Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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aufgeht; denn jede echte Vielfachenkette der p muß nach höchstensr Schritten abbrechen. Somit gibt es Elemente a i aus p i; derart, daßof'~0(q i ) und a 2 ^0(t> 1 ); ... a r 0(pj wird. Ist weiter 0(m)

ein Element aus q 1( so wird af 2 ... a r er = 0 (m), aber keine Potenz von(a%*... a? r ) durch m teilbar, da sonst Teilbarkeit durch folgen würde;tri ist also kein schwaches Primärideal. Ersetzt man durchweg die Ele-mente durch Ideale, also q x durch und a i durch a i [^(^) 1 ), abern? ^0(q¿)], so ergibt sich der Beweis für starke Primärideale 25 ).

4. Modul- und Idealquotient. Sei % ein Erweiterungsring von 9t,seien St, S3, (£, ..., 91-Moduln in %. Der Quotient Ê = SI : 93 ist definiertals ein Modul, der den Bedingungen genügt: (£93 = 0(21) und aus'3)93 = 0(21) folgt ® = 0((£) — es ist also (£ der „kleinste" Modul, fürden (£93 = 0(21) wird. Dadurch ist der Quotient eindeutig bestimmt alsgrößter gemeinsamer Teiler aller Moduln für die 5)93 = 0(21) gilt;solche ® existieren, da der Nullmodul sicher ein solcher Modul ist.

Aus der Definition folgt: Ist 93 ein Vielfaches von 93, so wird 21:93ein Vielfaches von 21:93. Ist 2t ein Vielfaches von 21, so wird 21:93 einVielfaches von 1: 93. Es wird 2Í : 93 (£ = (2Í : 23) : © == (21 : (S) : 93.

Fällt der Erweiterungsring % mit 9Î zusammen, so geht der Modul,quotient in den Idealquotient a : £) über, für den somit auch die obigenRechenregeln gelten. Wegen ab = 0(a) folgt hier noch a = 0(a:b).

5. 1st a:b = a, so heißt b prim zu a. Ein Ideal b ist also dannund nur dann prim zu a, wenn aus bb = 0(a) stets folgt b 0(a).Aus den Rechenregeln unter 4. folgt: Sind b und c prim zu a, so istauch ihr Produkt nnd ihr kleinstes gemeinsames Vieljaches prim zu a.Ist sowohl b prim zu a , wie a prim zu b , so heißen a und b gegenseitigprim. Aus § 4, 4/3 folgt: Sind a und b teilerfremd, so sind sie auch gegen-seitig prim.

§6-

Idealtheorie bei Voraussetzung des Teilerkettensatzes.

Zugrunde gelegt sei ein (kommutativer) Ring 9î, für den Axiom Ides Teilerkettensatzes erfüllt ist; weiter sei im folgenden stets eine festeWohlordnung aller Elemente aus 3Î zugrunde gelegt. Damit ist aber zugleichauch eine Wohlordnung aller Ideale aus 9Î gegeben. Denn die beidenVoraussetzungen ergeben sofort, daß jedes Ideal aus 9Î eine aus endlichvielen Elementen bestehende Idealbasis besitzt. Geht man also von derWohlordnung der Elemente aus 9Î über zu einer quasi-lexikographischen An-

3ä ) Diese Modifikation meines ursprünglichen Beweises, durch die der Teiler-kettensatz entbehrlich wird, verdanke ich B. L. van der Waerden.