (4) des Spektrums soll „Punkt des Raumes R" heißen,
) X — , $2, j • • • , S m , i m ; • • •) '
der Simplex S m , i m soll die m-te Koordinate des Punktes x heißen, und die m-te Umgebung des Punktes x soll aus allen denjenigen Punkten
( 7 ) y =(s ii, St.jt» ■■■, s m , jm ,...)
bestehen, deren sämtliche ersten m Koordinaten in den entsprechenden Koordinaten des Punktes x enthalten 0 a ) sind:
(8) Sjc,j k Sjc.ib, für alle k <^m .
"*) Der Leser sei nochmals darauf aufmerksam gemacht, daß eine Koordinate ein Simplex, und ein Simplex eine endliche Menge ist. — Es sei noch endlich die selbstverständliche Bemerkung gemacht, daß zwei verschiedene Ketten als verschiedene Punkte des Raumes R betrachtet werden.

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.
495
9. Es besteht
IV. Der Hauptsatz.
Jeder durch ein (approximierendes) Spektrum definierte Raum ist ein kompakter metrisierbarer topologischer Raum. Umgekehrt kann jeder kompakte metrisierbare Raum durch ein Spektrum approximiert werden ; dabei ist die Dimension des Raumes der kleinsten Zahl (n oder oo) gleich, die als Dimensionszahl eines diesen Raum definierenden Spektrums vorkommt.
Beweis. Vorbemerkung. Wir machen zuerst noch einen rein terminologischen Schritt in der Definition des Simplexes weiter: Im § 2 haben wir betont, daß wir keine Voraussetzung über die Natur der Elemente der Menge W machen; da aber für unsere Zwecke genügt diese Menge als eine abzählbare Menge vorauszusetzen, so treffen wir von jetzt an die Verabredung, W sei die Menge aller natürlichen Zahlen. Ein w-dimen- sionaler Simplex wird dadurch zu einer, aus n -|- 1 verschiedenen natürlichen Zahlen bestehenden, Menge ').
10. Zuerst beweisen wir, daß unser durch das Spektrum (2) definierter Raum R ein topologischer Raum ist.
A 8 ). Jeder Punkt x hat wenigstens eine Umgebung (in unserem Falle sogar abzählbar viele Umgebungen) und ist in jeder seiner Umgebungen enthalten.
B. Es sei U p (x) die p- te und U q (x) die q- te (p <^g) Umgebung des Punktes x. Dann ist offenbar U p (x)-U J (x) = U q (x).
C. Es sei der Punkt
(^ ) y = [ß uil , s«,j 2 ,..., S m j m ,... i
in U m (x ) enthalten, wobei
( ^ ) X = (S± , , S 2 , in ) ' S-fll, i ln , . . . )
ist. Dann gelten die Inklusionen (8) Sjc,j k C : S]e ,i k , für alle k <Lm .
Ealls nun z ein Punkt von U m (y ) ist, wobei
( 9 ) Z = ( S± l ji 1 , S 2, Aj , • • • > S m • • • ) )
so ist
Sic,h/c c: (k = 1 ,2,..., m),
7 ) Es braucht kaum erwähnt zu werden, daß diese Verabredung nur aus Bequemlichkeitsgründen getroffen und keineswegs wesentlich ist; übrigens berührt sie auch gar nicht die Allgemeinheit unserer Überlegungen.
8 ) A, B, C, D sind die bekannten vier Hausdorffschen Axiome des topologischen Raumes bzw. die Beweise ihrer Geltung im Räume B.

496 P. Alexandroff.
also zufolge (8)
^k,hk £>k,ik (^ = 1j 2, Wl),
was nichts anderes als zczJJ m (x) bedeutet. Da z ein beliebiger Punkt von u m (y) war = so ist u m (y)^ u m (x).
D. Es seien x und y ((6) und (7)) zwei beliebige (verschiedene) Punkte von R. Dann sind die Ketten (6) und (7) verschieden. Es gibt also (zufolge der Voraussetzung 4° des § 7) ein erstes derartiges m, daß S/c,i k ur| d S¡c,j k nicht benachbart sind, sobald 1c7>m ist.
Ich behaupte nun, daß U m (x)'U m {y) = 0 ist. Es sei, entgegen der Annahme, z ein (durch (9) gegebener) Punkt von U m (x)-U m (y). Dann ist, u. a.,
£>m,h m 'S«,»,,, Und c S mt j m ,
was der Definition der Zahl m widerspricht.
Die Umgebungen U m (x) genügen also den vier Hausdorffschen Axiomen A, B, C, D, was beweist, daß R ein topologischer Raum ist.
Bemerkung. Um dieses letztere Ergebnis zu erhalten, würde es genügen, die Voraussetzung 4° des § 7 durch eine viel schwächere zu ersetzen, nämlich:
Falls für jedes m S m ,• S m ,/„,=)= 0, so sind die Ketten (3) und (5) identisch.
Die Notwendigkeit der Voraussetzung 4° in der ursprünglichen Gestalt wird sich aber bald erweisen.
11. R ist kompakt. Es sei in der Tat
(10) M — {x,.} (v = 1, 2, ... in infinitum) eine abzählbare, in R gelegene Menge, wobei für jedes v
(11) x, = {8 lt ¡ m , s 2t <<v> ,..., s mi .m ,
ist.
Da ¿i 1 À 1 ist (vgl. (2)), so gibt es wenigstens eine natürliche Zahl ^ a 1 von der Beschaffenheit, daß für unendlich viele Werte von v
(is,)
ist, und dann ist [S 1;i o] eine Gruppe. ([<S l f o] bedeutet dabei die aus dem einzigen Elemente S lyi o bestehende Menge.)
Es sei jetzt vorausgesetzt, daß wir eine Gruppe
1 2 tu
von der Art bereits konstruiert haben, daß unendlich viele Werte von v existieren, für die gleichzeitig
/19 \ „•(»') • 0 -M -0
l *-"m) l l — ) • • •! l m —

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.
497
ist. Das heißt, daß es unter den Punkten (11) unendlich viele gibt, deren erste m Koordinaten der Reihe nach
( l3 m) S lti 0, 8 a>i 0, ..., S m¡i O
sind. Da nun die (ra-(-l)-te Koordinate nur endlich viele Werte annehmen kann, so existiert ein bestimmtes ¿,° + 1 von der Art, daß es (unter denjenigen x v , deren erste m Koordinaten der Reihe nach die Werte ( 13 )j; )
haben) unendlich viele Punkte gibt, die den Simplex S m + 1 o als ihre
~ l m+i
(»i + l)-te Koordinate haben. In dieser Weise erhalten wir eine Folge ' 4<>) ^1, ¿° > $2, t? ' • • • > i° . • "i
1 2 771
die u. a. die Eigenschaft hat, daß für beliebiges m die Menge der ersten m Elemente von (4 0 ) eine Gruppe ist. (4 0 ) ist also eine ausgezeichnete Folge. Falls überdies (4 0 ) eine Kette ist, so ist unsere Konstruktion beendigt. Falls nicht, unterziehen wir (4 0 ) folgender Transformation. Wir ersetzen, wenn dies möglich ist, ohne daß die Eigenschaft der Folge (4 0 ), ausgezeichnet zu sein dabei leide, >S 1-( o durch ein größeres Element 8 l möglichst hoher Dimension und lassen alle anderen Elemente von (4 0 ) ruhig auf ihren Plätzen stehen. Dadurch wird (4 0 ) in eine Folge (4 X ) verwandelt, deren Elemente S m i i heißen sollen (ra = 1,2,..., in inf.). (4j) ist dann wieder eine ausgezeichnete Folge.
Es sei die ausgezeichnete, aus den Elementen S m ,r bestehende
m
Folge (4 r ) bereits konstruiert. Wir untersuchen das Element $ r+1 { r und ersetzen, falls dabei der ausgezeichnete Charakter von (4 ) nicht zerstört wird, dieses Element durch ein größeres, möglichst hoher Dimension. Falls letzteres aber unmöglich ist, lassen wir $ r+] unver-
' T-\-1
ändert. Alle übrigen Elemente von (4 ; .) lassen wir jedenfalls unverändert. Die durch dieses Verfahren entstandene Folge ist ausgezeichnet und soll (4 r+t ) heißen; ihre Elemente werden dementsprechend durch „•'■+1 bezeichnet.
m ' m
In dieser Weise entsteht für jedes r die ausgezeichnete Folge (4.), wobei
(14) S r i r = Ä r i r+i = S r i r+-i = ... in inf.
ist.
Wir setzen jetzt für jedes m
 • m
Im — ^rti
und erhalten so die (auf Grund der Identitäten ( 14)) ausgezeichnete Folge
( ^ ) , ii J $2, i» 3 • • • 5 , im J • • • •

498
P. Alexandroff.
Ich behaupte nun, daß letztere Folge eine Kette ist.
In der Tat, wenn dies nicht der Fall wäre, so könnte man in (4) ein bestimmtes Element S m „• durch ein größeres Element /SL . ' ersetzen,
' m m
so daß dadurch die ausgezeichnete Folge
(4) ,¿ a ' S 3Í S mí ...
entsteht. Dann wäre aber auch die Folge ( 4 m) S l,i™> S 2 •••> S m,i4»
ausgezeichnet, und das Element S m i m wäre falsch gewählt.
Die Ketteneigenschaft der Folge (4) und die Existenz des Punktes
(^) ^ = (Äl.iji $2,i 2 i • • • 9 ' ' *)
ist hiermit bewiesen.
Nun haben wir bereits gesehen, daß es für jedes to unendlich viele Punkte a; v (siehe (11)) gibt, die gleichzeitig den Inklusionen
i= iS 2ji n
genügen.
Das bedeutet aber, daß a; ein Häufungspunkt der Menge (11) ist.
Die Kompaktheit des Raumes i? ist hiermit bewiesen.
Um jetzt zu zeigen, daß i? nicht nur kompakt, sondern auch metri- sierbar ist, genügt es, einem bekannten Urysohnschen Metrisationssatze gemäß, die Geltung des II. Abzählbarkeitsaxioms in R zu beweisen. Zu diesem Zwecke betrachten wir einen beliebigen, durch (6) gegebenen Punkt X des Raumes R und eine beliebige Umgebung U m (x) dieses Punktes.
U m (x) ist die Menge derjenigen Punkte von R , deren erste m Koordinaten der Reihe nach in S it S miim enthalten sind. Jede U m ( X) ist folglich durch die Kenntnis der natürlichen Zahlen i 1 , i„, ..., i m in der hier gegebenen Reihenfolge vollständig bestimmt. Da es aber nur abzählbar viele endliche Folgen natürlicher Zahlen gibt, so ist auch die Menge aller verschiedenen U m (x) abzählbar, womit die Metrisierbarkeit des Raumes R bewiesen ist.
Von jetzt an sei R als ein kompakter metrischer Raum gedacht.
12. Wir untersuchen zuerst den Fall, wo das Spektrum (2) endlich — und zwar n- dimensional ist, und beweisen, daß dann auch R höchstens

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 499
von der Dimension n ist. Der Beweis stützt sich auf einen von Urysohn herrührenden dimensionstheoretischen Fundamentalsatz.
Um diesen Satz bequem formulieren zu können, führen wir folgende Hilfsdefinition ein.
Es sei e eine beliebige positive und p eine natürliche Zahl. Ein endliches System von in einem metrischen Räume R gelegenen, abgeschlossenen Mengen
FF F
1 ' 2 ' ' x s
soll eine (e, p) - Überdeckung des Raumes R heißen, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
S
a) Die Vereinigungsmenge F i ist mit dem ganzen Räume R identisch;
i= 1
b) die Durchmesser ô (F { ) der Mengen F { (¿ = 1,2,...,«) sind sämtlich < e ;
c) es gibt keinen Punkt des Raumes R, der mehr als p unter den Mengen F i angehört.
Dann lautet der Urysohnsche Fundamentalsatz 9 ) folgendermaßen :
Damit ein kompakter metrischer Raum R die endliche Dimension n hat, ist notwendig und hinreichend, daß es für jedes e > 0 eine (e,« + l)- Überdeckung des Raumes R gibt, für ein hinreichend kleines e dagegen keine (e, n) - Überdeckung.
Wir müssen also jetzt beweisen, daß es für unseren, durch das ti - dimensionale Spektrum (2) definierten kompakten metrischen Raum R stets eine (e. n + 1)-Überdeckung gibt und zwar für jedes noch so kleine
•e > 0.
Wir bezeichnen zu diesem Zwecke durch F m ¿ die Menge aller Punkte von R, deren m-te Koordinate den Simplex 8 mi enthält, und beweisen zuerst, daß F m i stets eine abgeschlossene Menge ist. Es sei in der Tat
(6) X = t i 1 , $2 ,i 2 , . . .. S m , i, n , • • •)
ein Häufungspunkt der Menge F m i . Die Umgebung U m (x) enthält Punkte von F tni , was u.a. bedeutet, daß S m t im die m-te Koordinate wenigstens eines, der Menge F m i angehörenden Punktes enthält, woraus, vermöge der Definition von F mti , die Inklusion S m , im => S m ,i folgt, die eben aussagt, daß X ein Punkt von F m ¿ ist.
9 ) Urysohn, „Mémoire . . ." Kap. V (Fund. Math. 8, S. 301).

500
P. Alexandroff.
Jetzt beweisen wir weiter, daß für jedes e > 0 eine derartige natürliche Zahl m r existiert, daß die Ungleichung
( 15 ) HF m ,ù<e
für alle m m e gilt.
Es sei in der Tat letztere Behauptung falsch. Dann gibt es ein a > 0 und unendlich viele Mengen
(16) Fm,, j>] ) •••; F mkt p k , . . .
für die sämtlich <5 a ausfällt.
Es seien nun für jedes k x k und y k zwei zu F m/t¡Pl . gehörende Punkte, deren Entfernung u ist. Indem man, wenn nötig, die Folge (16) durch eine Teilfolge ersetzt, darf man voraussetzen, daß die x k bzw. y k gegen x bzw. y konvergieren, wobei
( 6 ) x = (Si )il , S 2 , ü _, ...)
und
y = j'i' • • ') 8m,jm> • • •)
zwei Punkte des Raumes R sind, deren Entfernung mindestens a beträgt, die also sicher verschieden sind.
Nun wollen wir zeigen, daß im Widerspruche mit der Voraussetzung 4° des § 7 die beiden Inklusionen
O 7) ^mk, Vk t= ^vik , i mk > Vk c $mk, j m/ .
für jedes k gelten.
Es sei in der Tat k beliebig gewählt.
Indem wir die m-te Koordinate von x bzw. « durch S .r bzw. S m .r bezeichnen, wählen wir r so groß, daß
(18) x r <= U mk (x ) und y r c TJ mk (y) ist und also die Inklusionen
(19) S .r C 8 . , S .r cz s .
K ' m k ' l m k m k-hnk m k'1m k m h^m k gelten.
Da nach der Definition von x r und y r
(20) S .r => S und S .r => S ,
K ' m k> x mk mk,Pk m k')m k mktPit'
so ist a fortiori die Inklusion (17) richtig.
Die Relation (15) ist hiermit bewiesen.
Wir bezeichnen jetzt durch
(21) 0?,

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.
501
diejenigen unter den Mengen F m i# welche O-dimensionalen Elementen S ,• des Komplexes entsprechen, und beweisen, daß sie (für m ^ m t ) eine (e, n + 1)-Uberdeckung des Raumes R bilden. Dazu zeigen wir erstens, daß (für jedes m, ) der Raum in der Vereinigungsmenge der Mengen (21) enthalten ist, zweitens, daß es keinen Punkt xcz R gibt, der zu mehr als Ti+l Mengen des Systems (21) gehört.
Wir fangen mit dem Beweise der letzten Behauptung an. Falls der Punkt
( t> ) X ( S 1 ¡ S-2, • . ■ , Sm,im> • • • )
zu mindestens n + 2 verschiedenen Mengen <Z>" 1 gehörte, so würde die m-te Koordinate von x, d. h. der Simplex S m¡ím , die entsprechenden null- dimensionalen Elemente S Mi i, also mindestens n- (-2 verschiedene Eckpunkte enthalten, d. h. von der Dimension n + 1 sein. Das widerspricht aber unserer Voraussetzung.
Die erste Behauptung, d. h. die Identität
v m
(22) R = 2<-K>
1= 1
folgt einfach daraus, daß jeder Punkt (6) des Raumes R in der entsprechenden Menge und also a fortiori in jeder einem Eckpunkte von S m¡ i m entsprechenden Menge 'P™ enthalten ist.
Der Beweis der Tatsache dim R <^n ist hiermit erbracht.
13. Es sei jetzt G ein w-dimensionaler kompakter metrischer Raum. Um zu zeigen, daß G sich durch ein n- dimensionales Spektrum approximieren läßt, betrachten wir eine gegen Null konvergierende Folge positiver Zahlen s m , die alle klein genug sind um die Existenz einer (e m , w)-Über- deckung des Raumes G auszuschließen. Wir wählen alsdann für jedes m eine bestimmte (e m , n + 1)-Überdeckung
(23) <5f, &Z ,
und konstruieren einen n-dimensionalen Komplex folgendermaßen:
Ein Simplex S = (s v s 2 ,.. .,«,.), wo s 1 , s 2 ,.. ,,s r beliebige (verschiedene) natürliche Zahlen sind, soll dann und nur dann dem Komplex angehören, falls die Menge
(24) <i>z- .... = $? S]
nicht leer ist (dabei wird für s > v m definitionsgemäß C P™ leer vorausgesetzt). Es ist unmittelbar klar, daß mit dem Simplex S auch jeder Teilsimplex von S dem Komplex angehört, daß also die in § 1 ausgesprochene Vollständigkeitsbedingung erfüllt.

502
P. Alexandroff.
14. Die Folge der in dieser Weise definierten, offenbar n-dimensionalen, Komplexe wird zu einem w-dimensionalen Spektrum, indem man folgende Verabredung trifft.
Es seien
( 25 ) $m,l j ^m, 2 ! ■ • • ? $m, A„,
die Elemente von (m = 1,2,... in inf.). Wir sagen dann, daß das Elementensystem
(26) [S hil , S 2 ,
eine Gruppe ist, falls
(27) + 0 ist.
Zuerst ist, zufolge (24), <= > sobald S=>S* ist, woraus folgt, daß die Bedingung (27) erfüllt bleibt, falls man irgendeins der Elemente S k< i k (/c <Lm) durch Teilelemente ersetzt. Also ist die Voraussetzung 3° des § 6 erfüllt.
Die zweite Hälfte der Voraussetzung 2° folgt daraus, daß keine der Mengen (s <1 v m ) leer ist. Das Erfülltsein der Voraussetzung I o und der ersten Hälfte der Voraussetzung 2° bedarf keines Beweises.
Bleibt nur übrig die Voraussetzung 4° des § 7 zu verifizieren, und das geschieht wie folgt. Es sei eine ausgezeichnete Folge
(28) - • •) 8m,im> ■ • - gegeben. Zuerst behaupte ich, daß die Durchschnittsmenge
(29) I[$ IS ,
m, l m - m—i
einen und nur einen Punkt Xi ít j mj ... enthält.
In der Tat, da (28) eine ausgezeichnete Folge ist, so ist keine von
m
den abgeschlossenen Mengen F m = // ( i\s k ik ] leer, also ist, da F m => F m +1
der Durchschnitt aller F m , der ja mit (29) übereinstimmt, nach dem in jedem kompakten Räume gültigen Cantorschen Durchnittsatze ebenfalls nicht leer. Die Menge (29) kann aber unmöglich mehr als einen Punkt enthalten, da <5(0"'), also a fortiori ô ( ¿j), a l so a fortiori d[F m )
mit — unendlich klein wird.
m
Es seien jetzt (28) und (30) S% t j 1 , So, jzj • • •> S m< j m , ...
zwei „benachbarte" ausgezeichnete Folgen (d. h. es seien unendlich viele Elemente S mk ,i k und S m j k (¿=1,2,3,...) benachbart).

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 503
Falls
ik ' & m/¡ , jk = £*mki l>k
ist, so ist, nach (24)
( 3I ) = r/j ['V, ú- ] + 0iS m k , «1
Da aber ô(& [Sm/ 7¡/ i) mit ~ gegen Null strebt, so ist zufolge (31)
auch
lim ô ( (Pis • i "l - • j) = 0 .
7 v l °Wfc> %k* ?A J/
K->CO
Die beiden Punkte und ... gehören aber zu
jeder der Mengen
.!+<?[« .i (¿=1 ,2,... in inf.).
1,5 »ía, ¿A j 1 i/.- \ » > /»
sie sind also notwendig identisch:
(31*) x = x ii, h im, •
Nachdem dies bewiesen ist, setzen wir voraus, daß die benachbarten ausgezeichneten Folgen (28) und (30) Ketten sind, und zeigen, daß sie dann notwendig identisch sind.
Im entgegengesetzten Falle würde es in der Tat wenigstens ein Paar verschiedener Elemente S miim und 8 m j,„ geben. Da die Elemente S m , und S m .j m verschieden sind, so gehört wenigstens ein Eckpunkt des einen dieser Elemente nicht dem andern an, und also ist die Kardinalzahl der Menge S m ,i m + S m ,j, n größer als die Kardinalzahl jeder von den Mengen S m , im und S m . jm .
Wir bezeichnen nun die natürlichen Zahlen, aus denen S m ,i m bzw. 8 m ,j m be st eht, du rch r 1 , r 2 , ..., r p bzw. ^ , i 2 ,..., t q ; es seien außerdem s 1 , s 2 ,..., s r alle verschiedenen unter den Zahlen r 1 , r 2 , ..., r , t t , i 2 , ..., t q .
Dann ist zufolge (24) und (29)
x = x- ■ • <=cp m .cß m . .0 1 ' 1
^ »t 2 » •••» t*> •••— T 1 ••• Tp
und
xz=x . <= çp™ .
^ X Jl> Ii, ■■■, 1k, ■■■ ^¡1 t q'>
also
(32) *= K-K- ••• -K-
Die Menge der natürlichen Zahlen s 1 ,s 2 ,...,s r ist also ein zum Komplex gehörender Simplex S m , hm , und zwar enthält S m , die beiden Simplexe S m , ¿ m und S m j m als echte Teilmengen.
Die Folge
( 33) Sl : , S 2, i 2 , ■ ■ • ) Sm— 1, im- j ' I I'm ' im + i> ' ' •

504
P. Alexandroff.
ist also, zufolge den Relationen
* = <*.- = •• •
(k=l, 2,...) und der mit (32) identischen Inklusion
X <= 0rg ]
'°m, fi/H '
eine ausgezeichnete Folge, was mit der Ketteneigenschaft von (28) im Widerspruch steht.
15. Das im § 14 konstruierte Spektrum definiert also einen Raumiü, und es bleibt uns nur übrig die topologische Identität zwischen R und C zu beweisen.
Dies geschieht wie folgt.
Wir haben im § 14 bewiesen, daß jeder ausgezeichneten Folge (28)
in eindeutiger Weise ein Punkt x iuii i k ,... von G entspricht. Das gilt
also insbesondere für jede Kette. Letzteres heißt aber, daß jedem Punkte des Raumes R ein einziger Punkt von G entspricht. Wir beweisen nun zuerst, daß diese Beziehimg zwischen R und G eine eineindeutige ist.
Es sei in der Tat x ein beliebiger Punkt von G. Wir betrachten alle diejenigen unter den Mengen ( I> m , es seien & m x , 0 m x , ..., 0 m x > die den
* 4 1 \ x
Punkt# enthalten; der Simplex {i'f ; ^ ¿ * } ist dann ein bestimmter Simplex S m .i m des Komplexes Sï m . Man sieht leicht ein, daß
( ) ^1. ¿1 3 $2 , i 2 > • • ■ 5 im 5 • • •
eine Kette ist, und daß der Punkt x mit dem durch die Kette (28) nach
der Vorschrift des §14 definierten Punkte x^ _ i k ,... (=dem einzigen
Punkte der Menge (29)) identisch ist.
Daß ein Punkt x in dieser Weise unmöglich zwei verschiedenen Ketten (28) und (30) entsprechen kann, beweist man leicht, indem man das von der Relation (31*) zur Folge (33) führende Raisonnement des vorigen Paragraphen wörtlich wiederholt. (Die Relation (31*) ergibt sich
daraus, daß der Punkt x selbst als ein mit ... und iti ...
gleichzeitig identischer Punkt vorausgesetzt war).
16. Nachdem die eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten von R und G festgestellt ist, kann man einfach die Punkte von R mit den entsprechenden Punkten von G identifizieren; dann haben also die beiden Räume R und C denselben Punktvorrat. Um jetzt die Homöomorphie der beiden Räume R und C zu beweisen bleibt nur übrig zu zeigen, daß das (durch das Spektrum definierte) Umgebungssystem von R mit dem System aller sphärischen Umgebungen von G gleichwertig ist.

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 505
Um letzteres Ziel zu erreichen genügt es die folgenden zwei Tatsachen zu verifizieren:
I. Jede Umgebung U m {x) (siehe §§ 8 u. 10) ist ein Gebiet (=eine offene Menge) rel C.
II. Für ein beliebiges e > 0 und einen beliebigen Punkt x gibt es eine U m (x ) von einem Durchmesser < e („Durchmesser" ist selbstverständlich in der Metrik von G zu verstehen.)
Ad I. Es sei
( 6 ) X = ($1 > , $2, ij , . . . , S m¡ i m , . . . )
ein beliebiger Punkt von ü! ~ G. Wir bezeichnen durch V m (x) die Menge aller Punkte, deren m-te Koordinate in S m¡im enthalten ist. Dann ist
m
u m( x ) = HV k (x), und es genügt zu zeigen, daß jedes V m (x) ein Gebiet
(rel G ) ist.
Es seien nun
(34) <5», <¡>1
alle diejenigen unter den Mengen (¿ ~ 1, 2, ..., v m , siehe § 13), die den Punkt x nicht enthalten, und W m (x) die Vereinigungsmenge aller Mengen (34). W m (x) ist eine abgeschlossene, den Punkt x nicht enthaltende Teilmenge von G. Die Behauptung I wird also bewiesen, wenn wir zeigen, daß
(35) V m {x) = C- W m (x) ist.
Es sei y ein Punkt von V m (x),
(7) y = l,fi> &2,h> •••> J •••)>
und es bestehe der Simplex S m ,j m aus den Zahlen si'", sl' n , s}'". Dann ist, da (7) eine Kette ist, y unter allen Mengen <5™ nur in den Mengen
(36) 0%, &4„, ..., <P'X
1 ¿ r
enthalten. Wir zeigen nun, daß jede der Mengen (36) auch den Punkt a: enthält. In der Tat ist 8 mtjm <=S m , im , also nach (24),
^ jjj
Da aber
< 37 ) *-*<,<. n*i Vi.]
m—l
ist, so ist a fortiori also x in jeder der Mengen (36) enthalten.
Mathematische Annalen. 96. 33

506
P. Alexandroff.
Wir haben also bewiesen, daß eine Menge den Punkt x enthält, sobald ihr y angehört. Das heißt aber, daß keine der Mengen (34) den Punkt y enthält, und also yczC— i®t.
Da y ein beliebiger Punkt von V m (x) war, so gilt die Inklusion
(38) V m (x)czC-W m {x).
Es sei jetzt z ein Punkt von G — V m {x)
(9) Z = ($i,¿ J , S 2, 7( 2 j •••, Sm,h m , •••)•
Wir wollen beweisen, daß z c=V m (x) ist, also daß
( 39 ) S m f ji m ci t i m
ist. Falls nun dies nicht richtig wäre. d. h. eine natürliche Zahl s vorhanden wäre, die wohl in S, Urllm , aber nicht in S m , enthalten ist, so würde das bedeuten, daß die Inklusion zcíf richtig, die Inklusion x <=■ dagegen falsch ist. würde also eine der Mengen (34) sein und z
würde in x l' m (x), also nicht in G — 'I' m {x) enthalten sein. Die Inklusion (39) und folglich die ganze Behauptung I ist hiermit bewiesen.
17. Ad II. Es seien xaC und e>0 beliebig, x dabei durch seine „Koordinatenentwicklung" (6) gegeben. Wir wählen m genügend groß um ô ( í>¿") < E für jedes i zu haben.
Nach den Entwicklungen des vorigen Paragraphen ist U m (») ^V m (x) = C- W m {x),
d. h. jeder Punkt y <= U m (x) gehört zu einer den Punkt x enthaltenden Menge Da ô(&™)<e ist, so folgt daraus, daß die Entfernung g (x, y)
für einen beliebigen Punkt y <=U m (x) weniger als e beträgt, also U m (x) in der sphärischen Umgebung S(x,e) enthalten ist, w. z. b. w.
18. Es sei jetzt C ein unendlich dimensionaler kompakter metrischer Raum.
Man kann für jedes e>0 eine natürliche Zahl n^ e) und eine (e, n (£ )j- Überdeckung folgendermaßen bestimmen. Man nimmt für jeden Punkt x des Raumes C eine Umgebung U(x ) vom Durchmesser < e und wählt zufolge dem Borel-Lebesgueschen Satze eine endliche Zahl v f: dieser Umgebungen aus, so daß ihre Vereinigungsmenge mit C identisch ist.
Es seien üx\ U^\ ■ ■ ., diese Umgebungen. Dann bilden die
Mengen
, <=w (i£ *<.>)
eine (e, » (£) )-Überdeckung, wobei n (f ) die Ordnung") des Systems aller

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 507
<£¿ £) , t ^ V( C ), d. h. die größte Anzahl einen und denselben Punkt enthaltender <p[ c) ist.
Wir lassen jetzt s eine gegen Null strebende Folge von Werten
£ 1> £ 0! • • • )
annehmen und wählen für jedes e eine Überdeckung
(23) {&?, '&?, ■ $Z} (wo v m = v Um) gesetzt ist)
von der soeben beschriebenen Art. Da C unendlich dimensional ist, so konvergiert n m = n Cm mit m notwendig gegen oo .
Von diesem Augenblick an geschieht die Konstruktion des, den Raum C approximierenden, Spektrums durch wörtliche Wiederholung der Uber- legungen der §§ 13 — 17. Das Spektrum ist unendlich dimensional, da
von der Dimension n m ist.
Der Hauptsatz ist bewiesen.
V. Schluß.
19. Jede topologische Eigenschaft eines kompakten metrischen Raumes läßt sich also immer in einer der folgenden Formen ausdrücken.
1. Der Raum kann durch wenigstens ein, gewissen Nebenbedingungen (die eben die in Frage stehende Eigenschaft charakterisieren) genügendes Spektrum approximiert werden.
2. Jedes den gegebenen Raum approximierende Spektrum genügt gewissen (soeben besprochenen) Nebenbedingungen.
Dabei ist aber zu bemerken, daß jede Nebenbedingung, der ein Spektrum genügen kann, nichts anderes ist, als eine Eigenschaft gewisser Anordnungen von Simplexen (also im letzten Grunde gewisser Anordnungen natürlicher Zahlen).
Die Anordnungen, die den Aufbau des Spektrums bestimmen und auf die es also allein ankommt, lassen sich in folgende drei Klassen teilen:
Anordnungen erster Art sind Anordnungen je endlich vieler „Eckpunkte" (= natürlicher Zahlen) zu einem Simplex. Sie besitzen nur eine Eigenschaft und das ist die Anzahl der natürlichen Zahlen (= der Eckpunkte), die notwendigerweise in jedem den gegebenen Raum definierenden Spektrum zu einem Simplex vereinigt werden müssen. Diese Eigenschaft ist nichts anderes als die Dimension des Raumes.
Anordnungen zweiter Art sind Anordnungen der Simplexe zu einem Komplex Die entsprechenden Eigenschaften des Raumes sind nichts anderes als Eigenschaften (rein kombinatorischer Natur), die möglicher-
33*

508
P. Alexandroff.
oder notwendigerweise den das Spektrum bildenden Komplexen zugeschrieben werden. Diese Eigenschaften des Raumes werden wir kombinatorische Eigenschaften nennen 10 ).
Anordnungen dritter Art sind Anordnungen endlich vieler, in verschiedenen Komplexen enthaltener Simplexe zu einem ^ausgezeichneten System.
Die diesen Anordnungen entsprechenden Eigenschaften des Raumes sind natürlich die kompliziertesten vom logischen Standpunkt aus: sie lassen sich nämlich nur selten in einer „reinen", d. h. von den Eigenschaften erster und zweiter Art unabhängigen Form darstellen. Übrigens scheint es, daß die Anordnungen dritter Art den Aufbau des Raumes im kleinen bestimmen, soweit das ohne Hinzunahme der Dimensionseigenschaft geschehen kann.
Wir wollen nun elementare Beispiele „reiner" Eigenschaften zweiter und dritter Art geben.
20. Ein Komplex ft heißt zusammenhängend, wenn er sich nicht in zwei zueinander fremde Komplexe zerlegen läßt. (Dabei heißt ein Komplex $ in zwei Komplexe ftj und ft„ zerlegt, falls jedes Element von ft ein Element von ft, oder ft 2 , und jedes Element von ft f (¿=1,2) ein Element von ft ist.)
Man beweist leicht, daß ein Komplex ft dann und nur dann zusammenhängend ist, falls je zwei Elemente von ft, S 0 und S p+1 durch eine (endliche) Folge der Reihe nach benachbarter Elemente von ft, etwa So, S 1} .S p , S p + 1 , verbunden werden können.
Es gelten folgende zwei Sätze:
I. Falls ein kompakter metrisierbarer topologischer Raum R zusammenhängend ist, so besteht jedes, diesen Raum approximierende Spektrum aus lauter zusammenhängenden Komplexen.
Es sei ein den Raum R approximierendes Spektrum:
(2) ft^ft,,...,®,,,, ...
gegeben und z. B. ft m nicht zusammenhängend, also
(24) ftm = ftm + ftm,
wobei ft¿, und ft„ zueinander fremd sind.
Es seien x (l>™ bzw. die den nulldimensionalen Elementen von
ftm bzw. ft^ entsprechenden abgeschlossenen Mengen (s. §12, (21)),
10 ) Die auf diese Arbeit unmittelbar folgende Abhandlung beschäftigt sich mit kombinatorischen Eigenschaften allgemeiner Kurven, d.h. eindimensionaler Kontinua.

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie.
500
und bzw. die Vereinigungsmenge aller Mengen , (fr™ bzw. ■//>/'" ■ Dann ist
(25) R = T? + TT .
Ich behaupte nun, daß die abgeschlossenen Mengen und 1 J T zueinander fremd sind. Falls in der Tat ein zu X I'™- X I J ™ gehörender Punkte- vorhanden wäre, so würde seine m-te Koordinate S m ,i m ein Element des Komplexes und gleichzeitig auch ein Element des Komplexes ^ enthalten. S m ,i m könnte also weder zu noch zu Sf,« gehören.
II. Wenn ein kompakter metrisierbarer Raum sich mittels eines aus lauter zusammenhängenden Komplexen bestehenden Spektrums approximieren läßt, so ist er zusammenhängend.
Der Beweis dieses Satzes ergibt sich sofort (unter Berücksichtigung der am Anfang dieses Paragraphen erwähnten notwendigen und hinreichenden Bedingung für den Zusammenhang eines Komplexes und der elementaren Eigenschaften der kompakten metrischen Bäume) aus einer Anwendung der Ungleichung ( 15) (und des diese Ungleichung enthaltenden Absatzes) des § 12.
Wir sehen also, daß die Eigenschaft eines kompakten metrisierbaren Raumes, zusammenhängend zu sein, eine kombinatorische Eigenschaft des Raumes ist, die sich dabei in jeder der Formen 1., 2. (§19) ausdrücken läßt.
21. Dagegen ist durch den Zusammenhang im Kleinen ein Beispiel einer Eigenschaft gegeben, die sich ausschließlich auf die Anordnungen dritter Art zurückführen läßt.
Um dies einzusehen, führen wir zuerst folgende Bezeichnung ein:
Es seien beliebig gegeben:
1. Ein approximierendes Spektrum (2),
2. ein nulldimensionales Element S m , im eines beliebigen, aber bestimmten Komplexes des Spektrums (2),
3. eine natürliche Zahl s > m.
Dann bezeichnen wir durch s den Komplex, der aus allen denjenigen Elementen von besteht, die zu wenigstens einer, das Element enthaltenden Gruppe gehören.
22. Man beweist jetzt leicht den folgenden Satz:
III. Damit der kompakte metrische Raum R im Kleinen zusammenhängend sei, ist notwendig und hinreichend, daß es ein den Raum R approximierendes Spektrum gibt, für welches alle Komplexe Q m ,i„, )S zusammenhängend sind.

510
P. Alexandroff.
Der Beweis läßt sich folgendermaßen skizzieren:
Zuerst beweist man, daß der Zusammenhang aller Q m ,i m ,s (m,i m fest, s > ra variabel) notwendig und hinreichend ist, damit die betreffende Menge (§12 (21)) zusammenhängend sei. Wenn aber alle Kon- tinua sind, so folgt der Zusammenhang im Kleinen des Raumes R sofort aus der Ungleichung (15) (§ 12) und einem bekannten Sierpiñskischen Satze 11 ).
Die Bedingung des Satzes III ist also hinreichend.
Um ihre Notwendigkeit einzusehen, beachte man zuerst, daß man für jeden im Kleinen zusammenhängenden n-dimensionalen kompakten metrischen Raum R und für jedes e > 0 eine (e,n - j- 1) Überdeckung finden kann, die aus lauter Kontinuen besteht 12 ). Daraus folgt aber leicht, daß man R durch ein Spektrum 13 ) approximieren kann, zu dem zusammenhängende Mengen und folglich zusammenhängende Komplexe Q m ,i,„, s gehören.
23. Aus dem letzteren Beispiele kann man die Wichtigkeit der Anordnungen dritter Art erkennen.
Übrigens kann man auch sehr leicht Räume angeben, die gleiche Dimension und dieselben kombinatorischen Eigenschaften haben (die sich nämlich durch aus denselben Komplexen bestehende Spektra approximieren lassen), trotzdem aber topologisch verschieden sind. Es genügt für den einen Raum eine abgeschlossene geradlinige Strecke, für den andern die bekannte, in Cartesischen Koordinaten folgendermaßen erklärte Kurve zu wählen :
y = sin —, für 0 < x < -
X — n
— 1 <¡ ?/ <¡ 1, für x = 0 .
Beide Kurven lassen sich durch Spektra approximieren, deren sämtliche Komplexe z. B. aus ra linear aneinander schließenden 1-dimensionalen Simplexen bestehen (man erhält also indem man einfach eine Strecke in ra Teilstrecken teilt).
2i. Ich hoffe mit dieser ganzen Untersuchung gezeigt zu haben, daß zwischen der Topologie der klassischen Gebilde und der modernen mengentheoretischen Topologie gar nicht eine so tiefe Kluft liegt, wie man es sich oft vorstellt. Vielmehr dürfte man eigentlich sagen, daß die topo- logischen Eigenschaften in beiden Fällen Eigenschaften kombinatorischen Ursprungs sind, weil sie sich als Anordnungseigenschaften gewisser end-
11 ) Fund. Math. I.
10 ) Urysohn, „Mémoire ..Kap. V (Fund. Math. 8, S. 301).
13 ) Und zwar derselben Dimension wie R selbst.

Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. 511
licher Schemata deuten lassen 14 ). Es besteht aber doch ein wesentlicher Unterschied zwischen unserem allgemeinen Falle und dem Falle klassischer Gebilde. Hier wie dort hat man eine Folge von „beliebig fein" werdenden Schemata, deren Gesamtheit den Raum definiert. Der Unterschied liegt aber darin, daß im klassischen Falle die Eigenschaften der Schemata und ihre sukzessive Zuordnung stationär bleiben, so daß sich der Raum mit seinem Schema einfach identifizieren läßt. Im allgemeinen Falle variieren dagegen diese Eigenschaften, indem man zu immer feineren Schemata übergeht und die Verfeinerung selbst („Anordnungen dritter Art") läßt sich nicht einmal als ein sukzessiver Prozeß darstellen.
Der Raum läßt sich demgemäß nur durch einen Grenzübergang erzeugen.
Le Batz (Loire Inférieure), August 1925.
14 ) Falls der Raum R, der durch ein Spektrum approximiert wird, etwa eine geschlossene Mannigfaltigkeit ist, so entsprechen die Anordnungen dritter Art in einer bestimmten, aber indirekten Weise denjenigen Anordnungen, die durch Verfeinerung der betreffenden Zellengebäude hervorgerufen werden. (Vgl. die §§ 3 — 5.) Nur müssen diese Zellengebäude in einer von der üblichen abweichenden Weise aufgerichtet werden (man vergleiche z. B. die Lebesgueechen Würfeleinteiluugen der euklidischen Räume in seiner Arbeit „Sur les correspondances entre les points de deux espaces", Fund. Math. 2).
(Eingegangen am 10. 9. 1925.)
Berichtigung.
In den in Bd. 92 der Mathematischen Annalen erschienenen Arbeiten:
P. Alexandroff und P. Urysohn f, „Zur Theorie der topologischen Räume",
P. Alexandroff, „Über die Struktur der bikompakten topologischen Räume",
P. Alexandroff, „Über die Metrisation der im kleinen kompakten topologischen Räume",
wird S. 258, S. 264, S. 269 und S. 299 hingewiesen auf die noch nicht erschienenen Abhandlungen: P. Alexandroff und P. Urysohn f, „Mémoire sur les espaces topologiques compacts" und P. Alexandroff, „Sur les espaces localement compacts", und mitgeteilt, daß diese Abhandlungen in den Fundamenta Mathematicae zur Veröffentlichung gelangen werden. Diese Veröffentlichung ist indes wegen technischer Schwierigkeiten nicht zu Stande gekommen, und die beiden Abhandlungen werden im Laufe des Jahres 1927, vereinigt unter dem gemeinsamen Titel: P. Alexandroff und P. Urysohn j, „Memoire sur les espaces topologiques compacts", in den Verhandelingen der Amsterdamer Akademie zum Abdruck gebracht werden.

Über kombinatorische Eigenschaften allgemeiner Kurven.
Von
Paul AlexandrofE in Moskau.
Zweck vorliegender Arbeit ist in einer mehr oder weniger systematischen Weise diejenigen Eigenschaften der allgemeinen Kurven (d. h. der eindimensionalen kompakten metrisierbaren topologischen Räume) 1 ) darzustellen, die ich in meinem vorstehenden Aufsätze 1 ") als kombinatorische Eigenschaften bezeichnet habe.
Eine ausführliche Kenntnis der soeben zitierten Arbeit wird im folgenden nicht vorausgesetzt.
Inhaltsübersicht.
I. Zusammenhängende eindimensionale Komplexe §§ 1 — 12 II. Die Zusammenhangszahl der allgemeinen Kurven §§13 — 21 Verschiedene Formen der Definition .... §§13 — 18 Additionssatz §§19 — 21
III. Der Brouwersche Invarianzsatz §§22 — 34
IV. Geschlossene Kurven §§35 — 41
Innere (invariante) Definition der regelmäßig und unregelmäßig geschlossenen Kurven.
Der Fall ebener Cantorscher Kurven als
Spezialfall §§35 — 36
Eigenschaften geschlossener Kurven (regelmäßige und unregelmäßige Geschlossenheit, Irreduzibilität, Unzerlegbarkeit) . . §§37 — 41
') Vgl. Urysohn, C. R. 175 (1922), p. 481; „Mémoire sur les multiplicités Canto- riennes", II. Teil (erscheint demnächst in den Verhandelingen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Amsterdam); Menger, Monatshefte f. Math. u. Phys. 33 (1923), S. 148, Grundzüge einer Theorie der Kurven", Amsterdamer Proceedings 28, S. 67 und Math. Ann. 95, S. 277.
' a ) „Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie", §19.

P. Alexandroff. Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
513
V. Stetige Kurven
§§42-64
Begriff des offenen Bogenkomplexes . . . §§45 — 46 Struktur der endlich hoch zusammenhängenden stetigen Kurven §§42 — 44, 47 — 60
Weitere Eigenschaften dieser Kurven. Ein invariantes Analogon dec Schoenfliessehen Umkehrung des Jordanschen Kurvensatzes §§60 — 62
Unendlich hoch zusammenhängende stetige
1. Wir denken uns zuerst eine aus endlich vielen Bögen gebildete, im gewöhnlichen dreidimensionalen Räume R 3 liegende Kurve L. Zwei Bögen haben dabei natürlich keinen von ihren Endpunkten verschiedenen gemeinsamen Punkt und jeder von ihnen ist etwa als ein einfacher Streckenzug zu denken. Vom Standpunkte der kombinatorischen Topo- logie aus kann L offenbar als ein zusammenhängender Streckenkomplex aufgefaßt werden. Aber auch umgekehrt kann bekanntlich jeder abstrakt gegebene zusammenhängende Streckenkomplex als eine in R 3 liegende Kurve L von der soeben beschriebenen Art interpretiert werden.
Um sprachliche Mißverständnisse zu vermeiden werden wir von Bogen - komplexen (statt 5¿ra;&e?ikomplexen) sprechen: das Wort „Strecke" soll nämlich nur für geometrisch gegebene im Euklidischen Räume liegende geradlinige Strecken gebraucht werden. Falls wir also im dreidimensionalen Räume eine geometrische Realisation eines gegebenen (eindimensionalen) Komplexes vor uns haben, so besteht jeder Bogen dieses (geometrisch realisierten) Komplexes aus endlich vielen Strecken.
2. Die Kurven der soeben erwähnten Art und die ihnen homöomorphen Kontinua sind Linien im elementaren, nicht einmal mathematischen Sinne des Wortes und können etwa mit Hilfe eines Fadens mit endlich vielen Zusammenheftungen materiell dargestellt werden. Nun scheint eine der wichtigsten und gleichzeitig anschaulichsten topologischen Invarianten dieser Linien diejenige zu sein, die die Zahl der eventuell auftretenden „Schlingen", das heißt z. B. die Zahl der verschiedenen Möglichkeiten, den Faden auf einen Haken zu hängen, angibt.
Mathematisch ausgedrückt handelt es sich um die größte Zahl s = s (L) von der Art, daß es ein System von s einjachen geschlossenen, in L enthaltenen Polygonen
Kurven
§§ 63-64
I. Zusammenhängende eindimensionale Komplexe.
(1)
P P P
L i ? *■ 2> • • • > s

514
P. Alexandroff.
gibt, zu dem sich ein ebenfalls aus s zu L fremden Polygonen (2) i7 1 , 77 3 , .. IJ S
bestehendes System so bestimmen läßt, daß für jedes m (1 <Lm<Ls) II m mit P m und mit keinem der Polygone P 1 , P. 2 , ..P m _ 1 , P m+1 , ■.P s verschlungen 2 ) ist. Die ganze Konstruktion ist dabei selbstverständlich im dreidimensionalen Räume zu denken. Es sei noch ein für allemal bemerkt, daß wir (falls nichts anderes ausdrücklich formuliert ist) stets unter einer Verschlingung zweier Polygone eine Verschlingung von der Ordnung 1 verstehen.
3. Bei der Bestimmung der Zahl s(L) haben wir vorausgesetzt, daß die Polygone P 1 , P„, .. ., P, (ebenso wie 77 1 , 77 2 , . .., 77J einfache geschlossene Polygone sind. Nun kann man eine analoge Zahl s'(L) definieren, indem man die Forderung der Einfachheit der Polygone P l , P 2 ,.. ., P. fallen läßt. Offenbar ist s(L) s'(L); wir werden aber bald beweisen, daß s(L) = s'(L) ist.
4. Man kann jeden zusammenhängenden Komplex 3 ) L auf folgende, wie wir sie nennen wollen, normale Weise konstruieren.
Wir fangen mit einem beliebigen, in L enthaltenen Bogen S 1 an und bezeichnen durch L a den aus dem einzigen Bogen bestehenden, zusammenhängenden in L enthaltenen Komplex. Falls der aus m Bögen bestehende, in L enthaltene zusammenhängende Komplex L m schon konstruiert ist, bezeichnen wir durch $ m+1 irgendeinen in L, jedoch nicht in L m enthaltenen Bogen, der mit L m wenigstens einen Endpunkt gemeinsam hat, und setzen
A b+I m L v, + $»n+i-
L m + i ist wieder zusammenhängend. Das Verfahren bricht erst ab, wenn wir zu einem mit L identischen Komplex L r gelangen; r ist dann die Anzahl der den Komplex L bildenden Bögen.
Nun können bei jedem Schritte m dieser Konstruktion zwei Fälle auftreten, je nachdem einer oder beide Endpunkte von S m+1 zu L m gehören. Wir bezeichnen durch p(L) die Anzahl derjenigen Schritte m (m = l,2,...,r — 1), bei denen der zweite Fall vorkommt.
5. Die Bezeichnung p(L) soll durch den Beweis der Unabhängigkeit der Zahl p(L) von der Wahl der einzelnen normalen Konstruktionsweisen
") Brouwer, On looping coefficients, Proceedings Koninklijke Akademie vanWeten-
schappen Amsterdam 15 (1912), S. 113—122.
3 ) Falls die Dimension nicht angegeben ist, soll das Wort „Komplex", stets einen eindimensionalen (d. h. einen Bogenkomplex) bedeuten.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
515
rechtfertigt werden. Dazu genügt es aber, folgende (u. a. auch die Behauptung des § 3 enthaltende) grundlegende Identität
(3) S (L) = p(L) — s' (L)
zu bestätigen. Falls L aus einem einzigen Bogen besteht, ist
s{L)=s'(L)=p{L) = 0,
also (3) gewiß richtig. Wir setzen voraus, (3) wäre für alle aus <[ r — 1 Bögen bestehende Komplexe bewiesen, und wollen den betreffenden Beweis für einen beliebigen aus r Bögen bestehenden Komplex L erbringen.
Bs seien also die Komplexe ( 4 ) j • ■ • ) L r _ j, L r L
unter der Bedingung
(5) L m+1 = L m + S m + i, L 1 = S 1 (1 <¡ m r — 1) gegeben.
Wir bezeichnen durch s' m = s m = p m , 1 m <íj r — 1, die einander gleichen Zahlen s'(L m ), s(L m ), p(L m ), durch s' bzw. s die Zahl s' (L) bzw. s(L), und endlich durch p die der normalen Konstruktionsweise (4) entsprechende Zahl p(L).
Es handelt sich um den Beweis der Identität
(6) s' = p — s .
Indem wir in (5) m — r — 1 setzen, haben wir zwei Fälle zu unterscheiden :
a) Es gibt nur einen zu L r _ 1 gehörenden Endpunkt von S r . Dann ist, wie leicht ersichtlich, P = P r ^ 1 > s = s r _ 1 , s'=s r _ 1 , und also s' — p = s .
b) Beide Endpunkte von S r gehören zu L r _ 1 . In diesem Falle ist p = p r - 1 - t"l> un d wir müssen nur beweisen, daß s'=s r -i + 1 = s ist.
Zuerst beweisen wir, daß
(7) s'^s^ + l
ist. Im entgegengesetzten Falle würde es sicher s r _ 1 -(-2 = i verschiedene (im allgemeinen nicht singularitätenfreie) Polygone
(B)
geben, zu denen die die Verschlingungsvorschriften des § 2 erfüllenden Polygone
(9) n x ,n„...,n t
angebbar sind.

516
P. Alexandroff.
Wenigstens zwei der Polygone (8), es seien P t und P t _ lt enthalten den Bogen S r (weil sonst wenigstens t — 1 = sf-i + 1 Polygone (8) im Widerspruch mit der Definition der Zahl s r '_ l5 in L r ^ 1 enthalten wären).
Zufolge unserer Voraussetzungen kann man zwei bzw. durch P t _ 1 und P f begrenzte (im allgemeinen sowohl Selbstdurchdringungen, als durch eventuelle mehrfache Elemente ihrer Begrenzungen hervorgerufene Singularitäten besitzende) Flächenstücke D t _ x bzw. D t derart wählen, daß die algebraische Anzahl ihrer Schnittpunkte mit IJ t _ 1 bzw. ü ( gleich 1, mit TI t bzw. IT t _ 1 dagegen gleich Null ist. Daraus folgt, daß jedes der Polygone H i _ 1 und Il t , von denen wir das eine durch II 0 bezeichnen, mit dem D t + D % begrenzenden, aus P l _ 1 -\- P t durch Fortlassung des Bogens S r entstandenen Polygon P 0 verschlungen ist.
P 0 ist sicher von jedem der Polygone P^, P„, .... P t _ 9 verschieden (weil sonst z. B. II t gleichzeitig mit zwei verschiedenen Polygonen (8) verschlungen wäre); das Polygonsystem
genügt also allen Bedingungen des § 2 (insbesondere sind alle P m , 0<[m<¡¿ — 2, in L r _ 1 enthalten), so daß die Zahl s'(L r _ 1 ) mindestens gleich t — 1 sein sollte, was unmöglich ist, weil sie gleich t — 2 ist. Durch diesen Widerspruch ist die Ungleichung (7) bewiesen.
6. Unser Ziel wird erreicht sein, sobald wir beweisen, daß
ist. Vorausgesetzt, es wären P i bzw. 77 i; l¿¿^s r _i, P í <= L r _ 1 , die zufolge der Identität s(L r _ 1 ) = s r _ i vorhandenen, den üblichen Bedingungen genügenden einjachen Polygone. Da beide Endpunkte von S r zum zusammenhängenden Komplex L r _ 1 gehören, kann man sie durch einen einfachen Weg W innerhalb L r _ 1 verbinden und
ist dann ein einfaches, in L r enthaltenes Polygon. Um das entsprechende TI 0 zu erhalten braucht man nur durch den Mittelpunkt c einer der den Bogen S r bildenden Strecken die zu dieser Strecke senkrecht stehende Ebene zu legen und in dieser Ebene ein hinreichend kleines den Punkt c als Mittelpunkt besitzendes Quadrat zu konstruieren. Das System aller P. bzw. TI i (0<i£r — 1) genügt dann allen nötigen Bedingungen und ergibt die Ungleichung (10), die, zusammen mit (7) und der im § 3 erwähnten evidenten Ungleichung s <^s' die Identität s = s'= s r _ 1 + 1 = p,.- 1 J r 1 = p und folglich auch die allgemeine Identität (3) beweist.
(10)
s^s r _ 1 + l
(11)
P 0 =W+S r

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
517
6 Ibis. Mail könnte die Invarianz der Zahl p(L) auch beweisen, indem man zeigt, daß
(11 bis) p(L) = l-x(L)
ist, wobei %(L) die Eulersche Charakteristik der Kurve L ist, d. h. die Differenz a 0 — a 1 zwischen der Anzahl cc 0 = a 0 (L) der in L enthaltenen Eckpunkte und der Anzahl a x = k^ L ) der daselbst vorhandenen Bögen 4 ).
Um die Identität (11 bis) zu beweisen, schließen wir uns an die Bezeichnungen des § 4 an und betrachten irgendeine normale Konstruktionsweise von L.
Für S 1 = L 1 ist p(L 1 ) = p(8 1 ) = 0, «„(£,) = 2, cc 1 (L 1 )=l, x(L 1 )= 1, und also stimmt für diesen Fall unsere Identität.
Wenn jetzt
J- J m + 1 ' m "I - ^m + l ist, so ist, falls S m + 1 mit L m beide Endpunkte gemeinsam hat,
v(L m+1 ) = p(L m ) + \-, «b(A»+i) = cc 0 (L n ); <x 1 (L m+i )^u 1 ( L m ) +1,
also x(L m+1 ) = X (LJ- 1 und 1 -x(L m+ i) = (\- Z (LJ)+ 1.
Falls aber S m+1 nur einen gemeinsamen Endpunkt mit L m hat, so ist
p( L ,n+i) = P( L m ) und x (L m + i ) = x (L m ).
Daraus folgt, daß die Identität (11 bis) für L m+1 zutrifft, sobald sie für L m stimmt, und da sie für L x richtig ist, so gilt sie allgemein.
7. Wir gehen jetzt zu einer andern Interpretation der Zahl s(L) = s'(L) über. Wir fangen mit folgender Hilfsdefinition an.
De f. I. Ein endliches System von (abstrakt gegebenen) geschlossenen Polygonen heißt ein Nullsystem, falls jeder Bogen, der zu einem Polygone dieses Systems gehört, wenigstens zweimal (in einem oder in mehreren Polygonen dieses Systems) vorkommt.
Def. II. Ein System von geschlossenen Polygonen heißt irreduzibel, falls es kein Nullsystem enthält.
Wir bezeichnen jetzt durch v'=v'(L ) die größte Zahl von der Beschaffenheit, daß es in L wenigstens ein aus v' Polygonen bestehendes irreduzibles System gibt.
Wir bemerken sofort, daß man eine Zahl v(L)^v'{L) erhält, wenn man sich in den Definitionen I und II auf einfache Polygone beschränkt.
Wir wollen jetzt die Identität (12) r(L) = v'(L) = p(L)
beweisen.
4 ) Die Invarianz von x(L) ist z. B. bei 0. Vehlen, Cambridge Colloquium 1916, S. 7 bis 9 bewiesen.

518
P. Alexandroff.
8. Wir verfahren wieder mittels Induktion: für einen aus einem einzigen Bogen S 1 bestehenden Komplex ist v(L) = v'(L) = p(L) = 0. Wir setzen voraus, die Identität (12) wäre für alle aus höchstens r — 1 Bögen bestehende Komplexe bereits bewiesen, und beweisen sie für einen beliebigen aus r Bögen bestehenden Komplex L.
Da der Beweis für v' und v absolut analog ist, so bezeichnen wir im folgenden Raisonnement durch v eine beliebige der Zahlen v' (L) bzw. v (L).
Es sei
(13) P 0 , P 1 , . . . , Pjr_ i
ein in L enthaltenes, aus v Polygonen (bzw. einfachen Polygonen) bestehendes irreduzibles System. Es gibt wenigstens einen Bogen 8, der in (13) ein einzigesmal vorkommt, und es sei z. B. 8 <= P 0 . Nach Weglassung des Bogens S verwandelt sich L in einen, noch immer zusammenhängenden, Komplex L '. Dann ist
( 14) ^(-^') — v — 1
(wobei v(L') die Zahl v(L') = v'(L') bedeutet).
In der Tat: einerseits bilden P 1 , ..., P-_ 1 ein aus v — 1 Polygonen bestehendes, in L' enthaltenes irreduzibles System, woraus folgt, daß ?(L')^>?— 1 ist. Andrerseits kann aber v(L') unmöglich größer als v — 1 sein, weil im letzteren Falle ein aus v Polygonen
P* p* p*
1 1 5 M) •" J r y
bestehendes, in L' enthaltenes irreduzibles System vorhanden wäre, das durch Hinzufügung des Polygones P 0 in ein in L enthaltenes, aus v -)- 1 Polygonen bestehendes, der Definition der Zahl v widersprechendes, irreduzibles System übergehen würde. Da aber v(L') = p(L') und p(L')= p(L) — 1 ist, so folgt die Identität (12) ohne weiteres aus (14), w. z. b. w.
9. Wir geben endlich noch eine Interpretation von p(L), die, obwohl im folgenden nicht gebraucht, in mancher Untersuchung als nützlich erscheinen dürfte.
10. Ein Paar von identischen, aber verschieden orientierten Bögen eines Komplexes werden wir ein Nullpaar nennen.
Wir wollen jetzt eine Einschiebung eines Nullpaares zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bögen eines beliebigen Polygons P und ebenso eine Fortlassung aus P eines eventuell daselbst enthaltenen Nullpaares als erlaubte Abänderungen des Polygons P bezeichnen.
Wir sagen nun, daß das Polygon P sich auf ein gegebenes System © von in L enthaltenen Polygonen zurückführen läßt, falls durch sukzessive

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
519
Anwendung erlaubter Abänderungen man P in ein Polygon P* verwandeln kann, welches durch Durchlaufung gewisser Polygone
p (l) p(2) pW
1 j 1 ; ... * 1 ,
unter denen es beliebig viele identische geben darf, die aber alle zu © gehören, konstruierbar ist.
Wir bezeichnen endlich durch /i(L) die kleinste so beschaffene Zahl, daß es ein aus ¡u,(L) in L enthaltenen Polygonen bestehendes System © gibt, auf welches sich alle in L vorhandenen Polygone zurückführen lassen 5 ).
Wir überlassen dem Leser den leichten (mittels des wiederholt angewandten Induktionsverfahrens durchzuführenden) Beweis der Identität
Es sei endlich bemerkt, daß, falls L eine ebene, einen Bogenkomplex realisierende Kurve ist, die Anzahl der zusammenhängenden Gebiete, in die L die Ebene zerlegt, gleich der Zahl p(L)~ (-1 ist. (Der Beweis ist unmittelbar einleuchtend: man bediene sich der Identität p (L) = s (L)).
11. Die Zahl x(L) = p(L)-\- 1, wobei also
p(L) = s(L) = s'(L) = V (L) = v'(L) = fi(L) = a, (L) - a 0 (L) + 1 «)
ist, wollen wir die Zusammenhangszahl des Bogenkomplexes L nennen.
12. Wir schreiten jetzt zum Beweise folgenden Satzes.
Additionssatz für Bogenkomplexe. Es seien L 0 und L i zwei gemeinsame Elemente besitzende einfach zusammenhängende ' ) Bogenkomplexe und q die Komponentenzahl des (im allgemeinen nicht zusammenhängenden) Bogenkomplexes L x ■ L 0 . Indem wir durch L den (zusammenhängenden) Bogenkomplex L 1 + L 0 bezeichnen, gilt die Identität:
*(£)§?■
Beweis. Man kann den Komplex L in der Weise aufbauen, daß man mit L 1 anfängt und dann der Beihe nach sämtliche in L 1 nicht vorhandene Bögen des Komplexes L 0 anheftet, dabei jedoch dafür sorgt, daß alle sukzessiv entstehenden Komplexe
^1 > -^2 > • • • > -^m ' • • • > = L == 1 ~"f~ 1 (^ = 2 , . . . , r)
zusammenhängend seien. Wir bezeichnen durch q m die Komponentenzahl
5 ) DieZahl /t (L) dürfte als ein kombinatorisches Äquivalent der Brouwerschen Zyklosis betrachtet werden.
e ) a ± (L) bzw. cc 0 (L ) bezeichnet die Anzahl der in L vorkommenden 1- bzw. O-dimensionalen Elemente.
') Ein Bogenkomplex L soll einfach zusammenhängend heißen, falls x(L)= 1 ist.

520
P. Alexandroff.
von L m -L 0 (m = 1, 2, ..., r). Unser Satz wird bewiesen, sobald wir zeigen werden, daß für jedes m (1
( 15 ) P(LJ + q m = q
ist (da letztere Gleichung für m — r in p(L) + 1 = q übergeht).
Für m, = 1 ist p[L m ) — 0 und q m = q, also (15) richtig.
Vorausgesetzt, die Gleichung (15) wäre für m bewiesen; wir wollen sie für m + 1 beweisen.
Wir betrachten zwei Fälle:
1. S m hat mit L m beide Endpunkte a und b gemeinsam. Dann ist V (An+i ) = V ( An) + 1 • Die Funkte a und b können aber unmöglich zu einer Komponente Q von L m - L 0 gehören, weil man sie in diesem Falle innerhalb Q <= L 0 durch einen einfachen Weg W verbinden könnte, der zusammen mit S m ein in L 0 enthaltenes geschlossenes Polygon liefern würde, was zufolge dem einfachen Zusammenhange des Komplexes L Q unmöglich ist.
Da also S m zwei Komponenten von L m ■ L 0 verbindet, so ist die Komponentenzahl q m + 1 von L m + 1 -L 0 = L m -L 0 + S m gleich q m — 1, so daß V(L m + 1 ) + q m+1 = p (LJ + q m = q ist.
2. S m hat mit L m nur einen Endpunkt gemeinsam. Dann hat S m nur mit einer Komponente von L m - L 0 einen Endpunkt gemeinsam, und es ist p{L m + 1 ) = p{L m ); q m + 1 = q m , also auch p(L m + 1 ) + q m + 1 = q, w. z. b. w.
Bemerkung. Eine auf der Hand liegende Modifikation 8 ) der soeben angewandten Methode zeigt daß, falls man auf den einfachen Zusammenhang von L 0 und L 1 verzichtet, man jedenfalls die Ungleichung
(15 bis) x(L)^q
beweisen kann. Man könnte auch in diesem Falle einen genauen Wert für y. (L) angeben, für unsere weiteren Zwecke aber wird die Abschätzung (2) im Falle einer höheren Zusammenhangszahl von L 0 oder L x vollkommen genügen.
II. Die Zusammenhangszahl der allgemeinen Kurven.
Nachdem wir den Begriff der Zusammenhangszahl für Bogenkomplexe eingehend untersucht haben, ist der Weg zur Übertragung dieses Begriffes
9 ) Man ersetzt die Gleichung (15) durch die Ungleichung
und bemerkt, daß im Falle 1., wie früher, p (L m + l ) = p (£„,) +1, dabei aber + — 1 ist (weil S m jedenfalls höchstens zwei verschiedene Komponenten von
L m -L 0 verbinden kann).

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
521
auf allgemeine Kurven durch die Betrachtungen der unter la ) zitierten Arbeit von selbst und gewissermaßen eindeutig bestimmt.
13. Es sei C eine allgemeine Kurve, d. h. ein zusammenhängender kompakter eindimensionaler metrischer Raum. Zwei Fälle sind möglich:
1 °. Für jedes das Kontinuum C definierende eindimensionale Spektrum")
(16) Li, L„, ..L m , ...
wächst x(L m ) mit m ins Unendliche; in diesem Falle soll C unendlich hoch zusammenhängend heißen, und x(C) — oo gesetzt sein.
2°. Es gibt wenigstens ein das Kontinuum C definierendes Spektrum ( 16) und eine natürliche Zahl h 0 von der Beschaffenheit, daß für unendlich viele L m
* (An) ^ K
ist. Dann gibt es eine Zahl h <^h 0 derart, daß für unendlich viele L m
*( L m) = h
ist. Indem man nur dieser Gleichung genügende L m behält, erhält man ein Spektrum, für dessen sämtliche Komplexe die Zusammenhangszahl denselben endlichen Wert h annimmt.
Im Falle 2 soll C endlich hoch zusammenhängend heißen und zwar soll die Zusammenhangszahl x{G) als die kleinste derjenigen Zahlend definiert werden, für die es ein das Kontinuum C definierendes Spektrum gibt, dessen sämtliche Komplexe die Zusammenhangszahl h besitzen.
14. Aus Betrachtungen der unter la ) zitierten Abhandlung ergibt sich sofo rt, daß die Zahl x(G) eine kombinatorische Eigenschaft der Kurve C ausdrückt, die auch folgendermaßen definiert werden kann.
Es sei *ß (t) irgendeine (e, 2)-Uberdeckung der Kurve C, d. h. es sei ein System von abgeschlossenen Mengen
(17) ^,^,...,2^,
die den Bedingungen
ZF m -=C, à(F m )<e (für m= 1, 2, ..., n)
7YI — 1
genügen und außerdem so beschaffen sind, daß Icein Punkt von C mehr als in zwei Mengen des Systems (17) enthalten ist. (Letztere Bedingung
°) L m sind die das Spektrum bildenden eindimensionalen Komplexe; in den folgenden Paragraphen dieses Abschnittes wird der Begriff der Zusammenhangszahl in einer von den Entwicklungen der unter la ) zitierten Arbeit unabhängigen Form dargestellt. ' n' Mathematische Annalen. 96. 34

522
P. Alexandroff.
wird auch so zum Ausdruck gebracht, daß wir sagen, das System (17) sei ein System von der Ordnung 2 10 )).
Wir bestimmen einen zusammenhängenden Bogenkomplex L.y, indem wir jeder Menge F i (1 <j ¿ <1 «) einen „Punkt" a { und jedem gemeinsame Punkte besitzenden Mengenpaare Fi, F ,• einen „Bogen" a¿a 3 - des Komplexes Z/(g£ entsprechen lassen.
Dann ist x(C) — oo, falls (für ein genügend kleines e) x{L^e), wie auch gewählt sei, beliebig groß ausfällt.
Falls dies nicht zutrifft, heißt G endlich hoch zusammenhängend und zwar ist dann x(G) gleich der kleinsten natürlichen Zahl k, die so beschaffen ist, daß es für jedes e>0 ein mit x(Ly) = k gibt.
15. Bemerkung. Falls G in einem mindestens 3 dimensionalen Euklidischen Räume R liegt, kann man für jedes den Komplex Ly geometrisch realisieren, indem man für a { wirkliche, voneinander verschiedene Punkte a { <= F { wählt, und diese Punkte in R durch von den geradlinigen Strecken a¿a ; - sich beliebig wenig entfernende Streckenzüge dann und nur dann verbindet, falls F { • Fi¡ =}= 0. Dabei ist natürlich dafür zu sorgen, daß die auf diese Weise gewonnenen Bögen keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.
Die soeben erhaltene .elementare Kurve approximiert G mit einer gleichzeitig mit ^ unendlich wachsenden Genauigkeit.
16. Man kann endlich bei der Definition der Zusammenhangszahl den Gebrauch der Bogenkomplexe wenigstens formal vermeiden, wenn man direkt mit Uberdeckungen und zwar folgendermaßen operiert.
Definition. Ein Mengensystem© heißt ein Zyklus, falls jede Menge des Systems genau mit zwei anderen Mengen desselben Systems gemeinsame Punkte hat.
Def. I' (vgl. Def. I des § 7). Ein System von Zyklen heißt ein Nullsystem, falls jedes Paar gemeinsame Punkte besitzender Mengen, die in einem Zyklus vorkommen, wenigstens noch zu einem anderen Zyklus desselben Systems gehört.
Def. Ii' (vgl. Def. II des § 7). Ein System von Zyklen heißt irredu- zibel, falls es kein Nullsystem enthält.
Es sei jetzt eine beliebige e-Uberdeckung von C. Wir nennen v (^ß £ ) die größte Zahl v, die als Zyklenanzahl eines irreduziblen Zyklensystems,
10 ) Im folgenden soll unter einer Übrrdeckung immer eine solche von der Ordnung 2 verstanden werden, und wir werden eine (s, 2)-Überdeckung auch kurz als eine c- Überdeckung bezeichnen.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
523
dessen sämtliche Zyklen aus Elementen von gebildet sind, vorkommt, und definieren weiter:
v. (C) soll alsdann (falls endlich) gleich der kleinsten Zahl gesetzt werden, die so beschaffen ist, daß es für jedes e ein mit
*(r) = »(c)
gibt.
17. Diese Betrachtungsweise, die unserer früheren unmittelbar äquivalent ist, gestattet, den Begriff des mehrfachen (%(C)> 1) bzw. einfachen {x (C) = 1) Zusammenhanges einer Kurve besonders einfach zu formulieren.
Eine Kurve heißt mehrfach zusammenhängend, falls für ein genügend kleines e jede e -"Überdeckung wenigstens einen Zyklus enthält.
Im entgegengesetzten Falle (d. h. wenn für jedes e wenigstens eine, keinen Zyklus enthaltende Überdeckung vorhanden ist) heißt die Kurve einfach zusammenhängend.
Dabei braucht man gar nichts über die Ordnung der Uberdeckungen vorauszusetzen, weil drei beliebige, einen und denselben Punkt enthaltende Mengen einen Zyklus bilden.
18. Eine unmittelbare Folge der Definition der Zahl^(C) ist folgender wichtiger Satz: Falls die Kurve C 0 in der Kurve G enthalten ist> so ist
(18) *{C 0 )£x(C).
In der Tat „induziert" jede (aus den Mengen (17) bestehende) Überdeckung der Kurve C die aus den Mengen C 0 -F m (1 ^m<^n) gebildete Uberdeckung der Kurve C 0 . Man erhält , indem man diejenigen „Punkte" a t bzw. „Bögen" in markiert, die nicht leeren Mengen C 0 -F i bzw. C n • j F¡ • Fi entsprechen.
Da also L^eciL% £ und folglich x (¿sp £ ) x (Lys e ) ist, so ist auch *(C 0 ) ^x(C), w. z . b. w.
19. Wir wollen jetzt einen Satz beweisen, der, wie es sich im nächsten Abschnitte zeigen wird, eine direkte Verallgemeinerung eines bekannten ebenen Zerlegungssatzes von Janiszewski 11 ) darstelltt.
Additionssatz. Falls C 1 und Czwei einfach zusammenhängende Kurven sind und die Menge C 0 = C 1 - C„ aus k^>l Komponenten besteht
") S. Janiszewski, Sur les coupures du plan faîtes par les continus, Prace mat.. fiz. 1913.
34*

524
P. Alexandroff.
(wo k eine natürliche Zahl oder oc ist), so ist C 1 + C„ = C eine k-fach zusammenhängende Kurve.
Beweis. Zuerst beweisen wir, daß x(C)^k ist. Dabei kann man selbstverständlich sich auf den Fall, wo k eine natürliche Zahl ist, beschränken.
20. Es sei e eine positive Zahl, die kleiner als die Hälfte der kleinsten Entfernung zwischen je zwei Komponenten von C 0 — C 1 - G„ und sonst beliebig ist. Wir wollen eine e -Überdeckung der Kurve C konstruieren, für die der Komplex L = L<$ ¿-fach zusammenhängend ist.
Dazu wählen wir zuerst eine keinen Zyklus enthaltende ^-Überdeckung
(19) =
der abgeschlossenen Menge C 0 und bestimmen eine positive Zahl ô, die folgenden Bedingungen genügt:
I o . (5 ist kleiner als jede positive unter den Zahlen ~ g (F? , F¡¡ ) und
als ~.
4
2°. Die Mengen S (Fm, <5) (m = 1, 2, ...,n 0 ) bilden ein System von der Ordnung 2 (dabei bedeutet S(Fm,ô) die Menge aller Punkte, deren Entfernung von F° n höchstens gleich <5 ist).
Wir wählen weiter für 1 = 1 bzw. X = 2 eine keinen Zyklus enthaltende ô- Überdeckung
(20) % = {fí,F!¡,...,F^}
von C>., und bezeichnen durch Fm, ¿ (1 <±m<Ln 0 , 1 ¿ r }„) diejenigen F¿ (1 k ^ ñ>.), die mit keiner Menge F° (1 <¡ h <j m — 1), wohl aber mit F,n gemeinsame Punkte haben. Wir setzen
r (l) y (2) .
m m
(21 ) = F¡n + 2 F,n,i + J? Fm,i ( 1 W ^-Wo)-
i= 1 i=1
Da (p'm cz S ( F m , ô ) ist, so bilden die </>," ein Mengensystem *ß° von der Ordnung 2.
Wir bezeichnen endlich durch
(22J $1 < • • - , K
bzw.
(22 a ) 4»i,
n ° o ;
alle „übrigen" (d. h. zu £ F m — C 0 fremden) Mengen F m , und merken uns,
daß stets " i_1
(23) — 0 (1 ^ nj ; 1 k <1 n 2 )

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
525
ist. Daraus, aus der Definition der und aus der Bemerkung über die Ordnung des Systems " folgt, daß das System aller Mengen , <I>1, ( l>f
die sämtlich einen Durchmesser < e haben) die
Ordnung 2 besitzt und also eine e - Überdeckung l0 ) der Kurve G bildet.
Wir wollen nun zeigen, daß der dieser Uberdeckung entsprechende Bogen- komplex L = L$ k- fach zusammenhängend ist. Dazu betrachten wir den zufolge unserer Voraussetzung über e und ó aus k Komponenten bestehenden Komplex L 0 = L ^o und die beiden Komplexe L l = Im* (A= 1; 2), wobei das aus sämtlichen Mengen ( 1 m <1 n 0 ) und (1 ^rri^hx) gebildete System ist. Dann ist L = L 1 + L", L 0 = L 1 • L" . Zufolge dem Additionssatz für Komplexe (§12) brauchen wir nur zu zeigen, daß x(L>.) = 1 ist (A = 1; 2), d. h. daß L l kein geschlossenes Polygon enthalten kann.
Es sei in der Tat P ein in L' enthaltenes einfaches geschlossenes Polygon. Da P weder in L° noch in L'' — L° enthalten sein kann, so besteht P-L° aus einem oder mehreren Wegen, von denen jeder sich übrigens in einen einzigen Eckpunkt von P ausarten kann, und die die Komponenten von P-L ° bilden.
Indem wir allgemein den Mengen (p' n bzw. F n die „Punkte" u' n bzw. ah (A— 1;2) der betreffenden Komplexen zuordnen, bezeichnen wir durch
W
einen beliebigen der soeben erwähnten Wege, und es sei
X i , I I
a„ — a s , bzw. a T — a t
der in P dem Punkt dg, vorangehende bzw. auf u^ p folgende Eckpunkt.
Da = Fg bzw. — Fl" mit bzw. f PÜ p gemeinsame Punkte hat, zu Fo¡ bzw. F„ p dagegen fremd ist, so gibt es eine Menge F¡„ = FÍ' ui c. bzw. Fg p+1 = F'' pt jcz <S>l p derart, daß
bzw.
< +1 -^4=0 + < +1 -<
ist. Es folgt daraus insbesondere, daß die beiden Bögen bzw. a Sv + ~a,
im Komplex L>. = Ly vorhanden sind.
v o
Infolge der getroffenen Wahl von e und ô gehört die Menge G 0 - 2J ( I } n¡ zu
1= 1
einer Komponente Q von C 0 . Der der Gesamtheit aller zu Q nicht fremden Mengen F' n entsprechende Teilkomplex L;_, Q des Komplexes L,. ist

526
P. Alexandroff.
zusammenhängend und enthält die beiden Punkte a So und a Sp+1 , woraus folgt, daß diese Punkte innerhalb L>., q durch einen Weg
0 ®«l ■ ■ ■ a *p +1
verbunden werden können.
Den in L> . enthaltenen Weg
®S®S 0 • • • + 1 (®» = ' @1 — M t)
bezeichnen wir durch W* und ersetzen in P den Weg W durch W*. Nachdem wir dies für jede Komponente W von PL 0 tun, verwandelt sich P in ein geschlossenes (im allgemeinen nicht singularitätenfreies), in L¡¡. auf eine widerspruchsvolle Weise enthaltenes Polygon P* 12 ). Die Ungleichung *(C)<1¿ ist hiermit bewiesen.
21. Um jetzt die Ungleichung x(C)~¡^.k zu beweisen [k ist dabei gleich k, falls letztere Zahl endlich ist; falls dagegen k — oo, so nimmt man für k eine beliebig große Zahl), womit offenbar auch der ganzeSatz bestätigt sein wird, genügt es zu zeigen, daß, falls e > 0 hinreichend klein gewählt ist und eine beliebige e- Überdeckung der Kurve G ist, der Komplex L — Ly mindestens fc-fach zusammenhängend ist.
Da die Komponentenzahl für C 0 mindestens gleich k ist, so kann man C 0 in die Summe Q von k paarweise zueinander fremden abgeschlossenen Mengen Q,, Q>, ..., Qj¿ so einschließen, daß
2y = p(C 1 — Q, C a — Q)
positiv ist. Wir wählen nun e kleiner als jede der Zahlen y, I Q(QpiQ q )> und bezeichnen durch % = {F^ F„, ..F n )
eine beliebige e-Uberdeckung der Kurve G und durch bzw. bzw. das System derjenigen unter den Mengen F 1 , F„, F n , die zu Q bzw. G 1 bzw. C. 2 nicht fremd sind. Zufolge der Wahl der Zahl e besteht der Komplex L n = jLsp o mindestens aus k Komponenten, und da
L = L 1 -J- L„
L 0 * ¿o
ist (wo L>. = L<£ } gesetzt ist), so folgt aus dem Resultat des § 12 (Ungl. 15 bis), daß x(L)^.k ist, w. z. b.w.
18 ) Das Polygon P* ist sicher kein „Nullpolygon" (d. h. es läßt sich nicht durch Aufheben von je zweimal in verschiedener Richtung zu durchlaufenden Seiten auf einen Punkt reduzieren). In der Tat: alle Punkte vom Typus a' r des Polygons P bleiben einfache Punkte des Polygons P*, weil die Eckpunkte der neu hinzukommenden Wege W* denjenigen entsprechen, die mit C 0 gemeinsame Punkte haben und also von den a'; = a'' gewiß verschieden sind.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
527
III. Der Brouwersche Invarianzsatz.
22. Es sei F eine in der Ebene E liegende, beschränkte abgeschlossene Menge. Wir werden stets durch k(F) die Anzahl der durch F in E bestimmten, zusammenhängenden Gebiete (= Komponenten der Menge E — F) bezeichnen.
Der Zweck dieses Abschnittes ist die Identität (24) k{C) = x(C)
für jede ebene Cantorsche Kurve G zu beweisen, womit insbesondere der Brouwersche Satz 13 ) über die Invarianz der Zahl k ( C) für alle Cantorschen Kurven aufs neue bewiesen wird. Da dadurch auch der Jordansche Kurvensatz und folglich auch die Invarianz des ebenen Gebietes bewiesen werden und da jedes ebene Kontinuum sich in eine Cantorsche Kurve C und eine höchstens abzählbare Menge zueinander fremder, sich unter den Komponenten der Menge E — G befindender Gebiete eindeutig zerlegen läßt, so folgt aus unserer Behauptung (24) der Brouwersche Invarianzsatz in seiner vollen Allgemeinheit. Das Hauptziel dieses Abschnittes ist aber nicht einen zweiten Beweis des Brouwerschen Satzes zu geben, sondern die Identität (24) selbst zu beweisen: dadurch wird nämlich u. a. gezeigt, daß die Anzahl der durch eine ebene Kurve bestimmten komplementären Gebiete eine im Sinne des § 19 der vorstehenden Abhandlung kombinatorische Eigenschaft der Kurve ist.
A. Beweis der Ungleichung y. (C) fe (C).
23. Es sei G eine in der Ebene E des dreidimensionalen Raumes R liegende Cantorsche Kurve und k eine natürliche Zahl, die gleich k(C), falls k{G) endlich ist, und beliebig groß, im Falle k(G) = oo, zu wählen ist.
Wir bezeichnen durch Gy, G 2 , ■■■, G k ^y alle (bzw. irgendwelche unter den) beschränkten Komponenten der Menge E — C. Es seien weiter G*,G*,-.-,G*- 1 bzw. in Gy, Go, ..., Gt-y liegende, durch einfache geschlossene Polygone P*, P*, ■■., P*~ y begrenzte Bereiche; Cy, c 2 , .c k - 1 bzw. im Inneren dieser Bereiche liegende Punkte; d y , d„, .. ., d k _ 1 außerhalb eines die Kurve G im Innern enthaltenden Kreises K liegende, voneinander verschiedene Punkte; II 1 , IJ 2 , ..., II k _ 1 zu einander fremde, einfache, geschlossene Polygone, die folgendermaßen definiert sind:
U m besteht aus einer, den Punkt c f als Mittelpunkt besitzenden, zu der Ebene E senkrecht stehenden Strecke c' m c'm ; aus zwei einfachen Streckenzügen c' m d' m bzw. c^dZ, die in den durch c' m bzw. c¡,[ gezogenen
13 ) Brouwer, Beweis der Invarianz der geschlossenen Kurve, Math. Ann. 72 (1912), S. 422-425.

528
P. Alexandrofí.
zu E parallelen Ebenen liegen und in den sich orthogonal in d m projizierenden Punkten d' m bzw. d'' t endigen; endlich aus der geradlinigen Strecke d' m dd'„[.
Es wird außerdem vorausgesetzt, daß die ganze Konstruktion so eingerichtet ist, daß für jeden innerhalb K gelegenen Punkt der Ebene E der nächste Punkt des Polygones 77 m eben der Punkt c m ist.
Das Polygon ll m ist mit P m , dagegen mit keinem der übrigen Polygone P x , . .., P m+i , ..Pt-i verschlungen und zwar ist die betreffende Verschlingungsordnung gleich 1.
24. Die Verschlingungsverhältnisse zwischen den Polygonen JJ m und P*, bleiben dieselben, falls man ein beliebiges der Polygone P* durch ein in G m enthaltenes, den Bereich G* im Innern enthaltendes Polygon P ,** ersetzt.
25. Es sei nun o die kleinste unter allen Zahlen | q(P*, C) und 2 Q (P m , n h ) = | ß (P*, c h ) (wobei m und h unabhängig voneinander alle W er te 1, 2 1 durchlaufen ). Dann ist die Entfernung q ( P* *, II,,) 2 a, wie auch das den Bedingungen des § 24 genügende Polygon P** gewählt sei. In der Tat ist für m =f= h
q (PT, n h ) = g (P**, c,,)¿q( C , c h ) > q (C,P *)>2 o und außerdem
q (P**, n m ) = q (P**, c m ) e (p*, c m ) > 2 o.
Falls wir also irgendein P*,'" durch ein Polygon P m ersetzen, dessen sämtliche Punkte durch weniger als g betragende Verrückungen entsprechender Punkte von P' m entstanden sind, so bleiben die Verschlingungsverhältnisse zwischen allen P m und TI h dieselben wie zwischen (P*, und II h , also wie zwischen) P* und P h 14 ).
26. Wir wählen jetzt eine positive Zahl s < -, a und irgendeine e- Überdeckung
(25) ^={F[,F„.....,F n }
der Kurve C. ;i. . r :ioi : í «&:«.;< • ¡v: -x. . i, ■ ..
Wir bezeichn®n : 'i?eitffïs duTöhr'Sr eine positiveVZahl, ïïie kleinen als e und sämtliche positive unter den Zahlen \(}(F i , F ■) ist. Es seien endlich
") In der Tat hat Brouwer in der unter ") zitierten Arbeit, § 3, bewiesen, daß es für jedes Paar zueinander fremder geschlossener Polygone P und 77 (im dreidimensionalen Räume) eine positive Zahl j; gibt, die so beschaffen ist, daß, falls wir durch eine weniger als i¡ betragende Verrückung jedes Punktes von P bzw. 77 diese Polyeone in Polygone P bzw. II verwandeln, die Verschlingungszahl (P, II) dieselbe wie (P, 77) bleibt.. Es ist dabei leicht 'einzusehen, daß man für r¡ die Hälfte von g(P, II) nehmen kann (Antoine, Thèse, p. 37).

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
529
a i i= F { (1 ^ i ^ n) durchweg verschiedene Punkte der Mengen F { und a¿ aj die in R liegenden, gemäß der Vorschrift des § 15 konstruierten, die Punkte a¡ und a-, dann und nur dann, falls F i ■ F- =j= 0 ist, verbindenden Streckenzüge. Auf diese Weise erhalten wir einen im Räume R realisierten Bogenkomplex L = J . Wir setzen noch voraus, daß die Bögen ä^äj dieses Komplexes sich von den entsprechenden geradlinigen Strecken a¿ aj um weniger als e entfernen.
Die Ungleichung *(c)¡>&(c) wird jetzt bewiesen, sobald gezeigt wird, daß s' ( L ) k — 1 ist.
27. Es sei zu diesem Zwecke für jedes m <^Jc — 1 P*' 1 " ein nach der Vorschrift des § 24 gebildetes Polygon, das so beschaffen ist, daß es zu jedem Punkte von P** einen um weniger als ô entfernten Punkt von C gibt.
Nach eventueller Unterteilung der Seiten von P„V' kann man erreichen, daß die Eckpunkte 6 1; b 2 , ..., b h ,... (modr) 15 ) von P** der Bedingung
(26) e(h,h+i)<ô
genügen.
Es sei nun b h einer derjenigen Punkte von C, die am nächsten bei b h liegen. Ich behaupte, daß, falls b h bzw. ö 7l+1 zu F { bzw. zu Fj gehören, notwendig F i • -?} + 0 ist.
In der Tat, falls
b h c - F i} b h+1 <= Fj und dabei F i • F¿ = 0 wäre, so würde man die unmögliche Ungleichung
3 à <Q(F i ,F j )£g(b h , b h+1 ) ¿ Q (b h ,b h ) + Q (b h , b,\ +1 )+e (b h+1 , b h+1 ) <30
haben. Falls wir für jedes h eine den Punkt b h enthaltende Menge Fi wählen und dabei nur dafür sorgen, daß für geometrisch zusammenfallende Punkte b h auch dieselben Mengen F ¿/ gewählt seien, erhalten wir ein in L enthaltenes geschlossenes, im allgemeinen nicht singularitätenfreies Polygon
; r Y =î <4.VV V/ «Ót . ' :: r á
28. Wir lassen jetzt jedem Punkte b h den Punkt a¿ entsprechen • und bilden irgendwie die Strecke b h b h + 1 eindeutig und stetig auf den Bogen a '/, a 'i, fi (der geometrisch sich auch auf einen Punkt a¿ h = a ¿/ 1 zusammenziehen kann) ab, so daß dabei die Punkte a ih ,b h bzw. a ih b h+1 einander entsprechen.
Dadurch wird jeder Punkt x von P** in einen einzigen Punkt y
15 ) Die Bezeichnung (modr) besagt, daß i h und &/,+> identisch sind.

