Carl Neumann.

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will. Die ersten Arbeiten betrafen Spezialaufgaben, die damals noch nichtoder nicht auf so einfache Weise gelöst waren. Er hat im Jahre 1861die erste Randwertaufgabe der Potentialtheorie für die Kugel, die ursprüng-lich von Poisson mit Hilfe von Reihenentwicklungen gelöst worden war,auf eine besonders elegante Art behandelt (Nr. 7) 2 ). 1863 folgte danndie entsprechende Aufgabe für eine von zwei nichtkonzentrischen Ivugel-flächen begrenzte Schale (Nr. 11 u. 14) und 1864 mit Hilfe von neuartigenReihenentwicklungen diejenige für einen ringförmigen Raum (Nr. 15). Eineandere, bereits im Jahre 1861 veröffentlichte Arbeit (Nr. 8) enthält all-gemeinere Gesichtspunkte. Indem hier Neumann sich vorsetzt, eine derLaplaceschen Gleichung genügende Funktion von nur zwei Variablen zustudieren, betrachtet er erstmalig eine solche Potentialfunktion als dieWirkung einer „Belegung", eines mit gewissen fiktiven Eigenschaften be-hafteten Fluidums. Hier zeigt sich die Fruchtbarkeit von Neumannsgeometrisch-physikalischer Phantasie. Indem er die fiktiven Massen ineiner speziellen Verteilung annimmt, gelingt es ihm, ein Potential mitNiveaukurven von einem gewissen Typus zu erhalten und dadurch dannumgekehrt für Randkurven von diesem Typus die erste Randwertaufgabedes logarithmischen Potentials zu lösen, so etwa, wie es Euler gelungenwar, gewisse Arten von Differentialgleichungen dadurch zu integrieren, daßer vorher gewisse Gleichungen, die noch Parameter enthalten, differentiiertund einen Parameter eliminiert hatte. Insbesondere löst Neumann liierauch die Randwertaufgabe für eine aus zwei konfokalen Ellipsen begrenzteRingfläche. Eine in dieser Arbeit angestellte besondere Betrachtung istvon großer Wichtigkeit. Neumann zeigt (a. a. 0. S. 365), wie das Rand-wertproblem gelöst werden kann, wenn die Greensche Funktion des — hierals einfach zusammenhängend zu denkenden — Bereiches nur für eineeinzige bestimmte Lage des Zentrums im Innern des Bereiches bekanntist. Dabei enthält Neumanns Lösung des Problems, ohne daß es ihmübrigens damals bewußt war, implizite das jetzt sehr bekannte Verfahrender konformen Abbildung eines einfach zusammenhängenden Bereiches aufeinen Kreis mit Hilfe der Greenschen und der mit dieser zusammen dieCauchy-Riemannschen Gleichungen befriedigenden Funktion. Riemann hattein Art. 21 der Dissertation diesen Nachweis der Existenz der Abbildunggeliefert. Riemanns Arbeiten waren aber damals Neumann noch unbekannt(vgl. Nr. 161, S. 245).

Eine im Jahre 1871 im 3. Bande der Mathematischen Annalen er-schienene, bereits 1870, also ungefähr gleichzeitig mit den bekannten Ar-

2 ) Allerdings läßt sich die Lösung auch aus gewissen Ergebnissen, die W. Thomsonim Jahre 1845 veröffentlicht hat, ohne Reihenentwicklungen ableiten.

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