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E. Noether.

6«. Man kann kürzen, d.h. aus X — 919)2:93 9)? folgt X = 91 : S3und umgekehrt. Denn aus X 93 SDÎ = X 91 SD? kommt X 33 = X 91 und um-gekehrt.

6ß. Jedes gebrochene Ideal (endlicher 9Ï- Modul) läßt eine Darstellungzu : G = a : 6, wo a und 6 teilerfremd-, durch diese Bedingung sind a undi) eindeutig bestimmt. Die Möglichkeit der Darstellung ergibt sich aus 5.und 6a; aus (£ = a:b = ä:b ergibt sich aber ab = ba und damit Ein-deutigkeit, wenn sowohl a, b, wie a, b als zueinander teilerfremd voraus-gesetzt werden.

Gy. Jeder aus einem nichtganzen (d. h. zu £ und nicht zu 3Î ge-hörigen) Element abgeleitete Hauptmodul o r¡ läßt eine Darstellung alsQuotient von Hauptidealen zu derart, daß keine Potenz des Zählers durchden Nenner teilbar wird. Sei in gekürzter Darstellung o = b : C , woalso (b,c)=o; sei (nach 4.) 0 b = b et und (a, c) = 0. Dann kommto?? = ab:ac = o6 :ac, und wegen a c = o b : o r¡ wird auch a c Haupt-ideal, also o»7 = o6:oc. Es wird aber keine Potenz von ab durch cteilbar, wegen (ac) = o und (b,c)=o.

7. Nachweis des Axioms V der ganzen Abgeschlossenheit im Quotienten-körper. Aus 6 y folgt, daß jedes nichtganze Element aus eine Quotienten-darstellung zuläßt, ?j = aje derart, daß in 9Î keine Potenz des Zählersdurch den Nenner teilbar wird. Denn aus o r¡ = 0 b : o c folgt, daß r¡ sichnur bis auf eine Einheit aus von dem Quotienten 6/c unterscheidet.Ein solches Element ?; kann mithin keiner Gleichung genügen, die es alsganz in bezug auf 8ï charakterisiert; denn aus t¡ " -f- r 1 r¡ n ~ 1 + r = 0folgt a" = 0 (o c) in 9Î.

8. Folgerung: Sind in einem kommutativen Ring 9Î die Axiome Ibis IV erfüllt, und ist jedes primäre Ideal irreduzibel, so ist auchAxiom V der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenkörper erfüllt. Wegender Axiome I bis III ist jede Primidealpotenz pe zugleich Primärideal;das gilt insbesondere für p 3 ; es wird somit p 3 nach Voraussetzung einirreduzibles Ideal. Hieraus ist die Darstellung p = (oc,p 2 ') nachzuweisen;denn damit folgt nach dem Hilfssatz §8, 3, daß jedes Primärideal Prim-idealpotenz wird, was zusammen mit den andern Voraussetzungen nach 7.die ganze Abgeschlossenheit nach sich zieht.

Wegen des Teilerkettensatzes kommt p = (o c 15 .. o c k , p 2 ), wobeials Multiplikatoren der c nur die Restklassen nach p in Betracht kommen,und wobei die c als linear unabhängig in bezug auf den Restklassen-körper nach p vorausgesetzt werden dürfen. Aus dieser Linearunabhängig-keit folgt aber für k > 1 eine Darstellung: p 3 = [q 19 q 2 ], wo = (o c 1 p 3 )und q., = (o c 3 , . .., o c k , p 3 ) gesetzt ist; es werden somit q 2 und q 2 echte