530
P. Alexandroff.
von P m und das ganze Polygon P** in P m eindeutig und stetig abgebildet, . wobei folgende Ungleichung gilt:
(26) g(x, y ) ^ g(x, b h ) + q (b h , b h ) + q (b h , aj
+ QÍ a i h > y) < ö + <5 + e + 3e < 6e < a
(es wird hier vorausgesetzt, daß x zur Strecke b h b h+1 gehört).
Der Bemerkung des § 25 zufolge ist, auf Grund von (26), P m mit II m und mit keinem der Polygone IT¡, ..II m - i, n m + i> • • •> ^4- 1 verschlungen; da dies für beliebiges m <^k — 1 gilt, so ist s' (L) ^ k — 1 und also x(L)^>k, wodurch unsere Behauptung bewiesen ist 16 ).
B. Beweis der Ungleichung y.(C) <Lk(C).
29. Wir fangen mit folgendem Hilfssatze an :
Es seien
(93) B 1 ,B i ,...,B n
ein System 93 von der Ordnung 2 bildende, in der Ebene liegende, paarweise keinen gemeinsamen inneren Punkt besitzende, einfach zusammenhängende Polygonbereiche 17 ), deren Vereinigungsmenge B zusammenhängend ist. Es sei weiter der Bogenkomplex, den man wie üblich erhält, indem man jeder Menge B¡, 1 ¿ ^n, einen „Punkt" a ¿ und jedem Paare gemeinsame Punkte besitzender Mengen B v Bj einen Bogen ~ä^a] entsprechen läßt. Dann behauptet der Hilfssatz, daß
(27) k(B)>y.(Lv) ist.
30. Beweis. Es sei für jedes Paar B¿- B- 4= 0 [i 4= j ) eine bestimmte Komponente T¡¡ der Menge B i ■ B- gewählt. Also ist T tj entweder ein gleichzeitig auf den Begrenzungen von B¡ und B- liegender Punkt d ij oder ein Streckenzug t't", auf dem wir dann einen bestimmten, von seinen Eckpunkten verschiedenen Punkt d if markieren.
In dieser Weise wird auf der Begrenzung jedes Bereiches B¡ eine gewisse Anzahl lauter verschiedener Punkte d--, d-d i{ bestimmt,
ü l J i J i l Jk
und zwar unter der Bedingung, daß stets und d j ; denselben Punkt bedeuten.
Es sei nun c i ein bestimmter im Innern von B { liegender Punkt.
Indem man (für jedes i ) c i innerhalb B { mit allen Punkten d { - durch
1B ) Der soeben dargestellte Beweis hat manchen Berührungspunkt mit einem Teile des Brouwerschen Invarianzbeweises.
l7 ) Unter einem (zusammenhängenden) Polygonbereich verstehen wir immer die abgeschlossene Hülle eines durch einen oder mehrere zueinander fremde einfache geschlossene Polygone begrenzten ebenen Gebietes.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
531
einfache Wege W¡- verbindet und dafür sorgt, daß zwei Wege und W ik keinen von c,- verschiedenen gemeinsamen Punkt haben, erhält man, indem man W {j -j- W- ¡ als einen Bogen cïc} betrachtet, eine, als Bogenkomplex betrachtet, mit L® identische, in B liegende Kurve L.
Die Kurve L bestimmt also 18 ) in der Ebene E genau x — v, [L) — x(L^) zusammenhängende Gebiete
(28) G%, Go, ..G x .
Da jede Komponente der Menge E — B in einem der Gebiete (28) enthalten ist, so wird unser Hilfssatz bewiesen, sobald wir zeigen, daß für kein m (1 ^m^x) die Menge G m — B leer ist.
31. Es sei zu diesem Zwecke L m das das Gebiet G m begrenzende (im allgemeinen nicht singularitätenfreie) Polygon und a¡aj = Wij + Wji ein in L m enthaltener Bogen. Wir betrachten die beiden Bereiche B i und B- und das entsprechende T i -. Wir setzen zuerst voraus, daß T { - ein Streckenzug t' t" ist. Da t' t" im Punkte d { - den Bogen a^äj durchkreuzt, so kann man auf wenigstens einem der beiden Streckenzüge d i -t' bzw. d i -t", z. B. auf d {j t' einen Punkt g derart finden, daß die ganze Strecke d¡ - g, abgesehen von ihrem Endpunkte d ij -, in G m enthalten ist. Da aber d {j der einzige Punkt der Menge T i --L ist, so ist der ganze Bogen d i - i' bis auf den Punkt d,-, insbesondere also der Punkt t' in G m enthalten. Da der Punkt t' einerseits nur zu B { und B- gehört, andrerseits aber kein innerer Punkt der Menge B { + B- ist, so ist t' auch kein innerer Punkt von B. Jede Umgebung des Punktes t' (also insbesondere auch jede in G m enthaltene Umgebung dieses Punktes) enthält also Punkte von E — B, woraus folgt, daß [E — B)-G m ~ G m — B 0 ist.
Im Falle, wo T { - mehr als einen Punkt enthält, ist hiermit unsere Behauptung bewiesen.
Es sei jetzt T { - mit dem Punkte d { - identisch. Hier ist wieder d {¡ der einzige Durchkreuzungspunkt von didj und eines gewissen, auf der Begrenzung von B¡ liegenden, aus zwei in d {j zusammenhängenden, geradlinigen Strecken d { - e', d { -e" bestehenden Bogens e'e", den man so klein nehmen kann, daß z.B. d { - e' bis auf d { - erstens in G m enthalten ist, zweitens (mit Ausnahme desselben Punktes d tj ) mit keinem der Bereiche B h ( h i) gemeinsame Punkte hat. Es sei nun x ein beliebiger, von d {j verschiedener Punkt von d i -e'. Eine hinreichend kleine Umgebung von x ist einerseits in G m enthalten, andrerseits enthält sie aber Punkte der
18 ) Da für ebene Bogenkomplexe k (L) = x (L) ist (vgl. die am Ende des § 10 gemachte Bemerkung).

532 P. Alexandroff.
Menge E—B. Also ist wieder G m —B =%= 0, womit unser Hilfssatz vollständig bewiesen ist.
32. Es sei jetzt C eine in der Ebene E liegende Cantorsche Kurve. Wir bezeichnen durch k eine natürliche Zahl, die beliebig groß ist, falls x ( C ) = oo ist, und die gleich x (G) ist, falls letztere Zahl endlich ist.
Wir bezeichnen durch e eine positive Zahl, die genügend klein ist, damit für jede 3 e- Überdeckung ^ß 3<r von G die Bedingung
y. (Li p3e) ^ Je
erfüllt sei. Wir wählen jetzt eine bestimmte e-Uberdeckung
(29) y = {F lt F t ,::.,F n }
der Kurve G und eine so kleine positive Zahl #<e, daß die Mengen S (F m , ■&) ein System von der Ordnung 2 bilden.
Die beiden folgenden, ganz evidenten, Bemerkungen werden für die Beweisführung von Wichtigkeit sein:
a) Falls
M lt M r
irgendein Mengensystem von der Ordnung 2 und N m eine Teilmenge von M m ist, so ist auch das System aller N m höchstens von der Ordnung 2.
b) Falls unter der ersten Voraussetzung des Satzes a) M m = Jv' M .
i= i '
und M m i -M mik — 0 ist, so ist das System aller Mengen M m i (1 1 <Lr) von der Ordnung 2.
33. Wir unterziehen jetzt die Ebene einer kanonischen 10 ) quadratischen Unterteilung % von der Seitenlänge a < ~, und bezeichnen durch B*
die Vereinigungsmenge derjenigen Quadrate des Systems %. die im Innern oder auf der Begrenzung Punkte von F m enthalten.
Es seien weiter
"(30) B*r BÏ B?.
sämtliche Komponenten aller Mengen B* (1 <Lm<Ln).
Wir setzen nun B¡ = B* und B," t gleich der Vereinigungsmenge der-
10 ) D. h. einer solchen, die aus einer gewöhnlichen Unterteilung mit der Seitenlänge a dadurch entsteht, daß man von zwei benachbarten vertikalen Quadratreihen
die eine eine Parallelverschiebung vom Betrage ^ (in der Richtung der vertikalen
¿J
Achse) erleiden läßt. Vgl. Lebesgue, Fund. Math, 2. — Der kanonische Charakter der Unterteilung 3; garantiert das Erfülltsein der Bedingung 4® des nächsten Paragraphen.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
533
jenigen in B* enthaltenen Quadrate der Unterteilung %, die nicht bereits in Bi, ..., aufgenommen sind. Es seien wieder
(31) o,
sämtliche Komponenten aller Mengen ( 1 m <1 r 0 ).
Das Mengensystem (32) besitzt folgende zum Teil evidente, zum Teil durch wiederholte Anwendung der beiden Bemerkungen a) und b) und der Voraussetzungen über die Zahl & unmittelbar ersichtliche Eigenschaften, in deren Formulierung der obere Index i = 0 zu setzen ist :
1 Die Mengen bilden ein System von der Ordnung 2
2 B l =2B l m ^C
m— 1
3 (<) <5 (B* m )< 3e (l^m^n (i) ) U = 0.
4 (i) Jede Menge B* n ist ein zusammenhängender Polygonbereich 1? )
5 <l) Zwei verschiedene Bereiche B], und B % q haben keine gemeinsamen inneren Punkte
Es kann vorkommen, daß man die Zusammenhangszahl (im klassischen Sinne) des Polygonbereiches B" durch Zerschneidung längs passend gewählter, das Kontinuum G nicht treffendur einfacher polygonaler Wege erniedrigen kann. Man kann dann der Reihe nach endlich viele solcher Wege derart ziehen, daß ohne das Kontinuum G zu treffen keine weitere Erniedrigung der Zusammenhangszahl von B° möglich ist. Indem man unter Geltung evidenter Vorsichtsmaßnahmen 20 ) jeden unserer Schnitte durch einen schmalen, das Kontinuum C nicht treffenden, etwa aus Quadraten einer genügend feinen Unterteilung der Ebene bestehenden Streifen ersetzt und dann die nach Tilgung dieser Streifen entstandenen Komponenten Bm,h (h = 1, 2, ..r h , 1 der übrigbleibenden Teilmengen der Mengen B° n in eine neue endliche Folge
(33) Bt, B 2 \..„ B^w
ordnet, erhält man, wie früher, ein allen Bedingungen l (i) bis 5 W (¿ = 1) genügendes Mengensystem.
i n< " i
34. Wir betrachten nun die zum Polygonbereiche B = B m kom-
m=l
plementären Gebiete G¡¡, 1 ^k(B 1 ). Jedes dieser zusammenhängen-
20 ) Die erwähnten Vorsichtsmaßnahmen werden getroffen, um Doppelpunkte (= Selbstberührungen) auf den Begrenzungspolygonen der Bereiche zu vermeiden und dadurch die Geltung der Bedingung 4 li) (i = l) zu sichern.

534
P. Alexandroff.
den Gebiete ist in einer Komponente der Menge E — C enthalten. Falls aber zwei Gebiete G/ h und G/ h in einer Komponente der Menge E — C enthalten wären, so würde es einen diese Gebiete innerhalb B verbindenden, C nicht treffenden Weg geben und der entsprechende Schnitt würde den Zusammenhangsgrad von B 1 erniedrigen. Da letzteres zufolge unserer Voraussetzung über B 1 unmöglich ist, so können keine zwei Komponenten von E — B x zu einer Komponente von E — C gehören, und also ist
(34) k(B l )£k(C).
Es bleibt uns noch ein Schritt übrig: Wir wollen nämlich die Bereiche Bm durch einfach zusammenhängende, allen Bedingungen l (t) bis 5 W genügende Bereiche ersetzen. Das geschieht aber sehr leicht durch wiederholte Anwendung folgenden Verfahrens:
Man ersetzt einen mehrfach zusammenhängenden Bereich B ^ durch den kleinsten Bm enthaltenden, einfach zusammenhängenden Bereich B m und streicht einfach in (33) alle in B m enthaltenen Bereiche Bf, .
Nach endlich vielen Schritten erhalten wir so ein System S3 einfach zusammenhängender Bereiche
(93) B lt B 9 ,...,B n ,
welche allen Bedingungen 1 bis 5, die durch Streichen des Indexes i aus den Bedingungen l (i) bis 5 (t) entstehen, Genüge leisten.
n
Indem wir B = B m setzen, bemerken wir einerseits, daß
m= 1
k(B)<k{B x ),
und also a fortiori
k(B)£k(G)
ist. Andrerseits genügt aber das System 33 allen Bedingungen unseres Hilfssatzes, so daß k(B)~¡¡>>t(L%) ist.
Indem wir jetzt & m =C B m setzen und das System ^ aller betrachten, erhalten wir eine 3e-Überdeckung der Kurve C. Also ist x(Lyj)7>k, und da c L s ist, so ist
k£x(L^)£x (L%) £ k(B) £k(C),
w. z. b. w.
IV. Geschlossene Kurven.
35. Aus dem soeben Bewiesenen folgt unmittelbar folgender Satz. Damit eine ebene Kurve C die gemeinsame Grenze aller durch sie in der Ebene bestimmten Gebiete sei, ist notwendig und hinreichend, daß jedes echte Teilkontinuum von C einfach zusammenhängend, die Kurve C selbst aber mehrfach zusammenhängend sei.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
535
Folgende Definition erscheint also als berechtigt:
Eine mehrfach zusammenhängende Kurve heißt geschlossen, falls ihre sämtlichen echten Teilkontinua einfach zusammenhängend sind.
Insbesondere heißt eine geschlossene Kurve regelmäßig oder unregelmäßig geschlossen, je nachdem ihre Zusammenhangszahl gleich oder größer als 2 ist.
Nach dem bis jetzt Bewiesenen sind die ebenen, in unserem Sinne regelmäßig geschlossenen Kurven mit den im Schoenfliesschen Sinne geschlossenen Kurven identisch.
Dagegen sind die unregelmäßig geschlossenen ebenen Kurven nichts anderes als gemeinsame Grenzen von mindestens 3 ebenen Gebieten.
36. Eine regelmäßig — ebensogut wie unregelmäßig — geschlossene Kurve G kann bekanntlich unzerlegbar 21 ) (d. h. als Vereinigungsmenge keiner zweier ihrer echten Teilkontinua darstellbar), also u. a. irreduzibel sein. Falls aber die geschlossene Kurve C kein unzerlegbares Kontinuum ist, so ist C = Cj + G„, wobei G 1 und C 2 notwendig einfach zusammenhängend sind und also (zufolge des Satzes des § 19) eine genau aus x(C) Komponenten bestehende Durchschnittsmenge C ± ■ C 3 = K i + /C¡ +... -f- K x (c) haben. Indem wir z. B. die Punkte a <= K x und b a K 2 wählen und sie innerhalb C 1 bzw. C 2 durch irreduzible Kontinuen C* bzw. Co* verbinden, erhalten wir eine wenigstens zweifach zusammenhängende Kurve 0* + G*, die also, mit G identisch ist; C*-C* besteht wieder aus x (C) Komponenten.
Wir können also für allgemeine geschlossene Kurven einen bekannten Satz über die ebenen geschlossenen Kurven folgendermaßen aussprechen:
Jede geschlossene Kurve G ist entweder unzerlegbar, oder sie läßt sich in zwei zwischen demselben Punktepaare a, b irreduzible, einfach zusammenhängende Kurven C 1 , C 2 derart zerlegen, daß C 1 -C 2 genau aus y-(C) Komponenten besteht.
37. Falls eine geschlossene Kurve imzerlegbar ist, so ist sie natürlich ein (sogar gleichzeitig zwischen unendlich vielen ihrer Punktepaare) irredu- zibles Kontinuum. Eine geschlossene Kurve kann aber ein zwischen gewissen Punktepaaren irreduzibles Kontinuum sein, ohne dabei notwendig ein unzerlegbares Kontinuum zu bilden.
21 ) Beispiele von unzerlegbaren Kontinuen waren zuerst von Brouwer („Zur Analysis Situs", Math. Ann. 68) gegeben. Ihre Theorie war später von Janiszewski und Kuratowski in ihrer Arbeit „Sur les continus indécomposables", Fund. Math. 1, entwickelt worden. Letztere Arbeit wird in diesem Abschnitt als bekannt vorausgesetzt.

536
P. Alexandroff.
Um das einfachste Beispiel einer solchen Kurve zu haben, braucht man nur
c = c*+c*
Fig. l.
zu setzen, wo C* das in der xoy -Ebene gelegene, durch eine Modifikation des bekannten Brouwerschen Kontinuums entstandene, auf der Fig. 1 dargestellte unzerlegbare Kontinuum ist und C',¡, sein Spiegelbild in bezug auf die x- Achse. Offenbar ist C*-C% in einer einzigen Menge ißc«, c» bzw. 5ßc„c, enthalten 22 ).
3ä ) Es dürfte vielleicht von Interesse sein, an dieser Stelle zu bemerken, daß, falls C = jF ± + F. 2 eine Zerlegung irgendeines unzerlegbaren Kontinuums .0 in zivei echte abgeschlossene Teilmengen ist, F, ■ F„ notwendig aus unäbzählbar vielen Komponenten besteht. Es sei in der Tat î|5 c die Menge aller derartigen Punkte x von C, daß C zwischen a und x reduzibel ist. Bekanntlich ist in unserem Falle jede iß a Menge ein in C dichtes Semikontinuum, das in bezug auf C eine Menge von der ersten Kategorie (im Baireschen Sinne) darstellt. C wird in dieser Weise in un- abzählbar viele zusammenhängende, zueinander fremde Teilmengen zerlegt, die die Eigenschaft haben, daß jedes echte Teilkontinuum von C in einer dieser Teilmengen enthalten ist. Da kein ß (als in C dichte Menge) in einer der Mengen F,, F 2 enthalten sein kann, und da c zusammenhängend ist, so enthält jedes c Punkte von F t -F s . Da andrerseits keine Komponente der Menge F 1 ■ F., mit mehr als einem iß o ß gemeinsame Punkte haben kann, so ist die Mächtigkeit der Menge aller Komponenten von F 1 ■ F. 2 mindestens gleich der Mächtigkeit der Menge aller s $a.C' s ' e unabzählbar und folglieh (da es sich um Komponenten abgeschlossener Mengen handelt) von der Mächtigkeit des Kontinuums.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
537
Falls a'" und b * zwei in untereinander und von c , verschiedenen c* und enthaltene Punkte sind und b* das Spiegelbild von b*
ist, so ist G zwischen a* und b * irreduzibel.
C ist eine regelmäßig geschlossene Kurve. Man könnte aber leicht auch eine unregelmäßig geschlossene Kurve von derselben Art konstruieren.
38. Die soeben betrachtete Kurve G ist zwar zerlegbar, wohl aber als Vereinigungsmenge zweier unzerlegbarer Kontinuen definiert worden. Wir wollen zeigen, daß dies kein Zufall ist. Es besteht in der Tat folgender Satz. Jede (regelmäßig oder unregelmäßig) geschlossene Kurve C, für die es wenigstens ein Paar von Punkten a, b gibt, zwischen denen sie irreduzibel ist, ist entiveder unzerlegbar oder Vereinigungsmenge ziveier unzerlegbarer Kurven.
Beweis. Da G kein unzerlegbares Kontinuum ist, so gibt es zwei echte Teilkontinua G i , 0 2 von G, deren Vereinigungsmenge die ganze Kurve C ist. Da die beiden Punkte a und b gleichzeitig weder zu C 1 noch zu C„ gehören können, so ist z. B. a <= G 1 — C 2 und b <= C 2 — C 1 . Wir werden zeigen, daß man außerdem voraussetzen darf, daß C 1 — C 2 bzw. Co — C 1 in C x bzw. in G„ dicht sind, d. h. daß C 1 = C 1 — C 2 bzw. C 2 = C 2 — C 1 ist.
In der Tat, falls dies nicht der. Fall wäre, so würden wir setzen:
(35) G* = Gomp b (0,-CJ,
(86) C* — Gomj^ {Gy — G* ),
wobei wie üblich Comp x M die Komponente des Punktes x in bezug auf die Menge M bedeutet.
Bekanntlich 23 ) folgt aus (35) (da G 1 -G„ sicher nicht leer ist), daß C*-C t , und also zufolge (36) auch C*■ C* nicht leer ist. Daraus ergibt sich aber, daß C* + ein beide Punkte a und b enthaltendes, folglich mit G identisches Kontinuum ist.
Weiter ist (da z.B. Comp b (C a — C 1 ) <= G* und also mit C* ■ Comp b (C 2 — CJ identisch ist):
G* = Comp b (C 2 - G x ) e C*- Comp b (C 2 - CJ <=
 /~t* r\ r- r\* r\*
*_y o 1 2 1 '
P* = Com^iG, - G*) = C*- Comp a (Ç x - G*) ¿
= c*~c*.
- 3 ) Auf Grund eines (von Janiszewski in Journ. Ec. Polytechnique, (2) 16 (1912) bewiesenen) allgemeinen Satzes, der besagt, daß, wenn F und <1> abgeschloß sen sind, und sowohl F- <I> als l' 1 — <I> nicht leer sind, jede Komponente von F— <I> zu ® gehörende Häufungspunkte hat.
Mathematische Annalen. 96. 35

538
P. Alexandroff.
Die beiden Kontinuen C* und C* genügen allen unseren Voraussetzungen und können G ± und G„ ersetzen.
39. Wir setzen also voraus, daß G = G í -{- C 2 und
(37) ac= C i — Cjc C^C,; b^G^-G^G^ C¡- G,
ist, und beweisen jetzt, daß G 1 und G„ unzerlegbar sind.
Zufolge dem Additionssatze besteht C x ■ C 2 mindestens aus zwei Komponenten. Es seien also c und d zwei zu verschiedenen Komponenten der Menge G^^-G^ gehörende Punkte.
I o . G i ist irreduzibel zwischen c und d. In der Tat, falls ein echtes, beide Punkte c und d enthaltendes Teilkontinuum K 1 von G 1 vorhanden wäre, so wäre G 1 — K 1 ein Relativgebiet von G 1 und, da G 1 — G„ in G 1 dicht ist, so würde man einen Punkt
p<=C 1 — (K i + 4| ) finden können. Das Kontinuum K ± + C 2 ist also sicher von G verschieden, was unmöglich ist, weil (da c und d zu K x -C<¿ und zu verschiedenen Komponenten von G x ■ C 2 also a fortiori zu verschiedenen Komponenten von K t ■ G„ gehören, und folglich K 1 ■ C 2 nicht zusammenhängend ist) K x + C„ zufolge dem Additionssatze kein einfach zusammenhängendes Kontinuum ist.
2° Cj ist zwischen a und d irreduzibel. Falls in der Tat Q 1 ein den Bedingungen
a + d<= Q, c= G 1 — p, pc-G 1 — C^
genügendes Kontinuum wäre, so würde Q x + C 2 von C verschieden sein, was unmöglich ist, da
a + b cz Q 1 + C 2 1= C,
und d <= Q x • C 2 , also Q 1 -f- C 2 ein der Irreduzibilität von G zwischen a und b widersprechendes Kontinuum ist.
3° G i ist zwischen a und c irreduzibel. Der Beweis ist demjenigen von der Behauptung 2° ganz analog.
Da C 1 zwischen jeden zwei unter den Punkten a, c, d irreduzibel ist, so ist C x ein unzerlegbares Kontinuum" 4 ).
In derselben Weise würde man auch die Unzerlegbarkeit von C. 2 zeigen können, womit unser Satz bewiesen wird.
40. Der soeben bewiesene Satz läßt sich — wenigstens teilweise — umkehren: wir wollen nämlich folgendes beweisen:
-') Letztere Behauptung ist bei Janiszewski und Kuratowski, loe. cit. bewiesen.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
539
Jede endlich hoch zusammenhängende (also insbesondere jede regelmäßig) geschlossene Kurve, die die Vereinigungsmenge zweier unzerlegbarer Kontinuen ist, ist (und zwar zwischen unabzählbar vielen ihrer Punktepaare) irreduzibel.
Es sei
G = Cj -f- C 3
eine geschlossene Kurve mit endlicher Zusammenhangszahl k = y.(C), die als Vereinigungsmenge zweier unzerlegbarer Kontinuen C 1 und 0 2 dargestellt ist. Da G 1 und C 2 einfach zusammenhängend sind, so besteht G 1 -C ¡1 aus k Komponenten und ist also in höchstens Ic verschiedenen er bzw. c 2 - Mengen enthalten. Diese endlich vielen Mengen wollen wir für einen Augenblick ausgezeichnete Mengen nennen.
Es sei nun ^ c¡ bzw. c .. eine nicht ausgezeichnete Menge (deren es unabzählbar viele gibt) und p bzw. q ein Punkt von Cj bzw. Sßg.c,. Es sei weiter K irgendein zwischen p und q irreduzibles Teilkontinuum von C. Wir wollen zeigen, daß K notwendig jedes der Kontinuen C 1 und C. j enthält und folglich mit C identisch ist. Es genügt zu zeigen, daß ist (weil die Inklusion K => G 2 in genau derselben Weise
verifizierbar ist).
Wir bemerken zuerst, daß p im Relativgebiete K — C 2 enthalten ist. Es existiert also 25 ) ein Teilkontinuum P von K, das der Bedingung
p a Pez K — C„ciC L ,
P-C. + 0
genügt. Es sei p' irgendein Punkt von P- C„ cz C\ ■ G„. Da p' notwendig zu einer ausgezeichneten (also von c, sicher verschiedenen) Menge gehört, so ist C 1 irreduzibel zwischen p und p' und, da p -¡- p'<=. Pc C ist, so ist P = C 1 und folglich C 1 czK, w. z. b. w.
Die Frage, ob es eine unendlich hoch zusammenhängende geschlossene Kurve gibt, die zwischen keinem Punktpaare irreduzibel ist, bleibt offen (obwohl wir gleich sehen werden, daß jede derartige Kurve entweder unzerlegbar ist oder durch Vereinigung zweier unzerlegbarer Kontinuen entsteht).
Dagegen ist es leicht (nicht geschlossene) Kurven zu konstruieren, die Vereinigungsmengen zweier unzerlegbarer Kontinuen sind und die zwischen keinen zwei ihrer Punkte irreduzibel sind: um dies zu erreichen genügt es, wie leicht ersichtlich, zwei derartige unzerlegbare Kontinua C\ und C.¡ zu konstruieren, daß jedes c¡ mit jedem ^<7, gemeinsame Punkte hat. Es sei nun C 1 das im Einheitsquadrate [1] der xoy- Ebene
25 ) Siehe Fußnote 2S ).
35*

540 P- Alexandroff.
konstruierte Brouwersche Kontinuum der Fig. 2 und C„ das (dem Konti- nuum C 1 kongruente) Kontinuum, das aus C 1 durch eine Drehung von der Amplitude ^ entsteht um den Mittelpunkt des Quadrates [1]. C=C 1 -j- C„
¿t "
ist zwischen je zwei seiner Punkte reduzibel.
Fig. 2.
41. Wir erwähnen noch folgenden wichtigen
Satz. Jede unregelmäßig geschlossene Kurve ist entiveder unzerlegbar oder die Vereinigungsmenge zweier unzerlegbarer Kontinua.
Der Beweis ergibt sich durch wörtliche Wiederholung des Gedankenganges, mit Hilfe dessen Herr Kuratowski auf dem Janiszewskischen Zerlegungssatz fußend einen analogen Satz für ebene unregelmäßig geschlossene Kurven (die bei ihm als gemeinsame Grenzen von mindestens 3 Gebieten erscheinen) beweist'- 6 ). Nur ist im vorliegenden allgemeinen Falle der Janiszewskische Zerlegungssatz durch unsern Additionssatz zu ersetzen.
Ko rol lar. Jede endlich hoch zusammenhängende, unregelmäßig geschlossene Kurve ist (zwischen unabzählbar vielen ihrer Punktepaare) irreduzibel.
26 ) Kuratowski, Sur les coupures irréductibles du plan. Fund. Math, (i (1924), S. 136 bis 139.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
541
V.Stetige Kurven.
42. Unter einer stetigen Kurve verstehen wir (unter Aufgabe des Schoenflies-Hahnschen gleichlautenden Begriffes, der sich nach den neuesten Entwicklungen der Kurventheorie, durch welche der Kurvenbegriff endgültig festgelegt sein dürfte, nicht länger aufrecht erhalten läßt) eine allgemeine Kurve, die im Kleinen zusammenhängend ist. Diesen stetigen Kurven soll der vorliegende letzte Abschnitt gewidmet sein. Insbesondere erlauben die stetigen Kurven endlicher Zusammenhangszahl eine, wie es scheint, erschöpfende Charakterisierung ihrer topologischen Struktur.
Die einfachsten unter allen stetigen Kurven sind natürlich der einfache Bogen (d. h. das topologische Bild einer geradlinigen Strecke) und die einfache geschlossene (Jordansche) Linie, die wir kurz Kreis nennen werden, weil sie topologisch mit der Kreislinie identisch ist.
43. Die stetigen Kurven erlauben, die abstrakten Definitionen der §§ 13, 14 auf einen geometrischen Boden zu übertragen. So sagen wir, daß ein System von Kreisen ein Nullsystem ist, falls jeder Punkt, der einem Kreise des Systems gehört, wenigstens noch in einem Kreise desselben Systems enthalten ist. Ebenso nennen wir ein System von Kreisen irreduzibel, wenn unter seinen sämtlichen Teilsystemen kein Nullsystem vorkommt.
44. Der Beweis des Satzes, daß jede als ein Bogenkomplex darstellbare stetige Kurve eine Zusammenhangszahl ^ k hat, sobald sie ein irreduzibles aus k — 1 Kreisen bestehendes System enthält, läßt sich leicht (z. B. mittels eines elementaren Induktionsverfahrens) darstellen. Daraus folgt aber, daß jede stetige Kurve, die ein irreduzibles (k — 1 )- Kreissystem 27 ) enthält, mindestens k-fach zusammenhängend ist. Man könnte die Umkehrung dieses Satzes direkt beweisen, wir werden sie aber bald als Teil eines genauer gefaßten Satzes erhalten.
45. Bevor wir zur Formulierung dieses Satzes schreiten, führen wir folgende Definition ein. Wir sagen, daß eine (im allgemeinen nicht abgeschlossene) zusammenhängende Menge M ein offener ¿-fach zusammenhängender Bogenkomplex ist, falls M die Darstellung
M = (1 4- Y 1 Ñ- ■
k,% lt i>'¿ » • i •) Z/Í
zuläßt, wobei folgendes erfüllt ist:
I o C 0 ist eine i -fach zusammenhängende, als ein Bogenkomplex darstellbare Kurve.
2 ') Wir werden im folgenden stets statt „ein irreduzibles, aus k Kreisen bestehendes System" einfach „ein irreduzibles k-Kreießystem", oder sogar ein Kreissystem" sagen.

542
P. Alexandroff.
2° k , »j, ¿ a , ..nehmen unabhängig voneinander alle positiven ganzzahligen Werte an.
3° ist entweder die leere Menge oder ein einfacher Bogen
a ij ¿2• • • i /c bilí*. ..»a- (einen einfachen Bogen mit den Endpunkten a und b werden wir oft durch ab bezeichnen).
4° £<,<„. ..i* ist für A>1 zu C 0 fremd; falls aber k — 1 ist, so besteht C 0 ■ Sit aus dem einzigen Punkte a (¡ .
5° Zwei Bögen 8^...^ und ( k > h) sind zueinander fremd,
es sei denn, daß k — h + 1 und j 1 — i 1 , = i„, ..., j h = i k _ 1 ist, in welchem Falle
£>i, i..... ik ' "», il ... ik—, = a i¡ i?... ik
ist.
6° Zwei Punkte a i¡ und 6,^sind immer verschieden, ebenso wie zwei Punkte b i¡in ... ik und • Dagegen können zwei Punkte
«¿i Í2 ik und djj j zusammenfallen, aber nur im Falle, wenn k — h
und i 1 = j t , .. ., 4_! = jic-i ist.
7° Zwei Bögen S i¡Í2 ... ik und S¡ 1 j„...j h sind zueinander fremd, es sei denn, daß i i = j 1 , i 2 — j a , ..., H-i = jt-i und a i¡Í2 ... ik _ iik = a ilÍ2 ...i k -iik> in welchem Falle
St, i.. ■ ■. ik — 1 ik ' Si, ú...ik-, Ik 1 a iii? ...ik-lik
ist.
8° Jede unendliche Punktfolge von der Art a i¡ , a i¡Í2 , ..., a i¡ . ik , ... ist (in M) divergent.
9° ô(Si 1 t.,...i k ) strebt gegen Null, d. h. daß für jedes e > 0 es höchstens endlich viele, der Ungleichung ô (S it ^ e genügende Bögen gibt.
46. Aus dieser Definition folgt, daß jeder in M enthaltene Kreis notwendigerweise in C 0 enthalten ist; letztere Behauptung liefert den auf der Hand liegenden Beweis, daß die Zusammenhangszahl k = y.(M ) alle Interpretationen der für gewöhnliche Komplexe L definierten Zahl y. ( L ) zuläßt.
47. Wir formulieren nun folgenden
Satz. Jede endlich hoch und zwar k-fach zusammenhängende stetige Kurve C ist die Vereinigungsmenge eines (offenen) k-fach zusammenhängenden Bogenkomplexes M und einer zu M fremden, höchstens 0-di- mensionalen, aus lauter Endpunkten"*) von C bestehenden Gs-Menge J. Dabei konvergieren zwei verschiedene Folgen vom Typus 8 0 zu verschiedenen Punkten von C.
98 ) d. h. Punkten von Verzweigungßordnung 1 (vgl. die zu Anfang dieses Aufsatzes zitierten Arbeiten von Urysohn und Menger).

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven. 543
Zufolge dem Ergebnisse des § 44 wird unser Satz bewiesen sein, sobald wir gezeigt haben werden, daß jede stetige Kurve C, die ein (k — 1)- aber kein Kreissystem enthält (¿^1), die soeben behauptete Zerlegung C = M -f- J zuläßt und höchstens ¿-fach zusammenhängend ist 2 ").
48. Um diese Behauptung zu beweisen, fangen wir mit folgendem Hilfssatz an:
Es sei G eine stetige Kurve, die ein (1c — 1 )-Kreissystem (1 ) Qii Q%> ■ • ■? Qu- 1»
aber kein ¿-Kreissystem enthält. Wir bezeichnen durch e eine beliebige positive Zahl. Dann ist jede Menge zueinander fremder Teilbögen von G, deren Durchmesser sämtlich ^ e sind, notwendigerweise endlich.
Es sei in der Tat
(2) 8 lt S s , ..., 8 n , ...
eine unendliche Folge von Teilbögen der Kurve G, die sämtlich vom Durchmesser e sind. Offenbar kann man voraussetzen 30 ), daß für jedes n
ô (S n - Q) < ~ ist, wobei Q die Vereinigungsmenge aller Kreise (1) bedeutet.
Es seien nun a n und b n zwei Punkte von S n , deren Entfernung > ~ ist. Indem man, wenn nötig, die Folge (2) durch eine Teilfolge ersetzt, kann man voraussetzen, daß die beiden Folgen aller a n (n = 1,2, ... in inf.) und aller b n konvergent sind.
Wir bezeichnen durch ô eine so kleine positive Zahl, daß jede zwei Punkte a und b der Kurve C, deren Entfernung kleiner als (5 ist, innerhalb G durch einen einfachen Bogen von einem Durchmesser < ~ verbindbar sind. Es sei nun n so groß, daß gleichzeitig
Q( a n> a n+i)< ô ' Q (b n ,K + i)< ô sind; es seien weiter a n a n+ 1 bzw. b n b n+1 die die Punkte a n und a n + 1 bzw. b n und b n + 1 verbindenden Bögen vom Durchmesser < ^ • Zufolge der Wahl der Punkte a n und b n sind a n a n+1 und b n b n+1 zueinander fremd. Es seien nun a„ bzw. b * der letzte bzw. der erste in a n a n+1 bzw. b n b n+1
-") Auch die Umkehrung des soeben formulierten Satzes ist richtig, d. h. daß jede die Zerlegung C = M-\- J zulassende Kurve eine k-fach zusammenhängende stetige Kurve ist, sobald keine zwei verschiedene Folgen vom Typus 8° zum selben Punkt konvergieren.
30 ) Indem man, wenn nötig, endlich viele Glieder der Folge (2) streicht.

544
P. Alexandroff.
enthaltene Punkt, dem man auf dem Wege a n b n a S n in der Richtung von a n nach b n begegnet. Der Teilbogen a* b* von S n ist, bis auf seine Endpunkte, zu der Menge a n a n+1 b n b n + 1 fremd und hat einen Durch-
\ / * 7 * \ ^ E Ct S 8
messer g> p(a n , b n ) > j - 2-g = j.
Auf dieselbe Weise definieren wir die Punkte a*+\ und b*+\ ■ Wenn man unter bzw. On+i b* +l den entsprechenden Teilbogen von a n b n
bzw. a n + 1 b n+1 versteht, sieht man leicht ein, daß a* +i a* + a* b*
+ K K+i + b*i+1 «»*+ 1 ein Kreis K, dessen Durchschnitt K ■ S m mit S m von einem Durchmesser > ~ ist. Unserer Voraussetzung gemäß kann also K unmöglich in Q enthalten sein, woraus folgt, daß
Qi> Q.• - •>
ein irreduzibles ¿-Kreissystem ist. Dies bedeutet aber einen Widerspruch mit den Eigenschaften der Kurve C, w. z. b. w.
49. Um unsern Beweis bequem weiter entwickeln zu können, führen wir folgende Modifikation eines bekannten Brouwerschen Begriffes ein: Wir sagen, daß eine Eigenschaft, die gewissen abgeschlossenen Mengen (eines kompakten metrischen Eaumes) zukommen kann, induktiv nach oben ist, falls aus ihrer Geltung für sämtliche abgeschlossene Mengen einer wachsenden Folge
(3)' F,c: F 2 <= . .. a F n Π. . .
die Existenz einer gleichzeitig alle Mengen der Folge (3) enthaltenden abgeschlossenen Menge F co folgt, für die die erwähnte Eigenschaft ebenfalls gilt.
Man beweist nun leicht, daß jede eine nach oben induktive Eigenschaft besitzende Menge in einer größten, dieselbe Eigenschaft besitzenden Menge enthalten ist.
50. Wir bezeichnen jetzt durch C* irgendein das gegebene (1c —- 1)- Kreissystem der den Bedingungen der Behauptung 1 (§47) genügenden stetigen Kurve C enthaltendes, in der genannten Kurve G enthaltenes Kontinuum. Wir sagen, daß der einfache Bogen S = a b a C ein ( G*, G )- Bogen ist, falls C* -S = a ist; a soll dann der Mündungspunkt des Bogens S heißen. Aus der Tatsache, daß jeder zu G gehörende Kreis bereits in G* enthalten ist und aus dem Hilfssatze des § 48 folgt dann leicht, daß die Eigenschaft eines einfachen Bogens ein (C*, C)-Bogen zu sein eine nach oben induktive Eigenschaft ist; also ist jeder (C*, C)-Bogen in wenigstens einem Maximalbogen derselben Natur — wir sagen kurz: in einem (C*, C)-Aste — enthalten. Der Mündungspunkt dieses Astes ist derselbe Punkt a, der als Mündungspunkt des ursprünglichen (C*, C)-Bogens S galt.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
545
Jeder Punkt von C*, der als Mündungspunkt wenigstens eines ( C *, C)- Bogens vorkommt, soll ein erreichbarer Punkt von C heißen. Wir beweisen jetzt, daß die Menge aller erreichbaren Punkte von C* höchstens abzählbar ist. In der Tat, wir bemerken zuerst, daß, falls a und a 1 zwei verschiedene erreichbare Punkte von C* sind und S bzw. S 1 zwei in diesen Punkten mündende, sonst ganz beliebige (C ', C)- Bögen sind, S und 8 1 unmöglich gemeinsame Punkte haben können (weil dies die Existenz eines in C* nicht enthaltenen Kreises zur Folge haben würde). Falls also unabzählbar viele erreichbare Punkte vorhanden wären, würde man unabzählbar viele paarweise zueinander fremde Teilbögen von C haben, was in einem evidenten Widerspruch mit unserm Hilfssatze steht.
51. Falls andererseits S = ab und S t = ab i zwei in demselben Punkte aczC"' mündende ( C*, G)- Bögen sind, so folgt aus den schon mehrere Male erwähnten Gründen, daß S-8 1 entweder aus dem einzigen Punkte a oder aus einem Bogen ad besteht. Letztere Bemerkung gibt Anlaß zur folgenden Konstruktion. Wir betrachten die Menge äJij aller im Punkte a mündenden Äste und wählen einen bestimmten, es sei ab 1 , unter denjenigen Ästen des Systems 9K 1 , für die /li ( a b) seinen größtmöglichen Wert annimmt; dabei bedeutet ju (ab) den Maximalwert g (a,c) von q[o,x), x<=-ab 31 ).
Vorausgesetzt,
(4) ab i ,a\,...,ab n
wären schon konstruiert. Wir betrachten dann die Menge + 1 aller mit keinem der Äste (4) einen gemeinsamen Bogen besitzender, in a mündender Äste und wählen einen bestimmten, es sei ab m + 1 , unter denjenigen Ästen des Systems 9D? m + 1 , für die /u(ab) den größtmöglichen Wert annimmt 31 ).
Auf diese Weise werden die endlich oder abzählbar vielen Äste
(5) ab 1 ,ab. 2 , ...,ab m , ...
konstruiert, wobei n{ab m )^> fi(ab m + 1 ) ist und die Folge ô(ab m ) konvergiert (falls (5) unendlich viele Elemente enthält), auf Grund des Hilfssatzes, notwendig gegen Null. Das gleiche gilt dann a fortiori für n(ab m ).
Es sei jetzt ax ein beliebiger, in a mündender Ast und m die erste natürliche Zahl, für die entweder kein ab m mehr existiert (im Falle, wenn
31 ) Ein solcher Ast ist immer vorhanden. Es sei in der Tat a die obere Grenze aller in Frage kommender /i ( a b), und es seien ferner a n b„ (n = 1, 2, ...) so gewählt, daß lim fi (a„ b„) = lim g (a n , c n ) = a ist, und gleichzeitig c = lim c n existiert. Es genügt dann (für ein hinreichend großes n), c mit c„ durch einen kleinen Bogen c^c zu verbinden, einen ( C *, C)- Bogen a~c aac n + c n c zu wählen und einen letzteren Bogen enthaltenden Ast zu betrachten.

546
P. Alexandroff.
(3) endlich ist) oder ju(ab m ) </.i(ax) ist. Falls es kein h < m gäbe von der Beschaffenheit, daß ab h mit a~x einen Bogen gemeinsam hat (also insbesondere, falls m= 1 wäre), so wäre ab m (bzw. die leere Menge statt eines ab m ) falsch gewählt. Also gibt es ein ab h , das der soeben erwähnten Bedingung genügt, und, da h <¡ m — 1 ist, so ist ¡i (a b h ) fi (a x).
Indem wir diese Konstruktion für jeden erreichbaren Punkt aczC* ausführen, erhalten wir ein höchstens abzählbares System von (C*, (7)-Ästen
(6) S 1 , &¡, ..., S n , ..., S n — a n b n ,
die folgendermaßen beschaffen sind:
I o . Zwei Äste des Systems (6) haben entweder keinen oder nur einen gemeinsamen Punkt, der dann ihr gemeinsamer Mündungspunkt ist.
2°. Jeder (C*, C)-Ast cTx hat mit einem Aste S m — a m b m des Systems (6) einen gemeinsamen Bogen a m d (insbesondere ist dann natürlich a = a m ) und ist zu allen übrigen Ästen des Systems (6) fremd, bis evt. auf seinen Mündungspunkt.
3°. Falls ax mit a m b m ( a m = a ) einen gemeinsamen Bogen hat, so ist /t (ax) <L/¿(ab m ).
4°. lim ô (S n ) = 0.
n->co
Ein den Bedingungen I o , 2°, 3°, 4° genügendes System (6) werden wir eine (G*,C)-Basis oder kurz eine 33 (C*, C) nennen.
52. Es sei Q die Vereinigungsmenge aller Je — 1-Kreise, die ein irre- duzibles, in G enthaltenes, System bilden. Falls Q zusammenhängend ist, setzen wir G 0 = Q . Falls aber Q aus mehreren Komponenten besteht, erhalten wir eine Q enthaltende Kurve C 0 aC, indem wir die verschiedenen Komponenten von Q innerhalb C durch eine gewisse Anzahl einfacher Bögen verbinden. Im Falle k = 1 setzen wir dabei C 0 einem beliebigen in C enthaltenen Bogen gleich. C 0 kann evidentermaßen als ein ¿-fach zusammenhängender Komplex betrachtet werden. Wir konstruieren jetzt eine aus den einfachen Bögen
( 1 1 , S 2,..., S{ 1 ,... 5 S ix = o\, b j i
bestehende 93 (C 0 , G ). Der Bedingung 4° zufolge ist C 0 + S {l = C 1 eine
<»i>
abgeschlossene Menge, also ein Kontinuum, und jeder erreichbare Punkt von C x gehört zu einem einzigen der Bögen S^.
Es sei jetzt das Kontinuum
Ci = Gk-i + JE ^ii ii ■■■ ik c C
(¿1 ,¿2 *k)
unter der Bedingung, daß jeder erreichbare Punkt von C k zu einem und

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven. 547
nur einem der Bögen ,- 2 . it gehört, bereits konstruiert. Wir konstruieren dann eine 93 (C k ,C) und bezeichnen diejenigen Bögen der letzteren Basis, die in Punkten von $ ¿li ik münden, der Reihe nach durch
Ù ■ ■ . i/i 1 ) ^ii iz ... ik 2 5 • • • ) 8 il .. . ik ik + 1 ' • ' *
'S»! ¿2 . ..ik ik + 1 = ( a il h ■■ ■ «A-W + l ^<1 ¿S • • . »A i k + 1 ) •
Eine leichte, auf wiederholter Benutzung der Bedingung 4° des §51 beruhende Überlegung zeigt, daß C A . +1 = C k • + Si,i,...i k ik + i e ' n
(il tj . ■ . ik ik + l)
Kontinuum ist; jeder erreichbare Punkt dieses Kontinuums gehört dabei zu einem einzigen i 2 ...i k i k hl .
Das Verfahren kann nur dann im Endlichen abbrechen, falls für ein bestimmtes m C m = C ist.
53. Es sei jetzt M = y, C k , also M = C 0 ¿ Si, . Aus
Ä — 0 jfc, î'i t 2 . . . ijf
unserer Konstruktion ergeben sich die Eigenschaften I o bis 7° des § 45 unmittelbar.
Der Beweis der Eigenschaft 9° läßt sich leicht auf den Hilfssatz (§48) zurückführen (auf Grund der Bedingungen 5° und 7° 32 )).
Was die Voraussetzung 8° betrifft, so ergibt sie sich folgendermaßen: Aus 5° und 9° folgt, daß, falls ein Punkt bczM, also b c= C k (für ein bestimmtes k) ein Häufungspunkt der Menge
O.X > ^i ] Î 9 "i, i 2 ... ik S * • •
wäre, so würde diese Menge notwendigerweise nach b konvergieren. Daraus
CO
und aus unserem Hilfssatz folgt, daß die Menge a ¡i ú T k «¡, ú i k it + ■ +
i 2 ' _
(wobei a¡, ik a h ¿ 2 ...¿ A . ÍA+1 als Teilbogen von ¡s ... ¡ k = a,-, fl ...,•* ó,-,, A . eindeutig bestimmt ist) ein einfacher Bogen W 1 ist.
Indem man und b innerhalb C k verbindet, erhält man einen zweiten einfachen Bogen W„ und dann enthält W x + W„ einen zu Q nicht gehörenden Kreis. Durch diesen Widerspruch ist bewiesen, daß auch 8° stimmt und daß also M ein offener Komplex ist.
Außerdem ist aber in der letzten Überlegung auch der Beweis dafür enthalten, daß jede Folge
(8) S il ,S ilii ,...,S il i,... ik> ... in eineindeutiger Weise einen Punkt
(9) lim S h ik = b it ... c zG — M
1: -> co
bestimmt.
32 ) Man vgl. evtl. mit § 56.

548
P. Alexandrofï.
Wir werden jetzt zeigen, daß umgekehrt jeder Punkt feC— M ein Punkt b¡ 1 ,- 2 ... i k .. . von der Art ( 9 ) ist.
Es sei £ ein beliebiger Punkt von C — M und a £ irgendein einfacher Bogen, der £ mit einem Punkte aaC 0 verbindet. Indem wir evtl. a£ durch einen Teilbogen ersetzen, können wir voraussetzen, daß a der einzige zu C 0 gehörende Punkt des Bogens a£ ist, so daß a£ ein (C 0 , 0)-Bogen und a = a- H sein Mündungspunkt ist. Es folgt also aus dem bis jetzt bewiesenen, daß a £ mit einem bestimmten Bogen a¡ 1 6 tl = einen Bogen a tl • a t¡ gemeinsam hat (wobei der Teilbogen a¡ lt -„f ein in a tl ,- 2 mündender (Cj, C)-Bogen ist). In dieser Weise fortfahrend, erhalten wir auf a£ eine Reihe aneinander anschließender Bögen.
(10) a o», ¿J = o», ßi l i, , a il i, », » . • • i Oij ;j... t' A - ®<, ¿a ... i'a û + 1 »
Diese Bögen konvergieren gegen einen Punkt b¡ r ¡ , k ..., der auf dem
Bogen ci£ liegt. Ich behaupte, daß = £ ist. In der Tat, falls
dies nicht der Fall wäre, würden wir durch k die erste Zahl bezeichnen, für die Ô ( a h ik <,...<*)< 6 ( «¡3 «... - <*> f ) ist - Da der Teilbogen a i± ,- 2 ... £ von a£ ein in o,-, , 2 ... ik mündender C)- Bogen ist, der mit S il , A .
den gemeinsamen Bogen a fl , 2 ... a ix , 2 .. . ¡A . ¡ /í+i hat, so widerspricht die letzte Ungleichung der Bedingung 3° des §51.
Ein analoger Widerspruch würde uns den Beweis dafür erbringen, daß a £ = «¿J bi L , /; ... ein Ast ist.
54. Wir bezeichnen durch J die Menge aller Punkte 6,-^
durch J ili% ...i k die Menge aller Punkte ^ ..., wobei
fest gedacht sind, die h dagegen alle Werte annehmen. Wir haben bewi esen, daß C = .M + J ist, uns bleibt jetzt noch übrig zu zeigen, daß J eine (falls nicht leere!) nulldimensionale, nur aus Endpunkten der Kurve C bestehende Gs- Menge ist. Daß J eine G¿- Menge ist, folgt einfach daraus, daß M eine F a - Menge ist. Um zu beweisen, daß J nulldimensional ist, genügt es zu zeigen, daß J aus lauter Endpunkten besteht (weil die Menge aller Endpunkte jeder Kurve höchstens null-dimensional ist 33 )).
55. Bevor wir für jeden Punkt 6$,^...^ ... die Gleichung
ind G =1
b. .
ï\ lo ... Vi • ••
beweisen, bezeichnen wir durch ... ik den offenen Komplex
£»,»,...«+ 2 Si,i,...i k ,h 1 h 2 ...hi, und bemerken, daß ein Punkt &< f i,h, h,
niemals Häufungspunkt eines Mj 1 j 1 ...j k sein kann, es sei denn, daß
33 ) Urysohn, a.a.O. *); Menger, Math. Ann. 95, S. 283.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven. 549
j 1 = ¿1, j 2 = j k = i k ist. In der Tat, falls ein Punkt b ¡¡ ¿ 2 ... ¿ A . ...
der Menge J ein Häufungspunkt von wäre, so würde eine Punktfolge von der Art
zu 6»,t,...i k konvergieren; dann wäre aber
i¡¡ » 2 ... ik ... "t - O-h3i ■■■ik+h 3i ■ ■ • 3 k + h + 1 ' h=0
(zufolge unserem Hilfssatze) ein den Punkt 6^4...^... als Endpunkt besitzender einfacher Bogen, also wären die Punkte 6,-und bj 1 j,...j k ...
identisch, was nur dann möglich ist, wenn für jedes k i k — j k ist.
Aus dem soeben Bewiesenen folgt, daß dieKontinuen ,- 2 ... i k = Mi, ¿ 2 ... ¿ A . folgenden Bedingungen geniigen:
1Z; ^ j 2 ... ij. — -Mi, ï 2 ...i Ä -(- Ji¡ i„... ik )
-Ktj t'j... i'a ' Ci— 1 == ®ij i 2 ... ú- )
3i- -Ktj ij... ¿i ' ; 2 ... ja- — $»1 i'í ... ik ' ii ■ ■ ■ jk >
4 1- Ki, i,...i k und h^tk, sind zueinander fremd, abgesehen
von dem Falle i 1 =j 1 , ..., i k = j k , in welchem ¿ 2 ... í /; = -Kt, ¿ 2 ... i k ... < A ist.
CO
5 i- H K tl ¡ 2 ... = ôij t 2 .,. i k ... fc=l
56. Es seien jetzt
(11) K.l .1 .1, iL 2.3 .2,..., K.m m .m ...
l l *2 ■ " l ki l l *2 • * * l &2 1 2 ' • • Arn
alle untereinander verschieden. Wir wollen zeigen, daß unmöglich für alle m die Ungleichung
(12) ô(K.m.m ,m)^>e
'1 '! 'k,„ —
gelten kann. Falls sie in der Tat erfüllt wäre, so würde man zwei Fälle betrachten müssen:
a) Alle k m sind kleiner als eine bestimmte Zahl N. Dann könnte man voraussetzen (indem man (11), wenn nötig, durch eine Teilfolge ersetzt), daß alle k m = k sind, was zufolge 3 1 zu einem Widerspruche mit unserem Hilfssatze führen würde.
b) Es gibt unter den k m beliebig große. Dann kann man voraussetzen, daß k m < k m + 1 — 1 ist, womit auf Grund von 2| derselbe Widerspruch erreicht wird.
Wir können also zu den Bedingungen 1°. bis 5¿, denen die Kontinuen
Ki l i i k genügen, noch die folgende hinzufügen:
6 1 Für keine positive Zahl e gibt es unendlich viele der Ungleichung ^{K il ú...i k )^s genügende K i¡h ... ik .

550 P. AlexandroS.
57. Wir ziehen aus 6£ eine wichtige Folgerung.
Es sei k, i 1 , i„, ..., i k beliebig gegeben. Dann bezeichnen wir durch
 ik
y Kjdie Vereinigungsmenge aller K jl mit Ausnahme
von
Falls x' und x" zwei von allen Punkten o»,»,...»*»*,., verschiedene Punkte des Bogens Si, !jt sind, so bezeichnen wir ferner durch
x' x"
2 K h k ... ikik+1 die Vereinigungsmenge aller derjenigen K ijh ,,. ik i k+1 (¿j , i k fest, i k + 1 variabel), für die die entsprechenden a il ù... ik i k ^
zu dem Teilbogen x' x" von Ä tj ¡2 ... t/i . gehören 34 ). Dann folgt leicht aus 6£ ; daß die Mengen
(13) \ h ... ik
(14) A it. .h = + *¿Ki,i,...i kik »
(15) 35 ) 4C..i k ={Cic-i+ l 2 , "K uk ... jk ) +
Ct/ í i, X ^4 V I;
+ ar—. ik x' + x"b ilk .,. ik + V + 2" abgeschlossen sind, daß außerdem
»i • •. ik -f - i-2 - ■ ■ >k ~ @ d il ¿2 ... ik ' K-ii = a h k ■ ■ ■ ik '
Ax'x" I ax' x" /-ï a x' x" a X ' x " t I //
¿i »2...>/,• ~r ij... ú ^ > "i, íj ... ¿* " tj ... 4- — ® r ® is t und daß, falls -i- bzw. q(x',x") genügend klein sind, ô (k^ ú...i k )
bzw. ô (A* i*... i k ) beliebig-klein, wird^
Es sei £>0 und ein Punkt 6^^...^.... beliebig gegeben. Wir bestimmen k unter der Bedingung ô < e. Dann liefert die Zerlegung
^ = -4«! 12 . . . i¡- ~f" ^ i'l int., i k ~"f~ -ö«, » 2 . . . 1/. )
wobei A^ ®í 1 ¿2...¿t und
gesetzt ist, eine e-Aussonderung des Punktes ¿ Ä ... mittels des einzigen
Punktes a tj ,- 2 ...,- A . Da e beliebig ist, bedeutet dieses Ergebnis, daß 6, xA .... ein Endpunkt ist.
3J ) Man könnte auch voraussetzen, daß x' x" ein keinen Verzweigungspunkt von C 0 enthaltender Teilbogen von C 0 ist, wobei x' und x" von allen a¿, verschieden sind. Indem man Q * = C 0 — (x' x") + x' + x" setzt und in 2* Ki 1 die Summierung über alle Ki ¡ mit Q* versteht, würde man in (14) k= 0 bringen und (15) durch
A x ' *" = Q* + 2* Ki,
ersetzen.
35) Wj r setzen voraus, daß die Punkte i k , x',x", hi L i^ ...i k in der hier gegebenen Ordnung aufeinander folgen.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
551
Es sei jetzt x irgendein von a¡ ¡ i.,...i,. , & tl ¡,. ... i k und allen Punkten aí 1 « I ...i/tt A+ j verschiedener Punkt von S it bzw. von allen Verzweigungspunkten der Kurve C 0 verschiedener Punkt dieser letzten Kurve. Wir nehmen einen den Punkt x enthaltenden Teilbogen x'x" von S¡ ¡ ¡,, ... bzw. G 0 und sorgen dabei nur dafür, daß x und x" in keinen Punkt a» 1 » 2 ...t A »A +J fallen und daß ô (A*£...»>)< e ist 38 ) (wobei e eine beliebige feste positive Zahl ist).
Indem man
a x = A,r¿u - (»'+«") d * =- (*'+®")
setzt, erhält man die e- Aussonderung des Punktes a;:
C = A x + (x' + x") + D x .
Also ist ind^ G = 2, falls x von allen Punkten a¡ ¡ ik , b¡ ¡ ,- 2 ... i(t ., 6,-, ..., und von allen (endlich vielen!) Verzweigungspunkten der Kurve C 0 verschieden ist. In analoger Weise würde man beweisen, daß jeder Punkt 6,-, ...i k ein Endpunkt ist.
58. An die Mengen ÜT,^ und schließen sich in natürlicher
Weise folgende Mengen an. Es sei ein ^... ljt beliebig gegeben. Wir betrachten alle diejenigen ¿ ; ... , j k , die einen Durchmesser ^ e haben und für die außerdem = a,ist. Auf jedem dieser (notwendig
endlich vielen) K il ^,..j k (es seien K m r e ) wählen wir einen Punkt x m unter der Bedingung, daß
«„«= H- «(.<,...<*/»„ ( wie auch h+ 1 gewählt sei!)
und
S ( A a<) ''=■■■ ® m ) < e
sei. (Der Bogen .,i k x m gehört selbstverständlich zu $ 4i .. .¿™).
Wir nehmen endlich einen den Punkt x i¡ i ¿ /t enthaltenden Bogen
a;' x" <= S í ^ ú .. der so beschaffen ist, daß erstens a;' und a;" von allen A verschieden sind und zweitens der Durchmesser der Menge
, ,, ÍC'
. A.® * • . y r f - • . i
a — iu Z j ^t x to ... i/,-_ i , Jk ^
íc ' x"
(wobei ik Z auf alle diejenigen G ¡ l i t ...i k _ Il j k erstreckt ist, für die
in x'x" enthalten, jedoch von verschieden ist) kleiner als e ist.
Wir definieren jetzt
»V , „
A f . . y A a *'j H '••ik X M -1- . A?
m=l
36 ) Falls a ;c= (7 0 , sollen die Bedingungen der Fußnote 34 ) erfüllt sein.

552
P. Alexandroff.
59. Die Konstruktion läßt sich auch für jeden Verzweigungspunkt v i der Kurve C 0 ausführen, nur muß man die Punkte x m auf den endlich vielen sich an v { anschließenden Bögen von C 0 wählen und auf x' und x" gänzlich verzichten. Wir erhalten dann insbesondere (falls v i von allen a¿, verschieden ist):
K = i t\ ViX ' n ,
m=1
wobei r die Anzahl der sich an v i anschließenden in C 0 enthaltenen Bögen (d. h. ind„ ( C 0 ) bedeutet.
60. Nun läßt sich aus den abgeschlossenen Mengen f,...»*, A
A/, i k , für jedes s eine e- Uberdeckung $ß (£) der Kurve G konstruieren, deren sämtliche Zyklen in ein-eindeutiger Weise den in G 0 enthaltenen Kreisen entsprechen. Daraus folgt aber, daß x = x (C 0 ) ist; da dies für beliebiges e gilt, ist x (C) <1 x (C 0 ), folglich x(C) = x(C 0 ), w. z. b. w.
Korollar 1. Damit eine stetige Kurve lc-fach zusammenhängend sei, ist notwendig und hinreichend, daß sie ein irreduzibles (Je—1 ) - Kreissystem und kein k-Kreissystem enthält.
Korollar 2. Es gibt keine unregelmäßig geschlossene stetige Kurve. Korollar 3. Die einzige geschlossene stetige Kurve ist der Kreis. (M. a. W. in derselben Weise, wie die Irreduzibilität und die Stetigkeit den einfachen Bogen charakterisiert 37 ), so charakterisiert die Geschlossenheit und die Stetigkeit den (topologischen) Kreis.)
Dieses Ergebnis kann auch folgendermaßen formuliert werden:
Satz. Damit ein kompakter metrischer Raum G einer Kreislinie homöomorph sei, ist notivendig und hinreichend, daß für jedes s > 0, G als Vereinigungsmenge eines Systems endlich vieler Kontinuen darstellbar sei, deren Durchmesser sämtlich < e sind und von denen jedes genau mit zwei anderen Kontinuen desselben Systems gemeinsame Punkte hat. Ein entsprechender Satz gilt auch für den einfachen Bogen.
Weitere Korollare des Hauptsatzes dieses Kapitels sind folgende: Korollar 4. Eine endlich hoch zusammenhängende stetige Kurve enthält höchstens abzählbar viele Verzweigungspunkte, die alle eine (begrenzt oder unbegrenzt 3S )) endliche Ordnung haben.
Daraus ergibt sich:
3 ') Mazurkiewicz, Fund. Math. 1.
38 ) ein Punkt v von C heißt Punkt von „unbegrenzt endlicher Ordnung" (nach Urysohn ind„ C= a>, nach Menger Oi'dnung„ C= w), falls man für jedes £ > Ou mit
einer endlichen Punktmenge e — aussondern kann, deren Kardinalzahl mit i not-
e
wendig gegen oo strebt.

Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
553
Korollar 5. Eine endlich hoch zusammenhängende stetige Kurve enthält kein Urysohnsches Verdichtungskontinuum 3B ).
Letzteres Ergebnis kann auch folgendermaßen formuliert werden 38 ):
Korollar 6. Jedes Teilkontinuum einer endlich hoch zusammenhängenden stetigen Kurve ist eine stetige Kurve 39 ).
Da jeder Verzweigungspunkt der Kurve C entweder unter den (endlich vielen) Verzweigungspunkten der Kurve C 0 oder unter den Punkten a ¿] enthalten ist, so gilt der
Korollar 7. Für jeden Verztveigungspunkt v der Kurve C gibt es zueinander bis auf den Punkt v fremde, v als Endpunkt besitzende Bögen, und zwar ist die Anzahl dieser Bögen gleich der Verzweigungsordnung ind t; C des Punktes v, falls letztere Zahl endlich ist. Falls aber ind^ A = co ist, so gibt es unendlich viele zueinander bis auf v fremde Bögen vc l} vc 3 , ..., vc m , ... (deren Durchmesser selbstverständlich gegen Null konvergieren 40 )).
61. Indem wir die Kurve C 0 in endlich viele Bögen
TT T
1 ' 2' • * * 5 Wo
zerlegen, dann alle ... i k in eine einfache Folge
^m 0 +l> Tm 0+ 2, • • -i • • •
m
umordnen und dafür sorgen, daß L m = 2J für jedes m zusammen-
i= i
hängend ist, können wir folgenden Satz aussprechen:
Korollar 8. Jede endlich hoch zusammenhängende stetige Kurve G kann bis auf eine aus lauter Endpunkten von G bestehende, höchstens nulldimensionale Gs-Menge J auf die Weise erbaut werden, daß man mit einem einzigen Bogen S i = L 1 anfängt und neue Bogen S m in endlich — oder abzählbar — vielen Schritten der Reihe nach anheftet, so daß dadurch gewöhnlichen Bogenkomplexen homöomorphe Kurven
j L^, L,2, ..., L vl , .. ., L m + 1 L m S m + 1 ( m = 1, 2, ... )
entstehen und jeder Bogen S m+1 bis auf seine Endpunkte zu L m fremd ist. Dabei ist x(C) — 1 der Zahl derjenigen Schritte m gleich, bei denen beide Endpunkte von S m + 1 zu L m gehören; außerdem ist lim à (ß m ) = 0.
m-> co
62. Durch diesen Satz wird eine weitgehende Analogie unter den endlich hoch zusammenhängenden stetigen Kurven und den gewöhnlichen Bogenkomplexen zutage gebracht.
30 ) Dieser Satz ist zum erstenmal von Frau Rózañska bewiesen worden. (S. eine demnächst in den Amsterdamer Berichten erscheinende Arbeit.)
40 ) Durch Korollar 7 wird von dem von Menger (1. c. S. 302) gestellten Problem eine Teillösung geliefert.
Mathematische Annalen. 96. 36

554 P. Alexandroff. Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.
Trotzdem können aber die erwähnten Kurven viele Singularitäten nicht allzu elementarer Natur besitzen. So folgt aus Beispielen von Urysohn und Menger 41 ), daß jeder Punkt einer sogar einfach zusammenhängenden stetigen Kurve zu einem Häufungskontinuum gehören kann, daß die Endpunkte gleichzeitig mit den Verzweigungspunkten eine überall dichte Menge bilden können u. dgl.
Insbesondere ist folgendes zu beachten. Nennen wir für einen Augenblick Gewicht einer ( zu einer Kurve G gehörenden ) Menge M die endliche oder unendliche Kardinalzahl 5] ind^ G (wobei die Summation über alle
¡teil/
xcM zu verstehen ist), so ist bekanntlich für jeden mehr als einen Bogen enthaltenden Bogenkomplex das Gewicht der Menge A aller Endpunkte höchstens gleich dem Gewichte der Menge V aller Verzweigungspunkte. Dagegen folgt aus unsern Sätzen und den erwähnten Urysonschen Beispielen 41 ), daß im allgemeinen Falle einer endlich hoch zusammenhängenden stetigen Kurve das Gewicht der Menge A den Wert c erreichen kann, obwohl die Menge V höchstens vom Gewicht n 0 ist.
63. Falls G eine stetige Kurve unendlich hohen Zusammenhanges ist, so enthält C ein aus beliebig vielen Kreisen bestehendes irreduzibles System. Nun ist es leicht, eine Folge
© 3 , ..., © fc , ...
von Kreissystemen derart zu konstruieren, daß @ k ein k- Kreissystem ist, dessen sämtliche Kreise in © fc + 1 vorkommen (k — 1,2,... in inf.).
Das ergibt aber das folgende Resultat:
Jede unendlich hoch zusammenhängende stetige Kurve enthält ein unendliches Kreissystem, in dem kein Nullsystem als Teilsystem vorkommt.
64. Es ist kaum zu hoffen, daß im allgemeinen Falle der unendlich hoch zusammenhängenden stetigen Kurven etwas Genaueres sich aussagen läßt: vor allem schon deshalb nicht,, weil eine stetige Kurve eine beliebig komplizierte allgemeine Kurve enthalten kann.
Collioure (Pyrénées Orientales), Oktober 1925.
41 ) Urysohn, Verh. Akad. Amsterdam; Menger, 1. c. S. 285.
(Eingegangen am 1. 11. 1925.)

Über stetige Abbildungen kompakter Räume*).
Von
Paul Alexandroff in Moskau.
1. Ein abstrakter Raum oder kurz ein Raum entsteht, wenn eine (aus irgendwelchen Elementen bestehende) Menge E und ein Gesetz vorliegt, so daß für jede (echte oder unechte) Teilmenge M von E die abgeschlossene Hülle M (die ebenfalls eine Teilmenge von E ist) eindeutig bestimmt wird, und dabei folgende Bedingungen 1 ) erfüllt werden:
I o Jede, höchstens aus einem Elemente von E bestehende Teilmenge M ist mit ihrer abgeschlossenen Hülle identisch.
2° (M) = M für eine beliebige Menge MaE.
3° {M + N) = M + Ñ.
Die Elemente von E werden auf diese Weise zu Punkten des Raumes R .
Eine Teilmenge von R heißt abgeschlossen, falls sie mit ihrer abgeschlossenen Hülle identisch ist. Eine zu einer abgeschlossenen Menge F komplementäre Menge R — F heißt eine offene Menge (= ein Gebiet).
Nun ist es wesentlich, daß derselbe Raum R (d. h. dieselben Beziehungen M^M) sich aufstellen lassen, indem man als Umgebungen U(x) eines beliebigen Punktes xaR alle diesen Punkt enthaltenden offenen Mengen betrachtet, und dann wie gewöhnlich (z. B. bei Hausdorff) den Begriff des Häufungspunktes einführt. Die so definierten Umgebungen genügen den ersten drei Hausdorff sehen Axiomen 2 ), das vierte soll aber durch das folgende, schwächere, Axiom ersetzt werden:
*) Der erste, abstrakte, Teil der vorliegenden Arbeit ist mit den neueren Untersuchungen von Frl. E. Noether aus dem Gebiete der allgemeinen Gruppentheorie nahe verwandt und zum Teile durch diese Untersuchungen angeregt.
J ) Diese Bedingungen rühren von Fréchet und Fr. Riesz her. Siehe wegen der betreffenden Literatur z. B. Fréchet, Sur les ensembles abstraits , Ann. Ec. Norm. (3), 38 (1921), und insbesondere die daselbst zitierte, leider schwer zugängliche Arbeit von Fréchet „Esquisse d'une théorie d'ensembles abstraits 11 , Sir Asutosh Mookerjee commemoration volumes, t. 2; the Baptist Mission Press, Calcutta, 1921. Eine zusammenfassende Darstellung aller zum Fréchetschen Ideenkreise gehörenden Resultate erscheint demnächst als Buch in der Collection Borel.
2 ) Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914, S. 213 u. ff.
36*

556
P. Alexandrofï.
Falls X und y zwei verschiedene Punkte des Raumes R sind, so gibt es eine zu y fremde U(x) und eine zu x fremde U(y).
2. Es seien jetzt zwei Räume R undiü*so einander zugeordnet, daß jeder Punkt x* des Raumes R* in eindeutiger Weise wenigstens einem Punkte x des Raumes R entspricht, m. a. W. daß eine Funktion
(1) x*=f(x), xczR, x*<=R" oder einfach
R* = f(R)
entsteht. Dann soll die Bildmenge einer in R gelegenen Menge M durch M* oder durch f(M) bezeichnet werden. Falls aber M * irgendeine in R * gelegene Menge ist, so soll durch *M oder durch f~ 1 (M v ) die Urmenge von M*, d. h. die Menge aller Punkte von R, deren Bildpunkt x* zu M* gehört, bezeichnet werden.
Die Abbildung (1) heißt stetig"), falls für jede Menge M <= R die Bedingung
(2)
erfüllt ist. Indem man jeden Punkt der Menge M Berührungspunkt von M nennt, heißt die Bedingung (2), daß das Bild eines Berührungspunktes (irgendeiner in R gelegenen Menge) immer ein Berührungspunkt der Bildmenge ist. Letztere Bedingung sagt aber genau so viel aus wie die folgende 3 ):
Falls x*=f(x) Bildpunkt von x ist, so gibt es zu jeder U(x*) eine U(x) von der Beschaffenheit, daß
(3) f(U(x))cz U(x*) ist.
3. Jede Abbildung R* = f(R) bestimmt eine Zerlegung des Raumes R in zueinander fremde Mengen X= f~ x (te*), wobei x* ein beliebiger Punkt des Bildraumes R* ist. Falls dabei die gegebene Abbildung stetig war, so sind sämtliche Mengen X abgeschlossen.
Es liegt daher nahe, Zerlegungen
(4) R = £X
eines Raumes R in zueinander fremde abgeschlossene Mengen X a priori zu betrachten.
Definition 1. Die Zerlegung (4) eines Raumes R in zueinander jremde abgeschlossene Mengen bestimmt folgendermaßen einen neuen Raum R*:
3 ) Vgl. Hausdorff, op. oit. S. 360, II. Die daselbst befindlichen Betrachtungen gelten auch für den Fall eines abstrakten (nicht topologischen) Raumes.

Abbildungen kompakter Räume.
557
Punkte X* des Raumes R * sind Mengen X der Zerlegung (4), x* ~ X.
Umgebungen V(x*) entstehen folgendermaßen: es sei xq ein beliebiger Punkt des Raumes R*. Jedem die Menge X 0 ^x* enthaltenden Gebiete G<=R entspricht dann eine bestimmte V (x*), die aus allen denjenigen x* besteht, derjen in G enthaltene X entsprechen.
Man sieht leicht ein, daß R"~ wirklich ein Raum ist (d. h. daß die V(x*) allen im § 1 aufgestellten Umgebungsaxiomen geniigen).
Jede Zerlegung (4) eines Raumes induziert eine Abbildung des Raumes R auf den durch diese Zerlegung bestimmten Raum R"": man erhält diese induzierte Abbildung, indem man einfach
x*—f(x) für alle x<=X
setzt. Im allgemeinen braucht natürlich diese Abbildung nicht stetig zu sein.
4. Definition 2. Die Zerlegung (4) des Raumes R in zueinander fremde abgeschlossene Mengen heißt stetig, falls zu einem beliebigen, irgendeine Menge X 0 der Zerlegung (4) enthaltenden Gebiete G 1 aR ein Gebiet G 0 ^ X 0 sich derart bestimmen läßt, daß jede zu G n nicht fremde Menge X der Zerlegung (4) in G 1 enthalten ist.
5. Folgender Satz ist beinahe selbstverständlich.
I. Die durch eine Zerlegung (4) induzierte Abbildung R* = f(R) ist dann und nur dann stetig, falls die Zerlegung (4) stetig ist.
Es sei zuerst (4) eine stetige Zerlegung des Raumes R, R* der durch diese Zerlegung bestimmte Raum, R* = f (JE) die durch diese Zerlegung induzierte Abbildung, a 0 * ein beliebiger Punkt von R*, F(a;¡f) eine beliebige Umgebung von x*, X 0 ein dieser Umgebung vermöge der Definition 1 entsprechendes
Gebiet in R, G 0 zj X 0 ein diesem Gebiete vermöge der Definition 2 entsprechendes Teilgebiet, x 0 irgendein zu A'„ gehöriger Punkt, und U (x a ) irgendeine in G () enthaltene Umgebung dieses Punktes. Dann ist jede zu U ( x 0 ) nicht fremde Menge X der Zerlegung (4) in Ctj enthalten, und also
f(U(x 0 ))cV(x 0 *),
d. h. die Abbildung R*=f(R) stetig.
Es sei umgekehrt die durch die Zerlegung (4) induzierte Abbildung R* — f(R) stetig. Es sei weiter A' 0 eine beliebige Menge X der Zerlegung (4), G x ein beliebiges, diese Menge enthaltendes Gebiet in R, V(x*) die zugehörige Umgebung des Punktes . t „* ~ X 0 , x 0 ein beliebiger Punkt vonl 0) U(x 0 ) eine der Inklusion f(U{x 0 )) c V(x$ ) genügende Umgebung dieses Punktes, G 0 das durch Vereinigung der für alle Punkte x n c: X 0 konstruierten, soeben erwähnten ü(x 0 ) gebildete Gebiet. Dann ist f(G 0 )cz V(x^); letztere Inklusion sagt aber nichts anderes aus, als daß jede mit G 0 gemeinsame Punkte besitzende Menge X der Zerlegung (4) in 6\ enthalten ist.
Der Satz I ist hierdurch bewiesen.
6. Falls uns zwei Räume R und R mit allen ihren Eigenschaften gegeben sind, so können wir entscheiden, ob der Raum R * ein stetiges Bild

558
P. Alexandroff.
des Raumes R ist oder nicht. Daraus folgt aber durchaus nicht, daß durch eine auch noch so vollständige Kenntnis des Raumes R eine Möglichkeit gegeben ist, alle Bäume, die sich stetig auf R abbilden lassen, in irgendwelchem Sinne zu konstruieren.
Wir wollen das auf diese Weise entstehende Problem für sehr allgemeine Raumkategorien lösen; zuerst aber werden wir zeigen, warum die Lösung dieses Problems in seiner vollen Allgemeinheit ziemlich aussichtslos erscheint.
Wir haben gesehen, daß jeder durch eine stetige Zerlegung eines Raumes R bestimmte Raum R J " ein stetiges Bild von R ist. Nun aber braucht gar nicht eine stetige Abbildung R* — f{R) eines sogar kompakten topologisehen Raumes durch die Zerlegung des Raumes R in die Mengen X=f~* i (x*) induziert zu sein 4 ).
Um dies einzusehen, betrachten wir folgendes Beispiel.
Es bestehe der Raum R aus allen Ordnungszahlen der I. und II. Zahlklasse, d. h. aus allen Zahlen
(5) 1)2,.,co,...,ß, ... (o; <c Í2) ,
wobei Q die erste nicht abzählbare transfinite Ordnungszahl (d. h. die erste Zahl der III. Zahlklasse) ist. Die Zahl a, als Punkt eines Raumes betrachtet, soll etwa durch [a] bezeichnet werden.
Der Raum Rbesteht definitionsgemäß aus allen Elementen (5) und aus dem Elemente Q.
Die Umgebungen in R bzw. in R * seien folgendermaßen definiert. Falls [«] ein beliebiger Punkt von R bzw. R*, also a < Q bzw. cc <L Q ist, und Ä eine beliebige Ordnungszahl < a ist (für a= 1 ist A = 0), so definieren wir als die /-te Umgebung von [ k ] die Menge aller derjenigen Punkte [/?]. für die die Ungleichung
¿<ߣa
gilt.
Dieser Umgebungsdefinition gemäß sind alle Punkte [a], für die die Zahl a — 1 existiert, in R und in R * isoliert.
Außerdem ist
R*- [Û] =
Man erhält jetzt eine eindeutige und stetige Abbildung
(6) R* = f(R),
4 ) Für nicht kompakte Räume ist das trivial: es genügt z. B., die geradlinige Strecke 0 < x < 1 eindeuig und stetig auf die Kreislinie abzubilden.

Abbildungen kompakter Räume.
559
wenn man setzt
[«*] = /■([«]) = [ß — 1], für «■= 2, 3, . (n < co)
[«*] = f([a] ) = [ß], für . co ß <ii
[ß] =/•([!])•
Indem man die (aus einem einzigen Punkte bestehende) Menge f~ l (x*), wo X* ein beliebiger Punkt des Raumes B* ist, durch X bezeichnet, sieht man sofort ein, daß der durch die Zerlegung B = £ X bestimmte Raum mit R identisch, also von " verschieden ist.
Man sieht also, daß die Begriffe der stetigen Abbildung und der stetigen Zerlegung eines Raumes nicht in befriedigender Weise einander entsprechen, und zwar tritt diese Inkoherenz bereits im Falle, wo beide Räume R und R " kompakt und außerdem topologisch sind, vor.
7. In unserem Beispiel kommt noch eine zweite Eigentümlichkeit vor: die abgeschlossene Menge F—B — [1] wird nämlich auf die nicht abgeschlossene Menge M* = R* — [ß] abgebildet. Wenn man daran denkt, daß (wie man leicht beweist) die Stetigkeit einer Abbildung darin besteht, daß die Vrmenge * F jeder abgeschlossenen Menge F stets abgeschlossen ist b ), liegt es nahe, diejenigen stetigen Abbildungen, bei denen auch umgekehrt jeder abgeschlossenen Teilmenge F von R eine abgeschlossene Bildmenge F*czRentspricht , besonders zu berücksichtigen und sie etwa als doppelstetige Abbildungen zu bezeichnen.
8. Es besteht dann folgender
Satz II. Jede doppelstetige Abbildung
B*= f(B)
ziveier Räume läßt sich durch eine stetige Zerlegung des Raumes R induzieren.
Es seien U(x*) die in R * a priori gegebenen Umgebungen. Indem w ir durch X die (in R abgeschlossenen) Mengen f _1 (x*) (wobei x* ein beliebiger Punkt von B* ist) bezeichnen, betrachten wir die Zerlegung B — X und die durch diese Zerlegung vermöge des § 3 bestimmten „Umgebungen" V(x*). Es handelt sich darum, zu zeigen, daß die Gesamtheit aller V{x*) als ein den Raum B* definierendes Umgebungssystem betrachtet werden kann.
Dazu beweisen wir zuerst, daß jede V(x*) in B offen ist.
In der Tat ist, der Definition von F(x*) gemäß, B* — V(x*) durch alle diejenigen Punkte z* des Raumes B* gebildet, die der Relation
(7) f~ 1 (z*)-(B~G) + 0
5 ) Hausdorff, op. cit. S. 361, III.

560
P. Alexandroff.
genügen (wobei G das der Definition von V(x*) zugrunde liegende, die Menge X enthaltende Gebiet ist).
Aus der Ungleichung (7) folgt, daß
R* — V{x*) = f{R — G).
Da R — G abgeschlossen und unsere Abbildung doppelstetig ist, so ist auch R* — V(x*) abgeschlossen und also V(x*) offen.
Es bleibt uns übrig zu zeigen, daß in jeder U(x*) eine V (x*) enthalten ist. Letztere Bedingung ist aber auch ohne Voraussetzung der Doppelstetigkeit der Abbildung, also auf Grund der Stetigkeit allein, erfüllt, was man folgendermaßen einsieht.
Es sei U(x*) festgewählt. Dann gibt es zu jedem Punkte x<=X eine der Inklusion (3) des § 2 genügende Umgebung U(x). Die Vereinigungsmenge dieser für alle Punkte x<=X konstruierten U{x) ist eine offene, die Menge X enthaltende Teilmenge G, und man hat die Inklusion
f(G)^U(x*).
Die der Menge G entsprechende V(x*) ist aber in f(G) enthalten, und daher ist a fortiori V(x*)<=U(x*), womit die Gleichwertigkeit der Systeme U(x*) und V(x*) bewiesen ist. Also ist der Raum. R* durch die Zerlegung R = 5] X bestimmt ; da aber R * gleichzeitig ein stetiges Bild von R ist, so ist letztere Zerlegung nach dem Satze I stetig, w. z. b. w.
9. Mehr als die Sätze I und II läßt sich im allgemeinen Falle nicht aussagen: in der Tat braucht eine stetige Abbildung eines (sogar separablen metrischen) Raumes durchaus nicht doppelstetig zu sein, wie man aus folgendem elementaren Beispiele erkennt.
Es sei X 0 die Strecke (¡c=0,0 < 1) der gewöhnlichen Ebene, und (für jedes ganzzahlige positive n) X n die abgeschlossene Strecke
1 . 05
x = —, Die Menge £ X n (als in der gewöhnlichen Ebene ge-
n n=0
legener Relativraum betrachtet) ist ein metrischer Raum R, und man hat eine stetige Abbildung R* = f(R), wobeiR* aus den Punkten ¡»„(»=0,1,2,...)
x o =(0;0); ¡c n =f|l;o) (»=1,2,...)
besteht. Nun ist aber diese Abbildung nicht doppelstetig, weil die (in R abgeschlossene) aus den Punkten y n = l) bestehende Menge in die in R* nicht abgeschlossene Menge aller Punkte x n , n^> 1, übergeht 5 ").
10. Wir beweisen jetzt den eigentlich selbstverständlichen
8 *) Vgl. Fußnote 10 a ).

Abbildungen kompakter Räume.
5(J1
Satz III. Ein stetiges Bild eines bikompakten bzw. kompakten abstrakten Raumes 6 ) ist wiederum ein bikompakter bzw. kompakter Raum.
Es sei R*—f{R ) und R bikompakt bzw. kompakt. Es sei weiter {(?*} ein beliebiges bzw. abzählbares System von den Raum R* überdeckenden offenen Mengen. Um den Satz III zu beweisen, brauchen wir nur zu zeigen, daß aus {G*} sich ein endliches, den Raum R* noch immer überdeckendes Teilsystem wählen läßt. Letztere Behauptung folgt aber einfach daraus, daß die *G den Raum R überdecken und daselbst offen sind, also lassen sich") endlich viele dieser Mengen, es seien
*G 1} *G 2 , ..., *G S
derart wählen, daß y,*G¡=R, und also J>¡ G* — R* ist, w. z. b. w.
i— 1 1=1
11. Folgendes Beispiel zeigt, daß stetige Abbildungen selbst der einfachsten bikompakten 73 ) Räume nicht doppelstetig zu sein brauchen.
Es bestehe in der Tat R aus der abgeschlossenen Einheitsstrecke der reellen Zahlengeraden und dem Punkte 2 derselben Geraden; die Umgebungen seien dabei die üblichen (d. h. man betrachte R als in der gewöhnlichen Geraden enthaltenen Relativraum).
R* soll aus denselben Punkten wie R bestehen (wodurch eine eineindeutige Beziehung zwischen R * und R von vornherein festgestellt wird). Die Umgebungen aller Punkte bleiben auch dieselben, mit einziger Ausnahme des Punktes 2; letzterer Punkt bekommt nämlich als Umgebung jede, aus dem ganzen Räume durch Weglassung endlich vieler, vom Punkt 2 verschiedener, sonst aber beliebiger Punkte, entstehende Menge. Man überzeugt sich leicht, daß der abstrakte (nicht topologische!) Raum R* ein stetiges, wohl aber kein doppelstetiges Bild des Raumes R ist.
12. Dagegen bestehen folgende Sätze:
IV s ). Falls der topologische Raum R * stetiges Bild des bikompakten topo- logischen Raumes R ist, ist die betreffende stetige Abbildung auch doppelstetig.
") Die Definition der bikompakten topologischen Räume ist in der Arbeit
P. Alexandrofl und P. Urysohn, Zur Theorie der topologischen Räume, Math. Ann. 92,
gegeben. Diese Definition und der dazu gehörige Satz I (loc. cit. S. 259) läßt sich
unmittelbar auf den Fall allgemeiner abstrakter Räume übertragen.
') Da R bikompakt bzw. kompakt ist.
7a ) (abstrakten (also, im allgemeinen, nicht topologischen)).
8 ) Zuerst habe ich diesen Satz nur für die dem I. Abzählbarkeitsaxiome genügenden bikompakten topologischen Räume bewiesen, was für das folgende (§§ 13 bis 23) genügte. Herr N. Wedenissoff (stud. math, in Moskau) hat mich aber in liebenswürdiger Weise darauf aufmerksam gemacht, daß der Satz IV in voller Allgemeinheit unmittelbar aus dem Satz III und einem von Paul Urysohn und mir früher bewiesenen 9 ) Satze folgt, wodurch der Satz IV viel allgemeiner und sein Beweis viel einfacher geworden ist.

502
P. Alexandroff.
Es sei in der Tat F eine beliebige in R gelegene und daselbst abgeschlossene Menge. F ist, als Relativraum betrachtet, bikompakt, folglich ist auch F* bikompakt, also 9 ) in jedem größeren topologischen Raum, insbesondere auch in R*', abgeschlossen, w. z. b. w.
V. Jeder durch eine stetige Zerlegung eines bikompakten topologischen Raumes R bestimmte Raum R" ist ein topologischer Raum und folglich ein doppelstetiges Bild des Raumes R.
Dieser Satz folgt sofort aus der Normalität 10 ) aller bikompakten topologischen Räume. Aus den Sätzen I bis V folgt das zusammenfassende Ergebnis :
Diejenigen topologischen Räume, die stetige Bilder eines gegebenen bikompakten topologischen Raumes R sind, entsprechen eineindeutig den stetigen Zerlegungen des Raumes R und werden durch diese Zerlegungen, also allein durch Kenntnis des Raumes R selbst, vollkommen bestimmt 1X ).
Da jeder kompakte metrische Raum bekanntlich bikompakt ist 10 ), so gelten letztere Resultate insbesondere für alle kompakten metrischen Räume R, deren Untersuchung wir uns jetzt zuwenden.
VI. Ein topologischer Raum, der stetiges Bild eines kompakten metrischen Raumes ist, ist auch selbst kompakt und metrisierbar 1 ' 2 ).
13. Es sei, um VI zu beweisen, R* = f(R), und R ein kompakter metrischer Raum. Da wir R* als topologischen Raum voraussetzen, brauchen wir zufolge des bekannten Urysohnschen-Metrisationssatzes nur zu beweisen, daß in R * das zweite Abzählbarkeitsaxiom gilt.
Da R dem II. Abzählbarkeitsaxiom sicher genügt 13 ), so gibt es für R ein abzählbares Umgebungssystem
(8) ü lt U 9 ,...,U n ,...
und zufolge des Borel-Lebesgueschen Satzes ein abzählbares System von offenen Mengen
(9) öj, G a , .. G n , ....,
°) „Jeder bikompakte topologisclie Raum ist absolut abgeschlossen." (P. Alexandroff und P. Urysohn, Zur Theorie der topologischen-. Räume, Math. Ann. 92, S. 263.)
10 ) Siehe die unter 9 ) zitierte Arbeit. Ein topologischer Raum heißt normal, falls in ihm jede zwei abgeschlossene, zueinander fremde Mengen F l und F„ durch ebenfalls fremde Gebiete G 1 =>F 1 , Gr., zd F« voneinander trennbar sind.
11 ) Es sei nochmals betont, daß ich die Möglichkeit, letzteres Ergebnis in seiner vollen Allgemeinheit auszusprechen, der unter 8 ) zitierten Bemerkung von Herrn Wedenissoff verdanke.
la ) Dagegen zeigt das Beispiel des § 11, daß ein allgemeiner abstrakter, nicht metrisierbarer Raum stetiges Bild eines kompakten metrischen Raumes sein kann.
1S ) Hausdorff, S. 274.

Abbildungen kompakter Räume.
563
die so beschaffen sind, daß es zu jedem Paare F <= G , wo F eine abgeschlossene und G eine offene Teilmenge des Raumes R ist, wenigstens ein der Inklusion
genügendes Gebiet (9) gibt 14 ).
Wir betrachten unter den Umgebungen V(x*), die im Beweise des Satzes II (§8) vorkommen, nur diejenigen, die, der Vorschrift des § 3 gemäß, den Mengen (9) entsprechen. Es sollen diese V(x*) bzw.
heißen. Um zu beweisen, daß die V n dem ursprünglichen Umgebungssystem {U(x*)} des Raumes R' 1 ' (vgl. § 8) gleichwertig sind, braucht man nur wörtlich die Überlegungen des entsprechenden (End-) Teiles des § 8 zu wiederholen und dabei unter U(x) eine in (8) vorkommende Umgebung U n des Punktes x zu verstehen. Da die V n nur in abzählbarer Menge vorhanden sind, so wird damit die Geltung des II. Abzählbarkeits- axioms im Räume R*, und folglich der ganze Satz VI bewiesen. 14. Wir schreiten jetzt zum Beweise des folgenden Satzes: VII. Jeder kompakte metrisierbare topologische Raum ist stetiges Bild einer beschränkten, nirgends dichten, abgeschlossenen Menge reeller Zahlen.
Beweis. Es sei R ein den Voraussetzungen unseres Satzes genügender Raum, in dem wir uns eine feste Metrik eingeführt denken.
Es existiert dann (zufolge des Borel-Lebesgueschen Überdeckungssatzes) für jede natürliche Zahl m ein endliches System von Gebieten:
(10)
F <= G n <= G
(11)
FF F
1 ) '2' * ' *' r « >
(12)
% m ={ur,ur,...,iiz)
die so beschaffen sind, daß
I
(13) R = Ui l und für jedes i £ 1 à ( 17") < -
i= i m
ist.
(14)
Wir sagen nun, daß das endliche System natürlicher Zahlen
[¿i, ..., i n J
ausgezeichnet ist, falls für jedes k m
I ,
nicht leer ist.
") Die G„ sind einfach die Vereinigungsmengen ^je endlich vieler unter den Mengen (8).

