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E. Noether.

Dedekindsche Folgerung II. 9Í sei ganz abgeschlossen in seinemQuotientenkörper und in 9Î sei der Teilerkettensatz für Ideale erfüllt.Ist ß ein nichtganzes Element aus so läßt ß eine Darstellung alsQuotient von Elementen aus 9Î zu: ß = m\n derart, daß auch m 2 \n nicht-ganz ist.

Setzt man ß = b/c mit c 4= 0, so werden in der Reihe c, cß = b, cß~...die beiden ersten Elemente sicher ganz, also a ^ 1, wo a den Exponentenaus Folgerung I bedeútet. Setzt man m = cß a , n = cß ö ~ x — wegenc 1 sind das ganze Größen der Reihe —, so werden m\n — ß undm 2 In = cß n+x nichtganz.

Das transitive Gesetz der ganzen Abgeschlossenheit besteht in derForm: Ist 9î ein beliebiger Ring aus X, bezeichnet © das System allerin bezug auf 9Ï ganzen Größen aus X, so besteht © auch aus allen inbezug auf © ganzen Größen aus %. — Denn jede in bezug auf © ganzeGröße ist auch ganz in bezug auf 9Î, nach dem transitiven Gesetz in 3.,gehört also zu ©.

§2.

Kettensätze in endlichen Modulbereichen.

Der Modulsatz, demzufolge sich die Kettensätze übertragen, tritt inder hier zu gebenden Anwendung nur für Moduln eines Erweiterungsringesauf. Da der Beweis aber im Fall eines allgemeinen Modulbereichs der-selbe bleibt, soll ein solcher zugrunde gelegt werden.

Ein System M von Elementen a, ß ... heißt Modulbereich in bezugauf einen Ring 9i, wenn in M zwei Operationen gegeben sind, die ein-deutig zu Elementen aus M führen: eine additive Verknüpfung der Ele-mente und eine Multiplikation der Elemente mit den Elementen aus ;wenn M gegenüber der Addition eine Abelsche Gruppe bildet, währendfür die Multiplikation das assoziative Gesetz erfüllt ist, und wenn das distri-butive Gesetz in beiden Fassungen gilt 13 ).

Für einen Modulbereich bleiben offenbar alle unter § 1, 1. gegebenenModuldefinitionen erhalten, die sich nicht auf die Multiplikation beziehen.Insbesondere heißt M ein endlicher Modulbereich, wenn es endlich vieleElemente aus M gibt derart , daß M gleich dem aus | 15 . ..,

abgeleiteten Modul wird, also gleich dem System aller Linearformenr 1 | 1 + ... + r k wenn in 9Î ein Einheitselement existiert, während sonstnoch Zusatzglieder n¡. ix hinzukommen (vgl. Anm. s )).

Modulsatz. Ist M ein endlicher Modulbereich in bezug auf einenkommutativen Ring 9v mit Einheitselement, und gilt in 9Î der Teiler-

13 ) Vgl. Idealtheorie, § 9.