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A. Haar.

der vorgelegten Zahlenfolge f x , . bilde man ihre erzeugende

Funktion:

&(z) = íf n z n ;

n=l

gelingt es, eine andere Potenzreihe

* CO „

* 2 flz n

n— i

mit demselben Konvergenzkreis vom Radius r anzugeben, die so beschaffenist, daß die Randfunktion der durch die Differenz &(z) — <P*(z) dargestelltenanalytischen Funktion auf dem Konvergenzkreis ¿-mal stetig differenzierbarist, so gilt die Limesgleichung:

lim r n n k (f n — f*) — 0,

n— co

die zur gesuchten asymptotischen Entwicklung führt. Der Kern dieserMethode besteht in der Erkenntnis, daß die Singularitäten der erzeugendenFunktion — und zwar diejenigen, die auf dem Konvergenzkreis liegen —charakteristisch für das asymptotische Verhalten der vorgelegten Zahlen-folge sind. Darboux untersucht in der erwähnten Abhandlung in ausführ-licher Weise den Fall, in dem <Z> (z) auf dem Konvergenzkreis nur algebraischeSingularitäten besitzt, und macht sodann eine Reihe von höchst bemerkens-werten Anwendungen.

Es liegt nun der Gedanke nahe, wenn statt einer Zahlenfolgef ls /" 2 , ..., f n , . .. eine Funktion f{x) der kontinuierlichen Veränderlichenvorgelegt ist, zum Studium ihres Verhaltens für große Werte der Variablenan Stelle der durch die obige Summe definierten erzeugenden Funktion, diedurch das Integral

co

f f(x)z x dxó

dargestellte Funktion heranzuziehen. Schreibt man — um auf eine be-quemere Form zu gelangen — e~ z an Stelle von z, so erhält man denAusdruck:

co

y(z) = f e~ zx f(x) dxo

und der Grundgedanke der folgenden Untersuchungen besteht darin, daßdiese Funktion von z — bzw. ihre Singularitäten — in gleicher Weisedas asymptotische Verhalten von f(x) bestimmen, wie die obige erzeugendeFunktion 0(z) das Verhalten der Zahlenfolge f x , /" 3 , ..., f n , ....

Bekanntlich spielt das so erhaltene Integral in verschiedenen Gebietender Analysis eine wichtige Rolle; es wird als Laplacesche (oft auch Abel-sclie) Transformierte der Funktion f (x) bezeichnet; andere Autoren ziehen