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E. Noether.

das Folgende: Nach der für r<r+ 1 gemachten Voraussetzung stimmtdas System der Quotientengruppen von (1) und (3) überein; ebenso von(2) und (4), da die in (4) durch 33 laufende Kompositionsreihe von derLänge r ist; es wird also s gleich r. Wegen der unter 2 a angegebenenIsomorphie besteht weiter Ubereinstimmung zwischen (3) und (4), womitdie Ubereinstimmung zwischen (1) und (2) und damit der Jordan-Höldersche Satz beiviesen ist.

2 y. Vorbemerkung. Seien 31, 33, § Moduln aus © ; sei S3 einfachin Sí; dann stimmen die Moduln (S 3,íq) und (31, £j) entweder überein,oder (93, §) ist einfach in (31, |j). Nach dem zweiten Isomorphiesatz(§ 4, 2.) kommt:

(3t, 93,£)|(93, £)~3i| [3t, (93, $)] oder - wegen 33 = 0(31) -(3I,¡0)|(33,é)~SÍ|e für £ = [31,(93,$)].

Dabei wird (£ = 0(31); andererseits wird 93 = 0((5) wegen 93 = 0(31) und53 = 0 ((93, ÍQ)); es liegt also (£ zwischen 3Í und 93 und ist somit nachVoraussetzung mit 31 oder 93 identisch, woraus die Vorbemerkung folgt.

Sei jetzt wieder ©, 3Í, 3f x , ..., 3t r , (§ eine Kompositionsreihe von ©und § ein beliebiger, von © verschiedener Modul ans ©. Um zu zeigen,daß dnrch ¡Ç eine Kompositionsreihe läuft, sei die Reihe der Moduln©, (3Í , §), (3t x , ig) ... (31,., ig), § gebildet. Nach der Vorbemerkung bildendie verschiedenen unter diesen Moduln ©, (£, (£ 15 ..., © s , ÍQ eine Kompo-sitionsreihe von © nach §; es wird also (£ — was im Spezialfall 2 amit § zusammenfällt — ein in © einfacher Modul. Somit existiert nach2a in (£ eine Kompositionsreihe der Länge r < r 1, und folglich läßtsich in © nach Voraussetzung eme Kompositionsreihe durch § ziehen,was durch Zufügung von © in © eine Kompositionsreihe durch § ergibt.Die wiederholte Anwendung dieser Überlegung zeigt noch, daß man einesolche Kompositionsreihe insbesondere als Verlängerung der von © nach §konstruierten annehmen kann.

2(5. Nachweis des Vielfachenkettensatzes. Sei wieder in © dieExistenz einer Kompositionsreihe der Länge r -f- 1 vorausgesetzt, und sei©, 93, 93j, ..93,., • •. eme Vielfachenkette; dabei sei jeder Modul alsechtes Vielfaches des vorangehenden vorausgesetzt. Daß die Kette mit ©beginnt, ist keine Beschränkung der Allgemeinheit, da man immer © alserstes Glied zufügen kann. Nach 2 y gibt es eme durch 93 laufendeKompositionsreihe in ©, und somit besitzt $8 eine Kompositionsreihe vonkürzerer Länge. Also bricht nach Voraussetzung die Kette 93 , 93 1; ..., 93,., .im Endlichen ab; es gilt also auch das gleiche für die durch Hinzufügungvon © verlängerte.