Carl Neumann.

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ausgeführt. Zum besseren Verständnis geht man am einfachsten vom Kreisaus. Auf der Peripherie seien die von den Peripheriepunkten stetig ab-hängenden Randwerte f gegeben. Denkt man sich jetzt eine Doppelbelegungso, daß dem Element do der Peripherie gerade dasjenige Moment ¡.i zu-kommt, das dem dort vorhandenen Randwerte f gleich ist, so stellt dasobige Integral (1) im Innern des Kreises eine Potentialfunktion vor, diebei der Annäherung an einen Randpunkt s den Grenzwert

(2) 7ifx s + $[A.(do) s = jif{s) + $ (x{do) s

erhält. Vermöge des Satzes vom Peripherie- und Zentriwinkel im Kreiseist dies aber gleich

^/■(s) + |j* fi{da) 0 ,falls unter O der Mittelpunkt des Kreises verstanden wird. Setzt man nun

v(do) 0 = M,

so kann man M als das arithmetische Mittel 3 ) der über die Kreisperipherieverstreuten Momente /i bezeichnen.

Das i -fache des Potentials (1) hat nun bei s den Grenzwert

71 V '

f(s) + M;

man braucht also nur noch die Konstante M zum Abzug zu bringen, umeine Potentialfunktion im Innern des Kreises zu erhalten, die am Randein die vorgeschriebenen Werte f übergeht.

Ist nun statt des Kreises ein anderer Bereich vorgegeben, der aberdies ist eine unumgängliche Bedingung — konvex sein muß, und sindauf dessen Grenze wieder gewisse Randwerte f stetig verteilt, so kannman wiederum das Integral (1) bilden, das im Innern des Bereiches einePotentialfunktion, d. h. eine der Laplaceschen Gleichung genügende Funktionvorstellt. Für die Annäherung an einen Randpunkt s gilt nun wiederwenn von Ecken abgesehen wird — die Formel (2). In dieser ist aberjetzt das zweite Glied

J l¿(do) a = nti

nicht mehr eine von der Lage des Punktes s unabhängige Größe, alsonicht mehr ein längs des Randes konstanter Wert. Könnte man aber fürdas Innere des gegebenen Bereichs das Randwertproblem mit den Rand-werten f. behandeln, so könnte man offenbar von dem --fachen der

JC

a ) Da hier (do) x als stets positiv angesehen werden kann, ist auch das —-fache

Jt

des Integrals (1) selbst ein Mittel aus den Werten (x.