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0. Holder.

dabei an Stelle der oben mit (do) x bezeichneten Größe, die durch dieAbleitung nach der Normalen vom Logarithmus des reziproken Abstandesvon X und ¿a (im Raum als Ableitung des reziproken Abstandes selber)darstellbar ist, die Ableitung nach der Normalen von einer etwas anderenFunktion der Entfernung ein.

Neumann ist noch in zahlreichen, z. T. umfangreichen Arbeiten aufallgemeine und spezielle Probleme der Potentialtheorie eingegangen. Essoll hier nur angeführt werden, daß er die Ableitungen der GreenschenFunktion am Rande des Bereiches (in Nr. 114, II, S. 662ff.) untersucht,insbesondere die Positivität der Ableitung nach der Normalen nach-gewiesen hat. Besonders schön und auch folgenreich sind die von ihmentdeckten Beispiele und Spezialsätze. Seine Verallgemeinerung des Bobylew-schen Satzes ist ein spezielles Potentialtheorem, demzufolge zwei beliebiggestaltete Konduktoren mit Elektrizitätsmengen von einem solchen Ver-hältnis geladen werden können, daß die Wirkung des einen Konduktorsauf den anderen nach einer vorgegebenen Richtung die Komponente Nullergibt (Nr. 91, S. 33). Ein anderer von Neumann gefundener Spezialsatz(Nr. 150, S. 278) lautet so: Die homogene materielle Ellipsenfläche ist,was ihre Wirkung (im Sinne des logarithmischen Potentials) auf äußerePunkte anbelangt, ersetzbar durch eine gewisse materielle Linie im Innernder Ellipse. Dieser Satz, den Neumann von der Ellipse auf deren Fuß-punktkurven übertragen hat, und der gerade hier eine ganz besonderseinfache Gestalt erhält, bildete den Keim für wichtige Untersuchungenanderer über die analytische Fortsetzung eines aus einer Belegung ent-sprungenen Potentials ins Innere des von der Belegung erfüllten Bereiches.

Die nach trigonometrischen, Kugel- und Zylinder-Funktionen fort-schreitenden Reihen und die dazugehörigen Integrale, Gegenstände, die jamit der Theorie des Potentials in nahem Zusammenhang stehen, habenNeumann viel beschäftigt. Bereits im Jahre 1862 hat er ausgehend vonder Cauchyschen Integralformel die Entwicklung einer Funktion vonimaginärem Argument nach Kugelfunktionen erhalten; es war dies wohlder erste Fall, in dem für eine nicht nach den Potenzen des Argumentsfortschreitende Reihe ein Konvergenzgebiet in der komplexen Zahlenebene— ein von zwei konfokalen Ellipsen gebildeter Ring — nachgewiesen war(Nr. 9). In demselben Jahre hat Neumann in einer mathematisch-physi-kalischen Arbeit (Nr. 11) die Darstellung einer Funktion von zwei reellenArgumenten mit Hilfe von Zylinder- oder Besseischen Funktionen gegeben.Die gleiche Darstellung läßt sich, wie Neumann später gezeigt hat (Nr. 98),aus der Laplaceschen Entwicklung nach Kugelfunktionen dadurch herleiten,daß der Kugelradius unendlich groß gemacht wird.

1867 ließ Neumann eine Monographie über die Besseischen Funktionen