Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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Wegen des vorausgesetzten Teilerkettensatzes kann nach § 5, 2. vonPrimäridealen schlechthin gesprochen werden. Den Zusammenhang zwischenprimär und irreduzibel ergibt

Satz II. Bei Voraussetzung des Teilerkettensatzes ist jedes irreduzibleIdeal primär, m. a. W. jedes niclitprimäre Ideal ist reduzibel.

Da beim Übergang zum Restklassenring 9Í | m wegen der Homo-morphie der Teilerkettensatz erhalten bleibt, da der Darstellung von inals kleinstem gemeinsamen Vielfachen die Darstellung des Nullideals ent-spricht und da wegen des ersten Isomorphiesatzes (§ 4, 3.) den primärenTeilern von nt wieder solche in 9ï|m entsprechen und umgekehrt, kannman sich auf die Zerlegung des Nullideals im Restklassenring beschränken.Da dieser ein Ring gleicher Allgemeinheit ist, kann man von vornhereindas zu zerlegende Ideal als Nullideal von 3Í voraussetzen.

Sei also das Nullideal von 9i nichtprimär, so daß es mindestens einPaar von Idealen a, b gibt — wobei noch 0 als Hauptideal voraus-gesetzt werden darf — derart, daß a=|=(0), b" + (0) für jedes x, aberab=(0). Es sei die —nach Voraussetzung im Endlichen abbrechende —Teilerkette der Idealquotienten gebildet: a, a : b, .. ., a : sei etwa

t=a:b m ~ 1 =a:b m ... gleich allen folgenden Idealen der Kette; alsot = t:b oder b prim zu t. Weiter ist t als Teiler von a vom Nullidealverschieden, ebenso b* für jeden Exponenten x. Zum Beweise von Satz IIgenügt es also, eine Darstellung (0) = [t, b m+1 ] nachzuweisen.

Nach Definition ist:

b m_1 1 = 0(a), also b m t = (0),

es ist also nur zu zeigen:

c=[f, b m+1 ] = 0(b m f).

Dies folgt aus den Voraussetzungen, daß b Hauptideal und zu t prim ist.Jedes Element c aus c läßt wegen der Teilbarkeit durch b" i+1 eine Dar-stellung zu — unter n Symbol einer ganzen Zahl verstanden — :

c = Jcb m+l + nb m+1 = rb m ,

wo r jetzt wieder ein Element aus 3Î bedeutet. Aus c = 0(t) folgt alsorö m =0(t) und damit r= 0 (f) wegen t:b=t. Damit ist aber c = 0(tb ni )und Satz II bewiesen.

Satz III. Bei Voraussetzung des Teilerkettensatzes läßt jedes Idealeine kürzeste Darstellung als kleinstes gemeinsames Vielfaches von endlich

wenn sie Durchschnitt von zwei ¿"-Mengen ist, die beide echte Obermengen von 31werden, im entgegengesetzten Fall irreduzibel. Dann ergeben die obigen Überlegungen:Jede 2-Menge läßt sich als Durchschnitt von endlich vielen irreduziblen 2-Mengendarstellen.