Abstrakter Aufbau der Idealtlieorie in algebraischenZahl- und Funktionenkörpern.

Von

Emmy Noether in Göttingen.

Im folgenden wird eine abstrakte Charakterisierung all derjenigenRinge gegeben, deren Idealtheorie übereinstimmt mit der Idealtheoriealler ganzen Größen des algebraischen Zahlkörpers — deren Ideale sichalso eindeutig als Potenzprodukte von Primidealen darstellen lassen. Zudiesen Ringen gehören als bekannteste Beispiele noch der Ring allerganzen Größen eines algebraischen Funktionenkörpers von einer Un-bestimmten — allgemeiner von mehr Unbestimmten, sobald man sichmit Kronecker auf Ideale höchster Dimension beschränkt, also den Über-gang zu einem gewissen Quotientenring, dem Funktionalbereich, macht.

Die Axiome, die dieser Idealtheorie vollständig äquivalent sind, sindfür den zugrunde gelegten kommutativen Ring die folgenden 1 ):

I. Teilerkettensatz: Jede Kette von Idealen, bei der jedes Ideal einechter Teiler des vorangehenden ist, bricht im Endlichen ab — m. a. W. :zu jeder Teilerkette von Idealen gibt es einen Index, von dem an alleIdeale gleich werden.

II. Vielfachen-Kettensatz modulo jedem vom Nullideal verschiedenenIdeal: Jede Kette von Idealen — die sämtlich Teiler eines festen, vomNullideal verschiedenen Ideals sind —, bei der jedes Ideal ein echtesVielfaches des vorangehenden ist, bricht im Endlichen ab.

III. Existenz des Einheitselementes der Multiplikation.

IV. Ring ohne Nullteiler.

*) Fiir die Definition der Grundbegriffe der Idealtheorie vgl. etwa E. Noether,Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann. 83 (1921), S. 24 — 66 (zitiert Idealtheorie).Übrigens werden die wesentlichsten Begriffe auch in der vorliegenden Arbeit, besondersin §§ 1, 4 und 5, kurz formuliert. Der Vollständigkeit halber ist dabei manches auf-genommen, was für die unmittelbaren Zwecke dieser Arbeit nicht erforderlich ist