44

E. Noether.

Jedes starke Primärideal ist zugleich schwaches Primärideal, wiedie Spezialisierung von o, 6 zu Hauptidealen zeigt. Im allgemeinen giltaber nicht die Umkehrung' 23 ), Wird jedoch in 3t das Axiom I des Teiler-kettensatzes vorausgesetzt, so ivird jedes schivache Primärideal zugleichstarkes Primärideal ; man kann also von Primäridealen schlechthin sprechen.Dann sei q schwaches Primär ideal; sei a^O(q) undö' < ^0(q) für jedes x.Dann gibt es Elemente a aus a und b aus i), so daß a^O(q) und¿*^0(q) für jedes pí; mithin kommt aô^O(q) und damit aßs^O(q).Denn wenn zu jedem b aus b ein Exponent  existiert, so daß 6'' = 0(q)wird, so wird ii ; " 1+ "' +;l ''=0(q) unter x l; ..., l r die Exponenten der endlichvielen Basiselemente verstanden 24 ). Diese letztere Überlegung zeigt noch:Es gibt einen (kleinsten) Exponenten q derart, daß :pe = 0(q) wird, wo ))das zugehörige Primideal bedeutet; q heißt der Exponent von q.

3. Im folgenden sei der Teilerkettensatz wieder nicht vorausgesetzt.Das kleinste gemeinsame Vielfache [a x , ..., CtJ von endlich vielen Idealenheißt eine kürzeste Darstellung, wenn kein a ; im kleinsten gemeinsamenVielfachen der übrigen aufgeht, wenn also kein a¿ weggelassen werden kann.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von endlich vielen, zu demselbenPrimideal ,p gehörigen schivachen bzw. starken Primäridealen ist wiederschwaches Primärideal mit p als zugehörigem Primideal. Eine kürzesteDarstellung durch endlich viele, zu verschiedenen Primidealen gehörigenschivache bzw. starke Primärideale ist kein schwaches bzw. starkes Pri-märideal. Sei ! = [q 15 ..q r ] und p zugehöriges Primideal der schwa-chen Primärideale q ¿ ; dann besteht p auch aus der Gesamtheit der Ele-mente, von denen eine Potenz durch l teilbar wird. Aus a ^ 0 (!) und6*^0(!) für jedes « folgt also 6^0(£>) und a^0(q¿) für mindestenseinen Index i; also a&^0(q ¿ ) und damit aô^0(ï). Ersetzt mandurchweg die Elemente durch Ideale, so läßt sich nicht mehr 6^0(p)schließen.

Sei jetzt m = [q x , ..q r ] mit =4= für i =4= & ei ne kürzeste Dar-stellung durch schwache Primärideale und sei ?• ¿> 2. Dann gibt es min-destens ein zugehöriges Primideal, etwa ^, das in keinem der übrigen

33 ) Das zeigt das folgende, mir von R. Hölzer mitgeteilte Beispiel. Sei SR derPolynombereich von abzählbar vielen Unbestimmten x¡ mit Koeffizienten aus einemKörper; Bei q = (a; 2 , cc®, ••., xf +1 , ..., x i x^l i =j= k].. .). Nullteiler im Restklassen-ring sind alle und nur die durch p = ( k , x„, ..., x v , ...) teilbaren Polynome, und eswird jeweils eine Potenz dieser Nullteiler durch q teilbar; q ist also Schwaches Primär-ideal mit p als zugehörigem Primideal. Dagegen ist q kein starkes Primärideal; dennsetzt man a = (a^, x s , x s , ..., x iv+1 , . ..) und 6 = (x^, x i , ..., x^ v , .. .), so wirdafi = 0(q), aber keine Potenz von a oder 6 durch q teilbar.

3J ) Um von Axiom I auf die endliche Idealbasis schließen zu können, muß einefeste Wohlordnung in 91 zugrunde gelegt werden (vgl. § 6).