Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.

57

Teiler von p 2 , und es wird p 2 gegen Voraussetzung reduzibel. Damit istp = (oc, p 2 ) mit der sich daraus ergebenden Folgerung bewiesen.

Daß umgekehrt als Folge der Axiome I bis V jedes Primäridealirreduzibel wird, ist unmittelbar klar, da eine Primidealpotenz pe sichnicht als kleinstes gemeinsames Vielfaches echter Teiler der Form p° undp r darstellen lassen kann.

9. Sind Nullteiler im Ring zugelassen, so folgt aus den Axiomen Ibis III und der ganzen Abgeschlossenheit im Quotientenring nicht, daßjedes Primärideal irreduzibel wird 32 ). Denn es bedeute X einen Ring,in dem alle Axiome I bis IV außer der ganzen Abgeschlossenheit erfülltsind; solche Ringe gibt es, z. B. sind die vom System aller in bezug auf9Î ganzen Größen verschiedenen endlichen Ordnungen eines endlichen Er-weiterungskörpers des Quotientenkörpers von 9Î solche Ringe, wenn in 9Îdie Axiome I bis V gelten (§ 3, 2.). Nach der Folgerung 8. gibt es in Xreduzible Primärideale q; es bedeute p CT ein echtes Vielfaches von q und9Î den Restklassenring j£|p", in dem also das q zugeordnete Ideal q einvom Nullideal verschiedenes reduzibles Primärideal wird. In 91 sind dieAxiome I bis III erfüllt, aber es gilt auch die ganze Abgeschlossenheitim Quotientenring. Denn da in X jedes nicht durch p teilbare Elementzu p° teilerfremd wird, sind in 9Ï alle regulären Elemente Einheiten; esist also 3ï mit seinem Quotientenring identisch.

§ 10.

Doppelkettensatz und Kompositionsreihe.

Im folgenden soll gezeigt werden, daß für beliebige, als wohlgeordnetangenommene Modulbereiche (§2) die Voraussetzung der Gültigkeit desDoppelkettensatzes — jede Teilerkette und jede Vielfachenkette von Modulnbricht im Endlichen ab — identisch ist mit der Voraussetzung, daß eineKompositionsreihe existiert 33 ). Die Spezialisierung des Modulbereichs zueinem kommutativen Ring ergibt dann die entsprechenden Tatsachen fürdas System aller Ideale des Ringes; dabei ist unter 2. durchweg derModulisomorphismus durch Ringisomorphismus zu ersetzen.

32 ) Vgl. Anm. 12 ).

33 ) Die Moduln des Bereichs sind Abelsehe Gruppen gegenüber der Addition,und zwar handelt es sieh um verallgemeinerte Abelsehe Gruppen, da der Multi-plikatorenbereich aus den Elementen aus 3Î besteht. Da es sich um Abelsehe Gruppenhandelt, fällt der Begriff der Kompositionsreihe mit dem der Hauptreihe zusammen.Die Sätze dieses Paragraphen bleiben bestehen, wenn unter „Moduln" die Gesamt-heit der Normalteiler einer beliebigen nicht kommutativen, auch verallgemeinertenGruppe verstanden wird. An die Gruppentheorie soll die von der früheren etwasabweichende Bezeichnung erinnern.