564
P. Alexandroff.
N ub bezeichnen wir durch die Menge aller Irrationalzahlen déren Kettenbruchentwicklung
ein ausgezeichnetes System ist.
Ich behaupte:
I o . <I> ist eine beschränkte abgeschlossene Menge reeller Zahlen (da außerdem <J> nur aus Irrationalzahlen besteht, so wird aus I o folgen, daß <I> nirgends dicht ist).
2°. R ist ein stetiges Bild von 0.
15. Da 0 eine Menge reeller Zahlen ist, so wird die Beschränktheit und Abgeschlossenheit von 0 gleichzeitig bewiesen, sobald wir zeigen, daß 0 in sich kompakt ist. Es genügt also zu konstatieren, daß jede abzählbare Teilmenge M von 0 wenigstens einen zu 0 gehörenden Häufungspunkt hat.
Es sei M eine solche Menge und
ihre sämtlichen Elemente.
Da die Anzahl der verschiedenen Werte, die il annehmen kann, die feste Schranke l x zufolge (15) nicht überschreiten kann, so gibt es eine solche natürliche Zahl i x , daß für unendlich viele s — i x ist, d.h. daß die Kettenbruchentwicklung (18) für unendlich viele Zahlen Í 1 mit i x beginnt. Da jede dieser £ s zu 0 gehört, so ist [¿J ein (aus einem Elemente) bestehendes ausgezeichnetes System.
Es seien jetzt die natürlichen Zahlen bereits in der
Weise ausgewählt, daß es unter den Zahlen g s unendlich viele gibt, deren Kettenbruchentwicklung (18) die i x , i„, ..i m als die ersten m Teilnenner der Reihe nach besitzt; die Menge der soeben ausgewählten werden wir durch M m bezeichnen. Da M m <= M <= 0 ist, so ist i 1 , i 2 , ..., i m ein ausgezeichnetes System.
Da die Anzahl der verschiedenen Werte, die i s m+1 annehmen kann, endlich ist, so gibt es ein i m+1 , das mit im+i für unendlich viele | s c; M m
(17)
hn "I - ' .
die Eigenschaft hat, daß für jedes m
[î' j , « 2 , ..., ¿ m ]
(18)
(s — 1, 2, ... in infinitum)

Abbildungen kompakter Räume.
565
identisch ist, so daß wir eine unendliche Menge M m + 1 <= M m von Irrationalzahlen | s haben, deren Kettenbruchentwicklung (18) mit
• + 5*7*-
h)i + 1
beginnt. In dieser Weise fortfahrend, definieren wir für jedes m ein i m unter der Bedingung, daß (14) ausgezeichnet ist und daß unendlich viele Í s mit
¿1 H —— ,
h + ' • I 1 im
beginnen. Dann ist aber die Irrationalzahl |, die durch ( 17 ) definiert ist, erstens ein Element der Menge 0, zweitens ein Häufungspunkt der Menge M, womit die Behauptung I o bewiesen ist.
16. Es bleibt uns übrig, 2° zu beweisen.
Es sei f ein beliebiges, durch (17) gegebenes Element von ( P. Dann ist (14) ausgezeichnet und also (16) nicht leer. Da
-^¿1 il ... im iz • ■ • im+l
ist, so ist nach dem Cantorschen Durchschnittssatze die Menge
(19) EFi^...i,n
m= 1
nicht leer. Sie kann aber nicht mehr als einen Punkt enthalten, weil für jedes m
ö £ à (ÍU...Ü ^ à{VZ) < i
ist. Wir bezeichnen also den Punkt (19) des Raumes R durch x und setzen
(20) * = /•(!)
(wo Í durch (17) gegeben ist).
In dieser W ß i se entspricht jedem Punkte f c: $> ein einziger Punkt x c= Ii. Umgekehrt aber entspricht zufolge (20) jedem Punkte xczR wenigstens ein Punkt |<=<P. In der Tat ist für jedes m der (willkürlich gegebene) Punkt xcR wenigstens in einer Menge enthalten. Indem man für jedes m eine beliebige dieser Mengen wählt, erhält man eine Folge natürlicher Zahlen i m , für die die Relationen:
(21) x^ÈV^ÏÏVZ = f[Fi l i>-:à
m= 1 un— 1 m= 1
gelten.

566
P. Alexandroff.
Die Menge (16) ist also nicht leer, also ist (14) ausgezeichnet und der durch (17) definierte Punkt £ gehört zu <Z>. Aus (21) folgt alsdann, daß
* = /"(£)
ist.
Wir erhalten also die eindeutige Abbildung
(22) R = /"(</>),
und es bleibt uns nur übrig zu beweisen, daß diese Abbildung eine stetige ist. Es sei zu diesem Zwecke e eine beliebige positive Zahl und x ein beliebiger Punkt von R. Es sei weiter f ein der Gleichung (20) genügender Punkt von <P.
Wir bezeichnen durch (17) die Kettenbruchentwicklung von £ und wollen jetzt ein derartiges ö > 0 angeben, daß
(23) q(X, Z)< E ist, sobald
(24) z = f(C) und |f — Ç\<ô.
Es sei ra > und die Menge aller Irrationalzahlen, deren Ketten-
bruchentwicklung mit
-f — !
I i im
anfängt, f gehört zu und es gibt bekanntlich ein <5 > 0 von der
Art, daß jede Irrationalzahl f, die sich von £ weniger als um ô unterscheidet, zu gehört. Wir wählen dieses (5 und betrachten einen beliebigen, den Relationen (24) genügenden Punkt zaR.
Dann ist zufolge der Definition der Abbildung R = z in der
Menge F i¡ ia ... im , also a fortiori in V™ n enthalten, und folglich (da auch xczVZ ist) ist
e(x, z)£ô(V£) = ô(V£)<±<e,
w. z. b. w.
Wir bemerken noch, daß aus der Stetigkeit der Abbildung R = in unserem Falle (zufolge den bekannten Hausdorffschen Sätzen 14a )) die gleichmäßige Stetigkeit folgt. Man kann also für jedes s > 0 ein ô > 0 finden, so daß aus
|£ — í|<<5,
14 *) Hausdorff, Kap. IX.

Abbildungen kompakter Räume.
567
die Ungleichung
£ (/"(£), f(O) < B folgt 15 )
17. Bekanntlich ist jede beschränkte abgeschlossene nirgendsdichte Menge reeller Zahlen ein stetiges Bild einer 1B ), und folglich jeder beschränkten nirgendsdichten perfekten linearen Menge (also z. B. der Cantor- schen „Dreiteilungsmenge"), man kann also die Sätze VI und VII folgendermaßen zusammenfassen :
Die Klasse der kompakten metrischen Räume ist topologisch mit der Klasse derjenigen topologisehen Räume identisch, die eindeutige und stetige Bilder der Cantorschen perfekten Menge sind.
18. Für den Fall kompakter metrischer Räume li!a ) läßt sich der Be-
15 ) An den Satz VII knüpft sich noch folgende Bemerkung an. Indem man durch r™ die Menge aller Irrationalzahlen f bezeichnet, deren m 'er Teilnenner (in der Kettenbruchentwicklung (17)) gleich s ist, sieht man leicht ein, daß die, durch den Beweis des Satzes VII gelieferte, Abbildung (22) der Bedingung
(25) lim á(/ , (^-rf)) = 0
m~> oo
genügt (d. h. für jedes e >0 gibt es ein genügend großes m, : , so daß für beliebiges s und m>m s
ist). Eine der soeben ausgesprochenen Bedingung genügende Abbildung wollen wir absolut stetig nennen. Wir führen noch folgende Bezeichnung ein. Falls E irgendwelche, aus Irrationalzahlen bestehende, Menge ist, so soll N m ( E) die Menge aller derjenigen natürlichen Zahlen bedeuten, die als m te Teilnenner der Kettenbruchent- wicklung sämtlicher Elemente der Menge E vorkommen.
Dann bildet folgender Satz eine leichte Umformung eines Urysohnschen "Überdeckungssatzes. (Siehe in diesem Bande den § 12 meiner Arbeit „Simpliziale Approximationen usw."):
Jeder höchstens n-dimensionale kompakte metrische Raum R läßt sich als absolut stetiges Bild einer aus Irrationalzahlen bestehenden beschränkten abgeschlossenen Menge derart darstellen, daß, falls man durch X irgendeine, sich in einen Punkt x von B abbildende Teilmenge von <I> bezeichnet, die Menge N m (X) für jedes m höchstens aus n + 1 verschiedenen natürlichen Zahlen besteht.
Falls umgekehrt ein kompakter metrischer Raum R vorliegt, der sich unter Geltung der soeben ausgesprochenen Bedingung als absolut stetiges Bild einer, aus Irrationalzahlen bestehenden, beschränkten abgeschlossenen Menge darstellen läßt, so ist er höchstens n- dimensional.
Den Beweis dieses Satzes überlassen wir dem Leser.
10 ) am einfachsten folgendermaßen entstehenden perfekten Menge: Man umgibt jeden isolierten Punkt x n der gegebenen abgeschlossenen Menge F mit einem kleinen, keinen andern Punkt der Menge F enthaltenden Intervalle A n und setzt dahin eine, x n enthaltende, perfekte Menge P n . Man definiert alsdann P F = F + 2 P n und setzt a; = f(f) = f, falls fc- P F gleichzeitig ein nicht isolierter Punkt von F ist, sonst aber: x = f {£) = x n (falls f c P n ist). Dann ist F— f (P F ) ein stetiges Bild vonPp.
16 ■) und nur für diesen Fall: vgl. § 9.

568
P. Alexandroff.
griff der stetigen Zerlegung in eine andere Form bringen, die oft bequemer ist.
Wir erinnern uns zuerst an den Hausdorffschen Begriff der topologi- schen Konvergenz einer Mengenfolge: eine Mengenfolge heißt konvergent, wenn ihr oberer und unterer abgeschlossener Limes 10 bis ) zusammenfallen (und dann den topologischen Limes der Mengenfolge bilden).
Wir können jetzt den Begriff der Stetigkeit der Zerlegung
(26) R= J]X
eines kompakten metrischen Raumes in zueinander fremde abgeschlossene Mengen X folgendermaßen formulieren:
Es sei
(27) Ipl,
irgendeine konvergente Folge der Mengen X (der Zerlegung (26)), und <P der topologische Limes von (27). Dann soll C J> nur mit einer Menge X (der Zerlegung (26)) gemeinsame Punkte haben (und also in ihr enthalten sein).
19. Um die Äquivalenz der beiden Stetigkeitsbegriffe zu beweisen, setzen wir 'zuerst voraus, daß (26) eine im Sinne des § 4 stetige Zerlegung ist, und es habe mit der Menge X 0 gemeinsame Punkte. Wir wollen zeigen, daß <Z> zu jeder, von X 0 verschiedenen Menge X der Zerlegung (26) fremd ist. Es sei in der Tat X% eine solche Menge. Da X 0 und X * zueinander fremd sind, so gibt es ein X 0 enthaltendes, zu X¡. fremdes Gebiet G 1 .
Wir dürfen voraussetzen (Normalität!), daß auch (r 1 zu fremd ist. Es habe nun G 0 die im § 4 erwähnte Bedeutung. Fast alle X n haben mit G 0 gemeinsame Punkte, sind also in G 1 und a fortiori in G 1 enthalten; daraus folgt aber, daß auch ( I> in G 1 enthalten, d. h. zu X* fremd ist.
20. Jetzt setzen wir umgekehrt voraus, daß die Zerlegung (26) im Sinne von § 18 stetig ist, und es sei die Stetigkeitsbedingung des § 4 nicht erfüllt.
Dann gibt es eine bestimmte Menge X 0 der Zerlegung (26) und ein diese Menge enthaltendes Gebiet G 1 derart, daß jedes in G t enthaltene, die Menge X 0 enthaltende Gebiet G n (n > 1) mit einer aus G 1 herausragenden Menge X in) wenigstens einen Punkt x n gemeinsam hat.
íebis) Hausdorff, S. 236. Ein Punkt x gehört zum oberen abgeschlossenen Limes der Mengenfolge
-MjL, il/o t • ' • J , . . i
falls jede U(x ) Punkte unendlich vieler Mengen M„ enthält; x gehört zum unteren * abgeschlossenen Limes, wenn jede U (x) Punkte fast aller M„ enthält.

Abbildungen kompakter Räume.
569
Es sei jetzt . .
G n = S[X 0 ,-^j (» = 2, 3,..., in inf.),
wobei e — Q(X 0 , R — G t ) gesetzt ist.
Die Folge aller X M enthält eine konvergente Teilfolge
(26) X M , X M ,...,X in "\ ...,
deren topologischer Limes <Z>, zufolge der Relation
X [nk) -G nh = X nk -S(x 0 , —— r) =» x n , + 0
\ n k — i/ sicher mit X 0 gemeinsame Punkte hat.
Andrerseits ist aber
X {nk) • (R — G t ) =j= 0 (für jedes k),
also auch
(P.(Ä-G a ) + 0,
so-daß unmöglich in X 0 enthalten sein kann, und folglich, im Widerspruche mit der Bedingung des § 18, wenigstens mit zwei verschiedenen Mengen X der Zerlegung (26) gemeinsame Punkte hat.
Die Äquivalenz der beiden Stetigkeitsdefinitionen ist hiermit für jede Zerlegung eines kompakten metrischen Raumes bewiesen.
Wir werden in einem Augenblicke von der zweiten Form des Stetigkeitsbegriffes Gebrauch machen.
21. Das Hauptresultat dieser Arbeit läßt sich folgendermaßen formulieren:
Jeder kompakte metrisierbare topologische Raum ivird durch eine stetige Zerlegung der Cantor sehen perfekten Menge induziert-, auch umgekehrt induziert jede stetige Zerlegung der Cantorschen perfekten Menge (iallgemeiner : eines beliebigen kompakten metrischen Raumes) stets einen kompakten metrisierbaren Raum.
Mit anderen Worten: „einen kompakten metrisierbaren Raum angeben" heißt dasselbe wie „eine stetige Zerlegung der Cantorschen Menge bestimmen". Dadurch wird aber der wesentlichste Teil der mengentheoretischen Topologie 17 ) wieder auf den alten Boden des elementaren
3 ') der ja eben in der Untersuchung der kompakten und in kleinen kompakten Räumen bestellt. Vgl. hierzu Paul Urysohn, Mémoire sur les multiplicités cantorien- nes, I, Introduction, n° 6—9 (Fund. Math. 7, S. 38—42, insbes. Fußnote °) auf der Seite 41).
Es sei noch bemerkt, daß jeder im kleinen kompakte metrisierbare Raum R aus einem einzigen, durch R vollständig bestimmten, bikompakten Räume R durch Weglassung eines einzigen Punktes topologisch entsteht. Ê ist dabei dann und nur dann metrisierbar, falls in R eine abzählbare Menge dicht ist (was ja bei dieser ganzen Fragestellung auch immer vorausgesetzt werden darf). (Siehe über alle diese Fragen meine Arbeit „ Über Metrisation der im kleinen kompakten top. Räume", Math. Ann. 92, S. 294-301).
Mathematische Annalen. 9G. 37

570
P. Alexandroff.
Diskontinuums zurückgeführt, was insbesondere für Grundlagenprobleme von einer prinzipiellen Bedeutung sein dürfte.
22. Die in dieser Arbeit gewonnenen Gesichtspunkte erlauben das allgemeine Problem über die topologischen Eigenschaften stetiger Zerlegungen kompakter metrischer Räume zu stellen, oder, was dasselbe ist, das Problem über topologische Eigenschaften derjenigen (in einem kompakten metrischen Räume gelegenen) Systeme von abgeschlossenen Mengen, deren Vereinigungsmengen wieder abgeschlossen sind. Wie man sofort sieht, lassen sich manche klassische, sowie moderne topologische Fragen in diese allgemeine Problemstellung einordnen.
Um sich auf das einfachste Beispiel zu beschränken, nennen wir eine stetige Zerlegung
(29) R=T;X
eines kompakten metrischen Raumes n- dimensional, falls der durch diese Zerlegung induzierte Raum R" re-dimensional ist 18 ).
Folgende Frage scheint mir von grundlegender Bedeutung zu sein:
Was läßt sich über die Dimension eines kompakten metrischen Raumes R aussagen, für den eine n- dimensionale Zerlegung in lauter m-dimensionale abgeschlossene Mengen X vorliegt" 1 . (Die plausible Antwort wäre, daß dim R ^ m + n ist.)
23. Schon die Lösung dieses Problems für den Fall n = 0 19 ) dürfte ein selbständiges Interesse darbieten, wie man z. B. aus folgendem Satze erkennt:
VIII. Die Zerlegung eines kompakten metrischen Raumes in seine sämtlichen Komponenten ist eine stetige nulldimensionale Zerlegung.
Es sei in der Tat R ein kompakter metrischer Raum, und es seien die X sämtliche Komponenten des Raumes R . Zuerst beweisen wir, daß die Zerlegung (29) stetig ist, und wenden zu diesem Zweck die zweite Form (§18) der Stetigkeitsdefinition an.
Es sei
eine konvergente Folge von Komponenten des Raumes R und 0 der topologische Limes dieser Folge. Falls die Menge die abgeschlossen und zusammenhängend ist, mit der Komponente X 0 gemeinsame Punkte hat, so ist notwendigerweise @czX 0 (weil sonst X 0 + eine von X 0 verschiedene,
18 ) So ist z. B. die Zerlegung der Kugelfläche in Parallelkreise -f Nordpol + Südpol, oder die Zerlegung der Torusfläehe in Parallelkreise eine stetige 1-dimensionale Zerlegung.
10 ) die soeben von Herrn Tamarkin in Moskau erbracht ist (Proceed. Ak. Amsterdam 28 (Nr. 10), S. 1000 u. f.), wodurch meine Vermutung sich für den Fall n = 0 als richtig erwiesen hat.

Abbildungen kompakter Räume.
571
letztere Menge enthaltende, zusammenhängende Menge wäre, was der Eigenschaft von X 0 , eine Komponente zu sein, widerspricht).
Die Zerlegung (29) ist also stetig, folglich ist der durch die Zerlegung bestimmte Raum R ' ein stetiges Bild von R,
R* = f(R).
Da R* ein kompakter Raum ist, so bleibt uns nur noch übrig zu zeigen, daß R* kein Kontinuum enthält, d. h. daß jede, mehr als einen Punkt enthaltende, abgeschlossene Teilmenge F* von R* sich in zwei zueinander fremde abgeschlossene Mengen F* und F* zerlegen läßt.
Es sei F die Menge f~ 1 (F*) (vgl. § 2). F ist eine abgeschlossene, mehr als aus einer Komponente bestehende Teilmenge von R und zerfällt daher in zwei zueinander fremde abgeschlossene Mengen F 1 und F.,.
Dann sind aber in unserem Falle F* = f(F 1 ) und F.* = f(F z ) ebenfalls zueinander fremd und abgeschlossen, und da außerdem
F * = F* + F*
ist, so ist unser Satz bewiesen.
Es sei hierzu noch bemerkt, daß aus dem soeben bewiesenen Satze die bekannten Brouwerschen Sätze über die Struktur der abgeschlossenen Mengen 20 ) ohne weiteres folgen. Derselbe Satz steht auch zu einem Satze von Hausdorff 21 ) in enger Beziehung.
Blaricum bei Amsterdam, November 1925.
20 ) Nämlich die Sätze 1, 2, 3, 4 der ersten und der Satz 8 der zweiten Mitteilung „Over de struktuur der perfekte puntverzamelingen (Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 1910, S. 833—842 und 1911, S. 1416—1426, beides holländische Ausgabe).
21 ) op. cit. S. 304, Satz XI.
(Eingegangen am 11. 12. 1925.)
Zusatz bei der Korrektur: Wie ich soeben ersehe, behandelt Herr R. L. Moore in seiner Arbeit: ,, Concerning upper semicontinuous collections of continua (Amer. Trans. 27 (1925), S. 416—428) einen Begriff, der sich mit dem obigen Begriff der stetigen Zerlegungen für den Fall metrischer Räume mit Kontinuen als Zerlegungseinheiten im wesentlichen deckt. Da sich aber Herr Moore a. a. 0. auf ebene Kontinua beschränkt, so kommen seine Resultate mit den meinigen nicht weiter in Berührung.

Über reguläre Baumknrven.
Von
Karl Menger in Amsterdam.
1. Die kurventlieoretischen Grundlagen. Wir bezeichnen als reguläre Baumkurve oder kurz als Baum (in Verallgemeinerung einer Ausdrucksweise der kombinatorischen Topologie) ein kompaktes stetig durchlaufbares Kontinuum („ligne de Jordan"), welches keine einfache geschlossene Kurve (d.h. kein topologisches Bild einer Kreislinie) als Teil enthält 1 ). Die Untersuchung der Bäume ist aus zwei Gründen von einem gewissen Interesse: erstens nehmen die Bäume unter den Kurven eine Stellung ein analog jener der Kurven unter den allgemeinen Kontinua 2 ) und besitzen daher einige an sich bemerkenswerte Eigenschaften; zweitens können hinsichtlich der Bäume einige allgemeine kurventheoretische Fragen beantwortet werden, deren Lösung für andere Kurven eigenartige, bisher unüberwundene Schwierigkeiten entgegenstehen.
Als Kurve wird in der allgemeinen Kurventheorie 3 ) ein Kontinuum bezeichnet, zu dessen sämtlichen Punkten beliebig kleine Umgebungen
') Auf diese Klasse von Kontinua wurde wohl zuerst von Mazurkiewiez, Fund. Math. 2 (1921), S. 119 hingewiesen. — W. Soherrer, Math. Zeitschrift 24 (1925), S. 125, behandelt sie unter dem Namen „ungeBchlossene stetige Kurve" und beweist insbesondere, daß jede topologische Abbildung eines Baumes auf sich selbst oder auf ein Teilkontinuum mindestens einen Fixpunkt hat. — Einige Sätze über Bäume, die sich mit denen des § 5 der vorliegenden Arbeit teilweise berühren, fand ich nach Abschluß dieser Arbeit bei R. L. Wilder, Fund. Math. 7 (1925), S. 358 ff.
3 ) Vgl. meinen Bericht über die Dimensionstheorie, (Kap. IV) Jahresber. d. deutsch. Math. Ver. 1926.
3 ) Vgl. meine Grundzüge einer Theorie der Kurven, Proc. Ac. Amsterdam 28 (1925), S. 67 und Math. Annalen 95 (1925), S. 277 (im folgenden zitiert als „Kurven") und Urysohn, Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, II. Teil, weloher demnächst in den Verh. d. Ak. Amsterdam erscheint im Anschluß an eine Note in den C. R. 175 (1922), S. 481. — Der Kurvenbegriff, die Begriffe des End- und Verzweigungspunktes, sowie einige kurventheoretische Sätze finden sich auch in einer in den Proc. Ac. Amsterdam 29 (1926) abgedruckten Note von mir aus dem Jahre 1921.

K. Menger. Reguläre Baumkurven.
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mit diskontinuierlichen Begrenzungen existieren. Der Punkt p eines Kon- tinuums wird regulär genannt, wenn beliebig kleine Umgebungen von p mit endlichen Begrenzungen existieren, p heißt insbesondere von höchstens n-ter Ordnung, wenn beliebig kleine Umgebungen von p existieren, deren Begrenzungen höchstens n Punkte enthalten, während reguläre Punkte, die von keiner bestimmten endlichen Ordnung sind, von der Ordnung w oder von ivachsender Ordnung heißen. Ein kompaktes Kontinuum, welches nur reguläre Punkte enthält, heißt reguläre Kurve. Die Punkte zweiter Ordnung einer regulären Kurve nennen wir geivöhnliche Punkte, die Punkte erster Ordnung Endpunkte , die Punkte von höherer als zweiter Ordnung Verzweigungspunkte.
Zunächst sieht man, daß jede reguläre Baumkurve, d. h. jedes kompakte stetig durchlaufbare Kontinuum ohne geschlossene Teilkurve, auch wirklich eine reguläre Kurve im eben angeführten Sinn der Kurventheorie ist. Man bestätigt nämlich leicht 4 ), daß jedes Teilkontinuum eines Baumes stetig durchlauf bar ist, woraus sich ( da bekanntlich in einem stetig durchlaufbaren Kontinuum je zwei Punkte durch einen Bogen verbunden werden können) ergibt, daß je zwei Teilkontinua eines Baumes einen leeren oder einen zusammenhängenden Durchschnitt haben 4a ). Daraus folgt vor allem, daß jeder reguläre Baum B eine Kurve ist. Sonst gäbe es ja einen Punkt p von B und eine Umgebung V von p, so daß die Begrenzung jeder kleineren Umgebung von p Kontinua enthält. Sei dann V eine zusammenhängende Umgebung von p innerhalb von U (eine solche existiert, weil B stetig durchlauf bar ist) und seien a und b zwei Punkte eines Teilkonti- nuums (a, b ) der Begrenzung von V. Wir könnten dann innerhalb von V zwei Punkte a' und b' so nahe an a bzw. b wählen, daß zwei zueinander fremde Teilkontinua von V, (a, a') und (b, b') existieren. Verbinden wir sodann die Punkte a und b' durch ein Kontinuum (a', b'), das ganz im Innern von V liegt, — dann hätten die beiden Kontinua (a, a') +(a, ô) + (b, b') und (a', b") einen nichtzusammenhängenden Durchschnitt, was unmöglich ist, weil B ein Baum ist. B ist also eine Kurve und zwar eine stetig durchlaufbare; B zerfällt daher nach einem Satz der Kurventheorie 0 ) für jedes e > 0 in endlich viele Teilkontinua < e, die zu je zweien dis-
4 ) Vgl. Mazurkiewicz, a. a. 0. S. 123.
,la ) Angenommen nämlich, zwei Teilkontinua 1( 1 und E„ hätten einen nicht zusammenhängenden Durchschnitt, dann könnte man zwei Punkte p und q in verschiedenen Komponenten von K t -K 2 wählen und durch zwei Teilbögen verbinden, von denen der eine in K t , der andere in K„ liegt. Der Durchschnitt dieser zwei Bögen wäre nicht zusammenhängend, also enthielte ihre Summe einen topologischen Kreis, was unmöglich ist.
6 ) Vgl. Kurven S. 296 ff.

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K. Menger.
kontinuierliche Durchschnitte haben. Da aber diese Durchschnitte nach dem oben Bewiesenen leer oder zusammenhängend sind, so enthalten sie höchstens je einen Punkt. Als Summe beliebig kleiner Teilkontinua mit endlichen Durchschnitten, ist also B nach einem kurventheoretischen Satz ,r,a ) eine reguläre Kurve, wie behauptet. — Da ferner in der allgemeinen Kurventheorie gezeigt wird, daß jede reguläre Kurve stetig durchlaufbar ist 5b ), so sehen wir, daß es auf dasselbe hinauskommt, ob wir die regulären Bäume definieren als die stetig durchlaufbaren Kontinua ohne geschlossene Teilkurve oder als die regulären Kurven ohne geschlossene Teilkurve.
2. Die Bedeutung der Ordnungszahl für Punkte eines Baumes geht aus folgendem Satz hervor : Ist der Punkt p des Baumes B von der Ordnung n, so ist n die Anzahl der Teilbögen von B, die in p zusammenstoßen, d. h. es lassen sich n und nicht mehr als n in p endende und sonst fremde Teilbögen aus B herausgreifen. Zugleich ist n die Anzahl der Stücke, in die B nach Tilgung von p zerfällt, oder, wie wir dies auch ausdrücken können, die Komponentenzahl von B — p. In den Punkten van der Ordnung w stoßen abzählbar viele Bögen mit gegen Null konvergierenden Durchmessern zusammen ; nach Tilgung eines Punktes der Ordnung w zerfällt der Baum in abzählbar viele Komponenten mit gegen Null konvergierenden Durchmessern 5c ).
Sei zum Beweise p ein Punkt n - ter Ordnung eines Baumes B . Mehr als n Teilbögen, die in p enden und sonst fremd sind, kann B offenbar nicht enthalten. Wir haben zu zeigen, daß sich aus B wirklich n in p zusammenstoßende Bögen herausgreifen lassen. Dazu betrachten wir eine Umgebung U von p , deren Begrenzung genau n Punkte q t , q t , ..., q n enthält und die so klein ist, daß die Begrenzung jeder Teilumgebung von p mindestens n Punkte enthält. Wegen der letzteren Voraussetzung ist die abgeschlossene Hülle U von U offenbar ein Kontinuum und daher als
f ' ft ) Vgl. Kurven S. 300.
f,b ) Vgl. Kurven S. 300.
6c ) (Zusatz bei der Korrektur.) Über die erste Hälfte dieses Satzes, welche von dem Zusammenstoßen von Bögen in Baumpunkten handelt, vgl. bereits Kurven S. 302 f. Die Aussage betrifft das Verhalten von Bäumen in der Nachbarschaft ihrer Punkte und gilt daher selbstverständlich von jedem Baum im kleinen, d. h. von jeder Menge, die zu jedem ihrer Punkte eine Umgebung enthält, deren abgeschlossene Hülle ein Baum ist. In der Form einer Aussage über Bäume im kleinen findet sich dieser Satz, sowie der Satz von § 4 der vorliegenden Arbeit, wie ich während der Drucklegung ersehe, auch bei P. Alexandroff (Über kombinatorische Eigenschaften allgemeiner Kurven, V. Abschnitt, in diesen Annalen), wo reguläre Kurven, die Bäume im kleinen sind, als „endlich hoch zusammenhängende stetige Kurven" bezeichnet werden.

Reguläre Baumkurven.
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Teil eines Baumes stetig durchlaufbar. U enthält also je einen einfachen Bogen zwischen p und jedem der Punkte q i . Wir haben nur noch nachzuweisen, daß diese Bögen zu je zweien bloß den Punkt p gemein haben. Hätten nun aber etwa die Bögen, welche p mit q 1 und q. 2 verbinden, einen Punkt q =^=,p gemein, so betrachten wir das Komplement der n — 1 Punkte q, q a , g 4 , ..q n . Die p enthaltende Komponente desselben wäre mit Rücksicht auf die Baumnatur von B eine Umgebung von p < U, was unserer Voraussetzung widersprechen würde. Ganz analog läßt sich die Behauptung für die Punkte der Ordnung w beweisen 8 ). — Tilgen wir nun einen Punkt n- ter Ordnung von B, so zerfällt der Rest offenbar in mindestens n Komponenten ; denn B — p enthält ja, wie eben nachgewiesen, n Bögen ohne ihren einen gemeinsamen Endpunkt, und gehörten zwei von diesen Bögen zu derselben Komponente, so ließe sich sofort eine geschlossene Teilkurve von B angeben. Andererseits enthält B — p auch nur n Komponenten. Denn B — p ist eine in B offene Menge; die Komponenten von B — p sind daher ') offene zusammenhängende Mengen ; die abgeschlossenen Hüllen dieser Komponenten sind Kontinua; jedes dieser Kontinua enthält einen in p endenden Bogen, und da es nicht mehr als n solcher Bögen geben kann, so kann B — p nicht mehr als n Komponenten enthalten.
3. Einige Charakterisierungen (1er Bäume. Damit eine reguläre Kurve B ein Baum sei, ist jede einzelne der folgenden Eigenschaften notwendig und hinreichend:
a) Je zwei nicht fremde Teilkontinua von B haben einen zusammenhängenden Durchschnitt ;
b) je zwei fremde Teilkontinua von B können durch einen Punkt getrennt werden;
c) jeder Punkt von höherer als erster Ordnung zerlegt B;
d) zu je zwei Punkten von B existiert ein einziger Teilbogen von B mit den beiden Punkten als Endpunkten;
e) jedes Teilkontinuum von B enthält mindestens zivei Endpunkte.
Daß je zwei nicht fremde Teilkontinua eines Baumes einen zusammenhängenden Durchschnitt haben, wurde bereits erwähnt, und daß dies für eine Kurve, welche einen topologischen Kreis als Teil enthält, nicht zutrifft, ist klar. — Daß jeder Punkt von höherer als erster Ordnung einen
ß ) Das entsprechende Problem, ob in jedem Punkt m-ter Ordnung einer beliebigen regulären Kurve n Teilbögen zusammenstoßen (vgl. Kurven S. 302), ist für n = 2 von Kuratowski in positivem Sinn entschieden worden, im allgemeinen aber noch unerledigt.
7 ) Vgl. Kuratowski, Fund. Math. 1, S. 43; Hahn, Fund. Math. 2, S. 189.

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K. Menger.
Baum zerlegt, wurde oben unter 2. bewiesen; enthält andererseits eine Kurve G einen topologischen Kreis, so liegen auf demselben höchstens abzählbar viele C zerlegende Punkte 8 ), also sicher ein C nicht zerlegender Punkt, der offenbar von mindestens zweiter Ordnung ist. — Seien nun K x und K 2 zwei fremde Teilkontinua von B . Wir verbinden K 1 und K„ durch einen Bogen und betrachten sodann einen K t und K„ verbindenden Teilbogen dieses Bogens, welcher, abgesehen von seinen Endpunkten, zu K 1 -j- K 2 fremd ist. Tilgen wir irgendeinen Punkt p dieses Bogens, so zerfällt B , und zwar so, daß K 1 und K„ nicht zu derselben Komponente gehören. K x und K tJ sind also durch den Punkt p getrennt. Enthält andererseits eine Kurve einen topologischen Kreis, so enthält sie offenbar auch zwei zueinander fremde Teilkontinua (nämlich irgend zwei zueinander fremde Teilbögen des topologischen Kreises), die nicht durch einen Punkt getrennt werden können. — Der Beweis von d) liegt auf der Hand. — Zum Beweise von e) verwenden wir den Satz von Mazurkiewicz 8 ), daß jedes stetig durchlaufbare Kontinuum mindestens zwei Punkte enthält, durch die das Kontinuum nicht zerlegt wird. Auch jedes Teilkontinuum eines Baumes muß also mindestens zwei solche Punkte enthalten, besitzt folglich, da ein Baum durch jeden Punkt von höherer als erster Ordnung zerlegt wird, (in bezug auf sich selbst) zwei Endpunkte. Enthält andererseits ein Kontinuum einen topologischen Kreis, so ist das eine Teilkurve ohne Endpunkt. Damit ist unser Satz bewiesen.
4. Über die Struktur der Bäume. Jeder Baum B setzt sich zusammen aus einer abzählbaren Menge von Ver zweigungspunkten ~B, aus der Menge B~ aller gewöhnlichen Punkte, die von der Mächtigkeit des Konti- nuums und in B dicht ist, und aus einer diskontinuierlichen Menge B von Endpunkten, die abzählbar oder von der Mächtigkeit des Kontinuums ist.
Wir stützen den Beweis auf zwei Hilfssätze. H 1 ': Jeder Teilbogen eines Baumes B enthält höchstens abzählbar viele Verzweigungspunkte von B. Sei nämlich C ein Teilbogen von B, p ein Punkt von C-"B. Die Menge B — p enthält mindestens drei Komponenten, von denen mindestens eine zu G fremd ist. Die abgeschlossene Hülle dieser Komponente enthält, als Teilkurve eines Baumes, mindestens zwei Endpunkte, also mindestens einen Endpunkt 4= V ■ Einen dieser Endpunkte ordnen wir unter dem Namen e(p) dem Punkt p zu 10 ). Für p 4= q ist dann
8 ) Vgl. Mazurkiewicz, a. a. O. S. 119.
°) a. a. 0.
10 ) Von hier ab verläuft der Beweis des Hilfssatzes B 1 analog dem Mazurkiewicz- schen Beweis des Satzes, daß auf jedem topologischen Teilkreis eines stetig durch- laufbaren Kontinuums höchstens abzählbar viele Punkte liegen, die das Kontinuum zerlegen. (A. a. 0. S. 120.)

Reguläre Baumkurven.
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stets e (p) 4= e(q), also ist die Mächtigkeit von C 'B nicht größer als die Mächtigkeit der Menge aller e (p). Um zu zeigen, daß diese letztere Menge abzählbar ist, weisen wir nach, daß sie keinen ihrer Häufungspunkte enthält. Wir leiten zu diesem Zweck aus der Annahme, daß der Punkt e(p) Häufungspunkt von den Punkten e(p n ) ist, einen Widerspruch her, und zwar in folgender Weise: Jeder der Punkte e(p n ) ist nur durch einen einzigen Teilbogen von B mit e(p) verbunden, und jeder dieser Bögen muß den Punkt p enthalten. Also sind, wenn r den Abstand der Punkte p und e(p) bezeichnet, alle Punkte e(p u ) mit e(p) bloß durch ein Teilkontinuum von B verbunden, dessen Durchmesser > r ist. Dies aber widerspricht, da e(p) Häufungspunkt der e(p n ) ist, dem Zusammenhang im kleinen von B. Damit ist Hilfssatz Hj bewiesen.
Sei nun E eine in 5 1 dichte Teilmenge von B 1 , p ein Punkt von höherer als erster Ordnung, oder, wie wir auch sagen, ein Punkt von 1 B. Wenn M eine Komponente von B — p ist, so enthält die abgeschlossene Hülle M = M-\-p von M, als Teilkurve des Baumes B, mindestens zwei Endpunkte, also mindestens einen Endpunkt <4= P> der auch Endpunkt von B sein muß, — und folglich auch mindestens einen Punkt von E, da diese Menge in ß 1 dicht ist. Es enthält daher die abgeschlossene Hülle jeder Komponente von B — p auch einen Bogen, welcher p mit einem Punkt von E verbindet. Berücksichtigen wir, daß B — p mindestens zwei Komponenten enthält, so haben wir bewiesen Hilfssatz H., : Ist B ein Baum, E eine im Endkern B l von B dichte Teilmenge von B 1 , dann liegt jeder Punkt von 1 B auf mindestens einem Teilbogen von B, der zwei Punkte von E verbindet.
Da für E eine abzählbare Menge gewählt werden kann, folgt aus //, die Existenz abzählbar vieler Teilbögen von B , in deren Summe 1 B, also a fortiori B enthalten ist. Nach H x enthält jeder dieser Bögen höchstens abzählbar viele Verzweigungspunkte von B , also ist die Menge 'B abzählbar.
Die Menge der gewöhnlichen Punkte eines Baumes liegt im Baum dicht und hat die Mächtigkeit des Kontinuums. Denn je zwei Baumpunkte sind ja durch einen Bogen verbunden, der eine Menge der Mächtigkeit des Kontinuums von gewöhnlichen Punkten enthalten muß, da er nur abzählbar viele Verzweigungspunkte des Baumes enthält 11 ). — Daß schließlich der Endkern eines Baumes die Mächtigkeit des Kontinuums besitzen kann, geht aus dem Urysohnschen Beispiel einer Kurve hervor, die in den Punkten einer linearen perfekten, nirgends dichten Cantorschen
11 ) Reguläre Kurven, die nicht Bäume sind, enthalten bekanntlich bisweilen überhaupt keine gewöhnlichen Punkte, vgl. das in Kurven S. 302 angeführte Beispiel von Sierpiñski, Comptes Rendus 160 (1915), S. 302.

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Menge Endpunkte und sonst nur Punkte von zweiter und dritter Ordnung enthält und, wie man unmittelbar sieht, ein Baum ist Ua ).
5. Bäume und Bogensummen. Jeder Baum B ist Summe eines Semikontinuums S, bestehend aus abzählbar vielen Bögen, deren jeder zwei Endpunkte des Baumes verbindet, und einer zu S fremden Menge T, die ausschließlich Endpunkte des Baumes enthält. Die Menge T kann leer angenommen werden, wenn B 1 abzählbar ist, und ist von der Mächtigkeit des Kontinuums, wenn B ' unabzählbar ist. Ein Baum 11 b ) ist Summe abzählbar vieler Bögen dann und nur dann, wenn er bloß abzählbar viele Endpunkte enthält; er ist Summe endlich vieler Bögen dann und nur dann, wenn er endlich viele Endpunkte enthält.
Zum Beweise betrachten wir eine abzählbare, in B 1 dichte Teilmenge E von B 1 . Wir wählen irgendeinen Punkt von B ' und verbinden ihn mit jedem Punkt der (auf Grund des oben Bewiesenen abzählbaren) Menge E~\~ ¿ B durch jé einen Bogen. Die Summe dieser abzählbar vielen Bögen bildet ein Semikontinuum S. Wir zeigen, daß B — S < B ist, und leiten zu diesem Zweck einen Widerspruch her aus der Annahme, es existiere ein Punkt p von 1 B-(B — S). In der Tat, als Punkt von 1 B müßte ein solcher Punkt auf einem Bogen G zwischen zwei Punkten e i und e 3 von E liegen. Als Punkte des Semikontinuums S wären aber e 1 und e., auch durch einen Teilbogen von S verbunden, der von G verschieden ist, da er den Punkt p nicht enthält. Das aber widerspricht der Baumnatur von i?. — Wenn B 1 abzählbar ist, können wir E — B 1 setzen und haben eine Zerlegung von B in abzählbar viele Bögen. Ist B ' von der Mächtigkeit des Kontinuums, so kann B offenbar nicht als Summe abzählbar vieler Bögen dargestellt werden, denn jeder Endpunkt von B müßte Endpunkt eines der abzählbar vielen Bögen sein und jeder Bogen enthält nur zwei Endpunkte 12 ). Ist B l endlich, dann ist, wie man leicht einsieht,
11 a ) Diese Kurve ist in der Cartesischen Ebene die abgeschlossene Hülle der Summe aller Strecken, von denen der eine Endpunkt die Koordinaten hat
il _ } .
S = 2J • 2 ■ 3 , i] = 3 ' und deren anderer Endpunkt die Koordinaten hat k— 0
£' = f + Sj+i-2-3 k 1 und)?' = 3 k 1 , wo k = 0,1,2,..., f 0 = 0, und für k> 0 entweder + 1 oder — 1 ist.
llb ) (Zusatz bei der Korrektur.) und daher natürlich auch ein kompakter Baum im kleinen (vgl. oben 6c )).
la ) Das allgemeine Problem der Charakterisierung jener regulären Kurven, die Summe vom abzählbar vielen einfachen Bögen sind, ist noch ungelöst. Abzählbarkeit des Endkernes ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Abzählbarkeit der Menge aller nicht- gewöhnlichen Punkte ist, wie ich hier erwähnen möchte, für die Zerspaltbarkeit der Kurve in Bögen weder notwendig noch hinreichend.

Reguläre Baumkurven.
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auch ~B endlich und B ist nach Sätzen der allgemeinen Kurventheorie 13a ) darstellbar als Summe von endlich vielen Bögen.
6. Über die Plättbarkeit der Bäume. Es gilt der Satz 13 ): Jeder reguläre Baum ist mit einem ebenen Kontinuum homöomorph.
Wir schicken dem Beweis einige Hilfsüberlegungen voraus. Seien b l , 6 a , . .b n n feste Punkte des Baumes B; (b¡, b k ) bezeichne den einzigen Teilbogen von B, der in b¡ und b k endet. Ist P ein einfaches Polygon ( = ein ebenes Polygon, welches topologisches Bild einer Kreislinie ist),
dann nennen wir n Punkte p„, ..., p n von P zu den b¡ hinsichtlich
n
B isomorph, wenn eine, zur Bogensumme S — 5}(b { , b k ) homöomorphe
i,k= 1
n
Menge A(S) = 5] (p¡, p k ) existiert, die, abgesehen von den Punkten
i, k=l
p { = A{b¡), ganz im Inneren des Bereiches (P) von Fliegt. Daß zu jedem B,b i ,\, .. .,b H auf jedem vorgelegten einfachen Polygon n zu den b i hinsichtlich B isomorphe Punkte angebbar sind, wobei noch die Bögen (p., p k ) als Streckenzüge angenommen werden können, — das ergibt sich unmittelbar durch Induktion nach n.
Nun gilt folgender Hilfssatz: Seien b 1 ,b„,...,b n n feste Punkte des Baumes B; sei ferner P, p 1 , p^, ..., p n ein zu B, 6 1 , & 2 ,..., b u isomorphes einfaches Polygon und sei e > 0 vorgegeben. Dann kann B als Summe endlich vieler Kontinua < e, B¡, B„, .... B m , dargestellt werden, die zu je zweien höchstens einen Punkt gemein haben und zu denen in P ein isologes System P t , P 3 , ..., P m von Polygonen < e existiert. Dabei sagen wir von einem System P i , es sei zu den B i isolog , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: „Je zwei von den P { haben höchstens einen Punkt gemein, und zwar haben P { und P k dann und nur dann einen Punkt, p ik , gemein, wenn B i und B k einen Punkt, b ik , gemein haben. P i hat mit P den Punkt p k dann und nur dann gemein, wenn B i den Punkt b k enthält. Abgesehen von den Punkten p 1 , p 2 , ..p n liegen alle P i im Inneren von (P); je zwei Bereiche (P t .) und (P ( .) sind zueinander fremd. Die auf P i gelegenen Punkte p ik und p k liegen hinsichtlich B i zu den entsprechenden Punkten b ik und b k isomorph".
Für n < 2 kann zu jeder Zerlegung von B ein isologes System von Polygonen < e sehr einfach konstruiert werden durch entsprechendes Aneinanderheften von zu den B i isomorphen und nach Bedarf verkleinerten
i2») Vgl. Kurven S. 304.
la ) Er wird in der Arbeit von Mazurkiewicz als wahrscheinlich bezeichnet. Herrn P. Alexandroff verdanke ich wertvolle Anregungen zur Beschäftigung mit diesem Problem.

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K. Menger.
Polygonen. Nähere Angaben sind erforderlich, wie man für n ^ 2 zugleich den beiden Forderungen genügen könne, daß die Polynome einerseits < e sind und anderseits gewisse „Randbedingungen" erfüllen, nämlich durch die n vorgegebenen Punkte p i in der beschriebenen Weise hindurchgehen. Wir deuten die Konstruktion zunächst für den Fall n = 2 an. Dem einfachen Bogen (b 1 , 6 a ) von B lassen wir einen abgesehen von seinen Endpunkten in (P) verlaufenden Streckenzug (p lt p 2 ) entsprechen. Die Länge von (p lt p a ) sei <&•£, wo k eine ganze Zahl ist. Wir zerlegen sodann B in endlich viele Kontinua < e, B 1 , B. 2 , ..., B m , die zu je zweien höchstens einen Punkt gemein haben und die überdies so klein bestimmt sind, daß mindestens k von ihnen, etwa die Kontinua B 1 , B. 2 , .. ., B t mit
dem Bogen (b 17 ö 2 ) Teilkontinua gemein haben (wobei einzelne Punkte nicht als Kontinua aufgefaßt werden). Die Kette B 1 ,B$,...,B l von Kontinua überdeckt (b 1 , b„) vollständig und wir nehmen an, daß sie in der angeschriebenen Reihenfolge so geordnet sei, daß ein von b 1 nach b„ sich bewegender Punkt von B der Reihe nach Punkte von B 1 , B. 2 , .. ., B x durchläuft. Auf (b ¡ , 6 a ) liegen l -|- 1 Punkte
C 0 5 3 ' » • ) s + 1 ^2 '
so daß jeder der l — 1 mittleren Punkte dieser Reihe zwei aufeinanderfolgenden Kontinua der Kette gemein ist. Diesen Punkten ordnen wir auf dem Bogen (p 1 , p 2 ) 11 Punkte in entsprechender Reihenfolge zu:
~ Pl ' ^1 ' ^2 ' • • •> _|_ 1 = Py , so daß (p 1 , p. 2 ) durch dieselben in Stücke < e zerfällt. Kommen unter den B i (i > l) auch Kontinua vor, die mit (b 1 , b. 2 ) genau einen Punkt gemein haben, so lassen wir jedem von ihnen ein den Bogen (p lt p 2 ) nicht durchsetzendes Polygon P i < e entsprechen, das wir an (p x , p„) in einem Punkt ansetzen und das wir so klein wählen, daß sein Innenbereich innerhalb von (P) liegt, und daß je zwei der angesetzten Polygone zueinander fremde Innenbereiche besitzen; gilt für den Punkt c, welcher den Durchschnitt von B i (i > l) mit (b 1 , b. 2 ) ausmacht, Cj < c < c j+1 , bzw. c = Cj, so heften wir das entsprechende Polygon P i in einem Punkt d an, für den dj < d <d i + 1 , bzw. d = dj gilt; überdies heften wir alle in einem und demselben Punkt d an (p 1 , p 2 ) anzusetzenden Polygone auf derselben Seite des Bogens (p t , p„) an. Ist i ^ l, so liegen nun auf dem Bogen (d;_ 13 d { ) im allgemeinen gewisse Punkte d[, dí, ..d' r , in welchen Polygone an (p l , p< 2 ) angeheftet wurden. Dann können wir aber den Bogen (d i _ 1 , d-) in ein Polygon P { < s einschließen, so daß sein Innenbereich (P ; ) zu den angehefteten Polygonen fremd ist und innerhalb (P) liegt und so, daß P i (Pi> Vi) die Punkte d[, iL', ..., d' r , d¿ und nur diese Punkte gemein hat. Und da in jedem Punkt dj bloß auf einer Seite des Bogens

Reguläre Baumkurven.
581
(Pi'Pz) Polygone angeheftet worden sind, kann P i als einfaches Polygon dieser Art bestimmt werden. Die Zuordnung von Polygonen zu den etwaigen übrigen B i bietet keine Schwierigkeiten mehr. Auf jedem der bereits vorhandenen Polygone P t können Punkte angegeben werden, die zu den Begrenzungspunkten des entsprechenden Kontinuums B¿ isomorph liegen. In jedem solchen Begrenzungspunkt eines ist an ein System von gewissen B■ angeheftet; zu diesem System kann ein isologes System von Polygonen konstruiert und an den entsprechenden Punkt von P { angeheftet werden. Damit ist der Hilfssatz für n = 2 bewiesen.
n
Ist n > 2, dann ist S — 2 (b¡, 6,.) ein gewöhnlicher Baum, d. h. S läßt
i,Jc=1
sich darstellen als Summe endlich vieler Bögen G 1 , C 2 , ..., C m , die zu je zweien höchstens Endpunkte miteinander gemein haben und deren Endpunkte mit singulären Punkten von S übereinstimmen. Diesen Bögen ent-
71
sprechen gewisse Teilbögen C[,Gí,...,Gm von 2J(Pi, p k ). Tilgt man
i,h= i
beide Endpunkte von C { , so zerfällt B; die abgeschlossene Hülle derjenigen Komponente, welche C { enthält, nennen wir B¿. B ist Summe der
solcherart entstehenden Kontinua B 1 , _B.,, ..., B m und endlich vieler Rest-
m
kontinua B m+1 ,...,B , deren jedes mit B i bloß einen Punkt gemein
i=i
hat, der entweder zu den n ausgezeichneten Punkten b 1 , b.,, ..b n von B gehört oder mehreren von den B t gemein ist. Indem man nun die in Polygone einschließt, deren Innenbereiche in (P) liegen und zu je zweien fremd sind, und die mit jedem B i höchstens die zwei Endpunkte von C { gemein haben, und indem man ferner Polygone P { (i > m), welche den B i (i > m) entsprechen, in geeigneter Weise anheftet, erhält man ein zu den Kontinua B 1 , ..., B m , ..B p isologes System von Polygonen, von denen jedes mit den übrigen höchstens zwei Punkte gemein hat. Und auf jedes dieser Kontinua B t und dieser Polygone P { kann die für n — 2 durchgeführte Konstruktion des Hilfssatzes angewendet werden, wodurch auch die Fälle n > 2 erledigt sind.
Sei nun ein Baum B vorgelegt. Wir definieren durch Induktion ein Umgebungssystem von B und ein isologes System von Polygonen. Zunächst zerlegen wir B in endlich viele Kontinua B x , B^, ..., B n < e < 1, die zu je zweien höchstens einen Punkt gemein haben, und lassen ihnen ein isologes System P ± , P„, ..., P n von Polygonen < e entsprechen. Wir nehmen sodann an, es seien bereits definiert die Kontinua < und
das entsprechende System von Polygonen < e" -1 Dann zerlegen
wir jede der Mengen Bin endlich viele Kontinua -ß»,< e n , die zu je zweien höchstens einen Punkt gemein haben und so, daß ihnen in P ío • -• in —i ein isologes System von Polygonen P ilÍ2 . < e n entspricht.

582
K. Menger. Reguläre Baumkurven.
Hieraus ergibt sich folgende Abbildung von B auf ein ebenes Kon- tinuum: Gehört der Punkt b von B bei jedem Schritt der eben definierten Zerlegung bloß einem einzigen Kontinuum an, dann ordnen wir ihm den Durchschnitt der entsprechenden Polygone zu; da dieselben ineinandergeschachtelt sind und ihre Durchmesser gegen Null konvergieren, so enthält ihr Durchschnitt genau einen Punkt. — Gehört dagegen der Punkt b von B bei einem gewissen Schritt der Zerlegung zum erstenmal mehreren Kontinua an, dann ordnen wir ihm jenen Punkt zu, welcher den entsprechenden Polygonen gemein ist. Mit Rücksicht auf die Isologie zwischen dem Kontinua- und dem Polygonensystem zeigt man nun in einfacher Weise, daß die so definierte Abbildung umkehrbar eindeutig und stetig ist. Es ist damit ein topologisches Bild des Baumes B in der Ebene angegeben.
(Eingegangen am 2. 12. 1925.)
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Über konvexe Flächen und einschließende Kugeln.
Von
N. Kritikos in Athen.
Herr T. Bonnesen hat in seiner Arbeit über das isoperimetrische Defizit ebener Figuren, Math. Annalen 91, S. 257, den Satz bewiesen:
Jedes Oval O kann in einen von zwei konzentrischen Kreisen C und c begrenzten Kreisring in der Weise einbeschrieben werden, daß es zwischen den Kreisen liegt, jedoch mit jedem Kreis zumindest zwei Punkte gemein hat und zwar so, daß es auf G ein Punktpaar gibt, welches auj O von einem Punktpaar auf c getrennt ist. Für ein vorgelegtes Oval ist der Kreisring eindeutig bestimmt.
Von diesem Satz wollen wir im folgenden einen Beweis geben, der vor demjenigen von Herrn Bonnesen den Vorzug hat, weitere Eigenschaften des Kreisrings hervortreten zu lassen und eine Verallgemeinerung auf den Raum zu gestatten. Wir führen den Beweis für den verallgemeinerten Satz im Raum; in der Ebene gelten vollständig entsprechende Schlüsse.
1. Es sei K ein konvexer Körper (das ist eine beschränkte, abgeschlossene, nicht-ebene Punktmenge, die mit zwei Punkten auch die Punkte ihrer Verbindungsstrecke enthält), F sei die Begrenzung. Ist M ein Punkt von K, so gibt es eine kleinste Kugel C (M) mit M als Mittelpunkt und einem Radius R (M), die K enthält, und eine größte c (M) mit demselben Mittelpunkt und einem Radius r(M), die in K enthalten ist und sich auf einen Punkt reduziert, wenn M auf F liegt.
Die Differenz D (M) = R (M) — r (M) ist eine nicht-negative, stetige Funktion von M in K. Nach einem Satz von Weierstraß erreicht sie also darin ihr Minimum, das offenbar dann und nur dann gleich Null ist, wenn K eine Kugel ist. Wir werden zeigen, daß es nur eine Minimumstelle gibt und daß der zugehörige Kugelring durch geometrische Bedingungen festgelegt werden kann, die eine Verallgemeinerung derjenigen des zitierten Satzes sind.

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N. Kritikos.
2. Wir behaupten zunächst folgendes:
Ein Punkt M von F ist keine Minimumstelle.
Man lege nämlich eine Stützebene des Körpers durch M derart, daß ihre Normale MN ins Innere von K dringt. Sei N ein innerer Punkt von K, und es sei a der Radius einer Kugel mit N als Mittelpunkt, die ganz in K liegt. Für die Punkte M 1 der Strecke MN gilt
rW^^-MM,.
Andererseits haben wir, unter A einen Schnittpunkt der Stützebene mit der Oberfläche von C(M) verstanden,
R{M 1 )^M 1 A.
Nun ist R (M) — M X A = MA — M 1 A unendlich klein von der 2. Ordnung in MM 1 . Also gilt für M 1 hinreichend nahe bei M:
D (M x ) < R (M) = D {M), w. z. b. w.
3. Wir beschränken uns jetzt auf Punkte M im Innern von K. Es ist klar, daß sowohl C(M) als auch c(M) mindestens einen Punkt mit F gemeinsam haben. Die Punkte, weichet und C(M ) oder c(M) gemeinsam sind, wollen wir äußere bzw. innere Berührungspunkte des Kugelrings nennen. Sie besitzen folgende Eigenschaft: Die Tangentialebene an die betreffende Kugel in einem Berührungspunkt ist eine Stützebene von K.
Das ist für die äußeren Berührungspunkte evident. Für die inneren wird es so bewiesen: Sei I ein innerer Berührungspunkt, E die Tangentialebene an c{M) in I. Gäbe es Punkte von K auch auf der Seite von E , die von c(M) frei ist, z. B. den Punkt P, so wäre PI, als Sekante von c(M), im Innern des Tangentenkegels an c(M) durch P enthalten, welcher, von P bis zum Berührungskreis, ein Teil von K ist. Demnach wäre I ein innerer Punkt von K, was einen Widerspruch ergibt.
4. Aus der letzten Eigenschaft folgt u. a., daß die Projektionen a der äußeren Berührungspunkte von denjenigen i der inneren auf eine mit dem Kugelring konzentrische Kugel, vom Zentrum aus, verschieden sind. Wir behaupten jetzt folgendes:
Kann man die Punkte a von den Punkten i durch eine Ebene trennen, d. Ti. eine Ebene finden, die keinen dieser Punkte enthält und welche die a auf der einen, die i auf der anderen Seite läßt, so ist M keine Minimumstelle.
Beweis. Da die Trennung entweder für alle konzentrischen Kugeln zugleich oder für keine möglich ist, gilt unsere Voraussetzung auch für

Konvexe Flächen und einschließende Kugeln.
585
c(M) und G (M) als Projektionskugeln (Fig. 1). Seien e und E zwei zugehörige parallele Trennungsebenen, die c(M ) bzw. G(M) in zwei bezüglich M ähnlich gelegenen Kreisen schneiden. Die äußeren Berührungspunkte bilden eine abgeschlossene Punktmenge, also kann man zwischen sie und E eine weitere parallele Trennungsebene einschalten, die C(M) in einem Kreise AB schneidet. Ebenso schalte man zwischen die inneren Berührungspunkte und e eine parallele Trennungsebene, die c(M) in einem Kreise CD schneidet.
Betrachten wir noch die Normale zu diesen Ebenen durch M und nennen wir S ihren Schnitt- Fig ' 1 '
punkt mit C(M ) auf der Seite der i relativ zu E, T denjenigen in it c ( M) auf der Seite der a relativ zu e. Die abgeschlossene Kugelkalotte A8B liegt ganz im Äußeren, die abgeschlossene Kugelkalotte G TD dagegen ganz im Innern von K. Wenn wir also auf der Strecke MT Punkte M 1 hinreichend nahe bei M nehmen, so werden die Kugeln, die M x als Mittelpunkt und den Radius M X A haben, K enthalten, während die Kugeln mit demselben Mittelpunkt und dem Radius M 1 G in K liegen werden. Folglich ist
D £ M X A - M X C.
Da aber bis auf höhere Potenzen des unendlich kleinen M M i
/\
R (M) = MA — M x A-\- MM 1 cos TMA + ..., r(M) = MC — M 1 C + MM 1 cos TMG + ...
ist, haben wir
D (M x ) <: MA - MG - MM, (cos TMA — cos TMG) -f ... .
Also gilt, wegen
/\ /\
TMA < TMG <7i,
für M j hinreichend nahe bei M
D (M t ) < MA - MG = D (M), was unsere Behauptung beweist.
5. Aus dem Vorhergehenden folgt, daß der oder die Kugelringe, für die D ( M) ihr Minimum in K erreicht, solche äußeren und inneren Berührungspunkte aufweisen, daß ihre respektiven Projektionen auf eine konzentrische Kugel, vom Zentrum aus, durch keine Ebene getrennt werden können; insbesondere also gibt es mindestens zwei Berührungspunkte jeder Art.
Mathematische Annalen. 96. 38

586 N. KritikoB. Konvexe Flächen und einschließende Kugeln.
Wir werden jetzt nach Herrn Bonnesen zeigen, daß es nur einen Kugelring geben kann mit äußeren und inneren Berührungspunkten, deren respektive Projektionen sich nicht trennen lassen.
Beweis. Nehmen wir an, es gäbe zwei solche Kugelringe mit den Mittelpunkten M x und M„ (Fig. 2). C{M 1 ) und C ( M. 2 ) haben dann einen Bereich gemein, der K enthält, und weil sie beide F mindestens zweimal berühren, müssen sie einander in einem Kreise PQ schneiden. Die zwei Kugelkalotten von C(M 1 ) und C(M 2 ), die den Bereich g begrenzen, seien ß i und genannt.
Die inneren Kugeln c{M 1 ) und c( M„ ) haben ebenfalls zumindest zwei Punkte mit F gemein, also können sie nicht ineinander liegen und haben einen äußeren gemeinsamen Tangentenkegel. Zwei Kalotten b 1 und von c(M 1 ) und c{M i ) umgrenzen zusammen mit dem berührenden Mantelstück des Kegels einen konvexen Teil von K.
Nun muß F auf den Kugelkalotten B x und ö 1 Punkte haben, deren respektive Projektionen auf c^M^, von aus, keine Trennung gestatten. Dafür ist notwendig, daß die Raumwinkel M 1 (B 1 ) und M 1 (b 1 ) einen gemeinsamen Strahl haben, daß also M X P innerhalb M t ( b t ) oder auf dessen Begrenzung liegt. Entsprechend darf M.,P nicht außerhalb des Raumwinkels M. 2 (b. 2 ) liegen. Das ist aber unmöglich, denn die Raumwinkel M 1 (b x ) und M„ (b 2 ) haben ersichtlich keinen gemeinsamen Punkt.
Es gibt also nur einen Kugelring, bei welchem die äußeren und inneren Berührungspunkte Projektionen haben, die keine Trennung gestatten. Diese negative Bedingung kann nun leicht durch Betrachtung der konvexen Hüllen der gleichartigen Projektionen in eine äquivalente positive umgewandelt werden, und so bekommen wir schließlich den Satz:
Jede Begrenzung eines konvexen Körpers kann in einen aus zwei konzentrischen Kugeln bestehenden Kugelring in der Weise eingeschlossen iverden, daß sie mit jeder der zivei Kugeln zumindest zwei oder drei Berührungspunkte hat, deren respektive Projektionen auf eine konzentrische Kugel, vom Zentrum aus, zwei Strecken oder Dreiecke mit gemeinsamem Punkt bilden. Für eine vorgelegte Begrenzung ist der Kugelring eindeutig bestimmt und besitzt die kleinste Dicke unter allen Kugelringen aus konzentrischen Kugeln, in icelche die Begrenzung eingeschlossen werden kann.
(Eingegangen am 1. 11. 1925.)

Bemerkungen zur Arbeit von Herrn Cli. K. Müntz über das Plateausehe Problem (Math. Annalen 94, S. 53—96).*)
Von
Tibor Radó in Szeged (Ungarn).
Im ersten, flächentheoretischen Teile der im Titel genannten Arbeit 1 ) führt Herr Müntz gewisse Abschätzungen durch (seine Formeln 13, 17**, 19**, 19), welche für den im zweiten Teile entwickelten Existenzbeweis grundlegend sind. Das Verfahren von Herrn Müntz stellt die Verallgemeinerung einer äußerst geistreichen Methode von Herrn S. Bernstein dar und läuft dementsprechend letzten Endes auf gewisse geometrische Konvergenzsätze hinaus. In dem von Herrn S. Bernstein ursprünglich betrachteten Falle tritt als letztes Glied der Schlußkette die bekannte Tatsache auf: werden auf einer Raumkurve drei Punkte angenommen, wird durch diese drei Punkte eine Ebene gelegt, und läßt man hierauf die drei Punkte gegen einen und denselben Punkt der Kurve konvergieren, so konvergiert die entsprechende Ebene gegen die Schmiegebene in diesem Kurvenpunkte. Analoge geometrische Konvergenzsätze bilden auch bei Herrn Müntz das Endglied der Schlußketten; es treten dabei an die Stelle der Ebenen besondere Minimalflächen, welche gewissen mehrparametrigen algebraischen Flächenfamilien angehören.
Diese geometrischen Konvergenzsätze beweist aber Herr Müntz nicht, er deutet auch die Richtung nicht an, in welcher der Beweis zu suchen wäre; ja er spricht diese Sätze gar nicht aus, er wendet dieselben stillschweigend an 3 ).
*) Anmerkung der Redaktion. Die Redaktion der Annalen ist zwar grundsätzlich der Aufnahme von Beiträgen mit polemischer Tendenz oder Form abgeneigt; gleichwohl glaubt sie die nachfolgenden Ausführungen von Herrn Radó und die folgende Antwort von Herrn Müntz abdrucken zu sollen, da diese Erörterung in der Tat zu einer sachlichen Klärung von Fragen dienen kann, denen man vielfach nicht genügend Beachtung geschenkt zu haben scheint.
Im folgenden mit M zitiert.
s ) Es handelt sich um M, S. 72—75, insbesondere S. 72.
38*

588
T. Radó.
Es werde nun daran erinnert, daß bereits der von Herrn S. Bernstein herangezogene einfache Konvergenzsatz über die Schmiegebene, wenn man denselben vollkommen streng beweisen will, zu ganz hübschen analytischen Betrachtungen Anlaß gibt; H.A.Schwarz und T. J. Stieltjes haben diesen Betrachtungen je eine kleine Arbeit gewidmet 3 ). Sie haben gleichzeitig auf Verallgemeinerungen hingewiesen; beispielsweise kann man statt der dreiparametrigen Familie aller Ebenen die vierparametrige Familie aller Kugeln ins Auge fassen.
Will man nun diese Sätze auf allgemeinere algebraische Flächenfamilien verallgemeinern, so werden die Dinge wesentlich komplizierter. Die Tatsache, daß eine Kurve und eine Ebene eine n-punktige Berührung haben, wird bekanntlich durch das Bestehen gewisser rein analytischer Beziehungen zwischen den Bestimmungsstücken der Kurve und der Ebene ausgedrückt. Bei den in Rede stehenden Sätzen handelt es sich nun darum, das Bestehen dieser analytischen Relationen aus dem Umstände zu erschließen, daß die betrachtete Ebene durch gewisse algebraische Flächen approximiert werden kann, welche mit der Kurve je n getrennte Punkte gemein haben, wobei diese n Punkte gegen den betrachteten Kurvenpunkt konvergieren. Eine einfache Betrachtung lehrt aber, daß die Möglichkeit eines derartigen Schlusses wesentlich von der besonderen Struktur der herangezogenen Flächen abhängt, indem nämlich die fraglichen geometrischen Konvergenzsätze im allgemeinen überhaupt nicht mehr gültig bleiben.
Demnach erscheint es notwendig, die jeweilige Gültigkeit der fraglichen Sätze durch eine Diskussion der verwendeten Flächenfamilien sicherzustellen; auf eine derartige Diskussion geht Herr Müntz gar nicht ein. Ich habe nun die von Herrn Müntz herangezogenen Flächenfamilien etwas genauer betrachtet und zunächst gefunden, daß diejenigen Eigenschaften dieser Familien, die durch Herrn Müntz im Laufe seiner Darstellung in Betracht gezogen werden, weder für die Gültigkeit der geometrischen Konvergenzsätze noch für die Gültigkeit der aus denselben gezogenen Schlüsse hinreichend sind. Eine weitere einfache Betrachtung ließ dann solche Besonderheiten dieser Flächenfamilien erkennen, die an sich geeignet sein könnten, die Gültigkeit der geometrischen Konvergenzsätze in Frage zu stellen. Und so gelangte ich zur Ansicht, die ich im folgenden begründen möchte, daß durch das Stillschweigen, welches Herr Müntz über diese Sätze beobachtet hatte, eine wesentliche Lücke in seinem Existenzbeweise entstanden ist.
3 ) H. A. Schwarz, Abhandlungen 2, S. 296—302; T. J. Stieltjes, Oeuvres 2, S. 110 —123. Von Lehrbüchern vgl. W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie 1. 5 4.

Plateausches Problem.
580
1. Herr Müntz betrachtet eine einfache geschlossene Raumkurve K und setzt voraus, daß dieselbe analytisch ist, eine einfache konvexe xy- Projektion hat und keine vertikale Schmiegebene besitzt. Dann führt er, in Verallgemeinerung eines S. Bernsteinschen Verfahrens, eine gewisse fünfparametrige algebraische Flächenfamilie ein; wir wollen die Parameter mit x, Â 1 , À 2 , Â s , und die entsprechende Fläche mit S(x, A 1} / 2 , /1 3 , /l 4 ) bezeichnen. Die Flächenfamilie weist dann die Besonderheit auf, daß für x = 0 die Fläche S(x, X s , / 4 ) in eine Vertikal ebene ausartet.
Für die Zwecke von Herrn Müntz ist nun der folgende „ Satz über den Parameter x" von entscheidender Bedeutung.
Satz über den Parameter x. Es werde die Gesamtheit derjenigen Fl äche n S (x, X 1 , , À s , A 4 ), die mit der vorgelegten Raumkurve fünf getrennte Punkte gemein haben, ins Auge gefaßt ■und mit 2 bezeichnet. Dann bleibt für diese Flächen der absolute Betrag des Parameters x oberhalb einer positiven Schranke.
Der Deutlichkeit wegen möchte ich hier schildern, wie man diesen Satz auf gewisse geometrische Konvergenzsätze reduziert. Für x — 0 artet die Fläche S (x, Â 2 , À s , Â 4 ) nach Voraussetzung in eine Vertikalebene aus; da die Kurve K eine konvexe xy- Projektion hat, so kann diese Vertikalebene keine fünf getrennten Punkte mit der Kurve gemein haben. Für keine Fläche von 2 kann also \x\ gleich Null sein; es wird aber darüber hinaus behauptet, daß | x | auch nicht beliebig klein werden kann. Zum Beweise wird im Gegensatz zur Behauptung angenommen, daß aus 2 eine Flächenfolge S 1 , $ 2 , ..., S n , ... ausgewählt werden kann, für welche \x\ gegen Null geht 4 ). Die Fläche S n hat mit der Kurve K fünf getrennte Punte P{ n) , ..., P¿ n) gemein; ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, daß jeder dieser fünf Punkte einer Grenzlage zustrebt. Seien P 1 , P 2 , ..., P 5 diese Grenzpunkte, Da beim Grenzübergange die Flächenfolge S n , wegen x->-0, in eine gewisse Vertikalebene E* ausartet, so liegen diese Punkte augenscheinlich auf E*. Da nun die Vertikalebene E* mit der Kurve K, infolge der konvexen xy- Projektion dieser Kurve, nicht mehr als zwei getrennte Punkte gemein haben kann, so müssen entweder alle fünf Punkte zusammenfallen, oder aber es muß zwei getrennte Punkte A und B auf der Kurve K geben, so daß gewisse mit A, gewisse mit B zusammenfallen.
Es gibt also gewiß einen Punkt auf der Kurve, wir wollen diesen Punkt mit P Q bezeichnen, so daß beim Grenzübergange von den fünf Schnittpunkten P[ n \ PÍ n) , ..., P$ l) wenigstens drei gegen P 0 konvergieren. Da aber, wegen X—+0, die Flächen S n in eine durch den Punkt P 0
4 ) Vgl. hierzu Nr. 6, a) der vorliegenden Note.

590
T. Radó.
gehende Vertikalebene E* ausarten, so müßte diese Vertikalebene mit der Kurve K im Punkte P 0 eine wenigstens dreipunktige Berührung haben. Dies widerspricht aber der Voraussetzung, daß die Kurve K keine vertikale Schmiegebene besitzt, und damit ist die Annahme, daß der Parameter 3i für die Flächen von 2 beliebig kleine Werte annehmen könnte, ad absurdum geführt 5 ).
2. Den springenden Punkt dieses indirekten Beweises bildet, wie man sieht, ein recht allgemeiner geometrischer Konvergenzsatz ; wir wollen einen besonderen Fall desselben genau formulieren.
Spezieller geometrischer Konvergenzsatz. Auf der Kurve K wird ein fester Punkt P 0 vorgegeben. In der Nähe von P 0 luerden auf K fünf getrennte Punkte angenommen, und durch diese fünf Punkte wird eine Fläche der oben erwähnten fünfparametrigen Flächenfamilie gelegt. Es wird noch vorausgesetzt: läßt man die fünf Punkte gegen den festen Punkt P 0 konvergieren, so artet die entsprechende Fläche in eine durch P 0 gehende Vertikalebene E* aus.
Dann wird behauptet, daß die Grenzebene E* mit der Kurve K im Punkte P 0 eine fünfpunktige Berührung hat.
Es werde aber ausdrücklich darauf hingewiesen, daß für die Zwecke von Herrn Müntz noch allgemeinere Sätze erforderlich sind. Während bei diesem speziellen Satze, kurz gesagt, mit Hilfe einer fünfparametrigen Familie eine fünfpunktige Berührung zu erweisen ist, handelt es sich bei den allgemeineren Sätzen darum, mit Hilfe einer n-parametrigen Familie eine k -punktige Berührung festzustellen, wobei n— h, 7, 9 und k im allgemeinen kleiner als n ist.
Ob der Umstand k < n wesentlich ist, kann erst beim Beweise erkannt werden. Eine eingehende Besprechung dieser Sätze wäre aber auch aus folgendem Grunde notwendig. Uber die Randkurve K wurde insbesondere vorausgesetzt, daß sie analytisch ist. Diese Voraussetzung ist aber nicht notwendig, wie Herr Müntz gelegentlich bemerkt; es genügt, wenn die Kurve hinreichend oft derivierbar ist. Wenn man die in Nr. 1 dieser Note geschilderte Überlegung durchgeht, so erkennt man, daß die höhere Derivierbarkeit der Kurve explizite gar nicht verwendet wird; die Regularitätseigenschaften der Kurve würden eben erst beim Beweise der geometrischen Konvergenzsätze eingreifen. Erst beim Beweise dieser Sätze würde man also über den wichtigen Punkt Aufschluß erhalten, welche Regularitätseigenschaften der Kurve K für die Schlüsse von Herrn Müntz notwendig sind.
5 ) Siehe M, S. 72 unten und S. 75 Mitte.

Plateausches Problem.
591
3. Ich will nun meine Ansicht begründen, daß die fraglichen geometrischen Konvergenzsätze einen sorgfältigen Beweis erfordern; um aber mit abstrakten Erörterungen keine Zeit zu verlieren, betrachte ich zunächst ein Beispiel, welches den Sachverhalt beleuchten soll.
In der xy- Ebene sei die algebraische Kurvenschar
(1) (y — 1 + x)(y — 1 + 2x)(y — 1 + 3x) + XÂ 1 A 2 ¿3 (x- + y 2 ) = 0
vorgelegt. Sei 0 < x < |; dann kann man, wie wir zeigen wollen, für die übrigen Parameter solche von Null verschiedene Werte einsetzen, daß die entsprechende Kurve mit dem Einheitskreise x 2 + y 2 — 1 sechs getrennte Punkte gemein hat. In der Tat, setzen wir » a + y 2 = 1 in (1), so erhalten wir für y eine Gleichung dritten Grades; wenn wir noch K = ¿3 = ¿ 4 = 1 wählen, so lautet diese Gleichung
(y i + y ')(y — i + 2«)(y — i Sx) X 1 x = o .
Für À 1 = 0 hat man die drei verschiedenen Wurzeln 1 — x, 1 — 2x, 1 — 3x; wenn l x hinreichend klein, aber von Null verschieden gewählt wird, so wird man ebenfalls drei getrennte Wurzeln haben, die wenig von 1 — x j 1 — 2x, 1 — 3x abweichen. Wir können und wollen also A, =(= 0 so wählen, daß die Gleichung drei getrennte Wurzeln r¡', r¡", ?/"' hat, die zwischen 1 und 1 — 4* liegen; wegen 0 < x < | haben wir dann
(2) 0<1 -ix <i}',t¡",i¡" , < 1.
Aus x' 2 + 2/ 3 = 1 erhalten wir die Abszissen der Schnittpunkte mit dem Einheitskreise. Es gibt also sechs getrennte Schnittpunkte; zwei haben die Ordinate rj', zwei die Ordinate r\" und zwei die Ordinate r¡'". Da nun nur 0 < x < i vorausgesetzt wurde, so können wir diesen Prozeß für eine gegen Null konvergierende Folge x w , x l2 >, ..., x <n> , ... wiederholen, und erhalten eine Folge von Kurven, y a) ,y (2> , ..., y in) , ..., die mit dem Einheitskreise je sechs getrennte Schnittpunkte haben; wie aus (2) ersichtlich, konvergieren diese sechs Schnittpunkte gegen den Punkt (0,1) des Einheitskreises.
Wir gehen nun zu drei Dimensionen über und bezeichnen mit S (x, A 1} A a , A 3 , A4) diejenige Zylinderfläche mit vertikalen Erzeugenden, welche die Leitkurve (1) hat; wir können die Gleichung dieser Flächenfamilie in der Form schreiben
(3) y - 1 -Ly= *«(»* + y î)__
und wollen die Gleichung der Familie gerade in dieser Form verwenden. Mit K bezeichnen wir den Einheitskreis der xy- Ebene; dann sind die Müntzschen Voraussetzungen über K gewiß erfüllt.

592
T. Radó.
Setzen wir in (3) für « den Wert Null ein, so ergibt sich y — 1 = 0; für * = 0 artet also die Fläche S(x, l x , A g , A 4 ) in eine Vertikalebene aus. Bezeichnen wir mit S lf &¡, ..S n ,... diejenigen Zylinderflächen unserer Familie, welche die oben erklärten Kurven yW, y (2> , .. ...
zu Leitkurven haben, so hat S sechs getrennte Punkte mit dem Einheits-
' no
kreise K gemein, und der zugehörige Parameterwert yJ n) konvergiert dabei gegen Null. Alle die Momente, auf welche sich Herr Müntz beim Beweise des Satzes über den Parameter v. beruft, sind also vorhanden, der Satz selbst gilt aber nicht.
Aus diesem Sachverhalte ersehen wir bereits, daß für die Gültigkeit des Satzes über den Parameter *. gerade solche Momente entscheidend sein müssen, die Herr Müntz gar nicht in Betracht gezogen hatte.
4. Wenden wir die in Nr. 1 geschilderte indirekte Schlußweise auf unser Beispiel an, so bleiben wir erst bei den geometrischen Konvergenzsätzen stecken; diesen Punkt wollen wir nun genauer ins Auge fassen.
Sind wieder S 1} S 2 , ..S n , ... die in Nr. 3 eingeführten Zylinderflächen, so hat S n sechs, also um so mehr fünf getrennte Punkte mit dem Einheitskreise gemein. Beim Grenzübergange konvergieren diese Schnittpunkte gegen denselben Punkt (0, 1) des Einheitskreises, und die Fläche artet dabei in die Vertikalebene y — 1 = 0 aus. Alle Voraussetzungen des speziellen geometrischen Konvergenzsatzes sind also erfüllt, es ist aber ganz klar, daß die Grenzebene y — 1 = 0 mit dem Einheitskreise keine fünfpunktige Berührung hat — der geometrische Konvergenzsatz ist also nicht erfüllt.
Dieses negative Ergebnis wird wohl niemanden überraschen. Ganz trivial sind nämlich die folgenden Feststellungen.
Feststellung I. Für den speziellen geometrischen Konvergenzsatz genügt es nicht, wenn die Flächen beim Grenzübergange irgendwie in eine Ebene ausarten. Das wesentliche ist, in welcher Weise diese Ausartung erfolgt.
Feststellung II. Insbesondere muß unbedingt verlangt werden, daß die Ausartung die hinreichend glatte Konvergenz gegen die Grenzebene involviert; beispielsweise muß in der Umgebung des Punktes P 0 auch die Normalenrichtung der Flächen gleichmäßig gegen die Normalenrichtung der Grenzebene konvergieren (was aber an sich natürlich nicht hinreicht).
Die Ausartung in unserem Beispiel bedeutet hingegen weiter nichts als eine willkürliche Festsetzung ; man erkennt dies am besten, wenn man die Gleichung der Flächenfamilie in ganzer rationaler Form zugrunde legt, also Gleichung (1) verwendet. Setzt man in Gleichung (1) für k den Wert Null ein, so ergibt sich (y — 1 ) 3 = 0, also die dreifach zu zählende

Plateausches Problem.
593
Ebene y — 1 — 0. Dreifach gezählt, liefert diese Ebene tatsächlich sechs zusammenfallende Schnittpunkte mit dem Einheitskreise, der spezielle geometrische Konvergenzsatz ist also eigentlich auch jetzt richtig, nur muß derselbe richtig, nämlich algebraisch, interpretiert werden. Dann aber drückt derselbe eine Trivialität aus und stellt keinen Widerspruch mit der differentialgeometrischen Tatsache dar, daß der Einheitskreis keine vertikale Schmiegebene besitzt.
Feststellung III. Wenn für x = 0 die Fläche 8 (x, Â lt A a , A g , ¿ 4 ) in eine mehrfach zu zählende Vertikalebene ausartet, so artet der spezielle geometrische Konvergenzsatz im allgemeinen in eine Trivialität aus, und der Satz über den Parameter x verliert im allgemeinen seine Gültigkeit.
5. Mit diesen Erfahrungen wenden wir uns nun den von Herrn Müntz verwendeten Flächen zu. Mit SDL werde die Minimalfläche
3 ( , U a „\
X = X a yu-\- - g — UV J , (4) y = 2 X s uv,
3 [ . V a 0 \
z = x yv -\— g U V j
bezeichnet, die in der durch Herrn Müntz betrachteten fünfparametrigen Familie enthalten ist 6 ). Wir führen mit Herrn Müntz neue Variablen u*,v* durch xu=u*, xv = v* ein, wodurch (4) übergeht in
-i» * 3
X = x' 2 U* 4 g u* V * 2 ,
y = 2xu* V*, z — x 2 V* + V* u* 2 .
O
Setzen wir hier x — 0, so ergibt sich y = 0, z^O; dieser Sachverhalt wird durch Herrn Müntz durch die Aussage charakterisiert, daß die Fläche 50 l x für x = 0 in die Vertikalebene y = 0 ausartet 7 ). In analogem Sinne ist die Ausartung beim Satze über den Parameter x und beim geometrischen Konvergenzsatze zu verstehen.
Mit Rücksicht auf Feststellung II wollen wir nun zusehen, wie die Ausartung der Fläche in die Ebene y = 0 in der Umgebung des Punktes (0, 0, 0) aussieht. Der Punkt (0, 0, 0) liegt auf und entspricht dem Wertsystem u = 0, v = 0. Aus (4) erhält man, daß für
d(x z)
u = 0 , v = 0 die Funktionaldeterminante „ v , ' - von Null verschieden ist.
d(u,v) '
in der Umgebung des Punktes (0, 0, 0) kann also die Fläche in der
°) M, S. 71, Formel 17*. 'J M, S. 72 unten.

594
T. Radó.
Form y — analytische Funktion von x und z dargestellt werden, dieser Punkt ist also, in differentialgeometrischer Beziehung, ein absolut regulärer Flächenpunkt. Außerdem wird dort die Fläche gerade durch die Grenzebene y — 0 berührt. Wir setzen nun in (4)
u = 1, V — 0
und erhalten einen Punkt von 9J?*, der mit P y _ bezeichnet werden möge. Dieser Punkt P H hat die Koordinaten (| y, 3 , 0, 0), konvergiert also für y.—- 0 gegen (0, 0, 0). Man stellt fest, daß im Punkte P y _ die Fläche 9JL eine horizontale Berührungsebene hat. Wird also eine beliebig kleine Umgebung des Punktes (0, 0, 0) betrachtet, so liegt dort, wenn y. hinreichend klein ist, sowohl ein Punkt von 9}?,, mit vertikaler, wie auch ein Punkt mit horizontaler Tangentialebene, nämlich (0, 0, 0) bzw. P x . In der Umgebung des Punktes (0, 0, 0) ist also die Konvergenz der Fläche 50ï x gegen die Grenzebene y = 0 nicht glatt. Die Ausartung im Müntzschen Sinne involviert also die glatte Konvergenz gegen die Grenzebene nicht.
Mit Rücksicht auf Feststellung III wollen wir noch über die algebraische Gleichung der Fläche ÛDZ* eine Bemerkung einschalten. Bekanntlich ist diese Fläche von der neunten 8 ) Ordnung. Drücken wir aus der zweiten Gleichung (4) v durch u aus und gehen wir damit in die erste und dritte Gleichung ein, so erhalten wir zwei Gleichungen vierten Grades für u. Wenn wir die Resultante gleich Null setzen, so ergibt sich eine Gleichung zwischen x, y und z, die aber noch höheren als neunten Grades ist; durch einfache, aber etwas weitläufige Rechnungen erhalten wir dann, nach Abspaltung leicht erkennbarer fremder Faktoren, eine Gleichung mit dem richtigen Grade 9 und mit folgenden Eigenschaften.
A. Die Gleichung hat die Form
(5) y 9 -\-Q(x,y,z,x) = 0,
wobei Q ein Polynom, mit rein numerischen Koeffizienten, von x, y, z, y. bedeutet, welches in bezug auf x, y, z vom achten Grade ist.
B. Das Polynom Q verschwindet für * == 0 identisch.
Mit Rücksicht darauf, daß die Fläche von neunter Ordnung ist, stellt also (5) die Gleichung der Fläche in ganzer rationaler Form dar. Setzen wir in dieser Gleichung y. = 0, so erhalten wir nach B:
y* = 0 .
Für x = 0 artet hiernach die Fläche 9DÎ,, in die neunfach zu zählende Vertikalebene y — 0 aus.
8 ) Vgl. Darboux, Théorie générale des surfaces, í, p. 217 und p. 369.

Plateausohes Problem.
595
Es liegt also eine weitgehende Analogie mit unserem Beispiele vor. Die Müntzsche Erklärung der Ausartung ist eine an sich willkürliche Festsetzung ; diese Festsetzung entspricht dein algebraischen Sachverhalte nicht und involviert die glatte Konvergenz nicht. Mit Rücksicht auf die Bemerkungen in Nr. 4 dürfen wir also sagen: wenn trotzdem der Satz über den Parameter y. und der geometrische Konvergenzsatz in dem von Herrn Müntz benötigten Umfange bestehen bleiben, so kann man sich hiervon nur durch eine sorgfältige Diskussion der Besonderheiten der jeweiligen Sachlage überzeugen.
Da eine derartige Diskussion in der Arbeit von Herrn Müntz vollkommen fehlt, so scheint mir dort eine Lücke vorzuliegen.
6. Ich möchte zur Ergänzung folgendes hinzufügen.
a) Die positive untere Schranke, deren Existenz im Satze über den Parameter x behauptet wird, muß noch eine für die weiteren Entwicklungen von Herrn Müntz wesentliche Eigenschaft besitzen; diese Schranke darf nämlich nur von der Kurve Ii selbst abhängen, sie muß eine dieser Kurve eigentümliche Konstante sein. Da zum Nachweis der Existenz dieser Konstante nur ein indirekter Beweis angedeutet wird, so muß man streng darauf achten, daß dabei nur solche Momente in Betracht gezogen werden, welche nur die Kenntnis der Kurve K involvieren.
Nun aber verwendet Herr Müntz im Laufe seines Beweises den Ausdruck Oskulationsfläche (M, S. 72, Zeile 4 von unten); darunter ist eine Fläche zu verstehen, welche der von uns mit 2 bezeichneten Gesamtheit angehört (s. den Wortlaut des Satzes über den Parameter * in Nr. 1), und überdies in einer gewissen Beziehung steht zu derjenigen Minimalfläche, welche durch K begrenzt wird. An der erwähnten Stelle wird nicht angegeben, in welcher Weise diese Oskulationsflächen die Schlüsse beeinflussen sollen; es werde aber ausdrücklich darauf hingewiesen, daß diese Heranziehung der Oskulationsflächen zunächst einer früheren Bemerkung von Herrn Müntz widerspricht [M, S. 72, Zeile 10 — 11 von oben), und überdies geeignet ist, den wichtigen Umstand zweifelhaft zu machen, daß die fragliche untere Schranke tatsächlich nur von der Kurve K abhängt.
b) Dem Beweise des Satzes über den Parameter y. fügt Herr Müntz eine algebraische Bemerkung hinzu.
Da die betrachtete Familie von fünf Parametern abhängt, so wird, wenn (x 1} y 1 , z a ), (x 5 , y b , z s ) die fünf Schnittpunkte einer Fläche von 2 mit K bezeichnen, eine algebraische Gleichung für v. bestehen, deren Koeffizienten nur von den Koordinaten dieser fünf Schnittpunkte abhängen. Da nun, schließt Herr Müntz (vgl. M, S. 73 oben), die Existenz einer positiven unteren Schranke für ! * | bereits feststeht ( gemeint ist der

596
T. Radó. Plateausches Problem.
in Nr. 1 geschilderte indirekte Beweis), so wird auch diese Gleichung notwendig eine positive untere Schranke für | % [ liefern, welche Schranke mit rein algebraischen Mitteln bestimmbar ist.
Ohne das hiermit ausgesprochene allgemeine Prinzip näher zu betrachten, will ich nur feststellen, daß Herr Müntz über die Beschaffenheit und die Handhabung dieser rein algebraischen Mittel keine Angaben macht. Die erwähnte algebraische Bemerkung kann also meine Schlußfolgerung auf das Vorhandensein einer wesentlichen Lücke nicht beeinflussen.
c) Herr Müntz führt der Reihe nach fünf-, sieben-, neunparametrige Flächenfamilien ein, und beruft sich dabei auf seine Entwicklungen im fünfparametrigen Falle (M, S. 75). Diejenigen Momente, die er im fünf- parametrigen Falle in Betracht zieht, reichen aber nach den Bemerkungen dieser Note an sich nicht hin, um die Gültigkeit seiner Schlüsse zu sichern. Es erscheint hiernach notwendig, diejenigen gemeinsamen Eigenschaften dieser Flächenfamilien aufzudecken, welche eine gleichmäßige Behandlung der geometrischen Konvergenzsätze ermöglichen.
Szeged, den 22. November 1925.
(Eingegangen am 27. 11. 1925.)

Zum Plateauschen Problem.
Erwiderung auf (lie vorstellende Note des Herrn Radó.
Von
Ch. H. Müntz in Berlin-Nikolassee.
Die kurze Fassung einiger Punkte meiner zitierten Arbeit ( M ) hat zu Mißverständnissen Anlaß gegeben, die im folgenden behoben werden sollen.
I.
1. Herr Radó nimmt an (221 ), ich hätte stillschweigend einen von ihm formulierten „Satz über den Parameter x" benutzt. Diese Annahme trifft nicht zu, und der betreffende Satz ist in unserem Falle evident falsch: man braucht nur die Schnitte einer geschlossenen xy-Kurve mit den X y- Spuren der benutzten Flächen zu betrachten.
Es kommen eben nicht alle Flächen der Familie 2 in Frage, sondern nur solche (212 § 9), die im Sinne meiner Arbeit Oskulations- flächen sind oder zumindest es sein könnten, worüber die Kriterien (vgl. u. II) a. a. 0. implizite gegeben worden sind.
2. Der mir des weiteren zugeschriebene „spezielle geometrische Konvergenzsatz" ist ebenfalls falsch (vgl. u. II) und ebenfalls von mir nicht benutzt worden 1 ).
3. Der a. a. 0. mehrfach gegebene Hinweis auf die Oskulationsflächen (u. a. S. 72, Z. 4 v. u.), als Stütze der Beweisführung gedacht, wird von Herrn Radó (22 6a) als „Widerspruch zu einer früheren Bemerkung" (S. 72, Z. 10 —11) meiner Arbeit bezeichnet. Es ist mir leider nicht verständlich, worin dieser Widerspruch bestehen könnte: Es wird ibd., Z. 10 — 11 nur gesagt, daß die fraglichen Oskulationsflächen í>* einer dort angegebenen Gesamtheit [2) angehören, und dies ist richtig.
Übrigens hängen die Flächen 22* implizite nur von K ab; wie ihre Heranziehung zu handhaben ist, sei jetzt auseinandergesetzt.
*) Zur Literatur wäre noch H. A. Schwarz, Werke II, 309—311 zu nennen.

