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beiten von Schwarz, niedergeschriebene Abhandlung (Nr. 50) enthält nebengewissen Überlegungen über die vorauszusetzenden Stetigkeitsbedingungendie jetzt so geläufigen Schlüsse hinsichtlich des Verhaltens der innerenWerte des Potentials zur oberen und unteren Grenze der Randwerte aufGrund der Riemannschen Bemerkung, daß — beim nichtkonstanten Po-tential — im Innern kein Extremum vorkommen kann, ferner einen aufGrund des Fortsetzungsverfahrens der Potenzreihen geführten Beweis da-für, daß die Potentialfunktion, falls sie in einem Teil des zusammen-hängenden Bereichs konstant ist, im ganzen Bereich konstant ist.

Nachdem Neumann dann noch andere Aufsätze zur Revision und Ver-vollständigung der Theorie des Potentials hatte erscheinen lassen, ver-öffentlichte er 1877 die „Untersuchungen über das logarithmische undNewtonsche Potential" (Nr. 77). In dieser Schrift ist das Potential, auf-gefaßt als Wirkung einer Belegung sowohl für den räumlichen als für denebenen Fall, systematisch untersucht unter beständiger Gegenüberstellungder auf drei und der auf zwei Variable sich beziehenden Sätze. Vor allemneu ist eine gründliche Untersuchung der Potentiale der sogenannten Doppel-belegungen, die im Anschluß an die aus der alten Theorie des Magnetismushervorgegangene Vorstellung des Doppelpols zuerst von Helmholtz imRäume eingeführt worden waren. Das Potential einer Doppelbelegungvom Moment /u, die auf der Begrenzung eines ebenen Bereichs ausgebreitetgedacht ist, wird von Neumann im Anschluß an ein für den Raum vonGauß gegebenes Integral in die Form

(!) h l ( do )x

gebracht; dabei ist das Integral über jene Begrenzung zu erstrecken, und( da) x bedeutet den Winkel, unter dem das Element do der Begrenzungvom Aufpunkt x aus erscheint. Das Integral (1) genügt als Funktion derrechtwinkligen Koordinaten des Aufpunktes der Laplaceschen Gleichungsowohl im Innern, als auch außerhalb des gedachten Bereiches, und esgestattet die benutzte geometrische Vorstellung, die Annäherungswerte desPotentials zu bestimmen für den Fall, daß man sich einem bestimmtenRandpunkt, sei es von der inneren, sei es von der Außenseite des Bereichsher, annähert. Die Differenz des inneren und des äußeren Annäherungs-wertes ist gerade das 2 n- fache des Momentes ¡u der Doppelbelegung.

Die Theorie der Doppelbelegungen hat Neumann auf seine Lösungdes 1. Randwertproblems der Potentialtheorie, die berühmte von ihm sogenannte „Methode des arithmetischen Mittels" geführt. Der Gedanke gehtauf das Jahr 1870 zurück, in dem Neumann eine Skizze der Methode(vgl. Nr. 43), allerdings ohne jeden Konvergenzbeweis, veröffentlicht hat.In den Untersuchungen von 1877 ist dieser Beweis nun im wesentlichen