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E. Noether.

9΄ übereinstimmt mit dem aus allen Potenzen von a abgeleiteten Modul,läßt sich für endliches immer eine Modulbasis aus diesen Potenzenwählen. Ist eine solche etwa gegeben durch e—a°, « n_1 , so be-

deutet das, daß die Kette der mit 2Í„ abbricht, und umgekehrt ergibtsich aus 2i„ = 2I n+v ... diese Basis. Das Abbrechen der Kette der ist aberauch identisch mit dem Bestehen der Gleichung a n -f- r 1 a n+l + r = 0.Mit 9t a ist auch G $R a endlich, also bricht die Kette der © 2( 1( ab ; anderseitsfolgt aus der Endlichkeit von (£9i a , also dem Abbrechen der (£21^, auchdas Abbrechen der 2I /( und damit die Endlichkeit von 9î a . Denn da Gals vom Nullmodul verschiedener Hauptmodul vorausgesetzt, ergibt0(„ = G2( n+V stets 2Í„ = §i„ +v .

Die Ringeigenschaft der ganzen Größen und das transitive Gesetz derganzen Abhängigkeit beruhen auf dem

Hilfssatz. 1st © eine endliche Ordnung aus %, a ein beliebigesElement aus ©, so ist die aus a abgeleitete Ordnung SR« endlich —m. a. W. : alle Elemente einer endlichen Ordnung sind ganz.

Der Beweis ergibt sich nach den üblichen Schlüssen. Ist a 1 ,...,a neine Modulbasis von ©, so gehört wegen der Ringeigenschaft auch a a izu©. Also kommt aa i = r fl a 1 -f-... -f- T in o n und daraus | r ik — cte ik \ = 0,mit e ilc —0 für i =j= lc\ e u = e, womit a als ganz nachgewiesen ist. Fürdas Verschwinden der Determinante wird benutzt, daß % und damit ©ohne Nullteiler vorausgesetzt ist 10 ).

Das System © aller ganzen Größen aus % bildet eine Ordnung.<B umfaßt 9Í; denn die Elemente aus 9Î sind ganz, da 9Î einen endlichen9Î- Modul mit dem Einheitselement als Basis bildet. © hat aber auchRingeigenschaft; denn die aus zwei beliebigen ganzen Größen a, ß ab-geleitete Ordnung wird gleich dem Produkt 9^-3^, also endlich.Somit sind nach dem Hilfssatz a + ß und a ß als Elemente einer endlichenOrdnung ganz.

Transitives Gesetz der ganzen Abhängigkeit: Ist © eine ausga nzen Größen bestehende Ordnung, so ist jedes in bezug auf © ganzeElement aus X auch ganz in bezug auf 9Î . Nach Definition genügt aeiner Gleichung : cc m a 1 K m_1 -j- .. . -)- a m = 0, ist also auch ganz inbezug auf die aus a x , ..., a m abgeleitete Ordnung © = SRo,,die als

10 ) Ist in 31 der Teilerkettensatz vorausgesetzt, sind aber Nullteiler zugelassen,so wird der Hilfssatz eine unmittelbare Folge des Modulsatzes in § 2, demzufolgesich der Kettensatz auf die Moduln aus © überträgt. Auch dieser Beweis stammtfür den Zahlkörper von Dedekind (4. Aufl., § 173, III) und stellt die erste Anwendungvon Kettensätzen in der Literatur dar. In den unter 4. zu gebenden Folgerungen be-nutzt Dedekind statt dessen noch die speziellere Tatsache, daß die Anzahl der Rest-klassen nach einem Ideal im algebraischen Zahlkörper endlich ist.