Asymptotische Entwicklungen.

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die Bezeichnung Determinanten-Funktion vor. Ich erwähne an dieser Stellenur den schönen Vortrag von Herrn S. Pincherle 2 ) auf dem Mathematiker-Kongreß in Rom, in dem auch auf einen Zusammenhang des asympto-tischen Verhaltens von f(x) mit der Laplaceschen Transformierten hin-gewiesen wird, sowie einen wichtigen Satz des Herrn E. Landau 3 ), der dieKonvergenzabszisse des obigen Integrals mit dem asymptotischen Ver-halten der Funktion f(x) in Verbindung bringt. Auch die berühmtenUntersuchungen Poincarés über die asymptotischen Entwicklungen derLösungen linearer Differentialgleichungen machen von der LaplaceschenTransformation Gebrauch, aber in einer Weise, die gänzlich verschiedenvon unserem Verfahren ist 4 ).

Wir werden vor allem zeigen (§1), daß wenn zwei Funktionen f(x)und f*(x) gegeben sind (wir nehmen der Einfachheit halber an, daß siefür alle positiven Werte von x definiert, stetig und in jedem endlichenIntervall von beschränkter Schwankung sind), die so beschaffen sind, daßdie Differenz ihrer Laplaceschen Transformierten

co co

95(2) — <p*(z) — J e~ zx f(x) dx — f e~ zx f*(x) dx0 0

regulär analytisch für alle Werte von x ist, deren reeller Teil größer alseine reelle Konstante a ausfällt 5 ) und auf der Geraden 31 (2) = a solcheRandwerte besitzt, die ¿-mal stetig differenzierbar sind, die Limesgleichung

lim e~ ax x k (f(x) — f*(x)) = 0

X= CO

gilt, falls für das Verhalten von 99(2) — 9? *(2) im Unendlichen noch eine

2 ) Alcune spigolature nel campo delle funzioni determinanti. Atti del IV. con-gresso dei matematici. Roma 1905, S. 44.

3 ) "über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen, Sitzungsber. d. bayr.Akad., Math.-phys. Klasse, 36 (1906), S. 151-218.

4 ) Die schönen Untersuchungen von Herrn Hj. Meilin über asymptotische Reihenstehen in näherer Berührung mit der vorliegenden Arbeit, da in diesen ein demLaplaceschen analoges Integral angewandt wird. Ein prinzipieller Unterschied bestehtdarin, daß sich Herr Mellin auf analytische Funktionen, die in einem bestimmtenWinkel definiert sind, beschränkt. Wir verweisen auf seine zusammenfassende Arbeit:Abriß einer allgemeinen und einheitlichen Theorie der asymptotischen Reihen. Wissen-schaftliche Vorträge, gehalten auf dem V. Kongreß der skandinavischen Mathematiker.Helsingfors 1923, S. 1 — 17. — Die Laplacesche Transformation wurde in den letztenJahren von den Herren F. Bernstein und G. Doetsch in einer Reihe von interessantenArbeiten zum Studium gewisser Funktionalgleichungen herangezogen; sie benutzenden Ausdruck Oberfunktion bzw. Unterfunktion für f(x) bzw. <p (2).

5 ) Zufolge der oben durchgeführten Transformation der unabhängigen Veränder-li che n spielen jetzt die Vertikalen die Rolle, die bei der erzeugenden Funktion <P (z)die konzentrischen Kreise hatten.