Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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und Ring-Isomorphismus ersetzt wird. Insbesondere entstellt, wenn c einTeiler von a ist, der Restklassenring c|a, indem die Kongruenz nach a alsneue Gleichheitsbeziehung eingeführt wird, wobei zu beachten ist, daßjetzt noch die Produkte von Restklassen definiert sind.

Es wird c homomorph zu c|a; jeder Homomorphismus ist auf dieseArt erzeugt, und es gelten wie unter 2. die Isomorphiesätze:

Erster Isomorphiesatz. Bedeutet den Restklassenring 9ï|a,und ist c Teiler von a, so wird 9í|c ~9í¡c im Sinne des Ring-Isomorphismus.

Zweiter Isomorphiesatz. Sind b und a Ideale aus SR, so gilt derRing-Isomorphismus: (6, a)| a~b | [i>, a] in ).

4. Im folgenden sollen die Rechenregeln über teilerfremde Ideale zu-sammengestellt werden 20 ), aus denen sich in 5. die Sätze über direkteSummen ergeben werden. In dem kommutativen Ring 9Î werde dieExistenz des Einheitselementes e der Multiplikation vorausgesetzt. Es wirdalso a = o a für jedes Ideal aus 9t, unter o das Einheitsideal verstanden.Zwei Ideale a, b heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler(a, ii) gleich o wird.

4a. Ist (a, b) = o, sowird (a,bc) = (a, c). Denn (a, c) = (a, b)-(a, c)= (o 2 , ab, a C, b c) wird durch (a,bc) teilbar und umgekehrt. Darausfolgt:

iß. Aus cb = 0 (a) und (a ,b) = o folgt c = 0 (a). Denn cb = 0(a)ist gleichbedeutend mit (a, bc)=a; also wird wegen (ci,b) = c> auch( q , c) == a oder c ~0 (a). Es folgt weiter:

4 y. Ist jedes der Ideale , ..., a,. teilerfremd zu jedem der Idealeb 15 .b s , so wird das Produkt der a ; teilerfremd zu dem Produkt derb¡. Denn aus (a, b)=0 und (a, c) = 0 kommt (a, bc) = o, worausdurch endlich oftmalige Wiederholung die Behauptung folgt.

Aus 4« und 4 y ergibt sich:

4(5. Sind die Ideale b x , ..b,. paarweise teilerfremd, also (b ; , bj= ofür i =4= k, so wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich ihremProdukt. Sei (a,b) = o, ü = [a, b]; dann wird b = o ö = (n ü, b ö)

19 ) Diese aus der Gruppentheorie bekannten Isomorphiesätze finden sich fürModuln in etwas speziellerer Fassung zuerst bei Dedekind (vgl. 3. Aufl., S. 484).Die obige Fassung für Ideale findet sieh bei Masazo Sono: On Congruences. I., II.,III., IV. Memoirs of the College of Science, Kyoto Imperial University, 2 (1917),3 (1918, 1919). Vgl. 2, S. 215. Explizit ausgesprochen ist jeweils nur der zweiteIsomorphiesatz.

20 ) Und zwar in der auf Dedekind zurückgehenden Form (4. Aufl., § 178, IIIbis VIII). Das in neueren Darstellungen durchweg auftretende Rechnen mit demEinheitselement ist viel umständlicher.