Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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vom Nullideal verschiedene Primideal keinen von o verschiedenen echtenTeiler.

Denn der Restklassenring nach einem Primideal p wird nach Defi-nition ein Ring ohne Nullteiler; und da wegen der Homomorphie auchhier der Vielfachenkettensatz erfüllt ist, nach 1. ein Körper. Wegen deseineindeutigen Entsprechens der Teiler von p und der Ideale im Rest-klassenring besitzt also keinen von o verschiedenen echten Teiler 2 ").

Satz IV. 1st in einem kommutativen Ring der Doppelkettensatzerfüllt, so sind in jeder kürzesten Darstellung eines Ideals diejenigenprimären Komponenten, die nicht zum Einheitsideal o gehören, eindeutigbestimmt.

Zusatz. Bei Voraussetzung von Axiom I und II gilt Satz IV fürjedes vom Nullideal verschiedene Ideal.

Seien nt = [q, q x ,..q r ] = [q, q 1} ..., q 7 ] kürzeste Darstellungen vonm durch größte Primärkomponenten, seien o, ..., p r bzw. o, ..., p rdie zugehörigen Primideale. Dabei soll q bzw. q fortgelassen werden, wennkein zu o gehöriges Primärideal auftritt. Wegen 0(m)

muß jedes in einem aufgehen, also nach dem Hilfssatz mit diesemidentisch sein. Da ebenso jedes !p lc mit einem y k übereinstimmen muß,stimmen also die von o verschiedenen Primideale überein, Es

wird weiter q q x .. .q r =0 (qi) und daraus q;.= 0(q;.), da die übrigenKomponenten nicht durch p;. teilbar, also prim zu q¿ sind. Da ebensoq¿ == 0 (q;.) folgt, ist also die Eindeutigkeit der nicht zu o gehörigen Primär-komponenten gezeigt. Tritt schließlich q wirklich auf, so muß wegen derkürzesten Darstellung auch "q wirklich auftreten, womit noch die Eindeutig-keit der zugehörigen Primideale gezeigt ist. Weiter zeigt der Eindeutigkeits-beweis noch, daß jede Darstellung, die keine zu o gehörige Primär-komponente enthält, zugleich kürzeste ist.

3. Fügt man zu der Voraussetzung des Doppelkettensatzes noch dieExistenz des Einheitselementes hinzu, so verschärft sich Satz IV zu

Satz V. Ist in einem kommutativen Ring mit Einheitselement derDoppelkettensatz erfüllt, so läßt sich jedes Ideal eindeutig als Produktvon endlich vielen, paarweise teilerfremden Primäridealen darstellen.

Zusatz. Bei Voraussetzung von Axiom I, II, III gilt Satz V fürjedes vom Nullideal verschiedene Ideal.

29 ) Dabei braucht in SR und damit in o •— dem aus allen Elementen von 9Îbestehenden Einheitsideal — kein Einheitselement zu existieren, obwohl es nach 1.im Restklassenring eine Einheitsklasse gibt. Das einfachste Beispiel dieser Art — woes sich um den schwächeren Fall des Zusatzes handelt — bildet das System allergeraden Zahlen.

Mathematische Annalen 90. 4