Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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§5.

Primideale und Primärideale.

Es sei wieder 3Î ein kommutativer Ring, für den kein weiteresAxiom — auch nicht Existenz des Einheitselementes — vorausgesetztwerde. Es sollen die Grundtatsachen über Primideale und Primäridealezusammengestellt werden 22 ).

1. Ein Ideal p aus DÏ heißt schwaches Primideal, wenn der Rest-klassenring 9î|p ein Ring ohne Nullteiler ist; wenn also aus a^0(;p)und ö^O(^) stets folgt a6^0(p). Ein Ideal p* aus 9Î heißt starkesPrimideal, wenn der Restklassenring 91 | p * ein Ring ohne Nullteilen'deaieist; wenn also aus a^0(p*) und 6^0 (p*) stets folgt a £>^0 ()}*).Jedes starke Primideal ist zugleich schwaches Primideal, wie die Spezia-lisierung von a, b zu Hauptidealen zeigt. Umgekehrt ist auch jedesschwache Primideal zugleich starkes Primideal', man kann also von Prim-idealen schlechthin sprechen. Denn sei p schwaches Primideal; sei a^0(p)und b^0(p); seien weiter a und b Elemente aus a und h, so daßa^EO(p) und b^0(p). Dann kommt und damit ctb^O(p);also ist p auch starkes Primideal.

2. Ein Ideal q aus 9Í heißt schwaches Primärideal, wenn im Rest-klassenring 91 |q eine Potenz jedes Nullteilers verschwindet; wenn alsoaus a^0(q) und 6"^s0(q) für jedes x stets folgt a&^0(q). DasSystem p aller Elemente aus 9Ï, die Nullteiler aus 5R|q werden, bildetein Ideal, und zwar ein Primideal, das Teiler von q wird, das zugehörigePrimideal. Denn neben a wird auch ra Nullteiler, neben a und b aucha — 6; letzteres damit a"~ und b'' stets (a — 6)* +; " durch q teilbar .wird.Ist ferner a kein Nullteiler, so wird nach Definition auch keine Potenzvon a Nullteiler; aus a^0(p) und folgt also a " b" = (aö)*^0(q)und damit aö^0(p).

Ein Ideal q* aus 9Î heißt starkes Primärideal, wenn im Restklassen-ring 9t |q* eine Potenz jedes Nullteiler¿deaZs verschwindet; wenn also ausa^0(q*) und b K ^0(q*) für jedes x stets folgt ab^0(q*). Wiebei schwachen Primäridealen zeigt man: Der größte gemeinsame Teileraller Idale aus 91, die Nullteilerideale aus 91 Jq* werden, bildet ein Prim-ideal, das Teiler von q* wird, das zugehörige Primideal. Umgekehrt sagtman von allen Primäridealen, die dasselbe zugehörige Primideal p be-sitzen, sie „ gehören zu \)

2ä ) In Idealtheorie, § 4, ist Axiom I des Teilerkettensatzes vorausgesetzt, und estritt deshalb nicht scharf hervor, welche Eigenschaften der Prim- und Primäridealevon diesem Axiom unabhängig sind.