58

E. Noether.

Ein Modulbereicli © heißt einfach, wenn es in © keine weiteren9Î- Moduln als © selbst und den Nullmodul © gibt. Ein Modul 31 heißteinfach in ©, wenn ©¡9Í einfach ist (größter Normalteiler).

Eine Vielfachenkette ©, 2i i; .. 2I r , @ heißt Kompositionsreihe von ©von der Länge r, wenn alle Moduln der Kette verschieden, und wennjeder Modul einfach in dem, vorangehenden ist, wenn also die Restklassen-moduln (die Quotientengruppen) einfache Modulbereiche sind,ebenso ©jSij und 21,.. Durch Bildung des Restklassenmoduls @|2i läßtsich der Fall, daß eine Kompositionsreihe von © bis 2t =j= (£ existiert, aufden Fall der Kompositionsreihe schlechthin zurückführen.

1. Wird in © die Gültigkeit des Doppelkettensatzes vorausgesetzt, soexistiert in © eine Kompositionsreihe — dabei ist © 4= ® vorausgesetzt.Aus der vorausgesetzten Wohlordnung von © und aus der Existenz desTeilerkettensatzes ergibt sich, wie in § 6, durch quasi-lexikographische Anord-nung eine Wohlordnung des Systems aller Moduln. Vermöge dieser Wohl-ordnung folgt aus der Voraussetzung des Teilerkettensatzes die Existenzvon mindestens einem in © einfachen Modul. Ist nämlich ©j der in derWohlordnung erste echte Teiler von (£, allgemein der erste echteTeiler von S ¿ _ 15 so bricht die wohlbestimmte Kette @, E x , ..., ©¿, ...im Endlichen ab, führt also notwendig zu einem in © einfachen Modul9X 1 . Ist 2lj =|= ©, so gibt es nach demselben Verfahren einen in ein-fachen Modul 2L ; ist allgemein 2Í ¿ _ 1 =¡=®, so gibt es einen in 2í i _ 1 ein-fachen Modul 21,-. Man kommt auf diese Art zu einer wohlbestimmtenVielfachenkette ©,2íj,..., 2Í¿, ..., die nach der Voraussetzung des Viel-fachenkettensatzes im Endlichen abbricht und somit eine Kompositions-reihe von © ergibt.

2. Wird in © die Existenz einer Kompositionsreihe vorausgesetzt, sogilt in © der Doppelkettensatz. Der Beweis erfolgt durch volle Induktion,wobei die Wohlordnung für © nicht vorausgesetzt zu werden braucht.Im Laufe des Induktionsschlusses ergibt sich zugleich ein Beweis desJordan-Hölderschen Satzes unter alleiniger Voraussetzung der Existenzeiner Kompositionsreihe 34 ).

31 ) Vgl. Masazo Sono (Anm. 10 )), On Congruences I, § 11 — 13, für den Fall derRinge. Es wird dort auch das Analogon zur Kompositionsreilie in nicht kommu-tativen Gruppen behandelt, nämlich Reihen 3Î, SIj, ..., 9i r , ®, wo jeweils 21,- Idealund einfach in 9I ( _i ist, nicht Ideal in 31 zu sein braucht. Tatsächlich bleiben alleobigen Überlegungen für nichtkommutative Gruppen erhalten, wenn man unter Viel-fachenkette eine solche ©, 9lj, .. 9T/, .. . versteht, wo jeweils 2T¡ normal in 9Íí_ 1 ,und wenn Teilerketten entsprechend definiert werden. Vgl. ferner Dedekind, Überdie von drei Moduln erzeugte Dualgruppe (Math. Ann. 53 (1900), S. 371—403). Hierist für viel allgemeinere Bereiche (Modulgruppen) ebenfalls nur unter der Existenz-