Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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und Multiplikatorenbereich 4 ). Hieraus ziehe ich (§3) die Folgerung, daßbeim Übergang zu den ganzen Größen eines algebraischen Erweiterungs-körpers (erster Art) die Axiome I bis IV für jede Ordnung erhaltenbleiben, während für die aus allen ganzen Größen bestehende Ordnungauch V gilt. Diese — für den algebraischen Zahlkörper natürlich be-kannte — Tatsache erlaubt die Unterordnung der am Anfang erwähntenFunktionenkörper ; insbesondere ist durch den einfachen Nachweis, daß deraus den ganzzahligen Polynomen mehrerer Unbestimmter abgeleitete Funk-tionalbereich den Axiomen genügt, auch die Kroneckersche Idealtheorievoll eingeordnet 5 ).

Die dann entwickelte Idealtheorie setzt diese nur der Einordnungdienenden §§ 2 und 3 nicht voraus. In § 4 und § 5 werden die von denAxiomen I bis V unabhängigen Grundlagen gegeben ; dadurch tritt schärferals in der ursprünglichen Begründung hervor, welche Teile der Theorievon Endlichkeitsvoraussetzungen unabhängig sind.

§1-

Theorie der ganzen Größen.

Zugrunde gelegt sei ein kommutativer Ring 8 ) % ohne Nullteiler, mitEinheitselement e der Multiplikation (Axiom III und IV); in % sei ein

4 ) Diese Fassung der Modulsätze rührt von Prüfer her (Neue Begründung deralgebraischen Zahlentheorie, § 2, Math. Ann. 94 (1924), S. 198 — 243) und ist durch-

sichtiger als die übliche Übertragung der Basissätze.

6 ) Die Verschiedenheit tritt also erst bei den Diskriminantensätzen auf, dadurchbedingt, daß der Restklassenring des Funktionalbereiches nach einer Primzahl einunvollkommener Körper wird, und somit Erweiterungen zweiter Art auftreten können.

6 ) Ein Ring ist bekanntlich definiert, wenn in einer Menge eine Gleichheitsrelationgegeben ist, und außerdem zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation, die denüblichen Gesetzen genügen: die Addition ist assoziativ, kommutativ und eindeutigumkehrbar, die Multiplikation ist assoziativ — kommutativ, wenn es sich um einenkommutativen Ring handelt — und gegenüber der Addition distributiv.

Ist dabei die zugrunde gelegte Gleichheitsdefinition nicht die mengentheoretischeIdentität, so muß — damit in jedem Untersystem dieselbe Gleichheitsdefinition er-halten bleibt — ein solches Untersystem (Unterring, Modul, Ideal) neben irgend-einem Element auch alle ihm gleichen enthalten. Ebenso muß bei jeder Erweiterungvorausgesetzt werden, daß die neue Gleichheitsdefinition die alte umfaßt.

Alle Begriffe wie „endlich viele Elemente", „eindeutige Zuordnung", . .. sind imSinne der Gleichheitsdefinition gemeint; es gibt „ein und nur ein Element" heißtalso beispielsweise, es gibt bis auf gleiche nur ein Element. Übrigens kann man vonder Gleichheit immer zu einer mengentheoretischen Identität übergehen, indem mangleiche Elemente in eine Klasse zusammenfaßt und diese Klassen als neue Elementeeinführt.

Die hier gegebenen Bemerkungen zur Gleichheitsdefinition stammen vonR. Hölzer.