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E. Noether.

= 0(a,b); wegen cib = 0(b) kommt also ö = ab, woraus durch endlichoftmalige Wiederholung unter Beachtung von 4 y die Behauptung folgt.

4 e. Sind die Ideale bj , ..., 6,. paarweise teilerfremd, ivird ' ,...,

b i _ 1 , 6 f+1 ,..b r ] = bj... b i _ 1 b i+1 .. .b r gesetzt, so wird (a 15 ..., a,-.^flf+i. • • •> O = b¡ und also (a 1 ,...,a r )= o. Denn nach dem distribu-tiven Gesetz wird ( Oj, 0 2 ) = b 8 ... b r ( b 3 , b x ) = b 3 .., b r ; und also ( , a„, ct g )= b 4 ... b r (b 3 , b A b 3 ) = bj... b r , woraus durch endlich oftmalige Wieder-holung bei passender Numerierung die Behauptung folgt.

Es wird a f als Komplement von b,- in der Darstellung m = [b x , ..., b r ]bezeichnet.

5. In dem kommutativen Ring 9Î sei wieder die Existenz des Einheits-elementes der Multiplikation vorausgesetzt. Der Ring SR heißt direkteSumme der Ideale a i; .a r , — in Zeichen: 9Î = + a 2 + ... + a,. —wenn jedes Element c aus 9Î sich auf eine und nur eine Art darstellenläßt in der Form: c = a 1 + a 3 + ... + a r , wo jeweils a¡ Element aus a¡.

Ist das Nullideal kleinstes gemeinsames Vielfaches der paarweiseteilerfremden Ideale h 1 ,...,h r , und ist a ; das Komplement von b f) sowird 9Ï direkte Summe der Ideale a i; ..., a r . Denn wegen o = (a 1} ..., a r )läßt jedes Element aus 9Î mindestens eine additive Darstellung durch diea ; zu; wegen [ß jJ b J ] = (0) ist diese Darstellung eindeutig; denn aus0 = a 1 + • • • + ö r = a i + b i kommt a¡ = 0. Nach dem zweitenIsomorphiesatz werden die a ; isomorph dem Restklassenring 3î j b ; . Esgelten die „Orthogonalitätsrelationen" a ¿ a t = (0) für i =}= k und 0^ = 0»,letzteres wegen a ¿ = o a ; .

Existiert umgekehrt eine Darstellung von 9Ï als direkte Summe —0î= cij + a 3 + ... + a,. — und setzt man b¿ = (c^, ..., a i _ 1 , a i+1 ,...,a r )= a 1 -f- ... + a i _ 1 + a i+1 + ... + a r , so werden die b ; paarweise teiler-fremd und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Nullideal.Denn aus o = (a ; , b { ) folgt o = (b fc , b¿) für k 4= i, da b ; . Teiler von a¡.Sei weiter c teilbar durch alle b ¿ , so kommt c = al 1] + ... + a^= a®-f 03 3) + ...+a} 2) = ... = ai r) + • •• + «r-i, wo jeweils af* e = 0 (a f ).Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt also, da jeweils eine Kom-ponente zu Null wird: 0 = af', ..., 0 = für jedes X und damit c = 0. 21 )

21 ) Die unter 5. gegebenen Sätze sind Spezialfälle eines allgemeinen Satzes überden Zusammenhang zwischen direkter Summe und direktem Durchschnitt. Vgl.H. Prüfer, Theorie der Abelschen Gruppen I, Math. Zeitschr. 20 (1924), S. 165 — 187,§ 6. Die dort gegebenen Überlegungen bleiben auch bei so allgemeiner Fassung desGruppenbegriffs erhalten, daß Moduln und Ideale sich als Spezialfall unterordnen.