E. Noether. Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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V. Ganze Abgeschlossenheit im Quotientenkörper: Jedes Element desQuotientenkörpers, das ganz in bezug auf den Ring ist, gehört dem Ring an.

Aus diesen Axiomen entwickle ich schrittweise eine immer stärkereingeschränkte Idealtheorie bis hin zu der gesuchten; und zeige umgekehrt,daß hier auch alle Axiome tatsächlich erfüllt sind.

Aus dem Teilerkettensatz I folgt, wie ich (Idealtheorie §4) gezeigthabe, die Darstellung eines Ideals als kleinstes gemeinsames Vielfachesvon endlich vielen, zu verschiedenen Primidealen gehörigen Primäridealen.Ich wiederhole hier kurz diesen Beweis (§6), weil er sich unter Ver-wendung des Begriffs des Idealquotienten vereinfachen läßt, und weil ichein Versehen berichtigen will; der ursprüngliche Beweis benutzt nämlichan einer Stelle die nicht vorausgesetzte Existenz des Einheitselementesder Multiplikation 2 ).

Die Voraussetzung des Vielfachen-Kettensatzes bewirkt (§ 7), daß imRestklassenring nach jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal ein Prim-ideal keinen echten Teiler besitzen kann, mit Ausnahme des alle Elementeumfassenden Einheitsideales. Damit aber werden die Primärkomponentendieser Ideale eindeutig bestimmt, mit Ausnahme der zum Einheitsidealgehörigen. In etwas weniger scharfer Fassung findet sich dies Resultatschon bei Masazo Sono 3 ); seine Voraussetzung der Existenz einer Kom-positionsreihe im Restklassenring ist dem „Doppelkettensatz" in diesemRing gleichwertig, wie ich zum Schluß (§10) kurz zeige. Dabei versteheich unter Doppelkettensatz die Gültigkeit von Teilerketten- und Vielfachen-kettensatz ohne Beschränkung auf vom Nullideal verschiedene Ideale.

Ist noch Axiom III — Existenz des Einheitselementes — erfüllt, sotritt das Einheitsideal nicht als zugehöriges Primideal auf; die Primär-komponenten sind also eindeutig bestimmt; sie werden paarweise teiler-fremd und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt. DieAxiome I, II, III sind für alle endlichen Ordnungen eines algebraischenZahlkörpers erfüllt; hier hat schon Dedekind (Dirichlet-Dedekind, Zahlen-theorie, 3. Aufl., 11. Suppl., § 172) ohne vollständig ausgeführten Beweisdie eindeutige Darstellung eines Ideals als Produkt von paarweise teiler-fremden einartigen Idealen (Primärkomponenten) ausgesprochen.

") Auf dieses Versehen machte mich P. Urysohn aufmerksam; meine Abänderungdes Beweises war aber etwas umständlicher als die hier mitgeteilte, die von E. Artinstammt. Dieser hatte schon früher für sich die Lücke ausgefüllt und sich auch un-abhängig von mir die Vereinfachung mit dem Idealquotienten überlegt. — Eine weitereVereinfachung, die die Einführung der „reduzierten Darstellung" vermeidet, entnehmeich einer verwandten Fragestellung bei W. Krull: Algebraische Theorie der Ringe III,Math. Ann. 92 (1924), S. 181-213, Satz I.

3 ) On the Reduction of Ideals. Memoirs of the College of Science, Kyoto Uni-versity, Series A, 7 (1924), S. 191—204.