598
Ch. H. Müntz.
II.
1. In einem inneren Punkte 0 eines regulären Minimalflächenstiickes 0 ist nach vollzogener Drehung zu p = 0 (M § 9) der Parameter co reell und überdies, zugleich mit co~ 1 , gleichmäßig beschränkt 3 ). Entsprechend der Zweideutigkeit der Gaußschen Abbildung durch parallele Normalen ist co ebenfalls zweideutig, ebenso allgemeiner (ohne Drehung zu p = 0) die Weierstraßschen Parameter
i • — 2 +J 1+P 2 + ? 2 — <7 + 11 + + <7 2
W = U + I V = — . * , U— '
■pi ' 1 + P 2
[.M(14)]., wobei hier \w\, |w _1 ¡, \u\, \u~ í \, v gleichmäßig beschränkt sind; die Punkte mit u = 0 bilden auf den benutzten Hilfsflächen Í> H " an sich eine vertikale Gerade [Z- Achse), für die Berührung aber kommen nur zwei getrennte endliche Stücke von Ö>* in Frage, wobei auf dem einen stets u > 0, auf dem andern stets u < 0 ist und die Wahl des Vorzeichens uns freisteht.
2. Für jede Oskulationsfläche sind die reellen Parameter x, und x = tgyi in endlichvieldeutiger Weise bestimmt aus ii(16)—(16); man kann dabei nach Belieben und unabhängig voneinander über die Vorzeichen von cosip, sin y» und * verfügen (das Vorzeichen von y. entscheidet übrigens über den somit wählbaren Sinn der Schraubung von <P* um die Z- Achse). Für r 2 -)-« 2 — >co hätte man x. —>- 0 in allen Fällen zu gewärtigen; es genügt daher, den erwünschten Widerspruch bei einer einzigen passenden Wahl aufzuzeigen.
3. Setzt man in O an $ eine zugehörige ( I>* etwa mit u > 0, so besi tzt die (analytische) Schnittkurve S auf 0 mindestens sechs von O äquiangular ausgehende reelle Halbzweige, von denen höchstens nur einer die Z-Achse treffen kann, während auf allen anderen, auch beim jeweiligen (sicher existenten) Schnitt mit der Randkurve K stets u > 0 bleibt 3 ); <P* selbst ist durch je fünf Punkte auf K in endlich vieldeutiger Weise bestimmt. Jede durch O gehende analytische Kurve S* auf <J> wird dort von 0* mindestens von der zweiten Ordnung berührt; es gelten daher in O nicht nur die Gleichungen M (17*), sondern auch diejenigen, die daraus durch zweimalige Differentiation nach der Bogenlänge s* von S* entstehen.
") In ii 4 wird gerade der Punkt (0, 0, 0), mit co = 0, herangezogen, der für die zu betrachtenden Berührungen nicht in Frage kommt.
3 ) Nur so ist M, S. 71, Z. 8—5 v. u. überhaupt erst zu verstehen; sonst liefert schon z = z a geschlossene Kurvenstücke.

Zum Plateauschen Problem.
599
4. Die betrachteten Minimal Aachens triche 0 entspringen jeweiligen gefundenen Lösungen mit einer Randkurve K(s), die aus if(l) durch Abflachung der Randwerte z*(fi) = ez*(l) entsteht (M, Sätze G — H der Einleitung); auf den heute allein gangbaren Wegen ist dabei auch für die z- Ableitungen der ersten zwei Ordnungen die Stetigkeit auch nach dem Rande hin gesichert, und es handelt sich nachträglich nur um gleichmäßige Abschätzung derselben; >-0 besagt, daß diese Möglichkeit für e—+t a besteht, wenn 0* —»P* ist, wobei 0'"' die xy-Projektion eines inneren Punktes O bedeutet.
Nach dem Vorhergehenden genügt es zu zeigen, daß wenigstens für eine Möglichkeit der Vorzeichenwahl eine von 0 verschiedene untere Schranke für \x\ entsteht, wenn man für K(e 0 ) neben M (17*) die daraus durch zweimalige Differentiation nach der Bogenlänge s = s(e) entstehenden Gleichungen hinzunimmt, wozu dann noch diejenigen des Durchgangs durch drei weitere Punkte von K(e 0 ) hinzukommen, wobei für die zugehörigen u das gleiche Vorzeichen wie bei P 0 verlangt werden darf.
Wenn nun neben P 0 für *. —>- 0 ein zweiter Grenzpunkt Q q 4? P 0 entstehen könnte, so läßt sich jetzt die Wahl des Vorzeichens von cosy so treffen, daß P* Q* die Richtung der positiven x- Achse für <P* erhält, über der die Vorzeichen von u in der Grenze derart verfügbar sind, daß nur einmal u > 0, zweimal aber u < 0 entsteht (für « > 0), oder umgekehrt: denn die Substitution M S. 72, Z. 12 v. u. zeigt, daß für x = 0 die Grenzebene im Reellen dreifach (nicht neunfach' 4 )), im Positiven aber die zu betrachtende offene Halbebene sogar nur einfach ist; nach Q 0 wird daher höchstens nur einer der fünf betrachteten Schnittpunkte gehen, nach P 0 mindestens vier, von denen drei bereits als regulär zusammenfallend vorausgesetzt worden sind (vgl. o.).
Die derart in P 0 entstehenden Gleichungen ergeben (nach einer elementaren Durchrechnung) für pí — >-0 die Bedingungen:
(X' + V Y') (Z' + !if)-i-0 (Asymptotenlinien); v(X' + vJ'Y + u(z' + u y') 3 —* 0, wegen der Beschränktheit auch von | u\ _1 also auf alle Fälle
z' + uy' = 0 5 );
Wenn aber hier nicht von vornherein y' = z' — 0 ist, so würde sich nun
4 ) Ebenso wie etwa für y" = x, x — y. y , z —* 0, der entstehende Punkt im Reellen nur dreifach zu gelten hat.
5 ) Es darf nicht wundernehmen, daß bei einer Frage über höhere Berührung schon die ersten Ableitungen entscheiden: so hat z. B. auch ein vertikales Bogen- element eine vertikale Schmiegebene zur Folge.

600
Ch. H. Müntz. Zum Plateauschen Problem.
ein bestimmtes Vorzeichen für u ergeben, das abzulehnen uns noch freisteht; y' — 0 ist also von vornherein notwendig, alle sechs Schnittpunkte sind um P 0 zu gruppieren, und die nächsterhaltene Bedingung lautet dann:
z" + uy" = 0,
was aus den gleichen Gründen zu y" = z" = 0 Ö ), d. h. zu einer vertikalen Schmiegebene führt, gegen die Voraussetzung.
Die zur Abschätzung von | x | benötigten algebraischen Operationen sind damit vorgezeichnet 7 ). Bei den höheren Ableitungen hat man zunächst nicht ohne weiteres die Möglichkeit höherer Differentiationen nach s, dafür aber von vornherein das Hinzutreten weiterer Punkte für x->-Q zu den drei in P 0 regulär vereinigten.
5. Der kaum verallgemeinerungsfähige Charakter der obigen Uber- legungen ließ die Angabe aller Details nicht als zweckmäßig erscheinen, solange die Möglichkeit gegeben war, daß Herr S. Bernstein, dessen Theorie bekanntlich die allgemeinste elliptische Differentialgleichung betrifft, auf meine Fragen hin (M §11) die auch sonst in der Literatur 8 ) gewünschte Ergänzung seiner Darstellung geben würde. Dies ist jetzt erfreulicherweise tatsächlich geschehen (Math. Ann. 95, S. 585 —594); danach wären in meiner eigenen Arbeit nachträglich als neu nur die Hilfssätze sowie die Ausdehnung der Lösung auf nichtanalytische Fälle zu bezeichnen.
°) In meiner Arbeit bin ich (S. 72, Z. 4 v. u.; S. 75, Z. 21) auch nicht weiter
als zu y' — y" = 0 gegangen.
') Bei den m -ten z-Ableitungen sind hierbei auf der Randkurve beschränkte
(2m + l)-te Ableitungen nach der Bogenlänge vorauszusetzen.
8 ) Vgl. Enzyklopädie II C 12, S. 1326.
(Eingegangen am 20.4. 1926.)
Berichtigung
zu dem Aufsatz von L. Mandelstam und J. Tamm: „Elektrodynamik der anisotropen Medien in der speziellen Relativitätstheorie", Math. Ann. 95. S. 154—160. S. 157, Z. 14, Z. 16, Z. 17 v. o. und Z. 3 v. u., ebenso S. 158, Gl. (10) und Gl. (12) ist an Stelle von d (mit Indizes) überall s (mit den gleichen Indizes) zu setzen. S. 158, Gl. (11) rechte obere Ecke
lies — i statt — i .
£ "
S. 158, Fußnote, im Nenner der linken Seite der unteren Formel
lies &PPPP statt Spppp.
S. 159, Z. 2 v. o. lies s a ß hk statt s a ^ hJe .

Koeffizientenabschätzungen bei ebenen und räumlichen harmonischen Entwicklungen.
Von
G. Szegö in Königsberg.
Eine im Einheitskreise ce 3 + y" < 1 reguläre harmonische Funktion u[x,y) läßt sich bekanntlich daselbst in eine nach Kreisfunktionen fortschreitende Reihe
(k) u(x,y) = k Q (x,y) + k 1 (x,y) + k i (x,y) + ... +Jc m {x,y)+ .. .
entwickeln; hierbei ist k m (x,y) ein homogenes harmonisches Polynom m -ten Grades, das in Polarkoordinaten r,cp (x — rcoscp, y = 7-sin cp) geschrieben die besonders einfache Gestalt
(1) rm fm{v) — r m (a m cosm(p + b m smm<p)
besitzt, wo a m und b m Konstanten sind.
Eine in der Einheitskugel x 2 -f- y 2 -\- z 2 < 1 reguläre harmonische Funktion U(x, y, z ) läßt sich bekanntlich daselbst in eine nach Kugelfunktionen fortschreitende Reihe
CR- U(x,y,z) = K 0 (x,y,z) + K 1 (x,y,z) + K 2 (x,y,z) + ...
+ K m ( x >y>z)+ ■■■
entwickeln; hierbei ist K m (x,y,z ) ein homogenes harmonisches Polynom m -ten Grades, das in Polarkoordinaten r, Q, <p (x = r sin 0 cos cp, y = r sin0 sin cp, z = r cos0) geschrieben die Gestalt
r m F m (ß,cp)
(l') , m V
= r m [a m P m { cos0) -f 21 (a mv cosv<p + 6 mv sin v(p)P' m (cos0))
* V = 1 '■
besitzt, wo a m , a mr , b mr Konstanten sind und P m (£) das to - te Legendresche Polynom, Pm{£) die sogenannten zugeordneten Funktionen bezeichnen, d.h.
(2) (cos 0) = sin' ö Pm ( COS0).
Mathematische Annalen. 96. 39

602 G- Szegö.
In beiden Fällen kann die fragliche harmonische Funktion im Innern ihres Definitionsbereiches durch das sogenannte Poissonsche Integral dargestellt werden. Es ist für r < 1
u (reos cp, r sin cp )
2 7t
— V" lim Í u (p cos cp, psin w) -— s — rr—
¿¡i 1 J vtr T ^ ' 1 — 2rcos(y — <p) + r- 7 '
o
U(r sin 0 cos cp, r sin 0 sin cp, r cos 0)
= -¡— lim U(g sin(ícos <p, £>sin0sin¡p, p cosí)'
4» jJJ
(3')
l ~ r " A
da,
(1—2 r cos y + »" 2 ) T
wobei y die sphärische Distanz der Punkte mit den Polarkoordinaten (1,0, <p) bzw. (1,0,9?) bezeichnet und da = sin 0 dO dy das Flächenelement der Einheitskugel E ist. Mit Beachtung der Entwicklungen
(4) f (r , cp ) = 1 _ 2 l + r2 - 1 + 2 r cos cp + 2 r '- cos 2 cp + ...,
S(f,y) = — ' — ,
(4') (1 — 2 »* cos y + r 3 ) T
= P 0 (cos y) + 3r P l (cos y) + 5r 2 P 2 (cos /)+...
erhält man also für das allgemeine Glied von (k) bzw. (K):
in
^ r -j ^m( r C0S( P> r sin 95) = r m ^ lim J* u [ q cos (p, gsin cp) cos m(q — cp)dy
( f Q 1 , € j • ■ • 2 ) ,
K m (r sin0 cos 99, r sin0 sin cp, r cos0)
(5') ■ 4
„ 2 m
Y VI
1 lim [/(£>sin0cos </>, £>sin0sin cp, g cosÖ) P m (cos y) da n 0-+1 ¿J
E
(cosy = COS0 COS0 + sin0 sin0 cos(<p — cp)).
Die Analogie dieser beiden Entwicklungen springt sofort in die Augeil. Sie weiter zu verfolgen, bildet das Ziel der vorliegenden Arbeit. Hinsichtlich der Entwicklung (k) sind wegen ihrer Beziehung zur Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen zahlreiche Eigenschaften bekannt. Besonders eingehend sind sie bei einer im Einheitskreise regulären positiven harmonischen Funktion u(x,y) untersucht

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 603
worden 1 ). Demgegenüber scheinen ähnliche Fragen bezüglich der zu einer räumlichen harmonischen Funktion U(x,y,z ) gehörenden Entwicklung ( K ) bisher nur geringe Beachtung gefunden zu haben 2 ).
Wir wollen uns hier in erster Linie mit denjenigen Fragen beschäftigen, welche sich auf den Zusammenhang zwischen dem Wertevorrat der gegebenen Funktion und den Eigenschaften der einzelnen Glieder ihrer Entwicklung (k) bzw. (K) beziehen.
In dieser Richtung ist eine Bemerkung von G. Pick zu erwähnen 3 ), die einer bekannten Eigenschaft von ebenen harmonischen Funktionen gegenüberzustellen ist. Diese Eigenschaft spielt in der Carathéodoryschen Theorie der positiven harmonischen Funktionen zweier Veränderlichen 4 ) eine Rolle und kann folgendermaßen formuliert werden:
I. Es sei u(x,y) regulär harmonisch und positiv für x~ -j- y" < 1; in ihrer Entiuicklung (k) nach Kreisfunktionen sei ferner
/)= 1 ■
Dann ist für x^-^y^^l
(6) I k i (x,y)\< t 2.
Für die Funktion
u(x,y)- l(r,<p-<p 0 ) = 1 _ 2r vó) + rí
tritt hier bei r = 1, <p = <p 0 (mod7i) das Gleichheitszeichen ein, so daß die Konstante 2 durch keine kleinere ersetzt werden kann.
Nun kann die erwähnte Picksche Bemerkung wie folgt ausgesprochen werden :
*) Vgl. insbesondere C. Carathéodory, Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen [Mathematische Annalen 64 (1907), S. 95 — 115]; 0. Toeplitz, Über die Fouriersche Entwicklung positiver Funktionen [Rendiconti del Circolo Matemático di Palermo 32 (1911), S. 191 — 192]; C. Carathéodory, Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen [Rendiconti del Circolo Matemático di Palermo 32 (1911), S. 193-217],
2 ) Eine Ausnahme dürfte die Untersuchung der Entwicklung (K) auf der Kugeloberfläche, d. h. die Theorie der Laplaceschen Reihe bilden, welche — entsprechend der Theorie der Fourierschen Reihe — bereits eine große Literatur besitzt. Vgl. die Zusammenstellung bei L. Fejér, Über die Summabilität der Laplaceschen Reihe durch arithmetische Mittel [Mathematische Zeitschrift 24 ( 1925), S. 267 — 284], Fußnote *) u. 2 ).
3 ) G. Pick, Ein Abschätzungssatz für positive Newtonsche Potentiale [Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 23 (1915), S. 329—332]; Über positive harmonische Funktionen [Mathematische Zeitschrift 1 (1918), S. 44—51].
4 ) Vgl. die zweite, unter *) zitierte Abhandlung von C. Carathéodory.
39*

604
G. Szegö.
II. Essei U (x, y, z) regulär harmonisch und positiv für x"-\- y- + z a < 1; in ihrer Entwicklung (K) nach Kugelfunktionen sei ferner
Ä'o (x,y,z) = 1.
Dann ist für x a "-\- y" z* <L 1 (6') \K 1 (x,y,z)\ <¡3.
Für die Funktion
1 — r~
U(x, y,z)= ®(r;y) = ;1 ,
(1 — 2r cos y + r 2 ) 3
wo cos y = cos 0 cos0 o + sinö sinö 0 cos (<p — cp 0 ) ist, tritt hier bei r= 1, y = 0 oder n das Gleichheitszeichen ein, so daß die Konstante 3 durch keine kleinere ersetzt werden kann.
Diese Aufgaben bilden bloß Spezialfälle von gewissen allgemeineren, bei denen eine vorgeschriebene lineare Kombination der m ersten Glieder der fraglichen Entwicklung für die Gesamtheit der in dem Einheitskreis bzw. in der Einheitskugel regulären positiven harmonischen Funktionen, deren Entwicklung mit 1 beginnt 6 ), abgeschätzt wird. In den §§ 1, 2 der vorliegenden Arbeit wird diese Aufgabe allgemein behandelt. Die Gültigkeit des Gleichheitszeichens erfordert eine etwas genauere Untersuchung. Es tritt nur bei gewissen sehr speziellen Funktionen ein, die man aus den Funktionen (4) bzw. (4') auf einfache Weise aufbauen kann.
Der auf ebene harmonische Funktionen bezügliche Teil dieses Ergebnisses ist durch einen früheren Satz von Herrn I. Schur bekannt 0 ). Seine Methode beruht auf gewissen Sätzen der von ihm stammenden Theorie beschränkter Potenzreihen 7 ), scheint also einer Übertragung auf den Raum kaum fähig zu sein. Außerdem wären aber noch andere Wege zu diesem Satze denkbar. Man könnte z. B. die Carathéodorysche Theorie heranziehen 8 ) oder sich auf einen Satz von F. Riesz 9 ) über die Darstellbarkeit einer
6 ) Diese Bedingung kann auch so aufgefaßt werden, daß der Mittelwert unserer Funktion auf den Kreislinien bzw. Kugelflächen um den Nullpunkt gleich 1 ist, oder auch so, daß die Funktion im Nullpunkt gleich 1 ist.
") I. Schur, Über die Koeffizientensummen einer Potenzreihe mit positivem reellen Teil [Archiv der Mathematik und Physik (3) 27 (1918), S. 126 — 135], s. insb. Satz III.
') I. Schur, Uber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind [Journal für Mathematik 147 (1917), S. 205-232; 148 (1918), S. 122-145],
8 ) Vgl. eine Andeutung bei I. Schur, a. a. 0. 6 ), S. 134.
°) F. Riesz, Sur certains systèmes singuliers d'équations intégrales [Annales de l'École Normale Supérieure (3) 28 (1911), S. 33 — 62], vgl. S. 58 — 61. — Ein anderer Beweis findet sich bei G. Herglotz, Über Potenzreihen mit positivem reellen Teil im Einheitskreis [Leipziger Berichte 63 (1911), S. 501—511], § 3.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 605
positiven harmonischen Funktion als Stieltjes-Integral stützen. Keines von diesen beiden Hilfsmitteln ist bisher auf den Raum übertragen worden. Wir haben uns also genötigt gesehen, für den ebenen Fall in § 1 einen neuen einfachen Beweis auszuarbeiten, den man in dem räumlichen Falle ohne größere Änderungen wiederholen kann (§2).
In § 3 werden diese allgemeinen Resultate auf den oben formulierten Pickschen Satz II angewendet.
Als ein weiterer Spezialfall wird in § 4 ein Satz des Herrn I. Schur 10 ) über die Abschnitte von positiven harmonischen Funktionen zweier Veränderlichen auf drei Veränderliche übertragen. Man betrachte wieder die Entwicklung einer im Einheitskreise bzw. in der Einheitskugel regulären und positiven harmonischen Funktion nach Kreis- bzw. Kugelfunktionen. Bekanntlich sind dann die Abschnitte dieser Entwicklungen nicht notwendig sämtlich positiv. Sie können sogar im Einheitskreise bzw. in der Einheitskugel nach unten unbeschränkt sein 11 ). Wir wollen uns die fragliche Entwicklung so normiert denken, daß das Anfangsglied lc 0 {x,y) bzw. K 0 (x,y,z) gleich 1 ist. Der m-te Abschnitt besitzt dann in dem Einheitskreise bzw. in der Einheitskugel ein wohlbestimmtes Minimum. Wir bezeichnen mit u die untere Grenze dieser Minima für die Gesamtheit aller harmonischen
i VI
Funktionen der betrachteten Art; dann gilt nach I. Schur in dem ebenen Falle
(7) lim — = Min ^ 1 -- (x reell).
Im räumlichen Falle ist nun, wie in § 4 gezeigt wird,
(7') lim = Min àM (»reell),
wo ./j ( £ ) die erste Besseische Funktion bezeichnet.
§ 5 beschäftigt sich mit dem ebenfalls hierher gehörigen räumlichen Gegenstücke zu einer interessanten Bemerkung der Herren W. Rogosinski und L. Fejér 12 ), die folgendermaßen zu formulieren ist. Während die Abschnitte einer in dem Einheitskreise regulären positiven harmonischen
10 ) Vgl. a. a. 0. «), S. 128.
u ) Dies ist z. B. der Fall bei den Funktionen (4) und (4'). Vgl. übrigens auch § 4.
12 ) W. Rogosinski, Über Bildschranken bei Potenzreihen und ihren Abschnitten [Mathematische Zeitschrift 17 (1923), S. 260 — 276], vgl. § 3. — L. Fejér, Über die PoBitivität von Summen, die nach trigonometrischen oder Legendreschen Funktionen fortschreiten (Erste Mitteilung) [Acta litterarum ac scientiarum regiae universitatis hungaricae Francisco-Josephinae, secto scientiarum mathematicarum 2 (1925), S.75—86], vgl. Theorem IV. — Fejér betrachtet hier auch harmonische Funktionen und nicht nur Potenzreihen wie Rogosinski.

606
G. Szegö.
Funktion, wie oben erwähnt, nicht notwendig in dem ganzen Einheitskreise positiv sind, gilt dies stets (für alle Abschnitte) in dem kleineren Kreise
Hierbei kann die Zahl | durch keine größere ersetzt werden. Bei räumlichen harmonischen Funktionen, die in der Einheitskugel regulär und positiv sind, gilt nun Analoges in der Kugel
Auch hier kann die Zahl | durch keine kleinere ersetzt werden.
Während bisher nur unendliche harmonische Entwicklungen betrachtet worden sind, beschäftigt sich der zweite Teil der vorliegenden Arbeit mit abbrechenden harmonischen Entwicklungen, d. h. mit harmonischen Polynomen eines gegebenen Grades n. Für diese Unterklasse der harmonischen Entwicklungen lassen sich manche Abschätzungssätze verschärfen. So kann ein älterer Satz von Herrn L. Fejér über nichtnegative trigonometrische Polynome 13 ) als eine Verschärfung des Satzes I aufgefaßt werden, wenn man sich auf die Gesamtheit der ebenen harmonischen Polynome '/¿-ten Grades beschränkt. An Stelle der Schranke 2 von Satz I tritt dann 2 cos w ^ g • I n § 6 wird für diesen Satz ein neuer, auf der Benutzung von Einheitswurzeln beruhender Beweis mitgeteilt. § 7 bringt eine in ähnlichem Sinne aufzufassende Verschärfung des Pickschen Satzes II, die also das Analogon des in § 6 behandelten Fejérschen Satzes darstellt. An Stelle der Schranke 3 von Satz II tritt dann eine Zahl von der Form 3@ n , wobei Q n < 1 auf einfache Weise mit Hilfe der Nullstellen der Legendreschen und verwandten Polynome charakterisierbar ist.
§ 8 überträgt einen anderen Satz von L. Fejér über nichtnegative trigonometrische Polynome 14 ), den man ebenfalls als eine Aussage über ebene harmonische Polynome auffassen kann, auf den räumlichen Fall. Man betrachte nämlich die Gesamtheit aller harmonischen Polynome n-ten Grades u(x,y) bzw. U(x,y,z), die im Einheitskreise bzw. in der Einheitskugel nichtnegativ sind und im Anfangspunkt den Wert 1 haben 15 ). Dann ist nach L. Fejér
13 ) L. Fejér, Uber nichtnegative trigonometrische Polynome [Journal für Mathematik 146 (1915), S. 53—82], S. 79. Hier findet sich der Satz allerdings nur für Kosinuspolynome.
") A. a. O. 13 ), S. 65 — 67. Vgl. auch L. Fejér, Sur les polynômes harmoniques; Sur les polynômes trigonométriques [Comptes Rendus 157 (1913), S. 506 — 509, 571-574],
16 ) Vgl. die Bemerkung unter 6 ).
(8)
u{x,y)<^n- 1- 1 für x"-{-y--^ 1.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 607
Das in § 7 bewiesene analoge Resultat lautet:
(8') U(x, y, z) (^- ~r 1 ) J — 1 — ( g~ 1} " für x^+y' + z^ 1.
Der Beweis der Behauptungen von §§7,8 kann auf gewisse, längst gelöste Aufgaben über Polynome einer Veränderlichen zurückgeführt werden, die auf diese Weise eine neue Deutung erfahren.
Inhalt.
I. Teil. Unendliche harmonische Entwicklungen. §1. Koeffizientenabschätzungen bei ebenen harmonischen Funktionen. § 2. Koeffizientenabschätzungen bei räumlichen harmonischen Funktionen.
§ 3. Uber einen Satz von G. Pick.
§ 4. Uber die Abschnitte der Entwicklung einer in der Einheitskugel
positiven harmonischen Funktion.
§ 5. Noch ein Satz über Abschnitte.
II. Teil. Abbrechende harmonische Entwicklungen. § 6. Verschärfung des Satzes I.
§ 7. Verschärfung des Pickschen Satzes II.
§ 8. Übertragung eines Satzes von L. Fejér auf den Raum.
1. Teil. Unendliche harmonische Entwicklungen.
§ 1.
Koeffizientenabschätzungen bei ebenen harmonischen Funktionen.
1. Es sei u(x,y) eine im Einheitskreise x" ^ y" < \ reguläre und positive harmonische Funktion, deren Entwicklung nach Kreisfunktionen
(k) u(x, y) = k 0 (x, y) + 1c 1 (x, y) -f fc a (x, y) + ... + k m (x, y) + ...
mit k 0 (x, y) = 1 beginnt; d. h.
2 n
(9) w(0, 0) = J*«(i?cos(p, £>sin<p)d(p = 1 (g<l).
o
Es seien ferner / 0 , Â l; ..., X (to ^ 1) gegebene reelle Konstanten, die nicht sämtlich verschwinden. Wir fragen nach dem Minimum und Maximum des harmonischen Polynoms
(10) ¡0 + *i* l(®> ») + ••• + y )»
während u(x,y ) die Gesamtheit aller harmonischen Funktionen der er-

608 G. Szegö.
wähnten Art durchläuft und (x, y ) im Einheitskreise x 2 + y - 1 beliebig beweglich ist.
Diese Aufgabe ist auf Grund der Integralformel (5) bekanntlich leicht zu lösen. Die Extrema eines festen Polynoms werden im Einheitskreise am Rande erreicht. Man kann sich also auf derartige Werte beschränken. Es gilt nun
m
À v k v ( cos <p , sin cp)
v=0
/ 11 \ ^ 11
= =— lim m(^cos (jp, psin cp) [A 0 -f 2 cos (<p — cp) -f- . ..
n e-+i J
o
-f- 2 X m cos m (cp — 99)] df.
Setzt man also
(12) t(g, cp) = A 0 + 2 g cos cp + ... + 2 A m g m cos m cp
und bezeichnen ju, M das Minimum bzw. Maximum des trigonometrischen Polynoms t(l,<p), dann folgt aus (11) wegen (9)
m
(13) u < y 1 , A v k v (cos cp, sin cp) < M .
1'=0
Wir behaupten, daß ju und M das gesuchte Minimum bzw. Maximum sind. Es seien nämlich <p 1 , cp. 2 , ..cp l die mod 2 n inkongruenten Nullstellen des trigonometrischen Polynoms t(l, cp) — dann tritt in der unteren Abschätzung (13) gewiß das Zeichen = ein, wenn 9 0 = cp 0 und
i
(14) u (r cos 95, r sin 99) = J! g h i(r, cp — cp 0 — cp h )
h= 1
gesetzt wird, wobei die g h nichtnegative Konstanten mit der Summe 1 bezeichnen und cp 0 beliebig ist. In der Tat ist wegen (4)
2 zt
2^ ff (g, <p - cp 0 - cp h )t(l, y - cp 0 )d<p = t(g, cp h ),
0
so daß nach (11)
m i i
ZK K (cos cp 0 , sin cp 0 ) = lim 5] g h t (g , cp h ) = %g h t ( 1 , cp ) = pi. »•=0 e->iA=i h= i
Ähnlich wird gezeigt, daß auch bei der oberen Abschätzung (13) das Gleichheitszeichen eintreten kann.
2. Etwas tiefer liegt die Tatsache, daß der eben angegebene Fall der einzige ist, in dem in der unteren Abschätzung (13) das Gleichheitszeichen eintreten kann 18 ). (Ähnlich bei der oberen Abschätzung.)
le ) Vgl. die Andeutungen bei G. Pick, a.a.O. 3 ), S. 331 —332.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 609
Es sei nämlich u (x, y) eine solche Funktion, daß für ein gewisses cp 0
m
(15) yjh &„(cos (p 0 , sin cp 0 ) = fi
r=0
ausfällt. Es muß dann
2.1
lim s— f u(q cosy, ßsin<p)i(l, ¡p — <p 0 ) d(p
e-*i ¿ 11 J 0
2.~t
= lim - u (qcos(v + <p 0 ), £>sin(ip + <p 0 )) í (1 , y)d y = ju, e+i 71 J
0
d. h.
2ji
(16) hm s- (^(ecos^ 95 0 ), ßsin (~cp + 9? 0 ))[i(l, 7p) — ,i]dy = 0
£>-►1
0
sein.
Wir wollen zunächst der Einfachheit halber cp 0 = 0 setzen. Es seien, wie oben, cp 1 , <p 2 , die mod 2 tí inkongruenten Nullstellen von
t(l,cp) — /u. Wir zeigen zuerst, daß, unter I ein beliebiges abgeschlossenes Intervall verstanden, das keine diesen Nullstellen mod 2 71 kongruenten Stellen enthält,
(17) lim fu(çcos (p, QÚn^dq) — 0
(,'-*1 i
gilt.
Der Integrand in (16) ist nichtnegativ, so daß aus (16) für 950 = 0
lim \u(q cos <p, Q sin q>) [t ( 1 , ~cp) — ¡u] dTp = 0 s-y 1 y
hervorgeht. Für genügend kleine Werte von 1 — q ist aber auf 1
— /x> u,
wo « eine feste (von I abhängige) positive Zahl bezeichnet. Hieraus folgt die Behauptung.
B. Es seien nun I 1 , I., , ..., I t beliebige abgeschlossene Intervalle, welche keine gemeinsamen oder mod 2 n kongruenten Punkte haben und bzw. cp 1 , cp 2 , ..., (p l enthalten. Wir zeigen, daß für h = 1, 2, ..., I
(18) lim J* w (ç> cos <p, o sinip) cZç? = 2 Ti <7 ;j ¡>-►1 i h
ist, wo die g h selbstverständlich ^ 0 sind und die Summe 1 haben. (Sie sind wegen (16) unabhängig von der speziellen Wahl der Intervalle I h .) Es sei t(cp) ein beliebiges trigonometrisches Polynom. Dann ist
2ît
lim f u( g cos<p, psinip) ¿(<p) dip
£->1 0

610 G. Szegö.
vorhanden. Hieraus folgt mit Beachtung von (17) auch die Existenz von
1 r - ■ - - -
(19) lim £ I u(gcos<p, gsin<p) t(cp) dep.
e-*iÄ=i i h
Wir behaupten ferner die Existenz von
(20) lim 2! t (<p h ) Ju(g cosTp, gsin<p)d<p .
£>-> 1 A=1 I h
Es sei nämlich s > 0 und I h ein <p h enthaltendes Teilintervall von I h , auf dem
: t (» - t (<p h ) \ < £ .
Die Differenz der beiden Summen in (19) und (20) ist dann absolut genommen kleiner als
1 C _ . _ _ 1 r
e £ J u(gcos cp, g sinç?) dcp -)- 2 G J u(g cos 99, g sin <p) dep,
Ä=1 /, i=l; _7
* 1 h
wobei G = Max | t(<p) | ist. Das zweite Glied strebt für g — >-1 gegen 0, das erste ist
2 71
< ef u(g cos ip, g sin (p) dip = 2 ne. o
Setzt man nun in (20) der Reihe nach
t(<p) = c i»-i><P (k = l,2, ...,l), 17 )
so ergibt sich die Existenz von
i . _ . _ _
lim J u (g cos cp, g sin cp) dep (k = 1, 2, .. I);
Í>->1 h— 1 I fr
da die Determinante
von Null verschieden ist, folgen hieraus die behaupteten Gleichungen (18).
4. Wir schließen aus (17) und (18) auf eine aus der Theorie der singulären Integrale geläufige Weise, daß unter f{cp) eine beliebige, für alle Werte von cp stetige, nach 2 n periodische Funktion verstanden,
. V* — — — — 1
lim J u (g cos cp, g sin cp) f{<p)dcp = 2 n £ g h f(<p h )
£">•1 O li—X
17 ) Die Benutzung von imaginären Größen ist offenbar unwesentlich: sie kann ohne weiteres vermieden werden, indem man etwa t (95) = cos (it — 1 ) (<p — <p') setzt, wo <p' so gewählt werden muß, daß die Zahlen cos (<pa — <p') (h = 1, 2, ..., I ) sämtlich voneinander verschieden ausfallen.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 611
gilt. Insbesondere liafc man für « = 0,1,2,...
2 f - - 1
lim J u(g cos <p, g sin 93) cos n (97 — 99) dip —■ 2 71 £g h cos n (q> h — 9 0). e->-i 0 h- 1
Dies heißt aber, daß die Entwicklung der Funktion u(x, y ) mit der von
i
c P-<Pu)
/1=1
übereinstimmt, woraus (14) (mit cp 0 = 0) folgt.
Im Falle eines beliebigen cp 0 muß
i
u{r cos (99 + cp 0 ), r sin (99 + cp 0 )) = £ g h t(r, <p - <p h )
/1=1
sein, was die Behauptung war.
§2.
Koeffizientenabschätzungen bei räumlichen harmonischen Funktionen.
1. Ein Teil der vorangehenden Betrachtungen kann fast ohne Änderung auf den räumlichen Fall übertragen werden.
Es sei U(x,y,z ) eine in der Einheitskugel x"' -f- y- + z" < 1 reguläre und positive harmonische Funktion, deren Entwicklung nach Kugelfunktionen
(K) U(x,y,z)
= K 0 (x, y, z) + K 1 (x, y , z) + K„(x, y, z) — . .. + K m (x, y,z) + ... mit K 0 (x, y, z) = 1 beginnt; d. h.
(9') Z7(0, 0,0) = j" U(g sin 6 cos 93, g sin 0 sin 9?, g cos tí) do — 1
(q < 1),
wo do das Flächenelement der Einheitskugel E bezeichnet. Es seien ferner A 0 , X x , ..., X m (m ¡> 1) gegebene reelle Konstanten, die nicht sämtlich verschwinden. Wir fragen nach dem Minimum und Maximum des harmonischen Polynoms
(10) /„Q K 0 ( x , y , 2) -f- K 1 ( x, y , 2) — Ä m K m (x, y , 2),
während U(x,y,z ) die Gesamtheit der harmonischen Funktionen der erwähnten Art durchläuft und (x, y , 2) in der Einheitskugel x~ + y" + 2 2 1 beliebig beweglich ist.
Die Extrema eines festen Polynoms werden in der Einheitskugel am Rande erreicht. Man kann sich also auf derartige Werte beschränken- Es gilt

612
G. Szegö.
m
(11') 5j h v K v (sin 0cos 99, sin0 sin 99, cosd)
v—0
1 r I" — — - m
= - lim I f U (g sin 0 cos <p, g sin 0 sin 9?, g cos 6) (2 v-\-l )Â ,.P„ (cosy) do,
4jt e ->i E >'=0
wobei y die sphärische Distanz der Punkte mit den Polarkoordinaten (1,0,<p) bzw. (1,0,Q9) bedeutet:
cos y = cos 0 cos 0 + sin 0 sin 0 cos (<p — 9 0) .
Setzt man
m
(12') T(g, r¡)= 2!(2v-\- 1 ) Â,. g v P r (cos 17)
v=0
und bezeichnen /. 1 , M das Minimum bzw. Maximum von T( 1, /;), so folgt aus (ll') wegen (9')
m
(13') fj. <[ Â v K r (sin 0 cos 99, sin0sin9J, cos0) M .
r= 1
Die Zahlen ¡u und M liefern auch hier die Lösung der vorliegenden Aufgabe. Es seien nämlich r¡ 1 , rç a , .. r¡ l die im Intervall 0^r¡<^n befindlichen Nullstellen von T(l, r¡) — /.i. Ist ( 1, 0 O , <p n ) ein beliebiger Punkt der Einheitskugel, so tritt in der unteren Abschätzung (13') gewiß das Zeichen = ein, wenn ö = 0 o ,(p = (p o und
i
(14') £7(rsin0cos9?, r sin0sin 99, rcos0) = ^g h ^{r, y h )
h= 1
gesetzt wird. Hier sind die g h beliebige nichtnegative Konstanten mit der Summe 1; y h bezeichnet die sphärische Distanz des variablen Punktes (1,0 ,99) von einem beliebigen Punkte ( 1, Ö 7i , 93^) desjenigen Kreises C h auf der Einheitskugel, dessen Punkte von (1,0 O , 99 0 ) die konstante sphärische Distanz r] h haben. Dies wird ähnlich wie in § 1 durch Beachtung der Gleichung
(e> Vo) do = t (q> Vh)
E
gezeigt, wobei y h die sphärische Distanz der Punkte (1,0 ,99), ( 1, 6 h , cp h ) und y 0 die von (1,0, 99), (1, 0 O , cp 0 ) bedeutet.
Die Kreise G h können sich auch auf Punkte reduzieren, nämlich dann und nur dann, wenn r¡ h = 0 oder n ist; es handelt sich dann um den Punkt (1,0 O ,99 O ) selbst bzw. um seinen Gegenpol.
2. In dem Falle, wo die Zahlen nicht sämtlich gleich 0 oder n sind , gibt es außer (14') offenbar noch andere Funktionen U(x,y, z ) dergleichen Eigenschaft. In der Tat, es sei f h eine beliebige, auf C h definierte monotone Funktion. Dann tritt in der unteren Abschätzung (13')

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. (513
das Gleichheitszeichen, wie leicht ersichtlich, auch für die harmonische Funktion
(14") ¿I f S£(r, y h )df h =2J ( -^— L i d fh
h= i J A=i J (1 —2rcosy Ä + r-) s
ein; hierbei seien die einzelnen Integrale im Stieltjesschen Sinne gemeint und es sei
1 fdf h = 1. h=ic h
(Für den Fall »?,, = 0 oder n sei unter C h der Punkt ( 1, 0 O , cp 0 ) bzw. sein Gegenpol verstanden; das h- te Integral ist dann durch ein einziges Glied von der Form des A-ten Gliedes in (14') zu ersetzen, an Stelle von f df } in der letzten Summe tritt dann einfach g h .)
C H
3. Wir kommen nun auf die Aufgabe zu zeigen, daß die eben erwähnten Funktionen (14") die einzigen sind, für welche in der unteren Abschätzung (13') das Gleichheitszeichen gilt. (Ähnlich bei der oberen Abschätzung. )
Es sei hier z. B. für 0 = 0 O , (p = <p 0 das Zeichen = erreicht. Dann gilt
( 16') lim ff U (g sin 0 coscp, q sin 6 sin Up, g cos ö) [ T (1 , 7 0 ) — ,u] do = 0, e->-i 4îr E
wobei y 0 die obige Bedeutung hat.
Wir wollen zunächst annehmen, daß — nur die beiden
Nullstellen 0 und n hat. Dann gelten die Überlegungen von § 1 fast ohne Änderung.
Es sei 1 ein beliebiger (zusammenhängender und Jordanschen Inhalt besi tzender) Bereich auf der Einheitskugel, der den Punkt (1, 0 O , cp 0 ) und seinen Gegenpol nicht enthält. Man zeigt wie in §1,2, daß
( 17') lim J J U( q sin 6 cos cp, g sin Ö sin 9?, q cos 0) da = 0 .
1 I
Es seien ferner l l und / 2 zwei Kalotten um (1,0 O ,9> O ) bzw. um seinen Gegenpol. Es ist wegen (9'), (17')
lim (ff -f- ff) U( q sinö cos ¡p, q sin 0 sin ïp, g cos 0) do = 4 n .
£->■1 I X In
Ferner existiert (vgl. §1,3)
lim J f U(q sin 0 cos ~ip, q sin 0 sin Up, g cos 0) cos y 0 do
Q —> 1 E
== lim ( fj + J/ )î7(psin0 cos 7p, g sin 0 sin cp, g cos0) cos y 0 do e-> 1 /,
- lim ( ff — fj ) U(g sind cos ~cp, g sin 0sin <p, g cos 6) do;

614 G. Szegö.
folglich existieren auch die Grenzwerte
lim ff U(g sin 0 cos 7p , g sin 0 sin 7p, g cos 0) da = 4 n g h 0 , e->i i„
. (/¿=1,2).
Hieraus folgt (vgl. § 1, 4) für eine beliebige, auf der Einheitskugel stetige Funktion F(0, cp)
lim fj U(g sin B cos 7p, g sin B sin 7p, g cosÖ) F (B, 7p) da
Q — ► 1 E
~ 4 \ ç 1 F (0 O , <p 0 ) -f- <7 2 F ( ti 6q, Ç^ o )]*
Setzt man insbesondere
F(B, cp) = P n (cos B cos 0 + sin B sin 0 cos (cp — cp)) (n = 0,1,2,...), so ergibt sich
Z7(r sin0 cos 99, r sin 0 sin 99, r cos0) == g x ®(r, y 0 ) + g« ® (r, n — y 0 ),
wobei y 0 die sphärische Distanz der Punkte (1, 6, cp), (1, 0 O , <p Q ) ist.
Diese Betrachtung vereinfacht sich auf offensichtliche Weise, wenn T ( 1, i]) — [X im Intervall (0, n) nur einmal (für ij — 0 oder r\ — n) verschwindet.
4. Im allgemeinen Falle ist es zweckmäßig, zunächst eine Transformation der Einheitskugel derart vorzunehmen, daß (1,0 O , <p 0 ) in den Nordpol übergeht. Die Funktion U(x,y,z ) verwandelt sich dann wieder in eine positive harmonische Funktion mit dem Wert 1 im Anfangspunkt, die die Gleichung (16') erfüllt; hier ist jetzt einfach ^ = 0 zu setzen. Man zeigt dann, wie oben, die Gleichung (17'), wobei I keine Punkte (auch am Rande keine) mit der Poldistanz r¡ h [h = 1, 2, ..., I) enthält.
Es sei jetzt l h der streifenartige Bereich, begrenzt von den beiden Breitenkreisen, deren Punkte die konstante Poldistanz r¡ h — d bzw. r¡ h -\-ó haben; hierbei sei <5 > 0 so klein, daß die Bereiche l h keine gemeinsamen Punkte aufweisen 18 ). Dann existiert
(19') lim 5J ff U (q sinÖcosip, g sin 0 sin 9?, gcosÖ)P(cos y)do,
O —> 1 Jl — 1 I h
wo P (f ) ein beliebiges Polynom ist und y die sphärische Distanz von (1,0, 95) von einem beliebigen Punkte (1,0,9?) bezeichnet. Setzt man hier an Stelle von P(cos y) der Reihe nach
P 0 (cosÖ), P x (cosÖ), ..., P l _ 1 (cosÖ) ls ) Für r¡h = 0 oder jt fehlt die eine Hälfte von I h \ es ist dann eine Kalotte.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. (315
ein, so ergibt sich, wie in §1,3, daß auch
(18') lim ff Î7(gsin0cos^, gsin0sin<p, ßcos0)c£a = ^ng h = 4jzg}, 0) s-> i h
existiert;
1-
A=1
Aus (19') folgt ferner, indem man P(|) = P n (|) setzt und das Additionstheorem der Kugelfunktionen beachtet, die Existenz von
lim f J U (q smQcoscp, g sind sin cp, Q cosd) Pn(cosQ) e lv ^ de,
e~> i h= i i h
oder von
lim Pn (cos ^ Ä ) ff U (q sin 0 cos cp, g sin 0 sin y, g cos 0) e lv * do;
e->ií=i
hierbei ist v positiv ganz, n^>v. Wegen (2) treten hier tatsächlich nur diejenigen Glieder auf, welche den Nullstellen i] h 4= 0, n entsprechen. Wenn ihre Anzahl V ist, so führt das letzte Ergebnis für n = v, v + V — 1 auf die Existenz von
(21) lim ff U(g sin 0 cos ~cp , g sin 0 sin <p, g cos 0) e 1 ' * da = 4 n e-* 1 i h
.(v=l,2,3, ...). Es sei nun h s o b eschaffen, daß g\ ' 0) > 0. Der Punkt
(22) (" = 1.2
3h 9h
des 2 iV-dimensionalen Raumes fällt wegen (18') in die kleinste konvexe Hülle der Kurve
f y =cosv<p, r) v = sin v 7p (v = 1, 2, .. N),
wobei q> das Intervall [0, 2ji ~\ durchläuft, und dies für alle N. Ähnliches gilt für den Punkt des ( 2 N -f- 1 ) - dimensionalen Raumes, den man erhält,
wenn zu den Koordinaten (22) noch —- 9Î g^ rl) hinzutritt, N=1 , 2, 3, ... .
3'h
Nach einem allgemeinen Satz von F. Riesz 19 ) gibt es also eine monotone Funktion f h (q>), die man sich auf dem Kreise G h "°) gegeben denken kann, derart, daß
f e iv *df h = g { ? (r = 0, 1, 2, 3, ...)
c.
" 4
19 ) F. Riesz, a. a. 0. "), S. 56.
20 ) C h ist der Breitenkreis, dessen Punkte die konstante Poldistanz haben; er liegt offenbar in I h .

616 G. Szegö.
ist. D. h. unter y dasselbe wie in (19') verstanden,
JP (cos y)df,— lim £7(gsin0cos(p, £>sin0sin<p, gcos0)P (cos y)da. J T J
Hieraus schließen wir weiter
-- lim U( q sin 0cos 1p, £>sin0sin<p, q cos0)P^cos y) da
4jr
i
= 2 f P n ( COa r) d fh> h=l J h
d. h. die Behauptung.
§3.
Über einen Satz von G. Pick.
1. Bevor wir auf den wichtigsten Spezialfall von § 2, nämlich auf den in der Einleitung erwähnten Pickschen Satz und auf eine naheliegende Erweiterung desselben kommen, empfiehlt es sich das Analoge in der Ebene vorauszuschicken.
Aus der Carathéodoryschen Theorie ist der folgende, I verallgemeinernde Satz bekannt.
I'. Es sei u(x,y) regulär harmonisch und positiv für x' 2 + y"' < 1 ; in ihrer Entwicklung (k) nach Kreisfunktionen sei ferner
K( x > y) = i-
Dann ist für œ 2 + î/ 2 <[ 1
(23) |* m («,y)|^2 (m = l,2,3,...).
Schreibt man diese Ungleichung in der Form
— 2£ k m (x, y) ¿2,
so kann sie (für x 2 + y 2 = 1) als ein Spezialfall von (13) aufgefaßt werden. Es ist hier
t ({?, (p) — cos mcp, ju = — 2, M = 2. Das Gleichheitszeichen tritt nur für die Funktionen
m
V f( . 2ich\
2j 9 h t{r,<p-(po + —)
/1=1
m
ein, wo ^,,^0. £ g h = 1 ist.
h = i
2. Das räumliche Analogon von i', das den Pickschen Satz II als Spezialfall enthält, lautet folgendermaßen :

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 617
II'. Es sei U(x, y , z) regulär harmonisch und positiv für x * -j_ y°- -4- c 1 ; in ihrer Entwicklung (K) nach Kugelfunktionen sei ferner
K q (x, y , z ) = 1.
Dann ist für x 2 + y°" + z 2 <11
(23') \K m {x,y,z)\.<,2m^rl (m = 1,2,3,...).
Schreibt man diese Ungleichung in der Form
— (2m + 1) <i KJx, y, z)^2m + 1,
so kann sie (für x"- + y- + z 2 = 1) als ein Spezialfall von (13') aufgefaßt werden. Es ist hier
T (q , r¡) = (2m + l)ß m P m (cos ^). M = 2m + 1.
Bei ungeradem m ist ferner /.t = —(2m-j-l), bei geradem m ist fx == — « m (2m +1), wobei a m eine gewisse Zahl mit 0 < a m < 1 bezeichnet. Im letzten Falle kann (23') zu
(23") — « w (2m + l)^4(a:, y, z)^2m + l (ar + y"+ z 3 <¡1)
verschärft werden 21 ). Das Gleichheitszeichen tritt in (23') bei geradem m und bei x = sin 0 O cos cp 0 , y = sin 0 O sin cp 0 , z = cos 0 O nur für
U(r sin 0 cos cp, r sin 0 sing?, r cos cp) — g 1 ® (r, y) + g^^:(r,n — y)
ein, wo g 1 0 , g., 0, g x + g 2 = 1 und y die sphärische Distanz der Punkte mit den Polarkoordinaten (1, 0, 9 0) bzw. (1, 0 O , cp 0 ) ist. Bei ungeradem m tritt die Gleichheit nur für^(r, y) oder für ® (r, n — y) ein.
§4.
Über die Abschnitte der Entwicklung einer in der Einheitskugel positiven harmonischen Funktion.
1. Die Existenz einer in der Einheitskugel regulären positiven harmonischen Funktion, deren Abschnitte in der Einheitskugel nach unten unbeschränkt sind, folgt unmittelbar aus der bekannten Tatsache, daß es auf der Einheitskugel stetige Funktionen gibt, deren Laplacesche Reihe in einem Punkte der Einheitskugel zwischen — 00 und 00 oszilliert. Ein besonders einfaches Beispiel für dieses Phänomen stammt von F. Lukács 22 ).
al ) Man ze'gt leicht, daß wenn m die geraden Zahlen durchlaufend über alle Grenzen wächst,
lim a m = Min J 0 (x) ( x reell)
= - 0,4028 ....
2a ) F. Lukács, Über die LaplaceBche Reihe [Mathematische Zeitschrift 14 (1922),
S. 250—262], Fußnote 10 ); vgl. auch L. Fejér, a.a.O. 24 ), Fußnote 3 J. Diese Beispiele
(Fortsetzung der Fußnote 22 auf nächster Seite.)
Mathematische Annalen. 96. 40

618 G. Szegö.
Betrachten wir nun den m-ten Abschnitt der Entwicklungen sämtlicher in der Einheitskugel regulären positiven harmonischen Funktionen, die im Nullpunkte gleich 1 sind. Jeder solche Abschnitt besitzt ein wohlbestimmtes Minimum in der Einheitskugel und die untere Grenze (Minimum) ¡i m dieser Minima ist nach § 1 gleich
m
Min U(2v+l)P v (£),
v=0
wobei £ das Intervall [—1, 1] durchläuft 23 ).
Es gilt nun, wie wir beweisen wollen, die folgende Grenzwertgleichung :
(24) lim ^ = Min ^ ( x > 0),
m-> oo " m x
wo Jj (x) die Besseische Funktion erster Ordnung bezeichnet.
2. Es ist bekanntlich
lim P m (cos~) = J 0 (ü),
co x m/
und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle 0 0 ^ 0 O . Wenn also e>0 vorgeschrieben wird, dann kann ein v 0 (e) so gefunden werden, daß für V > v 0 (e)
P r (cos~) - J 0 (d) < e
gilt; 0 <[ 0 ^0 O . Es sei nun m>v 0 (e) und v 0 (e) <¡¡v man hat
P v (cos —) = P v ("cos — —) ,
\ m 1 \ m V / '
°"( C0S ^)- J oQ'-0)|< e -
Hieraus schließt man, daß der Grenzwert
m + _L
(25) lim Ju (2^+1) P v (cos —) = lim — V J (— 0)
rn->* 2m ' V m > m ° '
1
= J x J a (Ox) dx = —fi-
existiert, und zwar gleichmäßig im Intervall 0 <^0<¡0 O .
müssen eigentlich noch etwas modifiziert werden, damit die Oszillation der Partial- summen zwischen — oo und + oo erfolge. Man nehme etwa die Funktion
OD
f(d,(p)= JE (— l) r V 4 " (P V 3 (COS 0) — Pv 3 + 2 (cos 6)).
V = 1
m
'-' 3 ) Das Minimum ji m von £ (2v + 1 ) P v (f) im Intervall — 1<£<1 wird
v=0
wahrscheinlich nur einmal erreicht, und zwar wohl an der größten relativen Minimumstelle. Im Besitze dieses Theorems und auf Grund der Ergebnisse von § 2 wäre es nicht schwer, sämtliche Funktionen zu bestimmen, bei denen /i m erreicht wird.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 019
3. Anderseits gilt nach Stieltjes
(26) |P m (cos0)|< ; =4_ (to = 1, 2, 3, ... ; 0 < 0 < n),
I m sin o
wobei A eine absolute Konstante ist 34 ). Man hat also bei festem 0 O > 0
für ^ <0<£, v^l, m — — 2 —
1 P r (cos ti) I < Û < Ä —
1/2,4 »»-l
f m I TI m } m
wo B ebenfalls eine absolute Konstante ist. Folglich haben wir für die genannten Werte von 0
m tri
I J^(2r + 1) P v (cos0)| < 1+ ^ J^j/™(2r + l) <1 + A m 2 ;
V—0 l U Oy = l )Vo
wo C eine absolute Konstante ist. Es ist somit
m
limsu P¿ Max i^ T (2" + 1 )P.( cos 0)|
m-**. ¿m eo Seá ft' r=0 |öo
2
d. h. beliebig klein, wenn 0 O groß genug ist. Beachtet man schließlich, daß
¿'(2v + l)P r (£) = (m + l)
i -f
r=0
im Intervall [—1,0] dem Betrage nach kleiner als 2(m + l) so folgt, daß
m
lim sup Max I (2 v + 1) P r (cos 0) !
m->- — <0<jt
m~ ~ '
J (0)
für 0 O — ► oo gegen 0 geht. Da — ¿ — für 0>O auch negative Werte annimmt, folgt hieraus die Behauptung 25 ).
24 ) Einen besonders einfachen Beweis für diesen Satz gab neuerdings L. Fejér, Abschätzungen für die Legendreschen und verwandte Polynome [Mathematische Zeitschrift 24 (1925), S. 285-298],
26 ) Anstatt der Stieltjesschen Ungleichung (26) könnte auch die folgende benutzt werden :
m
i;(2»' + l)Pv(f)|<| , 2(»w + l) (-l^"f<l; »1 = 0, 1, 2, ...),
r=0
die man wegen (39), (41) aus einem allgemeinen Satze der Abhandlung: G. Szegö, Uber Orthogonalsysteme von Polynomen [Mathematische Zeitschrift 4 (1919), S. 139 bis 1511 schließen kann.
40*

620
G. Szegö.
§5.
Noch ein Satz über Abschnitte.
Es sei U(x,y,z) eine in der Einheitskugel x a - + y' 2 + z 3 < 1 reguläre harmonische Funktion; ferner sei daselbst
m < U(x, y, z) < M.
Entwickelt man U(x,y,z) in eine Reihe (K) nach Kugelfunktionen, so liegen sämtliche Abschnitte derselben zwischen m, und M, wenn der Punkt (x, y, z) innerhalb der Kugel
1Y 2
x * + y*. + Z *<{^ gelegen ist.
Es genügt, folgenden Spezialfall zu beweisen: Wenn U(x,y,z ) für + 2/ 2 + z " < 1 regulär, harmonisch und positiv ist, dann sind auch die Abschnitte der Entwicklung (K) positiv, vorausgesetzt, daß ( x,y,z) innerhalb der vorhin erwähnten Kugel bleibt.
Nach den Ergebnissen von § 2 genügt es also zu zeigen, daß sämtliche Abschnitte der Entwicklung
®(q,v)=~- 2 (2v-f- 1) Q v P v (cos rj)
Y = 0
für g — § durchweg nichtnegativ ausfallen. Dies ist aber die unmittelbare Folge eines Fejérschen Satzes, nach dem die Summen
n m (cosr¡)= P 0 (cosï?) 4- P^cosy) + ... + P m (cos?j)
für 0 <¡ nichtnegativ sind 26 ). In der Tat gilt
m
(2v + 1) Q v Pv (cos rj)
v=0
m— 1
= 2 ((2 V 1) g v — (2r +3)ö v+1 )IZ,. (cos i|) + (2m + l)g m ü (cos r¡).
v= 0
Die Faktoren neben i7„ (cos?;) sind für g = | sämtlich ¡>0, weil ja
2 "+ 1 \ 1 _ „
2r + 3 —3 e '
Die Betrachtung des ersten Abschnittes der Funktion £(£>,»?) lehrt, daß I durch keine kleinere Zahl ersetzt werden kann.
a6 ) L. Fejér, Über die Laplaoesche Reihe [Mathematische Annalen 67 (1909), S. 76-109], S. 83-84.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen.
621
II. Teil. Abbrechende harmonische Entwicklungen.
§ 6.
Verschärfung des Satzes I.
In der Einleitung ist der folgende Fejérsche Satz erwähnt worden, den man als eine Verschärfung von Satz I auffassen kann.
Es sei
q, (0) = 1 -j- Aj cos 0 + [a. 1 sin 0 -j- ... -)- l n cos nd + sin tid ein nichtnegatives trigonometrisches Polynom n-ter Ordnung. Dann ist (27) i + /¿i 2 cos .
Die Zahl 2 cos kann hier durch keine kleinere ersetzt werden.
n + 2
Herr Fejér gelangte auf diese Ungleichung durch die a. a. 0. 13 ) benutzte (zuerst von F. Riesz bewiesene) Pararneterdarstellung der nichtnegativen trigonometrischen Polynome. Während es ihm schon früher 2 ') gelungen ist, die sonstigen, a. a. 0. 13 ) bewiesenen Abschätzungssätze auch elementar (d. h. ohne die erwähnte Parameterstellung) zu begründen, war ein derartiger Beweis für den oben formulierten Satz bisher nicht bekannt. Dies soll im folgenden nachgeholt werden.
1. Für n = 1 ist die Behauptung klar. Für n^>2 liegt es nahe, zunächst die folgende Aufgabe zu stellen :
Es ist eine Lösung des Gleichungssystems
(28 ) r, 6i + r -2 e t + • • • 4~ r n e n —
2 cos für k = 0 ,
n + ¿
1 für k — 1,
0 für k = 2, 3, . ..
zu ermitteln, für ivelche
r v ^> O, I £ v í = 1 (r = 1, 2, ..., n)
gilt.
Die Existenz einer derartigen Lösung folgt unmittelbar aus der Carathéodoryschen Theorie, indem man zunächst durch eine ähnliche Rechnung wie bei L. Fejér, a. a. O. 13 ), S. 77—79, zeigt, daß das Maximum der Hermiteschen Form
11 -1
^ X y X V J —}— X V
V- 0
Vgl. die unter 14 ) zitierten Comptes-Rendus -Noten.

622
G. Szegö.
unter der Nebenbedingung ¡ x 0 \ 2 -j- j x 1 \ ' -j- • • • + ! ¡ 15 = 1 gleich 2 cos ~rr ¿
ist. Wir wollen hier die Heranziehung der Carathéodoryschen Theorie vermeiden und gleich etwas genauer zeigen, daß
(29 ) r *=dh( cos vrh~ cosn )' ^ = (» = i,2,...,»)
eine Lösung von der gewünschten Art ist.
Dies kann ohne weiteres verifiziert werden. Man kann jedoch auf dem folgenden natürlicheren Wege zu diesem Resultate kommen. Das Gleichungssystem (28) besagt, daß
m l^ z =cos ~ ¿ - z 4 ((z n+i ))
V — î
ist, wobei (( z n+ 1 )) eine Potenzreihe bezeichnet, die keine niedrigeren Potenzen von z als die ( » + 1 ) - te enthält 28 ). Wir gehen nun aus von der Entwicklung
1 -2 cos ~i 9 z + z 2
—j— = , n „, „ =1 — 2 cos—^z-j-z' 2 + ((z"+ 2 )). a>(2) 1 +z" + - n + 2 1 1 "
Hierbei ist w (a) ein Polynom »-ten Grades und man hat
n
« (z) = 7/ (1 — e r z),
r=1
wenn
. 2v+l
e v = e n+¿ (v = 1, 2, ..., »)
gesetzt wird. Folglich gilt
1 —
f(*) = ~ cos = cos ¿2 - 2 + ((z" +1 )).
Die rationale Funktion f (2) hat m (z) zum Nenner und ein Polynom « -ten Grades zum Zähler; wir zeigen, daß sie die Form der linken Seite von ( 30 ) besitzt, wobei r„ > 0 .
Es ist zunächst mit geeigneten komplexen Konstanten c 0 , c 1 , c 2 , ..., c n ,
f(z) = c o + ^ \ ~~T r z
-*) Vgl. die erste unter u ) angeführte Comptes-Rendus -Note von L. Fejér, wo ein auf ähnlichen Prinzipien beruhender Beweis für die Ungleichung (8) gegeben wird.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 623
SO
Hierbei ist f(oo) — c 0 = — cos unc ^ fW ~ c o + —' c >' = cos n + 2 : 1 "
daß c 0 = — -5- £c r . Es ist also
¿ r=l
n -,
, 1 VT 1' + «,*
^) = ä2 c W
V=1 v
Die Konstanten c,. = r v können hieraus ohne Schwierigkeit bestimmt werden. Es ist
r„ = lim ( 1 - z) f(z) = — «, lim = ^f l ~ ) .
z^>-e v Z-> e y \ ' v V
Nun gilt
( Jl + 2)?»+ 1 (« + 2)F v »
co (f,.) = —-—- = - —
^ 2008 ^^ 4 ""^ £ ." 2cos ^ + 2 + ? .'
(n + 2)F v "
2 ^cos -
so daß
o( 2 "+ i * y
2 cos — jr — cos —-TT
\ n + 2 n + 2/
/ 2 r +1 Ti \
n+ 2 V° 0S w + 2 " T ° 0S 11 + 2/ 2 / 3t 2v+l ^
rv = e , = _ (cos — -g- cos n - 2 .)
(v= 1, 2, .n),
woraus r v > 0 hervorgeht.
2. Wir kommen jetzt auf den Beweis des eingangs ausgesprochenen Satzes. Es ist
n
V (6) = 2 r r V ( 0 + n ) = 2 C0S ^2 ~ ( A 1 C0S 9 + SÍn 0 )
V=1
ein trigonometrisches Polynom erster Ordnung, das für alle Werte von ö nichtnegativ ist. Folglich gilt
1 ¿i + fií <L 2 cos
n + 2'
d. h. die Behauptung. Das Gleichheitszeichen kann hier nur dann eintreten, wenn für irgendeinen Wert 0 = 0 o
V>(0 o ) = 0
wird. Dann hat man aber
V ( 0 ° + liTT n ) = 0 (" = 1,2
d. h.
(p (0) — c j co (e i(0_e °>) j 2 ,

624 G - Szegö.
wo c eine passend zu wählende Konstante ist. Sie wird durch die Bedingung
¿0) "dd = 1
O
bestimmt. Nun ist bekanntlich
« sin(»- + l)—
1
n 11
1 — 2 cos -z + z" v=o sin—-—-
n+2 n+2
also
, N 1 +z" + s ' * y w + 2 co (z) — = A —
V ' ."TT ■ ' i ' .7JT
Es ist somit
i J|cü(e i e)! 2 á0=¿ 7
. sin (" + 1 )irr\ i
- ® . —
1 — 2 COS ;i + 2- r=0 sin
11 + 2 11 + 2
• /sin (" + 1 ),T2
71
sin
n 4-
weil ja
ist. Wir haben folglich
n 1 — COS (v-f l ) -
yr v w + 2 _ M + 2
. 2 n In '
»■=0 1 — cos —— 1 — cos ■=.
n+2 n+2
»+i r=0
. 2 71
1 - cos ——
n+ 2 2 .„ = —r-s Sin •
n +2 n + 2 m + 2
und
( 31 ) çp (0 ) = - -1. - ! ^ sin (| + 1 ) - 2 " I
v=0
z=e i(0-d o)
.2v+l
n ii
1 — cos — n ! ,• 2>,+1
"±1/711 -e n+s '\,
n + 2 -t-i 1 I z=e i(6-e„) ■
r=l
Das sind die einzigen trigonometrischen Polynome der zugelassenen Art, für die in (27) das Gleichheitszeichen eintreten kann.
3. Mit Hilfe der vorhin abgeleiteten Ungleichung (27) kann auch die folgende allgemeinere Aufgabe gelöst werden:
Welches ist das Maximum von -j- fiq, wenn
f (0) = 1 -f- X 1 cos 0 -(- fi ± sin 0 —... —j— cos n 0 -j- fi n sin n 0

Koeffizientenabschiitzungen bei harmonischen Entwicklungen.
G25
die Gesamtheit aller niclitnegativen trigonometrischen Polynome der festen Ordnung n mit dem Absolutglied 1 durchläuft? (q = 1,2, .... n.)
Für q = 1 wird diese Frage durch (27) beantwortet. Der allgemeine Fall kann leicht auf diesen Spezialiall zurückgeführt werden. Es ist nämlich
Q
\ 2 c p {® + T") = 1+;i î cosgö + Aising0 + ^ a cos2g0+ i u aa sin2gr0- ...
1 v=l 1
ein nichtnegatives trigonometrisches Polynom von der Ordnung \~\ in qO. Wendet man darauf (27) an, so ergibt sich sofort
(27') + [x] <¡ 2 cos-F-f (q = 1,2,..., n) 29 ).
[f]+ 2
Man sieht, daß hier das Zeichen = tatsächlich eintreten kann. Bezeichnet nämlich (p n (6 — 0 O ) das trigonometrische Polynom n - ter Ordnung (31) (0 O beliebig), so ist dies sicher der Fall, wenn <p(0) = 99 , (<70 — 0 O )
L 1 \
oder allgemeiner <p(0) = cp.Aqft — ö o )^(0), wo %(d) ein beliebiges nicht-
[ Q J
Tnl
negatives trigonometrisches Polynom von der Ordnung n — q\~\^q 1
mit dem Absolutglied 1 bezeichnet, gesetzt wird. Umgekehrt, wenn in (27') das Gleichheitszeichen gilt, dann muß wegen 2
~U 'P^ + Y V ) = % i ( qd - e o) r=1 La J
sein. Das trigonometrische Polynom auf der rechten Seite besitzt dann wegen (31) lauter reelle Nullstellen, für welche sämtliche Glieder der auf der linken Seite angeschriebenen Summe, also u.a. auch <p(0) verschwinden muß. Es ist somit 30 ) <p(0) = (p.Aqd — d o )%(0), wo %(0) die obige Eigenschaft hat. ITJ
29 ) Diese Ungleichung ist in dem Spezialfall = 1 (d- h. für < 1^ n )
a. a. O. 13 ) zu finden. Die allgemeine Gültigkeit von (27') ist mir vor einer Reihe von Jahren durch eine mündliche Mitteilung der Herren J. Egerváry und O. Szász bekannt geworden. Sie gelangten darauf durch die a. a. 0. 13 ) bewiesene Parameterdarstellung der nichtnegativen trigonometrischen Polynome. Wie ich nun neuerdings von Herrn O. Szász erfahre, hat er bereits vor längerer Zeit, durch eine Bemerkung von F. Lukács angeregt, einen Beweis von (27') gefunden, der im Prinzip mit dem im Text angegebenen übereinstimmt.
30 ) Wenn das stets nichtnegative trigonometrische Polynom <p (0) für 0 0 O verschwindet, so ist
f (0) - (1 — cos (0 — 0 O )) <p* (0),
(Fortsetzung der Fußnote 80 auf nächster Seite.)

626 G. Szegö.
Das sind die einzigen trigonometrischen Polynome der zugelassenen Art, für die in (27') das Gleichheitszeichen eintreten kann.
§7-
Verschärfung des Pickschen Satzes II.
1. Es sei U(x,y,z) ein harmonisches Polynom n-ten Grades; d. h. die Entwicklung (K) von U(x,y,z) nach Kugelfunktionen möge beim n-ten Gliede abbrechen:
U(x, y, z) = K 0 {x, y, z) + K t (x, y,z) + ... + K n (x, y, z).
Es sei
U(x,y,z)^>0 für x*~ + y " + z 2 1,
ferner
K 0 (x, y, z) = £7(0, 0, 0) = ¿ JJ£7(sin0cos<p, sin0sinç?, cos 6)do = 1 .
E
Dann gilt für x' 2 + y 2 + z' 2 <1 1
(32) \K x {x,y,z)\^Z Q n ;
hierbei bezeichnet g n die größte Nullstelle des Legendreschen Polynoms P q + 1 (i), wenn n = 2q gerade ist und die größte Nullstelle von P q + 1 (£) + P q + 3 (I), wenn n — 2 q + 1 ungerade ist.
Es ist unmittelbar klar, daß diese Behauptung eine Verschärfung des Pickschen Satzes II bedeutet.
Es genügt (32) für einen Punkt (l,0 o ,q9 o ) der Einheitskugel zu beweisen. Betrachten wir eine Drehung der Einheitskugel, welche diesen Punkt in den Nordpol überführt. Das in der Einheitskugel nichtnegative harmonische Polynom U(x,y,z ) geht dadurch in ein ebensolches über und die Bedingung £7(0,0,0)=1 bleibt auch bestehen. Hieraus folgt, daß man sich auf den Spezialfall 0 O = 0 (Nordpol) beschränken kann. Es handelt sich dann um die Abschätzung von K 1 ( 0, 0, 1).
Wegen (l') wird durch
2 wT
1 f . n — n
(33) ö— £7(sin0cos q>, sin0sin cp, cos0) dtp =£ f a v P v (cos0) = P(cos0)
wo <p* (0) wieder ein nichtnegatives trigonometrisches Polynom ist. Es genügt, dies etwa für 0 O = 0 zu zeigen. Man hat dann
cp (0) — <p (0) — <p (0 1 ) — <p' (0) sin 0 ;
der letzte Ausdruck setzt sich aus Gliedern von der Form cos kO — 1 und sin k6 — k sin0 zusammen, k ganz, die sämtlich durch 1 — cos 0 teilbar sind.

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 027
ein im Intervall — 1 ^£ ^ 1 nichtnegatives Polynom ii-ten Grades P(£) definiert, das die Bedingung
i
(34) ijp(f)df = l
-1
erfüllt. Es ist ferner wegen (2)
i
K 1 (0, 0,1) = «,=!■ J P{£)£d£.
-1
Bezeichnet also g n das Maximum von
i
(35) 1 2 jp(£)£d£
-1
für die Gesamtheit aller, im Intervalle — 1 ^ 1 nichtnegativen Polynome n-ten Grades, die die Bedingung (34) erfüllen, so ist (32) für xl + V" + z 2 is 1 sicher erfüllt. Durch Betrachtung des harmonischen Polynoms
2¡a,.r v P r {COS0),
v=0
das für r ^ 1, 0 <¡ ö tt , zugleich mit
P{£) = 2a r P v {£) (- 1<££1)
v=0
nichtnegativ ist, ergibt sich, daß in (32) g n durch keine kleinere Zahl ersetzt werden kann. Damit ist unsere Aufgabe auf die Bestimmung von g n zurückgeführt.
2. Die Größe g n hat bereits Tchebychef berechnet 31 ). Seine etwas komplizierte Schlußweise möge hier durch die folgende ersetzt werden, welche auf einer von F. Lukács stammenden Darstellung der im Intervalle — 1 1 nichtnegativen Polynome n-ten Grades P(£) beruht 32 ).
Diese lautet:
(30) P(|) = (^(|)) 2 + (l-i)( J B 1 (f)) 2 + (l+l)(ß,ll)) 2
+ (1 -£')(C(£))>.
Hierbei sind A (£ ),..., C(£) Polynome, deren Grade so beschaffen sind, daß kein Glied in P(£) von höherem als n-ten Grade ist. Der Grad von
3l ) Œuvres de P. L. Tchebychef 2 [St.-Pétersbourg 1907], Sur le rapport de deux intégrales étendues aux mêmes valeurs de la variable. S. 374—402, insb. S. 399.
3a ) Vgl. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis 2 [Berlin, Julius Springer 1925], vgl. Abschnitt VI, Aufgabe 47, S. 82, 276.

628 G ■ Szegö.
A(ë) ist also [|j, der von B x und £ 3 (!) gleich [~^] und der von 0(!) gleich [-|j — 1. (Umgekehrt stellt ein derartiger Ausdruck offenbar ein im Intervall — 1 ^ ^ 1 nichtnegatives Polynom n-ten Grades dar.) Es genügt also, die Quotienten
f(A(£)ftd£ f(J3(£)f(l ±í)fdf f (C(£)f(
(37) —, ^ —, ^
f(B(£)f(l ±£)d( f(C(£))'( l-f a )á?
-1 »1 "I
für die Gesamtheit aller Polynome -4(1), 5(f), (7(f) bzw. vom Grade
' ¥ J ' [~Í~~ I ' L"|] — a b zu schätzen.
Nun ist bekannt, daß das Maximum von
i
J (t 0 + t 1 Ç+ ...+ im P (?) f d£
(38) —,
f (í 0 + ¿1 ? + • • • -r im £ m ) 2 p(£)d£
-1
wobei p (f ) eine gegebene nichtnegative (nicht überall in [ — 1, 1] verschwindende) stetige Funktion bezeichnet, gleich der größten Nullstelle desjenigen Polynoms Q m+1 (f ) vom Grade m + 1 ist, das die Orthogonalitäts- bedingungen
(39) f p (i )Q m+1 (£)rd£ = 0 (v = 0, \ , 2, m)
-1
erfüllt 83 ). Für p(!) = l ist bekanntlich
(40) Q m+1 (!) = konst. P m+1 (f); für p ( ! ) = 1 ± f ist
(41) Q m+ A£) = konst. W|)±|ü±iíÍ) ;
für p(£) = 1 — ! 3 ist
(42) Q m+1 (!) = konst.
1-5
Die Nullstellen dieser Polynome sind sämtlich reell und liegen im Intervall — 1 < ! < 1.
Das gesuchte Maximum g n ist somit gleich der größten unter den größten (von 1 verschiedenen) Nullstellen der Polynome
l3 ) Dieses Polynom ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt.

gfcïL.
ii TíT¡rir /yBageBsaHBMB
g-A-ag. ™ m- at*r-+ .**+>
Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 629
Für 71 —2 q handelt es sich um die Polynome
p a+ i(f). w-w«.
während für n — 2q -j- 1 um die folgenden :
^ a+ i(f)» P g+1 (t)±P q+ *W> P t W-P t+ *W-
Es sei nun | m die größte Nullstelle von P m (f); man hat bekanntlich
0 < < i, < ... <i M . <••••< 1 ■
Aus elementaren Eigenschaften dieser Polynome folgt weiter für £ m < £ < 1
ferner
PM)>P m+ i(f).
weil ja P m+1 (l) zwischen und £ m + 1 negativ ist. Es ist also für
£ 3 + i<f< 1
P 3 (f) + P g+1 (f) >0, P g (.S) - P a + 1 (f) > 0,
Bei geradem w, n — 2q, ist folglich
Qn — £q + l-
Bei ungeradem n, n=2q-\-l, ist £ q + l mit der größten Nullstelle von P q + 1 (i) ± P q+ »(S) za vergleichen. Es ist für | a + 1 < | < 1
p q+ i(e)-P i+ Ät)>o,
so daß P q+1 (Ç) — P q + 2 (f) nicht in Frage kommt. Dagegen hat das Polynom P q + X (I) + P q +2 (i) sicher eine Nullstelle im Intervall | J + 1 < | < 1, weil es doch für £ = f +1 negativ, für £ = 1 positiv ist. Für n = 2 q -j- 1 ist somit Q n gleich der größten Nullstelle von P q+1 {£) + P q+2 (£). S4 ) 3. Die Gültigkeit des Gleichheitszeichens in (32) kann leicht diskutiert werden. Zunächst erreicht der Ausdruck (35) sein Maximum Q n für ein einziges Polynom P(£) = P(f) der zugelassenen Art. Es ist
a) bei geradem n, n = 2q,
P({)-konBt.(^©) ! ;
b) bei ungeradem n, n= 2q + 1,
P({) - körnt. ( 1 + {) .
wobei die konstanten Faktoren gemäß (34) zu bestimmen sind.
I4 ) Vgl. Tchebychef, a. a. 0. 31 ), § 10.

630 G- Szegö.
Es sei nun U(x, y, z ) ein harmonisches Polynom der oben betrachteten Art, für das KJO, 0, 1 ) = g n ist. Wegen (33) muß dann
2,-t
—- üYsinöcosip, sin0sin<p, cos0)d7p = P(cos0)
¿71 J
O
sein. Nach dem Obigen besitzt P(f) im Intervall — 1 < £ < 1 genau q= Nullstellen cos 0 ;¡ ^0 < 0 h < n\ h =1 ,2,..., [f-]), deren jede
zweifach ist. Wegen U(x, y, z) 0 für x 2 -)- ?/ 2 + z 2 = 1 muß U(x, y, z) auf den entsprechenden Breitenkreisen 0 = 0 7i identisch in cp verschwinden ; es muß ferner, wie man leicht sieht, für 0 = 0 Ä identisch in cp
-{ C7(sin0cos<p, sin0sin(p, cos0) = 0
sein. Mit der Bezeichnung (l') kann man also behaupten, daß die Ausdrücke
Za m vPm{ COS0), 2b mv Pm( COS0) {v = 1, 2, ..., w.)
m=j' m=v
für 0 = 0 ;¡ samt ihrer ersten Ableitung verschwinden \h = 1,2,..., ! ^ j . Die Polynome
2b mv piï{£)
m—v m=v
müssen somit die zweifachen Nullstellen | = cos6 h (h = 1,2,..., ^jj
besitzen. Da ihr Grad gleich n — v ist, so verschwinden sie identisch, wenn v — 2, 3, ...,n oder wenn v = 1 und n gerade ist; d.h. es gilt bei geradem n
C7(sin0cos<p, sin 0 sin cp, cos0) = P(cos0).
Ist v — 1 und n ungerade, so liefert diese Schluß weise, daß
11 _
a m i ~P' m (I) = konst.
m=l
und ähnliches beim zweiten Polynom. Es müßte dann
?7(sin0 cos cp, sin0 sin cp, cos0) = P(cos0) (l + (® cos + b sin 99 )j
sein, a und b Konstanten. Ein derartiger Ausdruck nimmt aber notwendig auch negative Werte an (es sei denn, daß a = b — 0 ist), da doch ^ "p B ^ für 0 = ti unendlich wird.
Die Kugelfunktionen P (cos y), wobei y die sphärische Distanz des variablen Punktes (1,0,9?) von einem beliebigen festen Punkte (l,0 o ,<p o )

Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen. 631
ist, sind also die Randwerte der einzigen zulässigen harmonischen Polynome, für welche in passenden Punkten der Einheitskugel K 1 (x,y,z) = g n oder K x (z, y, z) = — K 1 (— z, — y, — z) = — Q n gelten, d. h. in (32) das Gleichheitszeichen eintreten kann. (Es tritt nur in dem Punkte (1, 0 O> <p 0 ) und in seinem Gegenpol ein.)
§8.
Übertragung eines Satzes von L. Fejér auf den Raum.
Es sei U(x,y,z) ein harmonisches Polynom n-ten Grades, das in der Einheitskugel nichtnegativ ist und im Mittelpunkte derselben den Wert 1 annimmt, £7(0, 0, 0) = 1. Dann ist für x 2 + y" -f z 2 <¡ 1
(43) U (z, y , 2) ^ (J + i)"- ••
Die Konstante auf der rechten Seite dieser Ungleichung ist durch keine kleinere zu ersetzen.
Man ersieht, wie in § 7, daß es genügt, diese Ungleichung nur für den Nordpol z = 0, y = 0, z = 1 zu beweisen. Es ist aber P„ r (l) = 0 für V > 0, so daß wegen (1 )
[/(0 ,0, l) = Ífl,P,(l) = P(l)
r=()
gilt, wenn P(£) das in § 7 eingeführte Polynom bedeutet. Hieraus folgt, wie dort, daß die kleinste Zahl M n , welche in (43) auf der rechten Seite stehen kann, die Lösung der folgenden Maximumaufgabe ist:
Welches ist das Maximum M n von P( l ) für die Gesamtheit aller im Intervalle — 1 1 nichtnegativen Polynome n-ten Grades, welche der
Bedingung
i
i Jp(f)df = 1
-i
genügen ?
Diese Aufgabe ist von F. Lukács gelöst worden 35 ) mit dem Ergebnis womit unsere Behauptung bewiesen ist.
35 ) F. Lukács, Verschärfung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung für rationale Polynome [Mathematische Zeitschrift 2 (1918), S. 295—305].

632 G- Szegö. Koeffizientenabschätzungen bei harmonischen Entwicklungen.
Lukács hat auch gezeigt, daß unter den erwähnten Polynomen P(£) ein einziges P (f) existiert, für welches P (l)t= M n gilt. Es ist
a) bei geradem n, n = 2q,
p~(n) =— j-5(p¿(f) +p; + 1(^)) 2 = (mg*®)'
(3 + 1) v ç
-(,4t Éi^+vr-d))';
1 v=0
b) bei ungeradem n, n=2q-\-l,
2(g+l)(g + 2) /i ,,/ P,(g)-f g+3 ^) V 3 ( 2 g + 3 ) 3 ^ 1 -f- '
- (g+1) 2 (g + 2) (i + f) ((2? 11)^(1) + (2 ? - 3) p (/ _ 2 (f) + .. .) 2 ;
Die Kugelflächenfunktionen P (cos y ), wobei y die sphärische Distanz des variablen Punktes (1,0,9 o) von einem beliebigen festen Punkte (l,0 o , (p 0 ) ist, sind die Eandwerte der einzigen zulässigen harmonischen Polynome, für welche in (43) das Gleichheitszeichen eintreten kann. (Es tritt nur in dem Punkte (1, 0 O , cp 0 ) ein, wenn n ¡> 1 ist.)
Berlin, März 1926.
(Eingegangen am 23. 3. 1926.)

Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du type elliptique. II. Note.
Von
S. Bernstein in Charkow (Ukraine).
1. Je crois, qu'après les quelques explications que j'ai données dans une Note 1 ) récente au sujet des inégalités fondamentales (23) de mon Mémoire 2 ) »Sur la généralisation du problème de Dirichlet«, je n'ai plus besoin de revenir sur la démonstration de la proposition suivante que j'appellerai, pour abréger, théorème A:
Si z est une solution finie et continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres de l'équation linéaire
(1) A Ü+ 2B £$hC^ + 2D£ + 2E%+F Z = M
(AC — B* > % > 0, AF£ 0)
qui s'annule sur la circonférence C de rayon B; si les coefficients du premier membre sont des fonctions analytiques de x, y à l'intérieur de C; si de plus les modules des dérivées des 7 premiers ordres de A, B, G et les modules des dérivées des 2 premiers ordres de D,E, F sont bornés supérieurement sur la circonférence C et à son intérieur par un nombre donné P: on a les inégalités" a )
r n (01 > , r
[z],,<X[M}._.
(23) ou (2)
r i Vi
rözl (01> , r , ri '° " OZ
■ s. .. .<'■[»]„•
r\ V' r,'
d" z
?y-
(01) 01,
où / est entièrement déterminé par P et y.\ (les modules trigonométriqués normalisés qui figurent dans ces inégalités se rapportent aux nouvelles variables x 1 ,y 1 qui transforment l'équation (1) à la forme réduite en
1 ) Math. Ann. 95 (pp. 585—594).
3 ) Ibid. 69 (pp. 82—136).
3a ) loc. cit. p. 109.
Mathematische Annalen. 96. 41

634
S. Bernstein.
faisant correspondre au cercle G un cercle C' de rayon 1 avec correspondance des centres, ces nouvelles variables ainsi que R\ et r{ dépendent donc uniquement de A, B , C).
2. C'est de ce théorème A que découle le lemme du § 14 du Mémoire cité qui domine toute la théorie des équations du type elliptique. La démonstration un peu trop concise de cette proposition que j'appellerai théorème B n'étant pas bien comprise par certains de mes lecteurs, je tiens à la reproduire avec plus de développements. Voici textuellement son énoncé 3 ):
Théorème B. « Si z 0 est une solution de Véquation analytique du type elliptique
(3) F {r,s,t,p,q,z,x,y,a) = 0 {F' r F' z ^ 0)
correspondant à a = a 0 qui s'annule 4 ) sur la circonférence G et admet des dérivées bornées des neuf premiers ordres sur cette circonférence aussi bien qu'à son intérieur, il existe un nombre e tel que, pour toutes les valeurs du paramètre a ( réelles ou complexes ) satisfaisant à Vinégalité \a — a n \<£, l'équation admet une solution jouissant des mêmes propriétés que la solution z 0 et se confondant avec cette dernière sur le contour C».
Avant de passer à la démonstration, je voudrais préciser quelques points de cet énoncé et expliquer la portée du théorème. Je suppose, bien entendu, en disant que l'équation est du type elliptique (pour les solutions considérées z) qu'il existe pour toutes les valeurs effectivement prises par z un nombre k > 0 tel que 4 F r F t — (F s ) > y. . he nombre e qui est une borne supérieure du rayon de convergence du développement de z suivant les puissances de [a — a Q ) est entièrement déterminé par la borne supérieure P des dérivées considérées des neuf premiers ordres (du moment que x est fixé). Enfin, quand je dis que la solution z (pour | a — a 0 | < e) jouit des mêmes propriétés que z 0 , cela signifie que z admet également des dérivées bornées des neuf premiers ordres; mais naturellement la borne supérieure des modules de ces dérivées pourra, en général, être différente de P. C'est pour cette dernière raison que du théorème B à lui seul on ne saurait aucunement conclure
8 ) On trouvera une généralisation de ce théorème pour le cas, où la condition
Fr Fz < 0 n'est pas remplie, dans mon Mémoire »Sur les équations du calcul des
variations«, Ann. de l'Ec. Normale 1912, page 481.
4 ) Il n'y aurait rien à changer, si la solution se réduisait à une fonction <p (6) analytique de l'angle 0 sur C ; le cas général se ramenant d'ailleurs facilement à celui de ç>(0) = O, o'est uniquement pour simplifier l'écriture que cette hypothèse avait été introduite dans l'énoncé.

Équations aux dérivées partielles.
635
(ce qui d'ailleurs, en général, serait inexact) que, en l'appliquant de proche en proche, on aura une solution de l'équation (3) quel que soit«. Cette conclusion ne sera légitime que four toutes les classes £ équations, où en partant de l'hypothèse que la solution admet des dérivées finies des neuf premiers ordres, le nombre P peut être fixé a priori indépendamment de a, car dans ce cas la valeur e sera déterminée une fois pour toutes, et on arrivera à n'importe quelle valeur donnée de a en appliquant le théorème B un nombre limité de fois. Voici pourquoi je maintiens intégralement mon affirmation qui termine le § 14: «Le lemme (théorème B ) ainsi démontré nous montre que la question de la possibilité du problème de Dirichlet se ramène à la question de la possibilité de fixer a priori des limites supérieures des modules de la solution et de ses dérivées des neuf premiers ordres, si on admet seulement l'existence de cette solution et de ses dérivées de tous les ordres. Ce résultat assez compliqué devient extrêmement simple grâce à l'application de la méthode des fonctions auxiliaires».
3. Passons donc à la démonstration. Pour simplifier l'écriture je poserai « 0 = 0; de plus, pour plus de netteté, je supposerai la fonction F entière par rapport à toutes les variables dont elle dépend. Remarquons d'abord que la série
(4) Z = Z 0 + a Z 1 + ■ • • + „T z n i
qui vérifiera formellement l'équation (3), la vérifiera effectivement pour toutes les valeurs de cc pour lesquelles cette série converge uniformément, ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres par rapport à x et y. Il s'agit donc en premier lieu de former la série (4) et d'assigner une borne supérieure à son rayon de convergence, ainsi qu'à celui de ses dérivées des deux premiers ordres. A cet . effet, nous prenons pour z x — (J~-j la solution, qui s'annule sur C, de l'équation linéaire
ri' c _^i i p' d i i 9 dZi i jp' BZi . p' ,
' ' r ° Sx i "' So Bx By ' ~By* ' v °Bx By r z ° 1 a=0 1
qu'on obtient en différentiant (3) par rapport à « et en remplaçant a par 0 et z, p, q, r, s, t par z 0 , p 0 , q 0 , r n , s 0 , t 0 , respectivement. En différentiant encore une fois, nous avons
Í T?'* ^ _1_ T?' — ?. 2 1 H 1 ' ^ Z 2 _L W f -— 2 _1_ 7 ï 1 ' _!_ 7p' v - A
r ° 0a: 2 s °BxB~y to By- ^~ Pa ~Bx ' îo By ~r 0 2 2 '
ou
—
Fr, (-M + 2 F" (Ö) l~~ ¡ ) + 2 F': (8 ' Zl
0
Bx-J '< - 1 roSo \Bx 2 ) \Bx By J 1 " T ° l ° \ Sx- ) \ By
f:¡zi + 2F;:J^+... + F:,
41*

636
S. Bernstein.
et 2, = (— \ I est la solution de (6) qui s'annule sur C. En diffé-
9 V?« 7 a= o
rentiant successivement nous déterminons de proche en proche z n comme la solution qui s'annule sur C de l'équation linéaire
/7^1 ï ?' d z " i -T}' à z n i W 8 z„ , p' cz„ . d z n i et ' a
r ° Sx* "f" '°8xdy dy* r v ° dp 1 dy ^ z ° „ n
dont le premier membre reste invariable et le second dépend des fonctions z 0> z 1 , .. z n _ 1 et de leurs dérivées des deux premiers ordres par rapport h X et y déjà déterminées.
Dans ces conditions les équations (5), (6), (7) satisfont aux conditions 5 ) du théorème A, avec les mêmes valeurs de P et x et les mêmes variables de transformation x x , y x , de sorte qu'on pourra fixer une valeur de l indépendante de n , telle que
r .(0,1) . r . ,(0,1) r3z 1 ,l (0,1) ita n' 0 ! 11 P z »l <0,1) ir/ii (0ll)
(Q\ r5 2 2„l (0ll) . - r A n^ 1 » Í 5'"' *» 1 ^ ^ , r A 1 <0) "
\.dx*\ R [r[ A ^nWx' IdxdyiRÍrl ^ "W"
i dy 2 \ß[ r'i ^ "-Wn' les modules trigonométriques normalisés ayant toujours les mêmes significations.
Nous allons fixer à présent une valeur de e x telle que, pour a | < e x , non seulement la serie (4) converge uniformément avec ses dérivées des deux premiers ordres, mais qu'il en soit de même des séries
qu'il suffit de considérer pour a > 0.
A cet effet, remarquons que, si dans les expressions A n qui figurent dans les seconds membres des équations (5), (6), (7) on remplace chacune
5 ) L'existence des solutions des équations linéaires a été démontrée préalablement dans le § 13 du Mémoire cité; il fallait, en effet, pour éviter l'apparence d'un
cercle vicieux, démontrer d'abord le théorème B pour l'équation linéaire et constater
que pour les équations linéaires les conditions de ce théorème se trouvent toujours
remplies, le nombre e pouvant être fixé indépendamment de œ (pp. 112—114), de sorte
que la solution de l'équation linéaire correspondante existe effectivement. Il est
essentiel surtout que si, pour une valeur de a, l'éxistence est établie, les inégalités (8) (théorème .4) les accompagnent.

