Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

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4. Zusammenfassend kommt

Satz VI. Sind in einem kommutativen Ring die Axiome I bis Verfüllt, so läßt sich jedes von Null- und Einheitsideal verschiedene Idealeindeutig darstellen als Potenzprodukt von endlich vielen, von Null- undEinheitsideal verschiedenen Primidealen ; diese Primideale besitzen keinenvom Einheitsideal verschiedenen echten Teiler.

§9.

Die Axiome als Folge der vorausgesetzten Zerlegung.

Um aus der Existenz der üblichen Idealzerlegung — die nach Satz VIaus den Axiomen I bis V folgt — auch umgekehrt diese Axiome er-schließen zu können, ist die Zerlegung in der folgenden Fassung voraus-zusetzen :

Voraussetzung. In dem kommutativen Ring 9i ist jedes nicht vomNull- oder Einheitselement abgeleitete Ideal eindeutig als Potenzproduktvon Primidealen darstellbar. Diese Primideale sind nicht vom Einheits-element abgeleitete einfache Ideale •— d. h. sie besitzen keinen von o ver-schiedenen echten Teiler ; umgekehrt sind alle einfachen Ideale Primideale.Die Eindeutigkeit gilt in der scharfen Fassung, daß a e =4= n £ ' +1 wird fürjedes nicht vom Null- oder Einheitselement abgeleitete Ideal.

Die Existenz des Einheitselementes ist dabei nicht vorausgesetzt ; gibtes kein Einheitselement, so stellt die Bedingung „nicht vom Einheits-element abgeleitet" keine Einschränkung dar.

1. Nachweis von Axiom III (Existenz des Einheitselementes).Sei Axiom III nicht erfüllt; es ist zu zeigen, daß o 2 einfaches Ideal wird,ohne Primideal zu sein, gegen die Voraussetzung. Nach der Eindeutigkeits-voraussetzung wird o=t=o 2 ; es wird also o^0(o 2 ), aber o 2 = 0(o 2 ),und mithin o 3 kein Primideal. Es wird aber o 2 einfach; denn o 2 kanndurch kein von o verschiedenes Primideal teilbar sein, besitzt also wegender vorausgesetzten Produktdarstellung keine von o oder o 2 verschiedenenTeiler.

2. Nachweis von Axiom IV (Ring ohne Nullteiler). Ist a Null-teiler, also ab — 0, aber a =j= 0 und 6=4=0, so kommt durch Multipli-kation der Darstellungen der aus a und b abgeleiteten Hauptideale :(0) = , wo die p von Null- und Einheitsideal verschieden sind

letzteres wegen Existenz des Einheitselementes. Die Darstellung sollals kürzeste vorausgesetzt werden in dem Sinne, daß durch Weglassenirgendeines Faktors ein echter Teiler der Null entsteht — eine Bedingung,die nicht von selbst erfüllt zu sein braucht, da über das Nullideal keine