Abstrakter Aufbau der Idealt heorie.

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der Darstellung eines Elementes aus © durch die zu den konjugiertenElementen überzugehen und das lineare Gleichungssystem für die Koeffi-zienten der Darstellung aufzulösen. Nach dem Modulsatz in § 2 gilt füralle 9i- Moduln aus M, also insonderheit für alle Ideale aus©, der Teiler-kettensatz. Ebenso gilt der Teilerkettensatz für die Ideale einer beliebigenOrdnung aus ©, da es sich auch hier um 9Î- Moduln aus M handelt; fürjede Ordnung ist aber auch Axiom III und IV erfüllt.

2. Sind in 3Î alle Axiome I bisV erfüllt, so gilt das gleiche für ©.In jeder Ordnung aus © sind noch alle Axiome mit Ausnahme der ganzenAbgeschlossenheit erfüllt.

Unter Berücksichtigung von 1. ist nur noch das Erfülltsein vonAxiom II nachzuweisen. Nach der Folgerung aus dem Modulsatz in § 2genügt der folgende Nachweis: Wird ein vom Nullideal verschiedenes Idealaus © als Di-Modul (£ in M aufgefaßt, so sind die K zugeordneten Ideale c¿aus 9Î alle vom Nullideal verschieden. Nun ist Ë von gleichem endlichenlinearen Rang in bezug auf wie M; denn (S enthält neben irgendeinemElement y auch yti 1 . Zu jedem gibt es also ein Element c ¿ 4= 0 aus 9Î,so daß c i Ç i zu © gehört; wegen der Eindeutigkeit der Darstellung durchdie — der Index soll nur die Werte kleiner als der Grad des Körpersdurchlaufen — gehört c¿ zu c f , das somit vom Nullideal verschieden wird.Diese Überlegung bleibt erhalten für alle Ordnungen von gleichem Rangwie M; für eine Ordnung von niedrigerem Eang geht man zum Quotienten-körper über, der als Zwischenkörper von ¡S und £ auch erster Art wirdund dessen Grad in bezug auf fô 1 mit dem linearen Rang der Ordnungübereinstimmt; für den somit die Überlegungen erhalten bleiben. Schließ-lich sei bemerkt, daß eine von © verschiedene Ordnung aus © nie ganzabgeschlossen ist; denn da jede Ordnung auch 9Î umfaßt, muß sie beiganzer Abgeschlossenheit auch © umfassen.

Zur Unterordnung von Zahl- und Funktionenkörpern genügt es somitdas Erfülltsein der Axiome I bis V für die Grundbereiche — ganze Zahlen,Polynome einer Unbestimmten, Funktionalbereich der Polynome mehrererUnbestimmter — nachzuweisen.

3. Für den Ring 9Î der ganzen rationalen Zahlen bzw. der Polynomeeiner Unbestimmten mit Koeffizienten aus einem Körper sind die AxiomeI bis V erfüllt. Dabei folgt I und II entweder daraus, daß es nach jedervon Null verschiedenen Zahl bzw. nach einem solchen Polynom einerUnbestimmten nur endlich viele bzw. endlich viele linear-unabhängigeRestklassen gibt — oder auch aus der Tatsache, daß jedes Ideal Haupt-ideal wird; denn daraus ergibt sich die eindeutige Zerlegbarkeit der Idealeals Potenzprodukt von Primidealen, demzufolge ein vom Nullideal ver-