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tí. Noether.

Ordnung aller endlichen Untermengen von Si 3 "), und ordnet jedem Idealals ausgezeichnete Basis die unter den verschiedenen möglichen Basenerste in der Wohlordnung der endlichen Untermengen zu, so sind mitden endlichen Untermengen auch die Ideale wohlgeordnet.

Satz I. Jedes Ideal aus 9Í läßt — bei Voraussetzung des Teiler-kettensatzes — eine Darstellung als kleinstes gemeinsames Vielfaches vonendlich vielen irreduziblen Idealen zu, d. h. von Idealen die sich nichtals kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei echten Teilern darstellenlassen.

Zum Beweis ist zu zeigen: Ist Satz I für ein Ideal rtt nicht erfüllt,so besitzt m einen echten Teiler, für den Satz I ebenfalls nicht erfülltist; daraus läßt sich entgegen dem vorausgesetzten Teilerkettensatz einenicht im Endlichen abbrechende Teilerkette konstruieren. In der Tat mußttt reduzibel sei, da sonst m = [m] die gewünschte Darstellung liefernwürde. Wird nt = [a,£>], so kann Satz I nicht für rt und b gleichzeitigerfüllt sein, da sonst eine entsprechende Darstellung für m folgen würde.Es gibt also echte Teiler von tri, für die Satz I nicht erfüllt ist; sei ctjder in der Wohlordnung der Ideale erste. Indem man entsprechend zu ttjeinen echten Teiler ct 2 konstruiert, und allgemein zu n i einen echten Teilera i+1 , kommt man zu einer wohlbestimmten, nicht im Endlichen abbrechen-den Teilerkette, gegen die Voraussetzung 27 ].

2Ö ) Darunter ist folgendes zu verstehen: die Elemente a lt a n einer endlichenUntermenge 2I„ seien so bezeichnet, daß die Anordnung der Indizes mit der in SRgegebenen Wohlordnung übereinstimmt. Jede Untermenge 5(„ gehe einer solchen mitm > n Elementen voran. Sind 3f„ und 33, ¡ Untermengen von gleich vielen Elementen,so heiße 9t,, früher als S3„, wenn das erste Element a¡, das von dem entsprechendenb¡ verschieden ist, in der Wohlordnung von 8t dem b¡ vorangeht. Damit ist jedemSystem endlicher Untermengen ein erstes Element Sf„ zugeordnet.

Bei gegebener Wohlordnung von SR bedarf es also keines weiteren Auswahl-postulats; ist insbesondere Di abzählbar — wie etwa im Fall des algebraischen Zahl-körpers —, so liegt überhaupt kein Auswahlpostulat zugrunde.

Auf die Rolle des Auswahlpostulats in der Idealtheorie ist ohne nähere Aus-führungen in Idealtheorie, Anmerkung °), hingewiesen.

-") Satz I gilt offenbar genau so für Modulbereiche, wenn der Teilerkettensatzfür das System aller Moduln vorausgesetzt wird. Satz I trägt nämlich rein mengen-theoretischen Charakter — er ist zugleich der einzige, bei dessen Beweis die Wohl-ordnung der Ideale benutzt wird. Es handelt sich, unabhängig von allen Verknüpfungen,um die folgenden mengentheoretischen Begriffe:

In einer Menge SOI sei eine Untermenge S der Potenzmenge — also ein Systemvon Untermengen — ausgezeichnet. 2 sei als wohlgeordnet angenommen; die Ele-mente von ¿ seien etwa als ¿'-Mengen bezeichnet. In ¿ sei der Kettensatz voraus-gesetzt: Jede Kette von ¿-Mengen, 2ii, 91a, ..., 2I V ..., derart, daß Stv eine echteObermenge von 2t i— i ist, bricht im Endlichen ab. Eine ¿-Menge 91 heiße reduzibel