48 E. Noether.

vielen, zu verschiedenen Primidealen gehörigen, also größten Primär-komponenten zu' 28 ).

Um zu einer solchen Darstellung zu gelangen, hat man nur, wasimmer möglich, die nach Satz I existierende Darstellung durch irreduzible,also nach Satz II primäre Ideale durch eine kürzeste zu ersetzen. Faßtman die zu gleichen Primidealen gehörigen Primärideale zusammen, soergibt sich die gesuchte Darstellung nach § 5, 3. Die Primärkompouentenkönnen als größte bezeichnet werden, da das kleinste gemeinsame Viel-fache von irgendwelchen unter ihnen nicht mehr primär ist.

§ 7.

Idealtlieorie bei Voraussetzung des Doppelkettensatzes.

Die Vereinfachungen gegenüber der bis jetzt entwickelten Theorieberuhen auf den unter 1. und 2. zu gebenden Hilfssätzen.

1. Ist in einem kommutativen Ring ohne Nullteiler der Vielfachen-kettensatz erfüllt, so ist der Ring zugleich Körper. Es ist zu zeigen, daßfür a =H 0 die Gleichung ax—b stets eine Lösung im Ring besitzt; daßsie nicht mehr als eine Lösung besitzen kann, folgt daraus, daß der Ringohne Nullteiler vorausgesetzt ist.

Sei a das aus a abgeleitete Hauptideal; nach Voraussetzung brichtdie Reihe der Potenzen im Endlichen ab; sei etwa u'" gleich allen folgen-den. Bezeichnet b das aus b abgeleitete Hauptideal, so kommt also:

a Mi 6 = a m+1 b mit a' n+1 i> = (a m+1 b).

Das ergibt insbesondere für das Element a m b eine Darstellung — untern Symbol für eine ganze Zahl verstanden —

a m b = ka m+1 b -f- na m+1 b — a m+1 c,

wo c wieder Element aus 91. Da nach Voraussetzung keine Nullteilerexistieren, kommt daraus b = ac, womit die Körpereigenschaft bewiesen ist.

2. Aus 1. folgt unmittelbar der

Hilfssatz: Ist in einem kommutativen Ring der Vielfachenkettensatzerfüllt, so besitzt ein Primideal keinen von o verschiedenen echten Teiler.

Ebenso folgt der Zusatz. Ist nur Axiom II erfüllt — Vielfachenketten-satz modulo jedem vom Nullideal verschiedenen Ideal —, so besitzt jedes

- 8 ) Dabei sind die zugehörigen Primideale und die isolierten Komponenten ein-deutig bestimmt. Vgl. Idealtheorie oder auch W. Ivrull, Ein neuer Beweis für dieHauptsätze der allgemeinen Idealtheorie. Math. Ann. 00 (1923), S. 55—64. In § 7wird ein direkter Beweis der Eindeutigkeit für den dort auftretenden einfachenSpezialfall gegeben werden. Die dort als eindeutig erkannten Primärideiile sindisolierte Komponenten.