Équations aux dérivées partielles.
637
des dérivées partielles de F par son module trigonométrique normalisé
, , . , » . d"z¡ d'z¡ d"z¡ dz¡ dz¡
et les fonctions de meme indice — ¡r, , 5—5-, , r— , z, par un meme
dx 2 drdy dy~ dx dy » r
nombre b¡ (pour i < n ) qui est supérieur aux modules trigonométriques normalisés de celles-ci, on obtiendra un nombre B > [A u ] . De plus,
Ri r 1
ce nombre B n s'obtiendra de la façon suivante: soit
(10) b(a) = ab 1 -(- ... + — b n ..
une série (formelle) majorante des séries (9).
Considérons la série de Taylor suivant les puissances de q , a, t ., g, r¡, Ç, a
(11) 0{q, a, r , i, r], Ç, a)
•= F(r 0 + Q, s o + 0, t 0 + r, p 0 + i, q 0 + v, V> u )
— F {r 0 ,s 0 , t 0 ,p 0 , q 0 ,z 0 , .r, y, 0) - [eK +o F', 0 + t F¿+ %K» + V^i + ^F Z ' 0 ]
= uF' - ' V T 9 " ir ( r o' s o'^o'J ) o'go' ;S; o> x >y>°)
"~° ' >1=2 Br" 1 ds K * 8t"' dp"' dq x * dz x> 8 a" ! * s ! x 3 ! * 4 ! x 5 ! *„! x ! qui aura, en général, des rayons de convergence bornés inférieurement par rapport à toutes les variables; mais, comme je l'ai dit au début de la démonstration, je fais ici, pour ne pas entrer dans des détails d'ordre secondaire, l'hypothèse simplificatrice (nullement essentielle) que ce développement est convergent dans tout le plan de q , a, t, ç , r¡, f, a; si, à présent, nous posons Q = a = x= t; = r] — £ = b et remplaçons en même temps tous les coefficients de la série C I> (qui sont des fonctions de x et y) par leurs modules trigonométriques normalisés respectifs, nous obtenons une série formelle suivant les puissances de & et « (à coefficients constants)
( 12 ) <p(b,cc)= «lsK=n]^' + J
" iri m + y.= 2
Jß
alors n " sera le coefficient de a n dans le développement formel suivant les puissances de a, auquel se réduit la série (12), lorsqu'on y substitue (10) à la place de b : en d'autres termes, B n est la dérivée complète d'ordre n par rapport à u, pour a = 0, de <p(b,a), si b est donné en fonction de « par la série (10).
Remarquons ensuite que la fonction F (r, .. z, x, y, a) étant supposée entière par rapport à toutes ses variables, la fonction 9 o{b, u ) sera également convergente pour toutes les valeurs de b et a. En effet, l'hypothèse que z 0 admet des dérivées bornées des 9 premiers ordres (les 3 premiers ordres seraient suffisants) entraîne son analyticité, et, d'après les considérations générales de la page 108 de mon Mémoire cité, on peut assigner une borne supérieure Q à tous les modules trigonométriques normalisés [z 0 f°'^ ,, [Pol' 0 ''" ■
Ri 7*1 Ri i" 1
[¿of, 11 ,, [a:]' 0 ', 1 ',, [2/] ,. Par conséquent, en tenant compte de la pro-
■H i r i iîid Ryti

638 S. Bernstein.
priété évidente des modules trigonométriques normalisés, que [f x -j- /"g]' 0 ' 1 ' ,
¿[ftf/s efc .if^ ■> nous aurons
"• i r i -Ii i ri R L r i R \ r \ R i r i
(13)
F (r 0 , 8 0 , t 0 ,p 0 ,q 0 ,z 0 ,x,y.Q) dr" 1 d s"'dt"' 8 p"' 8q"'°8 z"' 8 ce"
(0,1) ,n +
iifi
< Q, Q, Q, Q, Q, Q,Q,0 )
= 8r8 s" 2 8 t"' dp" 1 8q" ¡ 8 z"'8 a*'
où F(r,s,t,p,q,z,x,y,a ) est la série majorante (partout convergente) du développement de F(r,s,t,p,q,z,x,y,cc) suivant les puisances de r, s, t,p,q,z,x,y,a. Donc la série (11) reste partout convergente, quand on y remplace tous les coefficients par leurs modules trigonométriques normalisés, et par conséquent la série (12) représente également une fonction entière par rapport à b et a.
Cela étant, pour obtenir la série (10) qui est majorante des séries (9 ), il suffira de prendre la solution b de l'équation
(14) b = Xcp(b,u)
qui s'annule avec a, pour le développement de laquelle suivant les puissances de a on peut trouver une borne inférieure e 1 du rayon convergence par la méthode classique de Cauchy. En effet, de (12) nous tirons
7 i r n' l' 0 ' 11 1 r 4 n* 0 ' 1 '
b i — X [ a J jß i ri ~ A
donc, en vertu de (8) pour n — 1, ôj est bien supérieur aux coefficients de a dans les séries (9). Or, en admettant que pour toutes les valeurs de i <7i on sait que
(0,1)
&,>
g Zj d X-
Sifi Ri r i
on aura, d'après ce qui précède,
K -i£¡ V (».«+£«■+...+ jír;,,
R i ri
par conséquent, en vertu de (8), on aura aussi
(15) b n >
8 ~ z n
8 X-
(0,1)
n '' Riri
R i ri
Donc de la convergence de la série (10) il résulte que toutes les séries (9) sont également convergentes, d'où, enfin, résulte a fortiori la convergence absolue et uniforme de la série (4) ainsi que celle de ses dérivées des deux premiers ordres pour | a \ < ; ainsi Vexistence de la solution z pour les valeurs considérées de a est établie.

- Jflü*-'« ■ w
Équations aux dérivées partielles.
639
4. Je passe à présent à la démonstration du fait que la solution z (pour a < s) admet des dérivées finies et continues des 9 premiers ordres, en suivant la méthode indiquée aux pages 117—118 que je développe, conformément au procédé de démonstration du théorème 11 employé à la page 113 pour le cas particulier de l'équation linéaire. A cet effet, en différentiant terme à terme par rapport à l'angle polaire 6 la série (4), je pose
(16)
8 z SU
= Z = z,
o I
az 1 + ...
*< + -•
en remarquant que, si les dérivées secondes par rapport à x et y de cette série sont uniformément convergentes, z' satisfera à l'équation linéaire
(17)
i/dV , j/ilfL i jf'tÄ. — A' fi ~dx- t -*• ê^cTy + ay* — *
obtenue en différentiant (3) par rapport à 0 (en tenant compte des identités:
se
S" z_
S x 2
8 , x S" z
8x8 y
8_ z 8y-
2 s), OÚFr,F¡
F t , A' sont des fonctions entières par rapport à r, s, t, p , q, z, x, y , a. Par conséquent, en faisant dans (17)ß = 0,r = r 0 , .. z = z 0 , on obtient l'équation à laquelle satisfait z' 0
(18)
w S' z' {< p/ s 2 z' 0 . p 'S'
r ° S x s *' dxdy S j/ B ° '
et en différentiant successivement par rapport à a l'équation (17) on a successivement les équations pour déterminer z/, ... z,' qui sont nulles sur C
Jl' d Z !
r " 8 X-
F'
s ° dxcy
d . ,. S 2;
8 y*
F ta
s- Zl
8y-
, d d a
^ ( t?' \ d g o i ( -p' \ £n
da" S x 2 d a c x 8y
UÓ) = K
I 3" z'
/ \ 77*
( 19 ) r ° TaT 2 " 1 ~"°8x8y
,8'2' , S " s ' xi « ri' n __
F'- + A ipr -
S" z'
n
d / \ à 2^_ t
ci c
«)
8 x"
...+ (tf)
fia" ° d V
n{n- 1) d- / \
2 da- r °>
+^Uo')=4;,
da' 1
où les symboles tels que ' . ( ) représentent la dérivée complète par
d a 1
rapport à a d'ordre i de F' r > où, après differentiation, on fait a = 0, r =r 0 , ..., z = z 0 .

640
S. Bernstein.
Puisque les équations linéaires (18) et (19) ont leurs premiers membres identiques et satisfaisant aux conditions du théorème A, que l'existence de leurs solutions est assurée, quand les modules trigonométriques normalisés des seconds membres sont finis, et que, d'autre part, leur réduction à la forme canonique se fait par l'introduction des mêmes variables x 1 et y 1 que celle des équations (5), (6), (7), on a, en conservant les mêmes modules trigonométriques normalisés que précédemment (8), les inégalités
<0,1) / Î rjn (0,1>
(20)
d" z>
d X' 1
[ 5 '"' < L sy°
Ri r i (0,1)
ô° zL
„a- ¡ < L [ A
> 1(0,1) Jäi ri'
- i r a ' i f 0 ' 1 '
, , K\ An\ R \ r ;
R i ri
où À 1 est déterminé par le même nombre P (qui limite supérieurement les dérivées des 9 premiers ordres de z 0 ) que X dans les inégalités (8). Or, pom a ^ 0, on a, d'après ce qui précède,
£<*€!. < +»• [■•£+» «'«■•))■
où b est la série majorante (10) suivant les puissances de a qui est la solution de l'équation (14) considérée plus haut; donc, le rayon de convergence e 1 de cette série étant fixé, on pourra fixer un nombre g, tel que
K— (#•„) <i\g 4 \- da
et de meme
(21)
da
(0,1) r d i , '
, < i\g i ,
Ri n l da
r di (a'
Vd^ [Ao
(0,1)
< i [ -g\
Ri r i
(0,1)
Ri ri
< i\g i ,
quel que soit ¿>0. Prenons ensuite, en supposant g>\, un nombre N assez grand pour que
(22)
[*o'Ç> , < N, Ri ri
dz 0 d X
(O.l)
<N,
J -ñi ri
a 2 '
8_ zo dxpy
(0,1)
Ri r.
<N,
d zo dy 2
Sj. o Jy .
(0,1)
(0,1)
Ri r i
<N,
r 8 2 z'p
d X 2
(0,1)
, . ,<N,
Riri
Ri r i
, <N, 6X ± g < N,2g < N.
Je dis que, dans ces conditions, on aura, quel que soit n,
(23)
R i r.
8 z»
d X
(0,1)
< n\ N
ii+i
r S 3 z' n (V d a; 2
< n\N
W + l
" g" Zn dxdy
Ri ri
(0,1)
Szñ
(0,1)
< n\ N
■» + 1
Ri r 1
L 0 2/ Jüiri
O 2 '
S g n
dy 2
< n\ N
n+ 1
< n\ N
»+1
iii ri

Équations aux dérivées partielles.
En effet, supposons que les inégalités (23) soient vraies pour toutes les valeurs inférieures à n 0 . Alors, pour n — n 0 , on aura, à cause de (19), (21), (22),
< 3 [V^' + W^ 1 + ... + n¿.g n 'N] + n 0 \g n "
< n 0 l 6gN Uj ;
donc, en vertu de (20) et (22), on a également
Su '
Zr, dx 2
<6^7i 0 \gN n " <n 0 \N n ' +1
R i ri
et des inégalités pareilles pour les autres dérivées. Les inégalités (23) sont donc exactes quel que soit n, et par conséquent, pour | a | < , la série
(16) satisfait à l'équation (17) et admet non seulement des dérivées finies et continues des deux premiers ordres, mais ces dernières admettent également des modules trigonométriques normalisés finis.
Cela étant, en difïérentiant encore l'équation (17) par rapport à 6, on formera une équation linéaire analogue
as.» i)2 z "
(24) F; + F / f- +F;^T = A",
r 8 X 2 s Sx8y t dy-
à laquelle satisfera
(25) 2 " - f r ; - V' + «v +... + ,
tant que cette dernière série convergera uniformément avec ses dérivées des deux premiers ordres. Le premier membre de l'équation (24) est le même que celui de l'équation (17), seulement A" (qui est une fonction entière de r, s, t, p, q, z, x, y,a) est de plus un polynome par rapport à z' et ses dérivées des deux premiers ordres par rapport à x et y . Donc, en difïérentiant successivement un nombre quelconque n de fois l'équation (24) par rapport à c, et en faisant a— 0, on obtient des équations linéaires pour déterminer z" de la forme
3 2 z" d-z" S 2 z''
(26) r^ + Kàfi.+rt-tf-A:
qui ne se distinguent des équations (19) que par leurs seconds membres, de sorte que le théorème A est applicable avec les mêmes inégalités (20) (avec la même signification des modules trigonométriques normalisés et la même valeur de Aj). Ainsi on peut déterminer, comme plus haut, un
nombre N 1 , tel que, pour œ|<-^-, la série (25) satisfasse à l'équation
•"1
( 24 ) et possède avec ses dérivées des deux premiers ordres par rapport h x et y des modules trigonométriques normalisés finis.

642
S. Bernstein.
Le même procédé de différentiation par rapport à 0 pourra être appliqué autant de fois qu'on voudra, le théorème A étant toujours applicable avec les mêmes inégalités (20), puisque les premiers membres des équations linéaires correspondantes restent toujours les mêmes. La différentiation étant poussée jusqu'au septième ordre, on choisira la plus petite des 8 limites supérieures pour | a ainsi obtenues, et cette valeur fixe e jouira de la propriété que la solution z de l'équation (3) aura pour toute valeur de I a < e des dérivées finies et continues des 9 premiers ordres.
En effet, en introduisant les coordonnées polaires g et 0 nous avons déjà démontré par ce qui précède que toutes les dérivées de z d'ordre non supérieur à 9, où la différentiation par rapport à g n'est pas effectuée plus de 2 fois, sont finies et continues. Ainsi, en particulier, il en est
ainsi de r J-, , ' et Or, si nous différentions par rapport à g
d0 ■' d Q do* o q" o 0
2 2 ....
l'équation (3), en considérant . comme fonction implicite de q , toutes
les autres fonctions entrant dans cette équation ayant des dérivées finies et continues par rapport à g, nous obtenons en chaque point à l'intérieur d'une couronne circulaire S formée par la circonférence C et une autre circonférence C' concentrique de rayon fixe aussi petit qu'on veut (et sur ces circonférences également) des valeurs finies et continues parfaitement
déterminées bornées supérieurement. Naturellement le même procédé
d 4 z
de différentiation par rapport g pourra être appliqué pour déterminer
en partant de l'équation (17) et ainsi de suite; donc, en opérant de cette façon, on parvient à limiter supérieurement toutes les dérivées des 9 premiers ordres (quel que soit le nombre i 9 de differentiations par rapport à g) pour les valeurs indiquées de |«j < e, à l'extérieur du petit cercle C'; mais nous pouvons supposer ce cerle C' assez petit pour que du seul fait que ^ [ 3 ]«' r 011 puisse conclure l'existence des dérivées
de tous les ordres et l'analyticité de z à son intérieur. Ainsi toutes les dérivées des 9 premiers ordres existent et sont limitées supérieurement à l'intérieur du cercle entier G ainsi que sur son contour.
Le théorème B est donc entièrement démontré.
5. Je voudrais indiquer encore quelques conséquences du mode de raisonnement que nous avons suivi dans cette démonstration (chap. IV, pp. 132—135 du Mémoire cité). Je souligne d'abord encore une fois que, le premier membre de l'équation

Équations aux dérivées partielles.
643
obtenue en différentiant l'équation (3) x fois par rapport à Ö, satisfaisant
quel que soit x aux conditions du théorème A , lorsqu'on sait que z admet
des dérivées bornées des 9 premiers ordres, sa solution (dont l'existence
est assurée et qui satisfait aux inégalités fondamentales (2)) qui se confond
g*z . d*z avec 2 (k) = sur le contour C représente effectivement pour toutes
cd" 80*
les valeurs de x, y à l'intérieur de C. On sait, en effet, que —— satisfait
u dO"
d" z
à l'équation (24 bis ) et, puisque z est analytique, on sait aussi que —-
d 6 '
admet des dérivées des deux premiers ordres finies et continues à Vintérieur de C\ or, Véquation linéaire (1) ne peut avoir deux solutions différentes ayant des dérivées des deux premiers ordres finies et continues à l'intérieur de G qui prennent les mêmes valeurs sur C ( sans faire aucune supposition sur Vexistence des dérivées sur le contour). Je reproduirai ici la démonstration très simple de ce fait (dont l'idée est due à M. Paraf 8 ) qui semble avoir échappé à l'attention de plusieurs géomètres. Il suffit, évidemment, de montrer que la solution u de l'équation
(27) A d ~ + 2B-f^ + C^ + 2D^ + 2E d ^0'Fu==O
y ' dx' dxdy • dy" dx 1 dy
(AC-B*>K> 0, iM^O)
admettant à Vintérieur de C des dérivées finies et continues des deux premiers
ordres est identiquement nulle, si elle est nulle sur C. En effet, en supposant
d'abord FA < 0 (soit A > 0, pour fixer les idées), on voit que u ne peut
avoir à l'intérieur de C de maximum positif (ou minimum négatif), car en
, , -, ..du du _ , 3 2 m 0 2 m ( d 2 u \ 2 \ A
un tel point on aurait — = — = 0 et — „ • —— ; — -—— > 0 avec
r Sx 8 y dx 1 dy* \dxdyJ —
d ^ u • • •
u ® ' ce es ^ incompatible avec (27). Dans le cas général posons
u = b [1 — e-ais+iï,)] 5
où R x > R et a est un nombre positif assez grand. On aura 6 = 0 sur C et de plus b satisfait à l'équation
[ 1 - e-« »+*•>] \aÇ\ + 2B~- + CÇ-]
L J L dx 2 dxdy dy J
—(— 2 r C 1 — e~ a <»+*)) D + A a ~
L\ /I J ? X
— |— 2 [( 1 — e~ al - x+R ' ) ) E -f- B ae~ ai - x+Ri) ] ^ [ F(1 — e~ a(x+Ji,i ) + 2 Da — a" A e-«( :c + iî i>] 5 = 0;
6 ) Annales de Toulouse 1892. Voir aussi ma lettre à M. Radó publiée dans Math. Zeitschr. 1926.

644
S. Bernstein.
cette équation est de la même forme que (27) et il suffit de prendre
2D
a > — j~ pour que le coefficient de b soit certainement négatif pour toute valeur de x , y à l'intérieur de C . Donc b est identiquement nul , et u de même.
Ainsi, si la solution z 0 pour a — 0 qu'on a pris pour point de départ admet des dérivées bornées des 9 premiers ordres, on est certain d'abord que ses dérivées de tous les ordres existent sur le bord également (nous allons plus loin préciser ce résultat) et, de plus, pour toutes les autres valeurs de a il n'est nullement nécessaire, pour legitimer l'application de la méthode des fonctions auxiliaires qui suppose l'existence des dérivées, d'appliquer des considérations nouvelles pour prouver cette existence, — celle-ci résulte du théorème B et du procédé de détermination des dérivées successives par le procédé indiqué plus haut moyennant l'équation (24 bis ). C'est pour cela que, grâce à la méthode des fonctions auxiliaires qui borne supérieurement ( uniformément T ), quel que soit a, les dérivées successives, si on connaît une limite supérieure des modules des dérivées des 2 premiers ordres seulement , on a le théorème général suivant*).
Théorème G. L'équation (3) admet toujours une solution analytique pour a — 1, se réduisant à une fonction analytique donnée <p (0) sur G, si elle admet, pour a — 0, une solution bornée avec ses dérivées des 9 premiers ordres prenant les mêmes valeurs <p (6) sur C, et si, de plus, il est possible de limiter supérieurement les modules des dérivées des 2 premiers ordres des solutions (supposées dérivables autant de fois qu'on veut) de (8), quel que soit «(O^a^l), se réduisant à cp (0) sur C. (Si l'équation est linéaire en r, s, t, la limitation des dérivées premières suffit ;.
6. Enfin, en restant dans le même ordre d'idées (et sans utiliser la méthode des fonctions auxiliaires) je développerai les calculs qui précèdent pour établir la généralisation suivante d'un théorème connu de Schwarz:
Théorème D. Si z est une solution admettant des dérivées bornées des 9 premiers ordres à Vintérieur du cercle C de Véquation analytique du type elliptique
(28) F (r , s, t,p,q,z,x,y) = 0
qui s'annule sur la circonférence G, elle peut être prolongée analytiquement à l'extérieur de G. En tenant compte de la méthode des fonctions auxiliaires on peut généraliser cet énoncé, (voir la page 133 du Memoire cité)
7 ) Au contraire, le procédé que nous avons employé pour démontrer le théorème B , donne des limites supérieures qui augmentent, lorsque | a \ s'approche de s.
8 ) Pages 131—135 loc. cit. On trouvera des applications de ce théorème dans mes Mémoires, „Sur les surfaces définies au moyen de leur courbure. ' Ann. Sc. de l'Ecole Norm. 1910. „Sur les l'équations du calcul des variations." Ibid. 1912.

Équations aux dérivées partielles.
645
en remplaçant les dérivées des 9 premiers ordes par celles des 2 ordres seulement 9 ).
d z
Il suffira évidemment de prouver que sur la circonférence C,
est une fonction analytique de l'angle 6. Or ceci sera établi, si nous parvenons à construire une série majorante
yZ MJ" ^ MJ"
1 0
convergente pour des valeurs assez petites de 6, telle que (pour toute valeur de x ^ 0)
(30)
M K >
- 2 (y.) d Z { 1
d X -
(0,1)
M,>
8~ ¿
dx 8 y
(0,1)
etc. ,
d y ' z / /
où z (x) — satisfait à l'équation linéaire obtenue en différentiant (28)
y. fois par rapport à 6 que nous pouvons mettre sous la forme
F[ + F'
,oi , sV*' , p 'dz <*> , w dz^
( 31) r +
* dxoy ' 1 dy 2
+ F'z {x) = A ,
1 7 y. 7
+ F f
V dx 1 Q dy
ou
1
V
de"
JJ
. r
II
.*
1
1
de*
r
+ [W—
L r \dd y -
a 3 .r<*>
(«)
dx' f 3" r
de * a* z (x)
+ .. . + -F 2
F' d " S + . 4 -F'
s de" z se*
d z "
+ F
1 ä
d y i
3 -(*)
d'z
de"
dxdy
- +
d"q
dz
<*>
On vérifie d'abord par un calcul facile l'identité
(32)
8 r dd"
d'zl" 1 -, d*z<"~ l)  s 2 pî
Sx"
dxdy
*(x-l)(x- 2) o3 d'z (x ~ 3) 3! dxdy
+
x{x — 1) (x — 2) (j< — 3) 4!
2!
3 s z ( * _4)
r _(x-2)
3 a;"
*«<*-4)
dy
d'z { "~ 2) ays' z
dx"
dy
9 ) De plus, à cause de l'existence d'inégalités analogues aux inégalités fondamentales (2) dans le cas d'un anneau limité par deux circonférences concentriques (voir ma Note précédente, p. 593), les dérivées de z pourraient n'être bornées que dans le voisinage de C. Le cercle C peut être évidemment remplacé ici par une* courbe analytique fermée quelconque; mais l'étude du cas, où z ne serait analytique que sur un arc de courbe analytique seulement, présente des difficultés spéciales

046
S. Bernstein.
et des identités analogues pour les autres dérivées; donc, les inégalités (30) étant supposées remplies jusqu'à l'ordre y. inclusivement, on a
(30 biB )
8"r
86*
(0,1)
<N„,
8"s V 0 ' 1 '
de
* \ ' ' J R r
< N„ etc.,
où N x est défini par la série
Car
d"r 06"
(0,1)
, , < i/ x -|-h(2il/, 2 *M K - a
à cause de (32); et en même temps
8* +i r d'z L de x+1
2 _(x+l)
8 X-
(0,1)
< N X + l My, + 1 L x . , 1,
où L, est défini par le développement (sans terme libre)
co
(33) ' (e 2 0- l)(Jf 0 + &) = .
De plus, en supposant que M 0 I qui est une limite supérieure de
8" z
8 x s
(0,1)
[z\j¿' r > j est aussi supérieur à [%\ R ' / > \_y\ R ' r '> nous aurons
""l r \ 1 1 / J 1 11
aussi pour toute valeur de y.
8" x'
(34)
M 0 >
se"-
(0,1)
, .. M o>
Iî r r r i
8 y L ?6"
(0,1)
puisque toutes ces dérivées sont égales à + x et + y .
Par conséquent, en admettant que les inégalités (30), donc les inégalités (30 b,s ) également, sont remplies pour toutes les valeurs i < y,, nous
pouvons les utiliser pour limiter supérieurement [^]' 0 ; 1 ', , car A x est un
1 r \
polynome par rapport à ' ~ , ... (J < *)> a Y an t pour coefficients les
dérivées partielles de F prises pour les valeurs de r, s, ..., z, x, y . Donc, en tenant compte des inégalités pareilles aux inégalités (13) (nous supposons toujours que F est entière) et en supposant que [F' r ] { ^ 1.... %

Équations aux dérivées partielles. 647
sont inférieurs à un nombre positif H, on aura (grâce à (30 bl9 ), (33) et (84))
B, > [A,}^\ ,
i i
22
où est le coefficient de 0" dans le développement suivant les puissances de 0 de
(35) <p(b,d) = F(e*o(MMb), e 2 « (M 0 + b), ..., M 0 e°, M 0 e°)
- f{m 0 , m 0 ,...,m 0 )-b \f' t (m 0 , m 0 ) + i
+ 5JÏ(e*8- 1) (M 0 + b),
lorsqu'on remplace b par la série (29), dont les coefficients d'indices inférieurs à y. interviennent seulement, car ç?j((), 0) = ç>(0, 0) = 0. (D'ailleurs <p(b,0 ) est une fonction entière par rapport à b et 6).
Donc, grâce aux inégalités (2) qui sont applicables avec le même f ac teur À, quel que soit y., nous pouvons affirmer que la solution b de l'équation
b — X(p{b, 6)
donne précisément une série (29) qui converge pour des valeurs assez petites de 9, d'après le théorème des fonctions implicites, satisfaisant aux inégalités (30) pour toute valeur de y.. Le théorème est donc démontré 10 ).
10 ) En modifiant un peu les calculs (en faisant passer F z z dans le second membre de (31)) on peut facilement se débarrasser de l'hypothèse F z < 0 qui est utilisée implicitement dans la démonstration quand nous appliquons à (31) le théorème A.
(Eingegangen am 11. 5. 1926.)

Zur Integration der Wellengleichung auf Rieinannscheii
Flächen.
Von
A. Rubinowicz in Lemberg.
Í. Problemstellung.
Im folgenden behandeln wir ein Problem, das wir kurz in der nachstehenden Weise formulieren können:
F n sei eine n- blättrige Riemannsche Fläche mit beliebig vorgegebenen Verzweigungspunkten. Zur Zeit t = t 0 sei auf F n ein beliebiger Anfangszustand, d.h. die Werte von u = f(x,y) und ~—g(x,y) vorgegeben.
Es wird für t t 0 nach einer Lösung der Wellengleichung ^
gefragt, die dem angegebenen Anfangszustande entspricht und auf der
Fläche F n überall regulär ist.
Oder präzis gesprochen: Es ist eine Funktion u(x,y,t ) der Veränderlichen X, y, t zu finden, die den folgenden Bedingungen genügt:
1. u(x, y,t) ist für alle Punkte der Riemannschen Fläche F n mit eventueller Ausnahme der Verzweigungspunkte eindeutig definiert.
2. u(x,y,t ) erfüllt für t — t 0 die Anfangsbedingungen:
u = f(x,y) und = g(x, y) - 1 )
3. u (x, y, t ) ist samt ihren Ableitungen der beiden ersten Ordnungen nach ihren Veränderlichen für alle Werte von x, y, t endlich und stetig, mit Ausnahme der Verzweigungspunkte und der singulären Stellen, die durch die Anfangsbedingungen zur Zeit t — t 0 verursacht werden 2 ).
x ) Um die Beweise nicht zu komplizieren, nehmen wir im folgenden stets an. daß die Anfangswerte zur Zeit t = f 0 partielle Ableitungen der ersten drei Ordnungen nach x und y besitzen.
") Vgl. A. E. H. Love: The propagation of wave motion in an isotropic elastic solid medium, Proc. Math. Soc. London (2) 1 (1904), S. 291.

A. Rubinowicz. Wellengleichung auf Riemannsohen Flächen.
649
• d to
In den Verzweigungspunkten sollen u und —- endlich bleiben. Ist q
der Abstand von einem Verzweigungspunkte, so darf dagegen die Ableitung — hier zwar unendlich werden, aber doch nur so, daß
lim g = 0 wird.
e = o d e
4. u(x,y,t) genügt, bis auf die unter 3. genannten Ausnahmestellen, der Wellengleichung:
□ d" u 3 a u , d* u „
dx- dy- dt"
Die eben formulierte Aufgabe ist als ein Cauchysches Randwertproblem in einem Riemannschen Räume R n der Minkowskischen Welt x, y, t aufzufassen, wobei R n durch eine Bewegung der Riemannschen Fläche F n längs der senkrecht auf ihr stehenden Zeitachse t entsteht. Den Verzweigungspunkten der Riemannschen Fläche F n entsprechen dann in unserem Riemannschen Räume R u zueinander und zur Zeitachse parallele Verzweigungsgerade. Wir haben es hier also mit einem speziellen Riemannschen Räume R n zu tun, da seine Verzweigungskurven Gerade sind. Beliebigen Verzweigungskurven in R n entsprechen Riemannsche Flächen F n , auf denen die Verzweigungspunkte ihre Lage mit der Zeit ändern.
Im folgenden zeigen wir nun zunächst mit Hilfe von Eindeutigkeitssätzen, daß es zur Lösung des oben angegebenen allgemeinen Problems hinreicht, ein spezielles, in dem oben angeführten enthaltenes Problem zu lösen, wo die Riemannsche Fläche F n einen einzigen im Endlichen gelegenen Verzweigungspunkt besitzt. Die Lösung des allgemeinen Problems läßt sich nämlich durch „Zusammenstückelung" aus den Lösungen des speziellen Problems herstellen. Die Methode, mit der wir dabei die Lösung u(x, y , t) in diesem letzteren einfacheren Falle gewinnen, verwendet im wesentlichen die unter Benutzung des Charakteristikenbegriffes zuerst von Volterra 3 ) und dann von Hadamard 4 ) modifizierte Verallgemeinerung der Riemannschen Integrationsmethode. Die Funktion u(x, y, t ) werden wir demnach in unserem Spezialfälle mit Hilfe einer „Fundamentallösung" (analog der Lösung — im Falle der elliptischen Differentialgleichung Au = 0j und einer „Fundamentalformel" (analog dem Greenschen Satze) unter Verwendung einer von d'Adhémar 5 ) und Hadamard 4 ) zuerst eingeführten Operation herstellen, die als die Bildung des endlichen Teiles eines un-
3 ) Vito Volterra, Acta mathematica 18 (1894), S. 161.
4 ) J. Hadamard, Acta mathematica 31 (1908), S. 333.
5 ) R. d'Adhémar, Journ. de Mathématiques (5) 10 (1904), S. 131 und (6) 2 (1906), S. 357.
Mathematische Annalen. 96. 42

650
A. Rubinowicz.
endlichen Integrales (partie finie d'une intégrale infinie) bezeichnet wird. Dabei wird eine übersichtliche Einfachheit der Fundamentalformel, sowie eine gewisse Eleganz der Rechnung durch die Benützung des von d'Adhemar') eingeführten Begriffes der Konormalen erreicht.
Indem wir den Weg, der zur Herstellung der Fundamentallösung in dem obigen Spezialfälle dient, ein wenig verallgemeinern, werden wir gleichzeitig ein anderes Problem lösen, das wir folgendermaßen formulieren : In der x, i/-Ebene seien durch die Relation x + i y — r ■e iV die Polarkoordinaten r, (p eingeführt. Wir bezeichnen ferner mit K x ein Winkelgebiet, dessen Punkte durch die Ungleichungen 0 (p 0 <^r gegeben sind. Es ist dann eine Funktion u(x,y,t) zu bestimmen, die folgenden Bedingungen genügt:
u(x,y,t) ist auf K y mit eventueller Ausnahme des „Scheitels" r — 0 für alle Zeiten t t Q eindeutig gegeben.
2'. u(x,y,t) erfüllt für t = t 0 die Anfangsbedingungen:
u = f{x,y ) und ~ = g(x,y)
und auf den Halbgeraden cp = 0 und cp = y zu allen Zeiten die Randbedingungen :
a) i " = 0 oder ß) u = 0
' dn ' '
(n ist dabei die innere Normale an die Halbgeraden 99 = 0 bzw. cp = x)-
3'. u(x, y , t) ist samt seinen Ableitungen der beiden ersten Ordnungen, abgesehen von singulären Stellen, die durch die Anfangsbedingungen verursacht werden, und abgesehen von dem Punkte r = 0, für alle Punkte von Ky endlich und stetig. In dem Punkte r = 0 fordern wir die Endlich-
d u
keit der Funktion u selbst, sowie die der Ableitung — und verlangen ferner,
daß d -~ dort höchstens so unendlich wird, daß lim r = 0 ist.
Sr r=0 8r
4'. u(x,y,t ) genügt bis auf die unter 3'. angeführten singulären Stellen der Wellengleichung:
-- ^ d" u du i 9" it Q
dx' dy~ St'
Die jetzt formulierte Aufgabe stellt im x, y , t- Räume ein „gemischtes Randwertproblem" (problème mixte) dar. Sie wird nämlich teilweise durch „Cauchysche Randbedingungen" (die Anfangsbedingungen für t = t 0 ) und teilweise durch „Dirichletsche Randbedingungen" (die Bedingungen a) oder ß) für cp = 0 und cp — %) bestimmt. Wir bemerken noch, daß sich

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
651
durch „Zusammenstückelung" aus den obigen Funktionen das gemischte Problem für den Fall lösen läßt, wo die Berandung in der x, y-Ebene aus einem geschlossenen oder ungeschlossenen Streckenzuge besteht 0 ).
Schließlich bedarf es wohl kaum eines besonderen Hinweises auf die Tatsache, daß man in dem obigen Probleme die Cauchyschen Bedingungen statt auf der Ebene t — t 0 auch auf einer nicht ebenen Fläche S vorgeben kann, die, sonst beliebig, nur der Einschränkung unterworfen ist, daß ihre Normalen mit der ¿-Achse immer einen Winkel kleiner als ni 4 bilden.
Physikalisch von Interesse sind die Lösungen des durch 1. bis 4. bestimmten Problems in dem Falle, wo wir es mit einer zweiblättrigen Riemannschen Fläche zu tun haben, deren Verzweigungspunkte alle in einer Geraden liegen. Mit Hilfe des Thomson-Sommerfeldschen Spiegelungsverfahrens läßt sich nämlich aus solchen Lösungen der Wellengleichung das zweidimensionale Beugungsproblem für einen ebenen, vollkommen reflektierenden Schirm erledigen, in dem die beugenden Öffnungen von Geraden begrenzt werden, die zueinander parallel sind. Als wichtigste Beispiele nennen wir den Spalt und das ebene Gitter.
Die erwähnten, durch „Zusammenstückelung" aus den Lösungen des durch l\ bis 4'. bestimmten Problems hergestellten Funktionen stellen Lösungen noch allgemeinerer zweidimensionaler Beugungsprobleme dar, wo die Beugung an einer oder mehreren Zylinderflächen stattfindet, deren Erzeugende zueinander parallel sind und deren senkrechte Querschnitte aus geschlossenen oder ungeschlossenen Streckenzügen bestehen.
II. Eindeutigkeitsbeweis.
Zunächst wollen wir zeigen, daß die Lösung des Problems, das wir im Abschnitte I an erster Stelle formuliert haben, durch die dort angegebenen Bedingungen 1. bis 4. eindeutig bestimmt ist.
Um das Eindeutigkeitstheorem bequem aussprechen zu können, definieren wir einen Kegelraum K in der nachstehenden Weise: # a , î / 3 , t., sei ein Punkt in einem bestimmten Blatte des Riemannschen Raumes R n . Er soll über der Fläche t = t 0 liegen, es sei also i, > t 0 . Mit x 2 , y 2 , als Spitze errichten wir einen Halbkegel f 0 , dessen Punkte durch die Gleichung (x — x„) 2 + (y — y 2 ) 2 — [t — i 3 ) 2 = 0 gegeben sein mögen, also einen gewöhnlichen Kegel mit einem Öffnungswinkel von 90°, dessen Achse parallel zur t- Achse verläuft. Der Kegel F 0 wird nun im allgemeinen irgendwelche Verzweigungsgerade des Raumes R n schneiden. Denken wir uns dann die durch die betreffende Verzweigungsgerade gehende Erzeugende des Kegels aufgezeichnet, so möge die Kegeloberfläche längs jenes Teiles
°) A. Rubinowicz, Monatshefte für Math. u. Phys. 30 (1920), S. 65.
42*

652
A. Rubinowicz.
dieser Erzeugenden aufgeschnitten werden, der auf der Verzweigungsgeraden beginnt und nicht durch die Kegelspitze geht. Diese Kegelfläche r o soll nun in der Weise ergänzt werden, daß wir den eben erwähnten Teil der Erzeugenden des Kegels, längs dessen wir F 0 aufgeschnitten haben, um die Verzweigungsgerade rotieren lassen. Wir beginnen dabei mit der Rotation dieser Geraden bei dem einen Ufer des aufgeschnittenen Kegels r o und rotieren unsere Gerade entsprechend der Vielfachheit des betreffenden Verzweigungspunktes so lange, bis wir in dem Riemannschen Räume R n zum anderen Ufer von F 0 gelangen. Der so erhaltene Halbkegel möge mit r* bezeichnet werden. Trifft nun F* auf eine weitere Verzweigungsgerade, so möge der Kegel, der um diese neue Verzweigungsgerade aus F* in der gleichen Weise entsteht wie r* aus r o , mit r* bezeichnet werden. JT* sei dann ein aus I '* entstehender Kegel usf. Analog wird bei allen anderen Verzeigungsgeraden, die F () schneiden, vorgegangen. Die Gesamtheit aller dieser Kegel r*, F*, ... möge dann im folgenden kurz mit r* bezeichnet werden. Die aus dem Kegel F 0 und der Gesamtheit aller Kegelflächen r* bestehende Fläche bildet, wie man aus dem folgenden erkennt, den zur Wellengleichung und zum Räume R n gehörigen charakteristischen Kegel. Als den Kegelraum K wollen wir nun alle Punkte X, y , t bezeichnen, die innerhalb von j T 0 oder eines Halbkegels F v gelegen sind und deren ¿-Koordinaten der Ungleichung t 2 1t 0 genügen. sei dann jener Teil der Riemannschen Fläche F n , den die dem Zeitmomente t — t 0 entsprechenden Punkte von K bilden, fñ ist also sozusagen die Grundfläche von K.
Eindeutigkeitstheorem: Durch die Anfangsbedingungen auf fn ist eine den im Abschnitte I unter 1. bis 4. formulierten Bedingungen genügende Funktion u(x, y , t) in dem Räume K eindeutig bestimmt.
Den Beweis führen wir nach den bekannten Greenschen Methoden").
Zunächst definieren wir einen Raum R : Aus dem „Kegel" K bilden wir einen „Kegelstumpf", indem wir Ii durch die Fläche t = t 1 (t 2 >t i > t 0 ) schneiden und außerdem die Verzweigungsgeraden von K durch Zylinderflächen vom Radius q aus dem Räume R ausschließen. Dabei sollen mit fn die Schnittflächen von K und t = t x und mit Z r die (der Vielfachheit der Verzweigungsgeraden entsprechend vielfach gewundenen) Zylinderflächen um die Verzweigungsgeraden bezeichnet werden. Die Begrenzung (R) von R besteht also aus den Flächen f„, fn, F 0 und der entsprechenden Anzahl von Flächen F* und Z r .
Auf den Raum R und seine Begrenzung (R) wenden wir nun zu-
') Vgl. A. Rubinowicz, 1. c.

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
653
'i:
nächst eine schon von Volterra 8 ) benutzte Integralrelation an (Fundamental- formel) :
J/J ~ uUv } dx d V dt = jS{ u °dT- ~ V ¥v} df -
R <B)
u und V sind dabei zwei in R zweimal ableitbare Funktionen,
/ r\\ I 1 du () XI . d Itr
(2) □ U = - 2 — 0 H
dx dy dt
und endlich die Ableitung nach der inneren Konormalen 9 ), d. h. (im Falle der Differentialgleichung □ît = 0):
/o, 0 _ d d d
\ / 3 JTi o ~I fflo o JTn o . j
v J dv 1 dx 1 2 dy 6 dt
wenn n 1 , tt.. 2 , ji s die Kichtungskosinus der inneren Normalen an die Fläche (R) sind.
Setzen wir nun voraus, daß u der Differentialgleichung □ u = 0 genügt und V — ~ ist, so wird :
(R)
Wir bezeichnen die auf die verschiedenen Teile der Begrenzung (R) bezüglichen Integrale I mit 1. 0j I i, I usf. Um sie zu berechnen, nennen
' n >n 0
wir s die Entfernung von der Kegelspitze x„, y„, t„ längs der Erzeugenden auf F 0 und a die Entfernung von der Spitze eines Kegels r* längs einer Erzeugenden auf diesem Kegel. Ferner führen wir in jeder Fläche t = konst. Polarkoordinaten r,cp (bzw. q , y> ) ein, deren Ursprung in dem Durchschnittspunkte der Kegelachse F 0 (bzw. r*) mit der Fläche t = konst. liegt. Für die auf F 0 bzw. F* liegenden Punkte
ist dann r = und g = . Die Ableitungen (3) nach der Konormalen v sind dann auf den einzelnen Begrenzungsflächen von (i?) gegeben:
") Vito Volterra, 1. c.
°) Im allgemeinen Falle wird die Konormale in einem bestimmten Punkte P einer Fläche S durch die Richtung definiert, die zur Tangentialebene an S in P in bezug auf den charakteristischen Kegel, dessen Spitze durch P geht, konjugiert ist. Die Konormale fällt also in die Richtung der Tangentialebene, falls in dem betreffenden Punkte P der charakteristische Kegel die Fläche S berührt. In dem Spezialfälle der Wellengleichung wird die Richtung der Konormalen einfach durch Spiegelung der Normalenrichtung an der x, «/-Ebene erhalten.

654 A. Rubinowicz.
(4)
fn
durch :
d
dt '
fn
«
+— ' dt '
z,
d
dQ '
r 0
» I
U-
f+
or
A )
dt'
d
~~ Js
r*
»?
l(-
~ + de
d y
dt >
\=-± da
Es wird somit:
I^ít
h r
Ir.. =
f°
' »
//{-&+(£)>■ f,"
t I f d fdu\ du du 1 j .
JJ
•2-..
f f / m / d~ u . d~ u\ . du 1 /Su Ijz -
JJ IflT V drdt dt*) dt \l\dr dt ' i
T Iii«/' S m , g"it\ . 0M 1 /cht du \ i , „
= 11 ! ï? (- ¿íií + w) + T, W ~ « •' 1
Auf den gleichen Raum ñ wenden wir nun eine zweite aus dem Gaußschen Satze
(5) - fffdivadt =ff a n df
R m
folgende Integralrelation an. Wir setzen
a = curl [f. w-gradw] so daß div a = 0 und daher
I* = ff curl )( [f, u • grad u]df = 0
(R)
wird. Sämtliche Vektoroperationen sind dabei in dem x, y , t- Räume auszuführen. í bedeutet den Einheitsvektor in der Richtung der t- Achse und ti die nach innen gerichtete Normale. Nun ist:
curl [!, u • grad u\ = — • grad u — u- grad ^ + f {u à u + (grad u ) 2 }

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen. 655
und da die Normalenrichtungen bestimmt sind: auf der Fläche f,¡ durch: + f,
» » » fn " : — Ï»
„ ,1 » Z r » die Richtung von q ,
„ „ ,, r„ » den Einheitsvektor: : Leos m i L sin rot — -= :
0 \2 \2 ^2
=1= 1 . 1 . . 1
« » » r,.' » « n : ■= cos w t — — sin if j -=
\2 \2 \2
so sind die Beiträge, die die einzelnen Teile von (R) zu I* liefern, gegeben durch:
I*
f
*- J.fMS+&) +(£)'+ G ï) V
C
JJ{«(îl?+îF)+(5î) , + (Îï)> ft
fn
t * f C I du du d " it \ j ,
^' = JJ {-aTS5—
z v
r * f f í 1 3 m 0M . u d'u 1 f /3"w . 5"w\ , (dxi\~ .
- J.J {fï 8Ï är + ff - ff L »te + ,ir) + U + U J)« i* ff/4 d - u d Ji + JL-^-±\ u (pt + + ( 3 -^f + (^) 8 ] \ df.
>■ JJ l|2 dt dg \2dgdt \2 L \dx 2 dy 2 ' ^dx' --dyJ I r*
Nach dem Obigen ist nun I-\-I*=0 und daraus folgt unmittelbar unser Eindeutigkeitstheorem. Um diese Summe zu bilden, bemerken wir, daß mit Rücksicht auf □ u = 0 :
7 '»° + z í = JJ{(£) + (S) + (IT) } du
f 0 '«
;+4 = -JJ{(S) S +(^) 5 +(S)>^
Ferner ist:
fn
7* o f Í 8u J r
h ' - - 2 JJ ^ - i( -
Z„
dt de
Mit Rücksicht auf □« = (), (|5) + gj) = (g) + r V (^) wird weiter

656 A. Rubinowicz.
und schließlich analog:
r*
Lassen wir nun das q des Z v gegen Null gehen, so wird mit Rücksicht
darauf, daß lim^ endlich ist, limg^ = 0 wird und df=gdyjdt ist: e=o 61 e=o e
lim ( l Zy -j- Iz v ) — 0 . e=o
Somit entsteht im Grenzfalle g = 0 aus I-¡-l* = 0 die Relation:
SS {& + ®)'+ (£)>-JJ{(£)»+ (£)'+ («)*}
0 f l
' n ' n
- ffi{— (—) 3 +(— VW
J J C2 l r- \d<pl \dr St>\
F i
SSMÉd'+k-W}«-*-
df
V
X /
wobei die Summe über alle in Betracht kommenden Kegel F* zu erstrecken ist ,Ja ). Mit Hilfe dieser Beziehung können wir jetzt sofort unser Eindeutigkeitstheorem beweisen.
Nehmen wir nämlich an, es gäbe zwei Funktionen u x und u„, die beide in R die im Eindeutigkeitstheorem angeführten Eigenschaften besitzen, so müßte ihre Differenz U =u x — u. 2 mit Rücksicht darauf, daß beide Funktionen auf f„ die gleichen Anfangsbedingungen erfüllen, der Gleichung
- SS ®+ 0+ (%)>-SSM ¿0+ (£ - f )*} "
l'n H"
Jj]2\o°\dw/ \d g dt ' )
' »i* K
1 V
genügen. Da alle Integrale das gleiche Vorzeichen besitzen, so muß aber
, .i SU SU SU A auf f n — = — = — = 0,
Sx 8y dt '
9a ) Anrn. b. d. Korrektur. Einfacher ergibt Bich die letzte Beziehung aus dem Gaußschen Satze und der in Hinblick auf Ow = 0 identisch erfüllten Relation:
S t Su Su\ Si S u du \ d 1 f^ u \ 3 , (Su \ 2 ; / Su Sx l St Sx) ' Sy \ St Sy) 1 St '2 \SxJ 1 \SyJ 1 \3t
= 0.

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
657
, „ dU dU A auf F r — = —z— = 0,
0 dtp cLs '
, „* SU du n und » 1 v = -j— = 0
oip da
sein. Es ist also auf den genannten Flächen w, — u„ — konst.. Da aber u x und u 2 auf die gleichen Anfangsbedingungen erfüllen, so muß auf der Schnittlinie von f n ° mit j T 0 und mit den F v u 1 =u 2 sein. Wegen der Stetigkeit dieser beiden Funktionen muß aber dann auch auf allen anderen hier in Betracht kommenden Flächen u x — u., sein. Daraus folgt zunächst, daß u insbesondere auch auf der Fläche fn eindeutig bestimmt ist.
Da aber die Lage der Fläche f], d. h. des Schnittes von t = t 1 mit K, nur der Bedingung t„>t 1 > t 0 unterworfen ist, so wird die Funktion m(x, y, t ) durch die auf f n ° vorgegebenen Anfangswerte im ganzen Räume K eindeutig festgelegt. Damit ist also unser Eindeutigkeitstheorem vollständig bewiesen.
Mit Hilfe unseres Eindeutigkeitstheorems läßt sich nun das im Abschnitt I durch die Bedingungen 1. bis 4. bestimmte Problem auf ein viel einfacheres reduzieren. Wir behaupten nämlich: wir können das in Rede stehende Problem für den Fall einer beliebig vorgegebenen Riemannschen Fläche F n bewältigen, wenn wir es für Riemannsche Flächen <P n , die nur einen einzigen Verzweigungspunkt im Endlichen besitzen, lösen können.
Denken wir uns nämlich in dem zu der Fläche F n gehörigen Riemannschen Räume einen Kegelraum K gegeben, der so gelegen ist, daß er keine oder höchstens eine einzige Verzweigungslinie dieses Riemannschen Raumes enthält, fn sei wieder die durch K aus F n herausgeschnittene Riemannsche Fläche. Nach unserem Eindeutigkeitstheorem werden durch die auf fn gelegenen Anfangswerte die Werte der Funktion u innerhalb K eindeutig festgelegt und zwar unabhängig davon, welche Anfangswerte auf F n außerhalb fn vorgeschrieben sind und unabhängig davon, wie die Riemannsche Fläche weiter außerhalb fn verläuft. Wir erhalten also offenbar innerhalb K die gleiche Funktion u, ob wir f„ nun weiter zu einer nur einen einzigen Verzweigungspunkt im Endlichen besitzenden Riemannschen Fläche & n oder zu einer beliebigen Riemannschen Fläche F n ergänzen. Nach unserer Voraussetzung, daß wir unser Problem für die Riemannsche Fläche & n lösen können, ist es uns also möglich, auch auf der Fläche F n für jeden solchen Raum Ii die Funktion u anzugeben. Daraus folgt aber, daß wir im Falle der Riemannschen Fläche F n die Funktion u(x, y, t ) für alle Punkte des zu F n gehörigen Riemannschen Raumes angeben können, die innerhalb irgendeines Raumes K gelegen sind, der höchstens eine Verzweigungsgerade des zu F n gehörigen Riemannschen Raumes enthält. Bezeichnen wir mit l die Entfernung der beiden Ver-

(558
A. Rubinowicz.
zweigungspunkte auf F n , die den kleinsten Abstand voneinander besitzen, so sieht man leicht ein, daß u nach dem Obigen sicher für alle Raumpunkte angegeben werden kann, deren t- Koordinaten der Ungleichung
4 > t - t 0 ^ 0 genügen.
Ist nun t' ein die obige Ungleichung befriedigender i-Wert, so können wir u und ~ für t' auf der ganzen Fläche F n berechnen. Benützen wir diese Werte als Anfangswerte, so können wir die Funktion u für alle ¿-Werte berechnen, die die Ungleichung — erfüllen,
ein Verfahren, das wir offenbar beliebig oft fortsetzen können. Wir erhalten so durch ein Verfahren, das wir als die Zusammenstückelung der zu F n gehörigen Lösung u(x,y,t) aus den zu <I> n gehörigen Lösungen bezeichnen können, die Funktion u(x,y,t) in dem ganzen der Riemann- schen Fläche F n entsprechenden Räume R n für alle Zeiten, die der Ungleichung t^ît 0 genügen.
III. Anwendung des Spiegelungsverfahrens auf das gemischte Problem.
Wir wollen nun zeigen, wie wir durch Anwendung des Spiegelungsverfahrens unser gemischtes Problem l'. bis 4'. auf ein einfacheres zurückführen können. Um dies zu erreichen, stellen wir die Lösung u(x,y,t) = u[r,cp,t) unseres gemischten Problems, je nachdem sie die Randbedingungen a) oder ß) erfüllen soll, als Summe bzw. als Differenz zweier Funktionen u l und u., dar, die auf einer, einen einzigen Verzweigungspunkt im Endlichen enthaltenden unendlichvielblättrigen Riemannschen Fläche definiert sind. Die Punkte auf legen wir durch Polarkoordinaten r, rp fest, deren Ursprung in dem Verzweigungspunkt von 0^ liegt. Die Funktionen ííj und u., bestimmen wir durch die Anfangsbedingungen:
jy , \ d W-t / \
( r >(P)> ~df =g
u 2 = f 2 (r,cp), d ^ = g 2 (r, <p), die wir in der nachstehe nden Weise wählen: Ist zur Zeit t = t 0
u = f(r,tp), = g(r, <p),
so setzen wir zunächst im Bereiche % ^ ^ 0 : im Falle der Randbedingung a ): » » » » ß) : f = /i — f. 2 •
Weiter bestimmen wir in beiden Fällen die Funktionen f x und / 2 auf der ganzen Fläche in der Weise, daß sie bei einer Spiegelung an der

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen. 659
Geraden cp — 0 wechselweise ineinander übergehen (es ist also f\(r,<p) — fi{ r > — <P) und f*¡(r , 9 o) = f y (r, — cp )) und in bezug auf die Veränderliche cp periodisch mit der Periode 2% sind. In der gleichen Weise definieren wir auf í> x unter Zugrundelegung der Funktion g(r, cp) die Anfangswerte <7j und g 2 .
Wir können nun, wie dies sofort gezeigt werden soll, eine allen Bedingungen 1'. bis 4'. unseres gemischten Problems entsprechende Funktion u herstellen, wenn es uns gelingt, zwei den nachstehenden Bedingungen 1 ". bis 4 . genügende Funktionen u i und v 2 anzugeben:
l". m, und u„ sind in dem durch die Ungleichungen 0 r, — co < cp < -j- oo, t 0 ^ t
bestimmten Bereiche des zur Fläche <Z> X gehörigen Riemannschen Raumes eindeutig definiert.
2". u 1 und u„ erfüllen für t — t 0 die Anfangsbedingungen:
. du.
= -3T = 9I>
« ÖUo
^ 9 t -2> fj f 9'1 ■
3". u i und u„ sind samt ihren Ableitungen der beiden ersten Ordnungen, abgesehen von der Verzweigungsgeraden und abgesehen von den singulären Stellen, die durch die Anfangsbedingungen zur Zeit / = t 0 verursacht werden, überall in dem in 1 . genannten Räume R x endlich und stetig. In der Verzweigungsgeraden sind und sowie ihre Ableitungen
™ und ~ endlich, ihre Ableitungen und werden hier aber dt 01 0 dr dr
d w r
höchstens in einer solchen Weise unendlich, daß lim r —— = 0 ( v— 1, 2) ist.
r=o cr
4". u x und u 2 entsprechen im allgemeinen, d. h. mit Ausnahme der unter 3". genannten singulären Stellen, der Differentialgleichung:
,2 ,2 3 2
^ du 01 1 0 u p
dx" dy~ dt*
Wir behaupten nun: Die beiden Funktionen
u' = u 1 + u„ und u" = u i — ?/.,
stellen für den Fall der Randbedingungen «) bzw. ß) die Lösung unseres gemischten Randwertproblems dar. In der Tat ist ja sofort zu sehen, daß u' und u" sämtlichen für u vorgeschriebenen Bedingungen 1'. bis 4'. genügen. Nur das Erfülltsein der Randbedingungen an den Ebenen cp = 0 und cp = X erfordert eine kleine Betrachtung.

660
A. Rubinowicz.
Mit Hilfe unseres Eindeutigkeitstheorems erkennt man zunächst leicht, daß auch die Funktionen. u i und u„ die nachstehenden, ihren Anfangsbedingungen auferlegten Eigenschaften besitzen : Sie gehen bei einer Spiegelung an (p = 0 wechselweise ineinander über und sind in bezug auf die Veränderliche cp periodisch mit der Periode 2 %.
Daher ist
u^r, 0, t) = m 9 (r, 0, t),
- e ~u,(r,0,t),
was aber nichts anderes bedeutet, als daß die Funktionen u' und u" die Randbedingungen 2'. an der Ebene cp = 0 erfüllen.
Um noch zu zeigen, daß sie auch den Randbedingungen an der Ebene cp — X genügen, bemerken wir, daß nach den jetzt angeführten Eigenschaften von u 1 und u 3 :
(r, X, *) ■= M r > — = !■> l ) >
= ^u,{r,x,t)
ist.
Nun sieht man ohne weiteres, daß unser durch 1". bis 4". definiertes Problem, das durch 1. bis 4. bestimmte als Spezialfall in sich schließt, falls die Riemannsche Fläche F n nur einen einzigen im Endlichen gelegenen Verzweigungspunkt hat. Setzen wir nämlich in unserem jetzigen Problem % = mn [m — 1, 2, 3, ...), so ist die in diesem Falle auf definierte Funktion schon auf einer m -blättrigen Riemannschen Fläche ( J> m eindeutig darstellbar. Nach den Überlegungen im Abschnitt II genügt es also, das jetzige Problem zu lösen.
Dies kann jedoch erst im Abschnitt VI geschehen, da wir in dem nun folgenden Abschnitt IV an ein zur Bewältigung unserer Aufgabe erforderliches Hadamardsches Operationssymbol erinnern und im Abschnitt V zunächst die Fundamentallösung für unser Problem herstellen müssen.
IV. Ein von Hadamard eingeführtes Operationssymbol 10 ).
Wir betrachten das Integral
r (*)= f — dx,
J (b-x)P +a
wo p eine ganze Zahl bedeutet und a zwischen 0 und 1 gelegen ist, ohne jedoch diesen beiden Grenzen jemals gleich zu werden. Von der Funktion A(x) setzen wir voraus, daß sie mindestens (p— l)-mal ableitbar ist
10 ) J. Hadamard, 1. c.

■EH Pi
J? —
Wellengleichung auf Riemannsohen Flächen.
661
und daß ihre (p — l)-te Ableitung A [ '' V (x) die Bedingung von Lipscliitz (! A {v ~^ (b) — A (v ~ x) (x) I < K- 1 b — x I) erfüllt.
Ist p > 0, so ist im allgemeinen der lim l(x ) nicht vorhanden. Es
x—b
läßt sich aber leicht zeigen, daß in diesem Falle zu l{x) eine Funktion der Form
B(x)
(b-x)P- 1+a
addiert werden kann, so daß der Grenzwert
I(x)
B(x)
(7) lim _ ,
v ; x =b 1_ (b — x)V~ 1 + a
existiert. Setzen wir voraus, daß B(x) ebenfalls p— 1 Ableitungen besitzt und daß seine (p — l)-te Ableitung die Bedingung von Lipschitz erfüllt, so ist der Grenzwert (7) von der sonstigen Wahl der Funktion B \x) unabhängig, wird von Hadamard mit
(8)
f
J (b - x)P +a
dx
bezeichnet und heißt der endliche Teil des unendlichen Integrals:
b
j i
dx.
J
A(x)
(b - x) v + a
Es ist nicht schwer, für den Wert der durch den Hadamardschen Operator angedeuteten Operation (8) einen Ausdruck in den gebräuchlichen Operationssymbolen zu geben. So ist z. B. in dem für uns in dem folgenden allein in Betracht kommenden Falle p = 1 :
u
l
A{x)
(6 - x)
1 + u
dx =
J (b-x) 1+a
A(b)
a{b- a )"
Es ist nun für das weitere sehr wichtig zu bemerken, daß der Ausdruck (8) im Falle, wo b und A(x) von einem Parameter t abhängen:
b = b(t), A(x) = A(x,t)
in der Weise nach t abgeleitet werden kann, daß man einfach unter dem Integralzeichen den Integranden nach t differenziert. Es ist also:
d_ dt
U
J
A (x, t) (b(t) -x) p+a
dx =
Í
dA dt
,(b — x) p+
i~(P + «)£
A
dt (b-x) p+1+a
dx.

662
A. Rubinowicz.
Die Definition des Hadamardschen Operationssymbols läßt sich auch leicht auf den Fall mehrfacher Integrale erweitern: Es sei Teine n-dimensio- nale Mannigfaltigkeit, deren Punkte durch die rechtwinkligen, kartesischen Koordinaten x 1 ,x 2 ,...,x n bezeichnet werden mögen und die abgesehen von anderen auch durch die Fläche
r (x 1 , x. 3 , ..xj = 0 begrenzt wird. Unter dem endlichen Teile
(9)
jj ix% dXt ... ix¡
T
des über das Gebiet T erstreckten Integrals
JJ JA (r 11 _^__, dx ^ dx ^
T
wird dann folgendes verstanden: Sind A, , A.,, ..X n _ 1 , r krummlinige Koordinaten und
dx 1 dx 2 ... dx n = K-dk 1 dl.... dA n _ 1 dF, so ist der Ausdruck (9) gleich
JJ
11-1
Es läßt sich somit, wie dies ja aus ( 7) unmittelbar folgt, der Ausdruck (9) als der Grenzwert der Differenz eines w-fachen und eines (n — l)-fachen Integrals auffassen.
V. Die zu unserem Randwertproblem gehörige Fundamentallösung.
Hadamard 11 ) gewinnt die Lösung des Cauchyschen Problems mit Hilfe der Fundamentallösung der partiellen Differentialgleichung, die zur gegebenen adjungiert ist. Unsere Differentialgleichung (Wellengleichung) □ u = 0 ist nun mit der zu ihr adjungierten Differentialgleichung identisch. Um hier das Cauchysche Problem zu lösen, wird man also die zur ursprünglich gegebenen Wellengleichung □ u — 0 gehörige Fundamentallösung zu bilden haben. Diese wird nun, falls x, y , t die Spitze und x , y, t einen Punkt im Innern des charakteristischen Kegels
r o= — (z — #) 2 — {y— y)"" + {t — t)"" — 0
") J. Hadamard, 1. c.

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
663
bezeichnet liür solche Punkte x,y,t ist F 0 > 0), dargestellt durch die Funktion:
1 _ . 1
\r 0 \-(x-x)*-(y-yf + (t-t) 3
Um die Funktion w(r,cp,t; r,<p,t\ %), die die obige Fundamentallösung in unserem Randwertproblem ersetzt, bequem definieren zu können, wollen wir zunächst die zu ihr gehörigen charakteristischen Kegel angeben. Dabei legen wir die Punkte in dem der Riemannschen Fläche ^ entsprechenden Riemannschen Räume R x durch die Zylinderkoordinaten r,cp,t fest, wie wir es im Abschnitt III getan haben. Um die Lösung unseres Problems gleich in einer entsprechenden Form zu erhalten, wollen wir dabei w so definieren, daß schon die im Bereiche 0 <r, auf der Fläche liegenden Anfangs werte der Funktionen u 1 und u., (die im folgenden beide einfach mit u bezeichnet werden sollen) zur Herstellung der Lösung genügen. Dies bedingt, wie man aus dem folgenden sieht, daß w in bezug auf die Veränderliche cp periodisch mit der Periode 2 % ist und daher der charakteristische Kegel jT 0 in R x in unendlich vielen Exemplaren auftritt.
Um nun die charakteristischen Kegel anzugeben, fassen wir in R einen Punkt ins Auge, der die Koordinaten x, y , t besitzen möge. Die entsprechenden Zylinderkoordinaten seien r, <p, t. Errichten wir nun in R x mit diesem Punkt als Spitze einen zur Differentialgleichung □w=0 gehörigen charakteristischen Kegel F 0 = 0, so lautet seine Gleichung:
(10) r„ = - (x — x) s - (y — 2/) a + (i — Í) 2
— — r" — f' 3 + 2 r r- cos (<p — cp) + (t — i) 2 = 0
(— 71 < ÇJ — Cp < + Jl).
Dabei ist der den Variabilitätsbereich der Veränderlichen cp beschränkende Zusatz ganz besonders zu beachten. Durch die Gleichung P 0 = 0 allein würde nämlich eine unendliche Anzahl solcher Kegel (10) dargestellt werden, deren Spitzen in R x in den Punkten f, ~cp + Zvn, t gelegen sind. Der Zusatz besagt aber, daß die beiden Geraden:
cp — cp - r ti, r o = 0 und cp = <p — n, r 0 — 0
eine Begrenzung der Kegelfläche r o — 0 bilden, mithin _T 0 durch die Verzweigungsgerade r = 0 sozusagen aufgeschnitten wird, wie wir es uns schon beim Beweise des Eindeutigkeitssatzes vorgestellt haben.
Errichten wir nun in R x weitere ebensolche charakteristische Kegel auch in den Punkten:
r,y + 2vx,t, (v — 0, ±1, + 2, + 3,...) von denen jeder durch eine um die Verzweigungsgerade, um den ent-

664
A. Rubinowicz.
sprechenden Winkel — 2v % ausgeführte Drehung in den Punkt r, cp, t übergeführt wird, so lassen sich alle diese Kegel durch die Gleichnng:
(11) r r ~ — r~ — r~ + 2 rP-cos (cp — cp + 2 v%) 4- (t — t ) 9 — 0,
— n<~cp — <p-\-2v%<-\-Jt (r = 0, ± 1, ± 2, ... )
darstellen. Ferner werden bei der Funktion w die beiden unendlich viel - blättrigen Kegelflächen:
r* = — (r +r) 2 +(i — t)~ = 0, (— oo<<p<+oc)
/'** - (r-r'f + (t- t)" — 0, ( oo < <p < + oo),
von denen wir r* schon von früher her kennen, eine ausgezeichnete Rolle spielen. Sie entstehen durch eine in um die Verzweigungsgerade als Achse stattfindende Rotation der in Fig. 1 ausgezogenen Geraden. Jeder Kegel /'* und r** besteht aus je zwei einfachen Halbkegeln, deren Spitzen in zwei verschiedenen Punkten der Verzweigungsgeraden gelegen sind. Man kann sich auch F* bzw. I'*"' durch ein Auseinander- bzw. Ineinanderschieben von zwei Halbkegeln entstanden denken, die zusammen einen unend- lichvielblättrigen Doppelkegel bilden. Die Spitzen der beiden Halbkegel F* fallen aber mit den Spitzen der beiden Halbkegel F*'" zusammen. Wir bemerken noch, daß in den beiden Geraden :
(12) r v — 0, cp — ~cp-\- 2v% + n {v = 0, ± 1, ± 2, ...),
die einen Kegel F r begrenzen, der Kegel F v die beiden Kegel r * und F* v berührt und daß ferner die beiden auf der Verzweigungsgeraden gelegenen Punkte :
r = 0, t — t ázf
zugleich allen Kegeln F t , sowie den beiden Kegeln 2'* und /" " gemeinsam sind.
Wir definieren nun die die Fundamentallösuno; -4= ersetzende Funktion
(~r,t) <
iv(r,ip,t\ r,<p,t; %) in der nachstehenden Weise:
T r o

Wellengleichung auf Riemannschen Flachen.
665
1*. Die Funktion w ist in allen Punkten des Raumes R x eindeutig definiert, die einer der beiden Bedingungen:
a) r„> 0 und — n y — oder b) r* 0
genügen, d. h. in allen Punkten von R x , die innerhalb eines Kegels r v oder innerhalb des Kegels F* gelegen sind. Dieser Raum soll R* heißen.
2*. In R* ist w überall endlich. In den Kegelflächen JT,. = 0 wird w wie —}== unendlich. Ferner ist w, abgesehen von den charakteristischen
Kegeln r v und r*, überall stetig und besitzt außerhalb der genannten Stellen und der Verzweigungsgeraden r = 0 stetige partielle Ableitungen beliebiger Ordnung nach r,cp,t. In der Verzweigungsgeraden sind w und
endlich und wird hier höchstens so unendlich, daß lim r ~ = 0
St dr r—0 8r
wird.
3*. Abgesehen von diesen singulären Stellen genügt ferner die Funktion w in allen Punkten von R* der Differentialgleichung:
8'w 8~w . d'w _
□ ^eee — 2 = 0.
dx 2 dy* g t 2
4*. w ist schließlich in bezug auf die Veränderliche 9? periodisch mit der Periode 2%.
Zur Herstellung der Funktion w könnte man sich nun vollständig analoger Betrachtungen bedienen, wie sie etwa Sommerfeld 13 ) in der Theorie der Beugung benützt. Auf einem solchen Wege gelangt man zum folgenden Resultat: Wir behaupten: w ist der Realteil der durch das nachstehende Integral dargestellten Funktion:
(13) W(r,<p,t;r,y,t;x)
2 x J y_ r3 _ ? 2
d
Ci
! + 2 r r cos {cp — a) + ( t — i) ' i -<* i-<p (0¡+üJ e X —e X
Der Integrationsweg (Z7 X + ?7 3 ) ist dabei in der komplexen «-Ebene über die Schleifen (Í7 X ) und (U. 2 ) zu erstrecken, wobei ([7J z. B. von cp n co i -\- i co bis cp — n -f- <y„ + i 00 und ( U. 2 ) von — n — co a — i 00 bis cp -f- 71 — u> i — ¿00 läuft. In den obigen Integrationsgrenzen ist dabei für die reellen Konstanten co v eine der Ungleichung 0 co v entsprechende Wahl zu treffen. (Vgl. Fig. 2, in der alle œ v = co einander gleich
12 ) A. Sommerfeld, Math. Ann. 47 (1896), S. 317. Eine Übersicht über die Sommerfeldsche Theorie der Beugung gibt P. S. Epstein in der Enzykl. d. math. Wiss. Bd. V 3 , S. 488. (Anmerkung bei der Korrektur.) Vgl. auch Sommerfelds Beitrag zur neuen Riemann-Weber-Ausgabe, 2, Kap. XIII (im Erscheinen). Mathematische Annal en. 96. 43 .

666
A. Rubinowicz.
angenommen sind und die dem Falle entspricht, daß r > 0 ist, der Punkt r, cp, t also innerhalb des Kegels T* liegt.)
Von den Integrationswegen (Oj) und ( K¡ ) wird weiter vorausgesetzt, daß sie über die im Endlichen gelegenen singu- lären Stellen des Integranden der Funktion W nicht hinübergezogen werden dürfen. Dabei sollen die von der Funk-
(p-Zjr-tßi
(ü
<P+ßi ex,-Ebene
tion
herrührenden, auf der
l -a '/. —
i - cp
> y.
(p-t2
reellen Achse der «-Ebene befindlichen einfachen Pole
(14J <p + 2r%
Fig ' 2 - (v4 0, + 1, ± 2, ...)
alle stets außerhalb des von (V t ) bzw. von (U„) umschlossenen Gebietes liegen. Von den unendlich vielen, durch die Quadratwurzel des Integranden bedingten Verzweigungspunkten:
a — cp + ß 1 -[-2fX7i (/t = 0, ±1, ±2,...)
(15)
ß 1 — arceos
r 2 + r-'-(¿ — 2 IT
arceos
2rr
1
sollen sich aber die beiden
(16) <P + ß i uncl 9? — ßi
stets innerhalb (U^ bzw. (U 2 ) befinden, während alle übrigen Verzweigungspunkte der Wurzel insbesondere auch
(p — 2 n -f- ß i und 99 -(- 2 71 — ß 1
stets außerhalb der Schleifen (Z7 X ) und (£7 3 ) liegen sollen.
Das Vorzeichen der in (13) in dem Integranden auftretenden Quadratwurzel ist so festzulegen, daß die Wurzel auf der reellen Achse der «-Ebene, falls hier kein Verzweigungspunkt des Integranden liegt (vgl. unten), einen positiven Wert hat. Die zu den Verzweigungspunkten (16) gehörigen Verzweigungsschnitte sollen in der «-Ebene innerhalb (ZTJ bzw. innerhalb ( Z7 2 ) so ins Unendliche verlaufen, daß sie von diesen Integrationswegen nicht geschnitten werden.
Wir wollen noch ausdrücklich darauf hinweisen, daß die Integrationswege (£7j) und (U.,) und die Verzweigungspunkte q} + ß 1 -\-2/uti sich
. . . I y 2 Ç ^ ^ \
mit cp zugleich ändern, jedoch derart, daß, falls der Ausdruck = —

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
667
seinen Wert beibehält, ihre gegenseitige Konfiguration die gleiche bleibt. Die in den Punkten (14) befindlichen Pole haben dagegen eine von 90 unabhängige Lage. Im folgenden ist auch immer zu beachten, daß der Punkt a = 00 für unseren Integranden eine wesentlich singuläre Stelle ist.
Schließlich sieht man noch sofort, daß das Integral (13) im allgemeinen konvergieren wird, d. h. mit eventueller Ausnahme der Fälle, wo die Verzweigungspunkte des Integranden ins Unendliche rücken oder wo der Integrationsweg gezwungen wird, durch einen singulären Punkt des Integranden hindurchzugehen. Der Integrand von (13) verhält sich nämlich, falls die Verzweigungspunkte im Endlichen liegen, im Unendlichen auf den Geraden 91 («) = cp + n ± co v , wenn wir die Integrationsveränderliche a durch die Gleichung a=(p±n + m v -{-ia einführen, für große
negative a wie e ¿ und für große positive a wie e '* .
Bevor wir zur Diskussion der Funktion w = 9Î ( W) übergehen, wollen wir sie noch in reeller Form angeben, da sich aus dieser Darstellung einige ihrer Eigenschaften mühelos folgern lassen. Bei dieser Umformung müssen wir über die Lage der Verzweigungspunkte
(17) <P±ßx, ± (Zn — ßi)
näher orientiert sein. Liegt zunächst der Punkt r, cp,t innerhalb des Kegels r*, so ist 1 > 0 und infolgedessen
cos ß x = - - 1 < - 1 .
Setzen wir
ß 1 =ia 1 +n,
so wird
(18) cos ia í — ^—1. + 1,
a x also reell sein. Die Punkte (17) liegen daher unter dieser Voraussetzung in der «-Ebene in
<P ±.(¿ + n) und cp 4: (ia 1 — n),
also auf den Geraden 9 \(a) — <p + n symmetrisch zur reellen Achse der «-Ebene. Diesem Falle entspricht die Fig. 2. Nähert sich nun der Punkt r,cp,t der Verzweigungsgeraden r = 0, so wird, wie aus (18) zu ersehen ist, «j gegen +00 wandern. Nähert sich aber r,<p,t dem Kegel F* = 0, nimmt also P*> 0 ab, so wird a 1 kleiner, und wenn der Punkt r, cp, t in die Kegelfläche r* = 0 zu liegen kommt, verschwindet a x und die beiden auf jeder Geraden 9Î («) = 99 + 71 bzw. 9î(a) = <p — n befindlichen Verzweigungspunkte fallen miteinander zusammen. Für r*= 0 muß also der Integrationsweg ( U 1 ) durch den Punkt u=<p-\-7i und der Weg ( U„ )
43*

668
A. Rubinowicz.
durch den Punkt u= cp — ji gehen. Ist endlich der Punkt r, cp, t außerhalb des Kegels F*, aber innerhalb F** gelegen (F* < 0, F** > 0), so ist
p* T->* *
— 1 < — H —=" — 1 = COS ß 1 = Ö —— 1 < ~f~ 1 •
2 rr 11 Irr
ß 1 hat jetzt also einen reellen Wert und die uns interessierenden, auf der Strecke <9 o — n, cpn) befindlichen Verzweigungspunkte liegen nun auf der reellen Ache der a -Ebene und zwar in den Punkten
cp -!- ß 1 und <p — ß 1 .
Wir können uns daher vorstellen, daß sich die beiden Verzweigungspunkte cp ± (n + ia^) mit abnehmendem F* auf den ausgezogenen Wegen (1)
und (2) der Fig. 3 im Sinne der Pfeile bewegen. Die beiden Verzweigungspunkte (p + (n — ia^) werden dann auf den gestrichelten Wegen (3) und (4) in die Punkte <p±(2n — ß 1 ) übergehen müssen. Es soll aber betont werden, daß, wenn im folgenden gemäß der oben erwähnten Möglichkeit stets angenommen wird, die Verzweigungspunkte cp + ß 1 verschöben sich in der in Fig. 3 angedeuteten Weise, dies eine wesentliche und notwendige Ergänzung der früher angegebenen Definition der Funktion W ist. Berücksichtigen wir nämlich unsere Voraussetzung, daß (U t ) und (£7 a ) üher singuläre Punkte nicht hinübergezogen werden dürfen, so werden wir jetzt folgerichtig mit abnehmendem F* die genannten Integrationswege so, wie dies Fig. 4 anzeigt, deformieren.
Wir wollen nun die gesuchte Darstellung der Funktion w = 9Î ( W) zunächst in dem Falle angeben, wo die Verzweigungspunkte cp + ß 1 des Inte- granden von W in den Geraden 3Ï («) = cp + n gelegen sind. Zu diesem Zwecke müssen wir nur die Integrationswege (F x ) und (CTg) in die beiden Gera- Fig. 4. den 3î(«) = 99 + 71 und das zwischen
1
1 1
M Î
i
(1)
1
1
1
I
1
I
II
__ <p+JZ
ÇP-7C^
r- i
1
Í2)
\
\(J)
1
1 1
1 1
Fig. 3.

Wellengleichung auf Riemannschen Fläohen.
669
ÍUJ
ihnen befindliche Stück der reellen Achse der «-Ebene deformieren. Die Verzweigungspunkte und Pole des Integranden in (13) sind dabei mit kleinen Halbkreisen zu umgeben (vgl.
Fig. 5).
Zunächst erkennt man, daß die auf der reellen Achse verlaufenden Teile der deformierten Integrationswege ( U 1 ) und (i/ 3 ) sich bis auf die Schleifen um die hier etwa vorhandenen Pole (p •}- 2 v%(v = 0, +1, ±2,...) des Integranden der Funktion (13) gegeneinander wegheben. Eine Schleife um (p + 2 v / gibt aber nach dem Cauchy-
(ß-<7L;
1
) (p-X+iCL i
Wz
^ JÜ "LCL-j
<p
<
CuJ 1 <
}<p+JC+i(Li
cp+Jl
Fig. 5.
sehen Residuensatze die Funktion
1 1r v
Das Residuum —=.• ist daher stets vor-
fr:
handen, sobald der entsprechende Pol q> -\-2v% a uf d er Strecke cp — n, cp + n liegt, d.h. sobald g ? — < <p \ 2v X < <p fiK ist. Der Beitrag der zwischen <p — n und cp -(- n verlaufenden Integrationswege zur Funktion W läßt sich daher immer durch eine unendliche reelle Summe
8=
i
\Tr
darstellen, wo $v (9?) ein Diskontinuitätsfaktor ist, der nur für die zwischen <p-f- 2v%-\-n und ¡p + 2 V % — ji gelegenen cp -Werte den Wert 1, außerhalb dieses Intervalles aber den Wert 0 hat. Das obige Resultat bleibt unverändert bestehen, selbst wenn der in Fig. 5 nicht berücksichtigte Fall eintritt, daß die Verzweigungspunkte cp + ß 1 auf der reellen Achse der a-Ebene liegen. Es dürfte wohl kaum notwendig sein, zu erwähnen, daß wegen des Diskontinuitätsfaktors & v (<p) für jede Wahl der r,cp, t- Werte nur eine endliche Anzahl der unter dem Summenzeichen stehenden Glieder zu nehmen ist.
Jetzt erübrigt es nur noch, den Anteil zu berechnen, den der in den Geraden 9Î (a) = cp + a sowie der in den kleinen Halbkreisen um die vier Punkte cp + n + ia 1 verlaufende Teil des deformierten Integrationsweges zur Funktion w = ( W ) liefert. In die Integrale, die auf den Geraden 9Í (a) = cp -}- n bzw. 9ï(o:) = cp — n selbst verlaufen, führen wir durch die Gleichung:
a = cp
ta
bzw.
cp
i a

670
A. Rubinowicz.
eine neue Integrationsvariable a ein und erhalten so als Beitrag zum Integral (13) den Ausdruck:
2 */(/•«
1
+2 rr — 2 r r cos ia)
L 1
í-(<p — rp+ir—ia) p 7..
71 —
i-(rp — <p — 7l — ia)
da.
Das Integral ist hier, wenn o den Radius der kleinen Halbkreise um die vier Punkte cp + n + i a í bedeutet, von — oo bis — a t — q , von — a 1 + Q bis a x — q und schließlich von a 1 -\- q bis + oo zu erstrecken. Die Wurzel (F*2 rr — 2 rr cos ia) 1 '" ist dabei nach der oben gemachten Festsetzung zwischen — a x + q und a 1 — o reell und zwar positiv, auf den anderen Teilen des in Rede stehenden Integrationsweges (wegen des Umlaufes um die Verzweigungspunkte auf den kleinen Halbkreisen) aber rein imaginär. Auf dem zwischen den Grenzen — a 1 -f- q und a 1 — q verlaufenden Stücke des Integrationsweges erhalten wir nun für unser Integral, wenn wir es in ein Integral zwischen den Grenzen 0 und a, — o verwandeln, mit Rücksicht auf die Relation:
1
1 — e
Ua+ß)
+
1
(« — /?)
' + «"
,iß _ .-iß
1 =
cos a — oos /
+ 1
den rein reellen Ausdruck:
a,~e
hi
(r* + 2 rr — 2 rr cos ia)
X
sin — (< j> — <p +y)
sin (cp — <p — ji)
cos — (<p — <p 4- jt) — cos i — a X X
cos — (<p ■ X
. n
■ cos i — a l
da.
Die übrigen längs der Geraden ^)l(a) = q) + n verlaufenden Teile des Integrationsweges werden, wie man jetzt sofort erkennt, einen rein imaginären Beitrag zu W liefern, in den Ausdruck für iv — 9Î ( W) also gar nicht eingehen. Da die über die kleinen Halbkreise erstreckten Integrale mit abnehmendem q gegen 0 konvergieren, so wird der Realteil des Beitrages, den die längs der Geraden (a) = <p + n sowie die längs der vier kleinen Halbkreise verlaufenden Teile des deformierten Integrationsweges zu der Funktion W liefern, durch das Integral dargestellt:
(19)
öl
"-¿J
(r + 2 r r — 2 r r cos i a) '~
X
sin — (97 — (p -
. n
sm — ( q? — <p
■ 7t)
n . .n
cos ( w — œ -f JT ) — cos i — a /. 7.
71 .It
cos — (y — cp — it) — cos i — a
1 l
da.

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
671
Für die Funktion w erhalten wir so die gesuchte reelle Darstellung in der Form:
(20)
+ 00 J
w(r, (p, t\ f, cp, t; x) = S + I= 2>>&y((p)-==
-00 ) 1 r
C*J
1
(F +2rr — 2r r cob i a)
X
sin ~— ((p — <p + 7i)
sin — (<p — tp — n )
n / — - \ .31 3t . — . .31
cos — (® — w-r n) — cos i — a cos — (<p — f — 3i) — cos t — a X X X X
da.
Wir haben diesen Ausdruck íür w unter der Annahme abgeleitet, daß die Verzweigungspunkte cp ± auf den Geraden 9Ï (k) — (p + n gelegen sind. In dem Falle, wo diese beiden Verzweigungspunkte auf der reellen Achse der «-Ebene liegen, ist das Integral 7 gleich Null zu setzen und w wird einfach durch die Summe S dargestellt.
Eine andere Darstellung für 7, die wir an einer späteren Stelle verwenden, ergibt sich aus (19), wenn wir die Integrationsveränderliche a
r*
mittels der Relation cos i a = y z' 1 1 , y = cos i a. — 1 = „ _
1 ¿ r r
neue Integrationsvariable z ersetzen. Es wird dann:
durch die
(21) 7= _ X I 2rr
r dz_
J 11 - z 2 IV
]yz- + 2
sin — ( <p ■
■<P + 3i)
sin — (93 — <p — 3t)
cos — <q> ■ X
ist.
■ cp + jt) — X
COS ~—(w — œ
X
-3l) — X
wo X = cos i ~ arccsh (yz 2 + 1
Nunmehr wollen wir zur Diskussion der Eigenschaften der Funktion «? = 9Î(IF) übergehen und wollen vor allem zeigen, daß sie die unter 1*. bis 4*. genannten Eigenschaften besitzt. Zunächst stellen wir für den Fall, daß r 4= 0 ist, die Lage der singulären Punkte der Funktion w in ihrem Definitionsbereiche R* in zusammen:
I. r = 0: die Punkte in der Verzweigungsgeraden. Denn setzen wir voraus, daß nicht gleichzeitig r* verschwindet, wir uns also nicht der Spitze des Kegels T* nähern, so wird für r = 0 nach (18) a x = +00.
II. r* = 0: die Punkte auf dem Mantel des charakteristischen Kegels r*. Wird nämlich angenommen, daß nicht gleichzeitig r gegen Null geht, wir uns also wieder nicht der Spitze von r* nähern, so wird für r* = 0 nach (18) 0^ = 0 und der Integrationsweg muß, wie wir gesehen haben, durch einen singulären Punkt hindurchgehen.
III. r v = 0, — — 9? + 2î'^^ + tï: die Punkte auf den Kegel-

672
A. Rubinowicz.
mänteln der charakteristischen Kegel r v . Dieser Fall entspricht dem Zusammentreffen eines Verzweigungspunktes cp ± ß i mit einem Pole des Integranden von W, wobei der zwischen den beiden singulären Punkten eingepflockte Integrationsweg (vgl. Fig. 4) gezwungen wird, durch den singulären Punkt hindurchzugehen, der durch das Zusammentreffen der beiden genannten Punkte entsteht. Die Ungleichung läßt sich nämlich auch in der Form cp — 7i^(p-\-2v%^<p-\-n schreiben und besagt dann, daß der Pol <p + 2 v % auf der Strecke cp — jt, cp n gelegen ist. Aus r r — 0
folgt aber nach (11) cos(y — cp 2r%) — - — ' ' Ji —— , welchem Aus-
\
drucke nach (15) cos/Jj gleich ist. Es muß also <jp — cp-\-2v%=+ß 1 -\- 2 fin (fi= 0, ±1,...) sein, so daß <p + 2 v % = cp ± ß l J -2fin ist, was aber nichts anderes als das Zusammenfallen eines Poles mit einem Verzweigungspunkte bedeutet.
Weitere besonders zu betrachtende singulare Stellen sind Schnitte der drei jetzt angeführten Mannigfaltigkeiten von singulären Punkten in R x .
Alle im Definitionsbereiche von w gelegenen Punkte, die keinem der drei unter I, II und III angeführten Fälle entsprechen, wollen wir als reguläre Raumpunkte bezeichnen.
Zunächst zeigen wir, daß w allen ihr durch 1*. bis 4*. in den regulären Raumpunkten auferlegten Bedingungen genügt.
Daß die Bedingung 1 *. erfüllt wird, ist nach den vorhergehenden Überlegungen selbstverständlich.
Was nun 2*. betrifft, so haben wir ebenfalls oben schon gezeigt, daß w in den regulären Raumpunkten endlich ist. Daß w hier auch partielle Ableitungen beliebig hoher Ordnung nach r, cp, t besitzt, erkennt man aus (13) ohne weiteres. Für reguläre Raumpunkte sind ja die singulären Fälle I bis III ausgeschlossen und die Konvergenz der betreffenden aus (13) durch Differentiation entstehenden Integrale ist durch ein hinreichend starkes Verschwinden ihrer Integranden im Unendlichen gesichert. Bei der Bildung der Ableitungen der Funktion W nach cp wäre dabei allerdings zu berücksichtigen, daß die Wege (U^ und (U 2 ) von der Variablen abhängen und mithin Glieder auftreten müßten, welche der Veränderlichkeit der Enden dieser Integrationswege Rechnung tragen. In Wirklichkeit treten aber diese Glieder nicht auf, da der Integrand in ( 13) verschwindet, wenn wir in der «-Ebene auf (U^ und (U n _) ins Unendliche gehen.
Mit Rücksicht auf diesen Umstand können wir auch sicher sein, daß in allen regulären Raumpunkten, wo nach dem Obigen die in der Wellengleichung vorkommenden Ableitungen von W nach r,cp,t vorhanden sind, IF und damit auch tv sicherlich der Wellengleichung genügt; denn die

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
673
Veränderlichen r, cp, t treten in dem Integranden in (13) nur in dem Ausdrucke
(— r" — r 2 + 2rr cos (cp — a) + (f — t) 3 ) 1 ^-
auf, der, als Funktion von r, (p, t betrachtet, offenbar eine Lösung der Wellengleichung ist. Damit ist aber gezeigt, daß w der Bedingung 3*. entspricht.
Das Erfülltsein der Bedingung 4*. folgt unmittelbar aus der Darstellung (13) der Funktion w.
Nunmehr müssen wir noch das Verhalten der Funktion w in den singulären Raumpunkten I bis III untersuchen, wobei wir zunächst voraussetzen, daß die betreffenden Raumpunkte immer nur einer dieser drei Bedingungen genügen.
I. r=0. In diesem Falle können die Eigenschaften der Funktion lo einfach aus einer Darstellung für W erschlossen werden, die in der folgenden Weise gewonnen werden kann: Wir deformieren den Integrationsweg (Í7 X ) bzw.
(c/ 3 ) so , daß er zu beiden Seiten der Geraden 9i(a) = cp -\- n bzw. der Geraden
9t (a) = cp — ti verläuft (vgl. Fig. 6). Wir \(p+ßi~ZJt tyy+ßi
setzen dabei in den jetzigen Erörterungen — wie dies auch in der Figur zum Ausdrucke kommt — voraus, daß F* > 0 ist, weil nur in diesem Falle für kleine r- Werte der Punkt r,cp,t in dem Definitionsbereiche der Funktion w liegt. Da die Wurzel in (13) bei einem Umlaufe um die Verzweigungspunkte cp + ß x nur ihr (u¿)
Vorzeichen ändert, so sind die beiden längs einer Geraden 9 \{a) = cp + n verlaufenden Integrale einander gleich. Führen wir nun durch die Relation:
cc — <p + (tc -j- i C)
eine neue Integrationsveränderliche f für die beiden auf 9t («) — cp + ji verlaufenden Integrale ein, so ergibt sich:
9>-ßi
tp-ßi+ZX
Fig.
w=
X (2 rr)''*f
dC
X
(cos i C — cos i a,) 1 '- 1
t
i -(cp- P. Z
-it)
i -(>/.' 1-e «
• f + .-I + i t)

674
A. Rubinowicz.
Ersetzen wir nun hier mittels z-cosî «j = cos¿ C die Integrations- variable f durch z, so erhalten wir:
dz
m w _
( Z ' cos"' i Oj — 1 )
1
X
r I 1
. n - V . n \
l-(fp-tp-Tt) . %~{cp - rp + 71)
Li — e * -Z" 1 1 — e * -ZJ
i • „ --arccsh (zcoaioi) , . , ,—z =— : —
wobei Z = e * = (z- cos -f- \z~ cos - í a 2 — 1 ) *.
Jetzt ist der lim JF leicht zu berechnen. Es ist lim cos i a 1 = + oo
r=0 V— 0
und daher lim Z=0. Da schließlich lim 2rf-cosia l = — r" + (i — t)~
f=0 r=o
wird, so erhalten wir:
(23) lim W= ——==== f ~r == - .'= • 1 ;
r=0 ^ l/-r= 2 -h(i-i) 2 J ^(^-1)'= * V_ F «+ (*_*)?
1
Mit Hilfe von (22) läßt sich ferner noch unschwer zeigen, daß
d W dW-
lim — endlich und lim r —- = 0 ist. Damit ist nachgewiesen, daß W und
r = 0 dt r= 0 8r
somit auch w in r = 0 das durch 2*. geforderte Verhalten besitzen.
II. r* = 0. Da der von der Summe /S in (20) herrührende Beitrag zu der Funktion w , falls er nur nicht verschwindet, sich auf dem Kegel F* vollkommen regulär verhält, so müssen wir lediglich noch das Verhalten von I auf r* untersuchen. Zunächst sehen wir, daß, wenn der Punkt r, <p, t in den Kegel F* rückt, wenn also der Ausdruck F * gegen Null geht, das Integral I gegen einen im allgemeinen endlichen und von Null verschiedenen Grenzwert konvergiert. Es ist ja nach (21):
(24) lim 1= lim /= j T
V ' r*= o /=0 4 X (rr)l*
sin — (<p — <p + ji) sin y (<P — <P — i )
cos — (<p — cp+n) — 1 cos — (<p — cp — it) — 1
*
Da die Funktion w außerhalb des Kegels schon durch die Summe S allein gegeben wird oder überhaupt verschwindet, so erleidet w in allen Punkten von r* einen Stetigkeitssprung.
In dem folgenden Abschnitte VI werden wir mit Grenzwerten einiger par tieller Ableitungen erster und zweiter Ordnung von I auf dem Kegel F operieren. Es ist daher wichtig festzustellen, daß diese Grenzwerte endlich sind. Unmittelbar einleuchtend ist diese Tatsache für die Ableitungen nach cp. Sie gilt aber auch für die Ableitungen nach r und t. Als Funktion
dl d" I
von y aufgefaßt (vgl. (21)) haben nämlich die Ableitungen — und in

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
675
dem Punkte y = 0 (der den Raumpunkten I "* = 0 entspricht) endliche Grenzwerte, wie leicht mit Hilfe der Darstellung (21) zu begründen ist. Andererseits sind aber auch die Grenzwerte der partiellen Ableitungen von y nach r, t auf dem Kegel F endlich. Schließlich sind auch die partiellen Ableitungen der beiden ersten Ordnungen der Funktion I nach sowie die gemischten Ableitungen nach r, cp, t,r, cp, t auf F* endlich, da die Ableitungen von y nach den genannten Veränderlichen für r* = 0 endlich sind.
Dazu bemerken wir noch: Berechnet man die entsprechenden Ableitungen mit Hilfe von (21), so kann man nachweisen, daß auf dem gegen abnehmende t- Werte geöffneten Kegel r* die nachstehenden Relationen gelten:
III. r v = 0, — jt < (p — <p -j- 2r% < ti. Dieser Fall ist sofort erledigt. Aus der Darstellung (20) für die Funktion w folgt unmittelbar,
Bei der Behandlung der obigen drei singulären Fälle haben wir bisher vorausgesetzt, daß die betreffenden Raumpunkte immer nur einer der drei Bedingungen I, II oder III genügen. Entpricht aber ein Raumpunkt gleichzeitig zwei oder drei solchen Bedingungen, so werden die Verhältnisse in unseren Ausdrücken für w und I komplizierter und erfordern eine neue Untersuchung. Wir behandeln zunächst das Verhalten von w und I in den Raumpunkten, die gegeben sind, durch:
I und II: F* = 0, 1\ = 0, — n <p — cp + 2v % <[ -f- n.
Diese Raumpunkte liegen auf den Geraden (12), die die Kegel F v begrenzen. Sie liegen in den entsprechenden Halbebenen:
(26 cp = y + 2v % + ti
und in ihnen berühren die Kegel F r den Kegel J lH '. Geht nun ein Punkt P im Räume R x gegen eine dieser Geraden, so rücken in der komplexen «-Ebene gleichzeitig ein Pol cc = cp-\-2v% und die beiden auf der entsprechenden Geraden 9ï(a) = g? + 2î liegenden Verzweigungspunkte gegen einen der Punkte a = cp + ti und in diesen Punkt wird im Grenzfalle einer von den Integrationswegen (£7j) oder ([/„ ) hineingedrängt.
Betrachten wir nun das Integral I. Zunächst bemerken wir: Da die Funktion w = S-\-I, wie sofort aus ihrer komplexen Darstellung (13)
(25)
daß w auf den Kegeln F r wie unendlich wird.

