Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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I, III, IV), so folgt aus a = ab und a=H(0) stets b = o. Es wird alsoqo =}= c e+1 für alle von Null- und Einheitsideal verschiedenen Ideale 30 ).

Der Beweis ergibt sich wie bei dem Hilfssatz § 1, 3., da man abals endlichen Modul in bezug auf b auffassen kann. Bedeutet a 1 ,...,u neine wegen I existierende Idealbasis von a, so folgt aus a=ab dasGleichungssystem cc.= b il a 1 +... + b in a n mit b ilc ~0(b) für i = 1,

Da 9Î ohne Nullteiler vorausgesetzt, folgt daraus | b iU — e ik \ = 0 ; mite ilc — 0 für i 4= k; e tf = e. Aus der Gleichung e' l + b 1 e ,!_1 + • • • + b n = 0mit b { = 0(b) folgt aber e = 0(b) und damit b = 0.

2. Es ist jetzt nur noch zu zeigen, daß durch Hinzunahme der Voraus-setzung der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenkörper (Axiom V) zuden Axiomen I bis IV folgt, daß jedes vom Nullideal verschiedene Primär-ideal eine Potenz seines zugehörigen Primideals wird. Die Eindeutigkeitder daraus folgenden Darstellung nt = ^r 1 ... \s'j r für alle vom Nullidealverschiedenen Ideale ist schon durch Satz V und den Hilfssatz unter 1.bewiesen; zugleich ist gezeigt, daß diese Primideale keinen vom Einheits-ideal verschiedenen echten Teiler besitzen. Der Beweis soll für den Ex-ponenten zwei unter Heranziehung der Dedekindschen Folgerung II (§1,4.)geführt werden, allgemein durch volle Induktion.

Hilfssatz. Bei Voraussetzung der Axiome I bis V gibt es keineweiteren Primärideale vom Exponenten zwei als q = p 2 .

Zum Beweis ist zu zeigen, daß aus f 2 = 0 (q); q = 0(p); aber q ^ 0 (p 2 )notwendig q gleich p folgt. Sei also

c = 0(q); mithin c = 0(p); aber c^0(p 2 ).

Dann folgt aus dem Hilfssatz §7, 3., daß oc:() echter Teiler von ocwird; also gibt es ein Element b, derart, daß

bip = 0(oc) = 0 (q) ; aber 6^0(oc);

mithin y = bjc nicht ganz wird, d. h. zum Quotientenkörper, aber nichtzu 9Î gehört.

Es ist b^ 0(f) nachzuweisen, woraus — da q primär und zu pgehörig — p = 0(q) folgt.

Nach der Dedekindschen Folgerung II gibt es Elemente m, n ausderart, daß y = bj c = m\n wird und auch m°"\n nicht ganz; daß also

bn = mc; m^0(o?i); m 2 ^0(o?i)

30 ) Dagegen kann bei den gleichen Voraussetzungen nicht von ab = ac auf 6 = cgeschlossen werden, wie das folgende Beispiel zeigt, wo 9Î als Polynombereich in x, ymit Koeffizienten aus einem Körper angenommen ißt: a—[x,y); b — (x-, xy, y-) ;c = ( xa >2/ 2 )- Tatsächlich wird o6 = ac=a 3 ; aber 6 4= c.

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