Carl Neumann.

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erscheinen, in der er neben der Zusammenstellung älterer Ergebnisse eineerhebliche Bereicherung der formalen Theorie geliefert hat (Nr. 24). Ineiner anderen, gleichzeitig erschienenen Abhandlung (Nr. 21, 22) hat er dieTheorie der Kugelfunktionen sehr elegant entwickelt und verallgemeinert.

Während in einem Teil der eben erwähnten Schriften die Konvergenz-fragen nur unvollständig behandelt sind, hat Neumann 1881 eine zu-sammenhängende Darstellung aller dieser Funktionsentwicklungen veröffent-licht (Nr. 98), wobei die Konvergenztheoreme auf Grund des zweitenMittelwertsatzes der Integralrechnung streng bewiesen werden. Für dieDarstellung durch Besseische Funktionen ist damit zum erstenmal einwirklicher Konvergenzbeweis gegeben worden, während der Nachweis fürdie nach Kugelfunktionen fortschreitenden Entwicklungen kurz vorherbereits von Dini nach dem Muster der klassischen Untersuchungen Dirichletsüber die trigonometrischen Reihen geführt worden war. In einigen späterenArbeiten hat Neumann die trigonometrischen Reihen von neuem in Be-tracht gezogen und dabei auch die Frage nach der Gleichmäßigkeit derKonvergenz dieser Reihen erörtert (Nr. 166, 175).

Wenn Neumanns Leistungen in der Funktionentheorie besprochenwerden sollen, wird man stets zuerst an die Vorlesungen über RiemannsTheorie der Abelschen Integrale denken (Nr. 17 und 105). Diese „Vor-lesungen" sind nie als solche gehalten worden"). Um so größer war aberdie Wirkung des gedruckten Buches. Der ungeheure Nutzen dieses Werkesbestand darin, daß hierdurch die Mehrzahl der Mathematiker erst befähigtwurde, die Gedankenwelt von Riemann zu verstehen. Während bei Riemanndie die Mehrdeutigkeit einer Funktion darstellende Fläche nur ziemlichallgemein geschildert ist als ein die komplexe Zahlenebene in mehrerenSchichten überdeckendes, mit Windungspunkten versehenes Gebilde, nimmtNeumann von schlichten ebenen Flächenstücken seinen Ausgang, die klareund einfache Grenzen haben, an denen sie dann zusammengefügt werden»und baut so die Riemannsche Fläche wirklich auf. Der Zusammenhangeiner solchen mehrblättrigen Windungsfläche wird nachher nicht bloß inRiemanns Weise durch Zerschneiden, sondern auch durch stetige Um-formung untersucht. In klarer, ausführlicher Darstellung wird Schritt fürSchritt vorwärts gegangen. Gerade dieses Buch, namentlich in der erstenAuflage (1865), zeigt Neumanns geometrisch anschauliche Auffassungsweise

6 ) Neumann hatte allerdings 1863 in Halle eine Vorlesung gehalten, die in dieRiemannschen funktionentheoretischen Vorstellungen einführte, war aber dabei nurbis zur Umkehrung der elliptischen Integrale vorgedrungen (vgl. S. V in der 1. Auf-lage). In einer in demselben Jahre erschienenen Schrift hatte er ohne weitereBegründung Formeln für die Umkehrung der hyperelliptischen Integrale angegeben(Nr. 12).