Abstrakter Aufbau der Idealtheorie.
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Sei vorerst © einfach, also r = 0, so daß nur die einzige KompO-sitionsreihe ©, (£ existiert. Es sind hier die Voraussetzungen erfüllt:
a) Durch jeden in © einfachen Modul läßt sich eine Kompositions-reilie ziehen.
ß) Jordan-Hölderscher Satz: Jede Kompositionsreihe ist von gleicherLänge und das System der Quotientengruppen (Restklassenmoduln) stimmtbis auf die Anordnung überein, d. h. entsprechende Quotientengruppensind isomorph.
y) Durch jeden beliebigen, von © verschiedenen Modul läßt sich eineKompositionsreihe ziehen.
ô ) Gültigkeit des Vielfachenkettensatzes,e) Gültigkeit des Teilerkettensatzes.
Die Voraussetzungen et) bis e ) dürfen also für jeden Modulbereich,der eine Kompositionsreihe von der Länge f < r -f- 1 besitzt, als erfüllt an-genommen werden. Sie sollen als erfüllt nachgewiesen werden unter derAnnahme, daß in © eine Kompositionsreihe ©, 9Í, 9t x , .. 3I r , © von derLänge r -j- 1 existiert.
2a. Gibt es keinen von 9Í verschiedenen in © einfachen Modul, soist nichts zu beweisen. Sei also 58 ein in © einfacher Modul =)= 9Í; esist zu zeigen, daß in © eine durch 93 laufende Kompositionsreihe existiert.Da 2Í und 93 beide in © einfach und voneinander verschieden, so wirdnotwendig (21,93) = ©; setzt man noch 9JÎ = [2t,93], so kommt nachdem zweiten Isomorphiesatz (§ 4, 2.):
©|93~9l|9tt und ®|2Ï~93|S)Î:
es wird also SDÎ einfach in 2t und 93. Da 9Í eine Kompositionsreihe derLänge r < r -j- 1 besitzt, gibt es somit nach den Voraussetzungen a) undß) in 3Í eine durch 9JÎ laufende Kompositionsreihe der Länge r, etwa9Í, SDÎ, ÜÜZj, ..., SDÎ,.-!, (S; damit wird aber ©, 93, 3DÎ, 93^, ..., 9DÎ,. _ j, (£eine durch 58 laufende Kompositionsreihe von ©.
2 ß. Zum Nachiceis des Jordan-Höldersehen Satzes seien(1) ©,91, 8 und (2) ©, 93, 93,, 93 g , 8 mit
zwei Kompositionsreihen von ©. Wird hier 9t gleich 93, so ist nach derfür r < r + 1 geltenden Voraussetzung alles erledigt. Im andern Fallzeigt der Vergleich mit den unter 2 a konstruierten Reihen
(3)^©, 91, 93Ï, SD 1 ?,, ..., 9Ä r _ 1} © und (4) ©, S3, 2R, STOj,.... 3R r _ lt 8
Voraussetzung der Jordan-Höldersche Satz bewiesen (§ 6, XVI). An Stelle des zweitenIsomorphiesatzes tritt hier eine etwas schwächere Zuordnungsbeziehung, und infolge-dessen ist auch die Aussage deB Satzes etwas schwächer; der Beweis ist aber imPrinzip mit dem oben gegebenen identisch.