Über asymptotische Entwicklungen von Funktionen.

Von

Alfred Haar in Szeged (Ungarn).

Einleitung.

Zu den Problemen, die man am häufigsten in der mathematischenAnalysis begegnet, gehört das Studium des asymptotischen Verhaltens einerFunktion f(x), die für hinreichend große Werte der Veränderlichen definiertist. Formuliert man die Aufgabe in voller Allgemeinheit, so kann es sichnur darum handeln, das asymptotische Verhalten einer vorgelegten Funk-tion durch das entsprechende Verhalten anderer, einfacherer, Funktionenzu charakterisieren. Ein analoges Problem tritt auf, wenn eine Zahlen-folge f lf f ¡¿ , ..., f„, ... vorgelegt ist, deren allgemeines Glied für großeWerte des Zeigers untersucht werden soll. Zur Behandlung dieser letztenAufgabe dient eine sehr allgemeine und fruchtbare Methode, die vonG. Darboux in einer berühmten Abhandlung 1 ) ausgearbeitet wurde undvielfach als Methode von Darboux bezeichnet wird, obwohl der fundamen-tale Gedanke schon in älteren Arbeiten, namentlich in Untersuchungenvon Laplace, Cauchy und Riemann, aufzufinden ist. Es ist das Ziel dervorliegenden Arbeit, ein analoges Verfahren zur Bestimmung des asympto-tischen Verhaltens von Funktionen zu entwickeln, das für Funktionendasselbe leistet, me die Darbouxsche Methode für Zahlenfolgen. In An-lehnung an diese klassischen Untersuchungen gewinne ich eine Methode,die — in gleicher Weise, wie jene für Zahlenfolgen — geeignet ist, insehr allgemeinen Fällen zur asymptotischen Entwicklung von Funktionenzu führen.

Um den Gedankengang des zu befolgenden Verfahrens mit der Darboux-schen Methode in Verbindung zu setzen, sei kurz an diese erinnert. Mit

1 ) Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombres et surune classe étendue de développements en série. Journal de mathématiques pures etappliquées. (3), 4, S. 5-56 und S. 377-416 (1878).