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E. Noether.

gemeinsamen Teiler von 33 und 2t; es wird also 93 * = 33, wenn S3 Teilervon 2Í.

Ist das Entsprechen der Elemente aus M und M umkehrbar eindeutig,so heißen die Bereiche isomorph (genauer modul-isomorph) M~M.

Ist 2t ein beliebiger 9Î- Modul aus M, so entsteht ein zu M homo-morpher Modulbereich M — der Restklassenmodul M [ 2t —, indem mandie Kongruenz nach 2Í als neue Gleichheitsbeziehung auffaßt. JedemElement aus M sind dabei alle und nur die ihm gleichen aus M zugeordnet.Geht man in M von der Gleichheitsdefinition zur Identität über, so heißtdas, daß man alle in M gleichen Elemente in einer Klasse — Restklasse —zusammenfaßt und diese Restklassen als neue Elemente von M auffaßt 17 ).

Durch den Übergang zum Restklassenmodul wird jeder Homomorphismuserzeugt ; denn ist M ~ M, und ist 2Í der dem Nullelement aus M zu-geordnete Modul, so wird, wie oben gezeigt, M isomorph dem Restklassen-modul M I 2t.

2. Erster Isomorphiesatz. Bedeutet M den Restklassenmodul M ¡ 2t,und ist © Teiler von Sil, so gilt der Isomorphismus: M|6~M|©. Denndie Kongruenz nach 2t ist zugleich eine Kongruenz nach © ; nach 2t gleicheElemente bleiben also gleich nach ©, und man kann mithin den Rest-klassenmodul M ¡ © — also die Gleichheit nach © — bilden, indem manzuerst die Elemente nach 2t gleichsetzt, also zu M übergeht, und unterdiesen die nach © gleichen zusammenfaßt, was in M dem Gleichsetzennach ©, also der Bildung von M | © entspricht.

Zweiter Isomorphiesatz. Sind 23 und 2t Moduln aus M, so giltder Isomorphismus : (S3, 2I)| 2t~ 93 ¡ [93, 2t]. Denn nach 1. wird 93 homo-morph zu 93, wenn (93, 2t) 12t gleich 93 gesetzt wird; und da hierbeiallen Elementen aus [58, 2t] und nur diesen das Nullelement in 93 ent-spricht, so kommt wieder nach 1. der obige Isomorphismus.

3. Sind 3î und 9Ï (kommutative) Ringe, so heißt homomorpli zuSR (genauer ring-homomorph ), wenn jedem Element aus 9Ï einund nur ein Element aus 9v entspricht derart, daß dadurch 9î erschöpftwird; und wenn bei dieser Zuordnung Differenz und Produkt sich ent-sprechen. Ist das Entsprechen der Elemente umkehrbar eindeutig, so heißendie Ringe isomorph (genauer ring-isomorph),

Alle Überlegungen unter 1. und 2. bleiben erhalten, wenn man dieModuln durch Ideale in 3î ersetzt 18 ), und wenn der Begriff des Modul-Homomorphismus und Modul-Isomorphismus durch Ring-Homomorphismus

") Vgl. dazu Anmerkung 6 ).

18 ) Bei niehtkommutativen Ringen müssen zweiseitige Ideale zugrunde gelegt

werden.