Carl Neumann.

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zurückgreifen will, dessen neuere Ausgestaltung hier nicht erörtert werdensoll, die Verfahren benutzen, die Neumann als kombinatorisch, H. A. Schwarzals alternierend bezeichnet. Hinsichtlich der Durchführung dieser Verfahren,die von Neumann im 9. Kapitel der „Untersuchungen" besprochen sind,kommt Schwarz die Priorität zu. Es ist aber zu erwähnen, daß Neumannbereits im Jahr 1870, also gleichzeitig mit Schwarz, den Gedanken desVerfahrens gefaßt und veröffentlicht hat (Nr. 43) 5 ); auch findet sich beiNeumann noch eine Variante des Verfahrens, die statt der Verschmelzungvon Gebieten solche Gebiete im Auge hat, die das Gemeinsame von zweigegebenen Gebieten darstellen. Wesentlich ist natürlich, daß auf Grund vonNeumanns Methode des arithmetischen Mittels bei den kombinatorischenVerfahren Gebiete zur Zusammensetzung verwendet werden können, die vonnichtanalytischen Randkurven begrenzt sind. Eine Darstellung der kom-binatorischen Verfahren und auch der Methode des arithmetischen Mittelshat Neumann auch in die zweite Auflage seiner Vorlesungen über RiemannsTheorie der Abelschen Integrale (1884, Nr. 105) hineingearbeitet, um diemit den Existentialsätzen der Potentialtheorie eng verbundenen Riemann-schen Existenztheoreme zu begründen.

Der Umstand, daß .Neumann in seinen Untersuchungen über die„Methode des arithmetischen Mittels" die beiderseitigen Randwerte desPotentials einer Doppelbelegung im Zusammenhang miteinander untersuchthat, veranlaßte Poincaré zu einer Verallgemeinerung des Problems. Poincarésucht eine Doppelbelegung von der Art, daß zwischen den Randwertender beiden Potentiale, die aus der einen Doppelbelegung im Innen- undAußenbereich hervorgehen, an jeder Stelle des Randes dieselbe lineareVerknüpfung gegeben ist. Dieses Neumann-Poincarésche Problem führt inungesuchter Weise auf eine Reihenentwicklung nach den Potenzen einesParameters. Diese Reihe wird vielfach, im Grunde nicht mit Recht, alsNeumannsche Reihe bezeichnet. Das genannte verallgemeinerte Problemläßt sich aber auch als Integralgleichung formulieren. In diesem Sinnealso leitet das Neumann-Poincarésche Problem in die berühmte Theorieder Integralgleichungen von Ivar Fredholm hinüber.

Hinsichtlich der Untersuchungen von 1877 ist noch zu bemerken,daß darin (S. 216) auch das zweite Randwertproblem bereits behandeltist, bei dem nicht die Werte der zu bestimmenden Potentialfunktion,sondern die ihrer Ableitung nach der Normalen für die Randstellen gegebensind. Die Methode des arithmetischen Mittels hat Neumann später (1896,Nr. 133) auf die Differentialgleichung A <p — u* <p übertragen. Es tritt

6 ) Bekanntlich ist der Grundgedanke des Verfahrens noch älter und geht aufMurphy zurück (vgl. Math. Enzyklop. Bd. II, A 7b, S. 499).