Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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g(x) = t (x)g(x) gehört auch t(x)(f(x) + ug(x)) zum Ideal, also aucht(x), wenn f und g teilerfremd sind und ihre lineare Kombination somiteine Einheit wird. Geht man also von einem beliebigen Element f(x)des Ideals aus, und gibt es im Ideal ein durch dieses nicht teilbares g(x),so gehört auch der größte gemeinsame Teiler t(x) zum Ideal und wirdein echter Teiler von f(x), so daß die endlich oftmalige Wiederholungauf ein Basiselement des Ideals führt, das Ideal also als Hauptidealerkannt ist. Damit gilt aber in die eindeutige Zerlegbarkeit der Idealeals Potenzprodukte von Primidealen, die der Zerlegung der Elemente aus9Î entspricht; und hieraus folgt wie unter 3. das Erfülltsein der Axiome Iund II. Bei den in Betracht kommenden Erweiterungskörpern des Quotienten-körpers von ^ handelt es sich dabei nur um solche, die durch Adjunktioneines Elementes aus © erzeugt werden können 15 ). Damit ist unter Berück-sichtigung von 1. und 2. für Zahl- und Funktionenkörper die Gültigkeitder Axiome I bis V erkannt.

§4.

Isomorphiesätze. Direkte Summen.

Im folgenden wird nur Ring- bzw. Moduleigenschaft aber kein weiteresAxiom vorausgesetzt.

1. Sind M und M Modulbereiche in bezug auf 9Î (§2), so heißt M zuM homomorph (genauer: modul-homomorph), M ^ M , wenn jedem Elementaus M ein und nur ein Element aus M entspricht, derart, daß dadurchM erschöpft wird 18 ); und wenn bei dieser Zuordnung die Differenz unddie Multiplikation mit demselben Element aus 9Î sich entsprechen; wennalso aus ß^ß und y ~ y stets folgt: (ß — y) ~ (ß — y) und rß^rß.

Einem 9Î- Modul S3 aus M entspricht also homomorph ein 9Î- Modul33 aus M; und die Gesamtheit (£*' der Elemente aus M, denen Elementeeines 9Î- Moduls (£ aus M entsprechen, bildet einen durch © eindeutigbestimmten 9î-Modul in M, den © zugeordneten Modul E* mitIst insbesondere 21 der dem Nullelement aus M zugeordnete Modul, sowird (£* ein Teiler von 91 und zerfällt in Klassen vo^ modulo 21 kon-gruenten Elementen aus M, derart daß diese Klassen den Elementen aus(£ ein-eindeutig entsprechen. Geht man von 33 in M über zu 53" in M, undvon da zurück zu S3*, so wird S3* = (S3, 2Í); also gleich dem größten

15 ) Das SyBtem der in bezug auf g ganzen Größen dieser Erweiterungskörpergewinnt man auch, indem man von © entsprechend zu einem Funktionalbereich über-geht, wie von Sit zu g. Vgl. etwa J. König, Algebraische Größen, Leipzig 1903,S. 468/69.

10 ) Alles im Sinne der in M herrschenden Gleichheitsdefinition, vgl. Anmerkung ").