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E. Noether.

Aus Voraussetzung IV — Nichtauftreten von Nullteilern — folgt, daßdie verschiedenen Potenzen eines von Null- und Einheitsideal verschiedenenIdeals alle verschieden sind, und daß der Quotientenkörper existiert.

Ist schließlich noch Axiom V der ganzen Abgeschlossenheit im Quo-tientenkörper erfüllt, so werden die Primärideale — wegen IV eindeutigbestimmte — Potenzen von Primidealen, womit der übliche Zerlegungssatzgewonnen ist (§ 8). Dieser letztere Nachweis beruht auf einer, im Falldes Zahlkörpers schon von Dedekind (3. Aufl., § 172) gezogenen Folgerungaus der ganzen Abgeschlossenheit : Man kann ein echt gebrochenes Elementso als Quotient ganzer darstellen, daß auch das Quadrat des Zählers nichtdurch den Nenner teilbar wird. An Stelle dieser Folgerung tritt in denspäteren Darstellungen — auch als Folge der ganzen Abgeschlossenheit —der viel weniger durchsichtige verallgemeinerte Gaußsche Satz oder ent-sprechende, etwas mehr aussagende Modulsätze; alles Sätze, die zur An-wendung Basiselemente voraussetzen, während hier mit den Idealen selbstgearbeitet wird.

In der Umkehrung (§9) ergeben sich die von Axiom V verschiedenenAxiome fast direkt; letzteres aus dem Nachweis, daß ein echt gebrochenesElement sich stets so darstellen läßt, daß keine Potenz des Zählers durchden Nenner teilbar wird, was also noch eine Verschärfung der ursprünglichaus V gezogenen Folgerung bedeutet. Dieser Nachweis gelingt aber erst,indem aus der Idealdarstellung die üblichen Schlüsse gezogen werden,Hauptidealdarstellung modulo einem festen Ideal und Theorie der ge-brochenen Ideale, also der Idealquotienten im Körper. Auch die Tatsache,daß aus der Darstellung durch Primidealpotenzen die ganze Abgeschlossen-heit folgt, war schon Dedekind bekannt, wie eine Bemerkung (3. Aufl.,§ 172, S. 522 unten) zeigt.

Die Axiome I bis V ergeben, daß die vier im allgemeinen getrenntenZerlegungen in kleinste paarweise teilerfremde Ideale, gegenseitig primeIdeale, größte Prinjärkomponenten und irreduzible Ideale zusammenfallen ;und umgekehrt ergibt sich aus diesem Zusammenfallen und den AxiomenI — IV die ganze Abgeschlossenheit. Für Ringe mit Nullteilern folgtaus dem Erfülltsein der übrigen Axiome — wobei V als ganze Ab-geschlossenheit im Quotientenring zu definieren ist — nicht notwendigdas Zusammenfallen der Zerlegungen, wie das Beispiel des Restklassen-ringes nach gewissen Idealen einer endlichen Ordnung zeigt (§ 9).

In § 1 skizziere ich die Theorie der in bezug auf einen Ring ganzenGrößen, bis hin zu der Dedekindschen Folgerung aus der ganzen Ab-geschlossenheit. In § 2 zeige ich, wie die Kettensätze sich vom Ringübertragen auf Moduln aus Linearformen, mit diesem Ring als Koeffizienten-