676
A. Rubinowicz.
folgt, in den Halbebenen (26) (mit Ausnahme unserer Geraden) stetig ist, die durch S dargestellte Funktion hier aber Sprünge + ^== besitzt, so
muß auch I hier Sprünge + -4= erleiden, die das unstetige Verhalten von S
\r v
gerade kompensieren.
In dem folgenden Abschnitte wird uns nun das Verhalten von 1 in dem Falle interessieren, wo sich ein Punkt P längs einer Geraden auf einer Riemannschen Fläche t = konst. dem Schnittpunkt P 0 unserer Geraden (12) mit t — konst. nähert. Die Polarkoordinaten von P bzw. P 0 sind dann r,cp bzw. R , y 2v % + ji , wo R=t — t — r. Bezeichnen wir nun mit ip den Winkel, den die beiden Verbindungsgeraden PP 0
und j P 0 -Verzweigungspunkt miteinander einschließen, so ist offenbar
y sin E •
tang?/;= , wo e — (y2v% +n) — <p ist. Nähert sich P dem
ZI V COS E
Punkte P 0 , so verschwindet mit e gleichzeitig auch r , und da für kleine e und kleine r* (d. h. für r- Werte, die sich von R wenig unterscheiden) tang yj=2R(R j-r) ist, so fordert die Bedingung der geradlinigen Annäherung von P an P 0 , daß bei diesem Ubergang y einem Grenzwerte zustrebe, d. h. daß e und F* unter Voraussetzung = konst.
gegen Null gehen. Betrachten wir nun speziell den Punkt P 0 + , mit den Koordinaten R, y- r 2v% J t-7z, so müssen wir e — ^ J r 2rx~ l r^—f setzen. In dem Ausdruck (21) für 1 ist dann der erste Term in der eckigen Klammer für kleine e und r* = 2rfy- Werte, da X = cost -- zV2y 2 y 1
wird, gleich — , so daß wir für I, soweit es von diesem ersten
TÍ1+ ^ Z2
Term abhängt ( der zweite verhält sich für s = 0 und r = 0 vollkommen regulär) erhalten:
2 r 1 dz
~ ;z7j/2~r? J ) fyz^+2 !
E 2
(27)
Dieser Ausdruck wird jedoch im Grenzfalle e — 0 und y = 0, für ~ einen endlichen, von Null verschiedenen Grenzwert vorausgesetzt, gleich
- (Signum e) —= - (signum e) —=.
2}2 rry 2Vr
Da nun für kleine s r,. = T* -j- rr - f wird, so erhalten wir unter der obigen Voraussetzung für * schließlich für (27):
- (Signum «)jgJ=;.

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
677
Das gleiche Verhalten von (27) ergibt sich aber auch, wenn der Grenzübergang so vollzogen wird, daß man zunächst F* = 0 setzt, d. h. auf der Peripherie des Kreises r*= 0, t — konst. gegen P 0 + geht, was übrigens auch aus (24) folgt. Setzt man schließlich von vornherein e = 0, nähert sich also P dem Punkte P 0 auf der Verbindungsgeraden: Verzweigungsgerade -Po , so verschwindet (27). Da nun in P„ der Beitrag
von S für e > 0 gleich wird -I — , für e < 0 aber verschwindet, so
l/r v
sehen wir endlich, daß sich die ganze Funktion w in P 0 + wie -| \=
2 ]r v
verhält.
Die beiden weiteren Kombinationen je zweier Fälle, nämlich des Falles I und II und des Falles I und III, oder die Kombination aller drei Fälle I, II und III führen zur Untersuchung des Verhaltens von w in dem Punkte P 1 mit den Koordinaten r = 0 , t = t —f. Dieser Punkt liegt auf der Verzweigungsgeraden dort, wo sich die Spitze des gegen abnehmende t-Werte geöffneten Halbkegels F* und zugleich der Schnittpunkt aller Halbkegel F,, mit der Verzweigungsgeraden befindet. Nähert sich nun ein Punkt P dem Punkte P x längs einer Geraden, die mit der Verzweigungsgeraden (und zwar mit der negativen t- Achse) den Winkel a bildet, so besteht zwischen r und t die Relation: r = tga-(t — t — r). Da 1 außerhalb des Kegels r ' verschwindet, so interessieren uns dabei nur die
«-Werte, die zwischen 0 und liegen. Für den Fall, daß tgß=}=0 ist,
wir also nicht längs der Verzweigungsgeraden gehen, ist nun:
lim y = lim = — 1 + -i- .
r=0 r=0 2rr 'S«
Setzen wir dann noch weiter voraus, daß wir uns P 1 nicht längs einer in dem Kegel T* liegenden Geraden nähern (denn dann wäre ja tga=l), so ist lim y endlich und von Null verschieden und wir entnehmen dann
r=0
unmittelbar aus (21), daß für r— 0 dann I wie — l .- unendlich wird.
\ r
Nähern wir uns dem Punkte P 1 längs einer Erzeugenden des Kegels r so geht 7, wie aus (24) zu ersehen ist, ebenso stark ins Unendliche. Im Falle schließlich, daß wir zur Spitze von F* längs der Verzweigungsgeraden gehen, folgt aus (23), daß die gesamte Funktion w = S + I ebenfalls wie unendlich wird. jr
Wir wollen noch auf eine wichtige Eigenschaft der Funktion w aufmerksam machen. Es ist:
w(r, <p, t; r, cp, t; x) = w.(r, y,t;r,<p,t; %),

678
A. Rubinowicz.
wie man dies leicht mit Hilfe der Darstellung (20) für die Funktion w bestätigt. Diese Tatsache gestattet sofort festzustellen, daß die Fundamentallösung w(r, cp, t; f, cp, t; %) auch als Funktion von r,y,t betrachtet, die unter 1*. bis 4*. für r, cp, t formulierten Eigenschaften besitzt. Insbesondere genügt w als Funktion von r, <p, t der Wellengleichung.
Schließlich möge hier noch darauf hingewiesen werden, daß w eine gerade Funktion von cp — ip ist.
VI. Lösung der gestellten Aufgabe.
Nach den Überlegungen im Abschnitte III genügt es, zur Lösung der beiden durch die Bedingungen 1. bis 4. und l'. bis 4'. festgelegten Randwertaufgaben das durch die Bedingungen l". bis 4". bestimmte Problem zu lösen. Diese Aufgabe nehmen wir nun in Angriff. Da es uns in der Folge auf eine Unterscheidung der beiden in diesem Probleme auftretenden Funktionen u ]L und u,, nicht ankommt (sie unterscheiden sich nur durch die Funktionen, die die Anfangswerte bestimmen), bezeichnen wir der einfacheren Schreibweise wegen mit u irgendeine dieser beiden Funktionen. Um nun u in einem Punkte r, y, t des Riemannschen Raumes R œ zu berechnen, nehmen wir, gleich den allgemeinen Fall vorausgesetzt, an, dieser Punkt sei so gelegen, daß der zur Funktion w(r, cp, t; r, cp, t; %)■ gehörige Kegel F* die Riemannsche Fläche t=t 0 , auf der unsere Anfangswerte gegeben sind, schneidet und der Kegel F 0 eventuell auch schon von anderen Kegeln F,. geschnitten wird (das letztere ist nur im Falle % < n möglich). Wir verwenden dann analog wie Hadamard 13 ) die Fundamentalformel (1) sowie die Funktion w, die in unserem Falle die Rolle der Fundamentallösung spielt. Für das zunächst Folgende nehmen wir dabei an, daß die Existenz unserer Funktion u gesichert sei, setzen in der Fundamentalformel v = w und wenden sie auf den Raum R y an, der aus allen Punkten von R x besteht, die zwischen den beiden Ebenen cp = 0 und cp — 2% gelegen sind, in denen iv definiert und für die schließlich t t 0 ist. Die Anwendung der Fundamentalformel setzt voraus, daß u und v — iv in dem in Betracht kommenden Räume samt ihren ersten Ableitungen endlich und stetig sind, u hat nun aber in der Verzweigungsgeraden r = 0 eine singuläre Stelle und die Singularitäten von w liegen in den charakteristischen Kegeln F y und F*" und in der Verzweigungsgeraden r = 0. Um die Fundamentalformel anwenden zu können, teilen wir daher den Raum R y durch alle innerhalb R y verlaufenden Kegel F r und r* in einzelne Zellen Z„ ein. Die Begrenzungsfläche einer Zelle Z fl heiße (Z /t). Grenzen wir nun in jeder Zelle Z u durch eine nahe an ( Z fl \
13 ) J. Hadamard, 1. c.

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
679
verlaufende Fläche ( S fl ) einen Raum S„ ab, so können wir in S fl auf u und w die Fundamentalformel anwenden. Da beide Funktionen der Wellengleichung genügen, gilt die Relation :
( 28 ) fSi u TÏ- w zï )dr= 0.
<v
Lassen wir nun in jeder Zelle Z„ die Fläche ( S /t ) gegen die Begrenzung dieser Zelle ( Z fl ) rücken, so ergibt in jedem speziellen Falle die Beziehung (28) beim Grenzübergang eine neue Relation. Durch Addition aller dieser Relationen wird sich dann die gesuchte Lösung unseres Pro-' blems gewinnen lassen.
Betrachten wir zunächst etwa die Zelle Z fl , die die Spitze des Kegels F 0 enthält; sie heiße Z 0 . Z 0 wird im allgemeinen teilweise von F 0 und anderen Kegeln r r , von F* und schließlich von den Ebenen 9? = 0 und cp—2% begrenzt. Je nach der besonderen Wahl der Größen r,cp,t,% kann aber mit Ausnahme von F 0 und t — t 0 die eine oder andere der genannten Flächen in der Begrenzung von Z 0 fehlen. Die Funktion w wird nun in der Zelle Z 0 schon allem durch das in der Summe S enthaltene
Glied -= dargestellt. Sie wird also in der Fläche F 0 wie unendlich,
^ ^ °. . . Ho
verhält sich aber in den übrigen Begrenzungsflächen von Z n , selbstverständlich abgesehen von ihren Schnitten mit F 0 , vollkommen regulär. Lassen wir nun (<S 0 ) gegen (Z 0 ) rücken, so werden gewisse Teile der Flächenintegrale in der Relation:
//(«£—$*-•
(So)
gegen einen unendlichen Wert streben. Nach Hadamard (das hier für die Zelle Z 0 behandelte Problem ist vollständig identisch mit dem von Hadamard (1. c.) gelösten) erhalten wir nun bei dem erwähnten Grenzübergange eine richtige Relation, wenn wir von allen Integralen nur ihre endlichen Teile beibehalten. Dabei ist zu beachten: Das über r o erstreckte Flächenintegral entfällt vollständig. Da aber in dem Punkte r, y, t der Ausdruck -= von höherer Ordnung unendlich wird als in den übrigen
Punkten von r o , so ist dieser Punkt in eine kleine Kugelkalotte einzuschließen. Beim Grenzübergange ergibt sich dann der endliche Teil des über diese kleine Kugeloberfläche erstreckten Integrales nach Hadamard zu: — 2 nu(r, ïp, t ). Wir können somit offenbar u(f, <p, t) zunächst durch die endlichen Teile von Flächenintegralen darstellen, die über die Begrenzung von Z 0 zu erstrecken sind, soweit sie aus dem Kegel T*, den anderen Kegeln F v ( v 4= 0), den beiden Halbebenen cp = 0, cp = 2% und schließlich

680
A. Rubinowicz.
aus der Riemannschen Fläche t = t 0 besteht. Um dann noch die über F* und r,. ( V =f= 0) und die beiden Ebenen cp = 0, cp — 2% erstreckten Flächenintegrale durch die auf der Fläche t — t 0 gegebenen Anfangswerte auszudrücken, ist der analoge Grenzübergang auch für die übrigen Zellen Z u auszuführen.
Aus der Gesamtheit dieser Zellen greifen wir nun die Zelle heraus, die von dem Kegel r , der Fläche t — t 0 , den Halbebenen cp — 0 und cp — 2% und der Verzweigungsgeraden r = 0 begrenzt wird; sie heiße Z i . Da alle Kegel r v außerhalb /'* verlaufen, so ist in der Zelle Z 1 keiner von ihnen vorhanden.
Zunächst soll der Beitrag berechnet werden, den 1 zu (28) im Grenzfalle (S l )—+(Z 1 ) liefert. Nun besitzt aber 7 in den Halbebenen:
(26) <p = <p2v % ± n
die Sprünge "=■ Damit also auf 7 die Fundamentalformel (1) angewendet werden kann, muß die Zelle Z x durch die angegebenen Halbebenen (26) in weitere Zellen Z} 1 ', Z^, ... unterteilt werden. In jeder Zelle Zi l) ist dann mit dem Integral:
(29) 4«//
(s<«>)
der Grenzübergang (Si"') —>■ (Z¡; u) ) auszuführen. Dabei stößt man aber auf ein über r* erstrecktes Integral, das zwecks Lösung unseres Problems durch eine partielle Integration umgeformt werden müßte. Außerdem entstünden Komplikationen wegen des Verhaltens von 7 in den Schnittgeraden von (26) mit den entsprechenden F v . Das wird vermieden, wenn wir zu (28) die etwa aus dem Gaußschen Satze (5) folgende Relation:
(30) 4¡ = // curl„([ír]tí/) df= 0
(sW)
addieren, in der ! den Einheitsvektor in der Richtung der positiven ¿-Achse und r den Einheitsvektor in der Richtung des Radiusvektors r bezeichnet. Da nun:
j \ í/rt — i t \ d u I . du 1 ■ . « ( d u I . il I\ £
(31) curl ([!r]«/)= - -^-cos <pi - — sin cp\ + + — ) !,
so ergibt sich mit Rücksicht auf (4) und (6) für die Beiträge, die die einzelnen Teile von Z[ f,) im Grenzfalle zu A i -j- A„ liefern:
auf der Fläche F": — f f— 7 + 2 r — ^nS\df
JJ I 2 r l \ Sr Bt)f
(welches Integral aber mit Rücksicht auf (25) verschwindet),

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
681
auf der Fläche t = t 0 :
, on \ Cff dl I T Su I 1 S(ulr)\ I
(32} J J H M Jt + 7 r Í + r -3—)\ t= J dr d * '
wobei die Integration nach cp zwischen zwei aufeinander folgenden Halbebenen (26) und nach r zwischen 0 und dem Radius R — t — t 0 — r des Schnittkreises von r* mit t = t Q zu erstrecken ist.
Um die Integrale über die Halbebenen (26) brauchen wir uns nicht zu kümmern. Die Integrale (30) über die Flächen (26) sind ja Null, weil der Vektor (31) in den Ebenen cp = konst. liegt und daher der Integrand verschwindet. Addieren wir andererseits die auf die Halbebenen bezüglichen Integrale (29) (d. h. ihre endlichen Teile), so erhalten wir ebenfalls Null, wenn wir in ihnen, was für uns schließlich einzig in Betracht kommt, statt I die Funktion w = S + / verwenden, w verhält sich ja in den Halbebenen (ihre Schnittlinien mit r* ausgenommen) vollkommen regulär und die endlichen Teile der Flächenintegrale zu beiden Seiten einer Halbebene (26), die zwei benachbarte Zellen Zi' ] trennt, sind einander entgegengesetzt gleich. Wegen der Periodizität von u und w verschwindet ferner die Summe der beiden Integrale über cp == 0 und q> = 2 %.
Die Verzweigungsgerade, die Schnittgeraden der Kegel F v mit den Halbebenen (26) und die Spitze des Kegels r* sind bei diesem Grenzübergang mit entsprechenden Flächen zu umgeben. Die Summe der beiden auf diese Flächen bezogenen Flächenintegrale (29) und (30) verschwindet.
Addieren wir nun die Integrale (32) über sämtliche Zellen Z[^, so erhalten wir als Resultat:
2 * R
roo\ ffM« dl , 1 d(ulr)\\ , ,
(33) J )VTt- u Tt+T^Fr-)\ rdrd( P'
0 0 t=t Q
wobei hier die Integration über cp von 0 bis 2% zu erstrecken ist. Zunächst bemerken wir, daß dieses Integral konvergent ist. Das Verhalten des Integranden im Punkte r = 0 ist wohl vollständig klar. In den Punkten
Pf, mit den Koordinaten R,œ-\-2vy+ji verhält sich I wie ± —= und,
2 yr v
wie man sich leicht mit Hilfe von (21) überzeugt, wird hier die im Inte-
d 1 dl
granden auftretende Kombination der Ableitungen von 1 nämlich — — — auch nicht stärker unendlich. Sodann erkennt man aber, -daß (33) sich in der Form
2 X R 2/ R
(34) r dt-dcp j j Iii r dr dcp
0 ü t ~ t 0 ' ^ 00 t=t a
darstellen läßt.
Mathematische Annalen. 96.
44

682
A. Rubinowicz.
Um uns davon zu überzeugen, bemerken wir, daß der Ausdruck (33), wenn wir zunächst die Punkte P 0 ausschließen, durch partielle Integration
dl dl
des letzten Gliedes mit Rücksicht auf die Relation — = unmittelbar
St 8t
in den Ausdruck (34) übergeht, falls in diesem letzteren die Differentiation nach t ausgeführt wird. Die Punkte P n , wo sich 1 wie ± —=. verhält,
2 yr*
verursachen dabei keinerlei Schwierigkeiten, da beim Grenzübergange die beiden letzten Terme in (33) in den endlichen Teil des zweiten Integrales in (34) übergehen.
Nunmehr ist leicht zu erkennen: Da der ganze Beitrag, den I für die Zelle Z i im Grenzfalle zum Integral (28) liefert, durch (34) gegeben wird, so erhalten wir offenbar, wenn für Z 1 in (28) der Grenzübergang für die gesamte Funktion w = S + / vollzogen wird, außer (34) nur noch endliche Teile der mit S gebildeten Flächenintegrale (28):
If
d S n d tv \ 7 n
Uj Sj-)df
a V a V J
und zwar über den Kegel F*=0 und die Riemannsche Fläche t = t 0 , soweit diese Flächen zu Z x gehören.
Die übrigen Zellen des Raumes R y werden von der Fläche t— t 0 , von F 0 , den übrigen Kegeln jT,, und von F* begrenzt und liegen alle außerhalb des Kegels F*. In diesen Zellen wird also w schon allein durch die Summe S dargestellt. Vollziehen wir nun in den einzelnen Zellen Z fl den Grenzübergang (8„) —► ( Z„ ), so erhalten wir wieder richtige Relationen, wenn wir beim Grenzübergang auf jeden Kegel r v (soweit er zur Begrenzung der betreffenden Zelle Z^ gehört) in dem Flächenintegral das dem betreffenden Kegel T v in der Summe S entsprechende Glied V fortlassen, sonst aber die endlichen Teile aller Integrale behalten.
Es ist nun leicht zu überblicken, zu welchem Resultate wir durch Addition der sämtlichen auf die einzelnen Zellen Z fl bezüglichen Relationen gelangen. Die beiden von der Summe S herrührenden endlichen Teile der Flächenintegrale über die beiden Seiten einer Begrenzungsfläche, die zwei Zellen Z f , gemeinsam ist, sind einander entgegengesetzt gleich, da die Richtungen der Konormalen zu beiden Seiten dieser Begrenzungsfläche einander entgegengesetzt gleich sind. Besteht diese Begrenzungsfläche aus einem Kegel r y , so tritt zwar in der Zelle, die im Innern von r v liegt,
ein Glied mit -L= mehr auf als in der Zelle, die außerhalb F,, gelegen ist ; F ^ ' v
nach dem früher Gesagten ist es aber fortzulassen. Ebenso sind die über

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
683
die Halbebenen <p = 0 und <p — 2% zu erstreckenden endlichen Teile der unendlichen Integrale einander entgegengesetzt gleich, da w und u periodisch mit der Periode 2% sind. Wegen der Periodizität von w muß sich nämlich zu jeder Zelle Z flJ , die z. B. teilweise von der Halbebene cp = 0 begrenzt wird, eine andere Zelle Z /H angeben lassen, die genau die gleiche Begrenzung in der Halbebene cp=2% besitzt. Im Falle, daß die Spitze des Kegels F 0 hinreichend nahe an einer der Ebenen cp = 0 oder cp = 2% gelegen ist, kann es sich ereignen, daß die Z fl in dem Räume R y in zwei räumlichen Bereichen angeordnet sind, die miteinander keine Begrenzungsflächen gemeinsam haben. Es fallen dann aber die Flächenintegrale über die äußere Begrenzung dieser Bereiche fort. Diese Begrenzungsflächen bestehen ja dann aus den Kegeln und die Summe S reduziert sich auf
das dem betreffenden Kegel F,. entsprechende Glied -L= allein. Schließlich
I I ' v
bemerken wir noch, daß das für die Zelle Z x über die Fläche F* erstreckte mit S gebildete Flächenintegral bei der Addition aller Beziehungen (28) gegen anderen Zellen Z,, zugehörige Flächenintegrale sich weghebt. Die durch S dargestellte Funktion ist nämlich in dem Kegel F* stetig, und sobald wir uns in einem Bereiche von Z x befinden, wo S auf F* nicht verschwindet, muß an F* eine Zelle Z fl grenzen, in der tv = S also gleich ist der Summe aller Glieder —L=. die in der Summe S der Funktion w = 8 4- 1
in
in Z x auftreten. Und umgekehrt: In dem Bereiche, wo w in Z 1 durch 1 allein dargestellt wird (dieser Fall kann nur für % > n eintreten), werden an F* keine weiteren Zeilen grenzen.
Man erkennt daher, daß bei der Addition aller Beziehungen (28) alle Integrale, soweit sie sich nicht auf die Fläche t = t 0 beziehen, schließlich fortfallen, wenn wir nur das auf Z x und 1 bezügliche Integral durch die über die Fläche t = t 0 erstreckten Integrale (33) oder (34) ausdrücken.
Da endlich in der Fläche t = t n : -f = — v- ist, so erhalten wir durch
u av dt
Summation all unserer, auf die einzelnen Zellen Z u bezüglichen Relationen für u den Ausdruck:
(35) 2„ » (F. f. t) -2~ I JJ », (,)• (-^ fï - A (^)
+
,\r r st
2 y.R 2 ¿R
\l B - u rdrdcp~\~~ ( [lu J J dt t= to dt J J
0 0 0 0 0
u
df
t=t„
rdrdcp,
t — to
der, wenn wir die endlichen Teile der unendlichen Integrale nach den im Abschnitt IV angeführten Regeln in gewöhnliche Integrale umformen, auch in der Form:
44*

684
A. Rubinowicz.
(36) 2jT.u(r, y, t)
,1
= y,
{ii ê ' M ïh'^L df+ á/J" *- L";
2 Z 7i 2 Z 7i
+1 J 7 « L rdr ^ + wJJ /M L r 1 dr d( p
=<° oo ií=í °
geschrieben werden kann. Dabei sind die in diesen beiden Ausdrücken unter dem Summenzeichen stehenden Flächenintegrale über alle Gebiete zu erstrecken, die innerhalb des Bereiches 0,2/ der Veränderlichen cp und zugleich innerhalb der Kreise gelegen sind, die durch den Schnitt der t = t 0 - Fläche mit den Kegeln F v entstehen.
Berücksichtigen wir, daß w = S + I ist, so können wir (36) auch in der Gestalt:
(37) 2nu(r, y , t) = [\w — df + -4= f \ wu \ df
JJ dt t=t 0 dtJ-J h=t 0
ausdrücken, wobei die Integration über den ganzen, innerhalb des Bereiches 0,2 1 der Veränderlichen cp liegenden Definitionsbereich der Funktion w zu erstrecken ist.
Durch (35), (36) oder (37) ist die Funktion u nur für einen Bereich 0,2% der Veränderlichen cp definiert, entspricht also noch nicht der Forderung l". Wir können ihren Definitionsbereich aber auf den Variabilitätsbereich — oo, + oo der Veränderlichen cp durch die Festsetzung erweitern, daß u, als Funktion von cp betrachtet, periodisch mit der Periode 2% sein soll.
Nunmehr können wir zeigen, daß u allen Bedingungen 1 . bis 4 . genügt.
Die Bedingung 1 ist sicherlich erfüllt, falls sich die Funktion u in den Ebenen cp = 0 und cp — 2% und auch in den übrigen Ebenen cp — 2v% im allgemeinen ebenso verhält, wie in den übrigen Punkten ihres Definitionsbereiches. Um uns davon zu überzeugen, bemerken wir nur, daß man (wie dies leicht aus der Periodizität der Funktion w und der Anfangswerte der Funktion u folgt) die gleiche Funktion u erhält, wenn man zu ihrer Herstellung auf der Fläche t = t 0 statt der zwischen den Ebenen cp — 0 und cp = 2% gelegenen Punkte des Definitionsbereiches der Funktion w, den durch irgendwelche zwei Ebenen cp = cp* und 99 == 99* —|— 2^ (0 <cp*<y) begrenzten Definitionsbereich benützt.
Daß unsere Lösung die vorgeschriebenen Anfangswerte besitzt, d. h. der Bedingung 2". genügt, ist einfach festzustellen. Für ¿-Werte, die hinreichend nahe an t n gelegen sind, schneidet nämlich innerhalb des Be-

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
685
reiches 0,2 % der Veränderlichen cp unter allen Kegeln F v und F nur noch der Kegel P 0 die Fläche t — t 0 . Es reduziert sich daher dann die Funktion u auf den von Hadamard angegebenen Ausdruck:
!nu (r, (p, t) —
FÍ7-L — —— (- p=)«)| df,
JJ \fr 0 dt dt \\rj ) \t=, a
und für diese Funktion ist von dem genannten Autor der Nachweis erbracht worden, daß sie die vorgeschriebenen Anfangswerte besitzt.
Nunmehr müssen wir zeigen, daß u die durch 3". geforderten Eigenschaften besitzt. Um uns zunächst zu überzeugen, daß u samt ihren Ableitungen der beiden ersten Ordnungen mit Ausnahme der Verzweigungsgeraden und der durch die Anfangsbedingungen verursachten singulären Stellen überall in R x endlich und stetig ist, bemerken wir, daß dieses Verhalten von u für den Beitrag, der durch die Summe S in w geliefert wird, durch die bereits angeführten Untersuchungen von d'Adhémar und Hadamard verbürgt ist. In unserem Falle hat man nur noch bei der Differentiation nach (p zu beachten, daß die Grenzen der Bereiche, innerhalb deren die einzelnen Glieder in S von Null verschiedene Werte annehmen (d.h. die durch t — t 0 und (26) dargestellten Halbgeraden) zugleich mit f ihre Lage ändern. Da jedoch die gesamte Funktion w = S + I in den genannten Halbgeraden stetig ist, so treten bei der gesamten Funktion u bei der Differentiation nach ¡p keine Zusatzglieder auf, die sich auf diese Halbgeraden beziehen würden. Was nun den vom Integral I herrührenden Beitrag (34) betrifft, so ist bei der Bildung seiner Ableitungen zu beachten, daß die Integrationsgrenze R von t und r abhängt und, wie dies bfi (34) betont wurde, im Grenzfalle der Punkte P 0 die endlichen Teile der betreffenden Integrale zu nehmen sind. Nach der oben gemachten Bemerkung über die Bildung der Ableitung nach kann diese in (34) formell einfach unter dem Integralzeichen ausgeführt werden.
Untersucht man nun das Verhalten von u in der Verzweigungsgeraden r = 0, so kann man zunächst zeigen, daß u beim Hineinrücken in die Verzweigungsgerade endlich bleibt und zwar so, daß
2 7. -ßo 2 £ R 0
2x lim u(r, cp, t)— \ \ —L=. — j r dir dtp + f f u rdr dcp 7=0 J J \r* st It= to et J J \ r * í = í „
wird. r 0 und R 0 sind dabei die Werte von r bzw. R für r = 0, also r* = — r" + (t — £ 0 ) 3 und R 0 =t — t 0 . Die Integration ist über einen Kreissektor zu erstrecken, der auf der Riemannschen Fläche t —1 0 im Bereiche 0,2 ^ der Veränderlichen cp liegt und von der Kreislinie r = R 0 mit dem Zentrum im Verzweigungspunkte begrenzt, also vom Kegel F*

686
A. Rubinowicz.
ausgeschnitten wird. Auf den Nachweis dieser Behauptung soll hier nicht näher eingegangen werden. Ebenso verzichten wir auf die Wiedergabe des
• ^ / \J(j a m '• 9 fi 1(/
Beweises, daß —= im Verzweigungspunkte endlich bleibt und lim r
hier verschwindet.
Das Erfülltsein der Bedingung 4". ist leicht festzustellen. Aus den Untersuchungen von Hadamard folgt zunächst, daß u, soweit es durch die in (36) unter dem Summenzeichen auftretenden Glieder dargestellt wird, der Wellengleichung genügt. Die in unserem Falle bei der Differentiation nach ip noch auftretenden Zusatzglieder sind nicht weiter zu berücksichtigen, da sie sich, wie oben bemerkt wurde, gegen entsprechende Terme wegheben, die bei der gleichen Differentiation der in (36) mit I gebildeten Integrale (d. h. des Ausdruckes (34)) auftreten. Die Tatsache, daß (34) der Wellengleichung genügt, folgt dann aus dem Umstände, daß I eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung ist und die wegen der Veränderlichkeit der Integrationsgrenze R bei der Differentiation von (34) noch auftretenden Zusatzglieder mit Rücksicht auf (25) verschwinden.
Zu den obigen Überlegungen bemerken wir noch, daß sie sich auf den Fall verallgemeinern lassen, wo die Funktion u in dem durch 1. bis 4. definierten Probleme auch noch Stellen besitzt, wo sie in vorgegebener Weise unendlich wird. Lösungen der Wellengleichung, die solche Singularitäten aufweisen, lassen sich ja für Riemannsche Verzweigungsflächen, die nur einen einzigen Verzweigungspunkt im Endlichen besitzen, nach dem Sommerfeldschen Verfahren herstellen und aus ihnen kanj^ man dann durch „Zusammenstückeln" Lösungen mit singulären Stellen für beliebige Riemannsche Flächen herstellen. Vom physikalischen Standpunkte aus sind solche Unendlichkeitsstellen als Energiequellen und Energiesenken zu deuten, z. B. in der Optik als Lichtquellen und Lichtsenken.
Die Differentialgleichung der Potentialtheorie -f- = 0 ist nun
als ein Spezialfall der jetzt behandelten Wellengleichung (2) aufzufassen. Es dürfte daher möglich sein, auf dem Wege über die Wellengleichung, auf Grund der oben bewiesenen Sätze, die Riemannschen Existenztheoreme liber die algebraischen Funktionen und ihre Integrale zu beweisen. Setzt
• d iAj
man etwa zur Zeit t = t 0 den Anfangszustand u und — gleich Null und
läßt von diesem Zeitmomente an Quellen und Senken von geeigneter Beschaffenheit wirken, so kann man in den beiden Fällen der einfach überdeckten Ebene ohne Verzweigungspunkte und der Riemannschen Fläche mit nur einem einzigen Verzweigungspunkte im Endlichen mit Hilfe der

Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
687
gewöhnlichen bzw. Sommerfeldschen 'Lösung der Wellengleichung zeigen, daß im Grenzfalle t = oo (oder, was auf das gleiche hinausläuft, i 0 = — oo) die erwähnten Lösungen der Wellengleichung in Potentiale mit entsprechenden Unendlichkeitsstellen übergehen. Man kann daher vermuten, daß auch im allgemeinen Falle einer beliebigen Riemannschen Fläche F n geeignete Lösungen der Wellengleichung für t = oo in Potentiale mit vorgegebenen Unstetigkeitsstellen übergehen. Dieser Weg, die Existenztheoreme der Potentialtheorie zu begründen, wäre, da er getreulich die physikalische Entstehungsweise eines Potentials widerspiegelt, insbesondere dem Physiker sehr sympathisch 14 ).
u ) Im Falle einer elastischen Membran z. B. kann man sich das Potential dadurch zustande gekommen denken, daß gewisse Störungen, die durch das „Erzeugen" der Unstetigkeitsstellen verursacht werden, sich durch Wellen ausgleichen, dio schließlich ins Unendliche verlaufen. Nur der durch die Beschaffenheit der Riemannschen Fläche und der vorgegebenen singulären Punkte bedingte Gleichgewichtszustand bleibt zurück.
(Eingegangen am 20. 11. 1925.)

DifferentialinVarianten, ausgezeichnete Feldgrößen und Vektoriibertragung.
Von
F. Krauß in Aachen.
Inh altsverz eiclinis.
Seite
I. Teil. Allgemeine Grundbegriffe.
1. Einleitung. Allgemeiner Begriff der Fundamentalvarianten . . 688
2. Charakteristische Differentialvarianten als Fundamentalvarianten 691
3. Grundvarianten als charakteristische Differentialvarianten . . . 694
II. Teil. Tensorfelder im vollen Raum und allgemeine Vektorübertragung.
4. Operations- und Zeichensystem der Tensoranalysis 698
5. Die charakteristischen Grundvarianten der allgemeinen Vektorübertragung 704
6. Kernbildung mit den Grundvarianten der allgemeinen Vektorübertragung 706
7. Beispiele. Reduzierte Differentiation 707
III. Teil. Tensorfelder auf Gebilden.
8. Tensoroperationen auf Gebilden 710
9. Charakteristische Grundvarianten, Kernbildung und Reduktion
auf Gebilden 712
10. Wirbelfreie Vektorübertragung. Taylorkerne. Fundamentaltensoren
und Grundformen. Affine Flächengeometrie 716
I. Teil. Allgemeine Grundbegriffe.
1. Einleitung. Allgemeiner Begriff der Fundamentalvarianten.
Die vorliegende Arbeit gibt einen invariantentheoretischen Aufbau einer tensoranalytischen Theorie der Differentialinvarianten unter der Vor-

F. Krauß. Differential invarianten und Vektorübertragung.
689
aussetzung einer allgemeinen (linearen) Vektorübertragung 1 ). Sie stellt dabei den Begriff einer Zerlegung (in „Kern" und „Rest") in den Mittelpunkt, die an beliebigen Differentialausdrücken mit Hilfe gewisser ausgezeichneter Feldgrößen („Fundamentalvarianten", „charakteristischer Grundvarianten") vorgenommen wird. Diese Zerlegungsniethode läßt, wie mir scheint, den inneren Grund der Invarianz deutlicher hervortreten und führt rascher und einfacher zu den differentialgeometrischen Fundamentalformen und ihren Beziehungen als die bisher üblichen Darstellungen. Insbesondere erhalten wir auf einfache Weise die Erweiterung des sogenannten Reduktionssatzes, der bereits von Christoffel (Crelle 70) und Ricci und Levi-Civita (Mathem. Annalen 54) durch komplizierte Eliminationsrechnungen für den Fall der gewöhnlichen Riemannschen Geometrie aufgestellt, bisher aber noch nicht für eine beliebige Vektorübertragung abgeleitet wurde 2 ). Ferner ein analoges Theorem für Differentialformen auf Gebilden (Kurven, Flächen, Hyperflächen usw.) beliebiger Dimension.
Um die Begriffsbildung auch für das rechnerische Verfahren fruchtbar zu machen, schien eine Modifikation der gebräuchlichen Ricci-Bezeichnung nützlich, zu der ich mich erst nach längerem Widerstreben entschlossen habe. Sie beruht in der Hauptsache auf dem naheliegenden Gedanken, die Indexzeichen unmittelbar als Zeichen für die Grundvektoren zu verwenden und die bei der gewählten Grundvektorbezeichnung frei werdenden oberen Indexstellen für die Ableitungszeiger zu benutzen. Überdies werden, wie in der elementaren Vektoranalysis, die drei direkt geschriebenen Operationen der Addition, Multiplikation und Überschiebung (von Tensoren mit Vektoren) gebraucht. Ich glaube, daß diese auf den ersten Blick vielleicht ärgerlich erscheinende Neuwahl der Zeichen sich selbst rechtfertigen wird 3 ). Es versteht sich, daß der Schwerpunkt der Arbeit nicht in dieser Symbolik, sondern in den Grundbegriffen (Zerlegung mittels der charakteristischen Grundvarianten usw.) zu suchen ist.
Alle Invarianten — es handelt sich hier nur um absolute — sind Funktionen gewisser nicht-invarianter („varianter") Elemente, deren Transformationsänderungen sich in jenen Funktionen dadurch kompensieren, daß zwischen ihnen ein Transformationszusammenhang vorgeschrieben ist.
*) Zur Orientierung s. z. B. Schouten, Der Ricci-Kalkül (Julius Springer, 1924), S. 62 ff.
s ) Schouten, a. a. 0. S. 101; Weitzenböck, Enzykl. d. math. Wissensch. III El, 1922; E. Noether, Invarianten beliebiger Differentialausdrücke, Göttinger Nachr. 1918, Algebraisohe und Differentialinvarianten, Jahresbericht d. Deutschen Mathem.-Vereinigung 32, 1. Abt. Heft 5/8, 1922.
3 ) s. u. S. 697 ff.

690
P. Krauß.
Besteht gar kein solcher Zusammenhang, oder sind, wie wir sagen wollen, die Varianten Argumente einer Funktion frei oder unabhängig variant, so kann die Funktion nur dadurch invariant sein, daß sie von ihren Varianten Elementen unabhängig ist. Diesen letzteren können dann beliebige triviale invariante Werte erteilt werden, z. B., falls ihr Definitionsbereich es zuläßt, Null 3 ").
Unter Fundamentalvarianten A eines Variantensystems Q verstehen wir ein System frei varianter Größen, als deren Funktionen sich alle Elemente des Systems Q darstellen lassen, derart, daß in diesen Funktionen außer den Fundamentalvarianten nur noch invariante Größen vorkommen. Mit cp(Q), y>(A) usw. seien Funktionen von beliebigen Elementen aus Q und A bezeichnet; co bedeute ein beliebiges Element aus ß, cp (0) die Größe, die entsteht, wenn man in cp{Q) alle Elemente aus Û null setzt. Ist eine Variantenfunktion cp (Q) vorgelegt, so können wir in ihr alle co ausdrücken durch A und dadurch 93 (¿2) in die Form (p 0 (A) bringen. cp 0 [ 0) ist dann eine Invariante, die wir den mit A gebildeten Kern von rp (Q) nennen. Die Zerlegung <p( Q) = <p 0 (0) + <?> (-4) liefert den zugehörigen Rest cp r [A). Die Kernbildung wird im allgemeinen von der Wahl der A abhängig sein. Zur Kernbildung ausgezeichnet werden solche Varianten heißen, aus denen die A (durch gewisse Prozesse wie rationale Komposition, Differentiation usw.) gebildet sind.
Wenn nun <p(Q) eine Invariante ist, so muß (p 0 (A) von den frei Varianten A unabhängig, mit seinem Kern cp 0 ( 0 ) identisch und dieser von der Wahl der zur Kernbildung ausgezeichneten Größe unabhängig sein. Vorauszusetzen ist dabei, daß der Variabilitätsbereich, indem <p 0 ( S) definiert ist, E — A und E — 0 enthält, und cp 0 regulär ist, so daß aus seiner Konstanz im Bereich E = A auf die Konstanz im ganzen Bereich geschlossen werden kann. Diese Voraussetzungen sind im folgenden stets erfüllt. Existieren „annullierende" Transformationen d. h. solche, bei denen die A verschwinden, so kann der Kern auch von vornherein definiert werden als die invariante Darstellung des Wertes der Varianten bei annullierenden Transformationen. Aus dem Begriff des Kerns folgt unmittelbar, daß der Kern einer Variantenfunktion gleich ist der Funktion der Variantenkerne.
3a ) Zusatz bei der Korrektur. Die Einführung des Terminus „variant" geschieht aus folgenden Gründen. Es treten in dieser Arbeit die Varianten Elemente selbstständig und vor den invarianten, die sich erst aus ihnen zusammensetzen, auf. Sie verdienen daher nicht, bloß negativ bezüglich der letzteren bezeichnet zu werden. Ferner wären Wortbildungen wie „Differentialnichtinvariante" sprachlich unmöglich. Schließlich ist die allgemeinere Bezeichnung „variabel" unbrauchbar, weil sie auch für invariante Feldgrößen benutzt wird, die als Funktionen des Ortes beim Fortgang m Felde sich ändern.

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
691
Man erhält daher den Kern einer Variantenfunktion, wenn man in ihr alle Varianten Elemente durch ihre Kerne ersetzt.
Reduzierte Form einer Invarianten nennen wir ihre Darstellung aus lauter invarianten Elementen. Offenbar ist der Kern einer Invarianten unmittelbar eine reduzierte Form. Invarianzkriterium ist das in den A identische Verschwinden des Restes. Die Kernbildung hat also drei wesentliche Eigenschaften: 1. Sie spaltet jede Variantenfunktion eindeutig in einen invarianten Kern und einen Rest, dessen variante Elemente frei variant sind, und der mit diesen verschwindet. 2. Sie liefert ein Invarianzkriterium. 3. Sie reduziert die Invarianten.
Ein System J von unabhängigen Invarianten, aus denen sich zusammen mit den A alle co komponieren lassen, gestattet auch die Komposition der Kerne aller co, und daher auch aller invarianten Variantenfunktionen q>(fí). J ist also ein System von Fundamentalinvarianten. Jede Variantenfunktion hat demnach die Darstellung f(J, A) und bei Invarianz die reduzierte Form F(J) = f(J, 0).
2. Charakteristische Differentialvarianten als Fundamentalvarianten.
Der allgemeine Begriff der Fundamentalvarianten und der zugehörigen Kernbildung wird im Verlauf der Untersuchung in drei Schritten spezialisiert. Die erste Spezialisierung beruht darauf, daß das betrachtete Variantensystem Q aus Differentialvananten besteht d. h. aus solchen Größen, die aus gegebenen Feldgrößen von einer gewissen Transformationsweise und deren Differentialquotienten nach den Punktkoordinaten des Feldgebietes gebildet sind. Jede Differentialvariante ist in einer gewissen Transformationsordnung vom Koordinatensystem abhängig. Ist £, = f, (... f x ... ) ein beliebiges System der zugelassenen Transformationsfunktionen, so ist diese Ordnung dadurch gegeben, daß der Wert der Differentialvarianten beim Koordinatensystem der durch eine Transformationsgleichung dargestellt werden kann, in der außer zum Koordinatensystem der f„ ge-
g(r) ï
hörigen Werten die „Transformationsableitungen" ^ ^ pl" '~ zu e ' ner
gewissen p-ten Höchstordnung vorkommen (s. u. (1)). Sind zwei Koordinatensysteme durch eine Transformation verbunden, bei welcher die Transformationsableitungen (in einem gewissen beliebigen Punkte P) bis zur p- ten Ordnung gleich sind denen der identischen Transformation, so heißen solche Koordinatensysteme in p-ter Ordnung äquivalent im Punkte P. Differentialvarianten von nicht höherer als p- ter Transformationsordnung haben in solchen in p-ter Ordnung äquivalenten Koordinatensystemen

692
F. Krauß.
invariante Werte. Wir nennen nun ein System von Größen, die bei einem zugelassenen System von Transformationen T frei variant sind, charakteristisch in p-ter Ordnung bei T, wenn zwei Koordinatensysteme aus T in P dann und nur dann äquivalent in- p-ter Ordnung sind, ivenn sie in P in diesen Größen übereinstimmen.
Das Wesentliche im invariantentheoretischen Begriff der charakteristischen Differentialvarianten beruht darauf, daß sie das veränderliche („neue") Koordinatensystem jeweils festlegen nicht relativ zu einem andern („alten") Koordinatensystem, sondern durch die Werte, welche geeignete variante Feldgrößen in dem zu charakterisierenden Koordinatensystem annehmen. Jene Bestimmung des Koordinatensystems relativ zu einem anderen wird durch die Transformationsableitungen gegeben und die Transformationsgleichungen sind es, welche die Werte der Differentialvarianten durch die Werte von Varianten im alten Koordinatensystem und die Transformationsableitungen darstellen, nicht aber durch variante Feldgrößen und Invarianten, wie es durch die Einführung der Fundamentalvarianten geschieht. Dies ist der Grund, weshalb die Transformationsgleichung zwar das Invarianzkriterium liefert (in Gestalt der Unabhängigkeit dieser Darstellung von den in sie eingehenden Transformationsableitungen), nicht aber eine Reduktion der Differentialinvarianten. Die charakteristischen Differentialvarianten leisten nun beides gleichzeitig, da sie Fundamentalvarianten sind für das System aller Differentialvarianten von nicht höherer als p-ter Ordnung. Denn die Werte der letzteren hängen bloß bis zur p-ten Ordnung vom Koordinatensystem ab, sie müssen also Funktionen sein derjenigen Größen, welche das Koordinatensystem (innerhalb T) bis zur p - ten Ordnung vollständig charakterisieren, d. h. es muß für sie Darstellungen geben, in denen die charakteristischen Differentialvarianten die einzigen Varianten Elemente sind.
Wir wollen diese Verhältnisse, so einfach sie sein mögen, genauer ausführen. Uberstrichene Größen sollen Werte varianter Größen in einem beliebigen alten Koordinatensystem bedeuten, das zunächst festgehalten wird, f, seien die durch Transformation veränderlichen neuen
Koordinaten. Das System aller Transformationsableitungen „ „ ,. — bis
8 h . 8 S /i ...
zur p-ten Ordnung einschließlich bezeichnen wir mit t' v) ; mit t ip) —t {q) die Transformationsableitungen von der (q -f-1)- ten bis zur p -ten Ordnung. Die allgemeine reguläre Gruppe der Transformationen sei T 0 ; diejenige, bei welcher die i (l) die Einheitsmatrix bilden (im betrachteten Punkte P), sei mit T x bezeichnet. Bei T x sind alle Differentialgrößen von erster Transformationsordnung invariant. Die Differentialinvariantentheorie hat zu ihrem wesentlichen Grunde die Tatsache, daß bei T 0 die t <p) in einem

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
693
beliebigen Punkte frei variant sind, d. h. daß sich immer Koordinatensysteme angeben lassen, welche in P den t lp ' beliebige Werte verleihen. Dieser Vari anzb er eich der t {p ' bei T 0 ist nur dadurch eingeschränkt, daß die Determinante der t { " nicht verschwinden darf, und daß die Transformationsableitungen, die sich formal nur durch die Reihenfolge der Differentiationen unterscheiden, identisch sein müssen ( Eindeutigkeit und Integrabilität). Bei T i sind die zugehörigen t iv) — t a) frei variant. Wenn co eine Differentialvariante p-te r Transformationsordnung ist, so besagt dies: Es existiert ein Variantenkomplex, den wir mit C 0 , bezeichnen, derart, daß sich co in einem beliebigen zugelassenen Koordinatensystem ausdrückt nach der Transformationsgleichung:
(1) co = f(t (p> ,C 0> ).
Ist ein von T 0 verschiedenes Transformationssystem T zugelassen, so sind in ihm die t (v) i. a. nicht mehr frei variant, vielmehr sind ihnen Bedingungen auferlegt. Diese Bedingungen symbolisieren wir mit:
(2) B T (t m ) = 0.
A ' t bedeute ein System in p-ter Ordnung charakteristischer Differentialvarianten bei T. Das System der zugehörigen Transformationsgleichungen sei :
(3) Ä^=F{t w ,C A w).
Die A?" müssen sich dadurch als frei variant zu erkennen geben, daß sie durch die Gleichungen (2), (3) als voneinander unabhängige Funktionen der t {v) definiert sind. Ferner aber, und nur hierdurch sind die Af charakteristisch, muß das System (2), (3) die t lv) als eindeutige Funktionen der Alj! ] , CjW bestimmen, so daß Darstellungen existieren der Form:
t lp) = <P (AT\ CJ¡V>).
Demgemäß können wir oben in der Transformationsgleichung (1) die t' p) durch die A^, C a ^ ausdrücken, so daß co die Gestalt annimmt:
(4) co = v{A% ) ,C A $),C m ).
Der Unterschied dieser letzteren Form von co gegenüber der in ( 1 ) besteht darin, daß in yj die A y ' nur von dem neuen Koordinatensystem, nicht aber auch von dem alten abhängen, wie es die i (p) tun. Nun ist nach unserer Voraussetzung das alte Koordinatensystem beliebig gewählt; die Darstellung gilt also sowohl bei Veränderungen des alten wie des neuen Koordinatensystems. Die Veränderung des neuen ändert A y." und co, und

694
F. Krauß.
zwar können dadurch den Ay' beliebige Werte erteilt werden; die Änderung des alten Koordinatensystems läßt aber m und die A^ ] in Ruhe und macht nur die C a (p) und C a zu Varianten. Nun ist xp eine Funktion
<7>(/ly'), in deren Konstante die C' a und C a so eingehen, daß bei beliebigen Transformationen der C a 5" und C m und für jeden beliebigen
festen Wertkomplex der A^\ y> ungeändert bleibt. Das ist aber nur möglich, wenn diese Konstanten aus den CjW, C w gebildete Invarianten
sind 9b ). Also sind die A t ] Fundamentalvarianten des Systems aller Differentialvarianten nicht höherer als p-ter Transformationsordnung.
Solche Feldgrößen, aus denen die C a ^ und die yly 1 gebildet sind (durch Differentiation und Komposition), heißen zur Charakteristik des Koordinatensystems ausgezeichnet. Jedes Größensystem, das von den A { rf ] umkehrbar eindeutig abhängt, ist offenbar wieder ein charakteristisches Größensystem, und dasselbe gilt für die C a {p) ■ Verschiedene Arten der Charakteristik des Koordinatensystems loerden i. a. verschiedene Kernbildungen der Differentialvarianten erzeugen; liegt aber Invarianz des Differentialausdrucks vor, so ist sein Kern unabhängig von der Wahl der C a (p> und A t ] ■
T 1
3. Grundvarianten als charakteristische Differentialvarianten.
Die bisher besprochene Charakterisierung des Koordinatensystems durch irgendivelche zur Kernbildung ausgezeichnete Feldgrößen ist an sich noch keine differential<7eoraeinscAe. So können wir uns z. B. ein physikalisches Kontinuum denken, in dem eine formale Geometrie überhaupt nicht festgelegt ist (wie z. B. in der Thermodynamik), in der aber Zustands- funktionen, die von der Wahl der Zustandskoordinaten abhängig sind, existieren, so daß diese Koordinaten und ihre Verteilung bis zu einer gewissen Differentiationsordnung charakterisiert sind durch die jeweiligen Werte der Zustandsfunktionen und ihrer Ableitungen nach den Koordinaten. Läßt sich überhaupt das Koordinatensystem durch irgendwelche frei variante Feldgrößen bis zu einer gewissen Differentiationsordnung vollständig charakterisieren, so ist es möglich, an irgendwelchen Differentialausdrücken Kernbildungen vorzunehmen und sie, bei Invarianz, zu reduzieren. Hiermit sind sehr allgemeine Bedingungen bezeichnet, unter denen eine Feldtheorie invariantentheoretisch formuliert werden kann.
3b ) Zusatz bei der Korrektur. Hierbei ist natürlich die, im Folgendan stets erfüllte, Voraussetzung zu maohen, daß die Konstanten in der Darstellung '/>(A^ } ) eindeutig durch den Funktionsverlauf von 0 bestimmt sind; denn nur dann wird jede Änderung dieser Konstanten eine Änderung von y nach sich ziehen.

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
695
Differentialj/eome/nscAe Bedeutung — und darin besteht die weitere Spezialisierung des allgemeinen Begriffs der Fundamentalvarianten — erhalten die charakteristischen Differentialvarianten erst dann, wenn zwei Arten der Auszeichnung von Feldgrößen zusammenfallen; nämlich, wenn die zur Kernbildung ausgezeichneten Feldgrößen gleichzeitig zur geometrischen Grundbestimmung des Raumes ausgezeichnet sind. Unter Grundbestimmung ist dabei die Eintragung und Auszeichnung solcher Feldgrößen zu verstehen, mit denen die fundamentalen geometrischen Relationen und Operationen definiert werden. Die ursprünglichen, in diese Definitionen unmittelbar eingehenden Größen, wie z. B. die g itt , oder, bei fehlender Maßbestimmung und gegebener Vektorübertragung, die verallgemeinerten Dreizeigergrößen (gewöhnlich mit p/* bezeichnet), mögen fundamentale Grundgrößen heißen. Die aus ihnen durch Differentiation und beliebige Komposition gebildeten Ausdrücke aber Grundgrößen überhaupt. Diese letzteren zerfallen in Grundvarianten und Grundinvarianten. Eine Grundinvariante in diesem Sinne ist z. B. das Krümmungsmaß des Riemann- schen Raumes. Ist in dem Räume ein Gebilde gegeben, worunter wir ein beliebiges Teilkontinuum niedrigerer Dimension, das sich durch reguläre Parametergleichungen bestimmen läßt, verstehen wollen (Kurven, Flächen, Hyperflächen usw.), so nennen wir diejenigen Größen, die nur durch die Grundbestimmung des Raumes und die Eigengestalt des Gebildes definiert sind, Eigeninvarianten des letzteren. Alle übrigen Feldgrößen, die, etwa im Hinblick auf physikalische Anwendungen, überdies noch im Räume ursprünglich angenommen werden, seien als Stammgrößen bezeichnet.
Da die Grandvarianten lediglich von der geometrischen Grundbestimmung des Raumes und dem Koordinatensystem abhängen, so müssen sie geometrische Eigenschaften an den Koordinatenlinien, welche diesen durch die Grundbestimmung aufgeprägt sind, zum Ausdruck bringen. So geben z. B. die gewöhnlichen g, k , als Grundvarianten aufgefaßt, die Winkel zwischen den Koordinatenlinien und die auf ihnen durch die Koordinatenverteilung bewirkte Parameterdichte an. In p-ter Ordnung charakteristische Grundvarianten A? sind deshalb solche differentialgeometrische Größen an den Koordinatenlinien, welche diese und die Parameterverteilung auf ihnen bis zu einer gewissen Ordnung vollständig bestimmen und überdies durch die zugelassenen Transformationen T unabhängig voneinander variiert werden können. Alle Grundvarianten müssen sich dann durch solche und Grundinvarianten darstellen lassen. Hierin kommt der Zwang zum Ausdruck, durch den die invariante Struktur des Raumes die gegenseitige Veränderlichkeit der Grundvarianten einschränkt. Irgendwelche den A?' auferlegte Bedingungen spezialisieren das Koordinatensystem innerhalb T. Wegen der freien Varianz der A? muß es stets Koordinatensysteme

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geben, welche (in irgendeinem Punkte P) den A™ beliebige Werte verleihen; umgekehrt muß jede differentialgeometrische Spezialisierung des Koordinatensystems innerhalb T sich durch Bedingungen, die den A^ auferlegt werden, angeben lassen. Die einfachste Spezialisierungsmöglichkeit ist offenbar die, bei welcher das Koordinatensystem die Ay 1 annulliert. Ein Koordinatensystem heißt in p-ter Ordnung innerhalb T invariant spezialisiert , wenn die Ay' mit Grundinvarianten in Beziehung gesetzt werden, und diese Spezialisierung wird eine vollständige sein, wenn in dem betreffenden Koordinatensystem die Werte der A y' mit Differential- invarianten identisch werden. Wählen wir z. B. auf einer euklidischen Kurve als Parameter die wahre Länge, so fallen in diesem invariant spezialisierten Koordinatensystem die Differentialquotienten des Ortsvektors beliebig hoher Ordnung mit Eigeninvarianten der Kurve (Richtungs- und Krümmungsvektoren) zusammen. Ähnliches findet auf einer Fläche statt, wenn wir invariant ausgezeichnete Kurven (z. B. Krümmungs- oder Asymptotenlinien) als Koordinatenlinien wählen und auf ihnen nach ihren wahren Längen differenzieren. In allen Anwendungen des Koordinatenbegriffs auf die geometrische und physikalische Wirklichkeit ist die invariante Struktur des Gebildes, an welchem die Koordinaten zu definieren sind, das primär aufgefaßte, und jede wirkliche Festlegung der Koordinaten erfolgt dadurch, daß sie zu dieser invarianten Struktur, d. h. zu den Eigeninvarianten des Gebildes, in Beziehung gesetzt werden. Charakteristische Grundvarianten haben also eine doppelte Funktion, eine invariantentheoretische, in der sie von den Differentialausdrücken invariante Kerne abspalten und Differentialinvarianten reduzieren, und eine geometrische, in der sie die Eigengestalt des Koordinatensystems durch beliebig variierbare Bestimmungsmomente festlegen.
Als geometrische Grundbestimmung betrachten wir nun in dieser Arbeit — und hierin besteht die dritte und letzte Spezialisierung des Begriffs der Fundamental Varianten — die allgemeine lineare Vektorübertragung, auf die sich der tensorielle Ableitungs- und Gradientprozeß gründet, und die durch die verallgemeinerten Dreizeigergrößen definiert ist. Aus diesen und ihren Ableitungen werden die charakteristischen Grundvarianten gebildet.
Auf Gebilden genügt die analoge Charakteristik des Koordinatensystems nicht; die diese Charakteristik liefernden vektoriellen Eigenkrümmungen der Koordinatenlinien springen nämlich i. a. aus dem Gebilde heraus infolge der Eigenkrümmung des letzteren; aber diese Krümmungsvektoren sind frei variant nur in tangentialer Richtung. Infolgedessen bedarf es, um bestimmte tangentiale frei variante Komponenten zu bilden, der Definition einer invarianten Projektionsrichtung, mit der nichttangentiale Vektoren eindeutig in tangentiale und quergerichtete Komponenten zerlegt werden können („Querrichtung"). Solche Projektionsrichtungen sind in der gewöhnlichen Maßgeometrie durch die Orthogonalität, in der affinen Geometrie durch affinnormale Richtungen definiert (s. u. Teil III).

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
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Als Stammgrößen treten hierzu die Bestimmungszahlen beliebiger Tensoren und deren Ableitungen. Die fundamentalen Grundgrößen der Vektorübertragung (Dreizeigergrößen) sind selbst schon von der zweiten Transformationsordnung; infolgedessen ist es nicht möglich, durch sie und ihre Ableitungen die Eigenschaften erster Ordnung des Koordinatensystems (Richtungsverhältnisse und Parameterdichte der Koordinatenlinien) zu charakterisieren. Dies ist der Grund, weshalb wir als Invarianzgruppe T 1 wählen müssen; denn da bei 7\ die t m die Einheitsmatrix bilden, so bedarf es bei dieser Gruppe einer Charakteristik in erster Ordnung nicht. Nun sind aber die Bestimmungszahlen der Tensoren von erster Transformationsordnung und infolgedessen invariant bei T x . Ein Difieren tial- ausdruck ist daher nur dann Tensorkomponente, wenn er bei T 1 invariant ist. Die Aufgabe also, einen beliebigen Difierentialausdruck, dessen variante Elemente nicht alle Tensorkomponenten sind, durch Tensorkomponenten darzustellen, erscheint als Reduktionsproblem bei der Invarianzgruppe l x . Auf diese Weise führt die Bildung der charakteristischen Grundvarianten bei T x und der zugehörigen Kerne auf Reduktionssätze d. h. auf Theoreme, welche diejenigen Tensoren angeben, aus denen man Differentialausdrücke, die invariant sind oder Tensorcharakter haben, rein algebraisch (projektiv) und ohne weiteren Differentiationsprozeß zusammensetzen kann.
Für die tensorielle und vektorielle Symbolik waren folgende Forderungen maßgebend. Die direkt geschriebenen vektoriellen und tensoriellen Operationen müssen selbst einfach sein und nach einfachen Regeln vollzogen werden können, die möglichst analog sind dem gewöhnlichen skalaren Rechnen und den bekannten Operationen der elementaren Vektoranalysis. Demgemäß schreiben wir mit tensoriellen Zeichen die Addition, die Multiplikation, die Überschiebung eines Tensors mit einem Vektor (inneres Produkt) und die invariante Differentiation. Ebenso wichtig wie die Invarianz und invariante Schreibart der Formeln ist aber die Spezialisierung des Koordinatensystems. Dieses erscheint in den Formeln durch Zerlegung der tensoriellen und vektoriellen Größen in ihre Komponenten, wodurch die Grundvarianten explizit hervortreten. Ein brauchbarer tensorieller Kalkül muß daher eine einfache mechanische Weise enthalten, die tensoriellen und vektoriellen Formeln in die Komponentform (vollständig zerlegte Form) überzuführen und insbesondere die Grundvarianten so schreiben, daß ihre geometrische Bedeutung und ihr Verhalten bei der Transformation übersichtlich hervortreten. Das ist zumal für unsere invariantentheoretischen Untersuchungen erforderlich, die es mit Grundvarianten in erster Linie zu tun haben.
Diese verschiedenen Forderungen lassen sich erfüllen, wenn man eine möglichst einfache Schreibweise für die Grundvektoren wählt. Wir bezeichnen sie, wie schon bemerkt, mit den auf die Zeile gesetzten Indexbuchstaben. Die Grundvarianten sind in der Hauptsache nichts anderes als die Grundvektorableitungen, welche in unserer Symbolik auch bei höherer Differentiationsordnung in einfacher Form erscheinen, während sie in der gewöhnlichen skalaren Schreibweise verhältnismäßig unübersichtliche vielgliedrige Ausdrücke werden, deren Transformationsweise und geometrische Bedeutung nicht un- Mathcmatische Annalen. 96. 45

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mittelbar zu erkennen Bind (s. z. B. u. S. 16 (19)). Die Verwendung idealer (invarianter) Vektorfaktoren und die formale Darstellung invarianter Differentiationsprozesse mittels derselben scheint mir durch die hier gewählte Symbolik überflüssig zu werden. Die Schreib- und Rechenweise mit den (realen) Grundvektoren ist nicht unhandlicher als die mit jenen idealen Elementen, ja durchweg einfacher. Ferner aber, und dies scheint mir das wesentlichste Moment zu sein, tritt nicht nur bei allgemeinen invariantentheoretischen Überlegungen, sondern auch bei allen praktischen Anwendungen des Kalküls auf geometrische und physikalische Probleme die Notwendigkeit ein, Komplexe von Grundvarianten zu betrachten, zu spezialisieren und zu berechnen, so daß die formale Elimination derselben durch die idealen Faktoren dann sowieso rückgängig gemacht werden muß 4 ).
Charakteristische Feldgrößen und Kernbildung können, außer daß sie als Invarianzkriterium und zur Reduktion dienen, noch eine dritte Funktion übernehmen, nämlich die, einen vorgelegten Differentialausdruck <p(ß), der nur bei Transformationen T' invariant ist, bei einer umfassenderen Gruppe T invariant zu machen. Wenn ylj?' und C |W zu dieser letzteren Gruppe gehören, so kann man mit ihnen rp ( Q ) spalten in einen Kern <p 0 (0) und einen Rest <p r . Da <p(£2) bei T' und nicht bei T invariant ist, so verschwindet cp r nicht identisch in den Alp . Wenn man nun die
in hohem Maße willkürliehen A if' und C (p) so bestimmt, daß cp r bei T' verschwindet,
A t
so wird <p 0 (0) bei T' mit q>(Q) identisch und ist überdies invariant bei T. Neben dieser Art, invariant zu machen, gibt es jedoch noch andere Weisen. Die Klärung der methodischen Bedeutung des Invarianzgedankens in der modernen Physik setzt zunächst voraus, daß man diese verschiedenen Formen unterscheidet; denn darauf gründen sich die verschiedenen physikalischen Bedeutungen, welche das Relativitätsprinzip als Prinzip invarianter Formulierung in seinen einzelnen Anwendungen annimmt.
II. Teil. Tensorfelder im vollen Raum und allgemeine Vektorübertragung.
4. Operations- und Zeichensystem der Tensoranalysis.
In diesem Abschnitt sollen bekannte Elemente der Tensoranalysis in einer für unsere Zwecke geeigneten Fassung kurz zusammengestellt werden 6 ).
Das grundlegende Konstruktionselement ist der difïerentialgeometrische Verschiebungsvektor ( Vektor erster Art) d. h. die auf eine zugehörige Parameteränderung (dt) bezogene kleine Punktverschiebung (d£,-). ^ sind dann die Bestimmungszahlen des Verschiebungsvektors. Vektoren können
*) Eine derartige Anwendung auf die Elastizitätstheorie der Schalen, sowie einen
Versuch, die nachstehend angedeuteten Unterscheidungen in den Prinzipienfragen der
Relativitätstheorie durchzuführen, hoffe ich demnächst vo rlegen zu können.
6 ) Zu dieser Nr. und Nr. 8 und 10 darf wohl bemerkt werden, daß die Grundbegriffe dieser Arbeit bereits 1921/22 im Anschluß an meine Bonner Dissertation (Über die Parallelverschiebung im Riemannschen Räume) von 1921 entstanden sind. Literaturhinweise auf inzwischen erschienene Publikationen bedeuten daher nicht die subjektive Abhängigkeit von ilmen.

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
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als solche variant sein d. h. mit dem Koordinatensystem andere vektorielle Werte annehmen. Die Bestimmungszahlen invarianter Verschiebungsvektoren transformieren sich kogredient mit den (kontravariant). Der Tensor erster Art und s-ter Stufe ist symbolischer Träger einer skalaren Linearform von s Argumentvektoren erster Art. Er ist invariant, wenn er invarianten Argumenten invariante Formwerte zuordnet 8 ). Der Tensor erster Art und erster Stufe heißt auch Vektor zweiter Art. Tensoren zweiter und gemischter Art haben Vektoren der zweiten Art und Vektoren beider Arten zu Argumenten. Für sie gelten die analogen Definitionen der Invarianz. Die algebraischen Tensoroperationen können nach Einführung der invarianten homogen-linearen Kompositionen für Verschiebungsvektoren (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar) ohne Kekurs auf Bestimmungszahlen definiert werden. Wir benutzen drei direkt geschriebene algebraische Operationen:
1. Die „Uberschiebung" eines Tensors mit Vektoren.
2. Die Addition und Subtraktion zweier gleichartiger Tensoren.
3. Die Multiplikation zweier Tensoren beliebiger Art und Stufe.
1. ist dadurch definiert, daß in der Vektorform ein unbestimmtes Argument durch ein bestimmtes ersetzt und die Form nur noch in Abhängigkeit von den übrigen Argumenten betrachtet wird, so daß Stufenerniedrigung eintritt. Wir schreiben den nicht-vektoriellen Tensor mit großen gotischen Buchstaben, z. B. 2Í, 93, ..., die Vektoren beider Arten mit kleinen. Die Uberschiebung wird durch einfaches Danebensetzen ausgedrückt. SI b ist also Überschiebung des Tensors 21 mit dem Vektor 6. Müssen, was selten vorkommt, in 21 die Argumentstellen, an denen die Überschiebung stattfindet, unterschieden werden, so kann dies durch aussparende Punktierungen geschehen: 21 f>, 2t-b, 21-6 usw. wären demnach Uberschiebungen an erster, zweiter, dritter usw. Argumentstelle. Bei Symmetrie von 2Í fällt eine solche Notwendigkeit eo ipso fort; die skalare Vektorform des Tensors dritter Stufe mit den vektoriellen Argumenten £, t), g wird demnach geschrieben : 2Í £ t)
2. und 3. sind definiert durch die entsprechenden skalaren Verknüpfungen der Vektorformen:
(5) (2I±93)íi)...=2íjD...±93 £ D;L.,
(6) (21 X S3) ... ut) ... = (2íub ...) (58 j t) ...).
Die (übrigens willkürliche) Ordnung der überschiebenden Argumente
8 ) Variante Vektoren und Tensoren scheinen mir bei dieser Auffassung die ( Hessenbergsche) Bezeichnung Pseudovektoren (-tensoren) ebensowenig zu verdienen wie mit dem Koordinatensystem veränderliche Zahlen die Bezeichnung Pseudozahlen.
45*

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F. Krauß.
in (6) ergibt für die Überschiebung von 91 x ... x 58 x £ die „Uberschiebungsregel" in dem Sinne, daß zuerst der rechtshändige Faktor £ bis zum Skalar durchüberschoben wird, hierauf der links anschließende 58 usw. Diese Multiplikation enthält die Multiplikation eines Tensors mit einem Skalar als denjenigen Spezialfall, bei dem ein Faktor von nullter Stufe ist. Das Zeichen x kann daher auch für Multiplikation mit Skalaren benutzt werden.
1. und 3. haben allgemeine Produkteigenschaft und sind daher mit 2. distributiv verknüpft. 2. und 3. sind assoziativ. Damit sind die wesentlichen Rechenregeln gegeben. Sie sind einfach und dem skalaren Rechnen sowie der elementaren Vektoralgebra analog. Die Klammersetzung ist gegeben durch die bei fehlenden Klammern geltende Ausführungsfolge (wobei wir die erst unten einzuführende Differentiation vorwegnehmen): 1. Differentiation, 2. Uberschiebung, 3. Multiplikation, 4. Addition.
Die n- reihige Einheitsmatrix, aufgefaßt als System von Bestimmungs- zahlen von n Varianten Verschiebungsvektoren, definiert die Grundvektoren erster Art. Variante Elemente werden stets mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Da die Grundvektoren die fundamentalen Grundvarianten sind, aus denen sich alle übrigen durch Differentiation und algebraische Komposition ableiten lassen, so bedürfen wir einer möglichst einfachen Bezeichnung für sie. Wir schreiben daher den zur Koordinatenlinie der Si, f y., I;., £», ■■■ gehörigen Grundvektor erster Art mit den auf die Zeile gesetzten Indexbuchstaben l,x,X,q,... . Bei numerischer Bestimmtheit
der Indizes schreibt man zweckmäßig 1,2 Die (unterpunktierten)
Grundvektoren zweiter Art sind (vormetrisch) definiert durch die Reziprozitätsbedingungen :
und können auch bestimmt werden als diejenigen Varianten Vektoren zweiter Art, welche jedem Vektor erster Art durch Uberschiebung seine Bestimmungszahlen zuordnen.
Die Bestimmungszahlen eines Tensors s-ter Stufe 21 lassen sich niui- mehr definieren als Überschiebungsprodukte von 31 mit s Grundvektoren, wobei je nach der Art von 2Í Grundvektoren nur erster oder nur zweiter Art oder aus beiden Arten gemischte zu nehmen sind, so daß die Bestimmungszahlen von 2t sich schreiben : 21c* ... oder 21 ix ... oder 21 ix ... nsw. Überschiebungen von 21 mit p (np s) Grundvektoren ergeben Koordinaten p-ten Ranges und (s — p)- ter Stufe von 2t, so daß die Bestimmungszahlen als Koordinaten 5- ten Ranges und skalarer (nullter) Stufe erscheinen. Für die tensorielle Rechnung und invariantentheoretische Überlegung besteht
(7)

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
701
zwischen Koordinaten gleichen Ranges und gleicher Art von Tensoren verschiedener Stufe kein Unterschied. Aus ihnen können deshalb gleichartige Invarianten gebildet werden, so daß die Erzeugung derselben von der Stufe der Tensoren unabhängig wird. Grundlage der algebraischen Invariantenbildung ist natürlich die Kontragredienz der Vektorkomplexe i. und «. Die ersteren transformieren sich gemäß :
(8) '-2w*-
wo die iiberstrichenen Zeichen sich auf das alte Koordinatensystem beziehen. Algebraische Invarianten sind Summen aus Produkten, in denen die L und i. als einzige variante Faktoren stehen und über die kontra- gredienten i und i paarweise summiert wird 7 ). Dabei ist es für die Invarianz gleichgültig, mittels welcher der beiden Produktoperationen 1. und 3. (s. o. S. 699) die Produke gebildet sind. Die einfachsten Invarianten sind die Dimension und der (gemischte) Einheitstensor
(9)
Ist 2hx .. .V Koordinate p-ten Ranges des Tensors 21, so hat der Tensor die Zerlegung p-ten Ranges:
(10) 2Í = Y, 2D ?... V X V X ... X X ¿ .
Skalare Koordinaten ergeben die vollständige Zerlegung des Tensors. Die mit 2Í gleichstufigen Glieder dieser Zerlegung sind die Komponenten p-ten Ranges. Die drei algebraischen Grundoperationen sind gerade diejenigen, welche hinreichen, um mittels der Grundvektoren einerseits den Tensor in seine Bestimmungszahlen abzubauen, andererseits ihn wiederum daraus zusammenzusetzen. Die Koordinaten invarianter Tensoren sind kogredient mit den Produktkomplexen der sie erzeugenden Grundvektoren, daher ebenso wie diese, von erster Transformationsordnung und invariant bei Transformationen der Gruppe T 1 . Die Darstellung eines bei T 1 invarianten Differentialausdrucks durch Koordinaten invarianter Tensoren bedeutet daher die Reduktion desselben bei T 1 .
Ist a ein beliebiger Vektor, so ist bekanntlich die allgemeine (lineare) Vektorübertragung 8 ) durch da = 0 definiert, wo das invariante Differential d einer unendlich kleinen Verschiebung im Felde entspricht und folgende Beziehungen gefordert werden:
(H) =
Q
') Daß Summierungszeichen bezieht sich stets auf paarweise gleiche Zeiger,
diese mögen nun Grundvektorzeiger oder Ableitungszeiger (hochgeschriebene) sein.
8 ) Siehe z. B. Schouten, a.a.O. S. 62ff.

702
F. Krauß.
d (a ± b) = da ± db,
d(pa) = (dp) a -\-p(da) .
Hier ist p ein beliebiger Feldskalar und í> ein Vektor derselben Art wie a.
Wegen der Zerlegbarkeit aller Vektoren nach den Grundvektoren ist eine solche Vektordifferentiation bekanntlich allgemein definiert, wenn die Ableitungen der Grundvektoren t und i in irgendeinem Koordinatensystem
durch beliebige Feldfunktionen festgelegt sind. Wir schreiben im folgenden
d ( )
an Stelle des Ableitungszeichens —p einfach ( ) e . Die Größenkomplexe
e
i« x und i e X sind also die fundamentalen Grundgrößen der allgemeinen Vektorübertragung (gewöhnlich mit r," e und F 0 ¡, bezeichnet). Sie sind Differentialvarianten von zweiter Transformationsordnung-, ihre Transformationsweise ist durch die Kovarianz der i, die Kontravarianz der i und die allgemeinen Differentiationsregeln (11) bestimmt. Beliebig fortsetzbare Vektordifferentiationen höherer Ordnung sind nunmehr ebenfalls definiert. Die Koordinaten der Grundvektorableitungen höherer Ordnung t«° ■■■ und is°- - sind ganze rationale Kompositionen aus den Fundamentalgrößen und ihren Ableitungen (s. u. S. 703, (19)). i e x + xe i ist Koordinate eines invarianten Tensors dritter Stufe (des Einheitsgradienten): (£', fl ) so daß
(12) X s L = &' qix — is X .
Wir können daher auch i- x und ©' qix als fundamentale Grundgrößen ansehen.
Auf Grund der Vektordifferentiation kann in verschiedener Weise eine invariante Differentiation von Tensoren höherer Stufe definiert werden. Ist Sí ein solcher Tensor und sind 31 l x ... y seine Bestimmungszahlen, so erhält man bekanntlich eine kovariante Ableitung 2-1 5 durch Erweiterung in folgender Weise:
(13) 9i e i x ... V — (21 í x ... v) e — ie x ... V — tyine ...V — ... — 'üix . ,.v e .
Eine andere kovariante Ableitung erhält man durch reguläres Durch- dift'erenzieren des vollständig zerlegten Tensors:
(14) 2 (21 < ... v) e x V x ... x i
+ 2 2t Í . . . )' X VB X . . . X i ; . . . -)- 21 1 . . . V X V X . . . X l S .
Die derart entstehenden Gradienten (erster Ordnung) 9 ®) sind Tensoren mit um eins erhöhter Stufe. Der Gradient von 21 wird mit 2t' bezeichnet und es ist also:
(15) %' = 2Wxq, 2I' i? = 2I £? .
°) Scliouten, a. a. O. S. 66.
"") Eine Terminologie, welche den Tensor 2Í' von seinen Koordinaten 21 2 , den ko variant en) Ableitungen, unterscheidet, ist um so mehr geboten, als auf Gebilden (s.u. S. 712) der Gradientprozeß die Querrichtung voraussetzt, die Ableitung aber nicht.

Differentialinvarianten und Vektoriibertragung.
703
Die durch die beiden verschiedenen Definitionen gewonnenen Einheitsgradienten ($' sind entgegengesetzt gleich. Das Verschwinden von ©' oder die äquivalenten Beziehungen
(IG) i&y. — — x e t
haben die Äquivalenz beider Gradientprozesse zur Folge. In beiden Fällen ergibt die Differentiation von Produkten beider Arten zunächst ein Hauptglied, das durch gewöhnliches Durchdifferenzieren der Faktoren entsteht; hinzu treten Zusatzglieder, in die außer den ursprünglichen Faktoren der Einheitsgradient eingeht. Wird letzerer Null, so gilt demnach für die Differentiation allgemein die gewöhnliche Produktregel. Es ist für unsere Überlegungen gleichgültig, welche Art von Gradientbildung gewählt wird. Der Einfachheit halber legen wir im folgenden die zweite Art zugrunde. Bei dieser gilt:
CS'o = 6 ! '=2'i s x¡+2'íXí s , (9Ib) e = 2I e b+2Ib e - Web).
Aus der ersten dieser Formeln kann man (s. o. (12)) alle Ableitungen «<?••• durch die i e ■ ■ und Gradienten von (£ ausdrücken.
Ist ein beliebiger Ausdruck aus irgendwelchen Tensoren und den Grundvektoren mittels der definierten tensoriellen Zeichen und Operationen erzeugt, so verstehen wir unter seiner vollständigen Zerlegung die Darstellung seiner Bestimmungszahlen durch die Bestimmungszahlen jener Tensoren, die fundamentalen Grundgrößen, sowie die Ableitungen dieser beiden Größenarten nach den Punktkoordinaten. Das Verfahren zur Zerlegung in Koordinaten ist natürlich folgendes: Man überschiebt den direkt, geschriebenen Ausdruck s-ter Stufe mit s Grundvektoren, so daß seine Bestimmungszahlen entstehen. Hierauf zerlegt man jede nicht-skalare Größe (außer den Grund- vektoren), z. B. 9t, in dem Ausdruck vollständig d. h. in ihre Bestimmungszahlen und die Grundvektoren (s. o. S. 701 (10)). An diesem Zerlegungsaggregat werden die Operationen, welche 9t mit anderen Elementen des Ausdrucks verknüpfen, nach den Regeln des Kalküls ausgeführt. Bei Differentiationen von 9t ergeben sich dann Ableitungen der Grundvektoren und der Bestimmungszahlen von 9t. Die ersteren zerlegt man analog unter Einführung der fundamentalen Grundgrößen i e x und i e x. Beispiele:
(18) (div9t);.=2?9te ? A=2;(9t iX x ¥X£ ) e ? A=^(9t ? A) e +2?%xx ¥ e;.+2;9t,Ax I e ? ,
í ear r=2Xi^y. X y.y r ^(cS r )"+2](^}.x,. a 9 + («e p )')x«*r
-f2^i G fx(;.°r) r + 2J(i e i-) z x>. a \ . Die drei invarianten Grundtensoren zweiter, dritter und vierter Stufe:
(S
(20) %iq = i e — Q' j
§ g oi = <<?" —

704
P. Krauß.
sind Fundamentaltensoren, da, wie die folgenden Betrachtungen zeigen, auf sie alle Invarianten mittels des Gradientprozeßes und algebraischer Komposition reduziert werden 10 ). § ist der verallgemeinerte Riemannsche Tensor. Ç liefert bekanntlich den Seitenexzeß im kleinen Dreick 11 ).
Es ist nunmehr unsere Aufgabe, aus den fundamentalen Grundgrößen charakteristische Grund Varianten (s. o. S. 696) zu bilden und mit ihnen die Zerlegung aller Varianten Elemente in Kern und Rest zu bewerkstelligen.
5. Die charakteristischen Grundvarianten der allgemeinen
Vektor Übertragung.
Wir betrachten die fundamentalen Grundgrößen x, deren Ableitungen sowie Größen der Form i sa "'y. Letztere sind ganze rationale Kompositionen aus jenen, in der vereinfachenden unzerlegten vektoriellen Form geschrieben (s. o. S. 703, (19)). Ein System von Größen (i 8 ?)"'" oder von Größen ie a ---K heiße permutationsfrei (bezüglich der i, o, a, ... ; y. kommt nicht in Betracht), wenn nicht zwei Elemente darin vorkommen, von denen das eine durch Permutation der aus dem anderen
hervorgeht. Ein permutationsfreies System wird vollständig heißen, wenn bei einer festen Höchstordnung der zugelassenen Ableitungen alle Index- kombinationen der t, q, o, ... einmal vertreten sind. Die Transformationsordnung einer Größe (i c x)""' oder i ea "y. ist, da i von erster, r also von. zweiter Ordnung ist usw., gleich der Anzahl der Zeiger i, q , o ,... .
Eine einfache Überlegung zeigt nun, daß ein vollständiges permutat ionsfreies System von der Höchstordnung p sowohl aus Größen (i-y. )"'" wie aus Größen i s "'"y. ein System A^l ist. Wir wählen das letztere System, weil es wegen der vektoriellen unzerlegten Schreibweise die zugehörige Kernbildung vereinfacht.
Das Bedingungssystem B Ti (t ) (s. o. S. 693) ist:
(21) (t y- d A-l °» i + "
(21) ^ "»ft -\ 1, i-*'
10 ) Unter Fundamentaltensoren des Raumes oder eines Gebildes im Räume verstehen wir unabhängige Tensoren von der Art, daß sich aus den Bestimmungszahlen dieser Tensoren und ihrer Gradienten beliebiger Ordnung alle skalaren Differentialinvarianten und Bestimmungszahlen aller invarianten Differentialformen, die durch die Grundbestimmung des Raumes und die Eigengestalt des Gebildes gegeben sind, rein algebraisch d. h. ohne weitere Differentiation komponieren lassen. Auf Gebilden werden dabei sowohl die mit den inneren wie die mit den äußeren Grundvektoren gebildeten Bestimmungszahten zugelassen (s. u. S. 712).
") Siehe Schouten a. a. O., S. 67, wo g mit 2 S j ,' t '' bezeichnet ist.

