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0. Holder.

im glänzendsten Lichte. Hinsichtlich der Bezeichnungsweise ist zu be-merken, daß Neumann in der ersten Auflage überall „stetig" sagt statt„regulär", und daß seine „Abelschen Integrale" hier nach der jetzt üblichenBezeichnungsweise „hyperelliptische Integrale" sind. Die zweite Auflage(1884) enthält auch die allgemeinen Abelschen Integrale und die Lösungihres Umkehrproblems, außerdem, wie schon oben erwähnt wurde, denBeweis der Riemannschen Existenztheoreme. Diese Existenztheoreme, diein der ersten Auflage keine besondere Rolle spielen"), hatte Neumann ineiner besonderen, gleichfalls schon 1865 erschienenen Schrift (Nr. 16) aufGrund des Dirichletschen Prinzips behandelt, das dabei seinerseits dieaxiomatische Voraussetzung bildete.

Um von den eigenen Untersuchungen, die Neumann in die Vorlesungenhineingearbeitet hat, wenigstens etwas zu nennen, möge auf die in derzweiten Auflage behandelte Gleichung

aufmerksam gemacht werden. Neumann hat die Abhängigkeit der Wurzel zdieser Gleichung von der als variabel zu betrachtenden Größe c untersuchtund sich dabei auf die Tatsache gestützt, daß das über die Begrenzungdes fraglichen Bereichs erstreckte Integral

wenn f (z) in dem Bereich und auf seiner Grenze regulär ist, eine ganzeZahl sein und auf der andern Seite unter gewissen Bedingungen zugleicheine stetige Funktion von c und deshalb konstant sein muß s ).

Wie schon bemerkt wurde, hat sich Neumann vielfach mit Fragender Mechanik abgegeben. Er hat für den kinematischen Satz, demzufolgeein starrer Körper durch eine Schraubenbewegung aus einer beliebiggegebenen ersten Lage in eine beliebig gegebene zweite Lage übergeführtwerden kann, einen rein geometrischen Beweis geliefert (Nr. 36). In seinerLeipziger Antrittsrede (gedruckt 1870, Nr. 42) hat er sich den Grund-lagen der Mechanik zugewandt. Neumann formuliert hier das Trägheits-gesetz für zwei Massenpunkte, von denen jeder sich selbst überlassen ist,so, daß zwar der Begriff der Gleichzeitigkeit, nicht aber die Vergleichbar-keit der Zeitstrecken vorausgesetzt ist. Die Zeitmessung läßt sich dann

') Hier hat Neumann einfach vorausgesetzt, daß die entsprechende Zahl un-abhängiger, überall endlicher Integrale, d. h. unabhängiger Integrale erster Gattungexistiert.

9 ) Weierstraß hat dieselbe Aufgabe auf Grund einer Entwicklung des Quotienten

f(z) = c

f'(z)

behandelt.

f(z)-c