Asymptotische Entwicklungen.

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Außer diesen beiden klassischen Aufgaben behandle ich (§3) die von HerrnHardy in einer schönen Arbeit 7 ) in Angriff genommene asymptotischeEntwicklung der durch die Potenzreihe

definierten ganzen Funktion, falls x längs eines Strahles, der im erstenoder vierten Quadranten liegt, ins Unendliche rückt, und zeige, daß dieHardyschen Resultate das erste Glied der von mir gewonnenen Entwick-lung bilden, ferner ein Problem der Theorie der Reihenentwicklungen nachBesseischen Funktionen (§4), das mit den üblichen Methoden nicht ohneSchwierigkeiten zu behandeln wäre.

Auf die oben erwähnten Anwendungen aus der Theorie der partiellenDifferentialgleichungen hoffe ich später zurückzukommen.

§1-

Laplacesche Transformation und asymptotische Entwicklungen.

1. Wir legen unseren Untersuchungen eine für alle positiven Wertevon x definierte Funktion f(x) zugrunde, die stetig und in jedem end-lichen Intervall von beschränkter Schwankung ist, und betrachten ihreLaplacesche Transformierte

CO

(1) cp(z) = Je~ zx f(x)dx.

o

Wenn dieses Integral für den (der Einfachheit, halber reell angenommenen)Wert z = o 0 konvergiert, so konvergiert es bekanntlich für jeden Wertvon z, dessen reeller Teil größer als derjenige von o 0 ist, und zwar istdiese Konvergenz eine gleichmäßige in jedem Winkel < n, mit dem Punktz = O q als Scheitelpunkt, dessen Halbierende zur positiven reellen Achseparallel läuft. Daraus wird in gewohnter Weise geschlossen, daß das Kon-vergenzgebiet des betrachteten Integrals eine Halbebene ist, in der 95(2)eine reguläre analytische Funktion darstellt.

In dieser Halbebene betrachten wir die Vertikale 9i(z) = o>a 0 undnehmen an, daß die Funktion <p(z) längs dieser Geraden so beschaffenist, daß das Integral

a+i co co

(2) Tin S e(z - 0 Í^( z ) dz = ¿ J + it)dt

a—i co — co

*) On the zeroes of certain classes of integral Taylor series. London Proc. (2), 2,S. 332-335 und 401-431.

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