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
705
Berücksichtigen wir, daß hierdurch
wird, so erhalten wir für Größen ie a ~-x von q -ter Transformationsordnung durch Einsetzen von (8), S. 701, Ausführung der Differentiationen und Transformieren derselben auf die alten (überstrichenen) Koordinaten Transformationsgleichungen der Form:
/ r* r* \ go ... jipa... , ip (J ... j i pes ... / Z \ip es ...
(22) r x = K -fz/ , K: =(£*)
Das z-Glied enthält nur Transformationsableitungen von niedrigerer Ordnung als das A -Glied, außerdem alte Grundvektorableitungen, die den zu co = gehörigen Komplex G m bilden (s. o. S. 693). Infolgedessen ist
auf der rechten Seite das h- Glied durch Transformationen aus T 1 unabhängig vom z- Glied zu variieren. Sind nun die is a --x permutationsfrei, so sind die zugehörigen h- Glieder es auch und daher willkürlich und unabhängig voneinander zu transformieren, da unter ihnen nicht zwei vor- , kommen, die sich bloß durch Vertauschung der Ableitungsindizes i, g, o, ... unterscheiden und somit identisch wären. Hieraus folgt: Ein permuta- tionsfreies System von Größen iß"---x ist frei variant und annullierbar bei T x .
Ist das permutationsfreie System der i" ■■■ k vollständig (von der höchsten Transformationsordnung p), so hat man eine Folge von Trans- formationsgleichungssystemen der Form:
=(ir +^ s
(22') =(L)ie °
^ ' OOT /P \IQGZ i LOGT
r ? = (§*) + z*
Den Indizes sind alle mit der Permutationsfreiheit verträglichen Werte zu erteilen. Wegen der Vollständigkeit des permutationsfreien Systems sind alle Transformationsableitungen als erste Glieder (h- Glieder) der rechten Seiten vertreten. Alle im z- Glied einer beliebigen Gleichung vorkommenden Transformationsableitungen stehen in den voraufgehenden Gleichungen als A -Glieder. Die im ersten System vorkommenden z - Glieder sind wegen (21) Zx e = ï c 'x. Indem man, mit diesem ersten Gleichungssystem beginnend, aus jeder Gleichung das h-Glied ausdrückt und in die folgenden Gleichungen substituiert, erhält man sukzessive alle h -Glieder, d. h. alle Transformationsableitungen bis zur p-ten Ordnung rational und ganz dargestellt durch die ie- x und alte (feste) Grundvektorableitungen. Da überdies permutationsfreie is-x frei variant sind, so folgt:

706
F. Krauß.
Das System der Bestimmungszahlen eines vollständigen permutations- freien Systems aus Ableitungen von Grundvektoren erster Art bis zur (p — l )-ten Ordnung ist ein System A$l d. h. ein in p-ter Ordnung charakteristisches System von Grundvarianten bei der Gruppe T x . Es setzt sich rational und ganz zusammen aus den fundamentalen Grundgrößen der allgemeinen Vektorübertragung und deren Ableitungen von nicht höherer als (p — 2) -ter Ordnung.
Mit diesen A^l können wir nunmehr alle Difïerentialvarianten bis zur p-ten Ordnung und Funktionen aus ihnen in Kern und Rest zerlegen. Dabei brauchen wir, wie wir sehen werden, in unserem speziellen Falle, wo die Stammgrößen Tensoren sind, nicht den allgemeinen Eliminationsprozeß der t { " ] (s. o. S. 693) durchzufuhren, sondern können durch den Gradientprozeß und direkte Einführung der (S, g-, § unmittelbar die Kernbildung vornehmen.
6. Kernbildung mit den Grundvarianten der allgemeinen Vektorübertragung.
Wir betrachten eine beliebige Funktion cp von skalaren Größen der Form 21 IX...V, i e x, x und Ableitungen derselben nach den £,. Die 21 sind bei T 1 invariant, ihre Ableitungen indessen nicht. Diese werden unter Auffassung der 2 lix .. .v als Uberschiebungsprodukte von 2t mit den Grundvektoren nach den Regeln (17), S. 703, ausgeführt. Dadurch drücken sich alle (21 ix ... V y" aus als Aggregate von Uberschiebungsprodukten aus den invarianten 2Í, 2t', 2t", . .., den Einheitsgradienten ..., den bei T x
invarianten Grundvektoren t, i und den ¿e -- und i"---. Die (¿e*)"'" und (i e x)"'" werden in analoger Weise durch die Grundvektoren und die iß" — und iß"--- dargestellt. In dieser Form enthält cp als einzige bei T x variante Elemente, die ¡e" — und iß"-. Die letzteren drücken sich durch die ersteren und die ©", ... aus, so daß die iß a ••• die einzigen Varianten Elemente in cp sind. Die Kernbildung von cp wird dadurch bewirkt, daß man in cp die iß"— durch ihre Kerne ersetzt (s. o. S. 690), so daß auf die Bildung der letzteren alles hinausläuft.
Wir wählen A ( $\ so, daß p der Transformationsordnung der höchsten in cp vorkommenden Ableitung gleich ist. Es seien nun i'ß' a ' T '--x
die Koordinaten einer beliebigen in cp vorkommenden Grundvektorableitung. Dann gibt es in A t ] Elemente i" az ---x, welche Koordinaten eines Vektors ie oz... sind, der sich von i'ß' a ' T ' — nur durch Permutation der Zeiger unterscheidet. Dann ist:
(23) j'e'ffV... = t eai... — w iqot... w tear... _ j'e'ffV...
w lqoX... igt e j ne wirbelartige Bildung, welche sich in Teilwirbel zerlegt,

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
707
die durch Transposition benachbarter Indizes sich ergeben. Unter diesen sind drei Formen zu unterscheiden:
(24) 1. ie az - — 2. — i°er- } 3. _■ t —
Bei 3. stehen die Transpositionen nicht an erster oder zweiter Stelle wie bei 1. und 2. Wesentlich ist nun, daß infolge der Grundforderung en (11), S. 701 f., für die Vektordifferentiation sich 3. auf 2. zurückführen läßt gemäß :
(25) X — jie«"--).
In die Wirbel der Formen 1. und 2. kann man aber g". und § (s. o. S. 703) unmittelbar einführen :
(26) ie az -~ — Q lar ■■■ — LQ) nr , iQOr... _ ¿(Tgr... _ (¡QgOt)*"'.
Die Ausführung der Differentiationen an diesen vektoriellen Überschiebungen von g und § mit den Grundvektoren ergibt Aggregate aus ÜQ;
($", ¡£>"; usw. und Grundvektorableitungen von niedrigerer Ordnung als die ursprüngliche von '•••. Somit drückt sich diese letztere Größe durch ein Element aus A?], Grundvektorableitungen niedrigerer Ordnung und die Fundamentaltensoren (£, § und deren Gradienten aus. Mit den noch vorkommenden Grundvektorableitungen niedrigerer Ordnung verfährt man ebenso, bis alle nicht in A^l enthaltenen i'e'—x durch die A á? und die (£, sowie deren Gradienten eliminiert sind.
Die sich so ergebende Komposition für i'e' (bzw. für die Bestimmungszahlen i'e'°' r '■■■x) ist ein Aggregat von Produkten aus A t], § und Gradienten von ©, sowie den bei T 1 invarianten Grundvektoren.
Diejenigen Produkte, welche keinen Faktor aus A?] enthalten, sind daher bei T 1 invariant, die übrigen aber verschwinden mit den A?]. Also bilden diese letzteren den Rest, die ersteren den invarianten Kern.
Somit gilt der Reduktionssatz der allgemeinen Vektorübertragung: Ist <p (Q) eine Invariante bei T 1 , so ist sie mit ihrem Kern identisch und hat daher eine reduzierte Form aus den in Q stehenden Stammtensoren und deren Gradienten, soivie den Fundamentaltensoren (S, fÇ, § mid deren Gradienten.
Die Höchstordnung der Gradienten bestimmt sich durch die höchste Transformationsordnung der in cp ursprünglich vorhandenen Varianten Elemente. Erst nach Adjunktion von (£, § zum Stammsystem erzeugt also der Gradientprozeß allein die invarianten Tensoren, aus denen sich alle Differentialinvarianten rein algebraisch (projektiv) zusammensetzen lassen.
7. Beispiele. Reduzierte Differentiation. Wir erläutern zunächst an drei sehr einfachen Beispielen die Verwendung der Kernbildung als Invarianzkriterium.

708
F. Krauß.
Zu untersuchen ist die Invarianz der Rotation
(27) (rot 9í)t* = (9li) K — (St«)'.
Durch Ausdifferenzieren und Einführung von (£ und % hat man:
(91 - 91'**)- 9I(®'*< - ©'«*) + SÍ(gí*).
Ein Rest tritt nicht auf, so daß Invarianz bei T 1 und Tensorcharakter vorliegt. Die in die einzelnen Glieder eingehenden i^x, t°x fungieren lediglich als variante Scheinargumente, von denen die Rotation tatsächlich unabhängig ist.
Desgleichen untersuche man:
(28) cykl. (9(<*) A = (SI <x) 1 + (SUt)*+ (91**)'.
Wir erhalten:
cykl. (S hx)'- = cykl. 3 V hx — cykl. Si (©'At)* — cykl. 9i« (©'/*)
+ cykl. (91«** + 91«**), cykl. 9Í «* ; - = cykl. 9Í* V = cykl. Sí* t ; - + cykl. 91
Nachdem so die vorkommenden i'-, *.'■ permutationsfrei gemacht sind, kommt als Rest:
cykl. (Sit** + 9l*« A ).
Dieser Rest verschwindet dann und nur dann identisch in den i'- und *, wenn 91 antisymmetrisch ist.
Man untersuche desgleichen (Sí;) e —(SÍ£>)'. Die Zerlegung ergibt als Rest:
91 — 91 g' = .¿"91* X (« s * — Q 1 *) = — Jb"9í* X (* e i — * l q ),
wo *' und k " permutationsfrei sind. Dieser Rest verschwindet nicht identisch in den *' und *e. Also hat (9Í«) S — (9íp)' nicht Tensoreigenschaft 12 ).
Nach dem Bisherigen können nach Adjunktion der § zu den
Stammtensoren alle Differentialinvarianten gebildet werden durch Gradientprozeß und rein algebraische Komposition (worunter hier jede Komposition einer Größe aus Koordinaten von Tensoren ohne Differentiationsprozeß verstanden werden soll). Die algebraische Komposition enthält als variante
12 ) Ist der vorgelegte Differentialausdruck <p{ü) unabhängig von t-* und i e x, so kann man trotzdem den Gradientprozeß formal handhaben und mit ihm die Invarianzuntersuchung machen, wobei man die Grundbestimmung 6tets durch die Voraussetzungen @'= g = § = 0 spezialisiert denken kann. In ähnlicher Weise kann man auf Gebilden (s. u. Teil III) eine beliebige Querrichtung als formale Hilfskonstruktion annehmen, um vorgelegte Differentialausdrücke zu untersuchen, obgleich diese von der Auszeichnung einer Querrichtung unabhängig sein mögen.

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
709
Grundelemente nur die Grundvektoren i und i. Sei nun eine bei T 0 invariante Größe dieser Art gegeben, wo A die vorkommenden invarianten Elemente symbolisiere. Dann ist <p'- eine bei T 0 lcovariante und bei T 1 invariante Ableitung. Die Ausführung des Differentiationsprozesses an (p wird aber außer Gradienten A' auch Ableitungen t e und ergeben, so daß nach der Differentiation keine reduzierte Form mehr vorliegt. Es ist aber erwünscht, in reduzierten Formen rechnen zu können, da diese als Normalformen fungieren und durch die Abwesenheit der nicht tensoriellen Elemente «£•••, ie-~ die Struktur und Invarianz der Kompositionen einfacher hervortreten lassen. Für die Herstellung reduzierter Formen gilt das Prinzip: Enthält eine invariante Funktion nur frei variante Elemente, so können diese in ihr annulliert werden. Es sei nun (ps eine Komposition der Form y(A, A' , t, i, « e , t e ). Man denke sich die i' ■ durch die i« und (£' ausgedrückt:
f e = ®V? -
so daß man erhält:
yj (A, A', i, t, i e , (&'g • f — ^ 'l e ix Ä)).
Alle in dieser Komposition auftretenden i" und I e haben denselben Zeiger q. Sie sind deshalb ein permutationsfreies System. Andere bei T í variante Elemente kommen nicht vor. Da die permutationsfreien i e , I e bei T 1 frei variant sind, da ferner yj bei T 1 invariant ist, so können in yj die is direkt annulliert werden. Hieraus folgt die Regel der reduzierten Differentiation: Ist <p(A,i,i) eine Invariante und daher <p G eine ¡covariante Ableitung, so kann man bei Ausführung der Differentiation die i als konstant ansehen und die entstehenden i° durch (S'g ■ i ersetzen, so daß man sogleich die reduzierte Form des Ergebnisses erhält. Damit ist gleichzeitig bewiesen, daß bei beliebiger Anwendung der kovarianten Ableitung und rein algebraischer Prozesse zwar ©', niemals aber einer der Wirbel und § neu eingeführt werden kann. Die (£, ^, § sind demnach nicht aufeinander reduzibel mittels des Gradientprozesses.
Um die Anwendung der reduzierten Differentiation an einem einfachen Beispiel zu zeigen, leiten wir die tensorielle Verallgemeinerung der elementaren Vektorformel:
rot rot a = grad div a — div grad a
ab. Und zwar der Einfachheit wegen für den gewöhnlichen Riemannschen Raum ((J' = g = 0). Die allgemeine rot ist definiert durch:
(rot 2l)« e = (3t«) e — (91g)',
die allgemeine div durch:
div SI = £VL e e = 2W'e?- Sieht man von der bekanntlich in Varianten theoretisch inkorrekten und nur im drei-

710
F. Krauß.
dimensionalen Gebiet möglichen Identifizierung einer Vektorrotation mit einem Vektor ab, so ist die gewöhnlich mit rot rot bezeichnete Invariante — div rot. Es ergibt sich:
rot 91 = 2 (3t 'j * — 21', { )x «X t ,
div rot 31 = ^ ((91 ';jt - 3t 'x { )x »x «)V
Die reduzierte Differentiation liefert für den letzteren Ausdruck:
div rot 31 = 2 (31 "sex - 2t" e?? )x * = Z"ä" e? -2%" ev ex*-
Ferner ist:
div grad 31 = 2J (91''. x grad div 31 = 2J (2l'ee)*x* , und durch reduzierte Differentiation:
div grad 31 = 2J 31% g , grad div 31 = r 3("x SS x¡¡ .
Also :
div rot31 = div grad 31 — grad div 31 + (9l"* e ¿> — 31"e*e)x ?
\ /
2 (31 y.ee — 9t' e) <e)x ? = J£(rotgrad 3t) e .g.
rot grad 31 ist, wie die vollständige Zerlegung von 3t lehrt, eine Überschiebung von 3t mit dem Riemannschen Tensor § und verschwindet mit diesem.
Die relativistische Elektrodynamik formt bekanntlich die Maxwellschen Gleichungen mit Hilfe eines vierdimensionalen Vektorpotentials f, eines schiefsymmetrischen Feldtensors g- und eines vierdimensionalen Stromvektors § zunächst um zu:
div grad f = 3, rotf = Ç, cykl. (g ( „)*= 0, div f = 0 .
Die erste Gleichung ist die retardierte Potentialgleichung und schreibt sich in einem orthogonalen Koordinatensystem :
d~ fi , 3 2 f i , 3 2 ft 1 ä" fi
«t-o i o j. Q ' a f~° n 2 o ^ *
af- 0f 3 " C
An ihr ist die Lorentz-Invarianz unmittelbar erkennbar, und sie ist der eigentliche Ausgangspunkt der ganzen Theorie. Nun gibt aber die Relativitätstheorie die endgültige Feld-Strom-Gleichung in der Form:
( 30 ) div g = div rot f = â .
Der Zusammenhang dieser Formel mit der retardierten Potentialgleichung wird erst, wie mir scheint, durch die obige Zerlegung (29) von div rot deutlich. Da divf = 0, so wird, wenn § = 0, div grad f = div rot f. Liegt aber Gravitation vor, so ist die retardierte Potentialgleichung nicht mehr äquivalent mit (30). Es tritt vielmehr ein Glied hinzu, das den Einfluß der Raumkrümmung auf die Potentialgleichung zum Ausdruck bringt.
III. Teil. Tensorfelder auf Gebilden.
8. Tensoroperationen auf Gebilden.
Wir betrachten in diesem Teile vektorielle und tensorielle Größenfelder, die auf Gebilden definiert sind, und aus denen durch den im Räume

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
711
vorgegebenen Ableitungsprozeß Differentialinvarianten erzeugt werden. Zunächst stellen wir wiederum kurz bekannte Elemente der allgemeinen ten- soriellen Differentialgeometrie in besonderer Form zusammen 13 ).
Die (inneren) Koordinaten in dem im Vollraum R n liegenden Gebilde (Kurve, Fläche usw.) R m (ra < n ) werden von nun an mit £ t ,£ x , ... bezeichnet (griechische bis ra laufende Zeiger), die Koordinaten im vollen Räume R n und auf R m (äußere Koordinaten) mit | 7l , £ k , ... (lateinische bis n laufende Zeiger). Das Gebilde sei analytisch regulär, so daß die (f ;i )'"" bis zu behebiger Ordnung bestimmte endliche Werte haben. In unseren Betrachtungen treten nunmehr an Stelle der äußeren mit h,j,k,... zu bezeichnenden Grundvektoren die inneren ..., die zu den inneren
Koordinaten 1^, in R m gehören. Diese i sind Verschiebungsvek- toren auch im vollen (n- dimensionalen) Räume und haben die äußeren Koordinaten: <ft=(f 7l ) 1 - Bestimmungszahlensysteme mit griechischen Zeigern (3 hx. 58 ff..., (£(*...) bestimmen bekanntlich nur dann Tensoren im Vollraum, d. h. sie liefern nur dann mit beliebigen, durch irgendwelche, äußere Koordinaten gegebenen, auf R m stationierten Vektoren in R n bestimmte Formwerte, wenn sie von der zweiten Art, und also die griechischen Zeiger unterpunktiert sind. So hat man z. B. als Überschiebung von 3t{>£ mit den Vektoren £,ty: 9Í (p)(>") (*)?') (?'*)> so ^aß:
die äußeren Koordinaten des durch 2(/, x bestimmten Tensors sind. Die Vek- ; toren t sind als Vektoren im Vollraum R n erst dann definiert, wenn ein, (n — ra)-dimensionales Kontinuum nicht-tangentialer Verschiebungsvektoren invariant ausgezeichnet ist. Bilden nämlich q 1; q 2 , ..., q„_ m eine Basis dieses pseudonormalen oder, wie wir lieber sagen wollen, quergerichteten Kontinuums, so sind die i als Vektoren zweiter Art im Vollraum definierbar durch:
Jetzt erst definieren auch Koeffizientensysteme mit nicht punktierten, griechischen Zeigern n- dimensional e Tensoren gemäß:
9Í = J^SÍíjíX^xí.
Den durch die (n — ra)-dimensionale Querrichtung definierten Tensor
nennen wir Richtungstensor von R m . Die kovariante Ableitung 91"' eines, (n- dimensionalen) Tensors 9Í ist von der Querrichtung unabhängig und
9Inj — y^h.KXKX i)„j = J}91 {?('»)(»/)
(31)
= y, i X i
13 ) S. z. B. Schouten, a. a. O. S. 136 ff., 173 ff., 183 ff.

712
F. Krauß.
lediglich durch die Übertragung im Vollraum definiert auf Grund der vollständigen Zerlegung von 21:
Dagegen setzt der zugehörige Gradient längs R m , den wir mit 31' bezeichnen, die Querrichtung voraus; denn er ist definiert durch:
(32) 2l' = i;2l e x ? .
Alle Formen, ganz gleich durch welche Art von Bestimmungszahlen sie ursprünglich definiert' sind, können nunmehr als Tensoren im Vollraum, die auf R m verteilt sind, angesehen werden; sie haben äußere Koordinaten und gestatten die soeben angegebene (äußere) Gradientbildung längs R rn , welche wiederum auf Vollraumtensoren führt. Formen, die durch innere Bestimmungszahlen (griechische Zeiger) gegeben sind, lassen, wenn eine innere Maßbestimmung Gix existiert, einen inneren Ableitungs- und Gradientprozeß zu mit Hilfe der aus den (Gix) e gebildeten ChristofEelschen Symbole. Diesen inneren Gradient- und Ableitungsprozeß machen wir dadurch kenntlich, daß wir seine Zeiger in Klammern einschließen: () (,) , () <e) . An jedem Tensor können durch Überschiebung sowohl mit den h, h, als auch mit den i,i Koordinaten verschiedener Stufe gebildet werden 1 *). Die Eigenschaft von Tensoren, an einer Argumentstelle tangential (oder quergerichtet) zu sein, ist natürlich dadurch definiert, daß der Tensor, an dieser Stelle mit einem quergerichteten (oder tangentialen) Vektor überschoben, verschwindet. Die (tensorielle) Tangentialkomponente eines Tensors SI auf R m ist: ^91 ix...vxvx...xxxi. Aus §1 ergeben sich Tensoren, die in R m mit 91 äquivalent und an gewissen Argumentstellen tangential sind, durch Überschiebungen von 31 mit 9Î . Die Tangentialkomponente eines Vektors a ist Día.
9. Charakteristische Grundvarianten, Kernbildung und Reduktion auf Gebilden.
Die invariantentheoretischen Betrachtungen im vollen Räume beruhten auf der Ko- und Kontravarianz der h und h und auf der sich aus den Differentiationsregeln ergebenden Varianzart ihrer Ableitungen. Da in dieser Hinsicht die entsprechenden Größen i, i auf R m sich gleich verhalten, so übertragen sich die früheren Aufstellungen mit Leichtigkeit auf die Varianten und Invarianten, welche mit den i und i von R und dem
■ VI
Differentiationsprozeß längs der auf R m gebildet sind.
14 ) Man beachte die Existenz verschiedener Arten von Bestimmungszahlen insbesondere bei der Definition der Fundamentaltensoren o. S. 704 Fußnote und u. S. 718.

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
713
Zunächst liefern die Transformationsgleichungen für ein permutations- freies System ¿e»*--- die freie Varianz dieser Vektoren in tangentialer Richtung. Die Querrichtung bzw. i definiert für die im allgemeinen aus R m herausspringenden iO" T ■ ■■ bestimmte tangentiale Komponenten fftte® 1 •••, deren Bestimmungszahlen ie ar ~x daher frei variant sind. Diese freie Varianz ist von der Wahl der Querrichtung unabhängig. Die permu- tationsfreien Größen i f - ar ■■■y. sind nunmehr die charakteristischen Grundvarianten für das Koordinatensystem von R m und haben dieselben Eigenschaften wie die analogen Größen im vollen Raum.
Es seien nun beliebige Stammtensorfelder auf R m mit beliebigen Arten von Bestimmungszahlen gegeben, überdies die fundamentalen Grundgrößen der Vektorübertragung im vollen Raum und 9Î. 91 ist dabei analytisch bestimmt zu denken durch die Funktionensysteme tft und ih, von denen das erste durch die Gebildegleichungen (in Parameterform), das zweite durch die Querrichtung bestimmt ist. Aus diesen Größen und ihren Ableitungen nach den welche zusammen das Variantensystem ü bilden, werden nun beliebige Ausdrücke <p (Q) erzeugt, und es ist die Aufgabe, deren Kerne mit den A%\ zu bilden. Genau wie oben (s. S. 706ff.) reduziert sich die Betrachtung auf die Kernbildung an den Grundvektorableitungen. Deren gibt es jetzt, da außer den i, t auch noch die a,ä vorkommen können, vier Arten:
Die beiden letzten sind durch die Kernbildung im vollen Raum erledigt, da sie sich durch die Grundvektorableitungen n r und h r nach der Kettenregel ausdrücken :
Die h r und h r eliminieren sich durch die Größen ©, 3". § ¿ es vollen Raumes und deren Gradienten längs R . Es bleiben also nur noch die ie—, {£•••.
Für die t e hat man:
wo 9Ï', der äußere Krümmungstensor von R m , die analoge Rolle spielt wie oben (£'. Auf Grund dieser Beziehung eliminieren sich die iß--- durch die iß--, 3Î und seine Gradienten.
Für die Kernbildung an den iß--- ergibt sich gegenüber den Verhältnissen im Vollraum folgender Unterschied. Zunächst spaltet sich von iß eine Querkomponente ab, die Tensorcharakter hat. Nämlich wegen i, = 5t i hat man:
hS = £h\r Q).
(33)
i e — Q - i — y* s ? X f »
(34)
te = (gd,)e = ÇR'g t _ çjj Q t ) + gj
Mathematische Annalen. 96.
46

714
P. Krauß.
Das letzte Glied ist Tangentialkomponente, so daß die beiden ersten die Querkomponente bilden, die sich, wenn @'=0, auf dt'gi reduziert. Bei weiterer Differentiation von is ergeben sich Aggregate, die 9Í, ÜR', $R", ... und enthalten und überdies Tangentialkomponenten
Diese Tangentialkomponenten hat man nun in analoger Weise wie oben S. 7061 durch die permutationsfreien auszudrücken, wobei sich die Analoga der ^ und ÍQ einführen, nämlich die Tensoren mit den vektoriellen Koordinaten :
i e — Q', ie a — i"e.
Diese Tensoren sind nun aber, wie eine triviale Ausrechnung lehrt, nichts anderes als Tangentialkomponenten der J und § des Vollraumes. Sie und ihre Gradienten sind daher durch die ¡Q, deren Gradienten und 3Í und seine Gradienten ausdrückbar. Die Darstellung beliebiger durch
die Größen eines permutationsfreien Systems führt also keine neuen Fundamentaltensoren ein. Vielmehr treten zu ©, § des Vollraums nur noch 9Î und seine Gradienten.
Auf diese Art erhält man den Reduktionssatz :
Beliebige Ausdrücke cp(Q) haben Kerne, die sich aus den mit den h,h und i, i gebildeten Bestimmungszahlen der Stammtensoren und ihrer Gradienten längs R m und der Tensoren (£, %, §, îTi und deren Gradienten komponieren. (£, 3Ï sind also die Fundamentaltensoren.
Demnach müssen alle Differentialinvarianten auf Gebilden auf reduzierte Normalformen gebracht werden können, wo sie als algebraische Kompositionen aus den Stammtensoren, den Fundamentaltensoren und deren Gradienten erscheinen. Die Eigeninvarianten von R m enthalten bloß die (£, 9f. Weitere Größen können noch zur Grundbestimmung des Raumes hinzutreten, so z. B. ein quadratischer Linienmaßtensor © oder, wie in der volumtreu-affinen Geometrie, ein n-dimensionaler antisymmetrischer Volummaß tensor 33, der n Verschiebungsvektoren rt a , a„,..., a„ den Rauminhalt 3? ctj a„ ... a n des von ihnen aufgespannten Prismas zuordnet. & und 2S gehen dann, wie beliebige Stammtensoren, mit ihren Gradienten in die reduzierten Darstellungen ein. Steht die Querrichtung zu einer quadratischen Maßform © in einer solchen Beziehung, daß sie die Richtung des Kontinuums aller durch © auf E m als normal definierten Verschiebungsvektoren bedeutet, so wird sie (n — m-dimen- sionale) Normalrichtung.
Die Kernbildung und Herstellung der reduzierten Formen auf Gebilden verläuft nach den obigen Ausführungen folgendermaßen : Man führt an den als Überschiebungsprodukte aus Tensoren und Grundvektoren aufgefaßten Koordinaten die Differentiationen aus und eliminiert, wie in Teil II an-

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
715
gegeben, die h r und h T -■■ durch (S, g-, ig», so daß die einzigen vorkommenden bei T 1 Varianten Elemente von der Form und ie a — sind. Mittels (33) drückt man die te "■■■ durch die aus und zerlegt in den letzteren die i" nach (34). An dieser Zerlegung führt man die weiteren Differentiationen aus, indem man nach jeder Differentiation die neu auftretenden i - und i'-' wiederum ebenso zerlegt. Das Resultat einer solchen Zerlegung von ie°— oder is "■■■ ist dann ein Aggregat, in dem als einzige bei T 1 variante Elemente nur noch Tangentialkomponenten 9i ¿ e ° • • • vorkommen. In diese hat man dann noch die beiden Fundamentalwirbel ^ und ig einzuführen, so daß nur noch permutationsfreie Indexkombinationen übrigbleiben. Ist der Raum wirbelfrei, d. h. sind ^ nnd § null, so erübrigt sich natürlich die letztere Umformung.
Als Beispiel möge die Kernbildung von i'-" ausgeführt werden für (S' = g=ÍQ==0:
i eff = (SR' S t + 3it e ) 0
(35) = 9Î"O£>Î -f- + Dí'ot-' +
Kern von i e ° = $R"c0í + (St'cr í) + 9î'o(9î'£>î).
Liegt ein Ausdruck vor, in dem außer bei T 1 invarianten Elementen nur noch frei variante Elemente (z. B. permutationsfreie Tangentialkomponenten 9Î is ...) enthalten sind, so kann man diese alle null setzen, falls der Gesamtausdruck selbst bei T 1 invariant ist. Hierin liegt analog wie oben S. 709 eine Regel der reduzierten Differentiation, wonach man bei der ko Varianten Ableitung algebraischer Invarianten die entstehenden i" ersetzt durch ihre Querkomponenten, die Tensorkoordinaten sind, die i,'~ aber durch diese und (£' ausdrückt.
Hat man die reduzierten Formen, so kommt es im wesentlichen auf die algebraischen Eigenschaften der Gradienten an. Dabei ist zu beachten : Jeder längs R m gebildete Gradient ist, da er die Form x g hat,
tangential an erster Argumentsstelle. Er verschwindet also, wenn er dort mit einem quergerichteten Vektor überschoben wird (s. o. (35)). Die Symmetrie- und Antisymmetrieeigenschaften eines Tensors 3t übertragen sich natürlich auf seine kovariante Ableitung 2l e , so daß 21' an (p-f-l)-ter und (g-(-l)-ter Stelle symmetrisch oder antisymmetrisch ist, wenn 21 es an p-ter und g-ter Stelle war. Ist z. B. & von zweiter Stufe und symmetrisch, so ist &' symmetrisch an zweiter und dritter Argumentstelle, d.h. (ä'hki = %'hik. Unter Berücksichtigung dieser und ähnlicher algebraischer Verhältnisse macht sich das tensorielle Rechnen, verglichen mit dem Rechnen in ska- larer Form, recht einfach. Wir betrachten zum Schlüsse noch näher die wichtigste Spezialisierung: (S' = ^ = £) = 0.
46*

71(3
F. Krauß.
10. Wirbelfreie Vektorübertragung. Taylorkerne. Fundamentaltensoren und Grundformen. Affine Flächengeometrie.
Die Wirbelfreiheit (g = Sp = 0) ist die Bedingung für die Existenz eines Ortsvektors £ mit beliebiger Nullstelle, welcher definiert ist durch:
(36) {dl)H=dt; h .
Dann existiert in R n ein überall affines Koordinatensystem und ist gegeben durch :
(37) 3»° = ^
wo h" die Grundvektoren zweiter Art in der Nullstelle des Ortsvektors bedeuten. Konstante Tensoren haben natürlich in einem solchen Koordinatensystem, welches alle Grundvektorableitungen annulliert, konstante Koordinaten.
Die Grundvektoren i sind nunmehr als Ableitungen £' des Ortsvektors darstellbar. Die Differentiationsfolge ist auch an nicht-skalaren Argumenten vertauschbar. Legen wir die Nullstelle des Ortsvektors in den betrachteten Gebildepunkt, so nimmt die Taylorentwickelung von g (deren Existenz und Konvergenz vorausgesetzt wird) folgende Form an:
(38) £ = 2;^+^^ + ^^^+... .
Wegen der Wirbelfreiheit ist die Permutationsfreiheit der belanglos, und es stellen die Tangentialkomponenten 9Ï«-" das charakteristische System A t ] dar. Sie sind bis zu einer beliebigen Ordnung p in einem beliebigen Punkte P des Gebildes annullierbar. Ein Koordinatensystem von R , in dem dies Verschwinden stattfindet, heiße ein in p-tex Ord-
m ' ' L
nung (in P) tangential-affines, da seine Projektion in den Tangentialraum von R m in p- ter Ordnung äquivalent ist mit einem in diesem gezogenen affinen Koordinatensystem. Da j der von dem betrachteten Punkte P zu einem beliebigen anderen Gebildepunkt gezogene Ortsvektor ist, so ist ein (in P) vollständig tangential-affines Koordinatensystem analog wie im Vollraum gegeben durch:
(39) ïi°=£.
Jede bis zu einer gewissen Ordnung vollständig invariante Spezialisierung des Koordinatensystems auf R m (s. o. S. 696) erzeugt vektorielle Koeffizienten <<?••• der Taylorentwicklung des Ortsvektors, die mit Eigeninvarianten von R m zusammenfallen. Das tangential-affine Koordinatensystem ist diejenige einfachste Spezialisierung, bei welcher die mit den Taylorkoeffizienten «£••• der Ortsvektorentwicklung zusammenfallenden Eigen- invarianten des Gebildes die Kerne der t®— selber sind.

Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
717
Der Taylorentwicklung entspricht die geometrische Vorstellung der Zerlegung des Ortsvektors in einen unendlich vielgliedrigen Streckenzug mit nach Null konvergierenden Gliedern. Jeder Spezialisierung des Koordinatensystems ist dann eine bestimmte Zerlegung zugeordnet, die als eine vektorielle Charakteristik des Koordinatensystems aufgefaßt werden kann. Die einzelnen Glieder des Streckenzuges haben also bei invarianter Spezialisierung invariante Bedeutung, d. h. ihnen entsprechen invariant bei ï\ definierte Längen und Richtungen am Gebilde im Entwicklungspunkt.
Da im tangential-affinen Koordinatensystem die Tangentialkomponenten der ¿e--- verschwinden, so müssen die Kerne der iß — auf R m quer stehen und überdies, wegen 2í = Í£> = 0, symmetrisch sein. Die Kerne der sind also quer gerichtete symmetrische Vektorsysteme, welche als Vektorkoordinaten invarianter Tensoren aufzufassen sind, die wir mit X' 11 , j£ |21 , ... bezeichnen und „Taylorkerne (des Ortsvektors) " nennen. Nach den oben S. 714 f. auseinandergesetzten Regeln erhält man die ersten zwei Taylorkerne ausgedrückt durch den Richtungstensor und seine Gradienten:
$ 12i <^ = 3î";t* t + 3l';L(3r*0 + 9ï'* (Counter der invarianten Entwicklung des Ortsvektors verstehen wir seine Darstellung in der Form:
(41) ? = 9î ? + i f.k + i % [î] lxà
wobei f t = £ t 0 . Das Wesentliche dieser Entwicklung sind die Taylorkerne, welche invariante, für jedes beliebige Koordinatensystem definierte Tensoren sind.
Von dem Begriff der Fundamentaltensoren (s. oben S. 704 Fußnote), der sich auf die reduzierte Darstellung mittels der äußeren Ableitung bezieht, wohl zu unterscheiden ist der übliche Begriff der Grundformen eines Gebildes (nach Art der beiden Gaußschen Grundformen der gewöhnlichen Flächentheorie). Unter diesen versteht man bekanntlich ein System von Formen (mit griechischen Zeigern), deren Koeffizienten, als Funktionen der bekannt, das Gebilde vollständig bestimmen, so daß alle Eigeninvarianten sich aus diesen Koeffizienten und ihren Ableitungen erzeugen lassen. Die Inte- grabilitätsbedingungen, denen die Grundformen genügen müssen, sind nichts anderes, als die Symmetriebedingungen für die durch die Grundformen dargestellten Koordinaten der ¿e--- bzw. für deren Kerne. Sind q i; q„, ... q invariant definierte unabhängige Quervektoren erster Art und q i; q 3 , . .. q n _ m
zugehörige reziproke zweiter Art mit q r q g = (?' '. _ S , so reduzieren sich
( i , r — s
diese Symmetriebedingungen (genau so wie oben S. 707 alle Wirbel sich auf Wirbel der Form 1) und 2) zurückführten) aüf die folgenden:

718
F. Krauß. Differentialinvarianten und Vektorübertragung.
[í e y]i ,e — 0, ||£q r ]i,e—0,
(42) [i ea x]o,a = 0, [i sa q r ]e,o = 0,
[q r 9«x ] e ,„ = 0, [q r ^qj e>(1 = 0.
[ ]., e bedeute hierbei den Wirbel, der entsteht, wenn man von dem Ausdruck in der Klammer den durch Vertauschung der Indizes ,, e hervorgehenden abzieht.
Ist eine innere Maßform © i x definiert, so kann man mittels ihrer die Integrabilitätsbedingungen reduzieren, d. h. die Ableitungen der Formkoeffizienten, die in ihnen vorkommen, durch ihre Kerne, die mit den aus den © i X erzeugten Christoffeischen Symbolen gebildet sind, ersetzen. Setzt man 21 i y. — i ( *> — i" (s. o. S. 712), so sind die durch Zerlegung der und qe entstehenden Formen, welche mit ihren Ableitungen in die Koordinaten der Taylorkerne und die Integrabilitätsbedingungen eingehen :
(43) 1) &ix, 2) 3) < e q,., 4) qfx, 5) qeq s .
Jedes unabhängige Formensystem, aus dem sich dieses Formensystem erzeugen läßt, ist ein Grundformensystem.
Die Spezialisierung dieser allgemeinen Verhältnisse für die gewöhnliche und volumtreu-affine Kurven- und Flächengeometrie 15 ) ist leicht und soll nicht im einzelnen ausgeführt werden. Wir bemerken hier nur, daß die affine Flächentheorie lediglich einen einzigen Fundamentaltensor (s. oben S. 704 Fußnote und S. 712 Fußnote), nämlich einen n-dimensionalen Maßtensor © besitzt, weil infolge der Herkunft dieser Maßbestimmung aus der Krümmung der Fläche die Tensoren 23 (s. o. S. 714), 9Î und die 9Î- Gradienten sich durch © und die ©-Gradienten ausdrücken lassen. Unter den fünf Formen (43) wird 5) Null, 1) und 3) werden identisch; 2) wird -©'<«/ und 4) drückt sich aus den Integrabilitätsbedingungen (42) durch © i y und ($' i y. À aus. Somit bleiben zwei durch den Fundamentaltensor © dargestellte Grundformen übrig:
(44) ©ípí, ©'«*:/.
Die Taylorkerne % u \y., % [i] i.x"/, werden @«^xq und ©'izlx q, wo q der Affinnormalvektor. Die sogen. Apolaritätsbeziehung kann auf Grund dieser Form der Taylorkerne als die Aussage aufgefaßt werden, daß infolge der Tangenti alitât von qe der Kern der Ableitung des von den / gebildeten (affinmetrischen) Parallelogramminhalts verschwindet, oder daß dieser Inhalt im tangential-affinen Koordinatensystem stationär ist, eine Eigenschaft, die für die gewöhnliche Maßbestimmung ebenfalls gilt.
16 ) Vgl. z. B. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I. u. II., Springer 1923/24, und Schouten a. a. O.
(Eingegangen am 16. 5. 1926.)

Zur Theorie der primären Ringe*).
Von
Rudolf Hölzer f.
Unter einem primären Ring verstellt man einen Ring derart, daß eine Potenz jedes Nullteilers verschwindet. Im Sinne des Übergangs zu Bereichen mit Nullteilern stellt der primäre Ring also den ersten Schritt vom Körper aus dar, insofern dort jeder Nullteiler verschwindet und insofern alle Ringe ohne Nullteiler durch Quotientenbildung auf Körper führen. Entsprechend wie in der Körpertheorie führt die Frage des Aufbaues der primären Ringe auf die Idealtheorie im Polynombereich mit Elementen eines primären Ringes als Koeffizienten. Während aber im Polynombereich mit Koeffizienten aus einem Körper der Teilerkettensatz erfüllt ist und man daher diese Idealtheorie vollständig beherrscht, fehlt hier eine solche Endlichkeitsbedingung.
W. Krall hat in seinen Arbeiten über primäre Ringe 1 ) — die an A. Fraenkel anschließen — eine gewisse allerdings viel schwächere Endlichkeitsbedingung dadurch erreicht, daß er endlichen Exponenten voraussetzte, d. h. indem er annahm, daß eine Potenz des aus allen Nullteilern bestehenden Ideals verschwindet; außerdem setzte er den Ring als speziellen primären voraus, d. h. als einen solchen, der nur Nullteiler und Einheiten enthält. Hier kann er 2 ) durch formal-rechnerische Hilfsmittel, nämlich durch Übertragung des Euklidischeu Algorithmus — der im Spezialfall sich schon bei Fraenkel findet —, im Fall des Polynombereichs einer Unbestimmten eine eindeutige Zerlegung der Polynome in paarweise teilerfremde primäre erreichen; und damit eine eindeutige Zerlegung der Ideale in paarweise teilerfremde Primärideale. Gestützt auf dieses Resul-
*) Rudolf Hölzer, geboren am 30. September 1903, erlag am 2. Juli 1926 der Tuberkulose. Die vorliegende, noch ganz von ihm selbst redigierte Arbeit war als Dissertation gedacht; zum Examen ist es nicht mehr gekommen.
*) W. Krull, Algebraische Theorie der Ringe, I., Math. Ann. 88 (1923), S. 80 bis 122; II., Math. Ann. !)1 (1924), S. 1-46; III., Math. Ann. 92 (1924), S. 183-213.
-) W. Krull, Algebraische Theorie der Ringe, I., Math. Ann. 88 (1923), S. 96.

720
R. Hölzer.
tat, gelingt ihm — wenigstens für „vollkommene"' Ringe — eine weitgehende Typisierung.
Im folgenden wird eine Idealtheorie im Polynombereich von n Unbestimmten eines primären Ringes ohne Voraussetzung einer Endlichkeitsbedingung und mit rein begrifflichen Methoden gegeben. Im Mittelpunkt stehen die Begriffe der Isomorphie und Homomorphie (d. h. der nur in einem Sinne eindeutigen Zuordnung von Ringen zueinander), die es erlauben, aus der bekannten Zerlegung im Polynombereich mit Körperkoeffizienten auf eine solche im Ring-Polynombereich zu schließen. Diese Zuordnung zwischen Ring und Körper tritt bei Krull erst an viel späterer Stelle auf 3 ).
Man gewinnt so als Hauptsatz, wenn man sich vorerst auf spezielle primäre Ringe als Koeffizientenbereich beschränkt, für alle Ideale der Dimension Null eine eindeutige Zerlegung als Produkte von paariveise teilerfremden Primäridealen — was im Spezialfall auf das Krullsche Resultat zurückkommt. Im Fall einer Unbestimmten folgt daraus die Zerlegung der Funktionen.
Geht man zu allgemeinen primären Ringen über, so ergibt hier — unter Benutzung der Resultate von H. Grell 4 ) — der Zerlegungssatz noch für die „ausgezeichneten" Ideale der Dimension Null eine eindeutige Zerlegung in „ausgezeichnete" Primärideale.
Daß für Ideale höherer Dimension die Methode sich nicht direkt übertragen läßt, zeigen zwei von W. Krull herrührende Beispiele.
Die von W. Krull in seinen beiden ersten Arbeiten zur Ringtheorie aufgestellte Theorie der Erweiterungen bezieht sich — abgesehen von der Beschränkung auf „vollkommene" Ringe — nur auf eine ganz besondere Art von Erweiterungen, auf solche nämlich, die sich idealtheoretisch durch Hauptideale beschreiben lassen. Durch diese absichtliche Beschränkung wird es möglich, die Struktur des Ringes weitgehend auf die des zugeordneten Körpers zurückzuführen. Ich mache in § 3, 1 einen Vorschlag, wie man durch Untersuchung eines anderen Idealtyps zur Erfassung der allgemeinen Erweiterung eines primären Ringes gelangen könnte. Ich zeige, wie eine beliebige Erweiterung sich immer in drei charakteristischen Stufen vornehmen läßt, die etwa den Begriffen Nullteiler, transzendent, algebraisch entsprechen. In § 3, 2 zeige ich kurz, wie im Fall rein tran-
3 ) Neuerdings ist Krull einen ähnlichen Weg gegangen, auch teilweise in der Theorie der Erweiterungen, aber immer unter Festhaltung an der Bedingung des endlichen Exponenten. Vgl. seine, im übrigen andere Zwecke verfolgende Note: Algebraische Erweiterungen kommutativer hyperkomplexer Systeme, die in Math. Annalen 97 (1927), Heft 3 erscheinen wird. Die hier gegebenen Entwicklungen sind unabhängig und zeitlich früher entstanden.
4 ) H. Grell, Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, die in Math. Annalen 97 (1927), Heft 3 erscheinen wird. Vgl. § 6 über den Quotientenring.

Primäre Ringe.
721
szendenter Erweiterungen sich die Begriffe der Körpertheorie direkt übertragen, insbesondere der Begriff des Transzendenzgrades, so daß gleiche Mächtigkeit des Transzendenzgrades die notwendige und hinreichende Bedingung für äquivalente Erweiterungen abgibt. In dem von Krull betrachteten Fall folgt dies direkt aus dessen allgemeinen Sätzen.
§1.
Definitionen und vorbereitende Begriffe.
Definition 1. Ein Ideal q aus 9t ( kommutativer Ring) heißt schwach primär, wenn im Restklassensystem 9t | q eine Potenz jedes Nullteilers verschwindet, stark primär, wenn in 9Î | q eine Potenz jedes Idealteilers der Null verschwindet.
In beiden Fällen heißt q primär; die Gesamtheit p der Elemente aus 9t, die Nullteiler in 9t | q erzeugen, ist ein Primideal, das in q aufgeht und das zugehörige Primideal heißt 8 ).
Jedes starke Primärideal ist zugleich schwaches Primärideal. Im allgemeinen gilt aber nicht die Umkehrung, wie folgendes Beispiel zeigt: sei 9t der Polynombereich von abzählbar vielen Unbestimmten x¡ mit Koeffizienten aus einem Körper; sei ferner
q (^i ? ^'2 î • ■ ■ 5 5 X i Xjç ,.. . ) ( i =|= Je ).
Nullteiler im Restklassenring sind alle und nur die durchp = ,x 2 ,...,x v ...) teilbarem Polynome, und es wird jeweils eine Potenz dieser Nullteiler durch q teilbar; q ist also schwaches Primärideal mit p als zugehörigem Primideal. Dagegen ist q nicht starkes Primärideal, wie man durch Betrachtung von a = (x x , x s , x 5 , ..., X-2V + 1,...) und b == (x s , x¿, x„, ..., x 2v , • • •) erkennt. Es ist a • b see 0 (q), aber a*^0(q), f> K ^0(q) für jedes x.
Ein schwaches Primärideal ist jedoch stets stark primär, wenn es endlichen Exponenten hat, d. h. eine Potenz des zugehörigen Primideals durch q teilbar wird (was z. B. immer der Fall ist, wenn in 9t der Teilerkettensatz gilt 8 )).
Ein Element eines Ringes, das nicht Nullteiler ist, heißt regulär.
Definition 2. Ein Ring 9t heiße allgemeiner primärer Ring, wenn sein Nullideal schwach primär ist und er mindestens ein reguläres Element besitzt; er heiße spezieller primärer Ring, wenn außerdem ein Einheitselement der Multiplikation existiert und jedes reguläre Element Einheit ist — d. h. Teiler des Einheitselementes.
6 ) Vgl. hierzu E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Math. Ann. 96 (1926), S. 26—61, § 5.
6 ) Vgl. etwa E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann. 83 (1921), S. 24-66.

722
R. Hölzer.
Das zum Nullideal gehörige Primideal eines primären Ringes 9Í sei stets mit p* bezeichnet; p* ist also das System aller Nullteiler von 9Í . Man kann von einem allgemeinen primären Ring immer zu einem speziellen auf eindeutige Weise gelangen vermittelst einer gewissen Quotienten- bildung. Ist allgemein 9Î ein beliebiger Ring, & ein System von regulären Elementen aus 9î, so daß neben a und b auch a-b zu & gehört, so versteht man unter dem durch & erzeugten Quotientenring von 9ï denjenigen Erweiterungsring von 5R, der durch Bildung aller „Quotienten" — wo a
beliebig, b aus @ — entsteht, indem man die Festsetzungen trifft: ~ gleich ^
dann und nur dann, wenn ab' — a' b — 0 und -Ï-- + 7, = a h ,^7 , a b ,
b — 0' ob' '
'¡-■y, = yf/ 7 )- a beliebiges Ideal in 9Î, so bildet offenbar die
Gesamtheit der regulären Elemente a^O(a), für die kein reguläres Element b^ 0(a) existiert, so daß a-6 = 0(a), ein System 05; den hierdurch bestimmtan Quotientenrig 9î„ wollen wir den Quotientenring von 9v nach a nennen. Ist a insbesondere ein Primideal p, das alle Nullteiler enthält, so besteht 9Î,, aus allen Quotienten ~ , wo a beliebig, 0 (p). Ist nun 9Î
allgemein primär, so ist offenbar speziell primärer Ring; diese letzteren sind durch 9î p . — 3Î charakterisiert.
Sind 9Î und 3i' beliebige Ringe, so heißt 9Í 'ho?nomorph zu 3ï', 9i ~ Dî', wenn jedem Element aus 9Ï ein und nur ein Element aus 9ï' entspricht, so daß dabei erschöpft wird und außerdem diese Zuordnung derart beschaffen ist, daß Differenz und Produkt sich entsprechen. Ist das Entsprechen der Elemente umkehrbar eindeutig, so heißen die Ringe isomorph, 9ï ~ Oí'. Ist 9i homomorph zu 9ï', so entspricht jedem Ideal nt aus 9Î ein und nur ein Ideal m' in 9Ï', das entsteht, indem man jedes Element von m durch das ihm in 9Î' entsprechende ersetzt; m ' heiße das zugehörige Ideal von m oder das ihm in 9Î' zugeordnete. Ist umgekehrt m' ein beliebiges Ideal aus 9t', so gibt es im allgemeinen mehrere Ideale n in 9Í, für die n' = nt'; wir nennen sie die zugehörigen von nt', ihren größten gemeinsamen Teiler das größte zugehörige Ideal von nt'. Es gilt der für das Folgende wichtige
Isomorphiesatz. Bedeutet a das größte dem Nullideal von 9î' zugeordnete Ideal von 9Î, und ist in irgendein Teiler von a, so ist ïftj m~9î'|nt' 8 ).
') Der Begriff und die Konstruktion ist vollständig analog der Bildung des Quotientenkörpers bei Steinitz, Algebr. Theorie der Körper, Journ. f. Math. 137; vgl. auch Grell, a. a. 0.
8 ) Vgl. E. Noether, Abstrakter Aufbau . .., g 4, 3, erster Isomorphiesatz.

Primäre Ringe.
723
Sind T 1 und T„ zwei Erweiterungen eines Ringes 3Î, so heißen sie bezüglich 3t äquivalent, wenn sie so isomorph aufeinander bezogen werden können, daß dabei jedes Element von 3Î sich selbst entspricht.
Jedem speziell primären Ring 3t ist eindeutig ein Körper zugeordnet zu dem er homomorph ist, nämlich das Restklassensystem 3î|p*. Im folgenden wird das einem Element a von 31 zugeordnete Element von also die Klasse, die es repräsentiert, stets mit ä bezeichnet, a ~ ä. Ist © ein Erweiterungsring von 3Î, der ebenfalls speziell primär ist, so enthält sein zugehöriger Körper £ einen zu S 1 isomorphen Teilkörper ®', der aus allen Restklassen von £ besteht, die durch Elemente von 3Î repräsentiert werden können ; ersetzt man ft' in 2 durch ® und definiert in naheliegender Weise die Verknüpfungen, so entsteht eindeutig ein Erweiterungskörper £' von wobei @~£'; wir dürfen deshalb der Einfachheit halber £ stets schon in unmißverständlicher Weise als Erweiterungskörper von ¡Tí annehmen. Bedeutet weiter 3i^ den Polynombereich in beliebig viel Unbestimmten mit Koeffizienten aus 3Ï, so ist er dem Polynombereich in der gleichen Anzahl von Unbestimmten mit Koeffizienten aus Sí homomorph, wobei die Homomorphie von 3Î zu Sí umfaßt wird; man braucht offenbar nur jedem Polynom aus 3Î^ mit den Koeffizienten a¡ dasjenige Polynom von zuzuordnen, welches die Koeffizienten ä i besitzt.
Sei 3t ein allgemeiner primärer Ring, 31' der ihm, wie oben erklärt, durch Quotientenbildung zugeordnete speziell primäre und S) dessen zugehöriger Körper. Dann entsteht, wenn man jedes Element von 3t durch das ihm vermöge 3i'~® entsprechende in .fï ersetzt, ein Unterring P von dessen Quotientenkörper £ ist; es ist 3Î~P. Ist ferner © ein allgemein primärer Erweiterungsring von 31, so ist, in analoger Bezeichnungsweise, © <-v, 2 und £ der Quotientenkörper von 2. Schließlich ist auch hier
Satz. 1st 3t primär, so ist auch der Polynomring primär, der aus 31 durch Adjunktion einer Unbestimmtenmenge beliebiger Mächtigkeit hervorgeht 9 ).
Wir führen noch folgende Bezeichnungsweise ein : Das dem Element f{ x) von 3^ zugeordnete in P ; sei mit f(x) bezeichnet, das dem Ideal a zugehörige mit ä, das 3 zugehörige größte Ideal in 3^ mit a* ; es ist o* = (a, pf). Schließlich nennen wir a regulär, wenn a vom Nullideal verschieden,
9 ) E. Noether, Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Math. Ann. 90 (1923), S. 229—261, Hilfssatz I, § 2. Daß dieser Hilfssatz tatsächlich mit dem obigen Satz identisch ist, wird im Fall des Primideals ausdrücklich gesagt und gilt wörtlich so bei Primäridealen. Daß damit auch der Fall einer Unbestimmtenmenge beliebiger Mächtigkeit erledigt ist, folgt direkt daraus, daß jedes einzelne Polynom nur endlich viele Unbestimmten enthält.

724
R. Hölzer.
a =)= (Ö). a heiße voll-regulär, wenn außerdem = 0 (a). Die nicht-regulären Ideale heißen Nullteilerideale; diese brauchen nicht Idealteiler der Null zu sein, wie aus dem Beispiel in § 1 unmittelbar folgt. Jedoch muß von jedem Nullteilerideal mit endlicher Basis eine Potenz verschwinden. Es gilt: Aus a = 0(b) folgt S = 0(b), aber nicht umgekehrt; ebenso folgt aus a-b = c stets a - b = c. Jedem a ist eindeutig ein vollreguläres zugeordnet, nämlich a*; die Zuordnung zwischen den a* und ä ist umkehrbar eindeutig.
§ 2.
Idealtheorie im Polynombereich primärer Ringe.
1. Von jetzt ab sei 9Î ein s-pezieller primärer Ring, in dem also jedes reguläre Element Einheit ist, 9t ^ der Bereich aller Polynome in x 1 ,..x n mit Koeffizienten aus 91.
Eine Funktion aus 9^ heißt regulär, wenn sie mindestens einen regulären Koeffizienten besitzt, sonst Nullteilerfunktion ; die größte vorkommende Exponentensumme mit von Null verschiedenen Koeffizienten heißt die Ordnung der Funktion, die größte vorkommende Exponentensumme mit regulären Koeffizienten ihr Grad. Der Grad einer Funktion ist gleich dem Grad der zugeordneten Funktion in ifty ; aus der Homomorphie zu St^ folgt sofort, daß sich die Gradzahlen bei Multiplikation addieren, insbesondere also, daß die Funktionen positiven Grades keine Einheiten sein können.
I. Die Einheiten von 9^ sind die regulären Funktionen vom Grade
Null.
Eine solche Funktion hat die Form e(x 1 , ..., x n ) — a -f- q{%t, #„)> wo a ein reguläres Element aus 9..., x n ) eine Nullteilerfunktion; e(x 1 , ..., x n ) ist zu dem Hauptideal (q(x 1 , ..., x n )) teilerfremd, also auch zu jeder Potenz von (q(x 1 , ..x n )), mithin zu (0). Zusammen damit, daß Funktionen positiven Grades keine Einheiten sein können, drückt dies die Behauptung von I aus.
Die Gesamtheit der Nullteilerfunktionen von a bildet ein Nullteilerideal u, das Vielfaches von a ist. Ist b echter Teiler von a und bildet u ebenfalls die Gesamtheit der Nullteiler von b, so muß offenbar b echter Teiler von ä sein. Auf dieser Bemerkung beruht
II. In 9^ gilt der Teilerkettensatz modulo pf. D. h. die Kette a ls Ojj, a 8 , ... , wo a¿ echter Teiler von a i _ 1 ist, bricht nach endlich viel Schritten ab, wenn dies für die Kette u x , U 2 , u 3 , ... gilt.
Da nämlich in der Teilerkettensatz gilt, so muß die Kette ttj, ö 3 , a 3 , . .. im Endlichen abbrechen. Sei  eine natürliche Zahl, so daß

Primäre Ringe.
725
Û;. == CU + 1 = ... und U;. = lU-H = ... ; dann ist auch eu = Q;. + i = ..., wie unmittelbar aus der obigen Bemerkung folgt.
III. Jedes Ideal in 9^ besitzt modulo eine endliche Basis ; d. h. es ist a = (f, {x v ..x n ), ..f r {x lt ..x n ), u). III folgt aus II nach bekannten Schlüssen der Idealtheorie 10 ).
Ein Ideal in Sy heiße von der Dimension Null, wenn alle seine zugehörigen Primideale die Dimension Null haben 11 ); a in 9^ heiße von der Dimension Null, wenn a die Dimension Null hat. Ein Ideal der Dimension Null ist sicher regulär.
Satz 1. p ist dann und nur dann Primideal, wenn es vollregulär und p Primideal ist.
Beweis. Daß p voll-regulär ist, ist offenbar notwendig, da sonst ein Element ^O(p) wäre, von dem eine Potenz teilbar wird. Ferner ist nach dem Isomorphiesatz o | p ~ | p, unter o das Einheitsideal von Vftf verstanden. Enthält also ! p keine Nullteiler, so gilt das gleiche für o p und umgekehrt, woraus Satz 1 folgt.
Satz 2. Ein Ideal q von der Dimension Null ist dann und mir dann Primärideal, wenn q primär ist.
Beweis. Man erkennt dies zunächst für das zu q gehörige vollreguläre Ideal q * wie eben aus der Beziehung o ; q * ~ ®^ | q. Zu zeigen ist also: q ist dann und nur dann primär, wenn q* es ist. Sei q* primär. Zunächst ist von jedem Element aus q* eine Potenz durch q teilbar (was allgemein für a* und a gilt). Ist nämlich a ein beliebiges Element aus q*, so enthält q ein Element für das a' = a (¡p*), und es ist mithin für eine natürliche Zahl X: ( a — a')'' = 0, a ; -=0(q). Die Elemente des Primideals p von q * erzeugen also Elemente von 0 | q, von denen eine Potenz verschwindet; somit genügt es zu zeigen, daß die Elemente ^ 0 (p) keine Nullteiler in o | q ergeben.
Dazu bemerkt man, daß p von der Dimension Null ist und die Primideale von der Dimension Null keinen echten Teiler 4= 0 haben. Beides folgt aus der Homomorphie und Satz 1, wenn man beachtet, daß p das zugehörige Primideal von q ist. Sei nun a^0(p), dann ist (a, p) = o. Folglich gibt es ein Hauptideal (ß)=0(p), so daß (a, ß) — o. Ist etwa (/?)"= 0(q), so folgt ( cc,ß") = o , («,q) = o. Das bedeutet aber, daß« eine Einheit in 0 |q erzeugt.
10 ) Vgl. E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, § 1.
11 ) Zum Dimensionsbegrifi der Primideale — Transzendenzgrad des Restklassen- körpers — vgl. E. Noether, Eliminationstheorie, § 4, Satz 5. Dimension Null heißt also, daß jedes Element des Restklassenkörpers algebraisch in bezug auf den Grundbereich ist.

726
R. Hölzer.
Sei umgekehrt q primär, p das zugehörige Primideal. Die Homo- morphie ergibt q = 0(Ç). Weiter folgt aus der Homomorphie, daß für eine natürliche Zahl q : pe = 0(q) sein muß; ist nämlich eine
Basis von p modulo und etwa /i e ' = 0 (q), ..., f r er = 0 ( q), so braucht man nur Q 2J Qi zu wählen. Da q die Dimension Null hat, folgt aus pe==0(q) bekanntlich, daß q primär ist; also ist nach dem zu Anfang Bewiesenen auch q* primär.
Hilfssatz. Aus (a,£)) = o folgt (3,b) = o und umgekehrt. Aus a , , ... , a k voll-regulär und (a ; , a,.) — o (i =H &) folgt ctj a„.. . a k vollregulär.
Beweis. Daß aus (fl,b) = o folgt (ä,b) = ö, ist evident. Ist umgekehrt (a, b) = ö, so sei etwa f -f- g = ë (ë Einheitselement von f bzw. g aus a bzw. b); dann ist, wenn /', g irgendwelche Polynome aus a bzw. b sind, die f, g vermöge der Homomorphie entsprechen, f-\- g = e'. wo e' eine Einheitsfunktion bedeutet. Hieraus folgt aber e ,_1 • f e' _1 • g = e. Ist ferner (ct¡, a ft ) = o, so ist das Produkt gleich dem Durchschnitt, und da in allen enthalten ist, so gilt dies auch für das Produkt.
Satz 3. In 9Î, läßt sich jedes Ideal von der Dimension Null eindeutig darstellen als Produkt paarweise t eilerfremder Primärideale (von der Dimension Null).
Beweis. Sei a das vorgelegte Ideal und a = q } ... q r die bekannte Zerlegung von a in als Produkt paarweise teilerfremder Primärideale.
Ist q ; * das zu q ¿ gehörige voll-reguläre Ideal, so ist a* = q* ... q* die Zerlegung von a* nach Satz 3. Die Homomorphie ergibt nämlich q* .. . q* = 0 (a*); außerdem folgt aus dem Hilfssatz, daß q*... q r * vollregulär ist, also a* = 0 (q* ... q*). Nach Satz 2 sind überdies die q* Primärideale von der Dimension Null.
Ist das zugehörige Primideal von q*, so sei etwa
J>i = 4, p f *), p r =(h L ,...,h t ,p*);
wir betrachten x 1 = (/j,\ .., f k ), ..., V r ={h } , ...,Ji t ). r t - ist zu p { gehöriges Primärideal von der Dimension Null (r i = p i ). Die Homomorphie ergibt, daß ein Potenzprodukt der r durch ft* teilbar wird. Da, wie beim Beweise von Satz 2 gezeigt wurde, eine Potenz eines jeden Elementes von a* zu a gehört, folgt hieraus, daß auch ein Potenzprodukt der r durch a teilbar ist: r/' 1 ...r/ r = 0 (a) (endliche Basis der r¿!). Sei gesetzt q i =(a,ri li ). Da q t . ein Teiler von p-', so ist q¿ und somit auch q j Primärideal von der Dimension Null. Ferner folgt aus dem Hilfssatz (q¡, q ; .) =o. Es ist a = qj. .. q r die behauptete Zerlegung von a. Nach

Primäre Ringe.
727
Definition von q ; und wegen (q fc ) = o ist nämlich a == 0(qj... q r ). Andererseits ist (a r , a r_1 r* r , ..., r* 1 ... r f Ar ) e = 0(a).
Hiermit ist die Existenz der Zerlegung bewiesen; die Eindeutigkeit folgt nach bekannten Rechenregeln für Teilerfremdheit ia ), aus denen sich wegen der Dimension Null zuerst das Übereinstimmen der Primideale und dann das der Primärkomponenten ergibt. Denn zu verschiedenen Primidealen gehörige Primärkomponenten sind nach dem Hilfssatz teilerfremd, da dies in ® f wegen der Dimension Null erfüllt ist.
Um eine Folgerung aus Satz 3 zu ziehen, beschränken wir uns auf den Fall n — 1.
Im Polynombereich Ül [ x ] einer Unbestimmten x heißen zwei Funktionen fj (x) und f 2 (x) teilerfremd, wenn die aus ihnen abgeleiteten Hauptideale es sind. Der Hilfssatz ergibt, daß f 1 und f„ dann und nur dann teilerfremd sind, wenn dies für f ± und / a gilt. <p(x) heiße Primfunktion (Primärfunktion), wenn (f prim (primär) ist. Man erkennt leicht, auf Grund des Hilfssatzes, daß eine Primfunktion dadurch charakterisiert ist, zu allen regulären Funktionen niedrigeren Grades teilerfremd zu sein ; eine Primärfunktion ist, wie die Homomorphie zeigt, stets von der Form h (x) = e (x) g (x)" q (z), wo g(x) prim, e(z) bzw. q(x) eine Einheitsbzw. Nullteilerfunktion.
IV. Jedes reguläre Ideal in 3Î [x] ist von der Form a = (f{x), uj, wo u wieder das aus allen Nullteilern von a bestehende Ideal bedeutet. In ist jedes Ideal Hauptideal und etwa a —(f). Wählt man f(x) = 0(a) so, daß es bei der Homomorphie f entspricht, so ist a = (f(x), u). Für beliebiges «(¡r) = 0(a) hat man nämlich U = lf, also, wenn I ein beliebiges 1 zugeordnetes Polynom bedeutet, a(x) — Z(x)f(x) = g(x), wo q(x) eine Nullteilerfunktion; offenbar ist g , (x) = 0(u), womit IV bewiesen.
Satz 4. Jede reguläre Funktion f(x) in 9Í [x] läßt sich bis auf Einheitsfunktionen eindeutig in ein Produkt von teilerfremden Primärfunktionen zerlegen.
Beweis. Man erkennt zunächst:
1. Ein reguläres Hauptideal (f(x)) besitzt kein echtes Vielfaches, das demselben Ideal in zugeordnet ist.
2. Zwei äquivalente reguläre Funktionen unterscheiden sich nur durch einen Einheitsfaktor.
Dabei sind unter äquivalenten Funktionen solche verstanden, die Basis desselben Hauptideals sein können.
12 ) Vgl. etwa E. Noether, Abstrakter-Aufbau .. ., § 4, 4.

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R. Hölzer.
In der Tat, ist n' = (f (x), u') ein solches Vielfaches, so ist f — À f. Aus der Voraussetzung folgt, daß f und f' denselben Grad haben müssen ; also ist X Einheitsfunktion und f=X~ 1 f'. Sind ferner f, und /j äquivalent, f 1 = kf 2 , so folgt aus demselben Grunde, daß A Einheitsfunktion ist.
Ist nun f(x) vorgelegt, so zerlege man a=(f[x)) nach Satz 3: a = (Äj (x), q,)... (h r (x), q r ). Wird a' =' (Ä, («))... (h r (x)) gesetzt, so ist a' Vielfaches von a und ä' = ä, also nach 1. a'=a. Aus (f(x)) = (h 1 (x)...h r (x)) folgt aber nach 2.: f(x) = e(x)-h 1 (x)...h r (x), wo e(x) Einheitsfunktion. Da ferner nach Voraussetzung h¡(x) und damit h¡(x) primär und mit Ti i , h u auch h { (x), h k (x) teilerfremd, ist die Existenz der Zerlegung bewiesen. Die Eindeutigkeit (bis auf Einheitsfunktionen) folgt, wie man leicht mit Hilfe von 2. sieht, ebenfalls aus Sats 3.
2. Läßt man die Voraussetzung fallen, daß in 9Î jedes reguläre Element Einheit ist — setzt man also 9? als allgemeinen primären Ring voraus — so bleibt nur ein geringer Teil der Resultate von 1. gültig.
Wir können hier eine entsprechende Zerlegung nicht mehr bei einem beliebigen Ideal der Dimension Null vornehmen, sondern nur noch bei gewissen ^ausgezeichneten" Idealen. Um diese zu definieren, sei mit 9î' der eindeutig bestimmte speziell primäre Erweiterungsring von 9Ï bezeichnet, der, wie in § 1 erklärt, durch Quotientenbildung entsteht. Dann haben wir in 9^' einen Erweiterungsring von 9Ï^ vor uns, dessen Idealtheorie wir nach 1. kennen. Wir nennen ein Ideal nt aus 9Î^ ausgezeichnet, wenn es in 3i / ' ein Ideal n gibt, so daß m gleich dem (mengentheoretischen) Durchschnitt von 9î^ mit n ist, in Zeichen: m = [9îp n]. Unter dem aus dem Ideal m von 9Î^ abgeleiteten Ideal nt' in 9fL' versteht man den Durchschnitt aller Ideale in 9L', die alle Elemente von m enthalten; ist nt ausgezeichnet, so ist offenbar m = [9^, nt']. Wir legen ferner dem ausgezeichneten Ideal m die Dimension Null bei, wenn nt' die Dimension Null hat; da schließlich, wie weiter unten gezeigt wird, für jedes ausgezeichnete Ideal m gilt: 9î ^-m = nt, so darf man zwei ausgezeichnete Ideale nt,, ttt 2 innerhalb des Systems aller ausgezeichneten Ideale teilerfremd nennen, falls ( nt,, nt 2 ) = 9^. Es gilt nun
Satz 5. In 9^ läßt sich jedes ausgezeichnete Ideal der Dimension Null eindeutig darstellen als Produkt von ausgezeichneten Primäridealen der Dimension Null; die Komponenten sind paarweise teilerfremd innerhalb des Systems aller ausgezeichneten Ideale.
Dieser Satz, der sich auch (wenigstens zum größten Teil) direkt mit unseren Hilfsmitteln beweisen läßt, folgt, wie mir H. Grell später mitteilte, unmittelbar aus einem allgemeinen Satz seiner Theorie der Ideal-

Primäre Ringe.
729
körper 13 ). Ist P ein beliebiger kommutativer Ring, 2 ein Quotientenring von P (gemäß der Definition in § 1), und definiert man ausgezeichnete Ideale von P wie oben, so lautet der betreffende Satz:
Das System der ausgezeichneten Ideale von P und das System aller Ideale in 2 sind vollständige und isomorphe Idealkörper . Unter einem vollständigen Idealkörper ist dabei ein System von Idealen eines kommu- tativen Ringes verstanden, das neben zwei Idealen auch deren Produkt und Quotient, neben beliebig vielen Idealen auch deren größten gemeinsamen Teiler und kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches enthält; isomorph heißen zwei solche Idealkörper natürlich, wenn sie derart eineindeutig aufeinander bezogen werden können, daß dabei die eben genannten vier Verknüpfungen erhalten bleiben. Die Zuordnung des Satzes ist dabei so, daß dem ausgezeichneten Ideal nt von 9i ; - sein abgeleitetes Ideal m' in 9^' entspricht.
Nun ist klar, daß hieraus Satz 5 unmittelbar folgt. In der Tat ist dif ein Quotientenring von 9t^; nämlich der durch das System aller regulären Elemente von 9Ï erzeugte. Sei m ein beliebiges ausgezeichnetes Ideal der Dimension Null von 9^, dann gibt es nach Satz 3 in 91^-' eine Zerlegung: nt' = q^...q¿. Sind q ... q r die ausgezeichneten Ideale, die den q/ vermöge der Isomorphic entsprechen, so ist also nt = q .. . q r . Die q f sind Ideale der Dimension Null und außerdem primär; wegen q i = [9î / -,q/] ist nämlich, wie man sich leicht überzeugt, | q f einem Unterring von 9i y ' ¡ q.' isomorph. Ferner kann es keine andere solche Darstellung von nt geben, da man sonst vermöge der Isomorphic einen Widerspruch gegen die Eindeutigkeit der Darstellung in 9i ; ' bekäme.
Offenbar ist 9i^ selbst ausgezeichnetes Ideal und 9^' sein zugehöriges; da 9Î^' ein Einheitselement enthält, ist 9^' • tn' = nt' für jedes Ideal nt' in 9^' und die Isomorphie ergibt daher: 9t^nt = nt für jedes ausgezeichnete Ideal m aus 9t^. Wir können also von Teilerfremdheit im System aller ausgezeichneten Ideale von 9 t ^ reden, und aus (q ¿ , q^) = 9^ für i 4= k folgt (q^ q fc )=9ï^. Damit ist Satz 5 bewiesen.
Nennt man, im Falle n = 1, zwei Primfunktionen wesentlich verschieden, wenn sie sich nicht nur durch eine Einheit aus 9î' unterscheiden, so bleibt von Satz 4:
Zu jeder regulären Funktion f (x) in 9í^ gibt es ein reguläres Element v. aus 9t, derart, daß x-f(x) als Produkt von Primärfunktionen darstellbar ist, die zu wesentlich verschiedenen Primfunktionen gehören.
Ist nämlich f (x) = ?i 1 (x) ... h r (x) in 9^', so gibt es reguläre Elemente y.. aus 91, derart, daß x i -h i (x) zu 9^ gehört (z. B. das Produkt
la ) H. Grell, a. a. 0. § 6. Matheraatische Airaalen. 96.
47

730
R. Hölzer.
der Nenner der Koeffizienten von h i (x)); offenbar genügt es, y. — ITx. zu wählen.
3. Es entsteht die Frage, ob die Resultate von 1. sich auf den Fall höherer Dimension ausdehnen lassen. Daß dies unmöglich ist, zeigen die folgenden mir von W. Krull mitgeteilten Beispiele: Sei £ Körper, 9Î = ® (ß) mit cc° = 0, 9î^ = 9Ï [x, y\, y], a Ideal in di f , et zugehöriges
Ideal aus 1^.
1. ä = (x,ccy) ist nicht primär, da keine Potenz von y durch n teilbar wird; S = (x) ist jedoch primär.
2. a — (x 2 , xy + ci, ax) 14 ) ist primär, dagegen a = (x 2 ,xy) nicht.
§ 3.
Erweiterungen primärer Ringe.
1. Unter einem Oberring © eines primären Ringes 9Î sei ein Erweiterungsring verstanden, der ebenfalls primär ist. Ist S ein System von Elementen aus ©, so verstehen wir unter dem durch Adjunktion von S zu 9Î entstandenen Ring 9î($) den Durchschnitt aller in © gelegenen Oberringe von 9Ï, die alle Elemente von S enthalten.
Ist a ein Ideal im Polynombereich 9^ von n Unbestimmten, so versteht man unter einer Nullstelle von a ein System 8 von n Elementen aus einem Oberring © derart, daß alle zu n gehörigen Polynome für S verschwinden. Ist umgekehrt S ein System von Elementen aus ©, so bildet die Gesamtheit der Polynome in 9^, die für S verschwinden, ein Ideal, das Nullstellenideal eis von S. Es ist stets: 9Î (S) ~ 9Ï^| cts.
Damit ein Ideal a aus 9Î^ Nullstellenideal sei (d. h. damit ein Oberring von 9Î existiert, der durch Adjunktion einer Nullstelle von a entsteht), ist offenbar notwendig und hinreichend, daß es primär ist und kein Element aus 9Î enthält; denn dann ist 9^|a ein solcher Oberring.
Wir nennen ein Nullstellenideal a aus 9Î/- von der Dimension Null, wenn das aus ihm abgeleitete Ideal ä im Polynombereich mit Koeffizienten aus $ die Dimension Null hat; es ist dies identisch damit, daß jede Nullstelle von ñ aus lauter in bezug auf ÎÏ algebraischen Elementen besteht (vgl. Anmerkung 11 )).
Ein reguläres Nullstêllenideal der Dimension Null a aus 9^ heiße Ideal erster Art, wenn jedes Element seines zugehörigen Primideals modulo a einem Element aus 9Ï kongruent ist. Es folgt dann, daß jedes Element von p modulo a einem Nullteiler aus 9i kongruent ist, da sonst eine Potenz
Man bestätigt dies etwa daraus, daß jedes Element aus Dfy modulo a eine Darstellung zuläßt: f (y) + ag (y) + cx , wo f und g Polynome, c ein Element aus

Primäre Ringe.
731
eines regulären Elementes, die also von Null verschieden ist, im Nullstellenideal a liegen würde; ferner wird p gleich ä, wenn p und 5 die zugehörigen Ideale in P ; . sind (§ 1). Ein nichtreguläres Nullstellenideal u aus heiße Ideal erster Art , wenn jedes Element seines zugehörigen Primideals )p* modulo u einem Element aus 9t kongruent ist.
Schließlich verstehen wir unter einem Ideal zweiter Art u ein Nullstellenideal, das alle Potenzprodukte der x i von einer gewissen Dimension an enthält. 9t_ | u entsteht durch Adjunktion von Nullteilern, und umgekehrt ist das Nullstellenideal eines Systems von Nullteilern stets ein Ideal dieser Art.
Definition 1. Ein Element a von © heißt algebraisch in bezug auf 9t, wenn a a regulär ist, sonst transzendent.
© heißt algebraisch in bezug auf 9t, wenn alle Elemente es sind, sonst transzendent.
P sei der in § 1 erklärte, 9Î zugeordnete Ring, ebenso ©, 2, ä die dort erklärten Bezeichnungen.
I. a aus © ist dann und nur dann algebraisch in bezug auf 9Î, wenn a algebraisch in bezug auf ÍÍ' ist.
Die Notwendigkeit ist evident. Ist umgekehrt ä algebraisch in bezug auf so genügt es einem Polynom f(x) mit Koeffizienten aus S 1 . Offenbar gibt es in $ ein Element p« =f= 0, so daß y.-f(x) = g(x) zu 2 gehört. Ist g(x) ein Polynom aus 9^, das g (x) zugeordnet ist, so ist g(a) — q ein Nullteiler aus ©. Verschwindet von diesem etwa die £>-te Potenz, so enthält a o die reguläre Funktion ( g{x)) e .
Definition 2. a aus © heißt regulär algebraisch in bezug auf 9t, wenn a a reguläres Ideal erster Art ist.
Einen Oberring © nennen wir regulär algebraische Erweiterung von 9t, wenn es ein wohlgeordnetes System von Ringen gibt : 9t, 9t 2 , 9t„,..., 9t„,..., © derart, daß jeder Ring durch Adjunktion eines regulär algebraischen Elementes aus dem vorangehenden hervorgeht oder (falls ein unmittelbar vorangehender nicht existiert) die Vereinigungsmenge der vorangehenden Ringe ist.
II. Der Oberring © ist dann und nur dann regulär algebraische Erweiterung von 9Î, wenn er algebraisch ist und keine neuen Nullteiler enthält, d. h. alle seine Nullteiler schon in 9Î liegen.
Ist zunächst a regulär algebraisch in bezug auf 9t, so ist 9t (a) ~ 9t / .| a a und die Nullteiler von 9t(a) sind diejenigen Elemente, die den aus dem zugehörigen Primideal p 0 hervorgehenden Restldassen entsprechen; diese können aber, da a a Ideal erster Art ist, durch Elemente aus 9t repräsentiert werden, so daß also 9t(a) keine neuen Nullteiler enthält. Ist © eine
47*
J

732
R. Hölzer.
beliebige regulär algebraische Erweiterung von 9Î, so ergibt sich diese Tatsache leicht durch transfinite Induktion.
Ist umgekehrt © eine algebraische Erweiterung von 9t, die keine neuen Nullteiler enthält, so sei a ein Element aus ©, ©' ein beliebiger Zwischenring zwischen 9Î und ©. Dann ist a regulär algebraisch in bezug auf ©'; denn da alle Nullteiler von ©'(a) bereits in 9Ï liegen, so müssen die Restklassen, in die das zum Nullstellenideal gehörige Primideal zerfällt, durch Elemente aus 3i repräsentierbar sein. Hiernach kann man mit Hilfe des Wohlordnungssatzes eine verlangte Kette von Ringen leicht konstruieren.
Jede algebraische Erweiterung © von 9Ï zerfällt eindeutig in eine Nullteilererweiterung (durch Adjunktion von Nullteilern entstehende) und eine darauf folgende regulär algebraische Erweiterung. In der Tat braucht man offenbar nur alle Nullteiler von © zu 9v zu adjungieren, um eine solche Zerlegung zu erhalten; daß es keine andere derartige Zerlegung gibt, ist ebenfalls evident.
Definition 3. Ein transzendentes Element a aus © heiße regulär transzendent in bezug auf 9Î, wenn n„ Ideal erster Art ist.
Entsprechend heiße ein Oberring © regulär transzendente Erweiterung von SR, wenn es ein wohlgeordnetes System von Ringen gibt: 9Î, 9îj, 9Î 2 , ..., 9î a , ..., © derart, daß jeder Ring durch Adjunktion eines regulär transzendenten Elementes aus dem vorangehenden hervorgeht oder (falls ein unmittelbar vorangehender nicht existiert) die Vereinigungsmenge der vorangehenden Ringe ist.
III. Der Oberring © ist dann und nur dann regulär transzendente Erweiterung von 9Ï, ivenn er transzendent ist und keine neuen Nullteiler enthält.
Die Richtigkeit ergibt sich genau wie bei II. Ebenso zerfällt, wenn S rein transzendente Erweiterung von Sí ist, © eindeutig in eine Nullteilererweiterung und eine darauf folgende regulär transzendente.
Ein beliebiger Oberring © von 9Î zerfällt der Reihe nach in 1. eine Nullteilererweiterung, 2. eine darauf folgende regulär transzendente, 3. eine darauf folgende regulär algebraische Erweiterung. Man braucht eben nur alle Nullteiler von © zu 9Î zu adjungieren und dann I zu benutzen, indem man beachtet, daß jede Erweiterung eines Körpers in eine rein transzendente und eine darauf folgende algebraische zerfällt. Lassen sich diese drei Stufen jeweils durch Adjunktion endlich vieler Elemente erreichen, so wollen wir © einen endlichen Oberring nennen. Dann gilt nach dem V orangegangenen:
Ein beliebiger endlicher Oberring © des primären Ringes 9Ï entsteht,

Primäre Ringe.
733
indem man 1. in 9t^ ein Ideal q x zweiter Art Null setzt, 9t' = 9t / jq 1 ; 2. in 9t/ ein nicht reguläres Ideal erster Art q 2 , 3i" = 9^' | q 3 ; 3. in îft" ein reguläres Ideal erster Art q 3 , @ = ©^"|q 3 .
Da man jeden beliebigen Oberring von 9t aus endlichen Oberringen aufbauen kann, so reichen also die beiden angegebenen Typen von Idealen zur Beschreibung dieser allgemeinsten Erweiterung aus. Hiermit ist die wesentliche Frage aufgeworfen, wann zwei reguläre Erweiterungen bezüglich 9t äquivalent sind, d. h. wie weit man aus der Definition der Ideale erster Art auf Isomorphie ihrer Restklassenringe schließen kann.
Diese Betrachtungen bleiben gültig, wenn man als Grundbereich 9Î einen speziellen primären Ring wählt. Unter einem Oberring © von 9t verstehen wir dann einen solchen Erweiterungsring von 9Ï , der ebenfalls speziell primär ist. Ist S ein System von Elementen aus ©, so bedeutet 9 l(S) den Durchschnitt aller in © gelegenen Oberringe von 9t, die alle Elemente von S enthalten; 9t ( /S ) ist wieder Oberring. Ein reguläres Ideal a in 9^ ist dann und nur dann Nullstellenideal, wenn es primär ist, kein Element aus 9t enthält und die Dimension Null hat; denn dann hat das zugehörige Primideal keinen von o verschiedenen echten Teiler und im Restklassenring nach a werden alle regulären Elemente Einheiten. Definition 1 und 2, sowie I und II und die Zerfällung der algebraischen Erweiterungen gelten auch hier. Die Definition der regulär transzendenten Erweiterungen gestaltet sich etwas anders. Man betrachtet hier zweckmäßig nicht Nullstellenideale in 9^, sondern Nullteilerideale u im Quotientenring SR* von 9t ; - nach p*; u heiße dann ganz analog Ideal erster Art, wenn jeder Nullteiler von 9L* modulo u einem Element aus 9t kongruent ist. Modifiziert man Definition 3 in diesem Sinne, so bleibt III und das obige Schlußresultat bestehen.
2. Ich zeige noch kurz, wie sich im Falle rein transzendenter Erweiterungen die Begriffe der Körpertheorie direkt übertragen.
a aus © heiße total transzendent, wenn ct a = (0); © heiße rein transzendente Erweiterung von 9t, wenn es ein wohlgeordnetes System von Oberringen gibt: 9t, 9t 15 9t 3 , .. ., 9t„, ..., ©, derart, daß jeder Ring durch Adjunktion eines total transzendenten Elementes aus dem vorangehenden hervorgeht oder (falls ein unmittelbar vorangehender nicht existiert) die Vereinigungsmenge der vorangehenden Ringe ist. Analog der Körpertheorie gilt:
IV. Ist © rein transzendente Erweiterung von 9t, so ist jedes Element von © total transzendent ; ausgenommen sind nur die Nullteiler und diejenigen Elemente, die sich als Summe eines regulären Elementes aus 9t und eines Nullteilers darstellen lassen.

734
R. Hölzer.
Daß diese letzteren Elemente ausgeschlossen sind, ist natürlich klar, denn sie genügen Gleichungen der Form xe = 0 bzw. (x — a) c ' — 0. Ist a ein von diesen verschiedenes Element und 9î, 9R 1} .. 9î a , ..© ein System von Ringen nach Definition, ferner 9t r der erste Ring, in dem a vorkommt, so existiert offenbar ein vorangehender Ring 9t r -i- Für. durch Adjunktion eines total transzendenten Elementes entstehende Erweiterungen. d. h. für den Polynombereich einer Unbestimmten, ergibt sich die Behauptung aber wie folgt. Ist f{x) eine Funktion positiven Grades, so sei etwa a 0 -f- a x f(x) + ... + a n (f(x)) = 0 eine Gleichung niedrigsten Grades, der f(x) genügt (a { aus 9t, a o 4=0); hieraus würde folgen: f(x) (a 1 -f- a 3 f(x) + ... -f a n {f(x)) n ^ 1 = a„. Da f(x) in einem geeigneten Erweiterungsring eine Nullstelle besitzt (man braucht nur zum Restklassenring nach dem Hauptideal (f{x)) überzugehen), ist diese Beziehung unmöglich.
V. Ist { ... a„ ... } ein wohlgeordnetes System von Elementen aus einem Oberring ©, und a„ total transzendent in bezug auf den durch Adjunktion seines Abschnittes zu 9t hervorgehenden Ring, so ist a„ auch total transzendent in bezug auf den Ring, der aus 9t durch Adjunktion aller übrigen a T entsteht. Der Beweis kann wörtlich wie in der Körpertheorie geführt werden 15 ).
Ein System S von Elementen aus © heiße irreduzibel, wenn jedes seiner Elemente total transzendent ist in bezug auf den durch Adjunktion der übrigen Elemente entstehenden Ring. Wegen V ist ein Oberring dann und nur dann rein transzendent, wenn er durch Adjunktion eines irredu- ziblen Systems erhalten werden kann. Ist nämlich © rein transzendent und 9Î, 9t i; ..., 9t ,r, ..., © ein System von Ringen nach Definition, bedeutet ferner S das System der primitiven Elemente derjenigen Ringe 9t„, die unmittelbar vorangehende besitzen, so ist 9t(/S)=© und S nach V irreduzibel; ist umgekehrt S irreduzibel, so kann man vermittelst des Wohlordnungssatzes leicht ein definitionsgemäßes System von Ringen für 9 i(S) aufstellen.
Zwei verschiedene Elemente des irreduziblen Systems S können offenbar nicht nach dem Ideal aller Nullteiler von © kongruent sein; daher haben S nnd S stets gleiche Mächtigkeit, wenn S das homomorphe System in Z bedeutet. Ist ferner S irreduzibel in bezug auf 9Î, so ist, wie man sich leicht überzeugt, S irreduzibel in bezug auf St, und ist S erzeugendes irreduzibles System von ©, d.h. 9t($) = ©, so ist auch $($) = £. Bei Körpererweiterungen haben nach Steinitz alle erzeugenden irreduziblen Systeme gleiche Mächtigkeit; aus dem eben Bemerkten folgt, daß sich dies
") Vgl. etwa Steinitz.

Primäre Ringe.
735
vermittelst der Homomorphie ohne weiteres auf primäre Ringe überträgt. Wir können also auch hier einen „Transzendenzgrad" als die gemeinsame Mächtigkeit aller erzeugenden irreduziblen Systeme definieren; der Transzendenzgrad von © in bezug auf ist gleich dem von £ in bezug auf
Haben © x und ©., gleichen Transzendenzgrad r, so sind sie bezüglich 9î äquivalent; für r = 1 ist dies unmittelbar klar, allgemein folgt es durch transfinite Induktion. Sind umgekehrt <B 1 und © 3 mit den Transzendenzgraden x 1 und r 2 äquivalent bezüglich Di, so sind offenbar und und -T 2 bezüglich P äquivalent, also auch 2 1 und äquivalent bezüglich £ und die Körpertheorie ergibt t 1 = r,,. Also :
Zwei rein transzendente Erweiterungen von 91 sind dann und nur dann bezüglich 9v äquivalent, wenn sie gleichen Transzendenzgrad haben.
Auch diese Entwicklungen bleiben unter Voraussetzung eines speziell primären Grundbereiches bestehen. Die Begriffe Oberring und Adjunktion sind so zu verstehen, wie in 1. definiert; dann kann die Definition des total transzendenten Elementes umgeändert bleiben und IV, V, sowie das Schlußergebnis über die Äquivalenz gelten auch hier, wie man sich leicht überzeugt, wenn man beachtet, daß man die jeweiligen Oberringe bekommt, wenn man zunächst im Sinne der allgemein primären Ringe erweitert und dann zum Quotientenring übergeht.
Berichtigung
zu dem Aufsatze von P. E. Böhmer „Über die Transzendenz gewisser dyadischer Brüche", Math. Annalen 96, S. 367—377.
S. 371 Z. 12 v. o. lies:
(Eingegangen am 15. 5. 1926.)

Normalfoereiche und Dimensionstheorie.
Von
Witold Hurewicz in Amsterdam.
Einleitung.
Die folgende Arbeit schließt sich an die Menger-Urysohnsche Dimensionstheorie 1 ). Der Dimensionsbegriff dieser beiden Autoren, der (wie in der vorliegenden Arbeit nachgewiesen wird) für alle separablen metrischen Räume mit dem „natürlichen" Dimensionsbegriff von Brouwer 2 ) im wesentlichen identisch ist, kann heute bereits als klassisch bezeichnet werden. Wir knüpfen insbesondere an die Formulierung dieses Begriffes durch K. Menger, welcher einen Raum höchstens n- dimensional nennt, falls zu jedem Punkt des Raumes beliebig kleine Umgebungen mit höchstens (n — 1 )-dimensionalen Begrenzungen existieren, wobei die leere Menge als (—1 )- dimensional bezeichnet wird.
In Anlehnung an diesen Gedanken legen wir allgemein einen Bereich 9Î von Punktmengen zugrunde und bezeichnen mit 9?* den Bereich aller Punktmengen, auf deren sämtliche Punkte sich Relativumgebungen zusammenziehen, deren Begrenzungen Mengen des Bereiches 9Î sind. Wir untersuchen dann die Beziehung zwischen den beiden Bereichen 91 und 9i *. Der Bereich 9?, von dem wir ausgehen, wird dabei folgenden Bedingungen unterworfen.
1. Ist M eine Menge aus 9?, so auch jede Teilmenge von M.
2. Ist M Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenen Mengen, die alle zum Bereich 9 1 gehören, dann gehört auch M zum Bereich 9Ï.
Menger, Über die Dimension von Punktmengen, Monatshefte f. Math. u. Phys. 33 und 34, Proc. Ac. Amst. 27 und 29 (ältere Arbeiten), sowie den Bericht über die Dimensionstheorie, Jahresber. d. deutschen Math.-Vereinigung 35. — Urysohn, Comptes Rendus 175, sowie das dem Verfasser bei der Abfassung der vorliegenden Arbeit noch unbekannte Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, Fund. Math. 7 und 8.
'-) Brouwer, Journ. f. d. reine u. angew. Math. 142, sowie Proc. Ac. Amst. 26, 27.

W. Hurewicz. Normalbereiohe und Dimensionstheorie.
737
Einen Bereich von Punktmengen, welcher diesen beiden Bedingungen genügt, bezeichnen wir kurz als Normalbereich, und ein Hauptresultat der vorliegenden Arbeit besagt, daß der nach der obigen Vorschrift aus einem Normalbereich -JÎ abgeleitete Bereich Tí* ebenfalls ein Normalbereich ist.
Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir eingehend die null- dimensionalen Mengen, den Bereich 9?*' jener Mengen also, der nach der erwähnten Vorschrift hervorgeht aus dem Bereich 9Î, welcher bloß die leere Menge enthält.
Die allgemeinen Überlegungen des zweiten Teiles gestatten dann, jeden für die nulldimensionalen Mengen bewiesenen Satz mutatis mutandis für beliebige Normalbereiche auszusprechen, insbesondere für die separa- blen höchstens w-dimensionalen Mengen, welche gleichfalls einen Normal- bereich bilden. Von den wichtigsten dimensionstheoretischen Resultaten, die wir auf diese Weise erlangen, seien hier die folgenden hervorgehoben: Eine separable Menge, die Summe ist von abzählbar vielen in ihr abgeschlossenen höchstens w- dimension alen Mengen, ist höchstens tí -dimensional. Eine separable Menge ist n- dimensional dann und nur dann, wenn sie Summe ist von n + 1, aber nicht von weniger nulldimensionalen Mengen. Jeder Punkt einer kompakten Menge, in welchem dieselbe eine Dimension n hat, liegt in einem Kontinuum von Punkten, in welchen die Menge eine Dimension ¡> n liât. Jede 7i-dimensionale separable Menge enthält eine in ihr abgeschlossene Menge, deren jeder relativ offene Teil n- dimensional ist.
I. Teil.
Über die nulldimensionalen Mengen.
Einige Eigenschaften der nulldimensionalen Mengen.
Die nicht leere Menge M eines metrischen Raumes heißt nulldimensio- nal, wenn auf jeden Punkt von M eine Folge von Teilmengen von M sich zusammenzieht :s ), deren Begrenzungen in M 4 ) leer sind. Desgleichen kann man zur Definition der nulldimensionalen Mengen die Forderung benützen, daß zu jedem Punkt p von M und zu jeder Umgebung U von p eine Zerlegung von M in zwei zueinander fremde und in M abgeschlossene Mengen
3 ) Man sagt, eine Mengenfolge { M n } zieht sich auf den Punkt p (auf die Menge M) zusammen, wenn p ( M ) in allen M n enthalten ist und wenn in jeder Umgebung von p ( M) fast alle M n enthalten sind.
4 ) Mit M bezeichnet man die abgeschlossene Hülle von M . Ist M Teilmenge der Menge A, dann bezeichnet man als Begrenzung von M in A die Menge M- ( A — AI) 4- (A-M)-M.

738
W. Hurewicz.
existiert, so daß eine der beiden Mengen den Punkt p enthält und in U enthalten ist.
Aus diesen Definitionen folgt unmittelbar, daß jeder Teil einer null- dimensionalen Menge nulldimensional ist. Wir charakterisieren ferner die nulldimensionalen Mengen durch eine Zerlegungseigenschaft, die wir mehrmals verwenden werden. Dabei beschränken wir uns, wie im folgenden überhaupt, auf separable Mengen, d. h. auf Mengen, in denen eine abzählbare Teilmenge dicht liegt.
Satz I. Damit eine separable Menge M nulldimensional sei, ist notwendig und hinreichend, daß M für jede positive Zahl e in abzählbar viele paarweise fremde, in M offene Mengen mit Durchmessern < e zerlegt werden könne.
Die Bedingung ist notwendig. Sei nämlich M eine nulldimensionale separable Menge und sei e > 0 gegeben. Zu jedem Punkt p von M existiert eine p enthaltende Teilmenge V(p) von M, deren Begrenzung im M leer und deren Durchmesser < e ist. Die Mengen V(p) und M — F(p) sind in M offen. Es gibt nach dem verallgemeinerten Boreischen Theorem unter den Mengen V(p) abzählbar viele, etwa die Mengen V x , V. 2 , ..., V n , ..., deren Summe M ist. Setzen wir dann TJ 1 = V 1 und für n > 1 U n — V n • (Ii—T^)- (M — 7 a )... (M — dann sind die Mengen U n , als
Durchschnitte endlich vieler in M offener Mengen, in M offen; sie sind ferner paarweise fremd und ihre Durchmesser sind < e und ihre Summe ist M.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen nämlich, M könne für jedes s > 0 in eine Folge { U n } von in M offenen Mengen mit Durchmessern < e gespalten werden; dann sind auch die Mengen M— U n , als Summen von in M offenen Mengen, in M offen. Daher sind die Begrenzungen der U n in M leer, und es existiert mithin zu jedem Punkt p von M und zu jedem e > 0 eine Teilmenge < e von M, die p enthält und deren Begrenzung in M leer ist. Also ist M nulldimensional.
Per definitionem wird für eine nulldimensionale Menge bloß gefordert, daß sich auf jeden ihrer Punkte eine Folge von Relativumgebungen mit leeren Relativbegrenzungen zusammenziehe, oder, was, wie man leicht einsieht, auf dasselbe hinauskommt, daß sich auf jeden ihrer Punkte eine Folge von Umgebungen mit zur Menge fremden Begrenzungen zusammenziehe. Daß dasselbe für jeden beliebigen Punkt des Raumes gilt, wollen wir nunmehr beweisen. Wir nennen dabei in üblicher Weise zwei Mengen il/j und il£, getrennt, wenn die Beziehung besteht M 1 ■M^-\-M 1 -M„ = 0, und stützen uns, wie auch mehrmals im folgenden, auf den Tietzeschen Satz 4a ) :
* a ) Vgl. Tietze, Math. Annalen 88, S. 310. — Als Menge U des Satzes kann beispielsweise die Menge aller Punkte genommen werden, deren Abstand von M L kleiner ist als von Mo ■

Normalbereiche und Dimensionstheorie.
739
Sind die Mengen M 1 und M„ getrennt, dann gibt es eine offene Menge U derart, daß M i <U und M. 2 -U = 0 ist.
Satz II. 1st M eine separable nulldimensionale Menge, so zieht sich auf jeden Punkt des Raumes eine Folge von Umgebungen, deren Begrenzungen zu M fremd sind, zusammen, m. a. W. eine separable nulldimensionale Menge bleibt auch nach Hinzufügung eines beliebigen einzelnen Punktes nulldimensional.
Sei p ein beliebiger Punkt des Raumes und e > 0 vorgegeben. Wir bezeichnen mit U(p;e) die Menge aller Punkte, die von p einen Abstand <e haben, und wollen nachweisen: Es existiert eine Umgebung F < U(p; e ) von p, deren Begrenzung zu M fremd ist. Nach Satz I ist M Summe einer Folge {Z7 n } von in M offenen paarweise fremden Mengen
mit Durchmessern < Sei {U*} die Teilfolge von {U n }, bestehend aus allen denjenigen U n , die in U (p; enthalten sind. Wir setzen y* = yjl 7*. Sowohl F * als auch M — V * sind (als Summen von in M
« = 1
offenen Mengen) in M offen, diese beiden Mengen liegen daher getrennt. Da p nicht in M — F* liegt und V* < u (p; -Ç) gilt, sind, wenn wir mit CU(p;e) das Komplement von U(p;e) bezeichnen, auch die Mengen (p) - ¡- F* und (M — F*) + CU(p; e) getrennt. Dann existiert aber nach dem Tietzeschen Satze eine Umgebung F von p, so daß gilt:
(*) V* < V < U(p-, e), V- (M — F*) = 0.
Aus (*) folgt (F- V)-M = (V- F)-F* + (F— V)-(M — F*) = 0, d. h. die Begrenzung von F ist zu M fremd. Damit ist Satz II bewiesen.
Zufolge Satz II existieren für alle Punkte des Raumes beliebig kleine Umgebungen, deren Begrenzung zur nulldimensionalen Menge M fremd sind. Wir wollen nun zeigen, daß auch zu den Mengen des Raumes beliebig kleine Umgebungen existieren, deren Begrenzungen zu M fremd sind. Unter einer Umgebung U(N; e) der Menge N verstehen wir dabei die Menge aller Punkte, die von N einen Abstand < e haben; als Umgebung von N schlechthin bezeichnen wir jede N enthaltende offene Menge.
Satz III. Ist M eine separable nulldimensionale Menge, so gibt es zu jeder Menge N und zu jeder reellen Zahl e > 0 eine Umgebung von N U(N)< U(N, e ), deren Begrenzung zu M fremd ist. Ist die Menge N in N + M abgeschlossen, dann gibt es zu jeder Umgebung U von N eine Umgebung V < U von N, deren Begrenzung zu M fremd ist.
Zum Beweis der ersten Hälfte von Satz III hat man bloß im Beweis von Satz II den Punkt p durch die Menge N zu ersetzen.

740
W. Hurewicz.
Zum Beweis der zweiten Hälfte bezeichnen wir für jede natürliche
Zahl k mit N k die Menge aller Punkte von N, deren Abstand vom Kom-
1 °°
plement CU der Menge V > -r ist. Es ist dann N = £ N k . Zu jeder
. * =1
Menge N k existiert nach dem bereits bewiesenen Teil von Satz III eine
Umgebung V k mit zu M fremder Begrenzung, so daß N k < F, c < U [N]
CO
gilt. Setzen wir V = JS V k , dann ist F eine Umgebung von N und es
k= 1
gilt V < U. Die Begrenzung von F ist zu M fremd. Denn angenommen, p wäre ein Punkt von M auf der Begrenzung von F. Da N in N + M abgeschlossen ist und p außerhalb N liegt, gibt es eine natürliche Zahl m
1 . 33
derart, daß der Abstand zwischen p und N > — ist. Setzen wir Vm = 5] V i ;
/ i\ m . _
dann gehört wegen F,*< U [N ; — J der Punkt p nicht zu V 7 *. Mit Rücksicht auf V— V 1 + F 2 + • • • + müßte daher p auf der Begrenzung einer der Mengen V t , F 2 ,.. V m _ 1 liegen, was der Voraussetzung widerspricht, daß die Begrenzungen dieser Mengen zu M fremd sind. Damit ist auch der zweite Teil von Satz III bewiesen.
Wir können nunmehr die nulldimensionalen Mengen durch das Verhalten der relativ abgeschlossenen Mengen charakterisieren.
Satz IV. Damit die separable Menge M nulldimensional sei, ist notwendig und hinreichend, daß es zu je zwei zueinander fremden, in M abgeschlossenen Mengen N 1 und A 7 „ zwei ebensolche Mengen gebe, so daß
N ± < M t , N„ < M„ M 1 + M i = M
gilt.
Die Bedingung ist notwendig. Seien nämlich N 1 und zwei zueinander fremde, in der nulldimensionalen Menge M abgeschlossene Mengen. Das Komplement C(N„) von iS r „ ist eine Umgebung von N t . Nach Satz III existiert also eine Umgebung U < C(N S ) von N x mit zu M fremder Begrenzung. Die Mengen M 1 = U- M und M,, — M — M l sind zueinander fremd, in M abgeschlossen und es gilt N 1 < M x , N„ < i¥ 2 .
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen nämlich, sie sei erfüllt und es sei p ein beliebiger Punkt von M, V eine Umgebung von p. Die Mengen (p) und M—U sind zueinander fremd und in M abgeschlossen. Es existiert also eine Zerspaltung von M in zwei in M abgeschlossene Mengen M x und M„, so daß ( p)<M 1 <U ist. Folglich ist M nulldimensional.
Wir bringen nun eine metrische Charakterisierung durch Zerlegungseigenschaften für die beiden mit Rücksicht auf Euklidische Räume wichtigsten Klassen separabler nulldimensionaler Mengen, nämlich für die kompakten Mengen (d. s. jene, von denen jede unendliche Teilmenge einen Häufungspunkt

Normalbereiche und Dimensionstheorie.
741
im Raum besitzt) und für die Mengen, welche Summe von abzählbar vielen kompakten Mengen sind, die wir im Anschluß an K. Menger 5 ) als halb- kompakt bezeichnen 1 "" 1 ). In Anlehnung an Menger 0 ) bezeichnen wir zu diesem Zweck als Nullfolge von Mengen eine endliche oder abzählbare Folge von Mengen, deren Durchmesser, falls die Folge unendlich ist, gegen Null konvergieren. Es gilt dann
Satz V. Damit die kompakte {bzw. halbkompakte) Menge M null- dimensional sei, ist notwendig und hinreichend, daß M für jede Zahl e>0 Summe sei von endlich vielen (bzw. von einer Nullfolge von) zueinander fremden, in M abgeschlossenen Mengen, deren Durchmesser < e sind.
Wir beweisen zunächst die Notwendigkeit der Bedingung 7 ). Ist M eine kompakte nulldimensionale Menge und e > 0 gegeben, dann existiert zu jedem Punkt von M eine Umgebung mit Durchmesser < e und mit zu M fremder Begrenzung. Nach dem Boreischen Theorem ist M schon in der Summe von endlich vielen unter diesen Umgebungen, etwa von U 1 , U 2 , ..., U n , enthalten. Setzen wir A 1 =U 1 -M und A m = [U m — (U 1 + Z7 2 + ... + Ï7 m _i)] • Jtí (ra = 2,3...), dann sind die Mengen A m , wie man leicht sieht, in M abgeschlossen und zueinander fremd, und es gilt M = A t + Ä, + ... + A n .
co
Sei nun M eine halbkompakte nulldimensionale Menge, also M= M n ,
n=1
wo die M n kompakte nulldimensionale Mengen sind, und sei e > 0 vorgelegt. Die Menge M n ist nach dem eben Bewiesenen enthalten in der Summe von endlich vielen Umgebungen, deren Begrenzungen zu M fremd und deren Durchmesser < ~ sind. Die für alle Mengen M n auf diese Weise definierten Umgebungen kann man in eine Folge {U { } von Umgebungen mit gegen Null konvergierenden Durchmessern anordnen. Setzen wir dann A m = [U m — (U t . + U m _ i)] • M, so genügen die
Mengen A m offenbar den Forderungen von Satz V.
ö ) Vgl. Menger, Monatshefte f. Math. u. Phys. 34 (1924), S. 148.
5a ) (Zusatz bei der Korrektur): Für die Gültigkeit der folgenden Charakterisierungen ist natürlich nur erforderlich, daß die Menge in irgendeinem sie umfassenden metrischen Raum kompakt bzw. halbkompakt sei. Für das letztere ist nach Hausdorff (Mengenlehre, 1914, S. 311) notwendig und hinreichend, daß die Menge total beschränkt (d. h. für jedes «>0 Summe von endlich vielen Mengen mit Durchmessern < e) bzw. Summe von abzählbar vielen total beschränkten Mengen sei.
e ) Vgl. Menger, Wiener Ber. 133 (1924), S. 421.
') Dieser Beweis entsteht durch Kombination des Satzes 11 mit einem von Menger oft verwendeten Verfahren. — (Zusatz bei der Korrektur): Der Beweis von Satz V läßt sich sehr einfach auch ohne Benützung von Satz II auf Grund der totalen Beschränktheit von M erbringen.

742
W. Hurewicz.
Den Beweis dafür, daß die Bedingungen von Satz V auch hinreichend seien, stützen wir auf den folgenden
CO
Satz VI. Ist M = 2J A n , ivo die Mengen A n eine Nullfolge von
n=i
•paarweise fremden, in M abgeschlossenen Mengen darstellen, dann gibt es zu jeder der Mengen A n und zu jeder Umgebung U von A n eine Umgebung V < U von A n , deren Begrenzung zu M fremd ist.
Wir beweisen die Behauptung etwa für die Menge A 1 und für die vorgelegte Umgebung U 0 von A 1 . Es sei {A*} die Teilfolge der Folge {A n }, welche aus allen Mengen A n besteht, die mit der Begrenzung B (U 0 )
von U 0 mindestens einen Punkt gemein haben. Wir zeigen zunächst, daß
°° *
die Menge P 0 = Ai in M abgeschlossen ist. Sei zu diesem Zweck p
n=l
ein zu M gehöriger Häufungspunkt von P 0 . Gehört p zu B(U 0 ), dann gehört p per definitionem auch zu P 0 . Liegt aber p nicht in B(U 0 ), dann ist der Abstand zwischen p und B(U 0 ) positiv, etwa = r > 0. Sei dann die natürliche Zahl m so gewählt, daß die Durchmesser aller
* • .CO .
Mengen A n , für n^_m, kleiner als r sind. Die Menge A m+1e besitzt den
k=0
Punkt p nicht als Häufungspunkt; also ist p Häufungspunkt der in M
m — L ^
abgeschlossenen Menge £ A n und gehört folglich zu P 0 . Die Menge P 0
11=1
ist also abgeschlossen.
Die Mengen A 1 und P 0 -)- A., sind in M abgeschlossen und zueinander fremd ; sie liegen daher getrennt. Es gibt daher eine offene Menge U 1 mit folgenden Eigenschaften : P 0 -f- A„ < U x , U 1 ■ A 1 = 0. Sei nun P i die Summe aller Mengen der Folge {A n }, welche zur Begrenzung B (U^ von ZTj nicht fremd sind. P t ist wiederum in M abgeschlossen und zu P 0 -f- A.-, fremd. Wir unterscheiden zwei Fälle :
a) A 3 ist Teilmenge von P 1 . Dann sind die Mengen P x + A s = P 1 und P 0 -f A 2 getrennt.
b) A 3 ist nicht Teilmenge von P 1 . Dann ist P 1 -^4 3 = 0 und die Mengen P t und 7 J 0 + A 2 + A s sind getrennt.
In beiden Fällen gibt es eine offene Menge £7 2 mit der Begrenzung B(U„), so daß folgende Bedingungen erfüllt sind:
P i <U i , Z7 a • P 0 = 0, Ü i -A i = 0, B(U 2 )-A s = 0. Angenommen, es seien bereits die Mengen U t , U 2 , ..., U n gemäß folgenden Bedingungen definiert:
1- P «-i -<U n ,
2. U n P n -i = 0,
3- U n -A n = 0,
4- B(U n )-A n+1 — 0,

■
Normalbereiohe und Dimensionstheorie.
743
wobei B(U n ) die Begrenzung von U n , P n die Summe aller Mengen A n , die zu B (ü n ) nicht fremd sind, bezeichnet. P n ist in M abgeschlossen. Aus 1. und 4. ergibt sich, daß (P n _ 1 + A n + 1 ) ■ B(U„) = 0, und daß folglich die Mengen P n und P n _ 1 -\- A n + 1 zueinander fremd sind. Daher sind entweder die Mengen P n + A n+i und P n _ 1 J r A n + l oder die Mengen P und P n _! + ^„+i + -4 n +2 getrennt. In beiden Fällen existiert eine offene Menge U n + 1 , so daß
P„ < U,
n + 1»
U n +i'P n -l
U n +!'A n + 1 — 0, B {U n + 1 )-A n+ 2 — 0.
Das Verfahren läßt sich also ad infinitum fortsetzen. Aus 3. folgt
sodann mit Kiicksicht auf M --
(*)
= 2M„:
n=1
M-ÈU n = 0.
n=1
Aus 1. und 2. ergibt sich, wenn man in 2. n durch n +1 ersetzt, (**) M- B {!]„_,) < P n _, <ü n - U n+1 (» = 1,2,...).
Setzen wir nun:
V=U 0 -Ü 1 + ü 0 -U 1 -(ü,-Ü 3 ) + ... + ü 0 -U 1 ...ü, n _ 1 (U ,n -Ü, n+1 ) + ....
Die Menge F ist offen und es gilt wegen 3. A y < F< U 0 . Wir wollen zeigen, daß die Begrenzung B (F) von F zu M fremd ist. Man sieht zunächst leicht, daß folgende Beziehungen bestehen:
(a) U 0 -U 1 ...U 2n -(ü 2n -Ü 2n + 1 )<V
(b) Uo-Ü,... U, n+1 (U, n + 1 - U tn+i )-7= 0 (Da die Menge U 0 -TJ 1 ... U 2n+1 — ü" 2n+2 ) offen, folgt aus (b)
(» = 0, 1, 2, ...).
U.
2 « + 2 j
■F= 0.
(b') ü,-U 1 ...ü 2n+1 -{ü, n + 1
Aus (a) und (b') ergibt sich:
(c) U 0 -U t ... U n -B (V)-(U n - Ü n+1 ) = 0 (n = 0, 1, 2, ...). Nach (**) und (c) ist
(d) M-B(V) n EU m -B(Uj<M-B(V)-JIU m -(U n+1 -Ü n+ ,)=0.
oii—O m=0
Aus (c) und (d) folgt:
(e) M-B(V)-ü 0 -U 1 ...ü n = M.B(y)-ü 0 -U 1 ...U n .Ü n+1
= M.B(V)-U 0 -ü 1 ...U n -U n+1 + M.B(V)-U 0 .U 1 ...U n -B(U n+1 ) — M-B(V)-U 0 -U 1 ...U n -U n+1 .
Mehrfache Anwendung von (e) ergibt:
M ■ B (F) = M ■ B (F) • U 0 = M-B (F) • U 0 ■ U 1 = ... = M-B(V)-U 0 -U 1 . ..U„ = ...

744
W. Hurewicz.
und daraus folgt nach (*):
M-B(V) = 0, womit Satz VI bewiesen ist 7a ).
Aus ihm folgt unmittelbar, daß die Bedingung von Satz V hinreichend ist. Sei nämlich M für jedes e > 0 Summe einer Nullfolge von paarweise fremden, in M abgeschlossenen Mengen < s. Ist dann ein Punkt p von
CO
M und ein e > 0 vorgegeben, dann können wir M = 2J A¡ setzen, wobei
n=l
p im A 1 liegt, A 1 < U(p: e ) gilt und die Mengen A n den Voraussetzungen von Satz VI genügen. Es existiert dann, dem Satz VI zufolge, eine Umgebung V von p, mit zu M fremder Begrenzung, so daß A 1 < V < U(p; s) gilt. Also ist M nulldimensional. Damit ist Satz V in allen Stücken bewiesen.
Es seien noch zwei Nebenergebnisse erwähnt, welche durch den Beweis von Satz V mitbewiesen sind : a) Eine zusammenhängende Menge M kann nicht in eine Folge von paarweise fremden in M abgeschlossenen Mengen mit gegen Null konvergierenden Durchmessern gespalten werden 9 ). Dies ist eine unmittelbare Folge von Hilfssatz 2.
b) Bilden die Komponenten oder die Quasikomponenten 9 ) einer Menge M eine Nullfolge, dann stimmen die Komponenten und die Quasikomponenten von M überein. Nehmen wir erstens an, die Komponenten {A n ) der Menge M bilden eine Nullfolge. Seien p und q zwei Punkte von M, die zu verschiedenen Komponenten, etwa zu A ± und A m gehören. Da die A n in M abgeschlossen sind, können wir auf die Folge {A n } den Satz VI anwenden. Es existiert also eine offene Menge V mit zu M fremder Begrenzung, so daß A 1 < V gilt und q nicht in V liegt. Dann liefert die Formel M — M • V -f- (M — M- F) eine Zerlegung von M in zwei in M abgeschlossene Mengen, von denen die eine den Punkt p, die andere den Punkt q enthält, p und q gehören also zu verschiedenen Quasikomponenten. Folglich stimmen die Komponenten und die Quasikomponenten von M überein.
Nehmen wir zweitens an, die Quasikomponenten von M bilden eine Nullfolge {B n }. Die B n sind in M abgeschlossen. Wären die Kompo-
7a ) (Zusatz bei der Korrektur): Satz VI läßt sich einfacher beweisen, wenn
man folgende leicht beweisbare Tatsache benützt: Sind M l und M., in M abgeschlossene
Mengen und gibt es unter den Mengen A¡ keine, die sowohl mit M 1 als auch mit M.,
Punkte gemein haben, dann existieren zwei offene Mengen und U„ > , so
daß keino Menge A¡ g'eichzeitig mit U t und U« Punkte gemein hat.
8 ) Nach Sierpiñski (Tôkohu Math. J. 13, S. 300) kann man gewisse nichtbeschränkte Kontinua in abzählbar unendlich viele paarweise fremde Teilkontinua zerlegen.
9 ) Vgl. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 1914, S. 248.

Normalbereiche und Dimensionstheorie.
745
neiiten mit den Quasikomponenten von M nicht identisch, so ließe sich mindestens eine der Mengen B n , etwa B 1 in zwei in B 1 und mithin in M abgeschlossene, zueinander fremde Mengen B[ und Bi zerlegen. Auf die Folge Bí, B¡ , B„, B :i , ..B u , ... kann man Satz VI anwenden und daraus wie oben folgern, daß je zwei Punkte p und q, von denen der eine injBÍ, der andere in liegt, in verschiedenen Quasikomponenten von M liegen, im Widerspruch zur Annahme, B\_ — Bi + sei eine Quasikomponente von 31.
§2.
Über die Summen nulldimensionaler Mengen.
Bekanntlich ist die Summe zweier nulldimensionaler Mengen (wie schon aus der Zerlegbarkeit der Strecke in die nulldimensionale Menge aller rationalen und die nulldimensionale Menge aller irrationalen Punkte hervorgeht) nicht notwendig nulldimensional. Menger 10 ) und Urysohn 11 ) haben aber bewiesen, daß die Summe abzählbar vieler nulldimensionaler kompakter abgeschlossener Mengen und mithin die Summe abzählbar vieler nulldimensionaler halbkompakter F„ 12 ) stets nulldimensional ist. Wir gehen nunmehr daran, einen wesentlich allgemeineren Satz zu beweisen :
Satz VII. In einem separablen Raum ist die Summe abzählbar vieler abgeschlossener nulldimensionaler Mengen nulldimensional.
CO
Sei M = J£M n , wo die Mengen M n abgeschlossen und nulldimen-
n= 1
sional sind. Sei ein Punkt p von M und eine Umgebung U von p beliebig vorgegeben. Wir haben zu zeigen: Es gibt eine Umgebung F von p < U, deren Begrenzung zu M fremd ist.
Da M 1 nulldimensional ist, existiert eine Umgebung F 3 V <U von p mit zu M 1 fremder Begrenzung. Die Mengen V x und M ± — V 1 sind zueinander fremd und abgeschlossen; es existiert daher eine offene Menge U 1 , so daß M 1 — V 1 <U 1 , U 1 -V 1 = 0 gilt. Die offene Menge U — U 1 enthält V 1 . Nach Satz III gibt es daher eine offene Menge F„ mit zu M t fremder Begrenzung, so daß V 1 < F„ < U, U 1 -V 2 = 0 gilt. Da die Mengen F 2 und 31.-, — F„ zueinander fremd und abgeschlossen sind; läßt sich eine offene Menge U„ angeben mit den Eigenschaften: M 2 — F 3 <U 2 , Î7 2 -F 3 = 0. Die Menge U — (U 1 + Z7„) ist eine Umgebung der abgeschlossenen Menge V„. Nach Satz III existiert daher eine offene
10 ) Monatshefte f. Math. u. Phys. 34, S. 147.
") Fund. Math. 8, S. 337.
12 ) Als Fa bezeichnet man die Summe abzählbar vieler abgeschlossener Mengen, als Gd das Produkt abzählbar vieler offener Mengen.
Mathematische Annale«. 9G. 48

746
W. Hurewicz.
Menge V 3 mit zu M % fremder Begrenzung, derart, daß F 2 < V 3 < U und (JJ l -|_ JJ n ).y^ = 0 gilt. Wie oben definieren wir nun eine offene Menge U s gemäß den Bedingungen: M 3 — V 3 < U 3 ; U 3 -V 3 — 0.
Indem man dieses Verfahren ad infinitum fortsetzt, definiert man zwei Folgen {F„} und { U n } von offenen Mengen, so daß folgende Beziehungen bestehen:
1. F, < F a < F < ... < F„ < ... < U,
2. M n — F n < U n ,
3. (u 1 + u,+ .,. + u n )-r n = o.
CO
Setzen wir F= F n ; dann ist F eine Umgebung von p und es gilt wegen
71=1
1. F < U. Wir haben noch zu zeigen, daß die Begrenzung von F zu M fremd ist. Aus 2. folgt zunächst mit Rücksicht auf M — V < (M n — U n )
4. M-V<JJU n .
71=1
CO CO
Aus 1. und 3. ergibt sich F- 5]U n — 0, und daraus, da JJU n eine offene
n—1 w=l
Menge ist:
5- 7-jtü n = 0.
71 = 1
4. und 5. zusammen ergeben:
V-(M — F) = 0;
also ist die Begrenzung von F zu JÍ fremd, womit Satz VII bewiesen ist. Man kann Satz VII auch in folgender Form aussprechen.
Satz Vila. Ist die separable Menge M Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenen nulldimensionalen Mengen, dann ist M null- dimensional.
Betrachten wir ein Beispiel in der Cartesischen Zahlenebene. Es sei r eine rationale Zahl; mit M r bezeichnen wir die Menge aller Punkte der Ebene, welche die Ordinate r und eine irrationale Abszisse haben, mit N r die Menge aller Punkte der Ebene, welche die Abszisse r und eine irrationale Ordinate haben. Setzen wir P = J¡] M r +J? N r , wo die Summationen
r r
über alle rationalen Zahlen zu erstrecken sind, dann ist P die Menge aller Punkte der Ebene, welche eine rationale und eine irrationale Koordinate besitzen. Da die Mengen M r und N r nulldimensionale und, wie man sofort sieht, in P abgeschlossene Mengen sind, ist P nach Satz Vila null- dimensional, was man auch direkt bestätigen kann; da nämlich auf den Geraden y = x + r und y — — x + r, wenn r eine rationale Zahl bedeutet, kein Punkt der Menge P liegen kann, sieht man unmittelbar, daß sich auf jeden Punkt von P Parallelogramme mit zu P fremden Begrenzungen zusammenziehen.

Normalbereiche und Dimensionstheorie.
747
Wir ziehen noch eine einfache Folgerung aus Satz VII.
Satz VIIb. Ist die separable Menge M Summe von zwei nulldimen- sionalen Mengen M i und M^, von denen eine zugleich ein F„ und ein G s in M {z. B. abgeschlossen in M) ist, dann ist M nulldimensional; m. a. W.\ In einem separablen Raum ist die Summe einer nulldimensionalen Menge, die zugleich F„ und Gg ist, und einer beliebigen nulldimensionalen Menge nulldimensional.
In der Tat, sowohl M x als auch ilf 2 ist unter der angegebenen Voraussetzung Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenen nulldimensionalen Mengen, also ist M nach Satz VII b nulldimensional.
Zieht sich auf den Punkt p des Raumes eine Folge von Umgebungen zusammen, deren Begrenzungen zu M fremd sind, dann heißt nach Menger und Urysohn die Menge M im Punkte p nulldimensional. Mit Rücksicht auf eine Verallgemeinerung dieser Begriffsbildung im § 4 dieser Arbeit sagen wir, wenn die Menge M im Punkte p nulldimensional ist, daß M in p unstetig oder auch, daß p UnstetigJceitspunkt der Menge M sei. Die anderen Punkte des Raumes nennen wir Stetigkeitspunkte von M und sagen auch, die Menge M sei in ihnen stetig. Jeder Stetigkeitspunkt einer Menge M ist offenbar Häufungspunkt von M . Nulldimensional sind jene Mengen, die in allen ihren Punkten (und folglich nach Satz II in allen Punkten des Raumes) unstetig sind. — Die folgenden Betrachtungen beruhen auf
Satz VIII. Ist M in der separablen Menge A abgeschlossen und die Menge A — M nulldimensional, dann ist jeder Unstetigkeitspunkt von M Unstetigkeitspunkt von A.
Sei nämlich p ein Unstetigkeitspunkt von M, V eine Umgebung von p. Wir haben eine Umgebung U<U von p mit zu A fremder Begrenzung anzugeben. Wegen der Unstetigkeit von M in p existiert zunächst eine Umgebung U', so daß U' <U gilt und die Begrenzung B (U') zu M fremd ist. Die Menge M-U' ist abgeschlossen in A. Da A — M nulldimensional ist, existiert eine offene Menge F, so daß
wenn B (V ) die Begrenzung von F bezeichnet. Wegen (**) und (***) ist auch M-B (V) — 0, also A-B(V)=0. Die Menge F ist eine in U ent-
48*
§ 3-
Stetigkeits- und Unstetigkeitspunkte.
M-U' < F < U',
{A- M)-B(V)= 0,

748
W. Hurewicz.
lialtene Umgebung von p, deren Begrenzung zu A fremd ist. Damit ist Satz VIII bewiesen.
Wir bezeichnen nun die Menge aller Stetigkeitspunkte von M mit M>., die Menge aller Unstetigkeitspunkte von M mit M fl , und untersuchen nun, indem M ein für allemal als separabel vorausgesetzt wird, diese beiden Mengen näher. Nach einem Satz von Menger und von Urysohn ist M,, ein G a , M-,, ein F„\ 1S ) ferner ist klar, daß die Menge M ■ M„ nulldimensional ist, denn jeder ihrer Punkte ist ja Unstetigkeitspunkt sogar von M.
Bezeichnen wir mit M* die abgeschlossene Hülle von M-,. -M in M, so folgt aus M = M ■ M fl + M* auf Grund von Satz VIII:
Satz IX. Jeder Punkt von M>. ist ein Stetigkeitspunkt der Menge M*.
Aus diesem Satz ergeben sich zahlreiche Folgerungen. Zunächst ist jeder Punkt von M>_ als Stetigkeitspunkt von M* auch Häufungspunkt von dieser Menge und mithin von M-M>.. Es gilt also:
Satz X. Die Menge M -Mi ist entweder leer oder insichdicht und dicht in M;..
Nennen wir ferner eine Menge nirgends nulldimensional, wenn sie keine in ihr offene nulldimensionale Menge enthält 14 ); dann gilt:
Satz XI. Die Mengen M, i und M* sind entiveder leer oder nirgends nulldimensional.
Mit Rücksicht auf Satz X genügt es zu beweisen, daß M * nirgends nulldimensional ist (denn M* ist dicht in Mj). Sei etwa U eine offene Menge derart, daß U-M* +0 ist. In U liegt ein Punkt p von M>.. Nach Satz IX ist p ein Stetigkeitspunkt von M* und somit von U-M\ . Also ist V ■ M * nicht nulldimensional und daher ist M-M* nirgends nulldimensional.
Satz XII. Jede separable Menge M kann auf eine einzige Weise in zwei Mengen M 1 und M 2 zerlegt iverden, so daß M 1 nulldimensional und M„ entiveder leer oder in M abgeschlossen und nirgends nulldimensional ist.
Angenommen, es gäbe zwei solche Zerlegungen M=M 1 J r M. 2 und M = Ml + M> . Da M. 2 in M abgeschlossen ist, existiert eine Umgebung U, so daß U-M<M 1 . Die Menge U M und daher auch U-MÍ ist nulldimensional. Also gehört p nicht zu M> , da diese Menge nirgends null-
13 ) Menger (Monatshefte 34, S. 141) beweist dieB folgendermaßen: Für jede natürliche Zahl n ist die Menge M u aller Punkte, die eine Umgebung mit zu M fremder
1 00
Begrenzung und einem Durchmesser < — besitzen, offen und es gilt M u = IT :
M n=l
also ist Mfi ein Gä.
14 ) Die oben als nirgends nulldimensional bezeichneten Mengen sind jene, die im Sinne von Brouwer (Journ. für d. reine u. angew. Math. 142) „in keinem Punkte nulldimensional" sind.

Normalbereiche und Dimensionstheorie.
749
dimensional ist. Folglich gilt M l < Ml ; aus denselben Gründen gilt auch Ml < M 1 . Also ist M 1 = M[ und _M 2 = M', . Es kann somit nicht mehr als eine Zerlegung geben, die den Forderungen von Satz XII genügt. Eine aber wird geliefert durch die Formel M = {M — M* ) -j- M* .
Nennen wir eine Menge 31 stetig, wenn jeder Punkt von 31 ein Stetigkeitspunkt von M ist 15 ). Die Summe endlich oder abzählbar unendlich vieler stetiger Mengen ist, wie man sofort sieht, stetig. Wir bezeichnen mit M r die Summe aller stetigen Teilmengen von 31. Die Menge M„ ist also die größte stetige Teilmenge von M. Wir zeigen
Satz XIII. Die Menge M v ist ein F„ in M .
Es gilt nämlich M v = M ■ (M v )i. Denn erstens ist jeder Punkt von M„ ein Stetigkeitspunkt von M t , und gehört mithin zu M ■ (M v );.. Zweitens liegt jeder Punkt von M-(M,.)x in M,.. Denn sonst gäbe es in M—M v einen Stetigkeitspunkt p von M v . Dann wäre aber, wie man leicht sieht, die Menge M,, + (p) stetig, was unmöglich ist, da M v die größte stetige Teilmenge von M ist. Die Menge (M r );. aber ist ein F„ und damit ist Satz XIII bewiesen.
Menger ist für den Fall kompakter Mengen auf Aussagen über das Hausdorfïsche Residuum und die Bairesche Kategorie der Menge Mi geführt worden unter der Voraussetzung, daß die Menge M-M>. nulldimen- sional sei in allen Punkten einer in M>. dichten Teilmenge 16 ). Wir wollen ähnliche Aussagen für beliebige separable Mengen herleiten, und zwar unter der Voraussetzung, daß M keinen stetigen Teil enthält, also für Mengen mit 31,. = 0. Dabei nennen wir eine Menge M total irreduzibel, wenn M — 31 in 31 dicht liegt 17 ) und total irreduzibel in N(N > 31), wenn N■ (M — M) in N-M dicht ist. Wir sagen ferner, eine Menge M sei von erster Kategorie, wenn 31 Summe ist von abzählbar vielen in M nirgends dichten Teilmengen (üblicherweise sagt man dann, M sei von erster Kategorie in bezug auf sich selbst). Dann gilt:
Satz XIV. Ist 31 v = 0, dann ist 1. M>. total irreduzibel und 31-31x
lr ') S. Mazurkiewicz nennt (Fund. Math. 2, S. 201) diese Mengen quasizusammenhängend.
16 ) Einige Überdeckungssätze der Punktmengenlehre, Wiener Ber. 133, S. 442.
17 ) Hausdorff bezeichnet (Mengenlehre 1914, S. 281) als Residuum der Menge M die Menge M-M—M und nennt reduzibel jene Mengen, welche durch iterierte Residuenbildung leer gemacht werden können. Die von Menger vorgeschlagene Bezeichnung total irreduzibel für jene Mengen, deren Komplement zur abgeschlossenen Hülle in dieser letzteren dicht liegt, findet ihre Rechtfertigung darin, daß diese Mengen mit ihrem Hausdorffschen Residuum identisch sind, also durch Residuenbildung überhaupt nicht reduziert werden.

750
W. Hurewicz.
total irreduzibel in M, 2. M ■ M u dicht in M, 3. Mi und M-M-,. von erster Kategorie.
Wäre nämlich 1. M> . nicht total irreduzibel, dann gäbe es einen Punkt p von M>. , der nicht Häufungspunkt von M>. — M>. wäre. Es existierte also eine Umgebung U von p, so daß U ■ Mi < Mi. NachSatz X wäre die Menge V-M-Mi nicht leer. Nach Satz IX wäre jeder Punkt von U-M-Mi Stetigkeitspunkt von M ■ Mi = M* und mithin von U ■ M ■ M >. — U-M- Mi. Also wäre V-M-Mi eine stetige Teilmenge von M, was der Voraussetzung il#,, = 0 widerspricht. Ganz analog zeigt man, daß M -Mi total irreduzibel in M ist. Aus dem Bewiesenen folgt unmittelbar, daß 2. M-M,, dicht in M ist. Auf Grund der Tatsache, daß jedes total irreduzible F„ von erster Kategorie im Sinne von Baire ist 18 ), folgt aus Satz XIV 1., daß der F„ M¡. und der F„ in M M ■ M> von erster Kategorie ist.
Die Voraussetzung M v —0 ist (ebenso wie die Mengersche Voraussetzung) insbesondere erfüllt, wenn die Menge M -Mi nulldimensional ist. Dieser Fall kann sich wirklich ereignen. Sierpiñski hat eine Menge M konstruiert 1 "), für welche M -Mi sogar bloß abzählbar ist. Wenn die Menge Mi von zweiter Kategorie im Sinne von Baire oder mit ihrem Hausdorffschen Residuum nicht identisch ist, dann ist sie Satz XIV zufolge sicher nicht nulldimensional. Auf der Suche nach anderen hinreichenden Bedingungen dafür ist Menger auf seinen neuen Typus von Uberdeckungssätzen geführt worden; wir verweisen diesbezüglich auf die Mengersche Darstellung 20 ).
Hier ziehen wir noch eine einfache Folgerung aus dem Bewiesenen:
Satz XV. 1st die Menge M -Mi nicht nulldimensional, dann ist sie Summe einer in M total irreduziblen Menge von erster Kategorie und einer nirgends nulldimensionalen Menge.
Setzen wir P — M- Mi. Mit Rücksicht auf Satz XI brauchen wir nur zu zeigen, daß die Menge P—P>_ total irreduzibel und von erster Kategorie ist. Da die Menge Q = M —in M offen ist, gilt, wie man leicht sieht, Q.Qi = Q.Mi = M-M,.-Fi-Mi = P-Pi. Die Menge P-Pi = Q-Qi ist nulldimensional, also nach Satz XIV eine Menge von erster Kategorie, welche in Q und mithin in M total irreduzibel ist.
18 ) Dies folgt daraus, daß in einer total irreduziblen Menge jede abgeschlossene Menge nirgends dicht liegt.
19 ) Fund. Math. 2, S. 81.
30 ) Wiener Ber. 133, S. 421.

Normalbereiche und Dimensionstheorie.' 1
751
§ 4.
Abgeschlossene Komponenten.
Sei M eine beliebige Menge, p ein Punkt der abgeschlossenen Hülle M von M. Wir betrachten die Menge M p aller Punkte q von M, die folgende Eigenschaft haben: Es existiert keine offene Menge U mit zu M fremder Begrenzung, so daß q in U, p im Komplement C(l7) von Ü liegt. Der Punkt p gehört offenbar zu M . Ferner ist, wie man sofort sieht, die Menget— M in M offen 21 ); also ist die Menge M p abgeschlossen. Wir bezeichnen daher die Menge M p als die zu p gehörige abgeschlossene Komponente von M .
Ist beispielsweise M im R 1 die Summe der offenen Intervalle ( — 1, 0) und (0, 1). Die abgeschlossenen Komponenten von M sind die drei abgeschlossenen Intervalle [—1,0], [0,1], [—1,1], wobei das letztangeführte Intervall die abgeschlossene Komponente des Punktes 0 ist. Dieses Beispiel zeigt, daß die verschiedenen abgeschlossenen Komponenten einer Menge nicht notwendig untereinander fremd sind.
Aus der Definition der abgeschlossenen Komponente folgt unmittelbar
Satz XVI. Sind p und q zwei Punkte der abgeschlossenen Hülle von M und liegt q in der zu p gehörigen abgeschlossenen Komponente von M, so liegt auch p in der zu q gehörigen abgeschlossenen Komponente von M.
Ferner beweisen wir mit der von Menger ausgebildeten Methode der Einschließung von Umgebungsbegrenzungen:
Satz XVII. Die abgeschlossenen Komponenten einer kompakten Menge sind zusammenhängende Mengen.
Sei p ein Punkt von M. Angenommen, die zu p gehörige abgeschlossene Komponente M p von M wäre nicht zusammenhängend, also Summe von zwei fremden nicht leeren, abgeschlossenen Mengen M' und M". Der Punkt p möge etwa in M' liegen. Sei U eine offene Menge, so daß M' < U und M" • U — 0 gilt. Die Begrenzung B ( U ) von U ist zu M p fremd. Zu jedem Punkt q der kompakten abgeschlossenen Menge M • B (U) existiert eine Umgebung U(q) von q mit zu M fremder Begrenzung derart, daß p in C(U ) liegt. Unter den Mengen U q gibt es nach dem Boreischen Theorem endlich viele, etwa TJ 1 , U„ , ..., U n , in deren Summe M-B {JJ) enthalten ist. Die Menge V = U — U 3 + Í7 2 + ... + U m ist eine Umgebung von p mit zu M fremder Begrenzung, und jeder Punkt von M"
21 ) Ist nämlich g ein Punkt von M — Mj,, so gibt es eine Umgebung U von q mit zu M fremder Begrenzung derart, daß p weder im Innern von U, noch auf der Begrenzung von U liegt. Dann ist die Umgebung U zu M,, fremd und folglich U M<iM—M p .

752
W. Hurewicz.
liegt außerhalb V, gehört also nicht zu M ¡t im Widerspruch zur Vorausaussetzung. Damit ist Satz XVII bewiesen.
Der Begriff der abgeschlossenen Komponente wird zu den im vorigen Paragraph betrachteten Begriffen in Beziehung gesetzt durch
Satz XVIII. Sei M eine Menge eines kompakten Raumes. Damit der Punkt p von M ein Unstetigkeitspunkt von M sei, ist notwendig und hinreichend, daß die zu p gehörige abgeschlossene Komponente nur aus dem Punkt p bestehe.
Die Notwendigkeit der Bedingung folgt unmittelbar aus den Definitionen der abgeschlossenen Komponente und des Unstetigkeitspunktes. Die Bedingung ist auch hinreichend. Sei nämlich p ein Punkt von M derart, daß die zu p gehörige abgeschlossene Komponente M nur aus dem Punkt p besteht. Sei TJ eine beliebige Umgebung von p . Zu jedem Punkt q von M — U existiert eine Umgebung U q , deren abgeschlossene Hülle den Punkt p nicht enthält und deren Begrenzung zu M fremd ist. Da M — U kompakt und abgeschlossen ist, gibt es unter den Mengen U q endlich viele etwa U 1 , Z7 2 , ..., U n , in deren Summe die Menge M — U enthalten ist. ¡Die Menge V = U — (U 1 + Ü. 2 + ... + U n ) ist wiederum eine Umgebung von p, die in U enthalten ist und deren Begrenzung zu M fremd ist. Also ist p ein Unstetigkeitspunkt von M . Damit ist Satz XVIII bewiesen.
Eine unmittelbare Folge von Satz XVIII ist
Satz XIX. Damit die Menge M eines kompakten Raumes null- dimensional sei, ist notwendig und hinreichend, daß jede abgeschlossene Komponente von M aus nur einem Punkt bestehe.
Satz XVIII ergibt ferner eine Verschärfung des Mengerschen Satzes, daß in jeder Umgebung eines Stetigkeitspunktes der Menge M Kontinua enthalten seien, die ausschließlich Stetigkeitspunkte von M enthalten. Wir können nun nämlich zeigen, daß durch jeden Stetigkeitspunkt von M ein derartiges Kontinuum hindurchgeht.
Satz XX. Ist p ein Stetigkeitspunkt der kompakten Menge M, so ist p in einem Kontinuum enthalten, dessen sämtliche Punkte Stetigkeitspunkte von M sind.
Nach Satz XVII und XVIII ist die abgeschlossene Komponente M p eines Stetigkeitspunktes p ein Kontinuum. Nach Satz XVI enthält die abgeschlossene Komponente jedes Punktes von M p mehr als einen Punkt. Jeder Punkt des p enthaltenden Kontinuums M ist also Stetigkeitspunkt von M , womit Satz XX bewiesen ist.
In Satz XX ist insbesondere enthalten, daß die Menge M-,. aller Stetigkeitspunkte entweder leer oder eine stetige Menge ist.

Normalbereiche und Dimensionstheorie.
753
Satz XXI. Für kompakte abgeschlossene Mengen stimmen die abgeschlossenen Komponenten mit den Komponenten überein.
Sei nämlich p ein Punkt der kompakten abgeschlossenen Menge M , M die zu p gehörige Komponente, M' v die p enthaltende Komponente von M. Da M v zusammenhängend ist, gilt M v < M p . Angenommen nun, M p wäre eine echte Teilmenge von M p . Dann gäbe es in M einen Punkt q von folgender Art: Es existiert eine Umgebung U von q, deren abgeschlossene Hülle den Punkt p nicht enthält und deren Begrenzung zu M und mithin zu M p fremd ist. Das widerspricht aber dem Zusammenhang von M p . Also ist M v —M' v , womit Satz XXI bewiesen ist.
Aus den Sätzen XXI und XVIII folgt, daß ein Punkt einer kompakten abgeschlossenen Menge M dann und nur dann Stetigkeitspunkt von M ist, wenn er in einem Teilkontinuum von M liegt. Da die Menge M>. aller Stetigkeitspunkte von M ein F„ ist, so erhalten wir als Nebenergebnis
Satz XXII. Die Summe aller Teilkontinua einer kompakten abgeschlossenen Menge ist ein F a .
Eine Menge heißt diskontinuierlich , wenn sie kein Kontinuum enthält. Aus dem Bewiesenen folgt, daß für kompakte abgeschlossene Mengen auch die Umkehrung gilt: Eine kompakte abgeschlossene diskontinuierliche Menge ist nulldimensional. Auf Grund von Satz VII folgt daraus der Mazurkiewiczsche Satz 22 ): Unter den halbkompakten F„ stimmen die nulldimensionalen und die diskontinuierlichen Mengen überein.
II. Teil.
Über Normalbereiche und zugehörige unstetige Mengen.
§ 5.
Die Hauptsätze über Normalbereiche.
Wir wenden uns der Aufgabe zu, die Mengen M von folgender Beschaffenheit zu untersuchen: Auf jeden Punkt von M zieht sich eine Folge von in M offenen Mengen zusammen, deren Begrenzungen in M eine gewisse Eigenschaft haben, oder, was auf dasselbe hinausläuft, deren Begrenzungen in M einem gewissen Bereich 93 von Mengen angehören. Wir nennen solche Mengen total unstetig in bezug auf den Bereich 93. Die total unstetigen Mengen hinsichtlich des Bereiches 58, welcher bloß die leere Menge enthält, sind die nulldimensionalen Mengen.
2 ' 3 ) Fund. Math. 3, S. 67. — Die Mengen ohne Teilkontinuum, die wir im Anschluß
an Menger als diskontinuierlich bezeichnen, werden vielfach „punkthaft" (punktiform) genannt.

754
W. Hurewicz.
Einen Bereich 9Î von Mengen nennen loir einen Normalbereich, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Ist M eine Menge aus 9 c , so auch jede Teilmenge von M.
2. 1st M Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenen Mengen, die zum Bereich 9? gehören, dann gehört auch M zum Bereich 9 c.
Der Bereich aller separablen nulldimensionalen Mengen ist auf Grund von Satz Vila ein Normalbereich. Weitere Beispiele von Normalbereichen liefern der Bereich aller abzählbaren Mengen, ferner der Bereich aller Mengen, die im Baireschen Sinn von erster Kategorie in bezug auf eine bestimmte Menge sind 23 ).
Wegen der Bedingung 1. erhält jeder Normalbereich die leere Menge. Daher ist jede nulldimensionale Menge in bezug auf einen beliebigen Normalbereich total unstetig. Es gilt ferner:
Theorein I. Damit eine separable Menge M in bezug auf einen Normalber eich 9 c total unstetig sei, ist notwendig und hinreichend, daß M Summe einer nulldimensionalen Menge und einer Menge aus 9Î sei.
Die Bedingung ist notwendig. Ist nämlich M total unstetig in bezug auf den Bereich 9Î, dann existiert zu jedem Punkt p von M und zu jeder natürlichen Zahl n eine Relativumgebung (d. h. eine p enthaltende in M
offene Menge) U" (p) von p, deren Durchmesser < ^ ist und deren Begrenzung in M eine Menge aus 9Î ist. Aus dem verallgemeinerten Borel- schen Theorem folgt sodann, daß AI für jede natürliche Zahl n Summe einer Folge Z7", U", ..., Um, • • • von in M offenen Mengen ist, deren Durchmesser < — und deren Begrenzungen in M Mengen aus 9 Î sind. Sei B ( Um) die Begrenzung von U',\ in M. Setzen wir
N = VB (U2).
«,m=l
Da die Mengen B (Um) in M und daher auch in N abgeschlossen sind, ist N eine Menge aus 9?. Ferner ist die Menge M — N nulldimensional, denn die Begrenzungen der Mengen ( M — N) ■ Um sind in M leer und auf jeden Punkt von M — N zieht sich eine Folge von Mengen aus dem System {Um} zusammen.
Die Bedingung ist hinreichend. Sei nämlich M = M -j- N, wo M' eine nulldimensionale Menge, N eine Menge aus 9Î bezeichnet. Auf Grund von Satz II zieht sich auf jeden Punkt von M eine Folge {U n } von Umgebungen mit zu M' fremden Begrenzungen zusammen. Die Begrenzungen
23 ) Man kann leicht zeigen, daß es zu jedem Bereich von Mengen einen kleinsten ihn enthaltenden Normalbereich gibt.

Normalbereiche und DimensionBtheorie.
755
der Mengen M ■ U n in M sind Teilmengen von N, gehören also zu 9c. Folglich ist M in bezug auf 9Z total unstetig.
Betrachten wir z. B. das System 9 c aller Teilmengen einer separablen Menge M, die in bezug auf M von erster Kategorie sind. 92 ist ein Normalbereich und M ist in bezug auf 9c total unstetig. Denn die Begrenzungen in M von jeder in M offenen Menge sind sogar nirgends dicht in M. Aus dem Theorem I folgt also:
Satz XXIII. Jede separable Menge M ist nach Vernachlässigung einer Teilmenge von erster Kategorie in M nulldimensional.
Da nach Sierpinski 21 ) jede separable nulldimensionale Menge mit einer Teilmenge R 1 (der Zahlengeraden) homöomorph ist, so folgt aus Satz XXIII Satz XXIV. Jede separable Menge ist nach Vernachlässigung einer Teilmenge von erster Kategorie mit einer linearen Menge homöomorph.
Auf Grund von Theorem I läßt sich die ganze Theorie der hinsichtlich eines beliebigen Normalbereiches total unstetigen Mengen auf die Theorie der nulldimensionalen Mengen zurückführen.
Wir bezeichnen im folgenden mit 9Î stets einen Normalbereich. Zunächst ist klar, daß jeder Teil einer in bezug auf 9? total unstetigen Menge in bezug auf 9Î total unstetig ist. Ferner gilt in Analogie zu Satz III
Satz lila. Ist die separable Menge M total unstetig in bezug auf 9c, und ist die Menge P in P -f- M abgeschlossen, dann existiert zu jeder Umgebung U von P eine Umgebung V < ü von P derart, daß der Durchschnitt von M mit der Begrenzung von V eine Menge aus 9Í ist.
Auf Grund von Theorem I ist M Summe einer nulldimensionalen Menge M' und einer Menge N aus 91. Ist die Menge P in P -\- M abgeschlossen, so ist sie auch in P-f-ili' abgeschlossen, und zu jeder Umgebung U von P gibt es nach Satz III eine Umgebung V < U von P mit zu M' fremder Begrenzung. Der Durchschnitt von M mit der Begrenzung von V ist eine Teilmenge von N, gehört also zu 91. Damit ist Satz lila bewiesen.
Satz III enthält als Spezialfall folgendes Analogon zu Satz II:
Satz IIa. Ist die separable Menge M in bezug auf 9c total unstetig, dann zieht sich auf jeden Punkt des Raumes eine Folge von Umgebungen zusammen, so daß die Durchschnitte von M mit den Begrenzungen dieser Umgebungen zum Bereich 9c gehören. Ist eine separable Menge M in bezug auf 9c total unstetig, so bleibt ihr also diese Eigenschaft nach Hinzufügung eines beliebigen einzelnen Punktes erhalten.
Fund. Math. 2, S. 85. Sierpiñski spricht seinen Satz bloß für Teilmengen Euklidischer Räume aus, doch geht diese Einschränkung in seinen Beweis nicht ein.

756
W. Hurewicz.
Wir beweisen endlich:
Satz IVa. Damit eine separable Menge M in bezug auf 9Î total unstetig sei, ist notwendig und, hinreichend, daß es zu je zwei in M abgeschlossenen zueinander fremden Mengen N 1 und iV 2 zwei in M abgeschlossene Mengen M 1 und M„ gibt, deren Durchschnitt eine Menge aus 9Ï ist und so, daß
N x < M l - M 1 M n _, N„< M 2 - M 1 M v M =M 1 + M,
gilt.
Die Bedingung ist notwendig. Sei nämlich M in bezug auf 9c total unstetig. Sind die Mengen N 1 und N„ zueinander fremd und in M abgeschlossen, so gibt es nach Hilfssatz 1 eine offene Menge U derart, daß N t < U und iV 2 • Ü — 0 ist. Nach Satz III a existiert eine Umgebung V < U von N y , deren Begrenzung mit M einen zu 9c gehörigen Durchschnitt hat. Setzen wir M 1 = V-M und M„ = C(V)-M, wo G(V) das Komplement von F bezeichnet, dann genügen die in M abgeschlossenen Mengen M 1 und Jf 2 allen Forderungen des Satzes IVa.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen nämlich, sie sei erfüllt. Ist dann p ein Punkt von M, U eine Umgebung von P, so lassen sich nach Voraussetzung zwei in M abgeschlossene Mengen M i und M.-, mit folgenden Eigenschaften bestimmen:
1. M =M 1 + M.,,
2. {p)<M 1 -M í¡ , 'M-C(U) < Mg — M 1 ,
3. M 1 -M. 2 ist eine Menge aus 9Î.
Die Menge V = M — M„ ist in M offen. Sie enthält den Punkt p und ist selbst in U enthalten. Ferner ist die Begrenzung von F in M eine Teilmenge von M L -M„, gehört also zu 9Í. Folglich ist M in bezug auf 9? total unstetig. Damit ist Satz IV a bewiesen.
Wir können die hinsichtlich eines Normalbereiches total unstetigen Mengen durch Zerlegungseigenschaften charakterisieren, so wie früher die nulldimensionalen Mengen.
Satz Va. Damit die kompakte (halbkompakte) Menge M in bezug a uf 9? total unstetig sei, ist notwendig und hinreichend, daß M für jedes s > 0 Summe sei von endlich vielen (von einer Nullfolge von) in M abgeschlossenen Mengen M 1 , M. 2 , ..., M n , deren Durchmesser < e sind und die zu je zweien Durchschnitte haben, die dem Bereich 91 angehören.
Die Bedingung ist notwendig. Ist nämlich die kompakte Menge M in bezug auf 91 total unstetig und ist £ > 0 vorgegeben, dann existiert nach Satz IIa zu jedem Punkt p von M eine Umgebung U(p) von p von folgenden Eigenschaften: 1. Die Durchmesser der U(p) sind < e, 2. die

Normalbereiohe und Dimensionstheorie.
757
Durchschnitte von M mit den Begrenzungen der U(p) sind Mengen aus 9c. Wir wählen unter den Mengen U(p ) nach dem Boreischen Theorem endlich viele, etwa U 1 , U„, ..., U n , in deren Summe M enthalten ist, aus und definieren A m = [U m + + + Die Mengen A m
sind in M abgeschlossen, ihre Durchmesser sind < e. Es gilt ferner für n k A¡- U k == 0. Daraus folgt wegen A k <Uj. die Beziehung
A i -A k < M-{Üi — U k ) = Mit der Menge M-B(U U ) gehört daher auch der Durchschnitt A { ■ A k zu 9Î und damit ist gezeigt, daß die Mengen A n allen Forderungen des Satzes genügen.
Die Bedingung ist hinreichend. Ist sie nämlich erfüllt, so kann man für jede natürliche Zahl 1c endlich viele in M abgeschlossene Mengen Ai , As, . ■., An k mit Durchmessern < j bestimmen, so daß
(*) M= ZA* m
m= 1
gilt und daß die Durchschnitte A t -A m {I =j= m) zum Bereich 9Î gehören. Setzen wir
co l — l , ,
(**) N=yj 2 ZA] -Ai
k= 12=1 m= 1
und
(***) M' = M-N, B,n = Am — N (¿=1,2,...; m=l,2,
Die Menge N gehört als Summe von abzählbar vielen in N abgeschlossenen Mengen aus 9Î selbst zu 9J. Aus (**) folgt
(t) Bi-Bi = 0 (k = 1, 2, ... ; m, l = 1, 2, ..., n k ; 1 4= m).
Aus (*) folgt:
(tt) M'= n %Bl.
m= 1
Da die Mengen B^ = Am C(N) in M' = M-C(N) abgeschlossen sind und da der Durchmesser von B* < — ist, folgt aus (f) und (ff) auf Grund
71
von Satz V, daß M' nulldimensional ist. Dann ist aber die Menge M = M'-\-N nach Theorem I in bezug auf 9 c total unstetig.
Analog beweist man den Satz Va für halbkompakte Mengen. Den weiteren Ausführungen liegt zugrunde
Satz XXV. Sind 9ij und 9c., zwei Normalbereiche, dann ist das System 9Î, bestehend aus allen Mengen, die Summe einer Menge aus 9f x und einer Menge aus 9?„ sind, ein Normalbereich.
Daß jeder Teil einer Menge aus 9Í zu 92 gehört, ist klar. Es ist nur folgendes zu zeigen: Ist N Summe einer Folge {N k } von in N abgeschlossenen Mengen, die zu 9Î gehören, dann ist auch N eine Menge aus 9c.

758
W. Hurewicz.
Setzen wir N[ = N ± und N¡¡ = Nje — Ni (¿ = 2,3,...) dann ist N= ¿ N¡ ; ,
i=1 i=l
die Mengen N/¿ sind paarweise fremde F a in N und gehören zum Bereich 9Ï, es gilt also: N¿ = N¿ N%, wo N I und Nf : Mengen aus bzw. aus 9ï 2 sind. Setzen wir ferner
(°) N* = J N¿ , N** = ]£N k 2 .
Jc—l k=l
Dann gilt:
1. N=N* + N**,
2. N*-Nk= Nk, N**-N¿=N¿ (k = 1,2,...).
Aus 2. folgt, daß die Mengen N¿ in N* F a sind. Folglich ist N* nach (°) Summe von abzählbar vielen in N* abgeschlossenen Mengen aus , also selbst eine Menge aus Ebenso ist N** eine Menge aus 9Î 2 und die Formel 1. zeigt, daß N eine Menge aus 9Z ist. Damit ist Satz XXV bewiesen.
Nach dem Satz Vila ist das System aller nulldimensionalen Mengen ein Normalbereich. Auf Grund von Theorem I und Satz XXV ergibt sich daraus der folgende Hauptsatz aus der Theorie der Normalbereiche: Theorem II. Das System aller separablen Mengen, die in bezug auf einen Normalbereich total unstetig sind, bildet einen Normalbereich.
Wir können die in der Theorie der nulldimensionalen Mengen definierten Begriffe für beliebige Normalbereiche einführen. In Satz VII b z. B. kann das Wort „nulldimensional" ersetzt werden durch die Worte „total unstetig in bezug auf 91". Wir nennen ferner den Punkt p Un- stetigkeits'punkt der Menge M in bezug auf 91, wenn sich auf p eine Folge von Umgebungen zusammenzieht, deren Begrenzungen mit M Durchschnitte haben, die Mengen des Bereiches 9? sind. Die anderen Punkte des Raumes nennen wir Stetigkeitspunkte von M in bezug auf 9J. Es gilt dann
Satz XXVI. Damit der Punkt p ein Unstetigkeitspunkt der Menge M in bezug auf 9Í sei, ist notwendig und hinreichend, daß M Summe sei von zwei Mengen M und N, so daß p Unstetigkeitspunkt von M' ist und daß N zum Bereich 9Ï gehört.
Die Bedingung ist notwendig. Denn wenn p ein Unstetigkeitspunkt von M in bezug auf 9Í ist, dann existiert eine sich auf p zusammenziehende Folge {U n } von Umgebungen, so daß die Durchschnitte M B (ü n )
00
zu 9Ï gehören. Setzen wir N=JJM-B(U n ), so ist N eine Menge aus 9Î
71=1
und p ist ein Unstetigkeitspunkt von M — N. Daß die Bedingung hinreichend ist, zeigt man genau so wie beim Beweise von Theorem I. Wir beweisen nun folgendes Analogon von Satz VIII:

Normalbereiche und Dimensionatheorie.
759
Satz Villa. Es sei die Menge M in der separables Menge A abgeschlossen und es sei die Menge A — M total unstetig in bezug auf 9t. Ist dann der Punkt p ein Unstetigkeitspunkt von M in bezug auf 9?, dann ist p auch ein Unstetigkeitspunkt von A in bezug auf 9c.
Auf Grund von Theorem I und von Satz XXVI können wir schreiben : M = M'+N X , A- M= P + N„
wobei N ± und iV 2 Mengen aus 9? sind, M' in p unstetig und P null- di mensional ist. Da M in A abgeschlossen ist, ist wegen N i = M(N 1 + iV 2 ) in N 1 + N 2 abgeschlossen. Daher ist iV 2 in N t + N 2 offen, also ist jV 2 und somit auch JVj + iV 2 Summe von abzählbar vielen in N t + N., abgeschlossenen Mengen aus 9Í. Die Menge N=N 1 -\-N i gehört daher zum Bereich 31. Nun ist p nach Satz VIII ein Unstetigkeitspunkt von M' + P (denn M' ist in M' P abgeschlossen); daher ist p nach Satz XXVI ein Unstetigkeitspunkt von A = M' -j- P + N in bezug auf 31.
Alle Sätze des § 3 sind Folgerungen von Satz VIII und bleiben daher gültig, wenn man die Worte „Unstetigkeitspunkt" und „Stetigkeitspunkt" ersetzt durch die Worte „Unstetigkeitspunkt in bezug auf 9?" bzw. ,,Stetigkeitspunkt in bezug auf 9Î". An Stelle der stetigen Mengen treten dabei die in bezug auf 9Ï stetigen (d. h. in bezug auf 9Î keinen Unstetigkeitspunkt enthaltenden) Mengen. Es erübrigt sich alle diese Sätze nochmals anzuführen.
Hingewiesen sei darauf, daß man auch abgeschlossene Komponenten hinsichtlich 9Í einführen kann. Als die zum Punkt p gehörige abgeschlossene Komponente M der Menge M hinsichtlich 9Î bezeichnen wir die Menge aller Punkte q von M von folgender Eigenschaft: Es existiert keine offene Menge U, deren Begrenzung mit M einen Durchschnitt hat, welcher eine Menge aus 31 ist, und so daß q in U, p im Komplement C (U) von U liegt.
Ganz wie in § 4 zeigt man (man hat dabei nur die im § 4 verwendeten offenen Mengen mit zu M fremden Begrenzungen durch offene Mengen zu ersetzen, deren Durchschnitte mit M Mengen aus 9Î sind), daß die Mengen M p entweder Kontinua sind, oder bloß aus dem Punkt p bestehen; der letztere Fall tritt (vgl. Satz XVIII) dann und nur dann ein, wenn p ein Unstetigkeitspunkt von M hinsichtlich 9Î ist. Hieraus folgert man so wie Satz XX
Theorem III. Jeder Stetigkeitspunkt der kompakten Menge M in bezug auf den Nonnalbereich Tc liegt in einem Kontinuum, das ausschließlich solche Stetigkeitspunkte enthält 25 ).
25 ) (Zusatz bei der Korrektur): Das Theorem III bleibt (wie aus den Be weisen von § 4 hervorgeht) gültig, wenn der Bereich 9Î, anstatt Normalbereich zu
(Fortsetzung der Fußnote 25 auf der nächsten Seite.)

760
W. Hurewicz.
§ 6.
Anwendungen auf die J)imensionstheoric.
Wir sind zum Begriff des Normalbereiches dadurch gelangt, daß wir zwei Haupteigenschaften des Bereiches aller separablen nulldimensionalen Mengen als selbständige Postulate ausgesprochen und im übrigen von der Nulldimensionalität abstrahiert haben. Ferner ist unser Prinzip des Überganges von einem Normalbereich s Jc zum Normalbereich aller in bezug auf 9? total unstetigen Mengen identisch mit dem Menger-Urysohnschen Prinzip des Uberganges vom Bereich der höchstens (n — l)-dimensionalen Mengen zum Bereich der höchstens »-dimensionalen Mengen.
Aus den vorstehenden Betrachtungen ergeben sich daher vor allem wichtige dimensionstheoretische Konsequenzen.
Höchstens n- dimensional (im Punkte p) heißt in unserer Terminologie jede Menge, die total unstetig (unstetig in p) in bezug auf den Bereich der höchstens {n — 1) - dimensionalen Mengen, wobei der Bereich der (— 1)- dimensionalen Mengen bloß die leere Menge enthält. Jene höchstens n- dimensionalen Mengen, die nicht auch höchstens ( n — 1)- dimensional sind, heißen n- dimensional. Durch mehrfache Anwendung des Theorems II folgt
Theorem IY. Die separablen höchstens n-dimensionalen Mengen bilden einen Normalbereich.
Dieses Ergebnis ist eine Verallgemeinerung des Theorems von Menger und Urysohn, daß die Summe abzählbar vieler höchstens n-dimensionaler abgeschlossener kompakter Mengen höchstens n- dimensional ist 36 ). Denn den Hauptinhalt von Theorem IV bildet der Satz, daß jede separable Menge M, welche Summe von abzählbar vielen in M abgeschlossenen höchstens n- dimensionalen Mengen ist, auch selbst höchstens n- dimensional ist. Die einschränkende Voraussetzung dieses Summensatzes (d. h. die Abgeschlossenheit der Summanden in der Summe) betrifft nicht die einzelnen Summanden, sondern ihre gegenseitige Lage, während bei den soeben erwähnten Summentheorem von Menger und Urysohn jeder einzelne Summand einer einschränkenden Bedingung unterworfen wird.
sein, den folgenden weniger einschränkenden Bedingungen genügt: 1. Jeder Teil einer Menge aus 9? gehört zu 9Î . 2. Die Summe von endlich vielen in der Summe abgeschlossenen Mengen aus 9} ist selbst eine Menge aus 9Î . Insbesondere gilt also das Theorem III für den Bereich aller endlichen Mengen, d. h. haben die Begrenzungen aller hinreichend kleinen Umgebungen eines Punktes p unendlich viele Punkte mit der kompakten M gemein, so liegt p in einem Kontinuum von Punkten mit derselben Eigenschaft.
26 ) Monatshefte 34; Fund. Math. 8.

Normalbereiche und Dimensionstheorie.
761
Jeder Satz über Normalbereiche kann dem Theorem IV zufolge für den Bereich der separablen höchstens n-dimensionalen Mengen ausgesprochen werden. Wir beschränken uns auf die Formulierung der wichtigsten dimensionstheoretischen Sätze, die man so erhält. Eine n- fache Anwendung von Theorem I ergibt:
Theorem V. Damit die separable Menge M höchstens n- dimensional sei, ist notwendig und hinreichend, daß M Summe von n -f- 1 null- dimensionalen Mengen sei ; m. a. W. die separable Menge M ist dann und nur dann n- dimensional, wenn sie in n-\- 1 aber nicht in weniger null- dimensionale Mengen gespalten werden kann"').
Sehr leicht läßt sich eine Zerlegung des R n (des n-dimensionalen Zahlenraumes) in n + 1 nulldimensionale Mengen angeben durch Verallgemeinerung eines Gedankens von Sierpinski 38 ) zur Zerlegung der Ebene in drei nulldimensionale Mengen. Bezeichnet man nämlich mit M k , n — 1, n) die Menge aller Punkte des R n , die 1c rationale
k irrationale Koordinaten haben, dann ist R n = M 0 M 1 - j-•..
(k = 0, 1, und n
-(- M n die gewünschte Zerlegung. Übrigens ist die Summe von je zwei Mengen M¡ zusammenhängend, so daß der R in und der ß 2n + 1 Summe von Ti + l zusammenhängenden eindimensionalen Mengen sind.
Aus dem Theorem V folgt unmittelbar der übrigens auch direkt beweisbare
Satz XXVII. Die Summe zweier separabler Mengen, von denen die eine n- dimensional, die andere m- dimensional ist, ist höchstens (n + m + 1)- dimensional, und diese Schranke kann im allgemeinen nicht erniedrigt werden 28 *). 1st dagegen mindestens einer der Summanden zugleich ein F„ und ein G& in der Summe, dann ist deren Dimension gleich der größeren der beiden Zahlen m und n.
Der zweite Teil von Satz XXVII ergibt sich unmittelbar aus Theorem IV (vgl. Satz VII a ). Insbesondere ist in Satz XXVII der Satz enthalten, daß die Dimension einer separablen ?i-dimensionalen Menge durch Hinzufügung eines beliebigen einzelnen Punktes nicht erhöht werden kann 28b ).
Ferner ist auf Grund des zweiten Teiles von Satz XXVII klar, daß unter den n + 1 nulldimensionalen Mengen, in welche eine n- dimensionale
Hinsichtlich kompakter abgeschlossener Mengen wurde dieses Theorem von Urysohn (C. R. 175) ohne Beweis ausgesprochen. Der in den Fund. Math, erscheinende Urysohnsche Beweis war dem Verfasser bei der Drucklegung dieser Arbeit unbekannt.
28 ) Fund. Math. 4, S. 1.
28a ) Dieses Ergebnis findet sich auch bei Urysohn, Fund. Math. S, S. 317 — 319.
28b ) Durch diesen Satz wird, wie Menger bemerkt hat, die von ihm in Betracht gezogene Unterscheidung zwischen der inneren und äußeren Dimension (vgl. Monatshefte f. Math. u. Phys. 34) entbehrlich.
Mathematische Annalen. 97 49
— "V"
i— .V '

762
W. Hurewicz.
Menge zerlegt werden kann, keine zugleich F„ und G& in der Menge sein kann. Man kann in dieser Richtung weiter zeigen, daß unter den n + 1 nulldimensionalen Summanden, falls dieselben paarweise fremd sind, nicht mehr als zwei Boreische Mengen zweiter Ordnung auftreten können und daß in diesem Fall die eine ein F„, die andere ein Gs ist.
Eine unmittelbare Folge von Theorem V ist schließlich
Satz XXVIII. Ist die n-dimensionale Menge M n in einer reparablen (n-\- k)-dimensionalen Menge M n + k enthalten, dann existieren n — 1 Mengen M n+1 , M n+¡¡ ,,.., M n+]c _ 1 mit den Dimensionszahlen n + 1 , n + 2, .. n + k — 1, so daß gilt:
K < M n+ i <■■■< M n+le _ 1 < M n+k .
Nennen wir eine Menge M überall n- dimensional , wenn jede in M offene Menge n- dimensional ist. Sei M (n) die Menge aller Punkte, in denen die separable Menge M mindestens n- dimensional ist, dann folgt aus dem Analogon des Satzes IX und XII hinsichtlich des Normalbereiches der höchstens (n — 2)-dimensionalen Mengen:
Theorem VI. Die Menge M-M^ n) ist in jedem Punkte von M 1 "' mindestens n- dimensional. Jede separable n-dimensionale Menge läßt sich folglich (und zwar auf eine einzige Weise) in eine in ihr abgeschlossene überall n-dimensionale und eine höchstens {n -\)-dimensionale Menge spalten 28 °).
Eine in allen ihren Punkten n- dimensionale Menge heißt homogen n- dimensional. Das Analogon des Satzes XIV besagt:
Satz XlVa. Die separable n-dimensionale Menge M enthält eine homogen n-dimensionale Teilmenge, wofern die Menge aller Punkte von M, in denen M n- dimensional ist, von zweiter Kategorie im Sinne von Baire ist oder mit ihrem Hausdorff sehen Residuum nicht übereinstimmt.
Desgleichen sind die Menger sehen Überdeckbarkeitsbedingungen 28 ) hinreichend dafür, daß eine n-dimensionale Menge eine homogen n-dimensionale Teilmenge enthält.
Ferner ergibt die Anwendung des Theorems III:
Theorem VII. Jeder Punkt, in dem die kompakte Menge M mindestens n- dimensional ist, ist in einem Kontinuum enthalten, in dessen sämtlichen Punkten die Menge M mindestens n-dimensional ist.
aso) Fü r kompakte abgeschlossene Mengen wurde dieses Theorem von Menger (Monatshefte f. Math. u. Phys. 34, S. 144) und von Urysohn (Fund. Math. 8, S. 270) bewiesen.
- I} ) Vgl. 21 ).

Normalbereiche und Dimensionstheorie.
763
Endlich gilt in Verallgemeinerung eines von Menger und Urysohn für kompakte abgeschlossene Mengen bewiesenen Satzes als Analogon von Satz V :
Satz Va. Damit die kompakte Menge M höchstens n - dimensional sei, ist nohcendig und hinreichend, daß sich M in endlich viele beliebig kleine in M abgeschlossene Mengen spalten lasse, die zu je zweien höchstens (n — \)-dimensionale Durchschnitte haben.
Betrachten wir zum Abschluß die dimensionstheoretische Fassung von Satz IVa:
Damit eine separable Menge M höchstens n- dimensional sei, ist not- ivendig und hinreichend, daß je zwei jremde in M abgeschlossene Mengen N 1 undN i durch eine höchstens in — \)-dimensionale Menge in M getrennt iverden können.
Dabei nennen wir in üblicher Weise die Mengen N 1 und N„ in M durch die abgeschlossene Menge P getrennt, wenn, M= M i + 31 2 , M-M 1 -M„ < P, N, < M í — P, N, <M^-P gilt.
Bekanntlich hat Brouwer den im Fréchetschen Sinne „normalen" Mengen M einen natürlichen Dimensionsgrad <1 n zugeschrieben, wenn je zwei zueinander fremde, in M abgeschlossene Teilmengen von M durch eine höchstens (n — l)-dimensionale Teilmenge von M getrennt werden können, — hat als nulldimensional die diskontinuierlichen Mengen bezeichnet, — und kürzlich für kompakte und kondensierte Räume die Äquivalenz der natürlichen und der M.-U.schen (Menger-Urysohnschen) Definition nachgewiesen 30 ). Satz IV b spricht diese Äquivalenz hinsichtlich beliebiger separable!' Räume aus, wofern, wie Menger und ich bemerkt haben, für die nicht halbkompakten Räume die Brouwersche Definition der nulldimensionalen Mengen durch die M.-U.sche Definition ersetzt wird, die gleichfalls im Geiste der Brouwerschen Definition in folgender Form ausgesprochen werden kann: Nulldimensional heißt eine Menge M, wenn je zwei fremde, in M abgeschlossene Mengen durch die leere Menge getrennt werden können 31 ).
30 ) Vgl. Die Äquivalenz folgt auch unmittelbar aus dem bei Menger, Monatshefte f. Math. u. Phys. 34, S. 150, 151, befindlichen Satz VI. Für kompakte Räume findet sich die Eigenschaft, sowie ihre Beweis, explizite bei Urysohn, Fund. Math. 8, S. 328.
31 ) Die obige Bemerkung gründet sich darauf, daß im Bereich der halbkompakten Fa die diskontinuierlichen und die nulldimensionalen Mengen identisch sind [vgl. s *)] daß aber unter den nicht-halbkompakten diskontinuierlichen Mengen solche von beliebig hoher Dimension im M.-U.sehen Sinn existieren. Am einfachsten ergibt sich dies aus Theorem V im Verein mit dem Mazurkiewiczschen Satz, daß jedes Kontinuum eines R„ Summe von zwei diskontinuierlichen Mengen ist (Bull. Ac. Crac. 1913, S. 76).
49*

764
W. Hurewicz. Normalbereiehe und Dimensionstheorie.
Man könnte 31 ®) auch für allgemeine separable Mengen eine Dimensionstheorie aufbauen, indem man von den diskontinuierlichen Mengen als den nulldimensionalen 32 ) ausgeht; hinsichtlich der halbkompakten Räume wäre die so entstehende Theorie mit der M.-U.schen identisch. An innerer Einheitlichkeit und Durchsichtigkeit reicher scheint uns aber die Theorie, welche von der leeren Menge, als der (— l)-dimensionalen, ausgehend rekursiv die höherdimensionalen Mengen definiert. Dieser allgemeine Dimensionsbegriff scheint uns die wichtigste, heute bekannte gestaltliche Eigenschaft des Raumes in der fruchtbarsten Weise zu 'präzisieren.
Vgl. dazu auch die Ausführungen von Menger, Bericht über die Dimensionstheorie, Jahresber. d. deutschen Math. Ver. 35.
32 ) Auch die diskontinuierlichen Mengen bilden einen Normalbereich.
(Eingegangen am 28. 9. 1925.)
Alfred Ackermann - Teubner - Gedächtnispreis.
Der von Herrn Hofrat Dr. Dr.-Ing. Alfred Ackermann-Teubner in Leipzig im Jahre 1912 bei der Universität Leipzig errichtete „Alfred Ackermann-Teubner-Gedächtnispreis zur Förderung der mathematischen Wissenschaften" ist in diesem Jahre durch das Preisgericht Herrn Prof. Dr. Wilhelm Blaschke in Hamburg für sein Buch „Kreis und Kugel" zuerkannt worden.

96. Band.
Inhalt:
1. Heft.
Seit«
Holder, 0., Carl Neumann 1
Noether, E., Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und
Funktionenkörpern 26
Gr an dj 9t, K., Über die Gitterpunkte in einem Kreise 62
Haar, A., Uber asymptotisohe Entwicklungen von Funktionen 69
Brinkmeier, H., Uber das Maß der Bestimmtheit des Wachstums einer ganzen transzendenten Funktion durch die absoluten Beträge der Koeffizienten ihrer
Potenzreihe 108
Boohner, S., Beiträge zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. I. Teil.
Funktionen einer Variablen 119
Kaczmarz, St., Über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen 148
Khintchine, A., Uber das Gesetz der großen Zahlen 152
Verlag von Julius Springer in Berlin W 9
Handbuch der Physik
Unter redaktioneller Mitwirkung von R. Grammel-Stuttgart, F. Henning-Berlin, H. Konen-Bonn, H. Thirring-Wien, F. Trendelenburg-Berlin, W.Westphal-Berlin
Herausgegeben von H. Geiger und Karl Scheel
Kiel Berlin-Dahlem
Das Handbuch der Physik bietet eine vollständige Darstellung des derzeitigen Standes der expert* mentellen und theoretischen Physik. Durch weitgehende Unterteilung des gesamten Stoffes auf die in den einzelnen Sondergebieten tätigen Forscher wird eine wirklich moderne und kritische Darstellung der Physik ohne eine übermäßige Belastung des einzelnen erzielt.
Das Werk umfaßt insgesamt 24 Bände zu je 30—35 Bogen Umfang
Jeder Band ist einzeln käuflich
Soeben erschien:
Zweiundzwanzigster Band:
Elektronen / Atome / Moleküle
Redigiert von H. Geiger 576 Seiten mit 148 Abbildungen. — Geh. RM. 42.—, geb. RM. 44.70
Vor kurzem erschien:
Zehnter Band:
Thermische Eigenschaften der Stoffe
Redigiert von F. Henning 494 Seiten mit 207 Abbildungen. 1926. RM. 35.40, gebunden RM. 37.50 Als nächste Bände erscheinen Band XXÏII, XI und IX
Die einzelnen Bände behandeln:
Bd. I—III. Geschichte, Vorlesungstechnik,
Einheiten, mathematische Hilfsmittel. Bd. IV. Grundlagen der Physik. Bd. V—VIII. Mechanik einschl. Akustik. Bd. IX-Xl. Wärme.
Bd. XII—XVII. Elektrizität und Magnetismus.
Bd. XVIII—XXI. Optik aller Wellenlängen. Bd. XXli—XXIV. Aufbau der Materie und Wesen der Strahlung.

Bei der Redaktion eingegangene Schriften.
TTnter dieser Rubrik werden wir fortlaufend ein Verzeichnis derjenigen Schriften veröffentlichen, die uns von Verlegern oder Verfassern zu diesem Zwecke übersandt werden. Wir bitten, von dieser Gelegenheit zur Bekanntmachung neuer Schriften ausgiebig Gebrauch machen zu wollen.
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American Journal of Mathematics. Herausgegeben von Morley und Cohen. Vol. XL VIH, Nr. 1. Baltimore, Johns Hopkins Press, 1926. (72 S.)
Eisenhart, Luther Pfahler, Riemannian Geometry. Princeton, Princeton University Press. London, Oxford University Press, 1926. (VH -f- 262 S.)
Jailer, Arthur, Doppeldenken. Grundlagen einer neuen Weltanschauung. Berlin, C. A. Schwetsohke u. Sohn, 1926. (VII -j- 206 S.)
Juvet, Gr., Mécanique analytique et théorie des Quanta. Paris, Albert Blanchard, 1926. (VI + 152 S.)
Pilizotti, Karl, Lösungen der Aufgaben der Baumlehre von W. Lietzmann und J. Jarosch. I. bis III. Klasse der Mittelsohulen. Wien, Franz Deuticke, 1926. (45 S.)
Schubert, Hermann, Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra. Neubearbeitet von P. B. Fischer. (Sammlung Gösohen 48). Berlin-Leipzig, Walter de Gruyter u. Co., 1926. (139 S.)
Willers, Fr. A., Mathematische Instrumente. (Sammlung Göschen 922). Berlin-Leipzig, Walter de Gruyter u. Co., 1926. (144 S.)
Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.

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MATHEMATISCHE ANNALEN
begeündet 1868 duech
ALFEED CLEBSCH UND CAEL NEUMANN
eoetgefühet durch
FELIX KLEIN
unter mitwirkung von
Ludwig Bieberbach, Harald Bohe, L. E. J. Brouwee, Richard Coueant, Walthee v. Dyck, Otto Holder, Theodoe v. Káemán, Arnold Sommerfeld
gegenwärtig herausgegeben von
David Hilbert Albert Einstein
IN GÖTTINGEN IN BERLIN
Otto Blumenthal Constantin Carathéodory
IN AACHEN IN MÜNCHEN.
96. Band. 5. (Schluß-)Heft.
(abgeschlossen am S3. febeuar 1927.)
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1927

An unsere Mitarbeiter!
Die Korrekturkosten sind bei den „Mathematischen Annalen" sehr hoch. Sie betragen nach einer Kalkulation 6 °/ 0 des Gestehungspreises eines Bandes. Für ihre Verminderung muß unbedingt Sorge getragen werden. Wir richten deshalb an alle unsere Mitarbeiter die freundliche dringende Bitte, zu diesem Ziele an ihrem Teile beitragen zu wollen. Dazu ist nötig:
1. Das Manuskript muß völlig druck fertig und gut leserlich sein (Schreibmaschine).
2. Veränderungen des Textes in der Korrektur sind auf die Fälle zu beschränken, wo sich nachträglich wirkliche Irrtümer herausstellen. Sollte ein Irrtum bemerkt werden, bevor noch Korrektur eingetroffen ist, dann ist ein verbesserter Text sofort an Herrn Blumenthal zu schicken, der dafür Sorge tragen wird, daß das Manuskript noch vor dem Satz berichtigt wird.
Insbesondere sind rein stilistische Verbesserungen zu unterlassen. Größere Änderungen und Zusätze, die sich nicht auf die Berichtigung von Irrtümern beschränken, bedürfen der Zustimmung des annehmenden Redakteurs und sollen, auch um der geschichtlichen Genauigkeit willen, in einer Fußnote als nachträglich gekennzeichnet und datiert werden.
Als Norm soll gelten, daß der Verfasser von jeder Arbeit eine Fahnenkorrektur und eine Korrektur in Bogen liest. Wir bitten unsere Verfasser, sich hiermit begnügen zu wollen.
Die Redaktion der Mathematischen Annalen.
Die MATHEMATISCHEN ANNALEN
erscheinen zwanglos in Heften, die zu Bänden von 50 Bogen vereinigt werden. Sie sind durch jede Buchhandlung sowie durch die Verlagsbuchhandlung zu beziehen. Die Mitglieder der Deutschen Mathematiker-Vereinigung haben Anspruch auf einen Vorzugspreis.
Die Verfasser erhalten von Abhandlungen bis zu 24 Seiten Umfang 100 Sonder- abdruoke, von größeren Arbeiten 50 Sonderabdrueke kostenfrei, weitere gegen Berechnung. Geschäftsführender Redakteur ist
0. Blumenthal, Aachen, Rütscherstraße 38.
Alle Korrektursendungen sind an ihn zu richten.
Für die „Mathematischen Annalen" bestimmte Manuskripte können bei jedem der unten verzeichneten Redaktionsmitglieder eingereicht werden:
Li. Bieberbach, Berlin-Sohmargendorf, Marienbaderstraße 9, O. Blumenthal, Aachen, Rütscherstraße 38,
H. Bohr, Kopenhagen, St. Hans Torv 32,
Li. E. J. Brouwer, Laren (Nordholland),
C. Carathéodory, München, Rauchstraße 8,
E. Courant, Göttingen, Nikolausbergerweg 5,
W. v. Dyck, München, Hildegardstraße 5,
A. Einstein, Berlin-Wilmersdorf, Haberlandstraße 5,
D. Hilbert, Göttingen, Wilhelm-Weber-Straße 29,
O. Holder, Leipzig, Schenkendorfstraße 8,
Th. v. Kármán, Aachen, Nizzaallee 41,
A. Sommerfeld, München, Leopoldstraße 87.

96. Band. Inhalt: 5. Heft.
Seite
Szegö, G., Koeffizientenabschätzungen bei ebenen und räumliehen harmonischen
Entwicklungen 601
Bernstein, S., Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du type
elliptique. II. Note 633
Rubinowioz, A., Zur Integration der Wellengleichung auf Riemannschen Flächen 648 Krauß, F., Differentialinvarianten, ausgezeichnete Feldgrößen und Vektorübertragung 688
Hölzer, R., Zur Theorie der primären Ringe 719
Hurewicz, W., Normalbereiohe und Dimensionstheorie 736
Alfred Aokermann-Teubner-Gedächtnispreis 764
Berichtigung von Böhmer 735
VERLAG VON JULIUS SPRINGER. IN BERLIN W9
Berechnung der Druckverteilung an Luftschiffkörpern
von Professor Dr. Th. v. Kármán Mit 9 Abbildungen im Text
Strömungsverlauf und Druckverteilung an Widerstandskörpern in Abhängigkeit von der Kennzahl
von Regierungsbaumeister Dr.-Ing. Hans Ermisch
Mit 49 Abbildungen im Text. 50 Seiten. 1927. RM 7.50
(Bildet Heft 6 der Abhandlungen aus dem Aerodynamischen Institut an der Technischen Hochschule, Aachen. Herausgegeben von Prof. Dr. Th. v. Kármán)
Vierstellige Logarithmen- und Zahlentafeln
Zusammengestellt von
Dr. Hermann Semiller und Dr. Adolf Semiller
Studienrat an der Liebig-Oberrealschule Studienrat an der Staatlichen Hauptstelle für
in Frankfurt a. M. den naturwissenschaftlichenUnterricht in Berlin
Ausgabe A: 24 Seiten. 1926. RM 2.—
Ausgabe B: Mit mathematischer Formelsammlung. 32 Seiten. 1926. RM 2.40
Fluglehre
Vorträge über Theorie und Berechnung der Flugzeuge in elementarer Darstellung
von Dr. Richard von Mises
Professor an der Universität Berlin
Dritte, stark erweiterte Auflage. Mit 192 Textabbildungen. VI, 321 Seiten. 1926. RM 12.60, gebunden RM 13.50

Bei der Redaktion eingegangene Schrillen.
Unter dieser Rubrik werden wir fortlaufend ein Verzeichnis derjenigen Schriften veröffentlichen, die uns von Verlegern oder Verfassern zu diesem Zwecke übersandt werden. Wir bitten, von dieser Gelegenheit zur Bekanntmachung neuer Schriften ausgiebig Gebrauch machen zu wollen.
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American Journal of Mathematics, Volume XLVIII, Number 4. Baltimore, Johns Hopkins Press, 1926. (73 S.)
Bieberbach, Ludwig, Lehrbuch der Funktionentheorie. Band II: Moderne Funktionentheorie. Leipzig-Berlin, B. G. Teubner, 1927. (VII + 366 S.)
Léningrade, Journal de la Société Physico-Mathématique de Léniugrade.
Fondé par W. A.Stekloff. (Russisch mit Auszügen in westeuropäischen Sprachen.) Tome 1, fasc. 1. Leningrad, Verlag des Staatlichen Wissenschaftlichen Amtes, f 1926. (144 S.)
Weather burn, C. E., Differential Geometry of three dimensions. Cambridge, University Press, 1927. (XII + 268 S.) Preis gebunden sh. 12/6.
VERLAG VON JULIUS SPRINGER IN B ERLIN W 9
Felix Klein
Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert
Teil I Für den Druck bearbeitet von
R. Courant und O. Neugebauer
Mit 48 Figuren. XIV, 386 Seiten. 1926. RM 21.— ; gebunden RM 22.50 (Bildet Band 24 der Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen)
Vorlesungen über neuere Geometrie
Von Moritz Pasch
Professor an der Universität Gießen Mit einem Anhang:
Die Grundlegung der Geometrie in historischer Entwicklung
Von Max Dehn
Professor an der Universität Frankfurt a. M.
Zweite Auflage Mit insgesamt 115 Abbildungen. X, 275 Seiten. 1926. RM 16.50; gebunden RM 18.— (Bildet Band 23 der Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen)
Hierzu drei Beilagen vom Verlag Juiius Springer in Berlin W 0.
Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.

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