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E. Noether.

wird. Duch Multiplikation von 6p mit m folgt:

raZ>p = 0(omc); also =0(ow6) und daraus wip = 0(orc),

letzteres, da es sich um einen Ring ohne Nullteiler handelt. Hieraus folgt

m^O(p) wegen m 2 ^0(o») und 7i = 0(p);

letzteres nach dem Hilfssatz § 7, 3 ; da o n : p echter Teiler von o n wegento ^ O ( otï ). Die vier Relationen

n = 0(p); c = 0 (p ) ; ^ 0(p 2 ); bn = mc

ergeben aber Z>^sO(p). Denn da p 2 primär, kommt vorerst mc^0(p 2 ),und damit folgt wegen bn — mc. Damit ist der Hilfssatz be-

wiesen.

3. Hilfssatz. Bei Voraussetzung der Axiome I bis V gibt es keineweiteren Primärideale vom Exponenten q als q = pe.

Der Hilfssatz ergibt sich aus dem Hilfssatz unter 2. ohne Anwendungder Axiome 31 ). Zum Beweise ist vorerst zu zeigen:

1st c = 0(p); ^0(p 2 ), so wird p" = (oc ö , p" +1 ) für jedes a.Es wird p = (o c, p 2 ) nach dem Hilfssatz unter 2. Setzt man alsovoraus p" _1 = (oc° _1 , p"), so folgt durch Multiplikation mit p nach demdistributiven Gesetz:

p° = (pC _1 , p a+1 ) = (oc°, p 2 c <7 ~ 1 , p ff+1 ) = (oC, p ö+1 ).

Der zu beweisende Hilfssatz kann auf die folgende zweite Fassung gebrachtwerden :

Ist c[ = 0(p' 7 ); ^0(p a+1 ) und ist p o+ *=0(q) mit ¿¡>1, so wirdauch p" +A_1 = 0 (q).

Denn wegen q = 0 (p) ; ^0(p e+1 ) existiert für jedes Primäridealein solcher Exponent a 1 ; dabei folgt q^0(p e+1 ) aus pe = 0(q)und pe 4= p e+1 nach dem Hilfssatz unter 1. Die endlich oftmalige An-wendung der zweiten Fassung ergibt aber p CT = 0 ( q ) und damit q = p °.

Aus der Voraussetzung der zweiten Fassung folgt unter Berücksich-tigung der Darstellung von p" für jedes Element q aus q :

q = bc° (p" +1 ) mit &^0(p) oder bc° = 0 (q, p° +1 ).

Da (q,p ff+1 ) primär, folgt daraus c ff = 0(q,p o+1 ) oder

c«+'— i = 0 (q, p" + *) und damit p n+A_1 = 0(q).

31 ) Der Beweis von Hilfssatz 3. unter Voraussetzung der Gültigkeit von Hilfs-satz 2. findet sich bei Masazo Sono, On Congruences II, §§ 9 und 10. Vgl. Anm. ,0 ).