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A. Haar.

Zusatzbedingung erfüllt ist, die wir als den Fourierschen Charakter dieserFunktion bezeichnen, da sie für die Gültigkeit der sog. Fourierschen Inte-gralformel charakteristisch ist (S. 77).

Dem Vorgange Darboux's entsprechend beschäftigen wir uns sodann(§2) mit dem Fall, in dem die Laplacesche Transformierte <p(z) einerFunktion f(x) so beschaffen ist, daß diejenige singulare Stelle (bzw. Stellen),deren reeller Teil möglichst groß ist, eine algebraische bzw. logarithmischeSingularität ist, im Unendlichen aber die oben erwähnten Zusatzbedingungenerfüllt sind. Wir stellen in diesem Falle die volle asymptotische Ent-wicklung der Funktion f{x) auf (S. 85 und 86), und gelangen auf dieseWeise zu fertigen Formeln, die in verschiedenen Anwendungen in bequemerund rascher Weise zum Ziele führen.

Die Anwendbarkeit der dargelegten Methode und der erhaltenenResultate ist eine äußerst mannigfaltige. Es zeigt sich, daß eine großeMenge der in der Literatur behandelten asymptotischen Entwicklungen ineinfachster Weise sich auf diesem Weg ergeben. Anwendungen auf lineareDifferentialgleichungen, auf die Theorie der Gammafunktionen und derBesseischen Funktionen, sowie auf die allgemeine Theorie der Funktionenkomplexer Variablen ergeben sich ohne prinzipielle Schwierigkeiten. Ichwerde in folgenden Mitteilungen insbesondere Anwendungen auf die Theorieder linearen partiellen Differentialgleichungen vom parabolischen und hyper-bolischen Typus darlegen und dabei das alte Problem des „Endverlaufes"in der Theorie der Wärmeleitung behandeln.

Die Anwendungen, die in der vorliegenden Arbeit zusammengestelltsind, verfolgen lediglich den Zweck, die Tragweite und Kraft des dar-gelegten Verfahrens zu illustrieren. Zu diesem Ende habe ich zunächstzwei altbekannte Beispiele: die asymptotische Entwicklung der BesseischenFunktion (§3) und das Laplacesche Problem der Funktionen großer Zahlen,d. h. die asymptotische Entwicklung des durch das Integral

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f e xF(t] G (t)dt

0

dargestellten Funktion (§4) herangezogen. Durch Anwendung der in § 2aufgestellten Formeln gewinne ich die bekannten Entwicklungen der Theorieder Besseischen Funktionen ohne jede Mühe, für das Laplacesche Problemaber explizite Ausdrücke, die — wie mir scheint — sowohl für theoretischeUntersuchungen, wie auch für numerische Rechnungen geeignet sind").

6 ) Von der ausgedehnten Literatur dieses Problems sei hier nur auf die eleganteBehandlung von 0. Perron hingewiesen: Über die näherungsweise Berechnung derFunktionen großer Zahlen. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissen-schaften. Math.-phys. Klasse 1917, S. 191 — 219.

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