Abstraktor Aufbau dor Idealtheorie.

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Produkt 9?^ • 9î(, 2 •... • endlich wird. Nach dem unter 2. gegebenentransitiven Gesetz wird somit die aus a abgeleitete endliche ©-Ordnung©a auch eine endliche 91 - Ordnung, und « wird nach dem Hilfssatz ganzals Element einer endlichen Ordnung.

4. Der Ring 9t heißt ganz - abgeschlossen in X, wenn jedes inbezug auf 9Î ganze Element aus zu 9Í gehört. Nach der zweiten Fassungder Definition der ganzen Größen in 3. gehört also ein Element a aus Xdann und nur dann zu 9Î, wenn es mindestens einen vom Nullmodul ver-schiedenen Hauptmodul (£ gibt, so daß © • 9? a einen endlichen Modul bildet 11 ).

Aus dem BegrifE des ganz - abgeschlossenen Ringes hat Dedekind(3. Aufl., § 172) zwei wichtige Folgerungen gezogen, die es ermöglichen,diesen BegrifE für die Idealtheorie zu verwerten :

Dedekindsche Folgerung I. 9 t sei ganz-abgeschlossen in X, undaußerdem sei als iveitere Voraussetzung in 9Í der Teilerkettensatz fürIdeale (Axiom I) erfüllt. Ist ß ein nichtganzes Element aus X, c =4= 0 einElement aus 9Î, so gibt es einen Exponenten a 0 derart, daß in derReihe der Elemente c, cß, ..., cß r , ... die Elemente c, ..., cß" ganz,alle übrigen nichtganz sind.

Wären alle Elemente cß r ganz, so gehörten sie wegen der ganzenAbgeschlossenheit von 3Î zu 9Í. Damit aber ginge die Kette der Moduln©Sfi», • • •» •.. - wo Ê den aus c, den aus ß ü ,...,ß r " 1abgeleiteten Modul bezeichnet — über in eine Kette von Idealen c x , ...,C, mit c r = (c, cß, ..., cß r ~ 1 ), die nach Voraussetzung im Endlichenabbricht. Damit aber wäre gegen die Voraussetzung 9Í/? endlich und ßganz; es gibt somit nichtganze unter den Elementen cß r . Weiter sindmit irgendeinem nichtganzen Element auch alle folgenden nichtganz ;denn ist cß z ganz, also in 9Ï, so genügt cß° für £> < r der Gleichung(c ß-) r — c~°(cß x ) e = 0 und ist also auch ganz. Ist somit cß a+1 das erstenichtganze Element, so wird — da c ganz — o 0 und ist der gesuchteExponent.

Spezialisiert man den Erweiterungsring X zu dem Quotientenkörpervon 9t — d. h. zu dem durch Adjunktion aller Elementenpaare entstehen-den Körper 12 ) —, so folgt daraus die

u ) Sind in Dl Nullteiler zugelassen, so muß £ wieder als regulärer Hauptmodulvorausgesetzt werden; ebenso muß das Element c in Folgerung I als regulär voraus-gesetzt werdon.

12 ) In bekannter Steinitzscher Fassung, J. f. M. 137. Sind in DÎ Nullteiler zu-gelassen, so muß an Stelle des Quotientenkörpers der Quotientenring treten, durchAdjunktion aller Quotientenpaare, bei denen der Nenner e-in reguläres Element aus 31ist. Hier ist die Dedekindsche Folgerimg II nicht mehr erfüllt-, denn n wird im all-gemeinen kein reguläres Element sein.

Mathematische Annalen. 96. 3