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E. Noether.

Wegen der Existenz des Einheitselementes wird o' J = o, und damitwird jedes zu o gehörige Primärideal gleich o , kann also in einer kürzestenDarstellung eines von o verschiedenen Ideals nicht auftreten; somit sindnach Satz IV die Primärkomponenten eindeutig bestimmt. Zugleich wirdjede Darstellung durch Fortlassen von o zu einer kürzesten. Zwei ver-schiedene Primideale werden ferner nach dem Hilfssatz unter 2. stetsteilerfremd; also gilt nach den Rechenregeln aus § 4, 4. dasselbe für diePrimärkomponenten ; das kleinste gemeinsame Vielfache wird somit zumProdukt.

Aus den Voraussetzungen folgt weiter der

Hilfssatz. In einem kommutativen Ring mit Einheitselement undDoppelkettensatz sind außer dem Einheitsideal alle und nur die Primidealeprim zu einem Ideal m , die nicht in m aufgehen. Die Begriffe prim undteilerfremd fallen zusammen.

Zusatz. Bei Voraussetzung der Axiome I, II, III muß nt vom Null-ideal verschieden angenommen werden.

Geht p nicht in nt auf, so ist es von allen zu m gehörigen Prim-idealen verschieden, also nach dem Hilfssatz unter 2. durch keines dieservon o verschiedenen — Primideale teilbar; somit wird p prim zu jederPrimärkomponente und damit zu nt. Zugleich wird p teilerfremd zu jederPrimärkomponente und damit zu nt.

Geht p =j= o in m auf, so muß es mit einem der zugehörigen Primidealeübereinstimmen. Gehört es etwa zur Komponente q = q 1 , so wird dem-nach Q : p ein echter Teiler von q — wegen p? -1 = 0 (q : p); ^O(q).Zugleich wird q : p als Teiler von p<? -1 nur durch ein Primideal =)= o teilbarund also primär. Wegen der eindeutigen Zerlegbarkeit wird daher auchdas durch nt : p teilbare Produkt (q : p) • q 2 ... q r ein echter Teiler von nt;es wird also p nicht prim zu nt.

Somit wird ein Ideal t =)= 0 dann und nur dann prim zu nt, wenn keinesder zu t gehörigen Primideale in m aufgeht; in diesem Fall wird aber tauch teilerfremd zu nt. Da umgekehrt zwei teilerfremde Ideale stetsgegenseitig prim sind (§ 5, 5.), so fallen also unter den obigen Voraus-setzungen die beiden Begriffe zusammen.

§8.

Idealtheorie bei ganzer Abgeschlossenheit im Quotientenkörper.

Die bis hierher entwickelte Idealtheorie soll jetzt durch Hinzunahmeder beiden letzten Axiome zu der üblichen verschärft werden.

1. Hilfssatz. 1st 9Î ein kommutativer Ring ohne Nullteiler mitEinheitselement, und wird in 3Í der Teilerkettensatz vorausgesetzt (Axiom