Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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Summe und Produkt von zwei — und damit von endlich vielen — endlichenModuln sind wieder endlich, da sie aus der Vereinigungsmenge bzw. denProdukten der Basiselemente abgeleitet sind. Letzteres folgt aus der Dar-stellung r 1 a ll er Elenaente fi aus TO durch die Basis 8 ) undaus dem kommutativen Gesetz der Multiplikation in 5t, was beides andieser Stelle zum erstenmal benutzt wird.

2. Ein in % gelegener Erweiterungsring von 9v — der also alle Ele-mente von 3Î umfaßt — heißt eine 3t - Ordnung, kurz Ordnung. DerDurchschnitt beliebig vieler Ordnungen aus £ ist wieder eine Ordnung,ebenso ist 5t Ordnung; es existiert also eindeutig die aus einem beliebigenSystem 2 von Elementen aus 5t abgeleitete Ordnung. Summe und Pro-dukt von Ordnungen lassen sich entsprechend wie für Moduln definieren;insbesondere wird D 3 = :Q für jede Ordnung.

.Jede Ordnung ist zugleich 31-Modul; eine Ordnung heißt endlich,wenn sie endlicher Modul ist. Da Summe und Produkt durch Bildungvon Modulsumme bzw. Produkt entstehen, werden nach 1. Summe undProdukt endlicher Ordnungen wieder endliche Ordnungen; weiter gilt dastransitive Gesetz: Ist St endliche 31 -Ordnung, 33 endliche S(-Ordnung, soist 58 auch endliche 31-Ordnung. Denn 33 wird zugleich 3Ï - Ordnung, also31 - Modul. . Bildet aber u 1 ,...,a r eine Modulbasis von St in bezug auf3t, und ß lt ..., ß, eine solche von 33 in bezug auf SC, so bilden ersichtlichdie Produkte a { ß k eine Modulbasis von 33 in bezug auf 31-

3. Ein Element a aus 5t heißt ganz in bezug auf 3Î, kurz ganz,wenn die aus a abgeleitetete Ordnung 3i„ endlich ist — anders ausgedrückt,wenn die Teilerkette der Moduln St /t = (ß°, a, ..., ce." -1 ) im Endlichen ab-bricht, St„ = 2l„ + i = ... = St, i+ „ = ... . Die Definition läßt auch die in4. zu benutzende zweite Fassung zu: Ein Element a aus 5t heißt ganz,wenn es mindestens einen vom Nullmodul verschiedenen Hauptmodul ß— d. h. (ü ist aus einem Element y =J= 0 abgeleitet — gibt, so daß dasProdukt der Ordnung 3t a mit S ein endlicher Modul ist; anders aus-gedrückt, daß die Kette der Moduln SSt /( im Endlichen abbricht 8 ).

Schließlich ist die Definition auch identisch mit der üblichen Fassung :Ein Element « aus % heißt ganz, wenn es mindestens einer Gleichunggenügt: r 1 a" _1 -f- • • • + r n = 0, wo die r Elemente aus 31 sind.

Die verschiedenen Definitionen sind tatsächlich identisch. Denn da

8 ) Enthält 9Î kein Einheitselement, ßo wird die Basisdarstellung von der Formr, /<! + ... + r k fi k + /(j + ... + «; £ , wo die ganzen Zahlen n nicht Ringelemente,sondern Symbole für die wiederholte Addition bzw. Subtraktion bedeuten.

°) Sind in SR Nullteiler zugelassen, so muß die Existenz eines regulären Haupt-moduls gefordert werden; d. h. y muß als Nicht-Nullteiler, als reguläres Elementvorausgesetzt werden, was für Ringe ohne Nullteiler auf y 4= 0 zurückkommt.