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E. Noether.

+ ... + n k , das wieder in 2t übergeht, wenn man £¡t + ;. durch ersetzt.Diesem 2( lassen sich entsprechend wie oben 2 k Ideale a 1 , ..., a ; ., n 15 ..., rt,.zuordnen, wobei die a;. Ideale aus 9Ï, die it;. Ideale aus ganzen Zahlenbedeuten. Da für die ru Teilerkettensatz und Vielfachenkettensatz modulojedem vom Nullideal verschiedenen Ideal erfüllt ist, bleibt für 2t unddamit für 21 der Beweis für den Teilerkettensatz erhalten, während manbeim Vielfachenkettensatz fordern muß, daß die © bzw. E zugeordneten2 k Ideale alle vom Nullideal verschieden sind.

§3.

Übergang zu endlichen Erweiterungskörpern.

Zur Einordnung der Zahl- und Funktionenkörper ist zu zeigen, wiedie in der Einleitung formulierten Axiome I bis V sich beim Übergangzu endlichen Erweiterungskörpern übertragen.

1. In 91 seien alle Axiome I bis V mit Ausnahme des Axioms II

— Vielfachenkettensatz — erfüllt. Es bedeutet den Quotientenkörper von dl,und S einen endlichen Erweiterungskörper erster Art von S 11 ). Dann sindin dem System © aller in bezug auf 9} ganzen Größen aus £ dieselbenAxiome erfüllt, in jeder Ordnung aus © noch alle diese Axiome mit Aus-nahme der ganzen Abgeschlossenheit.

Nach § 1, 3. bildet © einen Ring, für den die Axiome III und IV

— Existenz des Einheitselementes und Ring ohne Nullteiler — erfülltsind. Nach § 1, 4. Schluß ist © ganz abgeschlossen in £; zugleich wird SQuotientenkörper von ©, da jedes Element aus £ durch Multiplikationmit einem geeigneten Element aus 9Î in ein Element aus © übergeht;Axiom V ist also erfüllt.

Der Nachweis von I ergibt sich nach bekannten Schlüssen: Als Er-weiterung erster Art entsteht £ durch Adjunktion eines einzigen Ele-mentes a zu das nach dem obigen als ganz in bezug auf 9Ï angenommenwerden darf. Neben a. sind auch die im Galoisschen Körper von S inbezug auf ÛÎ enthaltenen konjugierten Größen a',a", ... ganz; und somitauch ihr Differenzenprodukt und das Quadrat D dieses Differenzenproduktes.Da u, alle verschieden sind, wird D eine von Null verschiedene Größe

aus also wegen der ganzen Abgeschlossenheit von 9Î in $ eine Größeaus 9Î. Nach den üblichen Schlüssen ist © infolge der ganzen Abge-schlossenheit von 9Ï enthalten in dem durch die Elemente = uMD er-zeugten in bezug auf 9Î endlichen Modulbereich M ; man hat dazu nur in

14 ) Ein algebraischer Erweiterungskörper heißt nach Steinitz „erster Art", wennjedes Element Nullstelle einer Primfunktion ist, die in einem geeigneten Erweiterungs-körper in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt.