80

E. Noether.

fester, das Einheitselement enthaltender Unterring 9Î ausgezeichnet. DieBegriffe Modul, Ordnung, ganz sollen sich durchweg auf diesen festen Ring 9îbeziehen, was der Kürze halber später in der Bezeichnung weggelassenwird 7 ). (Die Elemente aus 9Ï seien mit lateinischen, die aus % allgemeinmit griechischen Buchstaben bezeichnet.)

1. Ein System 9J? von Elementen aus % heißt wie üblich 'Si- Modul— kurz Modul —, wenn es neben zwei Elementen « und ß auch dieDifferenz, neben a auch ra enthält, unter r ein beliebiges Element aus 91verstanden. 9Je heißt durch 9t teilbar, 9Ji = 0(9?) und 9)l ein Vielfaches,9Í ein Teiler, wenn jedes Element von 9JÍ auch in 9Î enthalten ist.9Ï- Moduln, deren Elemente alle zu 9Î gehören, heißen Ideale in 9Î.,

Offenbar ist der Durchschnitt — das kleinste gemeinsame Vielfache[... 9)î ; ...] — beliebig vieler Moduln aus % wieder ein Modul; ebenso ist% Modul. Somit existiert eindeutig der aus einem beliebigen System 2von Elementen aus % abgeleitete Modul als Durchschnitt aller Moduln,die 2 umfassen. Die Summo — der größte gemeinsame Teiler (... 9Rj...) —eines beliebigen Systems von Moduln ist der aus der Vereinigungsmengeabgeleitete Modul. Das Produkt 5DÎ-ÏÎ zweier Moduln ist definiert als deraus den Elementen ¡uv abgeleitete Modul, wo alle Elemente aus 9)J,V alle aus 9Î durchläuft. Das Produkt genügt also dem assoziativen undkommutativen Gesetz, da dies für die Ringelemente gilt. Alis dem distri-butiven Gesetz in £ folgt weiter für Moduln das distributive Gesetz(... SO...) Sí = (... 97^21 ...), da es sich nach eben diesem Gesetz in Xrechts und links um den aus allen Elementen fi i a abgeleiteten Modulhandelt.

Da 9Ï selbst Modul ist, läßt sich die Bedingung, daß 9Î Multiplikatoren-bereich ist, ausdrücken durch 9Ï9)Î = 0(9JÎ). Da 9Î nach Voraussetzungdas Einheitselement enthält, gilt auch 9)i = 0(9Î9)?) und damit 95? = 9Î99Î.

Ein Modul 9JÎ heißt endlich, wenn es mindestens ein aus endlichvielen Elementen bestehendes System 2 gibt, aus dem 9)Z abgeleitet ist;die Elemente ¡x x , ..., /.i r von 2 heißen eine Modulbasis von 9JÎ = (fx 1 , ...,,«,.).

') Die Theorie der ganzen Größen bleibt bestehen, wenn Nullteiler zugelassenwerden, und wenn dafür in 31 der Teilerkettensatz vorausgesetzt wird, was nach § 2auch den Beweis des Hilfssatzes ermöglicht. Da diese Fassung der ganzen Größenaber später nicht benutzt wird, soll nur in Fußnoten darauf hingewiesen werden.Alle in Rede stehenden Definitionen bleiben bei Existenz von Nullteilern erhalten;die meisten benötigen — wie bekannt und leicht ersichtlich — noch geringere Voraus-setzungen. Nicht erhalten bleibt die Dedekindsche Fassung : „Eine Zahl ist ganz,wenn sie eine Hülle besitzt." Denn beim Auftreten von Nullteilern braucht derQuotient zweier endlicher Moduln nicht endlich zu bleiben; deshalb ist hier auch dieOrdnung direkt und nicht als Modulquotient definiert.