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0. Holder.

Formel (1) eine Potentialfunktion so zum Abzug bringen, daß die gestellteAufgabe gelöst wäre. Nun stellt sich aber, falls der Bereich konvex undnicht „zweisternig" ist, heraus, daß die neue, auf die Werte f x sich be-ziehende Randwertaufgabe insofern ein einfacheres Problem vorstellt, alsdie Werte f x längs der Peripherie nur in einem Größenintervall veränderlichsind, das kleiner ist als das Größenintervall der f, und zwar ist jenesIntervall kleiner als das /t-fache dieses Intervalls, wobei X eine ein fürallemal durch den Bereich allein bestimmte Konstante ist, die kleinerals 1 ist. Neumann nennt diese Konstante die Konfigurationskonstantedes Bereichs.

Man kann nun offenbar für die Randwerte f 1 wieder dieselbe Be-trachtung, die für die Randwerte f angestellt war, wiederholen und dasProblem auf ein Randwertproblem mit gewissen Werten f 2 hinausschieben,wobei diese Werte nur in einem Intervall variieren, das kleiner oder gleichdem A 2 -fachen des Intervalls ist, in dem die Werte f variiert haben. In-dem man so ohne Ende fortfährt, ergibt sich ein konvergenter Prozeß,der die Lösung der ursprünglich gestellten Aufgabe liefert.

Offenbar ist für das Verfahren unbedingt wesentlich, daß die genannteKonfigurationskonstante kleiner als 1 ist. Der hierfür in den Untersuchungenvon 1877 gegebene Beweis ist nicht ohne Schwierigkeiten und hat ohneZweifel auch Neumann selbst nicht befriedigt. In einer späteren Veröffent-lichung vom Jahre 1887 (Nr. 114) hat er den Gegenstand wieder auf-genommen und, neben einer Reproduktion des alten, einen neuen, aufelementaren Anschauungen aufgebauten und völlig zwingenden Beweis fürdie Ungleichung X < 1 gegeben 4 ).

Die angeführten Betrachtungen werden für das Außengebiet desBereichs — unter der Voraussetzung, daß noch eine Annahme für dasVerhalten im Unendlichen gemacht ist — genau so durchgeführt, wie fürdas Innere, und es läßt sich das entsprechende Raumproblem in gleicherWeise wie das ebene behandeln. Nur die Beschränkung auf konvexeBereiche, bzw. Körper, ist bei der Methode des arithmetischen Mittelswesentlich. Allerdings haben Poincaré, Korn und E. R. Neumann nach-träglich beweisen können, daß die aus der Methode hervorgehenden Reihenauch für weit allgemeinere Bereiche gültig bleiben. Diese Beweise ziehenneue Hilfsmittel heran, sind auch ziemlich umständlich und nicht ohneSchwierigkeiten; die Methode des arithmetischen Mittels in dem engerenSinne Neumanns reicht also doch zur Begründung der Existentialsätze beiallgemeineren Bereichen allein nicht aus. Zur Ergänzung wird man viel-leicht am besten, wenn man nicht auf das Thomson-Dirichletsche Prinzip

4 ) Man vgl. auch die von Neumann auf S. 759 angefügte Anmerkung.