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E. Noether.

Voraussetzung über eindeutige Darstellung gemacht ist. Tritt in dieserDarstellung nur ein Primideal auf, so wird (0) = entgegen der

scharfen Eindeutigkeitsforderung. Tritt aber mehr als ein Primideal auf,so kommt

fr +1 = (tf +1 , ... #) I fr (p v fr . . . fr) = fr ;

denn wegen der Existenz des Einheitselementes wird zu allen übrigenPrimidealen teilerfremd ; also ergibt sich auch hier ein Widerspruch gegendie scharfe Eindeutigkeitsforderung.

3. Nachweis der Axiome I und II (Kettensätze). Die Voraus-setzungen ergeben für jedes vom Nullideal verschiedene Ideal: Aus Teil-barkeit folgt Produktdarstellung ; d.h. aus m = 0(a) und a =f= o folgtlit = ai> mit ÖE^O(m). Sei

m = 0 (a) ; m = pfi... fr und a = jp"i... fr •

dann folgt, daß jedes p mit einem p identisch ist, und daß a { wird,also die Behauptung mit b = pf 1 "" 1 .. • p"'' _<Tr , wo natürlich einige der o iNull werden können. Es gibt also .nur die endlich vielen, den Kom-binationen 0 ^ a ¿ ^ entsprechenden Teiler von m; somit gilt im Rest-klassenring nach in der Doppelkettensatz. Damit ist aber Axiom I und IInachgewiesen: der Teilerkettensatz gilt auch in 91 selbst, da jeder echteTeiler des Nullideals vom Nullideal verschieden ist.

Der Nachweis des Axioms V' der ganzen Abgeschlossenheit im Quo-tientenkörper setzt die üblichen Folgerungen aus der Idealzerlegung voraus,die daher erst abzuleiten sind.

4. Der Restklassenring nach jedem vom Nullideal verschiedenen Idealist Hauptidealring. Das Ideal darf vom Einheitsideal verschieden an-genommen werden, da hier für den nur aus dem Nullelement bestehendenRestklassenring die Bedingung sicher erfüllt ist.

Ist das Ideal vorerst primär, q = pe, und ist c = 0(p); ^0(p 3 ),so folgt aus 3., daß oc = pa wird mit (a,p) = o. Es kommt also.p" = (oc°, p e ) für jedes o ^ q ; im Restklassenring nach einem Primär-ideal wird somit jedes Ideal Hauptideal. Sei jetzt allgemein

m = qj • q 2 ... q r mit q £ = fr ; sei 9î | m = 5 1 + ... + a.

die entsprechende Darstellung des Restklassenringes als direkter Summe(§4, 5.). Es wird isomorph zu 9í¡q¿, und folglich wird jedes Idealaus 5,- Hauptideal. Ist c ein beliebiges Ideal des Restklassenringes, sowird also c^c Hauptideal 5,-^; es kommt

C = öc = c^ê + ... + ä r c == äiCi + ... + ä r c r = + ... + ä r c = Sc,