Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

35

bzw. Vielfachenkettensatz der Ideale, so gilt in M Teiler- bzw. Vielfachen-kettensatz der Moduln.

Der Beweis beruht darauf, daß jedem Modul aus M eindeutig einSystem von endlich vielen Idealen aus 9Î zugeordnet wird derart, daßeinem echten Teiler bzw. Vielfachen des Moduls jeweils mindestens einechtes Teiler- bzw. Vielfachenideal entspricht.

Ein Element aus M heißt von der Länge i, wenn es sich auf min-destens eine Art als Linearform in , ..., £. darstellen läßt, während eskeine Darstellung als Linearform in £ 1; zuläßt. Einem beliebigen

Modul 21 aus IM seien jetzt k Ideale a 15 ..., a k aus 9Î zugeordnet: unter2t¿ sei der Modul aller Elemente aus 2t verstanden von der Länge <¡ i ,und bezeichne das System aller Koeffizienten von in 2I f . Dann folgtvorerst : Ist 93 ein echter Teiler von 2t, sind b x ..., b k die 93 zugeordnetenIdeale, so ist unter den b mindestens ein echter Teiler des entsprechen-den a. Aus 21 —0(93) folgt nämlich 2t;. = 0(93;.) und damit et;. = 0(b;.)für 2 = 1,2 ,...,k. Nach Voraussetzung muß es in 93 nicht in 2Í ent-haltene Elemente geben, also auch solche kleinster Länge i. Dann aberwird b¿ ein echter Teiler von a¿; denn es wird b i = 0 (b f ), ^0(a¿), wennß = b t • • • + b¡ ein solches Element kleinster Länge aus S3 ist.Aus b { = 0 (aj folgt nämlich die Existenz eines Elementes a = a x -f- ...+ b i ^ i = 0 (21), und damit die Existenz eines Elementes ß — a = 0 (93),^0(21) von kleinerer Länge als ß.

Sei jetzt eine Teiler- bzw. Vielfachenkette 2t ls 2t 3 , ..., 2I r ,. .. vor-gelegt; sei in 9t der Teiler- bzw. Vielfachenkettensatz erfüllt. Bezeichnena rl , ..., a rk die 2t r zugeordneten Ideale, so bilden die Reihen a i; . ; a 2 ;., ...,a r Teiler- bzw. Vielfachenketten für 1 = 1, ...,k\ es gibt also nachVoraussetzung einen Index u derart, daß das Ideal a ; , ;. gleich allenfolgenden wird für jedes Â. Dann aber wird der Modul 2t u nach dem obenBewiesenen gleich allen folgenden, womit die Kettensätze übertragen sind.

Unmittelbar ergibt sich jetzt die

Folgerung des Modulsatzes. Gilt in 9Î der Vielfachenkettensatzmodulo jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal, so gilt in M der Viel-fachenkettensatz modulo jedem Modul CS, dessen zugeordnete Ideale c i; ..., c (£sämtlich vom Nullideal verschieden sind.

Denn unter diesen Annahmen brechen die Vielfachenketten a x ¿, ..., a rim Endlichen ab.

Zusatzbemerkung. Ist 9Î ein Ring ohne Einheitselement, so über-trägt sich noch der Teilerkettensatz und der Vielfachenkettensatz moduloden vom Nullideal verschiedenen Idealen. Man betrachte nämlich an Stellevon 2t das System 2t aller Elemente der Form a 1 -f-... -j- a k $ k + n l | fc+1

3* '