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E. Noether.

schiedenes Ideal nur durch endlich viele teilbar wird. Axiom III und IVist offenbar erfüllt, letzteres eine Folge der Gleichheitsdefinition ; die ganzeAbgeschlossenheit Y folgt daraus, daß vermöge der bis auf Einheiten— Teiler der Eins — eindeutigen Zerlegbarkeit der Elemente aus 9t inunzerlegbare jedes nicht in 9Î enthaltene Element des Quotientenkörperssich als Quotient zweier teilerfremder Elemente aus 9Ï darstellen läßt, sodaß also keine Potenz des Zählers durch den Nenner teilbar wird. Einsolches Element kann mithin keiner Gleichung genügen, die es als ganzin bezug auf 3t charakterisiert.

4. Es bedeute jetzt 9t den Ring aller Polynome in mehreren Un-bestimmten mit Koeffizienten aus einem Körper oder mit ganzen rationalenZahlkoeffizienten. Dann sind die Axiome III, IV, V wie unter 3. erfüllt;denn auch hier gilt die bis auf Einheiten eindeutige Zerlegbarkeit derElemente in unzerlegbare. Daß der Teilerkettensatz I erfüllt ist, ist eineunmittelbare Folge des Hilbertschen Satzes von der Existenz der Ideal-basis; während der Vielfachenkettensatz II hier nicht gilt.

Man kann aber durch Übergang zum Funktionalbereich, was einerBeschränkung auf Ideale höchster Dimension entspricht, auch noch dieGültigkeit von Axiom II erreichen; die Gültigkeit von I läßt sich dannwie unter 3., ohne Heranziehung des Hilbertschen Satzes, nachweisen.Man adjungiere nämlich zu 9t eine Unbestimmte u, betrachte also denRing 9t* aller Polynome in u mit Koeffizienten aus 9t, wobei Gleichheitals Koeffizientengleichheit definiert ist. Bezeichnet man wie üblich einPolynom aus 9t* als primitiv (in bezug auf 9t), wenn der größte gemein-same Teiler seiner Koeffizienten — Teiler im Sinn von Polynom aus 9Î,nicht Idealteiler — eine Einheit aus 9t wird, so wird jedes Polynomaus 9 t Produkt eines Elementes aus 91 mit einem primitiven Polynomaus 9Î ", und das Produkt primitiver Polynome aus 9t* wird wieder primitiv.

Die Gesamtheit der Elemente des Quotientenkörpers von 91*, derenNenner primitive Polynome aus 9t* sind, bildet somit einen Ring, denFunktionalbereich % von 9Î . In diesem Funktionalbereich % sind alle undnur die Elemente Einheiten, deren Zähler und Nenner primitive Polynomeaus 9Î " sind; jedfs Element aus g läßt sich somit eindeutig als Produkteines Elementes aus 9Î und einer Einheit aus g- darstellen. Damit über-trägt sich der Zerlegungssatz der Elemente aus 9t auf die Elementeaus für % ist somit neben den Axiomen III und IV auch V wie unter3. erfüllt.

In g' wird ferner jedes" Ideal Hauptideal. Ein Ideal enthält nämlichneben irgendeinem Element aus g auch das durch Multiplikation mit einerEinheit daraus hervorgehende aus9î; und neben irgend zwei Elementen aus9ïauch ihren größten gemeinsamen Teiler. Denn neben f(x) = t (x) f{x) und