Gitterpunkte im Kreise.

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durch ein z auf jeder reellen Strecke der Länge H größer als 5 gemachtwerden kann. Das tut, so behaupte ich,

U-(n)

U(n)

1

c y U (wt) y U (w) y

n=i - m* J „=1 «* (yw-yn)(|/m-f»-2)y

\/m — y n =t= 2

wo c 0 die Zahl aus (7) ist. Ich zeige zuerst die Konvergenz der letztenReihe rechts. Wenn 1 n < m und g eine ganze Zahl =)= 4 Mm ist, so gilt

I g - 4 I'm I ^ I T 16m + 1 - 4 I'm | = = > :

I' 16 ni + 1 4 l' m 9 y m

das ergibt

I (y'm — 2) 3 — (l'n) a I = I m — n + 4 — 4 I m | >

und wegen

(8)

auch

(9)

9 y m

im — 2 + y TI < 2 y

y m — y?i — 2| >

m

18m

m— 1

In kommen aber höchstens vier Glieder mit I V m — ]n — 2|<m *

71 =1

vor, da hieraus |(y'm —2)" —ra|<2 wegen (8) folgt. Ihr Beitrag istnach (9)

O (m~£ +E m) = O (1) ;

die übrigen geben

O m y —i = O y n~-i +c + O y ^- = 0( 1).

m — n ' m — n v '

71 =1

Bei y > 0 ist nun

a+H

. m

yÈ«<«i

ii+H

Jcos2 Z ° s ^ 2 d Z = iJ ( C g ^(j, + 2) 2 + C ^(y-2) Z )d 3 ,

also

a+JGT

¡ J cos 2 z cos yzdz\ <

I y 2 1

|/ cos 2 z sin 2 z dz | < 1,

a

> a ï H H I! J cos 2 2 zdz y I < I-

für y 2,

a

a+H

5*