Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

55

wobei c = c 1 ~ . -T c r gesetzt ist. Denn wegen a { Ü k = (0) und wegenc¿ = 0(0 ¿ ) stimmen die Hauptideale ä i c i und ctjC aus á ¿ überein.

Der Satz vom Hauptidealring läßt bekanntlich noch die folgendeFassung zu:

Ist c ein beliebiges Ideal, so läßt es sich in ein Hauptideal ver-wandeln durch Multiplikation mit einem zu einem gegebenen Ideal bteilerfremden Ideal.

Denn setzt man rtt — B C, so wird c modulo m zum Hauptideal,d. h. es wird c = (oc, ttt) = (ca, cb) = c(a, b); somit wird oc = ca und(a, b) = o .

5. Theorie der gebrochenen Ideale. Als gebrochenes Ideal be-zeichnet man jeden endlichen 3Î- Modul im Quotientenkörper íf .

Satz. Die vom Nullmodul verschiedenen endlichen 9Ï- Moduln aus ÎÏbilden gegenüber der Multiplikation eine Abelsche Gruppe.

Das Produkt zweier endlicher SR-Moduln ist wieder ein endlicher9Î - Modul ; die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ ; wegen St = 0 Stwird das Einheitsideal Einheitselement des Systems. Es ist also nur nochzu zeigen, daß die Gleichung StX = 0 stets eine Lösung im System derendlichen 9Í- Moduln besitzt.

Vorbemerkung. Wenn die Gleichung 31 $ = S3 eine und nur eineLösung hat, so wird % gleich dem Modulquotient S3 :91 (§5,4.). Dennes wird

£ = 0 (S3 : St); also 93 = St % = 0 (St• (S3 : 31 )) = 0 (S3) oder St-(S3 : St) = 93.

Sei jetzt vorerst St Hauptmodul, 3t = («), so kommt 3E = (e/a) alsLösung von 3(3£==o; es ist 3; wieder endlicher 91-Modul. Daraus folgt:Jeder endliche 'Si- Modul ist Modulquotient zweier Ideale aus 9Î, wodurchsich die Bezeichnung gebrochenes Ideal rechtfertigt. Denn sei r 1 ,...,r reine Modulbasis von sei r i —t i /a und sei t das aus den abgeleiteteIdeal in 9Ï. Dann wird oa-% = t, woraus nach der VorbemerkungX = (t:oa) folgt, der Quotient in ® genommen.

Die Lösung von St 3C = 0 läßt sich jetzt allgemein angeben. Sei ge-setzt: St = a : o c und sei b so bestimmt, daß ab gleich einem Haupt-ideal o a wird. Dann kommt: 3tc = a und daraus 3(bc = oa oder2t - (b c : o a) = o; dabei wird 2Ê als Quotient eines Ideals durch ein Haupt-ideal wieder endlicher 9Î- Modul. Aus der damit bewiesenen Gruppen-eigenschaft folgt noch, daß der Modulquotient irgend zweier Ideale a : bals Lösung der Gleichung b£ = a endlicher Si- Modul wird.

G. Aus der Gruppeneigenschaft ergeben sich die weiteren Folgerungen: